Opredelitev impulznega odziva. Prehodne in impulzne značilnosti linearnih vezij. Metode za določanje časovnih značilnosti
18. Reakcija linearna vezja na funkcije identitete. Prehodne in impulzne značilnosti vezja, njihov odnos.
Funkcija koraka enote (funkcija vklopa) 1 (t) je opredeljen kot sledi:
Funkcijski graf 1 (t) je prikazano na sl. 2.1.
Funkcija 1 (t) je enak nič za vse negativne vrednosti argumenta in ena za t³ 0 . Upoštevajmo tudi funkcijo pomaknjenega koraka enote
Ta učinek se aktivira v trenutku t= t..
Napetost v obliki enostopenjske funkcije na vhodu vezja bo, ko je priključen vir konstantne napetosti U 0 =1 V at t= 0 z uporabo idealnega ključa (slika 2.3).
Samski impulzna funkcija (d - funkcija, Diracova funkcija) je definirana kot izpeljanka funkcije koraka enote. Ker v tistem času t= 0 funkcija 1 (t) doživi diskontinuiteto, potem njegova izpeljanka ne obstaja (gre v neskončnost). Tako je funkcija enotnega impulza
To je posebna funkcija ali matematična abstrakcija, vendar se pogosto uporablja pri analizi električnih in drugih fizičnih objektov. Tovrstne funkcije obravnavamo v matematični teoriji posplošenih funkcij.
Ukrep v obliki enotne impulzne funkcije lahko obravnavamo kot udarni učinek (dovolj velika amplituda in neskončno kratek čas delovanja). Uvedena je tudi enotna impulzna funkcija, premaknjena s časom t= t
Funkcija enotnega impulza je običajno grafično prikazana kot navpična puščica na t= 0 in premaknjeno na - t= t (slika 2.4).
Če vzamemo integral enotske impulzne funkcije, t.j. določimo območje, ki ga omejuje, dobimo naslednji rezultat:
riž. 2.4.
Očitno je interval integracije lahko karkoli, dokler je točka t= 0. Integral premaknjene enotne impulzne funkcije d ( t-t) je tudi enako 1 (če je točka t= t). Če vzamemo integral enotne impulzne funkcije, pomnožen z nekim koeficientom A 0 , potem bo očitno rezultat integracije enak temu koeficientu. Zato je koeficient A 0 pred d( t) določa območje, omejeno s funkcijo A 0 d( t).
Za fizično interpretacijo funkcije d je priporočljivo, da jo obravnavamo kot mejo, h kateri teži neko zaporedje običajnih funkcij, npr.
Prehodni in impulzni odziv
prehodni odziv h (t) se imenuje reakcija verige na delovanje v obliki enote koraka funkcije 1 (t). impulzni odziv g(t) se imenuje reakcija vezja na delovanje v obliki enotne impulzne funkcije d ( t). Obe značilnosti sta določeni pri ničelnih začetnih pogojih.
Prehodni in impulzni funkciji sta značilni za vezje v prehodnem načinu, saj sta reakcije na skoke, t.j. precej težka za vsak udarni sistem. Poleg tega, kot bo prikazano spodaj, se lahko odziv vezja na poljubno dejanje določi z uporabo prehodnih in impulznih odzivov. Prehodni in impulzni odzivi so med seboj povezani na enak način, kot so med seboj povezana ustrezna dejanja. Funkcija enotnega impulza je izpeljanka funkcije koraka enote (glej (2.2)), zato je impulzni odziv izpeljanka prehodnega odziva in pri h(0) = 0 . (2.3)
Ta izjava izhaja iz splošnih lastnosti linearnih sistemov, ki so opisane z linearnimi diferencialnimi enačbami, zlasti če se njegov izvod namesto delovanja uporabi v linearnem vezju z nič začetnimi pogoji, bo reakcija enaka derivatu prvotna reakcija.
Od obeh obravnavanih značilnosti je prehodni proces najpreprosteje določen, saj ga je mogoče izračunati iz odziva vezja na vklop na vhodu vira konstantne napetosti ali toka. Če je taka reakcija znana, potem za pridobitev h (t) dovolj je, da ga delimo z amplitudo delovanja vhodne konstante. Iz tega sledi, da ima prehodni (kot tudi impulzni) odziv lahko dimenzijo upora, prevodnosti ali pa je brezdimenzionalna količina, odvisno od dimenzije delovanja in odziva.
Primer . Določite prehodno h (t) in impulz g(t) značilnosti serijskega RC vezja.
