Elementi di teoria della sintesi dei filtri di frequenza lineare. Progettazione (sintesi) di filtri digitali lineari. Caratteristiche di potenza dei filtri
n1.docx
Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione RussaIstituzione scolastica statale
istruzione professionale superiore
"Università tecnica statale di Omsk"
ANALISI E SINTESI DELLO SCHEMA
CIRCUITO ELETTRICO
Linee guida
alla progettazione del corso e CDS
Casa editrice OmSTU
2010
compilatore I. V. Nikonov
Le linee guida presentano la sintesi e l'analisi di un circuito elettrico con importanti unità funzionali analogiche della radioingegneria: un filtro elettrico e un amplificatore. Viene eseguita l'analisi dello spettro del segnale periodico complesso di ingresso, nonché l'analisi del segnale all'uscita del circuito elettrico (per la modalità di funzionamento lineare).
Progettato per gli studenti delle specialità 210401, 210402, 090104 e direzione 21030062 istruzione a tempo pieno e part-time, studiando le discipline "Fondamenti di teoria dei circuiti", "Ingegneria elettrica ed elettronica".
Pubblicato per decisione del consiglio di redazione ed editoria
Università tecnica statale di Omsk
© GOU VPO "Stato di Omsk
Università tecnica", 2010
1. Analisi dei termini di riferimento. Fasi di progettazione principali 5
2. Principi e metodi di base per la progettazione elettrica
filtri 6
2.1. Principi di progettazione di base del filtro 6
2.2. Tecnica per sintetizzare filtri per parametri caratteristici 11
2.3. Tecnica per sintetizzare filtri secondo parametri operativi 18
2.4. Un esempio di sintesi del circuito equivalente di un filtro elettrico 25
3. Principi di base e fasi di calcolo circuito elettrico amplificatore
tensione 26
3.1.Principi di base per il calcolo dei circuiti elettrici degli amplificatori 26
3.2. Un esempio di calcolo del circuito di un amplificatore con principio elettrico
transistor bipolare 28
4. Principi di base e fasi dell'analisi di spettro complesso
segnale periodico 30
4.1. Principi di analisi spettrale 30
4.2. Formule di calcolo per l'analisi spettrale 31
4.3. Esempio di analisi dello spettro di input 32
5. Analisi del segnale all'uscita del circuito elettrico. Raccomandazioni
per lo sviluppo di uno schema elettrico 33
5.1. Analisi del flusso del segnale attraverso un circuito elettrico 33
6. Requisiti di base per contenuto, prestazioni, protezione
tesina 35
6.1. Modalità e termini per il rilascio degli incarichi per la progettazione del corso 35
6.3. Registrazione della parte grafica del lavoro del corso (progetto) 36
6.4. Protezione progetti di corso(lavori) 38
Riferimenti 39
Applicazioni 40
Appendice A. Elenco delle abbreviazioni e dei simboli 40
Appendice B. Varianti dei dati iniziali per la sintesi dei filtri 41
Appendice B. Varianti dei dati iniziali per il calcolo dell'amplificatore 42
Appendice D. Varianti dei dati iniziali per l'analisi dello spettro
segnale 43
Appendice E. Parametri del transistor per il circuito di commutazione
OE(OE) 45
Appendice E. Modulo di attività 46
INTRODUZIONE
I compiti principali delle discipline dell'ingegneria elettrica e radiofonica sono l'analisi e la sintesi di circuiti e segnali elettrici. Nel primo caso si analizzano correnti, tensioni, coefficienti di trasmissione, spettri con modelli noti, circuiti, dispositivi, segnali. Durante la sintesi, viene risolto il problema inverso: lo sviluppo di modelli (schemi) analitici e grafici di circuiti e segnali elettrici. Se i calcoli, lo sviluppo si completano con la produzione di progettazione e documentazione tecnologica, la produzione di mock-up o prototipi, allora il termine design.
Le prime discipline delle specialità di ingegneria radiofonica degli istituti di istruzione superiore, in cui vengono considerati vari problemi di analisi e sintesi, sono le discipline "Fondamenti di teoria dei circuiti elettrici" e "Ingegneria elettrica ed elettronica". Le sezioni principali di queste discipline:
- analisi in regime stazionario di circuiti elettrici resistivi lineari, circuiti elettrici reattivi lineari, comprese le connessioni risonanti e non galvaniche;
– analisi delle complesse caratteristiche di frequenza dei circuiti elettrici;
– analisi di circuiti elettrici lineari sotto complessi effetti periodici;
– analisi di circuiti elettrici lineari sotto influenze impulsive;
– teoria dei quadripoli lineari;
– analisi di circuiti elettrici non lineari;
– filtri elettrici lineari, sintesi di filtri elettrici.
Le sezioni elencate vengono studiate durante l'aula, tuttavia, anche la progettazione del corso è una parte importante del processo educativo. L'argomento del lavoro del corso (progetto) può corrispondere ad una delle sezioni studiate, può essere complesso, cioè comprendere più sezioni della disciplina, può essere proposto dallo studente.
In queste linee guida, vengono prese in considerazione le raccomandazioni per l'attuazione di un corso completo (progetto), in cui è necessario risolvere problemi interconnessi di sintesi e analisi per un circuito elettrico analogico.
1.
ANALISI DEI REQUISITI TECNICI.
PRINCIPALI FASI DELLA PROGETTAZIONE
Come lavoro di corso completo (progetto) in queste linee guida, lo sviluppo di equivalenti elettrici e schemi circuitali un circuito elettrico contenente un filtro elettrico e un amplificatore, nonché un'analisi dello spettro del segnale di ingresso del generatore di impulsi e un'analisi del "passaggio" del segnale di ingresso all'uscita del dispositivo. Questi compiti sono importanti, praticamente utili, poiché vengono sviluppate e analizzate unità funzionali ampiamente utilizzate nell'ingegneria radiofonica.
Lo schema elettrico strutturale dell'intero dispositivo per il quale è necessario eseguire i calcoli è mostrato nella Figura 1. Le opzioni di attività per le singole sezioni di calcolo sono riportate nelle appendici B, C, D. Il numero di opzioni di attività corrisponde al numero di studenti nell'elenco dei gruppi, oppure il numero dell'opzione è formato in modo più complesso. Se necessario, gli studenti possono impostare autonomamente requisiti di progettazione aggiuntivi, ad esempio requisiti di peso e dimensioni, requisiti per le caratteristiche della frequenza di fase e altri.
Generatore
impulsi
Filtro elettrico analogico
Amplificatore di tensione analogico
Riso. uno
La figura 1 mostra i complessi valori effettivi delle tensioni elettriche di ingresso e di uscita di forma armonica.
Durante la progettazione del corso è necessario risolvere i seguenti compiti:
A) sintetizzare (sviluppare) con qualsiasi metodo un circuito elettrico equivalente, e quindi - uno schema del circuito elettrico su qualsiasi elemento radio. Calcolare il coefficiente di attenuazione e trasferimento di tensione, illustrare i calcoli con grafici;
B) sviluppare uno schema elettrico di un amplificatore di tensione su eventuali radioelementi. Eseguire calcoli dell'amplificatore per corrente continua, analizzare i parametri dell'amplificatore nella modalità di piccoli segnali variabili;
D) analizzare il passaggio della tensione elettrica dal generatore di impulsi attraverso un filtro elettrico e un amplificatore, illustrare l'analisi con grafici dello spettro di ampiezza e fase del segnale di uscita.
