Funkcija prenosa. Impulzni odziv in prenosna funkcija Razmerje med impulznim odzivom in prenosno funkcijo

Za določitev impulznega odziva g(t, τ), kjer je τ čas izpostavljenosti, t- čas pojavljanja in delovanja odziva, je treba uporabiti diferencialno enačbo vezja neposredno glede na dane parametre vezja.

Za analizo metode iskanja g(t, τ), razmislite o preprosto verigi, ki jo opisuje enačba prvega reda:

kje f(t) - vpliv, y(t) je odgovor.

A-priorat, impulzni odziv je odziv vezja na en sam delta impulz δ ( t-τ), ki se trenutno dovaja na vhod t= τ. Iz te definicije sledi, da če na desni strani enačbe postavimo f(t)=δ( t-τ), nato na levi strani lahko sprejmete y(t)=g(t,).

Tako pridemo do enačbe

.

Ker desni del te enačbe je povsod enak nič, razen za točko t= τ, funkcija g(t) lahko iščemo v obliki rešitve homogene diferencialne enačbe:

pod začetnimi pogoji, ki izhajajo iz prejšnje enačbe, kot tudi iz pogoja, da do trenutka uporabe impulza δ ( t-τ) v tokokrogu ni tokov in napetosti.

Zadnja enačba ločuje spremenljivke:

kje
- vrednosti impulznega odziva v času izpostavljenosti.

D Za določitev začetne vrednosti
nazaj na prvotno enačbo. Iz tega sledi, da na točki
funkcijo g(t) mora skočiti za 1 / a 1 (τ), saj je le pod tem pogojem prvi člen v izvirni enačbi a 1 (t)[dg/dt] lahko tvori delta funkcijo δ ( t-τ).

Od ob

, potem pa trenutno

.

Če zamenjamo nedoločen integral z določenim s spremenljivo zgornjo mejo integracije, dobimo razmerja za določanje impulznega odziva:

Če poznamo impulzni odziv, je enostavno določiti prenosno funkcijo linearnega parametričnega vezja, saj sta obe osi povezani s parom Fourierovih transformacij:

kje a=t-τ - zakasnitev signala. Funkcija g 1 (t,a) dobimo iz funkcije
z zamenjavo τ = t-a.

Poleg zadnjega izraza je mogoče dobiti še eno definicijo prenosne funkcije, v kateri je impulzni odziv g 1 (t,a) se ne prikaže. Za to za odgovor uporabimo inverzno Fourierjevo transformacijo S VEN ( t):

.

V primeru, ko je vhodni signal harmoničen, S(t) = cosω 0 t... Dopisno S(t) analitični signal je
.

Spektralna ravnina tega signala

Zamenjava
namesto
v zadnjo formulo dobimo

Od tu najdemo:

Tukaj Z VEN ( t) - analitični signal, ki ustreza izhodnemu signalu S VEN ( t).

Tako je izhodni signal s harmoničnim delovanjem

je definiran na enak način kot za katera koli druga linearna vezja.

Če je prenosna funkcija K(jω 0 , t) se spreminja v času po periodičnem zakonu z osnovno frekvenco Ω, potem ga lahko predstavimo kot Fourierov niz:

kje
- časovno neodvisni koeficienti, v splošnem primeru kompleksni, ki jih lahko interpretiramo kot prenosne funkcije nekaterih dvoportnih omrežij s konstantnimi parametri.

Delo

se lahko obravnava kot prenosna funkcija kaskadne (serijske) povezave dveh štiriportnih omrežij: eno s prenosno funkcijo
, neodvisno od časa, drugi pa s prenosno funkcijo
, ki se spreminja v času, ni pa odvisen od frekvence ω 0 vhodnega signala.

Na podlagi zadnjega izraza lahko vsako parametrično vezje s periodično spreminjajočimi se parametri predstavimo kot naslednje enakovredno vezje:

Kje je jasen proces nastajanja novih frekvenc v spektru izhodnega signala?

Analitični signal na izhodu bo enak

kjer so φ 0, φ 1, φ 2 ... fazne značilnosti dvoportnih omrežij.

Prehod na pravi signal na izhodu, dobimo

Ta rezultat kaže na naslednjo lastnost vezja s spremenljivimi parametri: ko se prenosna funkcija spremeni v skladu s katerim koli kompleksnim, a periodičnim zakonom z osnovno frekvenco

Ω,  harmonični vhodni signal s frekvenco ω 0 tvori spekter na izhodu vezja, ki vsebuje frekvence ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2 Ω itd.