Vpliv je vhodna napetost u 1 (t), reakcija pa je napetost na kapacitivnosti u 2 (t). V skladu z definicijo prehodnega odziva ga je treba opredeliti kot napetost na izhodu, ko je na vhod vezja priključen vir konstantne napetosti U 0
Ta problem je bil rešen v razdelku 1.6, kjer je bil pridobljen u 2
(t)
= u C
(t)
=
V to smer, h (t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Impulzni odziv je določen z (2.3) 
.
3. Impulzne značilnosti električnih vezij
Impulzno odzivno vezje je razmerje med odzivom vezja na impulzivno delovanje in območjem tega delovanja pri ničelnih začetnih pogojih.
Po definiciji ,
kjer je odziv vezja na impulzno delovanje;
je območje udarnega impulza.
Glede na znani impulzni odziv vezja lahko najdemo reakcijo vezja na dano dejanje: .
Kot akcijska funkcija se pogosto uporablja eno samo impulzno delovanje, imenovano tudi delta funkcija ali Diracova funkcija.
Delta funkcija je funkcija enaka nič povsod, razen, njena površina pa je enaka ena ():
.
Do koncepta delta funkcije lahko pridemo z upoštevanjem meje pravokotnega impulza z višino in trajanjem, ko (slika 3):
Vzpostavimo povezavo med prenosno funkcijo vezja in njegovim impulznim odzivom, za kar uporabimo operatorsko metodo.
Po definiciji:
Če se udar (izvirnik) upošteva za najbolj splošen primer v obliki produkta impulznega območja in delta funkcije, torej v obliki , potem ima slika tega udarca glede na korespondenčno tabelo obliko:
.
Potem je, po drugi strani, razmerje Laplace-transformirane reakcije vezja in območje akcijskega impulza operaterski impulzni odziv vezja:
.
Zato,.
Da bi našli impulzni odziv vezja, je potrebno uporabiti inverzno Laplaceovo transformacijo:
, torej pravzaprav 
.
S posplošitvijo formul dobimo razmerje med operatersko prenosno funkcijo vezja in operaterskim prehodnim in impulznim odzivom vezja:
Tako lahko, če poznate eno od značilnosti vezja, določite katero koli drugo.
Naredimo identično transformacijo enakosti z dodajanjem srednjemu delu .
Potem bomo imeli.
V kolikor 
je slika izpeljanke prehodnega odziva, potem lahko izvirno enakost prepišemo kot:
Če se premaknemo na področje izvirnikov, dobimo formulo, ki nam omogoča, da določimo impulzni odziv vezja iz njegovega znanega prehodnega odziva:
Če, potem .
Inverzno razmerje med navedenimi lastnostmi ima obliko:
.
Avtor prenosna funkcija enostavno je ugotoviti prisotnost izraza v sestavi funkcije.
Če sta stopnji števca in imenovalca enaki, bo zadevni izraz prisoten. Če je funkcija pravilen ulomek, potem ta izraz ne bo obstajal.
Primer: določite impulzne odzive za napetosti in v zaporednem vezju, prikazanem na sliki 4.
Definirajmo:
Glede na tabelo korespondenc pojdimo na izvirnik:
.
Graf te funkcije je prikazan na sliki 5.
riž. 5
Funkcija prenosa:
Glede na tabelo korespondenc imamo:
.
Graf nastale funkcije je prikazan na sliki 6.
Naj poudarimo, da bi lahko enake izraze dobili s pomočjo relacije, ki vzpostavlja povezavo med in.
impulzni odziv v fizičnem smislu odraža proces prostih nihanj, zato je mogoče trditi, da mora biti v realnih vezjih vedno izpolnjen naslednji pogoj:
4. Konvolucijski integrali (prekrivanja)
Razmislite o postopku za določanje odziva linearnega električnega tokokroga na kompleksen učinek, če je znan impulzni odziv tega vezja. Predvidevamo, da je udar kosično neprekinjena funkcija, prikazana na sliki 7.
Naj je treba v nekem trenutku poiskati vrednost reakcije. Pri reševanju tega problema predstavljamo udarec kot vsoto pravokotnih impulzov neskončno majhnega trajanja, od katerih je eden, ki ustreza časovnemu trenutku , prikazan na sliki 7. Ta impulz je označen s trajanjem in višino .
