Razvoj algoritma za analizo filtriranja signalov. Linearni digitalni algoritem filtriranja. Blok diagram rekurzivnega digitalnega filtra

Fizično izvedljivi digitalni filtri, ki delujejo v realnem času, lahko uporabijo naslednje podatke za oblikovanje izhodnega signala v diskretni časovni točki: a) vrednost vhodnega signala v času vzorčenja, kot tudi določeno število "preteklih" vhodov vzorcev, določeno število prejšnjih vzorcev izhodnega signala tipa Celoštevilska števila določa vrstni red digitalnega filtra. Razvrstitev digitalnega filtra se izvaja na različne načine, odvisno od tega, kako se uporabljajo informacije o preteklih stanjih sistema.

Transverzalni CF.

Zato je običajno klicati filtre, ki delujejo v skladu z algoritmom

kjer je zaporedje koeficientov.

Številka je vrstni red prečnega digitalnega filtra. Kot je razvidno iz formule (15.58), transverzalni filter izvaja tehtano seštevanje prejšnjih vzorcev vhodnega signala in ne uporablja preteklih vzorcev izhodnega signala. Če uporabimo z-transformacijo za oba dela izraza (15.58), vidimo, da

Iz tega sledi, da sistem deluje

je delno-racionalna funkcija z, ki ima -kratni pol pri in ničli, katerih koordinate so določene s koeficienti filtra.

Algoritem delovanja prečnega digitalnega filtra je ponazorjen s blokovnim diagramom, prikazanim na sl. 15.7.

riž. 15.7. Shema za konstruiranje prečnega digitalnega filtra

Glavni elementi filtra so bloki za zamudo referenčnih vrednosti za en interval vzorčenja (pravokotniki s simboli), pa tudi bloki lestvice, ki izvajajo operacije digitalnega množenja z ustreznimi koeficienti. Iz izhodov merilnih blokov signali vstopijo v seštevalnik, kjer, ko seštejemo, tvorijo štetje izhodnih signalov.

Vrsta sheme, predstavljena tukaj, pojasnjuje pomen izraza "prečni filter" (iz angleškega transverse - transverse).

Programska izvedba transverzalnega digitalnega filtra.

Upoštevati je treba, da blokovni diagram, prikazan na sl. 15.7 ni diagram vezja električni tokokrog, ampak samo služi grafična slika algoritem za obdelavo signalov. Z uporabo jezikovnih orodij FORTRAN si oglejmo delček programa, ki izvaja transverzalno digitalno filtriranje.

Spustiti noter pomnilnik z naključnim dostopom Računalnik je oblikoval dve enodimenzionalni matriki dolžine M celic: niz z imenom X, ki shranjuje vrednosti vhodnega signala, in niz z imenom A, ki vsebuje vrednosti filtrskih koeficientov.

Vsebina celic matrike X se spremeni vsakič, ko je prejet nov vzorec vhodnega signala.

Predpostavimo, da je ta matrika napolnjena s prejšnjimi vzorci vhodnega zaporedja, in upoštevajmo situacijo, ki se pojavi v trenutku prihoda naslednjega vzorca, ki ima v programu ime S. Ta vzorec je treba postaviti v številko celice 1, vendar šele potem, ko se prejšnji zapis premakne za eno pozicijo v desno, torej v smeri zakasnitve.

Tako oblikovani elementi niza X se pomnožijo izraz za členom z elementi niza A, rezultat pa se vnese v celico z imenom Y, kjer se akumulira referenčna vrednost izhodnega signala. Spodaj je besedilo programa transverzalnega digitalnega filtriranja:

impulzni odziv. Vrnimo se k formuli (15.59) in izračunamo impulzni odziv transverzalnega digitalnega filtra z izvedbo inverzne z-transformacije. Lahko je videti, da vsak člen funkcije daje prispevek, enak ustreznemu koeficientu, premaknjenemu s položaji proti zamudi. Torej tukaj

Do tega zaključka lahko pridemo tudi neposredno, če upoštevamo blokovni diagram filtra (glej sliko 15.7) in predpostavimo, da je na njegov vhod uporabljen "enkratni impulz".

Pomembno je omeniti, da impulzni odziv transverzalnega filtra vsebuje končno število členov.

frekvenčni odziv.

Če v formuli (15.59) spremenimo spremenljivko, dobimo koeficient prenosa frekvence

Z danim korakom vzorčenja A je mogoče s pravilnim izborom utežnih koeficientov filtra implementirati široko paleto oblik frekvenčnega odziva.

Primer 15.4. Raziščite frekvenčne karakteristike transverzalnega digitalnega filtra 2. reda, ki povpreči trenutno vrednost vhodnega signala in dva predhodna vzorca po formuli

Sistemska funkcija tega filtra

riž. 15.8. Frekvenčne karakteristike transverzalnega digitalnega filtra iz primera 15.4: a - frekvenčni odziv; b - PFC

kjer najdemo frekvenčni prenosni koeficient

Elementarne transformacije vodijo do naslednjih izrazov za frekvenčni odziv v faznem odzivu tega sistema:

Ustrezni grafi so prikazani na sl. 15.8, a, b, kjer je vrednost narisana vzdolž vodoravnih osi - fazni kot intervala vzorčenja pri trenutni vrednosti frekvence.

Recimo, na primer, da je šest vzorcev na obdobje harmonskega vhodnega nihanja. V tem primeru bo vnosno zaporedje videti tako

(absolutne vrednosti vzorcev niso pomembne, saj je filter linearen). Z algoritmom (15.62) najdemo izhodno zaporedje:

Vidimo, da ustreza harmoničnemu izhodnemu signalu enake frekvence kot na vhodu, z amplitudo, ki je enaka amplitudi vhodnega nihanja in z začetno fazo, premaknjeno za 60° proti zamudi.

