Determinazione della risposta all'impulso. Caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti lineari. Metodi di cronometraggio
18. Reazione circuiti lineari Su funzioni dell'unità... Caratteristiche transitorie e impulsive del circuito, loro connessione.
Funzione passo singolo (abilita funzione) 1 (t) è definito come segue:
Grafico delle funzioni 1 (t) è mostrato in Fig. 2.1.
Funzione 1 (t) è zero per tutti i valori negativi dell'argomento e uno per t 0. Introduciamo anche in considerazione la funzione step unitario spostato
Un tale impatto si accende al momento del tempo T= T ..
La tensione sotto forma di una funzione a passo singolo all'ingresso del circuito sarà quando è collegata una sorgente di tensione costante tu 0 = 1 V a T= 0 utilizzando una chiave ideale (fig. 2.3).
Separare funzione di impulso (d - funzione, funzione di Dirac) è definita come la derivata di una funzione a gradino unitario. Dal momento che in questo momento T= 0 funzione 1 (T) subisce una discontinuità, quindi la sua derivata non esiste (volge all'infinito). Pertanto, la funzione impulso unitario
È una funzione speciale o un'astrazione matematica, ma è ampiamente utilizzata nell'analisi di oggetti elettrici e altri oggetti fisici. Funzioni di questo tipo sono considerate nella teoria matematica delle funzioni generalizzate.
Un impatto sotto forma di una singola funzione di impulso può essere considerato come un impatto d'urto (un'ampiezza sufficientemente grande e un tempo di esposizione infinitamente breve). Viene inoltre introdotta una funzione di impulso unitario, spostata nel tempo T= t
È consuetudine rappresentare una singola funzione di impulso sotto forma di una freccia verticale a T= 0, e spostato a - T= t (fig. 2.4).
Se prendiamo l'integrale della funzione impulso unitario, cioè determinare l'area da essa delimitata, si ottiene il seguente risultato:
Riso. 2.4.
Ovviamente, l'intervallo di integrazione può essere qualsiasi, purché il punto arrivi T= 0. L'integrale della funzione di impulso dell'unità di spostamento d ( t-t) è anche uguale a 1 (se il punto T= t). Se prendiamo l'integrale della funzione impulso unitario moltiplicato per qualche coefficiente UN 0 , allora ovviamente il risultato dell'integrazione sarà uguale a questo coefficiente. Pertanto, il coefficiente UN 0 prima d ( T) definisce l'area delimitata dalla funzione UN 0 D ( T).
Per l'interpretazione fisica della funzione d, è consigliabile considerarla come il limite a cui dovrebbe tendere una certa sequenza di funzioni ordinarie, ad esempio
Transitori e risposta all'impulso
Risposta transitoria h (t)è chiamata la reazione della catena all'impatto sotto forma di una funzione a passo singolo 1 (T). Risposta impulsiva g (t)è chiamata la reazione della catena all'azione sotto forma di una funzione impulso unitaria d ( T). Entrambe le caratteristiche sono determinate con condizioni iniziali nulle.
Le funzioni transitorie e impulsive caratterizzano il circuito nella modalità transitoria, poiché sono risposte a salti, cioè abbastanza pesante per qualsiasi sistema di impatto. Inoltre, come verrà mostrato di seguito, utilizzando le caratteristiche del transitorio e dell'impulso, è possibile determinare la risposta del circuito a un'azione arbitraria. Le caratteristiche transitorie e impulsive sono interconnesse così come le relative influenze sono interconnesse. La funzione di impulso unitario è la derivata della funzione di passo unitario (vedi (2.2)), quindi la risposta all'impulso è la derivata della risposta transitoria e al h(0) = 0 . (2.3)
Questa affermazione deriva dalle proprietà generali dei sistemi lineari, che sono descritte da equazioni differenziali lineari, in particolare, se la sua derivata viene applicata a una catena lineare con condizioni iniziali zero invece di un'azione, allora la reazione sarà uguale alla derivata di la reazione iniziale.
Delle due caratteristiche considerate, quella transitoria è determinata più semplicemente, poiché può essere calcolata dalla risposta del circuito all'accensione di una sorgente di tensione o corrente costante in ingresso. Se una tale reazione è nota, allora per ottenere h (t)è sufficiente dividerlo per l'ampiezza dell'azione della costante di ingresso. Ne consegue che la caratteristica transitoria (così come l'impulso) può avere la dimensione della resistenza, della conduttività, oppure essere una grandezza adimensionale, a seconda della dimensione dell'azione e della reazione.