Iz prej obravnavanega materiala je znano, da se odziv vezja na kratek impulz lahko šteje za enak zmnožku impulznega odziva vezja in površine impulznega delovanja. Posledično bo neskončno majhna komponenta reakcije zaradi tega impulzivnega delovanja v trenutku enaka:
saj je območje impulza , in čas preteče od trenutka njegove uporabe do trenutka opazovanja.
Z uporabo načela superpozicije lahko celoten odziv vezja definiramo kot vsoto neskončno velikega števila neskončno majhnih komponent, ki jih povzroči zaporedje neskončno majhnih impulznih dejanj pred trenutkom časa.
V to smer:
.
Ta formula velja za katero koli vrednost, zato je spremenljivka običajno označena preprosto. Nato:
.
Nastala relacija se imenuje konvolucijski integral ali prekrivni integral. Funkcija, ki jo najdemo kot rezultat izračuna konvolucijskega integrala, se imenuje konvolucija in .
Lahko najdete drugo obliko integrala konvolucije, če spremenite spremenljivke v nastalem izrazu za:
.
Primer: poiščite napetost na kapacitivnosti serijskega vezja (slika 8), če na vhod deluje eksponentni impulz v obliki:
veriga je povezana: s spremembo energijskega stanja ... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. prehodno značilnost električni verige je: odziv na korak enote ...
Študij verige drugo naročilo. Poiščite vhod in izhod specifikacije
Predmet >> Komunikacija in komunikacija3. prehodno in impulz specifikacije verige Laplaceova slika prehodno specifikacije ima pogled. Za pridobitev prehodno specifikacije v ... A., Zolotnicki V. M., Černišev E. P. Osnove teorije električni verige.-SPb.: Lan, 2004. 2. Dyakonov V. P. MATLAB ...
Temeljne določbe teorije prehodno procesov
Povzetek >> FizikaLaplace; - začasno, uporabo prehodno in impulz specifikacije; - frekvenca, ki temelji na ... klasični metodi analize prehodno nihanja v električni verige prehodno procesi v električni verige opisano z enačbami...
Izjemna lastnost linearnih sistemov - veljavnost principa superpozicije - odpira neposredno pot do sistematičnega reševanja problemov pri prehodu različnih signalov skozi takšne sisteme. Metoda dinamičnega predstavljanja (glej 1. poglavje) omogoča predstavitev signalov kot vsote elementarnih impulzov. Če je mogoče na tak ali drugačen način najti reakcijo na izhodu, ki se pojavi pod vplivom elementarnega impulza na vhodu, bo zadnji korak pri reševanju problema seštevek takšnih reakcij.
Načrtovana pot analize temelji na časovni predstavitvi lastnosti signalov in sistemov. Enako uporabna in včasih veliko bolj priročna je analiza v frekvenčnem področju, ko so signali podani z zaporednimi ali Fourierjevimi integrali. Lastnosti sistemov opisujejo njihove frekvenčne karakteristike, ki kažejo na zakon transformacije elementarnih harmoničnih signalov.
impulzni odziv.
Nekaj linearnega stacionarnega sistema naj opiše operater T. Zaradi preprostosti bomo predpostavili, da sta vhodni in izhodni signali enodimenzionalni. Po definiciji je impulzni odziv sistema funkcija, ki je odziv sistema na vhodni signal, kar pomeni, da funkcija h(t) izpolnjuje enačbo
Ker je sistem stacionaren, bo podobna enačba obstajala tudi, če se vhodno dejanje premakne v času za vrednost izpeljanke:
Jasno je treba razumeti, da je impulzni odziv, pa tudi delta funkcija, ki ga generira, rezultat razumne idealizacije. S fizičnega vidika impulzni odziv približno odraža odziv sistema na vhodni impulzni signal poljubne oblike z enoto površine, pod pogojem, da je trajanje tega signala zanemarljivo v primerjavi z značilno časovno skalo sistema, na primer obdobje njenih naravnih nihanj.
Duhamel integral.
Če poznamo impulzni odziv linearnega stacionarnega sistema, lahko formalno rešimo kateri koli problem prehoda determinističnega signala skozi tak sistem. Dejansko v pogl. 1 se je pokazalo, da vhodni signal vedno dopušča predstavitev oblike
Ustrezna izhodna reakcija
Zdaj upoštevamo, da je integral mejna vrednost vsote, zato lahko linearni operater T po principu superpozicije postavimo pod predznak integrala. Nadalje, operater T "deluje" samo na količine, ki so odvisne od trenutnega časa t, ne pa tudi na integracijsko spremenljivko x. Zato iz izraza (8.7) sledi, da
ali končno
Ta formula, ki je temeljnega pomena v teoriji linearnih sistemov, se imenuje Duhamelov integral. Razmerje (8.8) kaže, da je izhodni signal linearnega stacionarnega sistema konvolucija dveh funkcij – vhodnega signala in impulznega odziva sistema. Očitno lahko formulo (8.8) zapišemo tudi v obliki
Torej, če je impulzni odziv h(t) znan, so nadaljnje stopnje rešitve reducirane na popolnoma formalizirane operacije.