Rekurzivni CF.

Ta vrsta digitalni filtri je značilno, da se prejšnje vrednosti ne le vhodnega, ampak tudi izhodnega signala uporabljajo za oblikovanje izhodnega odčitka:

(15.63)

poleg tega koeficienti, ki definirajo rekurzivni del algoritma filtriranja, niso hkrati enaki nič. Da bi poudarili razliko med strukturama dveh vrst digitalnih filtrov, se transverzalni filtri imenujejo tudi nerekurzivni filtri.

Sistemska funkcija rekurzivnega digitalnega filtra.

Po izvedbi z-transformacije obeh delov ponavljajoče se relacije (15.63) ugotovimo, da je sistemska funkcija

ki opisuje frekvenčne lastnosti rekurzivnega digitalnega filtra, ima poli na z-ravnini. Če so koeficienti rekurzivnega dela algoritma realni, potem ti poli ležijo na realni osi ali tvorijo kompleksne konjugirane pare.

Blok diagram rekurzivnega digitalnega filtra.

Na sl. 15.9 prikazuje diagram algoritma za izračune, izvedene v skladu s formulo (15.63). Zgornji del blokovnega diagrama ustreza prečnemu (nerekurzivnemu) delu algoritma filtriranja. Za njegovo izvajanje so v splošnem primeru potrebni merilni bloki (operacije množenja) in pomnilniške celice, v katerih so shranjeni vhodni vzorci.

Rekurzivni del algoritma ustreza spodnjemu delu blokovnega diagrama. Uporablja zaporedne vrednosti izhodnega signala, ki se med delovanjem filtra s premikanjem premikajo od celice do celice.

riž. 15.9. Blok diagram rekurzivnega digitalnega filtra

riž. 15.10. Strukturna shema kanoničnega rekurzivnega digitalnega filtra 2. reda

Pomanjkljivost tega principa izvedbe je potreba po velikem številu pomnilniških celic, ločeno za rekurzivne in nerekurzivne dele. Popolnejše so kanonične sheme rekurzivnih digitalnih filtrov, v katerih je uporabljeno najmanjše možno število pomnilniških celic, enako največjemu številu. Kot primer, na sl. 15.10 prikazuje blokovni diagram kanoničnega rekurzivnega filtra 2. reda, ki ustreza sistemski funkciji

Če želite zagotoviti, da ta sistem izvaja določeno funkcijo, razmislite o pomožni diskretni signal na izhodu seštevalnika 1 in napiši dve očitni enačbi:

(15.67)

Po izvedbi -transformacije enačbe (15.66) ugotovimo, da

Po drugi strani pa glede na izraz (15.67)

Če združimo relacije (15.68) in (15.69), pridemo do dane sistemske funkcije (15.65).

Stabilnost rekurzivnih digitalnih filtrov.

Rekurzivni digitalni filter je diskretni analog dinamičnega sistema z povratne informacije, saj so vrednosti njegovih prejšnjih stanj shranjene v pomnilniških celicah. Če so podani nekateri začetni pogoji, to je niz vrednosti, bo filter ob odsotnosti vhodnega signala tvoril elemente neskončnega zaporedja, ki igrajo vlogo prostih nihanj.

Digitalni filter se imenuje stabilen, če je prosti proces, ki se v njem pojavi, nenaraščajoče zaporedje, to pomeni, da vrednosti za ne presegajo nekega pozitivnega števila M, ne glede na izbiro začetnih pogojev.

Prosta nihanja v rekurzivnem digitalnem filtru na podlagi algoritma (15.63) so rešitev linearne diferencialne enačbe

Po analogiji z načelom linearnega reševanja diferencialne enačbe iskali bomo rešitev (15.70) v obliki eksponentne funkcije

z neznano vrednostjo. Če zamenjamo (15.71) v (15.70) in zmanjšamo s skupnim faktorjem, zagotovimo, da je a koren karakteristične enačbe

Na podlagi (15.64) ta enačba natančno sovpada z enačbo, ki jo izpolnjujejo polovi sistemske funkcije rekurzivnega digitalnega filtra.

Najdemo sistem korenin enačbe (15.72). Potem bo splošna rešitev diferencialne enačbe (15.70) imela obliko

Koeficiente je treba izbrati tako, da so izpolnjeni začetni pogoji.

Če se vsi poli sistemske funkcije, tj. modulo števila ne presegajo enega, nahajajo znotraj enotnega kroga s središčem v točki, potem bo na podlagi (15.73) opisan kateri koli prosti proces v digitalnem filtru glede na padajoče geometrijske progresije in filter bo stabilen. Jasno je, da je v praksi mogoče uporabiti le robustne digitalne filtre.

Primer 15.5. Raziščite stabilnost rekurzivnega digitalnega filtra 2. reda s sistemsko funkcijo

Značilna enačba

ima korenine

Krivulja, ki jo opisuje enačba na ravnini koeficienta, je meja, nad katero sta pola sistemske funkcije realna, pod katero pa kompleksno konjugirana.

V primeru kompleksno konjugiranih polov je torej ena od meja območja stabilnosti črta 1.

riž. 15.11. Območje stabilnosti rekurzivnega filtra 2. reda (pola filtra so kompleksno konjugirana v območju, označenem z barvo)

Glede na realne poli pri , Imamo pogoj stabilnosti v obliki

LABORATORIJSKO DELO

ALGORITMI ZA FILTRIRANJE SIGNALAv sistemu za nadzor procesa

Tarča. Seznanitev z najpogostejšimi algoritmi APCS za filtriranje izmerjenih naključnih signalov, izvedba primerjalne analize njihove natančnosti in izvedbenih lastnosti v računalniku.