Esempio ... Definisci di transizione h (t) e impulso G(T) caratteristiche del circuito RC seriale.
L'impatto è la tensione di ingresso tu 1 (T), e la reazione è la tensione ai capi della capacità tu 2 (T). Secondo la definizione della risposta transitoria, dovrebbe essere definita come la tensione in uscita quando una sorgente di tensione costante è collegata all'ingresso del circuito. tu 0
Questo problema è stato risolto nella Sezione 1.6, dove è stato ottenuto tu 2
(T)
= tu C
(T)
=
Così, h (t)
= tu 2
(T)
/ tu 0
= La risposta all'impulso è determinata da (2.3) 
.
3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici
Risposta all'impulso del circuito è chiamato il rapporto tra la reazione della catena a un'azione impulsiva e l'area di questa azione a condizioni iniziali zero.
A-priorità ,
dov'è la reazione del circuito all'azione dell'impulso;
- l'area dell'impulso dell'impatto.
In base alla risposta all'impulso nota del circuito, è possibile trovare la risposta del circuito a una determinata azione:.
Una singola azione di impulso, chiamata anche funzione delta o funzione di Dirac, viene spesso utilizzata come funzione di azione.
Una funzione delta è una funzione uguale a zero ovunque, tranne che per, e la sua area è uguale a uno ():
.
Si può arrivare al concetto di funzione delta considerando il limite di un impulso rettangolare con altezza e durata quando (Fig. 3):
Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento del circuito e la sua risposta all'impulso, per la quale utilizziamo il metodo dell'operatore.
A-priorità:
Se l'impatto (originale) è considerato per il caso più generale nella forma del prodotto dell'area dell'impulso per la funzione delta, cioè nella forma, allora l'immagine di questo impatto secondo la tabella di corrispondenza ha la forma:
.
Quindi, d'altra parte, il rapporto tra la reazione a catena trasformata di Laplace e l'ampiezza dell'area dell'impulso di impatto è la risposta all'impulso dell'operatore del circuito:
.
Quindi, .
Per trovare la risposta all'impulso di un circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:
, cioè, in realtà 
.
Riassumendo le formule, si ottiene la relazione tra la funzione di trasferimento dell'operatore del circuito e le caratteristiche del transitorio e dell'impulso dell'operatore del circuito:
Quindi, conoscendo una delle caratteristiche della catena, puoi determinarne altre.
Facciamo la trasformazione identica dell'uguaglianza, aggiungendo alla parte centrale.
Allora avremo.
Nella misura in cui 
è un'immagine della derivata della risposta transitoria, allora l'uguaglianza originale può essere riscritta come:
Passando all'area degli originali, otteniamo una formula che ci consente di determinare la risposta all'impulso del circuito in base alla sua risposta transitoria nota:
Se poi.
La relazione inversa tra queste caratteristiche è la seguente:
.
Di funzione di trasferimentoè facile stabilire la presenza di un termine nella funzione.
Se i gradi del numeratore e del denominatore sono gli stessi, allora sarà presente il termine in esame. Se la funzione è una frazione regolare, questo termine non esisterà.
Esempio: Determinare le caratteristiche dell'impulso per le tensioni e in un circuito in serie mostrato in Figura 4.
Definiamo:
Andiamo all'originale secondo la tabella delle corrispondenze:
.
Il grafico di questa funzione è mostrato in Figura 5.
Riso. 5
Funzione di trasmissione:
Secondo la tabella delle corrispondenze abbiamo:
.
Il grafico della funzione risultante è mostrato in Figura 6.
Segnaliamo che le stesse espressioni potrebbero essere ottenute utilizzando le relazioni che stabiliscono la connessione tra e.
Risposta impulsiva in senso fisico, riflette il processo delle oscillazioni libere e per questo motivo si può sostenere che nei circuiti reali la condizione deve essere sempre soddisfatta:
4. Integrali di convoluzione (sovrapposizioni)
Considera la procedura per determinare la risposta di un circuito elettrico lineare a un effetto complesso se è nota la risposta all'impulso di questo circuito. Assumeremo che l'impatto sia una funzione continua a tratti mostrata nella Figura 7.
Sia richiesto di trovare il valore della reazione in un determinato momento. Risolvendo questo problema, rappresentiamo l'impatto come una somma di impulsi rettangolari di durata infinitamente breve, uno dei quali, corrispondente ad un momento, è mostrato in Figura 7. Questo impulso è caratterizzato dalla sua durata e altezza.