In questa sequenza, si consiglia di eseguire i calcoli necessari e quindi di organizzarli sotto forma di sezioni di una nota esplicativa. I calcoli devono essere eseguiti con una precisione di almeno il 5%. Questo dovrebbe essere preso in considerazione per vari arrotondamenti, un'analisi approssimativa dello spettro del segnale e quando si scelgono elementi radio standard che si avvicinano nel valore nominale ai valori calcolati.
2.1. Principi di progettazione di base del filtro
2.1.1. Requisiti di progettazione di base
I filtri elettrici sono circuiti elettrici lineari o quasi lineari con coefficienti di trasferimento di potenza totale complessi dipendenti dalla frequenza. Allo stesso tempo, almeno uno dei due coefficienti di trasmissione dipende anche dalla frequenza: tensione o corrente. Al posto dei coefficienti di trasferimento adimensionali, l'attenuazione (), misurata in decibel, è ampiamente utilizzata nell'analisi e nella sintesi dei filtri:
, (1)
dove , , sono i moduli dei coefficienti di trasferimento (nella formula (1) si usa il logaritmo decimale).
L'intervallo di frequenza in cui l'attenuazione () si avvicina allo zero e il rapporto di trasferimento di potenza totale () si avvicina all'unità, è chiamato larghezza di banda (BW). Al contrario, nella gamma di frequenza in cui il coefficiente di trasferimento di potenza è prossimo allo zero e l'attenuazione è di diverse decine di decibel, c'è una banda di arresto (TB). La banda di arresto è anche chiamata banda di attenuazione o banda di attenuazione nella letteratura sui filtri elettrici. Tra PP e PZ c'è una banda di frequenza di transizione. A seconda della posizione della banda passante nella gamma di frequenza, i filtri elettrici sono classificati nei seguenti tipi:
LPF - filtro passa basso, la banda passante è a frequenze più basse;
HPF - filtro passa-alto, la banda passante è alle alte frequenze;
PF - filtro passa-banda, la banda passante si trova in un intervallo di frequenza relativamente stretto;
RF è un filtro notch, la banda di arresto è in un intervallo di frequenza relativamente ristretto.
Un vero e proprio filtro elettrico può essere realizzato su vari componenti radio: induttori e condensatori, dispositivi di amplificazione selettivi, dispositivi piezoelettrici ed elettromeccanici selettivi, guide d'onda e molti altri. Esistono libri di riferimento sul calcolo dei filtri su componenti radio ben definiti. Tuttavia, il seguente principio è più universale: in primo luogo, viene sviluppato un circuito equivalente su elementi LC ideali, quindi gli elementi ideali vengono ricalcolati in qualsiasi componente radio reale. Con tale ricalcolo, viene sviluppato uno schema elettrico, vengono selezionati un elenco di elementi, quelli standard o i componenti radio necessari vengono progettati in modo indipendente. L'opzione più semplice per tale calcolo è lo sviluppo di uno schema elettrico di un filtro reattivo con condensatori e induttori, poiché lo schema elettrico in questo caso è simile a quello equivalente.
Ma anche con un calcolo universale così generale, esistono diversi metodi per sintetizzare il circuito equivalente di un filtro LC:
- sintesi in modo coordinato dagli stessi collegamenti a G, T, U. Questo metodo è anche chiamato sintesi di parametri caratteristici o sintesi di filtri di tipo k. Vantaggi: semplici formule di calcolo; si presume che l'attenuazione calcolata (ondulazione di attenuazione) nella banda passante () sia zero. Difetto: Questo metodo di sintesi utilizza varie approssimazioni, ma in realtà è impossibile ottenere un accordo sull'intera larghezza di banda. Pertanto, i filtri calcolati con questo metodo possono avere un'attenuazione della banda passante maggiore di tre decibel;
– sintesi polinomiale. In questo caso, il coefficiente di trasferimento di potenza richiesto viene approssimato da un polinomio, ovvero viene sintetizzato l'intero circuito e non i singoli collegamenti. Questo metodo è anche chiamato sintesi per parametri operativi o sintesi per libri di riferimento di filtri passa-basso normalizzati. Quando si utilizzano le directory, viene calcolato l'ordine del filtro, viene selezionato un circuito di filtro passa basso equivalente che soddisfi i requisiti dell'attività. Vantaggi: nei calcoli si tiene conto di eventuali incongruenze e deviazioni dei parametri degli elementi radio, i filtri passa-basso sono facilmente convertibili in filtri di altro tipo. Difetto: è necessario utilizzare libri di riferimento o programmi speciali;
– sintesi per impulso o risposta transitoria. Si basa sulla relazione tra le caratteristiche di tempo e di frequenza dei circuiti elettrici attraverso varie trasformazioni integrali (Fourier, Laplace, Carson, ecc.). Ad esempio, la risposta all'impulso () è espressa in termini di caratteristica di trasferimento () con conversione diretta Fourier:
Questo metodo ha trovato applicazione nella sintesi di vari filtri trasversali (filtri con ritardo), ad esempio digitali, acustoelettronici, per i quali è più facile sviluppare circuiti elettrici basati su risposte impulsive che su risposte in frequenza. IN tesina quando si sviluppano circuiti di filtraggio, si consiglia di utilizzare il metodo di sintesi in base a parametri caratteristici o operativi.
Quindi, nel lavoro relativo alla sintesi di un filtro elettrico, è necessario sviluppare un circuito elettrico equivalente su elementi reattivi ideali, e quindi un circuito elettrico su eventuali elementi radio reali, utilizzando uno dei metodi.
Nel compito per la progettazione del corso nella parte relativa alla sintesi di un filtro elettrico (Appendice B), si possono fornire i seguenti dati:
– tipo di filtro sintetizzato (LPF, HPF, PF, RF);
- - resistenze attive di circuiti esterni, alle quali il filtro in banda passante deve essere abbinato in tutto o in parte;
– – frequenza di taglio della banda passante del filtro;
– – frequenza di taglio della banda di arresto del filtro;
– – frequenza media del filtro (per PF e RF);
– – attenuazione del filtro nella banda passante (non più);
– – attenuazione del filtro in stopband (non inferiore a);
– – Larghezza di banda PF o RF;
– – banda ferma PF o RF;
– – coefficiente di quadratura di LPF, HPF;
– – coefficiente di quadratura PF, RF.
Se necessario, gli studenti possono selezionare autonomamente dati aggiuntivi o requisiti di progettazione.
2.1.2. Normalizzazione e trasformazioni di frequenza
Quando si sintetizzano gli schemi elettrici e equivalenti dei filtri, è consigliabile applicare la normalizzazione e le trasformazioni di frequenza. Ciò consente di ridurre il numero di diversi tipi di calcoli ed eseguire la sintesi basata su un filtro passa-basso. La normalizzazione è la seguente. Invece di progettare per determinate frequenze operative e resistenze di carico, i filtri sono progettati per resistenza di carico normalizzata e frequenze normalizzate. La normalizzazione delle frequenze viene eseguita, di regola, rispetto alla frequenza. . Con questa normalizzazione, la frequenza è , e la frequenza è . Durante la normalizzazione, viene prima sviluppato un circuito equivalente con elementi normalizzati, quindi questi elementi vengono ricalcolati in base ai requisiti specificati utilizzando fattori di denormalizzazione:
La possibilità di applicare la normalizzazione nella sintesi di circuiti elettrici deriva dal fatto che la forma delle caratteristiche di trasferimento richieste del circuito elettrico durante questa operazione non cambia, vengono solo trasferite ad altre frequenze (normalizzate).