Vaja

1) za dane karakteristike naključnih signalov izračunajte optimalne parametre filtrov,

2) simulirati sistem filtracije na računalniku in izračunati napako filtracije za vsako od obravnavanih metod,

3) opraviti primerjalno analizo učinkovitosti obravnavanih algoritmov.

Osnovne določbe. 1 Postavitev problema optimalne filtracije. Signali merilnih naprav pogosto vsebujejo naključno napako - šum. Naloga filtriranja je ločiti uporabno komponento signala od hrupa do te ali druge stopnje. Praviloma se tako za uporabni signal kot za šum predpostavlja, da sta stacionarna naključna procesa, za katere so znane njihove statistične značilnosti: matematično pričakovanje, varianca, korelacijska funkcija, spektralna gostota. Ob poznavanju teh značilnosti je treba poiskati filter v razredu linearnih dinamičnih sistemov ali v ožjem razredu linearnih sistemov z dano strukturo, tako da se signal na izhodu filtra čim manj razlikuje od uporabnega signala.

sl.1. O formulaciji filtracijskega problema

Uvedemo zapis in natančneje opišemo problem filtriranja. Pustite na vhodu filtra z impulznim odzivom Za (t) in ustrezna (zaradi Fourierjeve transformacije) 0

AFH W(iω) koristni signali. x(t) in nekorelirani šum z(t) (slika 1). Korelacijske funkcije in spektralne gostote uporabnega signala in šuma označimo kot R x (t), S x (t), R z (t) in S z (t) . Treba je najti značilnosti filtra k(t) ali W(t), tako da je efektivna vrednost razlike ε med signalom na izhodu filtra in uporabnim signalom x je bil minimalen. Če je značilnost filtra znana znotraj enega ali več parametrov, je treba izbrati optimalne vrednosti teh parametrov.

Napaka ε vsebuje dve komponenti. Prvič ( ε 1 ) je posledica dejstva, da bo del motenj še vedno šel skozi filter, drugi pa ( ε 2 ) - tako da se bo oblika uporabnega signala spremenila ob prehodu skozi filter. Tako je določitev optimalne filtrirne karakteristike iskanje kompromisne rešitve, ki minimizira skupno napako.

Frekvenčni odziv filtra predstavljamo v obliki:

W(iω) = A(ω)exp.

Po formulah, ki povezujejo spektralne gostote naključnih procesov na vhodu in izhodu linearnega sistema z njegovim frekvenčnim odzivom, izračunamo spektralne gostote vsake od komponent napake.

Za napako, povezano s prehodom motenj, dobimo

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektralna gostota napake, povezane s popačenjem uporabnega signala, je enaka

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Vsota teh komponent S ε ima spektralno gostoto

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Glede na to

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) greh 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Srednja kvadratna napaka je povezana s spektralno gostoto z izrazom

minimiziranje S ε (ω ) na f(ω) in A(ω), pridemo do enačb

cosf*(ω ) = 1
f*(ω ) = 0

2S z (ω )A(ω) – 2S x (ω) = 0

(2)

Najdene karakteristike optimalnega filtra ustrezajo spektralni gostoti napake

Najmanjša povprečna kvadratna napaka

(3)

Na žalost najdenega filtra ni mogoče uresničiti, saj pogoj enakosti nič na vseh frekvencah fazno-frekvenčne karakteristike pomeni, da je impulzni odziv filtra enakomerna funkcija; ni nič ne samo za t>0 , ampak tudi pri t(slika 2a).

Za vsak fizično izveden filter velja zahteva: Za (t) = 0 pri t (slika 2b). To zahtevo je treba vključiti v izjavo o problemu. Seveda, dosegljiva napaka σ bi se povečala. Rešen je bil problem optimalnega filtriranja ob upoštevanju fizične izvedljivosti.

riž. 2. Impulzni odzivi (a) neuresničljivih in (b) uresničljivih filtrov

riž. 3. Spektralne gostote uporabnega signalaS x (ω) in hrupS z (ω) in frekvenčni odziv optimalnega filtra A * (ω) za neprekrivanje (a) in prekrivanje (b)S x (ω) inS z (ω)

N. Wiener. Njena rešitev je veliko bolj zapletena od zgoraj navedene, zato bomo v tem prispevku iskali fizično uresničljive filtre le v razredu filtrov, katerih značilnosti so določene do vrednosti parametrov. Vrednost , izračunan po formuli (3), lahko služi kot nižja ocena dosegljive napake filtriranja.

Fizični pomen relacije (2,b) je prikazan na sl. 3. Če se spektra uporabnega signala in šuma ne prekrivata, potem A(ω) mora biti enak nič, kjer je interferenčna spektralna gostota drugačna od nič, in enaka eni za vse frekvence, pri katerih S x (ω)>0 . Na sl. 3b prikazuje lik A*(ω) v primeru, ko se spektralna gostota signala in interferenca prekrivata.

Med filtri z dano strukturo so najbolj razširjeni filtri, ki temeljijo na operaciji drsečega povprečja, pa tudi eksponentni filter in tako imenovani statistični filter ničelnega reda. Eksponentni filter je aperiodična povezava prvega reda, statistični filter ničelnega reda pa ojačevalna povezava. Oglejmo si podrobneje vsakega od teh filtrov.

