アナログフィルターの時間特性の計算と構築。 インパルス応答と伝達関数インパルス伝達応答

A-priory 伝達機能（PF）は、ゼロの初期条件での出力座標と入力座標の画像の比率に等しい演算子です。

W（p）= R（p）/ Q（p）

サービス目的..。 制御オブジェクト（OC）は線形で記述されます 微分方程式 n注文。 n次の振動リンクの場合、以下が決定されます。

1. 伝達機能;
2. 周波数特性（振幅（AFC）、位相（PFC）、対数（LFC））;
3. トランジェントおよびインパルストランジェント（重み）関数。
4. 過渡特性と周波数特性のグラフ。

オンラインで伝達関数を見つけるには、リンクのタイプを選択し、リンクの次数を入力する必要があります。

例。 制御プラント（OC）は、3次の線形微分方程式で記述されます。
(2)
1) 伝達機能一般的な場合のOAは、関係の形で表すことができます
W（iω）= A（ω）eiφ（ω）= U（ω）+ iV（ω）、
ここで、R（p）とQ（p）は、式1の左辺と右辺に対応するOUの出力変数と入力変数のラプラス画像です。したがって、伝達関数は次の形式になります。
(3)
また
. (4)

2）オペアンプの周波数特性を決定します。 周波数伝達関数W（ω）は次のように表すことができます。
, (5)
ここで、A（ω）-振幅周波数応答（AFC）;
φ（ω）-位相周波数応答（PFC）;
U（ω）-実周波数応答（HFC）;
V（ω）-虚数周波数応答;
pの代わりにiωを式（3）に代入します。 我々が得る：
(6)
式（5）と（6）に基づいて、振幅と位相の周波数特性を分離し、係数の数値に置き換えます。 その事実に基づいて：
A（ω）= | W（iω）|
φ（ω）= arg（W（iω））
（複素数を参照）。 最終的に次のようになります。 (7)

3）対数振幅周波数応答（LAFC）を決定します。
LFCは次の比率から決定されることが知られています。
L（ω）= 20lg（A（ω））（8）
この特性はdB（デシベル）の次元を持ち、入力値に対する出力値の電力比の変化を示します。 便宜上、LAFCは対数目盛でプロットされています。
対数目盛でプロットされた位相周波数応答は、対数位相周波数応答（LPFC）と呼ばれます。
初期データのLAFCとLPFCのプロット例を図1に示します。
インパルス過渡（重み）関数を定義しましょう。 重み関数w（t）は、入力に適用された単位インパルス関数に対するシステムの応答です。 重み関数は、ラプラス変換による伝達関数に関連しています。
. (9)
したがって、重み関数は、伝達関数に逆ラプラス変換を適用することによって見つけることができます。
w（t）= L -1（10）

インパルス過渡機能 (重み関数, インパルス応答）は、ディラックのデルタ関数の形式での入力信号への反応としての動的システムの出力信号です。 デジタルシステムでは、入力信号は最小幅（ディスクリートシステムのサンプリング周期に等しい）と最大振幅の単純なパルスです。 信号フィルタリングに適用されるように、それはまた呼ばれます フィルターコア..。 制御理論、信号および画像処理、通信理論、その他の工学分野で広く使用されています。

意味 [ | ]

インパルス応答システムは、ゼロ初期条件での単位インパルスに対する応答と呼ばれます。

プロパティ [ | ]

応用 [ | ]

システム分析 [ | ]

周波数応答回復[ | ]

インパルス応答の重要な特性は、入力信号の複素スペクトルに対するシステムの出力での信号の複素スペクトルの比率として定義される、それに基づいて複素周波数応答を取得できるという事実です。

複素周波数応答（CFC）は、複素関数の分析式です。 CFCは複素平面にプロットされ、次のように呼ばれる動作周波数範囲でのベクトルの端の軌道の曲線を表します。 ホドグラフKCHH。 CFCをプロットするには、通常、動作周波数範囲で5〜8ポイントが必要です。実現可能な最小周波数からカットオフ周波数（実験終了の周波数）までです。 CCH、および時間特性は 完全な情報線形力学系の特性について。

フィルタの周波数応答は、フーリエ変換（この場合は離散フーリエ変換）として定義されます。 デジタル信号）インパルス応答について。

H（jω）=∫--∞+∞h（τ）e--jωτdτ（\ displaystyle H（j \ omega）= \ int \ limits _（-\ infty）^（+ \ infty）h（ \ tau）e ^（-j \ omega \ tau）\、d \ tau）