Dal materiale precedentemente considerato, è noto che la risposta di un circuito a un breve impulso può essere considerata uguale al prodotto della risposta all'impulso del circuito e all'area dell'azione dell'impulso. Di conseguenza, la componente infinitamente piccola della reazione provocata da questa azione impulsiva al momento sarà pari a:
poiché l'area dell'impulso è uguale e il tempo passa dal momento della sua applicazione al momento dell'osservazione.
Utilizzando il principio di sovrapposizione, la risposta totale del circuito può essere definita come la somma di un numero infinitamente grande di componenti infinitesimali causati da una sequenza di influenze impulsive di area infinitamente piccola, che precedono un momento nel tempo.
Così:
.
Questa formula è valida per qualsiasi valore, quindi la variabile è solitamente indicata semplicemente. Quindi:
.
La relazione risultante è chiamata integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione. La funzione che si trova come risultato del calcolo dell'integrale di convoluzione è chiamata convoluzione e.
Puoi trovare un'altra forma dell'integrale di convoluzione se cambi le variabili nell'espressione risultante per:
.
Esempio: trovare la tensione attraverso la capacità di un circuito in serie (Fig. 8), se un impulso esponenziale della forma agisce all'ingresso:
circuito è associato a: un cambiamento nello stato energetico ... (+0) ,. Uc (-0) = Uc (+0). 3. di transizione caratteristica elettrico Catene questo: risposta a un singolo passaggio ...
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Una caratteristica notevole dei sistemi lineari - la validità del principio di sovrapposizione - apre un percorso diretto alla soluzione sistematica dei problemi del passaggio di vari segnali attraverso tali sistemi. Il metodo della rappresentazione dinamica (vedi Cap. 1) permette di rappresentare i segnali come somme di impulsi elementari. Se è possibile in un modo o nell'altro trovare la risposta all'uscita, che sorge sotto l'influenza di un impulso elementare all'ingresso, la fase finale della risoluzione del problema sarà la somma di tali reazioni.
Il percorso di analisi previsto si basa su una rappresentazione temporale delle proprietà di segnali e sistemi. L'analisi nel dominio della frequenza è ugualmente applicabile, e talvolta molto più conveniente, quando i segnali sono dati da serie o integrali di Fourier. In questo caso, le proprietà dei sistemi sono descritte dalle loro caratteristiche di frequenza, che indicano la legge di trasformazione dei segnali armonici elementari.
Risposta impulsiva.
Sia descritto un sistema stazionario lineare dall'operatore T. Per semplicità, assumeremo che i segnali di ingresso e di uscita siano unidimensionali. Per definizione, la risposta all'impulso di un sistema è una funzione che è una risposta del sistema a un segnale di ingresso. Ciò significa che la funzione h (t) soddisfa l'equazione
Poiché il sistema è stazionario, un'equazione simile sarà il caso se l'azione di input viene spostata nel tempo di un valore derivato:
Dovrebbe essere chiaramente compreso che la risposta all'impulso, così come la funzione delta che la genera, è il risultato di una ragionevole idealizzazione. Da un punto di vista fisico, la risposta all'impulso riflette approssimativamente la risposta del sistema ad un segnale impulsivo in ingresso di forma arbitraria di area unitaria, purché la durata di tale segnale sia trascurabile rispetto alla scala temporale caratteristica del sistema, per esempio, il periodo delle sue oscillazioni naturali.
integrale di Duhamel.
Conoscendo la risposta all'impulso di un sistema stazionario lineare, si può formalmente risolvere qualsiasi problema di passaggio di un segnale deterministico attraverso un tale sistema. Infatti, nel cap. 1 si è dimostrato che il segnale in ingresso ammette sempre una rappresentazione della forma
La reazione di uscita corrispondente
Consideriamo ora che l'integrale è il valore limite della somma, quindi l'operatore lineare T, basato sul principio di sovrapposizione, può essere introdotto sotto il segno dell'integrale. Inoltre, l'operatore T "agisce" solo su quantità che dipendono dall'istante t attuale, ma non dalla variabile di integrazione x. Pertanto, dall'espressione (8.7) segue che
o finalmente
Questa formula, di fondamentale importanza nella teoria dei sistemi lineari, è chiamata integrale di Duhamel. La relazione (8.8) indica che il segnale di uscita di un sistema stazionario lineare è una convoluzione di due funzioni: il segnale di ingresso e la risposta all'impulso del sistema. Ovviamente la formula (8.8) può essere scritta anche nella forma
Quindi, se la risposta all'impulso h (t) è nota, le ulteriori fasi della soluzione sono ridotte a operazioni completamente formalizzate.