Filter drsnega povprečja. Izhod filtra je povezan z njegovim vhodom z relacijo

Impulzna prehodna funkcija filtra je prikazana na sliki 4a. Frekvenčne značilnosti so enake

Impulzni odziv je mogoče izraziti s funkcijo Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Nastavljivi parametri filtra so ojačenje k in spomin T.

Eksponentni filter(slika 4b). Izhodni signal je določen z diferencialno enačbo

y/ γ + y = kg

Impulzni odziv ima obliko:

Frekvenčne značilnosti

Parametri filtra so dobiček k in časovna konstanta, vzajemna od γ .

riž. 4. Funkcije pulznega prehodak(t) in amplitudno-frekvenčne karakteristike A(ω) tipičnih filtrov: a – trenutno povprečje; b - eksponentno; c) statični ničelni red

Statistični filter ničelnega reda. Ta filter, kot je omenjeno zgoraj, je ojačevalna povezava. Njegove značilnosti

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Teža naštetih filtrov ne omogoča doseganja idealnega filtriranja tudi pri neprekrivajočih se spektrih signala in šuma. Zmanjšajte napako σ ε mogoče z izbiro parametrov k, T, γ. V tem primeru značilnosti filtra A(ω) in f(ω) kot funkcijo frekvence in parametrov nadomestimo s formulo (1), vzamemo integral dobljenega izraza, ki bo funkcija parametrov filtra, in poiščemo minimum tega integrala nad parametri.

Na primer, za statistični filter hladnega reda bo spektralna gostota napake:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integralno S ε je enaka interferenčni varianci, pomnoženi z π . Pridobite

Upoštevamo, da so integrali na desni strani te enakosti enaki variansam uporabnega signala in šuma, tako da

Pogoj za minimum tega izraza po k vodi k enakosti

Po zamenjavi najdene vrednosti k v izraz za varianco napake dobimo:

Trenutni povprečni in eksponentni filter imata vsak po dva nastavljiva parametra, njihovih optimalnih vrednosti pa ni mogoče tako enostavno izraziti v smislu značilnosti uporabnega signala in šuma, vendar je te vrednosti mogoče najti z numeričnimi metodami iskanja najmanj funkcije v dveh spremenljivkah.

Slika 5 Strukturni diagram računalniške simulacije sistema za filtriranje naključnih signalov

2. Opis simuliranega sistema. Delo poteka z računalniško simulacijo sistema, sestavljenega iz naslednjih blokov (slika 5).

1. Generator vhodnega signala I, vključno z generatorjem naključnih signalov (RGS) in dvema filtroma za oblikovanje z določenimi značilnostmi W x (iω) in W z (iω) , na izhodu katerega dobimo koristen signal x(t) in ovira z(t) . Med generatorjem naključnih signalov in filtrom za oblikovanje W z vključena je povezava zakasnitve Δ, ki zagotavlja premik za dva ali tri cikle. V tem primeru se izkaže, da sta vhod filtra, ki ustvarja šum, in vhod filtra, ki generira koristen signal, med seboj nepovezana.

2. Blok za izračun korelacijskih funkcij
.

3. Filtracijska enota (II), vključno z dejanskim filtrom
in blok za izračun napak pri filtriranju
.

Uporaben signal, ustvarjen v sistemu x(t) in ovira z(t) so stacionarni naključni procesi, katerih korelacijske funkcije lahko približno aproksimiramo z eksponenti oblike (slika 6)

(6)

kje

Ocene odstopanj signala in izračunano z uporabo bloka (pri τ = 0); parametra α in α z nastavi učitelj.

3. Diskretna izvedba neprekinjenih filtrov. Uporabljamo diskretne izvedbe zgoraj opisanih neprekinjenih filtrov. Diskreten korak t o traja bistveno manj kot čas upadanja korelacijskih funkcij uporabnega signala in šuma. Zato lahko zgoraj zapisane izraze (1) za izračun σ ε preko spektralnih karakteristik vhodnega signala in šuma uporabimo tudi v diskretnem primeru.

Najprej poiščimo diskretne analoge filtrov, ki tvorijo naključne procese s korelacijskimi funkcijami (6) iz signala, prejetega iz GSS. Spektralne gostote, ki ustrezajo tem korelacijskim funkcijam, imajo obliko

(7)

Prenosne funkcije oblikovalskih filtrov za primer, ko je disperzija signala na izhodu GSS enaka enoti, so enake

To je enostavno videti

Če je signal na vhodu vsakega od oblikovalnih filtrov označen z ξ , potem imajo diferencialne enačbe, ki ustrezajo zgoraj napisanim prenosnim funkcijam, obliko

Različni analogi, ki jim ustrezajo, bodo zapisani v obrazcu;

Tako ima algoritem filtra, ki generira uporaben signal, obliko:

(8a)

Podobno za filter, ki tvori hrup

(8b)

Analogi neprekinjenih filtrov, zasnovani za izolacijo hrupa, imajo naslednjo obliko:

za filter drsečega povprečja

(9)

kjer je vrednost l izberite med pogojem (l + 1) t O = T;

za eksponentni filter

(10)

za statistični filter ničelnega reda

pri jaz = kg jaz (11)

Nalog za izvršitev. 1. Sestavite in razhroščite podprograme bloka za filtriranje trenutnih informacij in izračun napak pri filtriranju.

2. Pridobite implementacije naključnih procesov na izhodu filtrov za oblikovanje in jih uporabite za iskanje ocen variance uporabnega signala in šuma ter korelacijskih funkcij R x (τ) in R z (τ) . Približno opredeliti α X in α z in primerjaj z izračunanimi.