Če se na vhod vezja uporabi kompleksen signal, potem vse, kar je povedano zgoraj, velja za vsako od frekvenc ω in za vhodni spekter. Seveda v linearnem parametričnem vezju ni interakcije med posameznimi komponentami vhodnega spektra (načelo superpozicije) in frekvencami oblike n ω 1 ± mω 2 kjer sta ω 1 in ω 2 različni frekvenci vhodnega signala.

2.3 Splošne lastnosti prenosne funkcije.

Kriterij stabilnosti za diskretno vezje sovpada s kriterijem stabilnosti za analogno vezje: pola prenosne funkcije morajo biti v levi polravnini kompleksne spremenljivke, kar ustreza položaju polov znotraj enotnega kroga ravnina

Funkcija prenosa verige splošni pogled je v skladu z (2.3) zapisano takole:

kjer so predznaki členov upoštevani v koeficientih a i, b j, medtem ko je b 0 = 1.

Priročno je oblikovati lastnosti prenosne funkcije verige splošne oblike v obliki zahtev za fizično izvedljivost racionalne funkcije Z: vsako racionalno funkcijo Z je mogoče realizirati kot prenosno funkcijo stabilne diskretne verige do faktorja H 0 ЧH Q, če ta funkcija izpolnjuje zahteve:

1.koeficienti a i, b j so realna števila,

2.koreni enačbe V (Z) = 0, tj. pola H (Z) se nahajajo znotraj enotnega kroga ravnine Z.

Faktor H 0 ЧZ Q upošteva konstantno ojačanje signala H 0 in konstanten premik signala vzdolž časovne osi za vrednost QT.

2.4 Frekvenčne značilnosti.

Kompleks prenosne funkcije diskretnega vezja

določa frekvenčne karakteristike vezja

Frekvenčni odziv, - fazni frekvenčni odziv.

Na podlagi (2.6) lahko kompleks prenosne funkcije splošne oblike zapišemo kot

Od tod formule za frekvenčni odziv in fazni frekvenčni odziv

Frekvenčne značilnosti diskretnega vezja so periodične funkcije. Obdobje ponovitve je enako hitrosti vzorčenja w d.

Frekvenčne karakteristike se običajno normalizirajo vzdolž frekvenčne osi na frekvenco vzorčenja

kjer je W normalizirana frekvenca.

Pri izračunih z uporabo računalnika postane normalizacija frekvence nujna.

Primer. Določite frekvenčne značilnosti vezja, katerega prenosna funkcija

H (Z) = a 0 + a 1 ЧZ -1.

Kompleks prenosne funkcije: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

ob upoštevanju normalizacije frekvence: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Formule frekvenčnega in faznega odziva

H (W) =, j (W) = - arktan .

Grafi frekvenčnega odziva in faznega frekvenčnega odziva za pozitivne vrednosti a 0 in a 1 pod pogojem a 0 > a 1 so prikazani na sliki (2.5, a, b.)

Logaritemska lestvica frekvenčnega odziva - slabljenje A:

; . (2.10)

Ničele prenosne funkcije se lahko nahajajo na kateri koli točki ravnine Z. Če se ničle nahajajo znotraj enotnega kroga, so frekvenčni in fazni odzivi takšnega vezja povezani s Hilbertovo transformacijo in jih je mogoče enolično določiti s pomočjo drugi. Takšno vezje se imenuje vezje tipa minimalne faze. Če se izven kroga enote pojavi vsaj ena ničla, potem veriga pripada verigi nelinearnega faznega tipa, za katero Hilbertova transformacija ni uporabna.

2.5 Impulzni odziv. Konvolucija.

Prenosna funkcija označuje vezje v frekvenčnem področju. V časovni domeni je za vezje značilen impulzni odziv h (nT). Impulzni odziv diskretnega vezja je odziv vezja na diskretno d - funkcijo. Impulzni odziv in prenosna funkcija sta značilnosti sistema in sta povezani z Z-pretvorbenimi formulami. Zato lahko impulzni odziv obravnavamo kot določen signal, prenosna funkcija H (Z) - Z pa je slika tega signala.

Prenosna funkcija je glavna značilnost pri načrtovanju, če so norme nastavljene glede na frekvenčne značilnosti sistema. V skladu s tem je glavna značilnost impulzni odziv, če so norme postavljene pravočasno.

Impulzni odziv je mogoče določiti neposredno iz vezja kot odziv vezja na d - funkcijo ali z reševanjem diferencialne enačbe vezja, ob predpostavki, da je x (nT) = d (t).

Primer. Določite impulzni odziv vezja, katerega diagram je prikazan na sliki 2.6, b.

Razlika enačbe verige y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Rešitev diferencialne enačbe v številčni obliki, pod pogojem, da je x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; itd. ...

Zato h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Za stabilno vezje se število impulznega odziva sčasoma nagiba k nič.