Ad esempio, per il circuito del partitore di tensione mostrato nella Figura 2, il coefficiente di trasferimento della tensione è simile sia per determinati elementi radio e frequenza operativa, sia per valori normalizzati, quando vengono utilizzati i moltiplicatori di normalizzazione.
Riso. 2 
Senza normalizzazione:
, (5)
con normalizzazione:
. (6)
Nell'espressione (6), nel caso generale, i fattori di normalizzazione possono essere numeri reali arbitrari.
L'applicazione aggiuntiva delle trasformazioni di frequenza consente di semplificare notevolmente la sintesi di HPF, PF, RF. Quindi, la sequenza consigliata di sintesi HPF, quando si applicano le trasformazioni di frequenza, è la seguente:
– vengono normalizzati i requisiti grafici per HPF (viene introdotto l'asse delle frequenze normalizzate);
– i requisiti di attenuazione sono convertiti in frequenza mediante conversione di frequenza:
– LPF è progettato con elementi normalizzati;
– LPF viene convertito in HPF con elementi normalizzati;
– gli elementi sono denormalizzati secondo le formule (3), (4).
– i requisiti grafici per il PF sono sostituiti dai requisiti per l'LPF dalla condizione di uguaglianza delle loro larghezze di banda e ritardi;
– viene sintetizzato un circuito di filtro passa basso;
- viene utilizzata una conversione inversa di frequenza per ottenere un circuito di filtro passa-banda includendo elementi reattivi aggiuntivi nei rami del filtro passa-basso per formare circuiti risonanti.
– i requisiti grafici per RF sono sostituiti da requisiti per HPF dalla condizione di uguaglianza delle loro larghezze di banda e ritardi;
– viene sintetizzato un circuito di filtro passa-alto, direttamente o utilizzando un prototipo – un filtro passa-basso;
– il circuito HPF viene convertito in un circuito di filtro notch includendo elementi reattivi aggiuntivi nei rami HPF.
2.2. Tecnica di sintesi dei filtri
2.2.1. Le principali disposizioni della sintesi per parametri caratteristici
La dimostrazione delle principali relazioni calcolate di questo metodo di sintesi è la seguente.
Si considera una rete lineare a quattro terminali; per descriverla si usa un sistema di parametri:
dove sono la tensione e la corrente all'ingresso del quadripolo, sono la tensione e la corrente all'uscita del quadripolo.
I coefficienti di trasmissione per una modalità arbitraria (coerente o incoerente) sono determinati:
dove è la resistenza di carico (generalmente complessa).
Per la modalità arbitraria, viene introdotta la costante di trasmissione (), l'attenuazione (), la fase ():
. (11)
L'attenuazione in neperes è data da
, (12)
e in decibel - l'espressione
In modalità incoerente, input, output e caratteristiche di trasferimento quadripoli sono chiamati parametri operativi e in modalità coordinata - caratteristica. I valori delle impedenze di ingresso e di uscita corrispondenti a una data frequenza operativa sono determinati dalle equazioni della rete a due terminali (8):
Nella modalità coordinata, tenendo conto delle espressioni (14), (15), si determina la costante di trasferimento caratteristica:
Tenendo conto delle relazioni per le funzioni iperboliche
, (17)
(18)
viene determinata la relazione tra i parametri caratteristici della modalità abbinata e gli elementi del circuito elettrico (-parametri). Le espressioni sembrano
Le espressioni (19), (20) caratterizzano il modo coordinato di un arbitrario quadripolo lineare. La figura 3 mostra un diagramma di un arbitrario
Collegamento a forma di L, i cui parametri, secondo le espressioni (8), sono determinati:
Riso. 3 
Con l'inclusione coordinata del collegamento a forma di L, le espressioni (19), (20) vengono convertite nella forma:
, (21)
. (22)
Se sono presenti diversi tipi di elementi reattivi nei rami longitudinali e trasversali del circuito a forma di L, il circuito è un filtro elettrico.
L'analisi delle formule (21), (22) per questo caso permette di ottenere un metodo per sintetizzare filtri per parametri caratteristici. Le principali disposizioni di questa tecnica:
– il filtro è progettato da identici, in cascata, abbinati nella banda passante tra loro e con carichi esterni di collegamenti (ad esempio collegamenti di tipo L);
– l'attenuazione in banda passante () è presa uguale a zero, in quanto il filtro si considera abbinato su tutta la banda passante;
- i valori richiesti delle resistenze attive esterne () per la modalità abbinata sono determinati attraverso la resistenza dei "rami" del collegamento a forma di L secondo la formula approssimativa
– la frequenza di taglio della banda passante () è determinata dalla condizione
– l'attenuazione del collegamento () alla frequenza di taglio della banda di arresto () è determinata (in decibel) dalla formula
; (25)
- il numero di G-link identici collegati in cascata è determinato dall'espressione:
2.2.2. Sequenza di sintesi di LPF (HPF)
da parametri caratteristici
Le formule di calcolo sono ricavate dalle principali disposizioni della metodologia di sintesi per i parametri caratteristici di cui al punto 2.2.1 dei dati linee guida. In particolare, dalle espressioni (23), (24) si ottengono formule (27), (28) per la determinazione dei valori degli elementi di collegamento. Quando si sintetizza per parametri caratteristici, la sequenza di calcoli per LPF e HPF è la seguente:
A) i valori dell'induttanza e della capacità ideali del G-link del filtro sono calcolati in base ai valori indicati della resistenza del carico, del generatore e del valore della frequenza di taglio di la banda passante:
dove sono i valori del carico e delle resistenze del generatore, è il valore della frequenza di taglio della banda passante. Il programma dei requisiti di attenuazione e lo schema del collegamento a forma di L del filtro passa basso sono mostrati nelle Figure 4 a, b. Nelle figure 5 a, b vengono forniti i requisiti per l'attenuazione e lo schema del collegamento HPF a forma di L.
Riso. 4
Riso. cinque 
b) l'attenuazione del link () in decibel alla frequenza di taglio della stopband () è calcolata in base al valore dato del fattore di quadratura (). Per LPF:
Per il filtro passa alto:
. (30)
Nei calcoli con le formule (29), (30), viene utilizzato il logaritmo naturale;
C) il numero di collegamenti () è calcolato in base al valore dato di attenuazione garantita al limite della banda di stop, secondo la formula (26):
Il valore viene arrotondato per eccesso al valore intero superiore più vicino;
D) Calcolare l'attenuazione del filtro in decibel per più frequenze in stopband (l'attenuazione calcolata in passabanda, senza tener conto delle dispersioni termiche, è considerata pari a zero in questo metodo). Per il filtro passa basso:
. (31)
Per il filtro passa alto:
; (32)
e) vengono analizzate le perdite di calore (). Per un calcolo approssimativo delle perdite di calore secondo un prototipo a bassa frequenza, le resistenze resistive degli induttori reali () vengono prima determinate ad una frequenza con fattori Q autoselezionati (). In futuro, nello schema elettrico, verranno introdotte induttanze al posto delle induttanze ideali (i condensatori sono considerati di qualità superiore e non si tiene conto delle loro perdite resistive). Formule di calcolo:
. (34)
L'attenuazione del filtro in decibel, tenendo conto delle perdite termiche, è determinata da:
e il modulo del coefficiente di trasferimento di tensione () è determinato dal rapporto che lo mette in relazione con l'attenuazione del filtro:
E) sulla base dei risultati dei calcoli con le formule (35), (36), vengono tracciati i grafici dell'attenuazione e il modulo del coefficiente di trasferimento di tensione per il filtro passa basso o il filtro passa alto;
G) in base alle directory degli elementi radio, vengono selezionati condensatori e induttori standard per valore più vicino agli elementi ideali per il successivo sviluppo di uno schema elettrico e un elenco di elementi dell'intero circuito elettrico. In assenza di induttori standard della classificazione richiesta, è necessario svilupparli da soli. La figura 6 mostra le dimensioni principali di una semplice bobina cilindrica con avvolgimento monostrato, necessarie per il suo calcolo.