Esempio 8.4. Alcuni sistemi stazionari lineari, la cui struttura interna è insignificante, hanno una risposta all'impulso, che è un impulso video rettangolare di durata T. L'impulso sorge a t = 0 e ha un'ampiezza
Determinare la risposta in uscita di questo sistema quando viene applicato un segnale a gradino all'ingresso
Applicando la formula integrale di Duhamel (8.8), si dovrebbe prestare attenzione al fatto che il segnale di uscita avrà un aspetto diverso a seconda che la durata della risposta all'impulso superi o meno il valore corrente. Perché abbiamo
Se poi per, la funzione svanisce, quindi
La risposta di output trovata viene visualizzata in un grafico lineare a tratti.
Generalizzazione al caso multidimensionale.
Fino ad ora, si è ipotizzato che entrambi i segnali di ingresso e di uscita siano unidimensionali. In un caso più generale di un sistema con ingressi e uscite, dovrebbero essere introdotte risposte parziali all'impulso, ognuna delle quali visualizza il segnale in uscita quando viene applicata una funzione delta all'ingresso.
L'insieme delle funzioni costituisce la matrice di risposta all'impulso
Nel caso multidimensionale, la formula integrale di Duhamel assume la forma
dove è il vettore -dimensionale; - vettore dimensionale.
Condizione di realizzabilità fisica.
Qualunque sia il tipo specifico di risposta all'impulso di un sistema fisicamente realizzabile, il principio più importante deve essere sempre rispettato: il segnale di uscita corrispondente all'azione dell'impulso in ingresso non può verificarsi fino al momento in cui l'impulso appare all'ingresso.
Ciò implica una restrizione molto semplice sul tipo di risposte all'impulso consentite:
Questa condizione è soddisfatta, ad esempio, dalla caratteristica impulsiva del sistema considerato nell'Esempio 8.4.
È facile vedere che per un sistema realizzabile fisicamente, il limite superiore nella formula integrale di Duhamel può essere sostituito dal valore del tempo corrente:
La formula (8.13) ha un chiaro significato fisico: un sistema stazionario lineare, elaborando il segnale di ingresso, esegue l'operazione di somma ponderata di tutti i suoi valori istantanei che esistevano "in passato" a - Viene eseguito il ruolo della funzione di ponderazione dalla risposta all'impulso del sistema. È di fondamentale importanza che un sistema realizzabile fisicamente non sia in nessun caso in grado di funzionare con valori “futuri” del segnale in ingresso.
Un sistema realizzabile fisicamente deve, inoltre, essere stabile. Ciò significa che la sua risposta all'impulso deve soddisfare la condizione di integrabilità assoluta
Risposta transitoria.
Lascia che il segnale rappresentato dalla funzione di Heaviside agisca all'ingresso di un sistema stazionario lineare.
Reazione in uscita
è consuetudine chiamare la risposta transitoria del sistema. Poiché il sistema è stazionario, la risposta transitoria è invariante rispetto allo spostamento temporale:
Le considerazioni espresse in precedenza sulla realizzabilità fisica del sistema sono completamente trasferite al caso in cui il sistema sia eccitato non da una funzione delta, ma da un salto unitario. Pertanto, la risposta transitoria di un sistema realizzabile fisicamente differisce da zero solo in at, mentre in t esiste una stretta relazione tra l'impulso e le caratteristiche transitorie. Infatti, poiché in base alla (8.5)
L'operatore di derivazione e l'operatore stazionario lineare T possono cambiare di posto, quindi
Usando la formula di rappresentazione dinamica (1.4) e procedendo come nella relazione di derivazione (8.8), otteniamo un'altra forma dell'integrale di Duhamel:
Coefficiente di trasmissione della frequenza.
Nello studio matematico dei sistemi rivestono particolare interesse tali segnali di ingresso che, essendo trasformati dal sistema, rimangono invariati nella forma. Se c'è uguaglianza
allora è un'autofunzione dell'operatore di sistema T, e il numero X, che è generalmente complesso, è il suo autovalore.
Mostriamo che il segnale complesso per qualsiasi valore della frequenza è un'autofunzione dell'operatore stazionario lineare. Per questo usiamo l'integrale di Duhamel della forma (8.9) e calcoliamo
Quindi si vede che l'autovalore dell'operatore di sistema è il numero complesso
(8.21)
chiamato guadagno di frequenza del sistema.