Impulzni odziv je mogoče določiti iz znane prenosne funkcije z uporabo

a. inverzna Z-transformacija,

b. izrek razgradnje,

v. izrek zamika za rezultate deljenja polinoma števca s imenovalčevskim polinomom.

Zadnja od naštetih metod se nanaša na numerične metode za reševanje problema.

Primer. Določite impulzni odziv vezja na sliki (2.6, b) s prenosno funkcijo.

Tukaj H (Z) = .

Števec delimo z imenovalcem

Če uporabimo izrek o zamudi na rezultat delitve, dobimo

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Če primerjamo rezultat z izračuni z uporabo diferencialne enačbe v prejšnjem primeru, se lahko prepričamo o zanesljivosti računskih postopkov.

Predlaga se, da se impulzni odziv vezja na sliki (2.6, a) določi neodvisno, z zaporedno uporabo obeh obravnavanih metod.

V skladu z definicijo prenosne funkcije lahko Z - sliko signala na izhodu vezja definiramo kot produkt Z - slike signala na vhodu vezja in prenosne funkcije vezja :

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Zato po izreku konvolucije konvolucija vhodnega signala z impulznim odzivom daje signal na izhodu vezja

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

Določitev izhodnega signala po konvolucijski formuli se uporablja ne le v računskih postopkih, temveč tudi kot algoritem za delovanje tehničnih sistemov.

Določite signal na izhodu vezja, katerega diagram je prikazan na sliki (2.6, b), če je x (nT) = (1,0; 0,5).

Tukaj h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Izračun po (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Tako je y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

V tehničnih sistemih se namesto linearne konvolucije (2.12) pogosteje uporablja krožna ali ciklična konvolucija.

Študent skupine 220352 Chernyshev D. A. Referenca - poročilo o patentu in znanstvenih in tehničnih raziskavah Tema zaključnega kvalifikacijskega dela: televizijski sprejemnik z digitalno obdelavo signalov. Začetek iskanja 2. 02. 99. Konec iskanja 25.03.99 Zadeva iskanja Država, indeks (MKI, NKI) št ...

Nosilci in enopasovna amplitudna fazna modulacija (AFM-SSB). 3. Izbira trajanja in števila elementarnih signalov, ki se uporabljajo za oblikovanje izhodnega signala V resničnih komunikacijskih kanalih za prenos signalov preko frekvence omejen kanal uporablja se signal oblike, ki pa je časovno neskončen, zato je zglajen po kosinusnem zakonu. , kje - ...

Ta dinamična značilnost se uporablja za opis enokanalnih sistemov.

z ničelnimi začetnimi pogoji

Prehodni odziv h (t) je odziv sistema na enostopenjski vhod pri ničelnih začetnih pogojih.

Trenutek nastanka vhodnega dejanja

Slika 2.4. Sistemski prehodni odziv

Primer 2.4:

Prehodne značilnosti za različne vrednosti aktivnega upora v električni tokokrog:

Če želite analitično določiti prehodni odziv, morate rešiti diferencialno enačbo z ničelnimi začetnimi pogoji in u (t) = 1 (t).

Za resnični sistem je prehodni odziv mogoče dobiti eksperimentalno; v tem primeru je treba na vhod sistema uporabiti postopno delovanje in zapisati odziv na izhodu. Če se dejanje koraka razlikuje od enote, je treba izhodno karakteristiko deliti z velikostjo vhodnega delovanja.

Če poznamo prehodni odziv, je mogoče določiti odziv sistema na poljubno vhodno dejanje z uporabo konvolucijskega integrala

S pomočjo funkcije delta se simulira dejansko vhodno delovanje vrste udarca.

Slika 2.5. Impulzni odziv sistema

Primer 2.5:

Impulzne karakteristike za različne vrednosti aktivnega upora v električnem tokokrogu:

Prehodna funkcija in impulzna funkcija sta med seboj edinstveno povezani z relacijami

Prehodna matrika je rešitev matrične diferencialne enačbe

Če poznamo prehodno matriko, je mogoče določiti odziv sistema

na poljubnem vhodnem dejanju za vse začetne pogoje x (0) po izrazu

Če ima sistem nič začetnih pogojev x (0) = 0, potem

,

(2.17)

Za linearne sisteme s konstantnimi parametri je prehodna matrika Ф (t) je matrični eksponent

Za majhne dimenzije ali preprosto matrično strukturo A izraz (2.20) lahko uporabimo za natančno predstavitev prehodne matrike z uporabo elementarnih funkcij. V primeru velike matrice A za izračun eksponente matrike je treba uporabiti obstoječe programe.