Riso. 6 
Il numero di giri di una tale bobina con un nucleo ferromagnetico (ferrite, ferro carbonilico) è determinato dall'espressione
dove è il numero di giri, è la permeabilità magnetica assoluta, è la permeabilità magnetica relativa del materiale del nucleo,
è la lunghezza della bobina, dove è il raggio della base della bobina.
2.2.3. Sequenza di sintesi di PF (RF)
da parametri caratteristici
Figure 7 a, b e 8 a, b vengono mostrati i grafici dei requisiti di attenuazione e dei collegamenti a L più semplici, rispettivamente, per i filtri passa-banda e notch.
Riso. 7 
Riso. 8 
Si consiglia di eseguire la sintesi di PF e RF utilizzando calcoli di filtri prototipo con la stessa larghezza di banda e ritardo. Per PF, il prototipo è un filtro passa basso e per RF un filtro passa alto. La procedura di sintesi è la seguente:
A) nella prima fase di sintesi si applica una trasformazione di frequenza, in cui i requisiti grafici per l'attenuazione del PF sono ricalcolati nei requisiti per l'attenuazione del filtro passa-basso, e i requisiti grafici per l'attenuazione del Le RF vengono ricalcolate nei requisiti per l'attenuazione del filtro passa alto:
B) secondo il metodo precedentemente considerato per la sintesi di filtri passa-basso e filtri passa-alto (punti a-f
2.2.2), viene sviluppato un circuito elettrico equivalente ad un filtro passa-basso per la sintesi della PF, o HPF - per la sintesi della RF. Per LPF o HPF, vengono tracciati i grafici dell'attenuazione e del coefficiente di trasferimento della tensione;
C) il circuito LPF viene convertito in un circuito di filtro passa-banda convertendo i rami longitudinali in circuiti oscillatori seriali e i rami trasversali in circuiti oscillatori paralleli collegando elementi reattivi aggiuntivi. Il circuito HPF viene convertito in un circuito di filtro notch convertendo i rami longitudinali in circuiti oscillatori paralleli e i rami trasversali in circuiti oscillatori seriali collegando elementi reattivi aggiuntivi. Ulteriori elementi reattivi per ciascun ramo del filtro passa-basso (HPF) sono determinati dal valore della frequenza media specificata del filtro passa-banda o notch () e dai valori calcolati degli elementi reattivi del filtro passa-basso rami di filtro (HPF), usando la nota espressione per i circuiti risonanti:
D) per i circuiti PF o RF, i condensatori e gli induttori sono sviluppati o selezionati dai libri di riferimento degli elementi radio secondo la stessa metodologia che è stata considerata in precedenza al punto 2.2.2 (punto g) delle presenti linee guida;
E) i grafici dell'attenuazione e del coefficiente di trasferimento della tensione di LPF (HPF) sono ricalcolati in grafici di PF (RF) secondo i rapporti tra le frequenze di questi filtri. Ad esempio, per convertire i grafici LPF in PF:
, (41)
dove sono le frequenze, rispettivamente, al di sopra e al di sotto della frequenza media del filtro passa-banda. Le stesse formule vengono utilizzate per ricalcolare i grafici dei filtri passa-alto in grafici dei filtri notch.
2.3. Tecnica per sintetizzare filtri in base a parametri operativi
2.3.1. Principi di sintesi di base per parametri di funzionamento
(sintesi polinomiale)
In questo metodo di sintesi, così come nella sintesi per parametri caratteristici, sono stabiliti i requisiti per il tipo di filtro progettato, la resistenza del carico attivo, l'attenuazione o il coefficiente di trasferimento di potenza nelle bande di passaggio e di ritardo. Tuttavia, si tiene conto del fatto che le resistenze di ingresso e di uscita del filtro variano nella banda passante. A questo proposito, il filtro è sintetizzato in modo incoerente, cioè secondo i parametri di funzionamento, che si riflette nei dati iniziali dal requisito . Il metodo si basa sul calcolo obbligatorio per qualsiasi tipo di filtro di un filtro passa basso - un prototipo (filtro passa basso). I calcoli utilizzano la normalizzazione () e le trasformazioni di frequenza.
Il circuito equivalente del filtro non è sviluppato da maglie identiche separate, ma completamente in una volta, solitamente sotto forma di un circuito a struttura a catena. La figura 9 mostra una vista di un circuito a catena a forma di U di un filtro passa-basso, e la figura 10 mostra una vista di un circuito a forma di T dello stesso filtro con elementi non normalizzati.
Riso. nove 
Riso. 10 
Le principali fasi di calcolo su cui si basa questa sintesi sono le seguenti:
A) approssimazione - sostituzione dei requisiti grafici per il coefficiente di trasferimento di potenza con un'espressione analitica, ad esempio il rapporto dei polinomi in gradi, che corrisponde alle formule per le caratteristiche di frequenza dei filtri reattivi reali;
B) passaggio alla forma operatore di registrazione delle caratteristiche di frequenza (sostituzione di una variabile con una variabile in un'espressione analitica che approssima il coefficiente di trasferimento di potenza);
C) passaggio all'espressione per l'impedenza di ingresso del filtro, utilizzando la relazione tra il coefficiente di trasferimento di potenza, il coefficiente di riflessione e l'impedenza di ingresso del filtro:
Nell'espressione (44) viene utilizzato un solo coefficiente di riflessione, che corrisponde ad un circuito elettrico stabile (i poli di tale coefficiente non hanno una parte reale positiva);
D) espansione dell'espressione analitica per la resistenza di ingresso ottenuta dalla (44) in una somma di frazioni o in una frazione continua per ottenere un circuito equivalente e valori degli elementi.
La sintesi polinomiale negli sviluppi pratici viene solitamente eseguita utilizzando libri di riferimento sui filtri, in cui vengono eseguiti i calcoli per un determinato metodo di sintesi. I libri di riferimento contengono funzioni approssimative, circuiti equivalenti ed elementi normalizzati di filtri passa-basso. Nella maggior parte dei casi, i polinomi di Butterworth e Chebyshev vengono utilizzati come funzioni di approssimazione.
L'attenuazione di un filtro passa-basso con una funzione di Butterworth approssimata è descritta dall'espressione:
dove è l'ordine del filtro (un numero intero positivo numericamente uguale al numero di elementi reattivi nel circuito di filtro equivalente).
L'ordine del filtro è determinato dall'espressione
Le tabelle 1 e 2 mostrano i valori degli elementi reattivi normalizzati nell'approssimazione di Butterworth, calcolati per diversi ordini del filtro passa-basso (per circuiti simili a quelli delle Figure 9, 10).
