Laplace preoblikuje primere. Laplaceova transformacija. Za reševanje linearnih diferencialnih enačb bomo uporabili Laplaceovo transformacijo. Primeri izračuna Laplaceovih transformacij

Za reševanje linearnih diferencialnih enačb bomo uporabili Laplaceovo transformacijo.

Laplaceova transformacija pokličite razmerje

dodeljevanje funkcij x (t) resnična spremenljivka t funkcija ujemanja X (s) kompleksna spremenljivka s (s = σ+ jω). Pri tem x (t) se imenujejo original, X (s)- sliko ali Laplaceova slika in s- Spremenljivka Laplaceove transformacije. Izvirnik je označen z malimi črkami, njegova podoba pa z isto črko z veliko začetnico.

Predpostavlja se, da je funkcija x(t) podvržen Laplaceovi transformaciji ima naslednje lastnosti:

1) funkcija x (t) je definirano in delno diferencirano na intervalu. Točen infimum s0 vseh števil s, α0 = infs, za katerega velja neenakost (1), imenujemo stopnja rasti funkcije f (t). Komentiraj. V splošnem primeru neenakost ne drži, vendar je ocena veljavna, če je e> 0. Torej ima funkcija eksponent rasti v0 = Zanje ne velja neenakost \ t \ ^ M V * ^ 0, ampak neenakost | f | ^ Mei. Pogoj (1) je veliko manj omejujoč kot pogoj (*). Primer 1. funkcija ne izpolnjuje pogoja ("), vendar je pogoj (1) izpolnjen za vsa s> I in A /> I; stopnja rasti 5o = To je torej prvotna funkcija. Po drugi strani pa funkcija ni izvirna: ima neskončen vrstni red rasti, »o = + oo. Najenostavnejša izvirna funkcija je tako imenovana enotna funkcija.Če neka funkcija izpolnjuje pogoje 1 in 3 definicije 1, vendar ne izpolnjuje pogoja 2, je produkt že izvirna funkcija. Zaradi enostavnosti zapisa bomo praviloma izpustili faktor rj (t), saj smo se strinjali, da so vse funkcije, ki jih bomo upoštevali, enake nič pri negativnem t, zato, če govorimo o neki funkciji f (t), na primer o sin ty cos t, el itd., potem so vedno implicirane naslednje funkcije (slika 2): n = n (0 slika 1 Definicija 2. Naj bo f (t) izvirna funkcija. Slika funkcije f (t) po Laplaceu je funkcija F (p) kompleksne spremenljivke, opredeljene s formulo LAPLACE TRANSFORM Osnovne definicije Lastnosti Konvolucija funkcij Teorem množenja Iskanje izvirnika na sliki Uporaba inverzijskega izreka za operativni račun Duhamelova formula Integracija sistemov linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti Rešitev integralnih enačb, kjer integral prevzame pozitiv polosne osi t. Funkcija F (p) se imenuje tudi Laplaceova transformacija funkcije f (f); jedro pretvorba K (t) p) = e ~ pt. Dejstvo, da ima funkcija svojo podobo F (p), bomo zapisali Primer 2. Poiščite sliko funkcija enote r) (t). Funkcija je izvirna funkcija z indeksom rasti 0 - 0. Zaradi formule (2) bo slika funkcije rj (t) funkcija Če je za, je integral na desni strani zadnja enakost se bo konvergirala in dobili bomo tako, da bo slika funkcije rj (t) funkcija £. Kot smo se dogovorili, bomo zapisali, da je rj (t) = 1, nato pa dobljeni rezultat zapišemo na naslednji način: Izrek 1. Za vsako izvirno funkcijo f (t) z rastnim eksponentom z0 je slika F (p) definirana v polovični ravnini R ep = s> s0 in je analitična funkcija v tej ravnini (slika 3). Naj za dokazovanje obstoja slike F (p) v označeni pol ravnini zadostuje ugotoviti, da nepravilni integral (2) absolutno konvergira za a> Z uporabo (3) dobimo, kar dokazuje absolutno konvergenco integrala (2). Hkrati smo dobili oceno za Laplaceovo transformacijo F (p) v polravnini konvergence Diferenciranje izraza (2), formalno pod integralnim znakom glede na p, ugotovimo, da je obstoj integrala (5) ugotovljeno na enak način, kot je bil ugotovljen obstoj integrala (2). Z integracijo po delih za F "(p) dobimo oceno, ki pomeni absolutno konvergenco integrala (5). (Neintegralen izraz, 0., - za t + oo ima mejo, ki je enaka nič). integral (5) konvergira enakomerno glede na p, saj je povečan z konvergentnim integralom, neodvisnim od p. Posledično je diferenciacija glede na p zakonita in velja enakost (5). Ker izpeljanka F "(p) obstaja, Laplaceova transformacija F (p) povsod v polovični ravnini Rep = 5> 5о je analitična funkcija. Neenakost (4) pomeni posledico. Če tanko p teži v neskončnost, tako da se Re p = s neskončno povečuje, potem primer 3. Najdemo tudi podobo funkcije poljubno kompleksno število. Eksponent funkcije f (() je enak a.