Funkcija prenosa

Skupaj z navadnimi diferencialnimi enačbami v teoriji avtomatski nadzor uporabljajo se različne transformacije. Za linearne sisteme je te enačbe bolj priročno zapisati v simbolični obliki z uporabo tako imenovanega diferenciacijskega operaterja

ki omogoča preoblikovanje diferencialnih enačb kot algebraičnih in uvedbo nove dinamične karakteristike – prenosne funkcije.

Razmislite o tem prehodu za večkanalne sisteme oblike (2.6)

Zapišimo enačbo stanja v simbolični obliki:

px = Ax + Bu,

ki nam omogoča določitev vektorja stanja

To je matrika z naslednjimi komponentami:

(2.27)

kje - skalarne prenosne funkcije , ki predstavljajo razmerje med izhodom in vhodom v simbolni obliki z ničelnimi začetnimi pogoji

Lastne funkcije prenosa jaz-th kanal so komponente prenosne matrike ki so na glavni diagonali. Komponente, ki se nahajajo nad ali pod glavno diagonalo, se imenujejo funkcije prenosa navzkrižne povezave med kanali.

Inverzno matriko najdemo z izrazom

Primer 2.6.

Določite matriko prenosa za objekt

Uporabimo izraz za matriko prenosa (2.27) in poiščemo preliminarno inverzno matriko (2.29). Tukaj

Transponirana matrika ima obliko

a det (pI-A) = p -2p + 1,.

kje je transponirana matrika. Kot rezultat dobimo naslednjo inverzno matriko:

in matriko prenosa objekta

Prenosne funkcije se najpogosteje uporabljajo za opis enokanalnih sistemov oblike

kjer je karakteristični polinom.

Prenosne funkcije so običajno zapisane v standardni obliki:

,

(2.32)

kjer je prenosni koeficient;

Prenosno matriko (prenosno funkcijo) je mogoče določiti tudi z uporabo Laplaceovih ali Carson-Heavisideovih slik. Če podvržemo obe strani diferencialne enačbe eni od teh transformacij in poiščemo razmerje med vhodnimi in izhodnimi količinami pri ničelnih začetnih pogojih, dobimo enako matriko prenosa (2.26) ali funkcijo (2.31).

Za nadaljnje razlikovanje transformacij diferencialnih enačb bomo uporabili naslednji zapis:

Operater diferenciacije;

Operator Laplaceove transformacije.

Ko prejmete eno od dinamičnih značilnosti predmeta, lahko določite vse ostale. Prehod iz diferencialnih enačb na prenosne funkcije in obratno se izvede s pomočjo diferenciacijskega operaterja str.

Razmislite o razmerju med prehodne značilnosti in prenosno funkcijo. Izhodno spremenljivko najdemo preko impulzne funkcije v skladu z izrazom (2.10),

Podredimo ga Laplaceova transformacija,

,

in dobiš y (s) = g (s) u (s). Od tu definiramo impulzno funkcijo:

(2.33)

Tako je prenosna funkcija Laplaceova transformacija impulzne funkcije.

Primer 2.7.

Določite prenosno funkcijo predmeta, katerega diferencialna enačba ima obliko

S pomočjo diferenciacijskega operaterja d / dt = p zapišemo enačbo predmeta v simbolni obliki

na podlagi katerega določimo želeno prenosno funkcijo predmeta

Modalne značilnosti

Modalne značilnosti ustrezajo prosti komponenti gibanja sistema (2.6) ali, z drugimi besedami, odražajo lastnosti avtonomnega sistema tipa (2.12)

Sistem enačb (2.36) bo imel rešitev, ki ni nič glede na if

.

(2.37)

Enačba (2.37) se imenuje značilnost in ima n-korenine, ki se imenujejo lastne vrednosti matrice A... Če zamenjamo lastne vrednosti v (2.37), dobimo

.

kje so lastni vektorji,

Množica lastnih vrednosti in lastnih vektorjev je sistemske modalne značilnosti .

Za (2.34) lahko obstajajo le naslednje eksponentne rešitve

Za pridobitev karakteristične enačbe sistema zadostuje, da skupni imenovalec prenosne matrike (prenosne funkcije) enačimo z nič (2.29).

Frekvenčne značilnosti

Če se na vhod predmeta uporabi periodični signal določene amplitude in frekvence, bo izhod tudi periodični signal iste frekvence, vendar v splošnem primeru drugačne amplitude s faznim zamikom. Določeno je razmerje med parametri periodičnih signalov na vhodu in izhodu objekta frekvenčne značilnosti ... Najpogosteje se uporabljajo za opis enokanalnih sistemov:

in je predstavljen v obliki

.