Tabella 1
Valori degli elementi normalizzati del Butterworth LPF del circuito a forma di U
| | | | | | | | |
| 1 | 2 | ||||||
| 2 | 1,414 | 1,414 | |||||
| 3 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 4 | 0,765 | 1,848 | 1,848 | 0,765 | |||
| 5 | 0,618 | 1,618 | 2 | 1,618 | 0,618 | ||
| 6 | 0,518 | 1,414 | 1,932 | 1,932 |
La scienza affina la mente;
L'apprendimento affina la memoria.
Kozma Prutkov
capitolo 15
ELEMENTI DI SINTESI DI CIRCUITI STAZIONARI LINEARI
15.1. Questioni allo studio
DA sintesi di reti bipolari analogiche. Sintesi di quadripoli stazionari secondo una data risposta in frequenza. Filtri Butterworth e Chebyshev.
Indicazioni. Quando si studiano i problemi, è necessario comprendere chiaramente l'ambiguità della risoluzione del problema della sintesi di reti a due terminali e modi specifici per risolvere il problema secondo Foster e Cauer, nonché acquisire la capacità di determinare la possibilità di implementarne uno o un'altra funzione dell'impedenza di ingresso di una rete a due terminali. Quando si sintetizzano filtri elettrici basati su filtri prototipo, è importante comprendere i vantaggi e gli svantaggi dell'approssimazione delle caratteristiche di attenuazione di Chebyshev e Butterworth. È necessario essere in grado di calcolare rapidamente i parametri degli elementi di qualsiasi tipo di filtro (LPF, HPF, BPF) utilizzando formule di conversione di frequenza.
15.2. Brevi informazioni teoriche
Nella teoria dei circuiti è consuetudine parlare di sintesi strutturale e parametrica. Il compito principale della sintesi strutturale è la scelta della struttura (topologia) del circuito che soddisfi proprietà predeterminate. In sintesi parametrica vengono determinati solo i parametri e la tipologia degli elementi del circuito, di cui si conosce la struttura. Nel seguito verrà discussa solo la sintesi parametrica.
Come punto di partenza nella sintesi di reti a due terminali, viene solitamente utilizzata la resistenza di ingresso
Se una funzione è data, allora può essere implementata da un circuito passivo nelle seguenti condizioni: 1) tutti i coefficienti dei polinomi del numeratore e denominatore sono reali e positivi; 2) tutti gli zeri ei poli sono o nel semipiano sinistro o sull'asse immaginario, ei poli e gli zeri sull'asse immaginario sono semplici; questi punti sono sempre reali o formano coppie coniugate complesse; 3) i gradi superiore e inferiore dei polinomi del numeratore e denominatore differiscono di non più di uno. Va inoltre notato che la procedura di sintesi non è univoca, ovvero la stessa funzione di input può essere implementata in diversi modi.
Come strutture iniziali delle reti sintetizzate a due terminali, vengono solitamente utilizzati circuiti Foster, che sono una connessione in serie o in parallelo rispetto ai terminali di ingresso, rispettivamente, di diverse resistenze e conduttanze complesse, nonché circuiti ladder di Cauer.
Il metodo per sintetizzare reti a due terminali si basa sul fatto che un dato input funziona o subisce una serie di semplificazioni successive. Allo stesso tempo, in ogni fase, viene assegnata un'espressione, che è associata a un elemento fisico del circuito sintetizzato. Se tutti i componenti della struttura selezionata sono identificati con elementi fisici, il problema di sintesi è risolto.
La sintesi dei quadripoli si basa sulla teoria dei prototipi di filtri passa-basso. Possibili opzioni prototipo LPF sono mostrati in fig. 15.1.
Nel calcolo è possibile utilizzare uno qualsiasi degli schemi, poiché le loro caratteristiche sono identiche. Designazioni in fig. 15.1 hanno il seguente significato: - l'induttanza di una bobina in serie o la capacità di un condensatore in parallelo; – resistenza del generatore se , o conducibilità del generatore se ; – resistenza del carico, se o conducibilità del carico, se .
I valori degli elementi dei prototipi sono normalizzati in modo che e la frequenza di taglio. Il passaggio dai filtri prototipo normalizzati a un altro livello di resistenze e frequenze viene effettuato utilizzando le seguenti trasformazioni degli elementi del circuito:
;
.
I valori con tratti si riferiscono al prototipo normalizzato, e senza tratti, alla catena trasformata. Il valore iniziale per la sintesi è l'attenuazione della potenza di lavoro, espressa in decibel:
,dB,
è la potenza massima del generatore con resistenza interna ed emf , è la potenza di uscita nel carico.
Di solito, la dipendenza dalla frequenza è approssimata dalla caratteristica più piatta (Butterworth) (Fig. 15.2, ma)
dove 
.
Il valore dell'attenuazione operativa corrispondente alla frequenza di taglio viene normalmente scelto pari a 3 dB. in cui. Parametro nè uguale al numero di elementi del circuito attivo e determina l'ordine del filtro.
La teoria classica della sintesi di circuiti elettrici lineari passivi con parametri concentrati prevede due fasi:
Trovare o selezionare una opportuna funzione razionale che possa essere una caratteristica di un circuito fisicamente realizzabile e allo stesso tempo essere abbastanza vicina ad una data caratteristica;
Trovare la struttura e gli elementi del circuito che implementa la funzione selezionata.
La prima fase è chiamata approssimazione di una determinata caratteristica, la seconda - l'implementazione della catena.
L'approssimazione basata sull'uso di varie funzioni ortogonali non causa difficoltà fondamentali. Molto più difficile è il problema di trovare la struttura ottimale di una catena secondo una data caratteristica (fisicamente fattibile). Questo problema non ha una soluzione univoca. La stessa caratteristica del circuito può essere implementata in molti modi, differendo per lo schema, il numero di elementi in esso inclusi e la complessità della selezione dei parametri di questi elementi, ma la sensibilità delle caratteristiche del circuito all'instabilità dei parametri, ecc.
Si distingue tra sintesi circuitale nel dominio della frequenza e nel dominio del tempo. Nel primo caso, impostare Funzione di trasmissione A(iω), e nel secondo - la risposta all'impulso g(t). Poiché queste due funzioni sono collegate da una coppia di trasformate di Fourier, la sintesi del circuito nel dominio del tempo può essere ridotta alla sintesi nel dominio della frequenza e viceversa. Tuttavia, sintesi secondo un dato risposta impulsiva ha le sue caratteristiche, che giocano un ruolo importante in tecnologia a impulsi quando si formano impulsi con determinati requisiti per i loro parametri (ripidezza della parte anteriore, espulsione, forma della parte superiore, ecc.).
Questo capitolo tratta della sintesi dei quadripoli nel dominio della frequenza. Va precisato che attualmente esiste un'ampia letteratura sulla sintesi dei circuiti elettrici lineari, e lo studio della teoria generale della sintesi non è compreso nel compito del corso "Circuiti e segnali radiofonici". Qui vengono considerati solo alcuni aspetti particolari della sintesi dei quadripoli, che riflettono le caratteristiche dei moderni circuiti radioelettronici. Queste caratteristiche includono principalmente:
L'uso dei quadripoli attivi;
Tendenza ad escludere gli induttori dai circuiti selettivi (nella progettazione microelettronica);
L'emergere e il rapido sviluppo della tecnologia dei circuiti discreti (digitali).