> A, pa tudi v vseh točkah p, razen v točki p = a, kjer ima ta slika preprost pol. V prihodnosti bomo večkrat naleteli na podoben situacija, ko je slika F (p) analitična funkcija v celotni ravnini kompleksne spremenljivke p, saj ni protislovja s izrekom 1. Slednji trdi le, da je v polravnini Rep> «o funkcija F (p ) nima edinstvenih točk: vse se izkažejo za levo od črte Rep = so ali za samo to črto. Opomba ne. V operativnem izračunu se včasih uporablja Heavisideova slika funkcije f (f), ki je opredeljena z enakostjo in se od Laplaceove slike razlikuje po faktorju p. §2. Lastnosti Laplaceove transformacije V nadaljevanju bomo označevali izvirne funkcije in skozi - njihove podobe po Laplaceu. £ biw dee so neprekinjene funkcije), imajo isto podobo, potem so enaki. Teopewa 3 (n "yeyiost * preoblikuje Laplacea). Če so funkcije izvirne, potem za vse kompleksne zračne konstante veljavnost izjave izhaja iz lastnosti linearnosti integrala, ki določa sliko :, so stopnje rasti funkcij). Na podlagi te lastnosti dobimo Podobno ugotovimo, da in nadalje izrek 4 (podobnosti). Če je f (t) izvirna funkcija in je F (p) njegova Laplaceova podoba, potem za vsako konstanto a> 0 Če postavimo at = m, imamo s pomočjo tega izreka iz formul (5) in (6) dobimo izrek 5 (o razlikovanju izvirnika). Naj bo izvirna funkcija s podobo F (p) in naj - tudi izvirne funkcije in kje je stopnja rasti funkcije. Potem in na splošno Tu mislimo na desno mejno vrednost Let. Poiščimo sliko, ki jo imamo Integriramo po delih, dobimo Neintegralen izraz na desni strani (10) izgine pri k. Za Rc p = s> h imamo zamenjavo t = Ode- / (0 ). Drugi člen na desni v (10) je enak pF (p). Tako ima razmerje (10) obliko in formula (8) je dokazana. Zlasti če za iskanje slike f (n \ t) napišemo, od kod z integracijo n -krat po delih dobimo primer 4. Z izrekom o diferenciranju izvirnika poiščimo sliko funkcije f (t) = sin2 t. Naj torej izrek 5 vzpostavi izjemno lastnost Laplaceove integralne transformacije: ta (tako kot Fourierjeva transformacija) pretvori delovanje diferenciacije v algebrsko operacijo množenja s p. Formula vključitve. Če gre za izvirne funkcije, potem Dejansko na podlagi posledic izreka 1 vsaka slika teži k nič. Od tod izhaja formula za vključitev (izrek 6 (o diferenciaciji slike). Diferenciacija slike se zmanjša na množenje z izvirnikom, ker je funkcija F (p) v polravnini tako analitična, je lahko Primer 5. S pomočjo izreka 6 poiščite podobo funkcije 4 Kot je znano, torej (Če znova uporabimo izrek 6, na splošno najdemo izrek 7 (integracija izvirnika). Integracija izvirnika se zmanjša na deljenje slike z Let. Preprosto je preveriti, če obstaja izvirna funkcija, potem bo to tudi izvirna funkcija. Naj bo. Na podlagi tega, da je po drugi strani F = Slednji enakovreden dokazani relaciji (13). Primer 6. Poiščite sliko funkcije M V tem primeru je torej. Zato je izrek 8 (integracija slike). Če tudi integral konvergira, potem služi kot podoba funkcije ^: TRANSFORMACIJA LAPLACE Osnovne definicije Lastnosti Konvolucija Teorem o množenju Iskanje izvirnika po sliki Z uporabo inverznega izreka operacijskega računa Duhamelova formula Integracija sistemov linearnih diferencialnih enačb z konstantni koeficienti Rešitev integralnih enačb Dejansko lahko ob predpostavki, da je pot integracije na polravnini, spremenimo vrstni red integracije. Zadnja enakost pomeni, da je podoba funkcije Primer 7. Poiščite sliko funkcija M Kot je znano ,. Zato, ker damo, dobimo £ = 0, za. Zato je razmerje (16) v obliki primera. Poiščite grafično podobo funkcije f (t) (slika 5). Zapišemo izraz za funkcijo f (t) takole: Ta izraz lahko dobimo na naslednji način. Upoštevajte funkcijo in od nje odštejte funkcijo, razlika bo enaka ena za. Nastali razliki dodamo funkcijo, zato dobimo funkcijo f (t) (slika 6 c), tako