Primer 8.4. Neki linearni stacionarni sistem, katerega notranja struktura je nepomembna, ima impulzni odziv, ki je pravokotni video impulz s trajanjem T. Impulz se pojavi pri t = 0 in ima amplitudo
Določite izhodni odziv tega sistema, ko se na vhod uporabi korakni signal
Pri uporabi Duhamelove integralne formule (8.8) upoštevajte, da bo izhodni signal videti drugačen glede na to, ali trenutna vrednost presega trajanje impulznega odziva ali ne. Ko imamo
Če potem za , funkcija izgine, torej
Najdena izhodna reakcija je prikazana kot graf po kosih.
Posplošitev na večdimenzionalni primer.
Do sedaj je veljalo, da sta tako vhodni kot izhodni signali enodimenzionalni. V splošnem primeru sistema z vhodi in izhodi je treba uvesti delne impulzne odzive, od katerih vsak prikaže signal na izhodu, ko se na vhod uporabi delta funkcija.
Nabor funkcij tvori matriko impulznega odziva
Integralna formula Duhamela v večdimenzionalnem primeru ima obliko
kjer je - -dimenzionalni vektor; - -dimenzionalni vektor.
Pogoj fizične uresničljivosti.
Ne glede na specifično obliko impulznega odziva fizično izvedljivega sistema je treba vedno izpolniti najpomembnejše načelo: izhodni signal, ki ustreza impulznemu vhodu, se ne more pojaviti do trenutka, ko se impulz pojavi na vhodu.
To pomeni zelo preprosto omejitev oblike dopustnih impulznih odzivov:
Ta pogoj je na primer izpolnjen z impulznim odzivom sistema, obravnavanega v primeru 8.4.
Preprosto je videti, da je za fizično uresničljiv sistem zgornjo mejo v integralni formuli Duhamel mogoče nadomestiti s trenutno vrednostjo časa:
Formula (8.13) ima jasen fizični pomen: linearni stacionarni sistem, ki obdeluje vhodni signal, izvaja tehtano seštevanje vseh svojih trenutnih vrednosti, ki so obstajale "v preteklosti" pri - Vlogo utežne funkcije igra impulzni odziv sistema. Bistveno pomembno je, da fizično izvedljiv sistem v nobenem primeru ne more delovati s "prihodnjimi" vrednostmi vhodnega signala.
Fizično izvedljiv sistem mora biti tudi stabilen. To pomeni, da mora njegov impulzni odziv izpolnjevati pogoj absolutne integrabilnosti
Prehodna značilnost.
Naj signal, ki ga predstavlja funkcija Heaviside, deluje na vhodu linearnega stacionarnega sistema.
izhodna reakcija
imenujemo prehodni odziv sistema. Ker je sistem stacionaren, je prehodni odziv nespremenljiv glede na časovni premik:
Prej navedena razmišljanja o fizični izvedljivosti sistema lahko v celoti prenesemo na primer, ko sistem ne vzbudi delta funkcija, temveč en sam skok. Zato je prehodni odziv fizično uresničljivega sistema drugačen od nič samo pri t. Med impulzom in prehodnimi odzivi obstaja tesna povezava. Dejansko, ker na podlagi (8.5)
Diferenciacijski operater in linearni stacionarni operater T lahko zato zamenjata kraj
Z uporabo formule za dinamično reprezentacijo (1.4) in z ravnanjem na enak način kot pri izpeljavi relacije (8.8) dobimo drugo obliko Duhamelovega integrala:
Frekvenčni prenosni koeficient.
Pri matematičnem preučevanju sistemov so še posebej zanimivi takšni vhodni signali, ki jih sistem preoblikuje v nespremenjeni obliki. Če obstaja enakopravnost
potem je lastna funkcija sistemskega operaterja T in število X, na splošno kompleksno, je njegova lastna vrednost.
Pokažimo, da je kompleksni signal za katero koli vrednost frekvence lastna funkcija linearnega stacionarnega operaterja. Za to uporabimo Duhamelov integral oblike (8.9) in izračunamo
To kaže, da je lastna vrednost sistemskega operaterja kompleksno število
(8.21)
imenujemo frekvenčni dobiček sistema.
