Izračun in konstrukcija časovnih značilnosti analognega filtra. Impulzni odziv in prenosna funkcija Impulzni prenosni odziv

Po definiciji Funkcija prenosa(PF) je operator, ki je enak razmerju slik izhodnih in vhodnih koordinat pri ničelnih začetnih pogojih:

W (p) = R (p) / Q (p)

Namen storitve... Krmilni objekt (OC) je opisan z linearno diferencialna enačba n vrstni red. Za oscilatorno povezavo n-toga reda se določijo:

Funkcija prenosa;
frekvenčne značilnosti (amplituda (AFC), faza (PFC), logaritemska (LFC));
prehodne in impulzne prehodne (težne) funkcije;
grafi prehodnih in frekvenčnih značilnosti.

Če želite poiskati prenosno funkcijo na spletu, morate izbrati vrsto povezave in vnesti stopnjo povezave.

Primer. Obrat za upravljanje (OC) je opisan z linearno diferencialno enačbo tretjega reda:
(2)
1) Funkcija prenosa OA v splošnem primeru lahko predstavimo v obliki relacije
W (iω) = A (ω) e iφ (ω) = U (ω) + iV (ω),
kjer sta R (p) in Q (p) Laplaceovi podobi izhodnih in vhodnih spremenljivk OU, ki ustrezata levi in desni strani enačbe 1. Zato bo imela prenosna funkcija obliko:
(3)
oz
. (4)

2) Določite frekvenčne karakteristike op-amp. Znano je, da lahko frekvenčno prenosno funkcijo W (ω) predstavimo kot:
, (5)
kjer je A (ω) - amplitudno frekvenčni odziv (AFC);
φ (ω) - fazni frekvenčni odziv (PFC);
U (ω) - realni frekvenčni odziv (HFC);
V (ω) - imaginarni frekvenčni odziv;
Namesto p v izraz (3) nadomestimo iω. Dobimo:
(6)
Na podlagi izrazov (5) in (6) ločimo amplitudno in fazno frekvenčno karakteristiko ter nadomestimo številčne vrednosti koeficientov. Na podlagi dejstva, da:
A (ω) = | W (iω) |
φ (ω) = arg (W (iω))
(glej kompleksne številke). Končno dobimo: (7)

3) Določite logaritemski amplitudni frekvenčni odziv (LAFC).
Znano je, da se LFC določi iz razmerja:
L (ω) = 20lg (A (ω)) (8)
Ta lastnost ima dimenzijo dB (decibelov) in kaže spremembo razmerja moči izhodne in vhodne vrednosti. Zaradi udobja je LAFC narisan v logaritemski lestvici.
Fazni frekvenčni odziv, izrisan na logaritemski lestvici, se bo imenoval logaritemski fazni frekvenčni odziv (LPFC).
Primeri izrisa LAFC in LPFC za naše začetne podatke so prikazani na sliki 1.
Definirajmo impulzno prehodno (utežno) funkcijo. Utežna funkcija w (t) je odziv sistema na enoto impulzne funkcije, uporabljene na njegovem vhodu. Utežna funkcija je povezana s prenosno funkcijo z Laplaceovo transformacijo.
. (9)
Zato lahko utežno funkcijo najdemo z uporabo inverzne Laplaceove transformacije za prenosno funkcijo.
w (t) = L -1 (10)

Impulzna prehodna funkcija (funkcija teže, impulzni odziv) je izhodni signal dinamičnega sistema kot reakcija na vhodni signal v obliki Diracove delta funkcije. V digitalnih sistemih je vhodni signal preprost impulz najmanjše širine (enaka obdobju vzorčenja za diskretne sisteme) in največje amplitude. Kot se uporablja za filtriranje signalov, se imenuje tudi jedro filtra... Široko se uporablja v teoriji krmiljenja, obdelavi signalov in slik, komunikacijski teoriji in drugih področjih tehnike.

Opredelitev [ | ]

Impulzni odziv Sistem imenujemo njegov odziv na enotni impulz pri ničelnih začetnih pogojih.