3. Izračunaj po S x (ω) in S z (ω) analitično ali računalniško nižja ocena za povprečno kvadratno napako filtriranja.

4. S formulo (4) poiščite optimalni dobiček statističnega filtra ničelnega reda in vrednost, ki mu ustreza , ki se primerja z .

5. Uporabljam eno od znanih metod za iskanje minimuma funkcije dveh spremenljivk in vnaprej sestavljen program za iskanje optimalnih parametrov drsečega povprečja in eksponentnih filtrov ter povprečne kvadratne napake filtriranja. V tem primeru specifična kombinacija parametrov filtra ustreza gostoti spektralne napake S ε (ω) , določeno s formulo (1), in iz nje najdemo vrednost po numerični integraciji.

6. V računalnik vnesemo filtrirne programe, eksperimentalno določimo povprečno kvadratno napako za optimalne in neoptimalne parametre filtra, rezultate primerjamo z izračunanimi.

7. Izvedite primerjalno analizo učinkovitosti različnih algoritmov filtriranja glede na naslednje kazalnike: a) najmanjša dosegljiva povprečna kvadratna napaka; b) zahtevana količina RAM-a; c) računalniško štetje časa.

Poročilo mora vsebovati: 1) blokovni diagram sistema (glej sliko 5);

2) podprogrami oblikovanja in sintetiziranih filtrov;

3) izračun optimalnih parametrov filtrov in ustreznih vrednosti povprečne kvadratne napake;

4) rezultate analize obravnavanih algoritmov in sklepov.

Stojalo 6.2. Izdelava projekta 6.3. Študij APCS na treningu laboratoriju... opredeljeno cilji njene dejavnosti. Cilji dejavnost ...

I. O. Priimek "" 20 g

dokument

način delo);. … […)[ime načina delo] ... po navedbah laboratoriju analize; 5) ... zahteve za APCS. Tehnološki procesi ... obdelava in analiza informacij ( signali, sporočila, dokumenti itd... algoritmov filtracija in algoritmov odpravljanje hrupa iz cilj ...

Inteligentna avtomatizacija pri predmetnih in diplomskih projektih

povzetek

Žica. cilj. izdelek... signal HART, ki omogoča integracijo v sisteme APCS ... filtracija Obstajajo različne vrste senzorjev prahu. DT400G delajo ... algoritem... kemične industrije. Tehnična sredstva in laboratoriju delo/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Program dela discipline "avtomatizacija tehnoloških procesov"

Delovni program

... CILJI IN NALOGE OSVAJANJA DISCIPLINE meriti... glavne komponente APCS- krmilniki...pogledi signali v ... popravkih napak, filtracija sporočila,... algoritmov in programi, razprave, izvajanje nadzora deluje. Laboratorij razredov. Laboratorij ...

Fizično izvedljivi digitalni filtri, ki delujejo v realnem času, lahko uporabijo naslednje podatke za generiranje izhodnega signala v i-ti diskretni časovni točki: a) vrednost vhodnega signala v trenutku i-tega vzorca, kot tudi določeno število "preteklih" vhodnih vzorcev b) nekaj prejšnjih vzorcev izhodnega signala Cela števila m in n določata vrstni red digitalnega filtra. Razvrstitev digitalnega filtra se izvaja na različne načine, odvisno od tega, kako se uporabljajo informacije o preteklih stanjih sistema.

Prehodni CF. Zato je običajno klicati filtre, ki delujejo v skladu z algoritmom

kje -zaporedje koeficientov.

Številka T je vrstni red prečnega digitalnega filtra. Kot je razvidno iz formule (2.138), transverzalni filter izvaja tehtano seštevanje prejšnjih vzorcev vhodnega signala in ne uporablja preteklih vzorcev izhodnega signala. Če uporabimo z-transformacijo za oba dela izraza (2.138), vidimo, da

Iz tega sledi, da sistem deluje

je ulomna racionalna funkcija z , ki ima m-kratni pol pri z= 0 in T ničle, katerih koordinate so določene s koeficienti filtra.

Algoritem delovanja prečnega digitalnega filtra je ponazorjen s blokovnim diagramom, prikazanim na sl. 2.17.

riž. 2.17. Shema za konstruiranje prečnega digitalnega filtra

Glavni elementi filtra so bloki zamude referenčnih vrednosti za en interval vzorčenja (pravokotniki s simboli z -1), pa tudi bloki lestvice, ki izvajajo operacije digitalnega množenja z ustreznimi koeficienti. Iz izhodov merilnih blokov signali vstopijo v seštevalnik, kjer, ko seštejemo, tvorijo štetje izhodnih signalov.

Vrsta sheme, predstavljena tukaj, pojasnjuje pomen izraza "prečni filter" (iz angleškega transverse - transverse).

impulzni odziv. Vrnimo se k formuli (2.139) in izračunamo impulzni odziv transverzalnega digitalnega filtra z izvedbo inverzne z-transformacije. Zlahka je videti, da vsak člen funkcije H(z) prispeva k enakemu ustreznemu koeficientu , premaknjeno z P položaji v zaostali smeri. Torej tukaj

Do tega zaključka lahko pridemo tudi neposredno, če upoštevamo blokovni diagram filtra (glej sliko 2.17) in predpostavimo, da je na njegov vhod uporabljen »enkraten impulz« (1, 0, 0, 0, ...).

Pomembno je omeniti, da impulzni odziv transverzalnega filtra vsebuje končno število členov.

frekvenčni odziv.Če v formuli (2.139) spremenimo spremenljivko , potem dobimo koeficient prenosa frekvence

Za dani korak vzorčenja A S pravilno izbiro utežnih koeficientov filtra je mogoče implementirati najrazličnejše oblike frekvenčnega odziva.