Formula (8.21) ugotavlja bistveno pomembno dejstvo - koeficient frekvenčnega prenosa in impulzni odziv linearnega stacionarnega sistema sta med seboj povezana s Fourierjevo transformacijo. Zato lahko vedno, če poznate funkcijo, določite impulzni odziv
Prišli smo do najpomembnejšega stališča teorije linearnih stacionarnih sistemov – vsak tak sistem lahko obravnavamo bodisi v časovni domeni z uporabo njegovih impulznih ali prehodnih odzivov bodisi v frekvenčnem področju z nastavitvijo frekvenčnega ojačenja. Oba pristopa sta enakovredna in izbiro enega od njih narekuje priročnost pridobivanja začetnih podatkov o sistemu in enostavnost izračunov.
Na koncu ugotavljamo, da lahko frekvenčne lastnosti linearnega sistema z vhodi in izhodi opišemo z matriko koeficientov frekvenčnega prenosa
Med matrikami obstaja povezovalni zakon, podoben tistemu, ki ga podajajo formule (8.21), (8.22).
Amplitudno-frekvenčne in fazno-frekvenčne značilnosti.
Funkcija ima preprosto interpretacijo: če na vhod sistema prispe harmonični signal z znano frekvenco in kompleksno amplitudo, potem kompleksna amplituda izhodnega signala
V skladu s formulo (8.26) je modul frekvenčnega dobička (AFC) soden, fazni kot (PFC) pa je liha funkcija frekvence.
Veliko težje je odgovoriti na vprašanje, kakšen naj bo koeficient frekvenčnega prenosa, da bi bila izpolnjena pogoja fizične izvedljivosti (8.12) in (8.14). Naj brez dokaza predstavimo končni rezultat, znan kot Paley-Wienerjev kriterij: koeficient frekvenčnega prenosa fizično uresničljivega sistema mora biti takšen, da integral obstaja
Razmislite o posebnem primeru, ki ponazarja lastnosti frekvenčnega dobička linearnega sistema.
Primer 8.5. Nekateri linearni stacionarni sistem ima lastnosti idealnega nizkoprepustnega filtra, to pomeni, da je njegov koeficient prenosa frekvence podan s sistemom enakosti:
Da, na podlagi izraza (8.20), impulzni odziv takega filtra
Simetrija grafa te funkcije glede na točko t = 0 kaže na neuresničljivost idealnega nizkoprepustnega filtra. Vendar ta sklep neposredno izhaja iz Paley-Wienerjevega kriterija. Dejansko se integral (8.27) razhaja za vsak frekvenčni odziv, ki izgine na nekem končnem segmentu frekvenčne osi.
Kljub neuresničljivosti idealnega LPF se ta model uspešno uporablja za približen opis lastnosti frekvenčni filtri, ob predpostavki, da funkcija vsebuje fazni faktor, ki je linearno odvisen od frekvence:
Preprosto je preveriti, da je tukaj impulzni odziv
Parameter, ki je po absolutni vrednosti enak naklonu PFC, določa časovni zamik maksimuma funkcije h(t). To je jasno ta model bolj natančno odraža lastnosti implementiranega sistema, večja je vrednost
ruska akademija
Oddelek za fiziko
Predavanje
Prehodne in impulzne značilnosti električnih tokokrogov
Eagle 2009
Vzgojni in vzgojni cilji:
Občinstvu razložite bistvo prehodnih in impulznih značilnosti električnih tokokrogov, pokažite razmerje med značilnostmi, bodite pozorni na uporabo obravnavanih značilnosti za analizo in sintezo EC, si prizadevajte za kakovostno pripravo na praktično lekcijo. .
Razporeditev časa predavanj
Uvodni del…………………………………………………… 5 min.
Študijska vprašanja:
1. Prehodne značilnosti električnih tokokrogov………………15 min.
2. Duhamelovi integrali…………………………………………………………… 25 min.
3. Impulzne značilnosti električnih vezij. Razmerje med značilnostmi………………………………………………………………...25 min.
4. Konvolucijski integrali…………………………………………………….15 min.
Zaključek………………………………………………………………………5 min.
1. Prehodne značilnosti električnih tokokrogov
Prehodni odziv vezja (kot tudi impulzni odziv) se nanaša na časovne značilnosti vezja, torej izraža določen prehodni proces pod vnaprej določenimi vplivi in začetnimi pogoji.