Lastnosti [ | ]

Aplikacija [ | ]

Sistemska analiza [ | ]

Obnovitev frekvenčnega odziva[ | ]

Pomembna lastnost impulznega odziva je dejstvo, da je na njegovi podlagi mogoče dobiti kompleksen frekvenčni odziv, opredeljen kot razmerje kompleksnega spektra signala na izhodu sistema in kompleksnega spektra vhodnega signala.

Kompleksni frekvenčni odziv (CFC) je analitični izraz kompleksne funkcije. CFC je narisana na kompleksni ravnini in predstavlja krivuljo trajektorije konca vektorja v delovnem frekvenčnem območju, ki se imenuje hodograf KCHH. Za izris CFC je običajno potrebnih 5-8 točk v območju delovne frekvence: od najmanjše uresničljive frekvence do mejne frekvence (frekvenca konca poskusa). CCH, pa tudi časovna značilnost bo dala popolne informacije o lastnostih linearnih dinamičnih sistemov.

Frekvenčni odziv filtra je definiran kot Fourierjeva transformacija (diskretna Fourierjeva transformacija v primeru digitalni signal) na impulzni odziv.

H (j ω) = ∫ - ∞ + ∞ h (τ) e - j ω τ d τ (\ displaystyle H (j \ omega) = \ int \ omejitve _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) h ( \ tau) e ^ (- j \ omega \ tau) \, d \ tau)

Za določitev impulznega odziva g(t, τ), kjer je τ čas izpostavljenosti, t- čas pojavljanja in delovanja odziva, je treba uporabiti diferencialno enačbo vezja neposredno glede na dane parametre vezja.

Za analizo metode iskanja g(t, τ), razmislite o preprosto verigi, ki jo opisuje enačba prvega reda:

kje f(t) - vpliv, y(t) je odgovor.

Po definiciji je impulzni odziv odziv vezja na en sam delta impulz δ ( t-τ), ki se trenutno dovaja na vhod t= τ. Iz te definicije sledi, da če na desni strani enačbe postavimo f(t)=δ( t-τ), nato na levi strani lahko sprejmete y(t)=g(t,).

Tako pridemo do enačbe

Ker desni del te enačbe je povsod enaka nič, razen točke t= τ, funkcija g(t) lahko iščemo v obliki rešitve homogene diferencialne enačbe:

pod začetnimi pogoji, ki izhajajo iz prejšnje enačbe, kot tudi iz pogoja, da do trenutka uporabe impulza δ ( t-τ) v tokokrogu ni tokov in napetosti.

Zadnja enačba ločuje spremenljivke:

kje
- vrednosti impulznega odziva v času izpostavljenosti.

D Za določitev začetne vrednosti
nazaj na prvotno enačbo. Iz tega sledi, da na točki
funkcijo g(t) mora skočiti za 1 / a 1 (τ), saj je le pod tem pogojem prvi člen v izvirni enačbi a 1 (t)[dg/dt] lahko tvori delta funkcijo δ ( t-τ).

Od ob

, potem pa trenutno

Če zamenjamo nedoločen integral z določenim s spremenljivo zgornjo mejo integracije, dobimo relacije za določanje impulznega odziva:

Če poznamo impulzni odziv, je enostavno določiti prenosno funkcijo linearnega parametričnega vezja, saj sta obe osi povezani s parom Fourierovih transformacij:

kje a=t-τ - zakasnitev signala. Funkcija g 1 (t,a) dobimo iz funkcije
z zamenjavo τ = t-a.

Poleg zadnjega izraza je mogoče dobiti še eno definicijo prenosne funkcije, v kateri je impulzni odziv g 1 (t,a) se ne prikaže. Za to za odgovor uporabimo inverzno Fourierjevo transformacijo S VEN ( t):

V primeru, ko je vhodni signal harmoničen, S(t) = cosω 0 t... Dopisno S(t) analitični signal je
.

Spektralna ravnina tega signala

Zamenjava
namesto
v zadnjo formulo dobimo

Od tu najdemo:

tukaj Z VEN ( t) - analitični signal, ki ustreza izhodnemu signalu S VEN ( t).