Metode sinteze digitalnih filtrov. V praksi sinteze digitalnih filtrov se najpogosteje uporabljajo tri spodaj opisane metode.

Metoda invariantnih impulznih odzivov.

Ta metoda temelji na predpostavki, da mora sintetizirani digitalni filter imeti impulzni odziv, ki je rezultat vzorčenja impulznega odziva ustreznega prototipa analognega filtra. Ob upoštevanju sinteze fizično uresničljivih sistemov, pri katerih impulzni odziv izgine t<0 , dobimo naslednji izraz za impulzni odziv digitalnega filtra:

kje T korak časovnega vzorčenja.

Opozoriti je treba, da je število posameznih členov v izrazu za impulzni odziv digitalnega filtra lahko končno ali neskončno. To določa strukturo sintetiziranega filtra: prečni filter ustreza impulznemu odzivu s končnim številom vzorcev, medtem ko je za izvajanje neomejeno razširjenega impulznega odziva potreben rekurzivni digitalni filter.

Razmerje med koeficientom impulznega odziva in strukturo digitalnega filtra je še posebej preprosto pri prečnem filtru. V splošnem primeru se sinteza filtrirne strukture izvede z uporabo z-transformacije v zaporedje zgoraj navedene oblike. Iskanje sistemske funkcije H(z) filter, ga primerjajte s splošnim izrazom in določite koeficiente prečnega in rekurzivnega dela. Stopnja aproksimacije amplitudno-frekvenčne karakteristike sintetiziranega digitalnega filtra lastnosti analognega prototipa je odvisna od izbranega koraka vzorčenja. Po potrebi izračunajte frekvenčni dobiček digitalnega filtra z implementacijo v sistemsko funkcijo H(z) sprememba spremenljivke po formuli
in nato primerjajte rezultat s frekvenčnim ojačanjem analognega vezja.

Sinteza digitalnega filtra na podlagi diskretizacije diferencialne enačbe

analogno vezje.

Strukturo digitalnega filtra, ki približno ustreza znanemu analognemu vezju, lahko dobimo z diskretizacijo diferencialne enačbe, ki opisuje analogni prototip. Kot primer uporabe te metode razmislite o sintezi digitalnega filtra, ki ustreza oscilatornemu dinamičnemu sistemu 2. reda, pri katerem je razmerje med izhodnim nihanjem y(t) in vhodno valovno obliko x(t) je določena z diferencialno enačbo

(2.142)

Predpostavimo, da je korak vzorčenja  t in razmislite o nizih diskretnih vzorcev  pri 1  in  X 1  . Če izpeljanke v formuli zamenjamo z njihovimi izrazi končne razlike, se diferencialna enačba spremeni v diferencialno enačbo

Če prerazporedimo pogoje, dobimo:

(2.144)

Enačba razlike definira algoritem rekurzivnega filtra 2. reda, ki modelira analogni oscilatorni sistem in se imenuje digitalni resonator. Z ustrezno izbiro koeficientov lahko digitalni resonator deluje kot frekvenčno selektivni filter, podoben nihajnemu krogu.

Metoda invariantnih frekvenčnih karakteristik .

V osnovi je nemogoče ustvariti digitalni filter, katerega frekvenčni odziv bi natančno ponovil frekvenčni odziv nekega analognega vezja. Razlog je v tem, da je, kot je znano, frekvenčni dobiček digitalnega filtra periodična funkcija frekvence s obdobjem, določenim s korakom vzorčenja.

Ko govorimo o podobnosti (invariantnosti) frekvenčnih značilnosti analognega in digitalnega filtra, lahko zahtevamo le, da se celotno neskončno območje frekvenc ω a, povezanih z analognim sistemom, pretvori v frekvenčni segment ω c digitalnega filtra, ki izpolnjuje neenakosti
ob ohranjanju splošne oblike frekvenčnega odziva.

Pustiti K a (R) prenosna funkcija analognega filtra, podana z ulomno-racionalnim izrazom v potencah str. Če uporabimo razmerje med spremenljivkami z in p , potem lahko zapišemo:

. (2.145)

S tem zakonom komunikacije med str in z nemogoče je dobiti fizično implementirano funkcijo sistemskega filtra, saj je v izrazu zamenjana K a (R) bo dal sistemsko funkcijo, ki ni izražena kot količnik dveh polinomov. Zato je za sintetiziranje nizkoprepustnih filtrov relacija oblike

, (2.146)

ki tudi preslika točke enotnega kroga v ravnini z v točke namišljene osi v ravnini p. Potem

, (2.147)

od koder sledi razmerje med frekvenčnimi spremenljivkami  analognih in digitalnih sistemov:

. (2.148)

Če je stopnja vzorčenja dovolj visoka ( c T<<1), potem, kot je zlahka razvidno iz formule (2.147),  a  c. Tako so pri nizkih frekvencah značilnosti analognega in digitalnega filtra skoraj enake. Na splošno je treba upoštevati preoblikovanje lestvice vzdolž frekvenčne osi digitalnega filtra.

V praksi je postopek sinteze digitalnega filtra v tem, da je v funkciji K a (R) analogno vezje, se spremenljivka zamenja po formuli (2.145). Sistemska funkcija digitalnega filtra, pridobljena v tem primeru, se izkaže za delno racionalno in zato omogoča neposredno zapisovanje algoritma digitalnega filtriranja.

Vprašanja za samopregledovanje

Kateri filter se imenuje ujemajoči se.

Kakšen je impulzni odziv filtra.

Kakšen je signal na izhodu usklajenega filtra.