È noto che la funzione di trasferimento del quadripolo A(iω) è determinato in modo univoco dai suoi zeri e poli sul piano p. Pertanto, l'espressione "sintesi per una data funzione di trasferimento" è equivalente all'espressione "sintesi per dati zeri e poli della funzione di trasferimento". La teoria esistente della sintesi del quadripolo considera circuiti la cui funzione di trasferimento ha un numero finito di zeri e poli, in altre parole, circuiti costituiti da un numero finito di collegamenti con parametri concentrati. Ciò porta alla conclusione che i metodi classici di sintesi dei circuiti non sono applicabili ai filtri abbinati a un dato segnale. Infatti, il fattore e iωt 0 incluso nella funzione di trasferimento di tale filtro [vedi Fig. (12.16)] non è realizzato da un numero finito di collegamenti con parametri concentrati. Il materiale presentato in questo capitolo è incentrato sui quadripoli con un numero ridotto di collegamenti. Tali quadripoli sono tipici per filtri passa-basso, filtri passa-alto, filtri barriera, ecc., che sono ampiamente utilizzati nei dispositivi elettronici.
I filtri elettrici sono reti a quattro terminali che, con attenuazione ∆A trascurabile, trasmettono oscillazioni in determinati intervalli di frequenza f 0 ... f 1 (bande passanti) e praticamente non trasmettono oscillazioni in altri intervalli f 2 ... f 3 (stop o bande di non trasmissione).
Riso. 2.1.1. Filtro passa basso (LPF). Riso. 2.1.2. Filtro passa alto (HPF).
Esistono molti diversi tipi di implementazioni di filtri elettrici: filtri LC passivi (i circuiti contengono elementi induttivi e capacitivi), filtri RC passivi (i circuiti contengono elementi resistivi e capacitivi), filtri attivi (i circuiti contengono amplificatori operazionali, elementi resistivi e capacitivi), guida d'onda, filtri digitali e altri. Tra tutti i tipi di filtri, i filtri LC occupano una posizione speciale, poiché sono ampiamente utilizzati nelle apparecchiature di telecomunicazione in varie gamme di frequenza. Esiste una tecnica di sintesi ben consolidata per filtri di questo tipo e la sintesi di altri tipi di filtri utilizza largamente questa
metodologia. Pertanto, il lavoro del corso si concentra sulla sintesi
Riso. 2.1.3. Filtro passa banda (PF). filtri LC passivi.
Il compito di sintesi di un filtro elettrico è definire un circuito di filtro con il numero minimo possibile di elementi, la cui risposta in frequenza soddisfi i requisiti tecnici specificati. Spesso i requisiti sono posti sulla caratteristica di attenuazione operativa. Nelle Figure 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, i requisiti di attenuazione operativa sono dati dai livelli di attenuazione massima ammissibile nella banda passante A e dai livelli di attenuazione minima ammissibile nella banda ferma As. Il compito di sintesi si divide in due fasi: problema di approssimazione requisiti per l'attenuazione operativa da parte di una funzione implementata fisicamente e compito di attuazione trovata funzione di approssimazione da un circuito elettrico.
La soluzione del problema di approssimazione consiste nel trovare una tale funzione dell'ordine minimo possibile, che, in primo luogo, soddisfi i requisiti tecnici specificati per la risposta in frequenza del filtro e, in secondo luogo, soddisfi le condizioni di fattibilità fisica.
La soluzione del problema di implementazione consiste nel determinare il circuito elettrico, la cui risposta in frequenza coincide con la funzione trovata a seguito della risoluzione del problema di approssimazione.
2.1. BASI PER LA SINTESI DI FILTRI SECONDO PARAMETRI DI LAVORO.
Consideriamo alcune relazioni che caratterizzano le condizioni per il trasferimento di energia attraverso un filtro elettrico. Di norma, un filtro elettrico viene utilizzato nelle condizioni in cui i dispositivi sono collegati dal lato dei suoi terminali di ingresso, che possono essere rappresentati nel circuito equivalente come una rete attiva a due terminali con i parametri E(jω), R1 e i dispositivi presentati sul circuito equivalente sono collegati dal lato dei terminali di uscita la resistenza resistiva R2. Il circuito di accensione del filtro elettrico è mostrato in Figura 2.2.1.
La figura 2.2.2 mostra un diagramma in cui, al posto di un filtro e di una resistenza R2, è collegata una resistenza di carico ad un generatore equivalente (con parametri E(jω), R1), il cui valore è uguale alla resistenza del generatore R1. Come sapete, il generatore fornisce la massima potenza ad un carico resistivo se la resistenza del carico è uguale alla resistenza di perdita interna del generatore R1.
Il passaggio di un segnale attraverso una rete a quattro terminali è caratterizzato da una funzione di trasferimento operativa T(jω). La funzione di trasferimento di lavoro permette di confrontare la potenza S 0 (jω) fornita dal generatore al carico R1 (coerente con i propri parametri), con la potenza S 2 (jω) fornita al carico R2 dopo il passaggio attraverso il filtro:
L'argomento della funzione di trasferimento di lavoro arg(T(jω)) caratterizza la relazione di fase tra la fem. E(jω) e tensione di uscita U 2 (jω). Si chiama costante di trasferimento della fase di lavoro (indicata Lettera greca"beta"):
Quando l'energia viene trasmessa attraverso una rete a quattro terminali, le variazioni di potenza, tensione e corrente in valore assoluto sono caratterizzate dal modulo della funzione di trasferimento di lavoro. Quando si valutano le proprietà selettive dei filtri elettrici, viene utilizzata una misura determinata da una funzione logaritmica. Questa misura è l'attenuazione di lavoro (indicata dalla lettera greca "alfa"), che è correlata al modulo della funzione di trasferimento di lavoro dai rapporti:
, (Np); o (2.2)
, (dB). (2.3)
Quando si usa la formula (2.2), l'attenuazione di funzionamento è espressa in nepers, e quando si usa la formula (2.3), in decibel.
Il valore è chiamato costante di trasmissione di lavoro del quadripolo (indicato con la lettera greca "gamma"). La funzione di trasferimento di lavoro può essere rappresentata utilizzando l'attenuazione di lavoro e la fase di lavoro come:
Nel caso in cui la resistenza di perdita interna del generatore R1 e la resistenza di carico R2 siano resistive, sono attive le potenze S 0 (jω) e S 2 (jω). Conviene caratterizzare il passaggio di potenza attraverso il filtro utilizzando il coefficiente di trasmissione di potenza, definito come il rapporto tra la potenza massima P max ricevuta dal generatore da un carico ad esso abbinato, e la potenza P 2 entrante nel carico R2:
Una rete reattiva a quattro terminali non consuma potenza attiva. Allora la potenza attiva P 1 data dal generatore è uguale alla potenza P 2 consumata dal carico:
Esprimiamo il valore del modulo di corrente in ingresso: , e lo sostituiamo in (2.5).
Usando le trasformazioni algebriche, rappresentiamo la (2.5) nella forma:
Rappresentiamo il numeratore del lato destro dell'equazione nella forma:
Il lato sinistro dell'equazione (2.6) è il reciproco del rapporto di trasferimento di potenza:
La seguente espressione è il coefficiente di riflessione della potenza dai terminali di ingresso di un quadripolo:
Il coefficiente di riflessione (tensione o corrente) dai terminali di ingresso della rete a quattro terminali, pari a
caratterizza l'abbinamento dell'impedenza di ingresso del filtro con la resistenza R1.