インパルス応答を決定するには NS(NS、τ）、ここでτは露光時間、 NS-応答の出現と動作の時間、回路の与えられたパラメータに従って回路の微分方程式を直接使用する必要があります。

見つける方法を分析するには NS(NS、τ）、一次方程式で記述された単純なチェーンを考えてみましょう。

どこ NS(NS） - 影響、 y(NS）は応答です。

定義上、インパルス応答は単一のデルタパルスδ（ NS-τ）現時点で入力に供給 NS=τ。 この定義から、方程式の右辺にある場合、 NS(NS)=δ( NS-τ）、次に左側で受け入れることができます y(NS)=NS(NS,).

したがって、方程式に到達します

.

なぜなら 右の部分この方程式のは、点を除いてどこでもゼロに等しい NS=τ、関数 NS(NS）同次微分方程式の解の形で求めることができます。

前の式に続く初期条件、およびインパルスの適用の瞬間までにδ（ NS-τ）回路に電流と電圧はありません。

最後の方程式は変数を分離します：

どこ
-曝露時のインパルス応答の値。

NS 初期値を決定するには
元の方程式に戻ります。 それから、その時点で
関数 NS(NS）1 /ジャンプする必要があります NS 1（τ）、この条件下でのみ元の方程式の最初の項 NS 1 (NS)[dg/dt]はデルタ関数δ（ NS-τ).

以来

、そして現時点では

.

不定積分を可変の積分上限を持つ不定積分に置き換えると、インパルス応答を決定するための関係が得られます。

インパルス応答がわかれば、両方の軸が1対のフーリエ変換によって接続されているため、線形パラメトリック回路の伝達関数を簡単に決定できます。

どこ NS=NS-τ-信号遅延。 関数 NS 1 (NS,NS）は関数から取得されます
τ=を置き換えることによって t-a.

最後の式に加えて、伝達関数の別の定義を取得できます。この定義では、インパルス応答が使用されます。 NS 1 (NS,NS） 表示されません。 これを行うには、応答に逆フーリエ変換を使用します NSアウト （ NS):

.

入力信号が高調波の場合、 NS(NS）=cosω0 NS..。 対応する NS(NS）分析信号は
.

この信号のスペクトル面

代用
それ以外の
最後の式に、

ここから私たちは見つけます：

ここ Zアウト （ NS）-出力信号に対応する分析信号 NSアウト （ NS).

したがって、高調波作用のある出力信号

他の線形回路と同じ方法で定義されます。

伝達関数の場合 K(NSω 0 , NS）基本周波数Ωの周期律に従って時間変化すると、フーリエ級数として表すことができます。

どこ
-時間に依存しない係数、一般的な場合、複素数。定数パラメーターを持ついくつかの2ポートネットワークの伝達関数として解釈できます。

仕事

2つの4ポートネットワークのカスケード（直列）接続の伝達関数と見なすことができます。1つは伝達関数を備えています。
、時間に依存せず、2番目は伝達関数を使用します
、これは時間とともに変化しますが、入力信号の周波数ω0には依存しません。

最後の式に基づいて、パラメータが定期的に変化するパラメトリック回路は、次の等価回路として表すことができます。

出力信号のスペクトルに新しい周波数が形成されるプロセスはどこにありますか？

出力での分析信号は等しくなります

ここで、φ0、φ1、φ2...は2ポートネットワークの位相特性です。

出力で実際の信号に渡すと、次のようになります。

この結果は、可変パラメータを持つ回路の次の特性を示しています。伝達関数が、基本周波数の複雑であるが周期的な法則に従って変化する場合

Ω、周波数ω0の高調波入力信号は、周波数ω0、ω0±Ω、ω0±2Ωなどを含む回路の出力でスペクトルを形成します。

複素信号が回路の入力に適用される場合、上記のすべてが周波数ωのそれぞれと入力スペクトルに適用されます。 もちろん、線形パラメトリック回路では、入力スペクトルの個々の成分（重ね合わせの原理）と次の形式の周波数との間に相互作用はありません。 NSω1± NSω2ここで、ω1とω2は入力信号の異なる周波数です。

2.3伝達関数の一般的なプロパティ。

離散回路の安定性基準は、アナログ回路の安定性基準と一致します。伝達関数の極は、複素変数の左半平面に配置する必要があります。これは、の単位円内の極の位置に対応します。飛行機