Za primerjavo električnih tokokrogov glede na njihov odziv na te vplive je treba vezja postaviti v enake pogoje. Najenostavnejši in najbolj priročni so ničelni začetni pogoji.
Prehodni odziv vezja je razmerje med verižnim odzivom na korak in vrednostjo tega delovanja pri ničelnih začetnih pogojih.
Po definiciji ,
kjer je odziv vezja na korak;
- velikost koraka [B] ali [A].
Ker in je deljeno z velikostjo udarca (to je realno število), potem je pravzaprav reakcija verige na udarec v enem koraku.
Če je prehodni odziv vezja znan (ali ga je mogoče izračunati), potem lahko iz formule najdemo odziv tega vezja na stopniško delovanje pri nič NL
.
Vzpostavimo povezavo med operatersko prenosno funkcijo vezja, ki je pogosto znana (ali jo je mogoče najti), in prehodnim odzivom tega vezja. Za to uporabljamo uveden koncept funkcije prenosa operaterja:
.
Razmerje med verižno reakcijo, preoblikovano po Laplaceu, in velikostjo delovanja je prehodni odziv operaterja verige:
Zato .
Od tu naprej se operaterski prehodni odziv vezja najde iz funkcije prenosa operaterja.
Za določitev prehodnega odziva vezja je potrebno uporabiti inverzno Laplaceovo transformacijo:
z uporabo korespondenčne tabele ali (predhodno) ekspanzijskega izreka.
Primer: določite prehodni odziv za odziv napetosti na kapacitivnosti v zaporednem vezju (slika 1):
Tukaj je odgovor na dejanje koraka z vrednostjo:
,
od koder prehodni odziv:
.
Prehodne značilnosti najpogostejših vezij najdete in podate v referenčni literaturi.
2. Duhamelovi integrali
Prehodni odziv se pogosto uporablja za iskanje odziva vezja na kompleksno dejanje. Določimo ta razmerja.
Dovolimo, da je dejanje neprekinjena funkcija in se uporablja za vezje v trenutku , začetni pogoji pa so nič.
Dano dejanje lahko predstavimo kot vsoto koraka, ki se trenutno uporablja za vezje, in neskončno število neskončno majhnih korakov, ki si nenehno sledijo. Eno od teh osnovnih dejanj, ki ustreza trenutku uporabe, je prikazano na sliki 2.
Najdimo vrednost verižne reakcije v nekem trenutku.
Koraktno dejanje s časovnim padcem povzroči reakcijo, ki je enaka produktu padca in vrednosti prehodnega odziva vezja pri , t.j. enaka:
Neskončno majhen korak z razliko povzroči neskončno majhno reakcijo 
, kjer je čas, ki je pretekel od trenutka, ko je bil udarec uporabljen do trenutka opazovanja. Ker je funkcija neprekinjena, potem:
V skladu z načelom superpozicije bo reakcija enaka vsoti reakcij zaradi celote vplivov pred trenutkom opazovanja, t.j.
.
Običajno jo v zadnji formuli preprosto zamenjajo z, saj je najdena formula pravilna za vse časovne vrednosti:
.
Ali pa po preprostih transformacijah:
.
Vsako od teh razmerij rešuje problem izračuna odziva linearnega električnega tokokroga na dano neprekinjeno delovanje glede na znani prehodni odziv vezja. Te relacije imenujemo Duhamelovi integrali.
3. Impulzne značilnosti električnih vezij
Impulzno odzivno vezje je razmerje med odzivom vezja na impulzivno delovanje in območjem tega delovanja pri ničelnih začetnih pogojih.
Po definiciji ,
kjer je odziv vezja na impulzno delovanje;
je območje udarnega impulza.
Glede na znani impulzni odziv vezja lahko najdemo reakcijo vezja na dano dejanje: 
.
Kot akcijska funkcija se pogosto uporablja eno samo impulzno delovanje, imenovano tudi delta funkcija ali Diracova funkcija.
Delta funkcija je funkcija enaka nič povsod, razen, njena površina pa je enaka ena ():
.
Do koncepta delta funkcije lahko pridemo z upoštevanjem meje pravokotnega impulza z višino in trajanjem, ko (slika 3):
Vzpostavimo povezavo med prenosno funkcijo vezja in njegovim impulznim odzivom, za kar uporabimo operatorsko metodo.
Po definiciji:
.
Če se udar (izvirnik) upošteva za najbolj splošen primer v obliki produkta impulznega območja in delta funkcije, torej v obliki , potem ima slika tega udarca glede na korespondenčno tabelo obliko:
.