da od tu z izrekom o zakasnitvi najdemo izrek 10 (premik). potem za katero koli kompleksno število po. Pravzaprav izrek omogoča, da iz znanih podob funkcij poiščemo slike istih funkcij, pomnožene z eksponentno funkcijo, na primer 2.1. Konvolucija funkcij. Izrek o množenju Naj bodo funkcije f (t) u definirane in neprekinjene za vse t. Konvolucija teh funkcij se imenuje nova funkcija iz t, definirano z enakostjo (če ta integral obstaja). Za izvirne funkcije je operacija vedno zložljiva in (17) 4 Dejansko je produkt prvotnih funkcij kot funkcija m končna funkcija, tj. izgine zunaj nekega končnega intervala (v tem primeru zunaj intervala. Za končne neprekinjene funkcije je operacija zvijanja zadovoljiva in dobimo formulo. Preprosto je preveriti, ali je operacija zvijanja komutativna, izrek 11 (množenje). potem ima konvolucija t) podobo, da je konvolucija (prvotnih funkcij izvirna funkcija z eksponentom rasti ", kjer so eksponenti rasti funkcij. Poiščimo podobo konvolucije z uporabo tega, kar imamo S spreminjanjem vrstnega reda integracije v integralu na desni (takšna operacija je zakonita) in z uporabo izreka o zakasnitvi dobimo Tako iz (18) in (19) ugotovimo, da množenje slik ustreza zvitku izvirnikov , Prter 9. Poiščite podobo funkcije A Funkcija V (0 je zvitka funkcij. Z izrekom množenja Problem. Naj bo funkcija f (t) periodična z obdobjem T, ecg je izvirna funkcija Pokažite, da je njena Laplaceova slika F (p) je podano s formulo 3. Iskanje izvirnika s slike Problem je postavljen na naslednji način: Za funkcijo F (p) moramo poiskati funkcijo / (<)>čigar podoba je F (p). Oblikujmo zadostne pogoje, da funkcija F (p) kompleksne spremenljivke p služi kot podoba. Izrek 12. Če funkcija F (p) 1) analitična v polovični ravnini tako teži k nič za katero koli pol ravnino R s0 enakomerno glede na arg p; 2) integral popolnoma konvergira, potem je F (p) slika neke izvirne funkcije Problem. Ali lahko funkcija F (p) = služi kot podoba neke izvirne funkcije? Navedli bomo nekaj načinov iskanja izvirnika na sliki. 3.1. Iskanje izvirnika z uporabo tabel slik Najprej je vredno funkcijo F (p) spraviti v enostavnejšo "tabelarno" obliko. Na primer, v primeru, ko je F (p) delna racionalna funkcija argumenta p, se razgradi na osnovne ulomke in uporabijo ustrezne lastnosti Laplaceove transformacije. Primer 1. Poiščite izvirnik Zapišemo funkcijo F (p) v obliki S pomočjo izreka o premikih in lastnosti linearnosti Laplaceove transformacije dobimo Primer 2. Poiščimo izvirnik za funkcijo 4 Zapišemo F (p ) zato 3.2. Uporaba izreka inverzije in njene posledice. Izrek 13 (inverzija). Če je funkcija fit) izvirna funkcija z eksponentom rasti s0 in je njena podoba F (p), potem na kateri koli točki kontinuitete funkcije f (t) velja naslednje razmerje, kjer je integral vzet po kateri koli ravni črti in je razumeti v smislu glavne vrednosti, tj. kot se Formula (1) imenuje Laplaceova pretvorbena inverzijska formula ali Mellinova formula. Dejansko naj bo na primer f (t) po delih gladko na vsakem končnem odseku, kjer< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Predavanje 7 FUNKCIJE OPERATORJA VEZIJ Operatorske vhodne in prenosne funkcije Poli in ničle funkcij vezja 3 Zaključki Operaterjeve vhodne in prenosne funkcije Operatorska funkcija verige je razmerje

68 Predavanje 7 PREHODNI PROCESI V VEZIH V PRVEM REDU Načrt 1 Prehodni procesi v RC-vezjih prvega reda 2 Prehodni procesi v R-vezjih prvega reda 3 Primeri izračuna prehodnih procesov v vezjih

4 LINEARNA ELEKTRIČNA VEZA AC SINUZOIDNEGA TOKA IN METODE NJIHOVEGA IZRAČUNA 4.1 ELEKTRIČNI STROJI. NAČEL SINUZOIDNEGA TRENIRANJA 4.1.012. Sinusoidni tok se imenuje trenutni

Zvezna agencija za izobraževanje Državni visokošolski zavod za izobraževanje "KUBANSKA DRŽAVNA UNIVERZA" Fakulteta za fiziko in tehnologijo Oddelek za optoelektroniko

~ ~ FKP Izpeljanka funkcije kompleksne spremenljivke FKP Cauchy - Riemannovega pogoja koncept pravilnosti slike FKP in oblika kompleksnega števila Oblika FKP: kjer je realna funkcija dveh spremenljivk realna