La formula (8.21) stabilisce un fatto di fondamentale importanza: il coefficiente di trasmissione della frequenza e la risposta all'impulso di un sistema stazionario lineare sono interconnessi dalla trasformata di Fourier. Pertanto, sempre, conoscendo la funzione, è possibile determinare la risposta all'impulso
Siamo giunti alla posizione più importante della teoria dei sistemi stazionari lineari: qualsiasi sistema di questo tipo può essere considerato sia nel dominio del tempo usando le sue caratteristiche impulsive o transitorie, sia nel dominio della frequenza, impostando il coefficiente di trasmissione della frequenza. Entrambi gli approcci sono equivalenti e la scelta di uno di essi è dettata dalla comodità di ottenere dati iniziali sul sistema e dalla semplicità dei calcoli.
In conclusione, notiamo che le proprietà di frequenza di un sistema lineare con ingressi e uscite possono essere descritte dalla matrice dei coefficienti di trasmissione della frequenza
Esiste una legge di connessione tra le matrici, simile a quella data dalle formule (8.21), (8.22).
Caratteristiche ampiezza-frequenza e frequenza di fase.
La funzione ha una semplice interpretazione: se all'ingresso del sistema arriva un segnale armonico di frequenza nota e di ampiezza complessa, allora l'ampiezza complessa del segnale di uscita
Secondo la formula (8.26), il modulo del coefficiente di trasferimento di frequenza (AFC) è pari e l'angolo di fase (FFC) è una funzione dispari della frequenza.
È molto più difficile rispondere alla domanda su quale dovrebbe essere il coefficiente di trasmissione della frequenza per soddisfare le condizioni di realizzabilità fisica (8.12) e (8.14). Presentiamo senza dimostrazione il risultato finale, noto come criterio di Paley - Wiener: il coefficiente di trasferimento di frequenza di un sistema fisicamente realizzabile deve essere tale che l'integrale
Consideriamo un esempio specifico che illustra le proprietà del guadagno in frequenza di un sistema lineare.
Esempio 8.5. Alcuni sistemi stazionari lineari hanno le proprietà di un filtro passa-basso ideale, cioè il suo coefficiente di trasmissione della frequenza è fissato dal sistema di uguaglianze:
In base all'espressione (8.20), la risposta all'impulso di tale filtro
La simmetria del grafico di questa funzione rispetto al punto t = 0 indica che un filtro passa basso ideale è irrealizzabile. Tuttavia, questa conclusione deriva direttamente dal criterio Paley - Wiener. Infatti, l'integrale (8.27) diverge per qualsiasi risposta in frequenza, che svanisce su qualche segmento finito dell'asse delle frequenze.
Nonostante l'irrealizzabilità di un filtro passa-basso ideale, questo modello viene utilizzato con successo per una descrizione approssimativa delle proprietà filtri di frequenza, assumendo che la funzione contenga un fattore di fase linearmente dipendente dalla frequenza:
Come è facile verificare, qui la risposta all'impulso
Il parametro pari in grandezza al coefficiente di pendenza caratteristica frequenza di fase determina il ritardo temporale del massimo della funzione h (t). È chiaro che maggiore è il valore, più accuratamente questo modello riflette le proprietà del sistema implementato.
Accademia di Russia
Dipartimento di Fisica
Conferenza
Caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici
Aquila 2009
Obiettivi formativi ed educativi:
Spiegare al pubblico l'essenza delle caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici, mostrare la relazione tra le caratteristiche, prestare attenzione all'applicazione delle caratteristiche in esame per l'analisi e la sintesi della CE, mirare a una preparazione di alta qualità per una pratica lezione.
Assegnazione delle ore di lezione
Parte introduttiva ………………………………………………… 5 min.
Domande di studio:
1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici ……………… 15 min.
2. Integrali di Duhamel …………………………………………… ... 25 min.
3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici. Relazione tra le caratteristiche ………………………………………… ……… ... 25 min.
4. Integrali di convoluzione ……………………………………………… .15 min.
Conclusione ………………………………………………………… 5 min.
1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici
La risposta transitoria del circuito (come la risposta all'impulso) si riferisce alle caratteristiche temporali del circuito, cioè esprime un certo processo transitorio sotto influenze e condizioni iniziali predeterminate.