Potem je, po drugi strani, razmerje Laplace-transformirane reakcije vezja in območje akcijskega impulza operaterski impulzni odziv vezja:
.
Zato,.
Da bi našli impulzni odziv vezja, je potrebno uporabiti inverzno Laplaceovo transformacijo:
To je pravzaprav.
S posplošitvijo formul dobimo razmerje med operatersko prenosno funkcijo vezja in operaterskim prehodnim in impulznim odzivom vezja:
Tako lahko, če poznate eno od značilnosti vezja, določite katero koli drugo.
Naredimo identično transformacijo enakosti z dodajanjem srednjemu delu .
Potem bomo imeli.
Ker je to slika izpeljanke prehodnega odziva, lahko izvirno enakost prepišemo kot:
Če se premaknemo na področje izvirnikov, dobimo formulo, ki nam omogoča, da določimo impulzni odziv vezja iz njegovega znanega prehodnega odziva:
Če, potem .
Inverzno razmerje med navedenimi lastnostmi ima obliko:
.
Glede na prenosno funkcijo je enostavno ugotoviti prisotnost izraza v sestavi funkcije.
Če sta stopnji števca in imenovalca enaki, bo zadevni izraz prisoten. Če je funkcija pravilen ulomek, potem ta izraz ne bo obstajal.
Primer: določite impulzne odzive za napetosti in v zaporednem vezju, prikazanem na sliki 4.
Definirajmo:
Glede na tabelo korespondenc pojdimo na izvirnik:
.
Graf te funkcije je prikazan na sliki 5.
riž. 5
Funkcija prenosa:
Glede na tabelo korespondenc imamo:
.
Graf nastale funkcije je prikazan na sliki 6.
Naj poudarimo, da bi lahko enake izraze dobili z uporabo odnosov, ki vzpostavljajo povezavo med in .
Impulzni odziv v fizičnem smislu odraža proces prostih nihanj in iz tega razloga lahko trdimo, da mora biti v realnih tokokrogih vedno izpolnjen pogoj:
4. Konvolucijski integrali (prekrivanja)
Razmislite o postopku za določanje odziva linearnega električnega tokokroga na kompleksen učinek, če je znan impulzni odziv tega vezja. Predvidevamo, da je udar kosično neprekinjena funkcija, prikazana na sliki 7.
Naj je treba v nekem trenutku poiskati vrednost reakcije. Pri reševanju tega problema predstavljamo udarec kot vsoto pravokotnih impulzov neskončno majhnega trajanja, od katerih je eden, ki ustreza časovnemu trenutku , prikazan na sliki 7. Ta impulz je označen s trajanjem in višino .
Iz prej obravnavanega materiala je znano, da se odziv vezja na kratek impulz lahko šteje za enak zmnožku impulznega odziva vezja in površine impulznega delovanja. Posledično bo neskončno majhna komponenta reakcije zaradi tega impulzivnega delovanja v trenutku enaka:
saj je območje impulza , in čas preteče od trenutka njegove uporabe do trenutka opazovanja.
Z uporabo načela superpozicije lahko celoten odziv vezja definiramo kot vsoto neskončno velikega števila neskončno majhnih komponent, ki jih povzroči zaporedje neskončno majhnih impulznih dejanj pred trenutkom časa.
V to smer:
.
Ta formula velja za katero koli vrednost, zato je spremenljivka običajno označena preprosto. Nato:
.
Nastala relacija se imenuje konvolucijski integral ali prekrivni integral. Funkcija , ki jo najdemo kot rezultat izračuna konvolucijskega integrala, se imenuje konvolucija in .
Lahko najdete drugo obliko integrala konvolucije, če spremenite spremenljivke v nastalem izrazu za:
.
Primer: poiščite napetost na kapacitivnosti serijskega vezja (slika 8), če na vhod deluje eksponentni impulz v obliki:
Uporabimo konvolucijski integral:
.
Izraz za 
je bil prej prejet.
zato 
, in 
.
Enak rezultat je mogoče dobiti z uporabo Duhamelovega integrala.