連鎖移動機能 一般的な見解（2.3）に従って、次のように記述されます。

ここで、項の符号は係数a i、b jで考慮されますが、b 0 = 1です。

Zの有理関数の物理的実現可能性の要件の形で、一般的な形式のチェーンの伝達関数のプロパティを定式化すると便利です。Zの任意の有理関数は、安定した離散チェーンの伝達関数として実現できます。この関数が要件を満たしている場合、最大係数H0ЧHQ：

1.係数ai、b jは実数、

2.方程式V（Z）= 0の根、つまり H（Z）の極は、Z平面の単位円内にあります。

係数H0ЧZQは、信号H 0の一定の増幅と、QTの値による時間軸に沿った信号の一定のシフトを考慮に入れています。

2.4周波数特性。

離散回路伝達関数複合体

回路の周波数特性を定義します

周波数応答、-位相周波数応答。

（2.6）に基づいて、一般的な形式の伝達関数複合体は次のように書くことができます。

したがって、周波数応答と位相周波数応答の式

ディスクリート回路の周波数特性は周期関数です。 繰り返し周期は、サンプリングレートwdに等しくなります。

周波数特性は通常、周波数軸に沿ってサンプリング周波数に正規化されます

ここで、Wは正規化された周波数です。

コンピュータを使った計算では、周波数の正規化が必要になります。

例。 回路の周波数特性を決定します。その伝達関数は

H（Z）= a 0 +a1ЧZ-1。

伝達関数の複素数：H（jw）= a 0 + a 1 e -jwT。

周波数の正規化を考慮に入れる：wT = 2pHW。

H（jw）= a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW-ja 1 sin2pW。

周波数応答と位相応答の式

H（W）=、j（W）=-アークタン .

a 0> a 1の条件下での正の値a0およびa1の周波数応答および位相周波数応答のグラフを図（2.5、a、b）に示します。

周波数応答の対数目盛-減衰A：

; . (2.10)

伝達関数の零点は、Z平面の任意の点に配置できます。零点が単位円内に配置されている場合、そのような回路の周波数応答と位相応答の特性は、ヒルベルト変換によって関連付けられ、次の方法で一意に決定できます。もう1つ。 このような回路を最小フェーズ型回路と呼びます。 少なくとも1つのゼロが単位円の外側にある場合、そのチェーンは、ヒルベルト変換が適用できない非線形位相タイプのチェーンに属しています。

2.5 インパルス応答..。 畳み込み。

伝達関数は、周波数領域で回路を特徴づけます。 時間領域では、回路はインパルス応答h（nT）によって特徴付けられます。 離散回路のインパルス応答は、離散d関数に対する回路の応答です。 インパルス応答と伝達関数はシステムの特性であり、Z変換式によってリンクされています。 したがって、インパルス応答は特定の信号と見なすことができ、伝達関数H（Z）-Zはこの信号のイメージです。

ノルムがシステムの周波数特性に関連して設定されている場合、伝達関数は設計の主な特性です。 したがって、主な特性は、基準が時間内に設定されている場合のインパルス応答です。

インパルス応答は、d関数に対する回路の応答として回路から直接決定するか、x（nT）= d（t）と仮定して回路の差分方程式を解くことによって決定できます。

例。 回路のインパルス応答を決定します。その図を図2.6、bに示します。

チェーンの差分方程式y（nT）= 0.4 x（nT-T）-0.08 y（nT-T）。

x（nT）= d（t）の場合、数値形式の差分方程式の解

n = 0; y（0T）= 0.4 x（-T）-0.08 y（-T）= 0;

n = 1; y（1T）= 0.4 x（0T）-0.08 y（0T）= 0.4;

n = 2; y（2T）= 0.4 x（1T）-0.08 y（1T）= -0.032;

n = 3; y（3T）= 0.4 x（2T）-0.08 y（2T）= 0.00256; NS。 ..。

したがって、h（nT）=（0; 0.4; -0.032; 0.00256; ...）

安定した回路の場合、インパルス応答のカウントは時間の経過とともにゼロになる傾向があります。

インパルス応答は、次のように適用することにより、既知の伝達関数から決定できます。

NS。 逆Z変換、

NS。 分解定理、

v。 分子多項式を分母多項式で除算した結果のラグ定理。

リストされた方法の最後は、問題を解決するための数値的方法を参照しています。

例。 伝達関数により、図（2.6、b）の回路のインパルス応答を決定します。

ここでH（Z）= .