Per confrontare i circuiti elettrici in base alla loro reazione a queste influenze, è necessario mettere i circuiti nelle stesse condizioni. Le più semplici e convenienti sono le condizioni iniziali zero.
Risposta transitoria del circuito è chiamato il rapporto tra la reazione a catena a un'azione a gradino e l'entità di questa azione a condizioni iniziali zero.
A-priorità ,
dov'è la reazione della catena all'effetto gradino;
- l'entità dell'effetto gradino [B] o [A].
Poiché è diviso per l'entità dell'impatto (questo è un numero reale), quindi in effetti - la reazione della catena a un'azione a passo singolo.
Se la caratteristica transitoria del circuito è nota (o può essere calcolata), allora dalla formula è possibile trovare la reazione di questo circuito all'azione a gradino a zero NL
.
Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento dell'operatore di una catena, che è spesso nota (o può essere trovata), e la risposta transitoria di questa catena. Per questo, usiamo il concetto introdotto di una funzione di trasferimento dell'operatore:
.
Il rapporto tra la reazione a catena trasformata da Laplace e l'entità dell'effetto è la caratteristica transitoria dell'operatore della catena:
Quindi .
Da qui, la risposta transitoria dell'operatore del circuito si trova in termini di funzione di trasferimento dell'operatore.
Per determinare la risposta transitoria del circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:
utilizzando la tabella delle corrispondenze o il teorema di scomposizione (preliminare).
Esempio: Determinare la risposta transitoria per la risposta di tensione attraverso la capacità in un circuito in serie (Fig. 1):
Ecco la reazione a un'azione graduale della grandezza:
,
da cui la risposta transitoria:
.
Le caratteristiche transitorie dei circuiti più comuni sono trovate e riportate nella letteratura di riferimento.
2. Integrali di Duhamel
La risposta transitoria viene spesso utilizzata per trovare la risposta di una catena a uno stimolo complesso. Stabiliamo queste relazioni.
Ammettiamo che l'azione è una funzione continua ed è fornita al circuito al momento, e le condizioni iniziali sono zero.
Un dato impatto può essere rappresentato come la somma dell'azione graduale applicata al circuito in quel momento e un numero infinitamente grande di azioni a passo infinitamente piccole, che si susseguono continuamente. Una di tali azioni elementari corrispondente al momento dell'applicazione è mostrata in Figura 2.
Troviamo il valore della reazione della catena in un determinato momento.
Un'azione graduale con una caduta nell'istante temporale provoca una reazione pari al prodotto della caduta per il valore della caratteristica transitoria del circuito a, cioè pari a:
Un effetto graduale infinitamente piccolo con una goccia provoca una reazione infinitamente piccola 
, dove è il tempo trascorso dal momento dell'applicazione dell'influenza al momento dell'osservazione. Poiché per condizione la funzione è continua, allora:
In accordo con il principio di sovrapposizione, la reazione sarà uguale alla somma delle reazioni causate dall'insieme di influenze che precedono il momento dell'osservazione, cioè.
.
Di solito, nell'ultima formula, sostituiscono semplicemente con, poiché la formula trovata è corretta per qualsiasi valore temporale:
.
Oppure, dopo alcune semplici trasformazioni:
.
Ciascuno di questi rapporti risolve il problema di calcolare la reazione di un circuito elettrico lineare ad una data azione continua utilizzando la nota caratteristica transitoria del circuito. Queste relazioni sono chiamate integrali di Duhamel.
3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici
Risposta all'impulso del circuito è chiamato il rapporto tra la reazione della catena a un'azione impulsiva e l'area di questa azione a condizioni iniziali zero.
A-priorità ,
dov'è la reazione del circuito all'azione dell'impulso;
- l'area dell'impulso dell'impatto.
In base alla risposta all'impulso nota del circuito, è possibile trovare la risposta del circuito a una determinata azione: 
.
Una singola azione di impulso, chiamata anche funzione delta o funzione di Dirac, viene spesso utilizzata come funzione di azione.
Una funzione delta è una funzione uguale a zero ovunque, tranne che per, e la sua area è uguale a uno ():
.
Si può arrivare al concetto di funzione delta considerando il limite di un impulso rettangolare con altezza e durata quando (Fig. 3):
Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento del circuito e la sua risposta all'impulso, per la quale utilizziamo il metodo dell'operatore.
A-priorità:
.
Se l'impatto (originale) è considerato per il caso più generale nella forma del prodotto dell'area dell'impulso per la funzione delta, cioè nella forma, allora l'immagine di questo impatto secondo la tabella di corrispondenza ha la forma:
.