(2.42)

Komponente posplošenega frekvenčnega odziva imajo neodvisen pomen in naslednja imena:

Frekvenčni odziv z izrazom (2.42) lahko narišemo na kompleksni ravnini. V tem primeru konec vektorja, ki ustreza kompleksnemu številu, ob prehodu iz 0 v nariše krivuljo na kompleksni ravnini, ki se imenuje amplitudno-fazna karakteristika (AFH).

Slika 2.6. Primer amplitudno-fazne značilnosti sistema

Fazno-frekvenčni odziv (PFC)- grafični prikaz odvisnosti faznega premika med vhodnim in izhodnim signalom glede na frekvenco,

Za določitev števca in imenovalca W (j) razgraditi na faktorje, ki niso višji od drugega reda

,

potem kjer se nanaša znak "+". i = 1,2, ..., l(števec prenosne funkcije), znak "-" -к i = l + 1, ..., L(imenovanec prenosne funkcije).

Vsak od izrazov je določen z izrazom

Skupaj z AFC so vse druge frekvenčne karakteristike izrisane ločeno. Frekvenčni odziv torej kaže, kako povezava prenaša signal različnih frekvenc; poleg tega je ocena prenosa razmerje med amplitudami izhodnih in vhodnih signalov. Fazni odziv prikazuje fazne premike, ki jih sistem uvede pri različnih frekvencah.

Poleg upoštevanih frekvenčnih značilnosti uporablja teorija avtomatskega krmiljenja logaritemski frekvenčni odziv ... Priročnost dela z njimi je razložena z dejstvom, da se operacije množenja in deljenja nadomestijo z operacijami seštevanja in odštevanja. Frekvenčni odziv, izrisan v logaritemski lestvici, se imenuje logaritemski frekvenčni odziv (LACHH)

,

(2.43)

Ta vrednost je izražena v decibelov (db). Pri prikazu LFCH je bolj priročno, da frekvenco na abscisni osi narišemo v logaritemski lestvici, to je izraženo v desetletjih (dec).

Slika 2.7. Primer logaritemskega amplitudnega frekvenčnega odziva

Fazno-frekvenčno karakteristiko je mogoče narisati tudi v logaritemskem merilu:

Slika 2.8. Primer logaritemskega faznega frekvenčnega odziva

Primer 2.8.

LFC, realni in asimptotični LFC sistema, katerega prenosna funkcija ima obliko:

.

(2.44)

.

riž. 2.9. Realni in asimptotični LFC sistema

.

riž. 2.10. LFH sistemi

STRUKTURNA METODA

3.1. Uvod

3.2. Proporcionalna povezava (ojačevalna, brez vztrajnosti)

3.3. Razločevalna povezava

3.4. Integrirana povezava

3.5. Aperiodična povezava

3.6. Prisilna povezava (sorazmerna - razlikovalna)

3.7. Povezava 2. naročila

3.8. Strukturna preobrazba

3.8.1. Serijska povezava povezav

3.8.2. Povezava vzporedne povezave

3.8.3. Povratne informacije

3.8.4. Pravilo prenosa

3.9. Prehod s prenosnih funkcij na enačbe stanja s pomočjo strukturnih diagramov

3.10. Obseg konstrukcijske metode

Uvod

Za izračun različnih avtomatskih krmilnih sistemov so običajno razdeljeni na ločene elemente, katerih dinamične značilnosti so diferencialne enačbe, ki niso višje od drugega reda. Poleg tega lahko elemente, ki so različni po svoji fizični naravi, opišemo z istimi diferencialnimi enačbami, zato jih pripišemo določenim razredom, imenovanim tipične povezave .

Slika sistema v obliki niza tipičnih povezav z navedbo povezav med njimi se imenuje strukturni diagram. Dobimo ga lahko tako na podlagi diferencialnih enačb (oddelek 2) kot na prenosnih funkcijah. Ta metoda in predstavlja bistvo strukturne metode.

Najprej podrobneje razmislimo o tipičnih povezavah, ki sestavljajo avtomatske krmilne sisteme.

Proporcionalna povezava

(ojačevalno, brez vztrajnosti)

Proporcionalna se imenuje povezava, ki jo opisuje enačba

in ustrezno strukturna shema je prikazano na sl. 3.1.

Impulzna funkcija je:

g (t) = k .

Za proporcionalno povezavo ni modalnih značilnosti (lastne vrednosti in lastnih vektorjev).

Zamenjava v prenosni funkciji str na j dobimo naslednje frekvenčne karakteristike:

Amplitudno frekvenčni odziv (AFC) je določen z razmerjem:

To pomeni, da se amplituda periodičnega vhodnega signala ojača za k- krat in ni faznega premika.

Razločevalna povezava

Razlikovanje se kliče povezava, ki je opisana z diferencialno enačbo:

y = k.