Tako je izhodni signal s harmoničnim delovanjem

je definiran na enak način kot za katera koli druga linearna vezja.

Če je prenosna funkcija K(jω 0 , t) se spreminja v času po periodičnem zakonu z osnovno frekvenco Ω, potem ga lahko predstavimo kot Fourierov niz:

kje
- časovno neodvisni koeficienti, v splošnem primeru kompleksni, ki jih lahko interpretiramo kot prenosne funkcije nekaterih dvoportnih omrežij s konstantnimi parametri.

Delo

se lahko obravnava kot prenosna funkcija kaskadne (serijske) povezave dveh štirivratnih omrežij: eno s prenosno funkcijo
, neodvisno od časa, drugi pa s prenosno funkcijo
, ki se spreminja v času, ni pa odvisen od frekvence ω 0 vhodnega signala.

Na podlagi zadnjega izraza lahko vsako parametrično vezje s periodično spreminjajočimi se parametri predstavimo kot naslednje enakovredno vezje:

Kje je jasen proces nastajanja novih frekvenc v spektru izhodnega signala?

Analitični signal na izhodu bo enak

kjer so φ 0, φ 1, φ 2 ... fazne značilnosti dvoportnih omrežij.

Prehod na pravi signal na izhodu, dobimo

Ta rezultat kaže na naslednjo lastnost vezja s spremenljivimi parametri: ko se prenosna funkcija spremeni v skladu s katerim koli kompleksnim, a periodičnim zakonom z osnovno frekvenco

Ω,  harmonični vhodni signal s frekvenco ω 0 tvori spekter na izhodu vezja, ki vsebuje frekvence ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2 Ω itd.

Če se na vhod vezja uporabi kompleksen signal, potem vse, kar je povedano zgoraj, velja za vsako od frekvenc ω in za vhodni spekter. Seveda v linearnem parametričnem vezju ni interakcije med posameznimi komponentami vhodnega spektra (načelo superpozicije) in frekvencami oblike n ω 1 ± mω 2 kjer sta ω 1 in ω 2 različni frekvenci vhodnega signala.

2.3 Splošne lastnosti prenosne funkcije.

Kriterij stabilnosti za diskretno vezje sovpada s kriterijem stabilnosti za analogno vezje: pola prenosne funkcije se morajo nahajati v levi polravnini kompleksne spremenljivke, kar ustreza položaju polov znotraj enotnega kroga ravnina

Funkcija prenosa verige splošni pogled je po (2.3) zapisano takole:

kjer so predznaki členov upoštevani v koeficientih a i, b j, medtem ko je b 0 = 1.

Lastnosti prenosne funkcije verige splošne oblike je priročno formulirati v obliki zahtev za fizično uresničljivost racionalne funkcije Z: vsako racionalno funkcijo Z je mogoče realizirati v obliki prenosne funkcije stabilna diskretna veriga do faktorja H 0 ЧH Q, če ta funkcija izpolnjuje zahteve:

1.koeficienti a i, b j so realna števila,

2.korenine enačbe V (Z) = 0, t.j. pola H (Z) se nahajajo znotraj enotnega kroga ravnine Z.

Faktor H 0 ЧZ Q upošteva konstantno ojačanje signala H 0 in konstanten premik signala vzdolž časovne osi za vrednost QT.

2.4 Frekvenčne značilnosti.

Kompleks prenosne funkcije diskretnega vezja

določa frekvenčne karakteristike vezja

Frekvenčni odziv, - fazni frekvenčni odziv.

Na podlagi (2.6) lahko kompleks prenosne funkcije splošne oblike zapišemo kot

Od tod formule za frekvenčni odziv in fazni frekvenčni odziv

Frekvenčne značilnosti diskretnega vezja so periodične funkcije. Obdobje ponovitve je enako hitrosti vzorčenja w d.

Frekvenčne karakteristike so običajno normalizirane vzdolž frekvenčne osi na frekvenco vzorčenja

kjer je W normalizirana frekvenca.

Pri izračunih z uporabo računalnika postane normalizacija frekvence nujna.

Primer. Določite frekvenčne značilnosti vezja, katerega prenosna funkcija

H (Z) = a 0 + a 1 ЧZ -1.