Quindi, d'altra parte, il rapporto tra la reazione a catena trasformata di Laplace e l'ampiezza dell'area dell'impulso di impatto è la risposta all'impulso dell'operatore del circuito:
.
Quindi, .
Per trovare la risposta all'impulso di un circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:
Cioè, in effetti.
Riassumendo le formule, si ottiene la relazione tra la funzione di trasferimento dell'operatore del circuito e le caratteristiche del transitorio e dell'impulso dell'operatore del circuito:
Quindi, conoscendo una delle caratteristiche della catena, puoi determinarne altre.
Facciamo la trasformazione identica dell'uguaglianza, aggiungendo alla parte centrale.
Allora avremo.
Poiché è un'immagine della derivata della risposta transitoria, l'uguaglianza originale può essere riscritta come:
Passando all'area degli originali, otteniamo una formula che ci consente di determinare la risposta all'impulso del circuito in base alla sua risposta transitoria nota:
Se poi.
La relazione inversa tra queste caratteristiche è la seguente:
.
Utilizzando la funzione di trasferimento, è facile stabilire la presenza di un termine nella funzione.
Se i gradi del numeratore e del denominatore sono gli stessi, allora sarà presente il termine in esame. Se la funzione è una frazione regolare, questo termine non esisterà.
Esempio: Determinare le caratteristiche dell'impulso per le tensioni e in un circuito in serie mostrato in Figura 4.
Definiamo:
Andiamo all'originale secondo la tabella delle corrispondenze:
.
Il grafico di questa funzione è mostrato in Figura 5.
Riso. 5
Funzione di trasmissione:
Secondo la tabella delle corrispondenze abbiamo:
.
Il grafico della funzione risultante è mostrato in Figura 6.
Segnaliamo che le stesse espressioni potrebbero essere ottenute utilizzando le relazioni che stabiliscono la connessione tra e.
La risposta all'impulso, nella sua accezione fisica, riflette il processo delle oscillazioni libere e per questo motivo si può sostenere che nei circuiti reali deve sempre essere soddisfatta la condizione:
4. Integrali di convoluzione (sovrapposizioni)
Considera la procedura per determinare la risposta di un circuito elettrico lineare a un effetto complesso se è nota la risposta all'impulso di questo circuito. Assumeremo che l'impatto sia una funzione continua a tratti mostrata nella Figura 7.
Sia richiesto di trovare il valore della reazione in un determinato momento. Risolvendo questo problema, rappresentiamo l'impatto come una somma di impulsi rettangolari di durata infinitamente breve, uno dei quali, corrispondente ad un momento, è mostrato in Figura 7. Questo impulso è caratterizzato dalla sua durata e altezza.
Dal materiale precedentemente considerato, è noto che la risposta di un circuito a un breve impulso può essere considerata uguale al prodotto della risposta all'impulso del circuito e all'area dell'azione dell'impulso. Di conseguenza, la componente infinitamente piccola della reazione provocata da questa azione impulsiva al momento sarà pari a:
poiché l'area dell'impulso è uguale e il tempo passa dal momento della sua applicazione al momento dell'osservazione.
Utilizzando il principio di sovrapposizione, la risposta totale del circuito può essere definita come la somma di un numero infinitamente grande di componenti infinitesimali causati da una sequenza di influenze impulsive di area infinitamente piccola, che precedono un momento nel tempo.
Così:
.
Questa formula è valida per qualsiasi valore, quindi la variabile è solitamente indicata semplicemente. Quindi:
.
La relazione risultante è chiamata integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione. La funzione che si trova come risultato del calcolo dell'integrale di convoluzione è chiamata convoluzione e.
Puoi trovare un'altra forma dell'integrale di convoluzione se cambi le variabili nell'espressione risultante per:
.
Esempio: trovare la tensione attraverso la capacità di un circuito in serie (Fig. 8), se un impulso esponenziale della forma agisce all'ingresso:
Usiamo l'integrale di convoluzione:
.
Espressione per 
è stato ricevuto in precedenza.
Quindi, 
, e 
.
Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando l'integrale di Duhamel.