(3.6)

Njegova prenosna funkcija je:

Zdaj dobimo frekvenčne karakteristike povezave.

AFH : W (j) = j k, sovpada s pozitivno imaginarno polosjo na kompleksni ravnini;

HFC: R () = 0,

MCH: I () = k,

Frekvenčni odziv: ,

PFC:, torej za vse frekvence povezava uvaja stalen fazni premik;

Integrirana povezava

To je povezava, katere enačba je:

in nato na njegovo prenosno funkcijo

Določimo frekvenčne karakteristike integracijske povezave.

AFH: ; HFC:; MFC: ; izgleda kot ravna črta na ravnini (slika 3.9).

Karakteristična enačba

A (p) = p = 0

ima en sam koren, ki je modalna značilnost integracijske povezave.

Aperiodična povezava

Aperiodično se imenuje povezava, katere diferencialna enačba ima obliko

kjer je prenosni koeficient povezave.

Zamenjava v (3.18) d / dt na str, preidemo na simbolni zapis diferencialne enačbe,

(Tp + 1) y = ku,

(3.19)

in definiraj prenosno funkcijo aperiodične povezave:) = 20lg (k).

Impulzna (utežna) karakteristika ali impulzna funkcija verige - to je njegova posplošena značilnost, ki je časovna funkcija, številčno enaka reakciji vezja na en sam impulzni učinek na njegovem vhodu pri ničelnih začetnih pogojih (slika 13.14); z drugimi besedami, to je odziv vezja, brez začetne oskrbe z energijo, na Diran delta funkcijo
na njegovem vhodu.

Funkcija
se lahko določi z izračunom prehoda
ali orodje
verižna funkcija.

Izračun funkcije
z uporabo prehodne funkcije vezja. Pustite pri vhodnem dejanju
reakcija linearnega električnega tokokroga je
... Potem je zaradi linearnosti vezja pri vhodnem delovanju enak derivat
, bo verižna reakcija enaka derivatu
.

Kot je navedeno, pri
, verižna reakcija
, kaj če
, potem bo verižna reakcija
, tj. impulzna funkcija

Glede na lastnost vzorčenja
delo
... Tako je impulzna funkcija vezja

. (13.8)

Če
, potem ima impulzna funkcija obliko

. (13.9)

Posledično je dimenzija impulznega odziva enaka dimenziji prehodnega odziva, deljeni s časom.

Izračun funkcije
z uporabo funkcije prenosa verige. Glede na izraz (13.6), ko deluje na vhod funkcije
, bo odziv funkcije prehodna funkcija
vrsta:

.

Po drugi strani pa je znano, da je slika časovne izpeljanke funkcije
, pri
, je enako produktu
.

Kje
,

oz
, (13.10)

tiste. impulzni odziv
vezje je enako inverzni Laplaceovi transformaciji njegovega prenosa
funkcije.

Primer. Poiščimo impulzno funkcijo vezja, katerega ekvivalentna vezja so prikazana na sl. 13.12, a; 13.13.

Rešitev

Prehodne in prenosne funkcije tega vezja so bile pridobljene prej:

Potem po izrazu (13.8)

kje
.

Graf impulznega odziva
vezje je prikazano na sl. 13.15.

sklepi

Impulzni odziv
uveden iz istih dveh razlogov kot prehodni odziv
.

1. Enkratno impulzno delovanje
- nenaden in zato precej močan zunanji vpliv na kateri koli sistem ali vezje. Zato je pomembno poznati reakcijo sistema ali verige natanko pod takim delovanjem, t.j. impulzni odziv
.

2. S pomočjo neke modifikacije Duhamelovega integrala lahko vemo
izračunajte odziv sistema ali vezja na kakršno koli zunanjo motnjo (glejte nadaljnja poglavja 13.4, 13.5).

4. Integralna prevleka (Duhamel).

Naj bo poljubno pasivno dvoterminalno omrežje (slika 13.16, a) se poveže z virom, ki se nenehno spreminja od trenutka
stresa (slika 13.16, b).

Potrebno je najti tok (ali napetost) v kateri koli veji dvopolne napetosti, potem ko je ključ zaprt.

Problem bomo rešili v dveh fazah. Najprej najdemo želeno vrednost, ko je dvoterminalno omrežje vklopljeno za en napetostni skok, ki ga nastavi enostopenjska funkcija
.

Znano je, da je reakcija verige na enotni skok prehodni odziv (funkcija)
.

Na primer, za
- prehodna funkcija tokokroga
(glej klavzulo 2.1), za
- prehodna funkcija napetosti vezja
.