Una rete passiva a quattro terminali non può fornire guadagno di potenza, cioè.
Pertanto, per tali circuiti, è opportuno utilizzare la funzione ausiliaria definita dall'espressione:
Rappresentiamo l'attenuazione di lavoro in una forma diversa, più conveniente per risolvere il problema della sintesi dei filtri:
Ovviamente, la natura della dipendenza dalla frequenza dell'attenuazione di lavoro è associata alla dipendenza dalla frequenza della funzione, chiamata funzione di filtraggio: gli zeri ei poli della funzione di filtraggio coincidono con gli zeri ei poli dell'attenuazione.
Sulla base delle formule (2.7) e (2.9), è possibile rappresentare il coefficiente di riflessione della potenza dai terminali di ingresso del quadripolo:
Passiamo alla scrittura delle immagini degli operatori secondo Laplace, tenendo conto che p = jω, e anche che il quadrato del modulo di un valore complesso è espresso, ad esempio, . L'espressione (2.10) nella forma dell'operatore ha la forma
Le espressioni dell'operatore , , sono funzioni razionali della variabile complessa "p", e quindi possono essere scritte come
dove , , - sono polinomi, ad esempio:
Dalla formula (2.11), tenendo conto della (2.12), si ricava la relazione tra polinomi:
Nella fase di risoluzione del problema di approssimazione si determina l'espressione della funzione di filtraggio, ovvero si determinano i polinomi h(p), w(p); dall'equazione (2.13) si ricava il polinomio v(p).
Se l'espressione (2.8) è presentata in forma di operatore, allora la funzione dell'impedenza di ingresso del filtro può essere ottenuta in forma di operatore:
Le condizioni di realizzabilità fisica sono le seguenti:
1. v(p) - deve essere un polinomio di Hurwitz, cioè le sue radici si trovano nella metà sinistra del piano della variabile complessa p=α+j Ω (requisito per la stabilità della catena);
2. w(p) - deve essere un polinomio pari o dispari (per LPF w(p) - pari in modo che non vi sia un polo di attenuazione a ω=0; per HPF w(p) - dispari);
3. h(p) è un qualsiasi polinomio con coefficienti reali.
2.2. REGOLAMENTO SU RESISTENZA E FREQUENZA.
I valori numerici dei parametri degli elementi L, C, R e le frequenze di taglio dei filtri reali possono assumere, a seconda delle condizioni tecniche, svariati valori. L'uso simultaneo di piccole e grandi quantità nei calcoli porta a un errore di calcolo significativo.
È noto che la natura delle dipendenze di frequenza del filtro non dipende dai valori assoluti dei coefficienti delle funzioni che descrivono queste dipendenze, ma è determinata solo dai loro rapporti. I valori dei coefficienti sono determinati dai valori dei parametri L, C, R dei filtri. Pertanto, la normalizzazione (variazione dello stesso numero di volte) dei coefficienti delle funzioni porta alla normalizzazione dei valori dei parametri degli elementi del filtro. Pertanto, al posto dei valori assoluti delle resistenze degli elementi filtranti, vengono presi i loro valori relativi, riferiti alla resistenza di carico R2 (o R1).
Inoltre, se i valori di frequenza sono normalizzati rispetto alla frequenza di taglio della larghezza di banda (questo valore viene utilizzato più spesso), ciò ridurrà ulteriormente la diffusione dei valori utilizzati nei calcoli e aumenterà la precisione del calcoli. I valori di frequenza normalizzati sono scritti nella forma e sono quantità adimensionali e il valore normalizzato della frequenza di taglio della larghezza di banda.
Si consideri ad esempio la resistenza degli elementi collegati in serie L, C, R:
Resistenza nominale: .
Introduciamo i valori di frequenza normalizzati nell'ultima espressione: dove i parametri normalizzati sono: .
I valori veri (denormalizzati) dei parametri dell'elemento sono determinati da:
Modificando i valori di f 1 e R2, è possibile ottenere dal circuito originale nuovi circuiti di dispositivi operanti in altre gamme di frequenza e sotto altri carichi. L'introduzione della normalizzazione ha permesso di creare cataloghi di filtri, il che in molti casi riduce il difficile problema della sintesi dei filtri al lavoro con le tabelle.
2.3. COSTRUZIONE DI SCHEMI DOPPI.
Le quantità duali, come è noto, sono resistenza e conducibilità. Per ogni circuito di un filtro elettrico si può trovare un circuito ad esso doppio. In questo caso, la resistenza di ingresso del primo circuito sarà uguale alla conducibilità di ingresso del secondo, moltiplicata per il coefficiente. È importante notare che la funzione di trasferimento di lavoro T(p) per entrambi gli schemi sarà la stessa. Un esempio di costruzione di un circuito doppio è mostrato nella Figura 2.3.
Tali trasformazioni risultano spesso convenienti, poiché consentono di ridurre il numero di elementi induttivi. Come sapete, gli induttori, rispetto ai condensatori, sono elementi ingombranti e di bassa qualità.
Si determinano i parametri normalizzati degli elementi del doppio circuito (quando =1):
2.4. APPROSSIMAZIONE DELLE CARATTERISTICHE DI FREQUENZA.
Le figure 2.1.1 - 2.1.3 mostrano i grafici delle funzioni di attenuazione di lavoro del filtro passa-basso (LPF), del filtro passa-alto (HPF), del filtro passa-banda (BPF). Gli stessi grafici mostrano i livelli di attenuazione richiesti. Nella banda passante f 0 ... f 1 viene impostato il massimo valore di attenuazione ammissibile (cd attenuazione irregolare) ΔА; nella stopband f 2 …f 3 è impostato il valore minimo di attenuazione ammissibile A S; nella regione di transizione delle frequenze f 1 ... f 2 non sono imposti requisiti di attenuazione.
Prima di procedere con la soluzione del problema di approssimazione, vengono normalizzate le caratteristiche richieste dell'attenuazione operativa in frequenza, ad esempio per filtro passa basso e filtro passa alto:
La funzione di approssimazione desiderata deve soddisfare le condizioni di fattibilità fisica e riprodurre in modo sufficientemente accurato la dipendenza dalla frequenza richiesta dell'attenuazione operativa. Esistono vari criteri per stimare l'errore di approssimazione, su cui il tipi diversi approssimazioni. Nei problemi di approssimazione delle caratteristiche ampiezza-frequenza, vengono usati più spesso i criteri di ottimalità di Taylor e Chebyshev.
2.4.1. Approssimazione con il criterio di Taylor.
Nel caso di applicazione del criterio di Taylor, la funzione di approssimazione desiderata ha la seguente forma (valore normalizzato):
dov'è il quadrato del modulo della funzione di filtraggio;
– l'ordine del polinomio (prende un valore intero);
ε è il coefficiente di non uniformità. Il suo valore è correlato al valore di ∆A - l'irregolarità di attenuazione nella banda passante (Fig. 2.4). Poiché alla frequenza di taglio della banda passante Ω 1 =1, quindi
I filtri con dipendenza dalla frequenza dell'attenuazione (2.16) sono chiamati filtri con caratteristiche di attenuazione estremamente piatte, o filtri con Caratteristiche di Butterworth, che è stato il primo a utilizzare l'approssimazione del criterio di Taylor per risolvere il problema della sintesi dei filtri.