Letteratura:
Beletskiy A.F. Teoria dei circuiti elettrici lineari. - M.: Radio e comunicazione, 1986. (Libro di testo)
Bakalov VP e altri Teoria dei circuiti elettrici. - M.: Radio e comunicazione, 1998. (Libro di testo);
Kachanov NS e altri dispositivi di ingegneria radio lineare. M.: Militare. publ., 1974. (Libro di testo);
Popov V.P. Fondamenti di teoria dei circuiti - M.: Scuola superiore, 2000. (Libro di testo)
La risposta transitoria viene utilizzata per calcolare la risposta di un circuito elettrico lineare quando viene applicato un impulso al suo ingresso. 
forma libera. In questo caso, l'impulso di ingresso 
approssimato da una serie di passaggi e determinare la reazione della catena a ciascun passaggio, quindi trovare il circuito integrale 
, come la somma delle risposte a ciascuna componente dell'impulso di ingresso 
.
Risposta transitoria o funzione transitoria 
Catene -
questa è la sua caratteristica generalizzata, che è una funzione tempo numericamente uguale alla risposta del circuito ad un singolo salto di tensione o di corrente al suo ingresso, con condizioni iniziali nulle (Fig. 13.11);
|
|
in altre parole, questa è la risposta di un circuito privo dell'alimentazione iniziale di energia alla funzione 
all'entrata.
Espressione di risposta transitoria
dipende solo dalla struttura interna e dai valori dei parametri degli elementi del circuito.
Dalla definizione della caratteristica transitoria del circuito, segue che con l'azione di ingresso 
reazione a catena 
(fig.13.11).
Esempio. Lascia che il circuito si colleghi a una fonte di tensione costante 
... Quindi l'azione di ingresso avrà la forma, la reazione del circuito - e la caratteristica di tensione transitoria del circuito - 
... In 
.
Moltiplicazione per reazione a catena 
per funzione 
o 
significa che la funzione di transizione
a 
e 
a 
che riflette principio di causalità
nei circuiti elettrici lineari, ad es. la risposta (all'uscita del circuito) non può apparire prima del momento in cui il segnale viene applicato all'ingresso del circuito.
Tipi di caratteristiche transitorie.
Esistono i seguenti tipi di risposta transitoria:
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- risposta ai transitori di tensione del circuito; |
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- la caratteristica transitoria del circuito in termini di corrente; |
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- resistenza ai transitori del circuito, Ohm; |
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- conducibilità transitoria del circuito, Cm, |
(13.5)
dove 
- i livelli del segnale di passo in ingresso.
Funzione transitoria 
per qualsiasi rete passiva a due terminali può essere trovata con il metodo classico o dell'operatore.
Calcolo della risposta transitoria con il metodo classico. Esempio.
Esempio. Calcoliamo la risposta transitoria di tensione per il circuito (Fig.13.12, un) con parametri.
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Soluzione
Useremo il risultato ottenuto nella Sezione 11.4. Secondo l'espressione (11.20), la tensione ai capi dell'induttanza
dove 
.
Eseguiamo la scala secondo l'espressione (13.5) e la costruzione della funzione 
(fig.13.12, B):
.
Calcolo della risposta transitoria con il metodo dell'operatore
Il complesso circuito equivalente del circuito originale assumerà la forma di Fig. 13.13.
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La funzione di trasferimento di tensione di questo circuito è:
dove 
.
In 
, cioè. a 
, Immagine 
, e l'immagine della tensione sulla bobina 
.
In questo caso, l'originale 
immagini 
è la funzione transitoria di tensione del circuito, cioè
o in vista generale:
,
(13.6)
quelli. funzione transitoria
circuito è uguale all'inversa trasformata di Laplace della sua funzione di trasferimento
moltiplicato per l'unità di salto dell'immagine
.
Nell'esempio considerato (vedi Fig.13.12) la funzione di trasferimento di tensione:
dove 
e la funzione 
ha la forma.
Nota
.
Se viene applicata tensione all'ingresso del circuito 
, quindi nella formula della funzione di transizione 
tempo 
deve essere sostituito con l'espressione 
... Nell'esempio considerato, la funzione di trasferimento di tensione in ritardo ha la forma:
conclusioni
La risposta transitoria è stata introdotta principalmente per due ragioni.
1. Azione in un unico passaggio 
- influenza esterna spasmodica, e quindi piuttosto pesante, per qualsiasi sistema o circuito. Pertanto, è importante conoscere esattamente la reazione di un sistema o di una catena sotto tale azione, ad es. risposta transitoria 
.
2. Con una risposta transitoria nota 
utilizzando l'integrale di Duhamel (vedi sottosezioni 13.4, 13.5 di seguito), è possibile determinare la risposta di un sistema o catena a qualsiasi forma di influenze esterne.
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