Literatura:
Beletsky A.F. Teorija linearnih električnih tokokrogov. - M .: Radio in komunikacija, 1986. (Učbenik)
Bakalov V. P. in drugi Teorija električnih vezij. - M .: Radio in komunikacija, 1998. (Učbenik);
Kachanov N. S. et al. Linearne radiotehnične naprave. M.: Voen. izd., 1974. (Učbenik);
Popov V.P. Osnove teorije vezij - M .: Višja šola, 2000. (Učbenik)
Prehodna značilnost se uporablja pri izračunu odziva linearnega električnega tokokroga, ko se na njegov vhod uporabi impulz 
poljubna oblika. V tem primeru je vhodni impulz 
približati z več koraki in določiti odziv vezja na vsak korak, nato pa najti integrirano vezje 
, kot vsota reakcij na vsako komponento vhodnega impulza 
.
Prehodni odziv ali prehodna funkcija 
verige -
to je njegova posplošena značilnost, ki je časovna funkcija, številčno enaka odzivu vezja na en sam skok napetosti ali toka na njegovem vhodu, pod ničelnimi začetnimi pogoji (slika 13.11);
|
|
z drugimi besedami, to je odziv vezja, brez začetne rezerve energije, na funkcijo 
pri vhodu.
Izraz odziva na korak
odvisno samo od notranje strukture in vrednosti parametrov elementov vezja.
Iz definicije prehodnega odziva vezja sledi, da pod vhodnim delovanjem 
verižna reakcija 
(slika 13.11).
Primer. Naj bo vezje priključeno na vir konstantne napetosti 
. Potem bo vhodno dejanje imelo obliko, odziv vezja bo , in napetostni prehodni odziv vezja bo 
. Pri 
.
množenje verižne reakcije 
na funkcijo 
oz 
pomeni, da je prehodna funkcija
pri 
in 
pri 
, ki odraža načelo vzročnosti
v linearnih električnih vezjih, t.j. odziv (na izhodu vezja) se ne more pojaviti pred trenutkom, ko se signal uporabi na vhodu vezja.
Vrste prehodnih značilnosti.
Obstajajo naslednje vrste prehodnih značilnosti:
|
|
- prehodni odziv vezja glede na napetost; |
|
|
- prehodni odziv vezja glede na tok; |
|
|
- kontaktni upor vezja, Ohm; |
|
|
- prehodna prevodnost vezja, Sm, |
(13.5)
kje 
so ravni vhodnega koraka signala.
prehodna funkcija 
za katero koli pasivno dvoterminalno omrežje lahko najdemo po klasični ali operaterski metodi.
Izračun prehodnega odziva po klasični metodi. Primer.
Primer. Izračunajmo napetostni prehodni odziv za vezje (slika 13.12, a) s parametri .
|
|
Rešitev
Uporabimo rezultat, pridobljen v razdelku 11.4. Po izrazu (11.20) napetost na induktivnosti
kje 
.
Skalirajmo po izrazu (13.5) in zgradimo funkcijo 
(slika 13.12, b):
.
Izračun prehodnega odziva po operaterski metodi
Kompleksno ekvivalentno vezje prvotnega vezja bo imelo obliko na sl. 13.13.
|
|
Funkcija prenosa napetosti tega vezja je:
kje 
.
Pri 
, tj. pri 
, slika 
, in sliko napetosti na tuljavi 
.
V tem primeru izvirnik 
Slike 
je napetostna prehodna funkcija vezja, t.j.
ali v splošni pogled:
,
(13.6)
tiste. prehodna funkcija
veriga je enaka inverzni Laplaceovi transformaciji njene prenosne funkcije
pomnoženo s sliko enega samega koraka
.
V obravnavanem primeru (glej sliko 13.12) je prenosna funkcija napetosti:
kje 
, in funkcijo 
izgleda kot .
Opomba
.
Če je napetost priložena na vhod vezja 
, nato v formuli prehodne funkcije 
čas 
je treba nadomestiti z izrazom 
. V obravnavanem primeru ima funkcija zakasnjenega prenosa napetosti obliko:
sklepi
Prehodni odziv je bil uveden predvsem iz dveh razlogov.
1. Ukrep v enem koraku 
- spazmodičen in zato precej močan zunanji vpliv na kateri koli sistem ali vezje. Zato je pomembno poznati reakcijo sistema oziroma verige ob takem udarcu, t.j. prehodni odziv 
.
2. Z znanim prehodnim odzivom 
z uporabo Duhamelovega integrala (glej nadaljnje pododdelke 13.4, 13.5) je mogoče določiti odziv sistema ali vezja na kakršno koli obliko zunanjih vplivov.
Popoln vodnik po Googlovih obrazcih Kako ustvariti in uporabljati Google obrazce
Virus Petya: bojišče - Rosneft
Yandex Navigator ne deluje