Katere filtre imenujemo digitalni.

Kakšna je razlika med rekurzivnimi in transverzalnimi algoritmi filtra.

Poimenujte glavne metode za sintezo digitalnih filtrov .

Katere so glavne lastnosti diskretne Fourierjeve transformacije.

Algoritmi za analitično kalibracijo, digitalno filtriranje z metodami eksponentnega glajenja in drsečega povprečja. Robusten, visokoprepustni, pasovni in zarezni filtri. Diskretna diferenciacija, integracija in povprečje izmerjenih vrednosti.

Filter je sistem ali omrežje, ki selektivno spreminja obliko signala (amplitudno-frekvenčni ali fazno-frekvenčni odziv). Glavni cilji filtriranja so izboljšati kakovost signala (na primer odpraviti ali zmanjšati motnje), pridobiti informacije iz signalov ali ločiti več signalov, ki so bili predhodno združeni, da bi na primer učinkovito uporabili razpoložljiv komunikacijski kanal.

Digitalni filter - kateri koli filter, ki obdeluje digitalni signal, da bi poudaril in/ali zadušil določene frekvence tega signala.

Za razliko od digitalnega filtra se analogni filter ukvarja z analognim signalom, njegove lastnosti so nediskretne (neprekinjene), prenosna funkcija pa je odvisna od notranjih lastnosti njegovih sestavnih elementov.

Poenostavljen blokovni diagram digitalnega filtra v realnem času z analognim vhodom in izhodom je prikazan na sliki 2. 8a. Ozkopasovni analogni signal se periodično vzorči in pretvori v niz digitalnih vzorcev, x(n), n = 0,1. Digitalni procesor izvede filtriranje in preslika vhodno zaporedje x(n) v izhodno zaporedje y(n) po algoritmu računskega filtra. DAC pretvori digitalno filtriran izhod v analogne vrednosti, ki se nato analogno filtrirajo, da zgladi in odstrani neželene visokofrekvenčne komponente.

riž. 8a. Poenostavljen blokovni diagram digitalnega filtra

Delovanje digitalnih filtrov zagotavlja predvsem programska oprema, zato so v primerjavi z analognimi veliko bolj prilagodljivi pri uporabi. S pomočjo digitalnih filtrov je mogoče realizirati takšne prenosne funkcije, ki jih je z običajnimi metodami zelo težko dobiti. Vendar digitalni filtri še ne morejo nadomestiti analognih filtrov v vseh situacijah, zato ostaja potreba po najbolj priljubljenih analognih filtrih.

Da bi razumeli bistvo digitalnega filtriranja, je treba najprej določiti matematične operacije, ki se izvajajo na signalih v digitalnem filtriranju (DF). Če želite to narediti, se je koristno spomniti na definicijo analognega filtra.

Linearni analogni filter je štiriterminalno omrežje, v katerem je realizirana linearna transformacija vhodnega signala v izhodni signal. Matematično je ta transformacija opisana z navadno linearno diferencialna enačba N-to naročilo

kjer in sta koeficienta, ki sta bodisi konstanti bodisi funkcije časa t; - vrstni red filtra.

Linearni diskretni filter je diskretna različica analognega linearnega filtra, v katerem je kvantizirana (vzorčena) neodvisna spremenljivka - čas (- korak vzorčenja). V tem primeru lahko celoštevilsko spremenljivko obravnavamo kot "diskretni čas", signale pa kot funkcije "diskretnega časa" (tako imenovane mrežne funkcije).

Matematično je funkcija linearnega diskretnega filtra opisana z linearnim razlika enačba prijazen

kjer in sta odčitki vhodnih in izhodnih signalov; in - koeficienti algoritma filtriranja, ki so bodisi konstante bodisi funkcije "diskretnega časa" n.

Algoritem filtriranja (2.2) se lahko izvaja z analogno ali digitalno tehnologijo. V prvem primeru odčitki vhodnih in izhodnih signalov niso kvantizirani po nivoju in lahko zavzamejo poljubne vrednosti v območju njihove spremembe (tj. imajo moč kontinuuma). V drugem primeru so vzorci signala in so podvrženi nivojski kvantizaciji, zato lahko sprejmejo le "dovoljene" vrednosti, ki jih določa bitna globina digitalnih naprav. Poleg tega so kodirani kvantizirani vzorci signalov, tako da se aritmetične operacije, izvedene v izrazu (2.2), ne izvajajo nad samimi signali, temveč z njihovimi binarnimi kodami. Zaradi kvantizacije z nivojem signala in , pa tudi s koeficienti in , enakost v algoritmu (2.2) ne more biti natančna in je izpolnjena le približno.

Tako je linearni digitalni filter digitalna naprava, ki približno izvaja algoritem filtriranja (2.2).

Glavna pomanjkljivost analognih in diskretnih filtrov je, da se ob spremembi delovnih pogojev (temperatura, tlak, vlaga, napajalne napetosti, staranje elementov itd.) spreminjajo njihovi parametri. To vodi do nenadzorovano napake izhodnega signala, t.j. nizko natančnost obdelave.

Napaka izhodnega signala v digitalnem filtru ni odvisna od pogojev delovanja (temperatura, tlak, vlaga, napajalne napetosti ipd.), temveč jo določata le korak kvantizacije signala in algoritem samega filtra, t.j. notranji razlogi. Ta napaka je nadzorovano, ga je mogoče zmanjšati s povečanjem števila bitov za predstavljanje vzorcev digitalnega signala. Prav ta okoliščina določa glavne prednosti digitalnih filtrov pred analognimi in diskretnimi (visoka natančnost obdelave signala in stabilnost značilnosti digitalnega filtra).