分子を分母で割る

除算の結果に遅延定理を適用すると、次のようになります。

h（nT）=（0; 0.4; -0.032; 0.00256; ...）

結果を前の例の差分方程式を使用した計算と比較すると、計算手順の信頼性を確信できます。

図（2.6、a）の回路のインパルス応答を独立して決定し、検討した両方の方法を連続して適用することを提案します。

伝達関数の定義によれば、Z-回路の出力での信号のイメージは、Z-回路の入力での信号のイメージと回路の伝達関数の積として定義できます。 ：

Y（Z）= X（Z）ЧH（Z）。 （2.11）

したがって、畳み込み定理により、入力信号とインパルス応答の畳み込みにより、回路の出力に信号が与えられます。

y（nT）= x（kT）Чh（nT-kT）= h（kT）Чx（nT-kT）。 （2.12）

畳み込み式による出力信号の決定は、計算手順だけでなく、技術システムの機能のためのアルゴリズムとしても応用できます。

x（nT）=（1.0; 0.5）の場合、回路の出力で信号を決定します。その図を図（2.6、b）に示します。

ここで、h（nT）=（0; 0.4; -0.032; 0.00256; ...）

（2.12）による計算

n = 0：y（0T）= h（0T）x（0T）= 0;

n = 1：y（1T）= h（0T）x（1T）+ h（1T）x（0T）= 0.4;

n = 2：y（2T）= h（0T）x（2T）+ h（1T）x（1T）+ h（2T）x（0T）= 0.168;

したがって、y（nT）=（0; 0.4; 0.168; ...）。

技術システムでは、線形畳み込み（2.12）の代わりに、巡回畳み込みまたは巡回畳み込みがより頻繁に使用されます。

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回路のタイミング特性は、元の信号の一般的な成分に対する応答と呼ばれます。

回路の過渡応答は、アクションに対する初期条件がゼロの回路の応答です。 ユニット機能（ヘビサイド関数）。 過渡応答は、演算子の伝達関数から演算子で除算し、残差を介した逆ラプラス変換を使用して、結果の画像から元の画像を見つけることによって決定されます。

回路のインパルス応答は、デルタ関数に対する回路の応答です。 -単位面積の持続時間が無限に短く、振幅パルスが無限に大きい。 インパルス応答は、回路の伝達関数から残基を見つけることによって決定されます。

また、演算子法を使用してチェーンの時間特性を検索します。 これを行うには、入力信号の演算子画像を見つけ、それを演算子形式の透過係数で乗算し、得られた式から元の画像を見つける必要があります。つまり、回路の透過係数がわかれば、応答を見つけることができます。どんな行動にも。

インパルス応答を見つけることは、デルタ関数に対する回路の応答を見つけることに還元されます。 デルタ関数の画像は1であることが知られています。逆ラプラス変換を適用して、インパルス応答を見つけます。

.

分子と分母の先行係数の次数が等しいため、チェーンの伝達関数の部分全体を選択しましょう。

分母をゼロに等しくすることにより、伝達関数の特異点を見つけます。

特異点は1つしかないので、この特異点で控除を行います。

インパルス応答の式は次のように記述されます。

同様に、ヘヴィサイド関数の場合、画像が関数であることを知って、回路の過渡応答を見つけます。

; , ;

過渡応答とインパルス応答は、入力アクションと同様に相互に関連しています。

回路の周波数特性と時間特性の間の制限関係が満たされていることを確認しましょう。 以下の条件を満たす：

システム内の回路の特性を具体的な表現に置き換えます。

.

ご覧のとおり、条件が満たされています。これは、見つかった数式が正しいことを示しています。

正規化を考慮して、時間特性の最終式を書き留めましょう。

上記の式を使用して、これらの関数のグラフを作成します。

フーリエ信号アナログ線形

図2.5-アナログプロトタイプフィルターのインパルス応答

図2.6-アナログプロトタイプフィルターの過渡応答

応答が影響を超えることはできないため、時間的特性はにのみ存在します。

私たちのチェーンは差別化されているため、 過渡応答このように動作します。 微分回路はトランジェントをシャープにし、リーディングエッジを通過します。 過去は「投げ」に責任があります 高周波、および閉塞の背後にある-低周波数を通過しません。

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