Na drugi stopnji se nenehno spreminja napetost
zamenjajte s funkcijo koraka z osnovnimi pravokotnimi skoki
(glej sliko 13.16 b). Nato lahko proces spremembe napetosti predstavimo kot vklop ob
konstantna napetost
, nato pa kot vključitev elementarnih konstantnih napetosti
medsebojno zamaknjeni s časovnimi intervali
in ima predznak plus za naraščajočo in minus za padajočo vejo dane krivulje napetosti.

Sestavni del zahtevanega toka v tem trenutku iz stalne napetosti
je enako:

.

Komponenta zahtevanega toka iz osnovnega napetostnega skoka
vključena v trenutku je enako:

.

Tukaj je argument prehodne funkcije čas
, saj je osnovni napetostni skok
začne delovati nekaj časa kasneje od zaprtja ključa ali, z drugimi besedami, od časovnega intervala med trenutkom začetek delovanja tega skoka in trenutek časa je enako
.

Elementarni napetostni val

,

kje
- faktor lestvice.

Zato je iskana komponenta toka

Elementarni napetostni sunki se vklopijo v časovnem intervalu od
do trenutka , za katerega je določen iskani tok. Zato seštejemo komponente toka iz vseh skokov, ki preidejo na mejo pri
, in ob upoštevanju trenutne komponente od začetnega napetostnega skoka
, dobimo:

Zadnja formula za določanje toka z neprekinjeno spremembo uporabljene napetosti

(13.11)

poklical integral superpozicije (superpozicija) oz Duhamelov integral (prva oblika zapisa tega integrala).

Težava se rešuje na podoben način, ko je vezje priključeno na vir toka. Po tem integralu je reakcija verige v splošni obliki
na neki točki po začetku izpostavljenosti
določa ves tisti del vpliva, ki se je zgodil do določenega trenutka .

Z zamenjavo spremenljivk in integracijo po delih lahko dobimo druge oblike zapisa Duhamelovega integrala, ki so enakovredne izrazu (13.11):

Izbira oblike zapisa za Duhamelov integral je določena s priročnostjo izračuna. Na primer, če
je izražena z eksponentno funkcijo, formula (13.13) ali (13.14) se izkaže za priročno, kar je posledica preprostosti razlikovanja eksponentne funkcije.

Ob
oz
priročno je uporabiti zapis, v katerem izraz pred integralom izgine.

Samovoljni vpliv
lahko predstavimo tudi kot vsoto zaporedno povezanih impulzov, kot je prikazano na sl. 13.17.

Z neskončno kratkim trajanjem impulza
dobimo Duhamelove integralne formule, podobne (13.13) in (13.14).

Enake formule je mogoče dobiti iz razmerij (13.13) in (13.14), ki nadomestijo izpeljavo funkcije
impulzna funkcija
.

Izhod.

Tako na podlagi Duhamelovih integralnih formul (13.11) - (13.16) in časovnih značilnosti verige
in
časovne funkcije odzivov vezja je mogoče definirati
na poljubne vplive
.

Naj bo poljuben impulzni sistem podan s strukturnim diagramom, ki je niz standardnih povezav iz najpreprostejših impulznih sistemov (povezave tipa povratne informacije, serijske in vzporedne). Potem je za pridobitev prenosne funkcije tega sistema dovolj, da iz prenosnih funkcij povezanih impulznih sistemov najdemo prenosno funkcijo standardnih povezav, saj so slednje znane (natančno ali približno) (gl. § 3.1).

Povezave čisto impulznih sistemov.

Formule za izračun -prenosnih funkcij standardnih povezav čisto impulzivnih sistemov glede na z-prenosne funkcije povezanih čisto impulzivnih elementov sovpadajo s podobnimi formulami iz teorije zveznih sistemov. Do tega naključja pride, ker struktura formule (3.9) sovpada s strukturo podobne formule iz teorije zveznih sistemov, formula (3.9) natančno opisuje delovanje čisto impulzivnega sistema.

Primer. Poiščite z-prenosno funkcijo čisto impulznega sistema, podanega s strukturnim diagramom (slika 3.2).

Ob upoštevanju (3.9) iz blok diagrama, prikazanega na sl. 3.2 dobimo:

Zadnji izraz zamenjaj s prvim:

(primerjaj z dobro znano formulo iz teorije zveznih sistemov).

Impulzne sistemske povezave.

Primer 3.2. Naj bo impulzni sistem predstavljen s strukturnim diagramom (glej sliko 3.3, brez pikčaste črte in črtkane črte). Potem

Če morate določiti diskretne vrednosti izhoda (glejte fiktivni sinhroni ključ na izhodu - pikčasto črto na sliki 3.3), potem na način, podoben tistemu, ki se uporablja za izpeljavo (3.7), dobimo povezavo :

Razmislite o drugem sistemu (slika 3.4, brez pikčaste črte), ki se od prejšnjega razlikuje le po lokaciji ključa. Za njo

Z izmišljenim ključem (glej pikčasto črto na sliki 3.4)

Iz razmerij, pridobljenih v tem primeru, je mogoče sklepati.