Digitalni filtri so glede na vrsto algoritma obdelave signala razdeljeni na stacionarni in nestacionarni, rekurzivno in nerekurzivna, linearna in nelinearni.

Glavna značilnost CF je algoritem filtriranja, na katerem se izvaja implementacija digitalnega filtra. Algoritem filtriranja opisuje delovanje digitalnih filtrov katerega koli razreda brez omejitev, druge značilnosti pa imajo omejitve glede razreda digitalnih filtrov, nekateri so na primer primerni za opis samo stacionarnih linearnih digitalnih filtrov.

riž. 11. Klasifikacija CF

Na sl. 11 prikazuje klasifikacijo digitalnih filtrov (DF). Razvrstitev temelji na funkcionalnem principu, tj. Digitalni filtri so razdeljeni na podlagi algoritmov, ki jih izvajajo, in ne upoštevajo nobenih značilnosti vezja.

Izbira frekvence ZF. To je najbolj znana, dobro raziskana in v praksi preizkušena vrsta digitalnega filtra. Z algoritemskega vidika digitalni filtri za izbiro frekvence rešujejo naslednje težave:

izbira (zatiranje) enega a priori danega frekvenčnega pasu; glede na to, katere frekvence so potlačene in katere ne, se razlikuje med nizkoprepustnim filtrom (LPF), visokoprepustnim filtrom (HPF), pasovnim filtrom (PF) in zareznim filtrom (RF);

· razdelitev na ločene frekvenčne kanale enakovrednih in enakomerno razporejenih po celotnem frekvenčnem območju spektralnih komponent signala z linijskim spektrom; razlikovati digitalni filter z decimacijo v času in z decimacijo po frekvenci; in ker je glavna metoda zmanjševanja stroškov strojne opreme kaskadiranje nizov PF, ki so nižje selektivni od originalnih, je nastala večstopenjska piramidna struktura imenovana digitalni filter "predizbirnik-izbirnik";

· razdelitev na ločene frekvenčne kanale spektralnih komponent signala, katerih spekter je sestavljen iz podpasov različnih širin, neenakomerno razporejenih v območju delovanja filtra.

Razlikujemo med filtrom s končnim impulznim odzivom (FIR filter) ali filtrom z neskončnim impulznim odzivom (filter IIR).

Optimalni (kvazioptimalni) digitalni filtri. Ta vrsta filtrov se uporablja, kadar je treba oceniti določene fizikalne količine, ki označujejo stanje sistema, ki je podvržen naključnim motnjam. Trenutni trend je uporaba dosežkov teorije optimalnega filtriranja in implementacija naprav, ki minimizirajo srednji kvadrat napake ocenjevanja. Delimo jih na linearne in nelinearne, odvisno od tega, katere enačbe opisujejo stanje sistema.

Če so enačbe stanja linearne, se uporablja optimalni Kalmanov digitalni filter, če pa so enačbe stanja sistema nelinearne, se uporabljajo različni večkanalni digitalni filtri, katerih kakovost se izboljša s povečanjem števila kanalov. .

Obstajajo različni posebni primeri, ko je mogoče algoritme, ki jih izvajajo optimalni (kvazioptimalni) digitalni filtri, poenostaviti brez pomembne izgube natančnosti: to je, prvič, primer linearnega stacionarnega sistema, ki vodi do dobro znanega Wienerjevega digitalnega filtra; drugič, primer opazovanj le v eni fiksni točki v času, kar vodi do digitalnega filtra, ki je optimalen glede na merilo največjega razmerja signal/šum (SNR); tretjič, primer enačb stanja sistema blizu linearnega, ki vodijo do nelinearnih filtrov prvega in drugega reda itd.

Pomemben problem je tudi zagotoviti neobčutljivost vseh navedenih algoritmov na odstopanje statističnih značilnosti sistema od vnaprej določenih; sintezo takšnih digitalnih filtrov, imenovanih robustni.

Prilagodljivi CF. Bistvo prilagodljivega digitalnega filtriranja je naslednje: za obdelavo vhodnega signala (običajno so prilagodljivi digitalni filtri zgrajeni kot enokanalni) se uporablja običajen FIR filter; vendar IR tega filtra ne ostane nastavljen enkrat za vselej, kot je bil ob upoštevanju digitalnega filtra frekvenčnega izbora; prav tako se ne spreminja po a priori danem zakonu, kot je bilo ob upoštevanju Kalmanove CF; IR se popravi s prihodom vsakega novega vzorca na način, da se zmanjša povprečna kvadratna napaka filtriranja v tem koraku. Prilagodljivi algoritem se razume kot ponavljajoči se postopek za preračunavanje vektorja vzorcev IC v prejšnjem koraku v vektor "novih" vzorcev IC za naslednji korak.

Hevristični CF. Obstajajo situacije, ko je uporaba postopkov obdelave, ki so pravilni z matematičnega vidika, nepraktična, saj vodi do nerazumno visokih stroškov strojne opreme. Hevristični pristop je (iz grščine in lat. Evrica- "Iščem", "odkrivam") pri uporabi znanja, preučevanju ustvarjalnega, nezavednega razmišljanja osebe. Hevristika je povezana s psihologijo, fiziologijo višje živčne dejavnosti, kibernetiko in drugimi vedami. Hevristični pristop je "generiran" z željo razvijalcev po znižanju stroškov strojne opreme in je postal razširjen kljub pomanjkanju stroge matematične utemeljitve. Gre za tako imenovane digitalne filtre z avtorskimi veznimi rešitvami, eden najbolj znanih primerov je t.i. srednji filter.