Kompleks prenosne funkcije: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

ob upoštevanju normalizacije frekvence: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Formule frekvenčnega in faznega odziva

H (W) =, j (W) = - arktan .

Grafi frekvenčnega in faznega frekvenčnega odziva za pozitivni vrednosti a 0 in a 1 pod pogojem a 0 > a 1 so prikazani na sliki (2.5, a, b.)

Logaritemska lestvica frekvenčnega odziva - slabljenje A:

; . (2.10)

Ničele prenosne funkcije se lahko nahajajo na kateri koli točki ravnine Z. Če se ničle nahajajo znotraj enotnega kroga, sta frekvenčni in fazni odziv takega vezja povezani s Hilbertovo transformacijo in jih je mogoče enolično določiti s pomočjo drugi. Takšno vezje se imenuje vezje tipa minimalne faze. Če se izven kroga enote pojavi vsaj ena ničla, potem veriga pripada verigi nelinearnega faznega tipa, za katero Hilbertova transformacija ni uporabna.

2.5 Impulzni odziv... Konvolucija.

Prenosna funkcija označuje vezje v frekvenčnem področju. V časovni domeni je za vezje značilen impulzni odziv h (nT). Impulzni odziv diskretnega vezja je odziv vezja na diskretno d - funkcijo. Impulzni odziv in prenosna funkcija sta značilnosti sistema in sta povezani z Z-pretvorbenimi formulami. Zato lahko impulzni odziv obravnavamo kot določen signal, prenosna funkcija H (Z) - Z pa je slika tega signala.

Prenosna funkcija je glavna značilnost pri načrtovanju, če so norme določene glede na frekvenčne značilnosti sistema. V skladu s tem je glavna značilnost impulzni odziv, če so norme postavljene pravočasno.

Impulzni odziv je mogoče določiti neposredno iz vezja kot odziv vezja na d - funkcijo ali z reševanjem diferencialne enačbe vezja, ob predpostavki, da je x (nT) = d (t).

Primer. Določite impulzni odziv vezja, katerega diagram je prikazan na sliki 2.6, b.

Razlika enačbe verige y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Rešitev diferencialne enačbe v številčni obliki, pod pogojem, da je x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; itd. ...

Zato h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Za stabilno vezje se število impulznega odziva sčasoma nagiba k nič.

Impulzni odziv je mogoče določiti iz znane prenosne funkcije z uporabo

a. inverzna Z-transformacija,

b. izrek razgradnje,

v. izrek zamika za rezultate deljenja polinoma števca s imenovalčevskim polinomom.

Zadnja od naštetih metod se nanaša na numerične metode za reševanje problema.

Primer. Določite impulzni odziv vezja na sliki (2.6, b) s prenosno funkcijo.

Tukaj H (Z) = .

Števec delimo z imenovalcem

Če uporabimo izrek o zamudi za rezultat delitve, dobimo

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Če primerjamo rezultat z izračuni z uporabo diferencialne enačbe v prejšnjem primeru, se lahko prepričamo o zanesljivosti računskih postopkov.

Predlaga se, da se impulzni odziv vezja na sliki (2.6, a) določi neodvisno, z zaporedno uporabo obeh obravnavanih metod.

V skladu z definicijo prenosne funkcije lahko Z - sliko signala na izhodu vezja definiramo kot produkt Z - slike signala na vhodu vezja in prenosne funkcije vezja :

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Zato po izreku konvolucije konvolucija vhodnega signala z impulznim odzivom daje signal na izhodu vezja

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

Določitev izhodnega signala po konvolucijski formuli se uporablja ne le v računskih postopkih, temveč tudi kot algoritem za delovanje tehničnih sistemov.

Določite signal na izhodu vezja, katerega diagram je prikazan na sliki (2.6, b), če je x (nT) = (1,0; 0,5).

Tukaj h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Izračun po (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Tako je y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

V tehničnih sistemih se namesto linearne konvolucije (2.12) pogosteje uporablja krožna ali ciklična konvolucija.