Zaključek 1. Vrsta analitične povezave vhoda kot pri neprekinjenem [gl. (3.10), (3.12)] in z diskretno [prim. (3.11), (3.13)] po vrednostih izhoda poljubnega impulzivnega sistema je bistveno odvisno od lokacije ključa.

Zaključek 2. Za poljuben impulzni sistem, pa tudi za najpreprostejši, ki je opisan v 3.1, ni mogoče dobiti lastnosti, podobne prenosni funkciji, ki ves čas povezuje vhod in izhod. Podobne karakteristike, ki povezuje vhod in izhod ter v diskretnih časih večkratnik, ni mogoče dobiti, kar je bilo storjeno za najpreprostejši impulzni sistem (glej § 3.1). To je razvidno iz relacij (3.10), (3.12) oziroma (3.11), (3.13).

Zaključek 3. Za nekatere posebne primere povezav impulznih sistemov, na primer za impulzni sistem, katerega strukturni diagram je prikazan na sl. 3.5 (brez pikčaste črte), je mogoče najti prenosno funkcijo, ki povezuje vhod in izhod v diskretnem času, večkratnik. Dejansko iz (3.10) pri sledi Toda potem [prim. izpeljava formule (3.7)]

Komunikacijska struktura z-prenosna funkcija odprtih in zaprtih sistemih je v tem primeru enako kot v teoriji zveznih sistemov.

Opozoriti je treba, da čeprav gre za poseben primer, je zelo velik praktičen pomen, saj so številni sistemi iz razreda sistemov za sledenje impulza reducirani nanj.

Zaključek 4. Za pridobitev priročnega izraza, ki je podoben z-prenosni funkciji v primeru poljubnega impulznega sistema (glej na primer sliko 3.3), je potrebno uvesti sinhrone lažne ključe ne le na izhodu sistema (glej pikčasto črto na sliki 3.3), vendar in na njenih drugih točkah (glej na primer črtkani odsek namesto polnega na sliki 3.3). Potem

in formule (3.10), (3.11) imajo naslednjo obliko:

in zato

Posledice uvedbe tipk, prikazanih na sl. 3.3 s črtkano-pikčasto črto in pikčasto črto se bistveno razlikujeta, saj slednja ne spremeni narave delovanja celotnega sistema, ampak le poda informacije o njem v diskretnem času.

Prvi, pretvarjanje v impulz neprekinjenega signala, ki gre na povezavo povratne informacije, spremeni prvotni sistem v popolnoma drugačen. tole nov sistem bo lahko dovolj dobro predstavil delovanje prvotnega sistema, če bo sprejet (glej § 5.4) in če

1) pogoji Kotelnikovega izreka (2.20) so izpolnjeni;

2) pasovna širina povratne povezave je manjša:

kjer je mejna frekvenca povratne povezave;

3) amplitudno frekvenčni odziv (AFC) povezave v območju mejne frekvence se precej strmo zmanjša (glej sliko 3.6).

Nato skozi povratno povezavo preide samo tisti del spektra impulznega signala, ki ustreza neprekinjenemu signalu.

Tako formula (3.16) v splošnem primeru le približno predstavlja delo prvotnega sistema tudi v diskretnih časih. Poleg tega to počne čim bolj natančno, bolj zanesljivo so pogoji (2.20), (3.17) in pogoji strmega padca amplitudno-frekvenčne karakteristike za povezavo, katere normalno delovanje krši fiktivni ključ. zadovoljen.

Torej lahko z uporabo z-transformacije natančno raziščete delovanje povsem impulzivnega sistema; z uporabo Laplaceove transformacije - za natančno raziskovanje delovanja neprekinjenega sistema.

Impulzni sistem s pomočjo ene (katere koli) od teh transformacij je mogoče raziskati le približno, pa še to pod določenimi pogoji. Razlog za to je prisotnost v impulznem sistemu tako neprekinjenih kot impulznih signalov (zato so takšni impulzni sistemi neprekinjeni impulzni in se včasih imenujejo kontinuirano-diskretni). V zvezi s tem postane Laplaceova transformacija, ki je priročna pri delu z neprekinjenimi signali, neprijetna, ko gre za diskretni signali... Priročna za diskretne signale, z-transformacija je neprijetna za neprekinjene.

Torej se v tem primeru kaže zapisano v aporijah)