Študent skupine 220352 Chernyshev D. A. Referenca - poročilo o patentu in znanstvenih in tehničnih raziskavah Tema zaključnega kvalifikacijskega dela: televizijski sprejemnik z digitalno obdelavo signalov. Začetek iskanja 2. 02. 99. Konec iskanja 25.03.99 Zadeva iskanja Država, indeks (MKI, NKI) št ...

Nosilci in enopasovna amplitudna fazna modulacija (AFM-SSB). 3. Izbira trajanja in števila elementarnih signalov, ki se uporabljajo za oblikovanje izhodnega signala V resničnih komunikacijskih kanalih za prenos signalov preko frekvence omejen kanal uporablja se signal oblike, ki pa je časovno neskončen, zato je zglajen po kosinusnem zakonu. , kje - ...

Časovne značilnosti vezja se imenujejo odzivi na tipične komponente izvirnega signala.

Prehodni odziv vezja je odziv vezja z ničelnimi začetnimi pogoji na delovanje funkcija enote(Heaviside funkcije). Prehodni odziv se določi iz prenosne funkcije operaterja tako, da se deli z operaterjem in poišče izvirnik iz nastale slike z uporabo inverzne Laplaceove transformacije skozi ostanke.

Impulzni odziv vezja je odziv vezja na delta funkcijo. - neskončno kratek impulz enote površine in neskončno velik po amplitudi. Impulzni odziv se določi z iskanjem ostankov iz prenosne funkcije vezja.

Po operacijski metodi bomo iskali tudi časovne značilnosti verige. Če želite to narediti, morate poiskati operatersko sliko vhodnega signala, jo pomnožiti s prenosnim koeficientom v obliki operaterja in poiskati izvirnik iz dobljenega izraza, to je, če poznamo prenosni koeficient vezja, lahko najdemo odziv na kakršno koli dejanje.

Iskanje impulznega odziva se zmanjša na iskanje odziva vezja na delta funkcijo. Znano je, da je slika za delta funkcijo 1. Z uporabo inverzne Laplaceove transformacije najdemo impulzni odziv.

Izberimo celoten del za prenosno funkcijo verige, saj sta stopnji vodilnih koeficientov v števcu in imenovalcu enaki:

Poišči singularne točke prenosne funkcije tako, da imenovalec enačiš z nič.

Imamo samo eno singularno točko, zdaj vzamemo odbitek na tej singularni točki.

Izraz za impulzni odziv je zapisan takole:

Podobno najdemo prehodni odziv vezja, saj vemo, da je za Heaviside funkcijo slika funkcija.

; , ;

Prehodni in impulzni odzivi so med seboj povezani, pa tudi vhodna dejanja:

Preverimo izpolnjevanje omejevalnih razmerij med frekvenčno in časovno karakteristiko vezja, t.j. izpolnjevanje naslednjih pogojev:

V sistem nadomestimo konkretne izraze za značilnosti vezij.

Kot vidite, so pogoji izpolnjeni, kar kaže na pravilnost najdenih formul.

Zapišimo končne formule za časovne značilnosti ob upoštevanju normalizacije

Z uporabo zgornjih formul bomo zgradili grafe teh funkcij.

Fourierjev analogni linearni signal

Slika 2.5 - Impulzni odziv analognega prototipnega filtra

Slika 2.6 - Prehodni odziv analognega prototipnega filtra

Časovne značilnosti obstajajo samo pri, saj odzivi ne morejo preseči vpliva.

Naša veriga se torej razlikuje prehodni odziv obnaša takole. Diferencialno vezje izostri prehodnost in preide vodilni rob. Preteklost je odgovorna za "met" visoke frekvence, in za blokado - nizke frekvence niso prešle.

Tematski članek

Implementacija in uporaba GPS sledilcev v poslovnem okolju
Tracker je naprava za sprejemanje-oddajanje-snemanje podatkov za satelitsko spremljanje avtomobilov, ljudi ali drugih objektov, na katere je pritrjen, z uporabo globalnega sistema za določanje položaja za natančno določitev lokacije predmeta. Področja uporabe GPS-nadzora prometa: reševalna vozila ...