L'ordine della funzione di approssimazione è determinato in base alla condizione che alla frequenza di taglio della banda di arresto Ω 2, l'attenuazione operativa superi il valore minimo consentito:
Dove . (2.19)
Poiché l'ordine del polinomio deve essere un intero, il valore risultante
Fig.2.4. arrotondato per eccesso al più vicino
valore intero.
L'espressione (2.18) può essere rappresentata in forma di operatore usando la trasformazione jΩ→ :
Troviamo le radici del polinomio: , donde
K = 1, 2, … , NB (2.20)
Le radici assumono complessi valori coniugati e si trovano su una circonferenza di raggio. Per formare il polinomio di Hurwitz, è necessario utilizzare solo quelle radici che si trovano nella metà sinistra del piano complesso:
La Figura 2.5 mostra un esempio di collocazione nel piano complesso delle radici di un polinomio di 9° ordine con componente reale negativa. Modulo quadrato
Riso. 2.5. funzione di filtraggio, secondo (2.16), è uguale a:
Polinomio a coefficienti reali; è un polinomio di ordine pari. Pertanto, le condizioni di realizzabilità fisica sono soddisfatte.
2.4.2. Approssimazione con il criterio di Chebyshev.
Utilizzando i polinomi di potenza Ω 2 NB per l'approssimazione di Taylor, si ottiene una buona approssimazione della funzione ideale vicino al punto Ω=0, ma per garantire una sufficiente pendenza della funzione di approssimazione per Ω>1, è necessario aumentare il l'ordine del polinomio (e, di conseguenza, l'ordine dello schema).
La migliore pendenza nella regione della frequenza di transizione può essere ottenuta se, a titolo approssimativo, scegliamo non una funzione monotona (Fig. 2.4), ma una funzione oscillante nell'intervallo di valori 0 ... ΔА nella banda passante a 0<Ω<1 (рис. 2.7).
La migliore approssimazione del criterio di Chebyshev è fornita dall'uso dei polinomi di Chebyshev P N (x) (Fig. 2.6). Nell'intervallo -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.
Nell'intervallo -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением
P N (x) = cos(N arccos(x)), (2.21)
per N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,
per N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,
per N≥3, il polinomio P N (x) può essere calcolato utilizzando la formula ricorrente
P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).
Per x > 1, i valori dei polinomi di Chebyshev aumentano in modo monotono e sono descritti dall'espressione
P N (x) = ch(N Arco(x)). (2.22)
La funzione di attenuazione di lavoro (Fig. 2.7) è descritta dall'espressione
dove ε è il coefficiente di non uniformità determinato dalla formula (2.17);
Modulo funzione filtro quadrato;
P N (Ω) è un polinomio di Chebyshev di ordine N.
L'attenuazione di funzionamento in stopband deve superare il valore di A S:
Sostituendo l'espressione (2.22) per i valori delle frequenze della stopband in questa disuguaglianza, la risolviamo rispetto al valore N = NЧ - l'ordine del polinomio di Chebyshev:
L'ordine del polinomio deve essere un numero intero, quindi il valore risultante deve essere arrotondato per eccesso al valore intero successivo più alto.
Quadrato del modulo della funzione di trasferimento di lavoro (valore normalizzato)
Poiché gli zeri di attenuazione (che sono le radici del polinomio di Hurwitz) si trovano nella banda passante, in questa espressione deve essere sostituita l'espressione (2.21) per le frequenze della banda passante.
L'espressione (2.25) può essere rappresentata in forma di operatore usando la trasformazione jΩ→ :
Le radici del polinomio sono determinate dalla formula:
K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)
Le radici coniugate complesse nel piano complesso si trovano su un'ellisse. Il polinomio di Hurwitz è formato solo da radici con una componente reale negativa:
Modulo funzione filtro quadrato ; quindi, troviamo il polinomio usando la formula ricorsiva:
È un polinomio a coefficienti reali; è un polinomio di grado pari. Le condizioni di realizzabilità fisica sono soddisfatte.
2.5. IMPLEMENTAZIONE DEL FUNZIONAMENTO APPROSSIMATIVO TRAMITE CIRCUITO ELETTRICO.
Uno dei metodi per risolvere il problema di implementazione si basa sull'espansione della frazione continua della funzione di resistenza di ingresso
La procedura di decomposizione è descritta in letteratura: , . L'espansione continua della frazione può essere brevemente spiegata come segue.
La funzione è un rapporto di polinomi. Innanzitutto, il polinomio numeratore è diviso per il polinomio denominatore; quindi il polinomio che era il divisore diventa divisibile e il resto risultante diventa il divisore e così via. I quozienti ottenuti per divisione formano una frazione continua. Per il circuito in Figura 2.8, la frazione continua ha la forma (per =1):
Se necessario, puoi dal ricevuto
gli schemi vanno al duale.
2.6. METODO DI CONVERSIONE A FREQUENZA VARIABILE.
Il metodo di conversione a frequenza variabile viene utilizzato per la sintesi di HPF e PF. La trasformazione si applica solo alle frequenze normalizzate Ω.
2.6.1. sintesi HPF. Confrontando le caratteristiche di LPF e HPF nelle Figure 2.9 e 2.10, puoi vedere che sono reciprocamente inverse. Ciò significa che se cambiamo la variabile di frequenza
nell'espressione della caratteristica del filtro passa-basso si otterrà quindi la caratteristica passa-alto. Ad esempio, per un filtro con una caratteristica Butterworth
Usare questa trasformazione equivale a sostituire gli elementi capacitivi con quelli induttivi e viceversa:
Cioè
Cioè .
Per sintetizzare un filtro passa alto utilizzando il metodo di trasformazione della variabile di frequenza, è necessario effettuare le seguenti operazioni.
Riso. 2.9. LPF con Fig. 2.10. HPF con normalizzato
caratteristica. caratteristica.
1. Normalizzare la variabile di frequenza.
2. Applicare la formula (2.27) per trasformare la variabile di frequenza
I requisiti di attenuazione operativa ricalcolati sono i requisiti di attenuazione operativa del cosiddetto prototipo LPF.
3. Sintetizzare il prototipo LPF.
4. Applicare la formula (2.27) per passare dal prototipo LPF all'HPF richiesto.
5. Eseguire la denormalizzazione dei parametri degli elementi dell'HPF sintetizzato.
2.6.2. Sintesi di PF. Figura 2.1.3. viene mostrata la caratteristica simmetrica dell'attenuazione operativa del filtro passa-banda. Questo è il nome della caratteristica, geometricamente simmetrica rispetto alla frequenza media.
Per sintetizzare il PF utilizzando il metodo di trasformazione della variabile di frequenza, è necessario effettuare le seguenti operazioni.
1. Per passare dalla caratteristica simmetrica richiesta del PF alla caratteristica normalizzata del prototipo LPF (e utilizzare la tecnica di sintesi già nota), è necessario sostituire la variabile di frequenza (Figura 2.11)
2.7. FILTRI ATTIVI.
I filtri attivi sono caratterizzati dall'assenza di induttori, poiché le proprietà degli elementi induttivi possono essere riprodotte utilizzando circuiti attivi contenenti elementi attivi (amplificatori operazionali), resistori e condensatori. Tali schemi sono designati: schemi ARC. Gli svantaggi degli induttori sono il basso fattore di qualità (grandi perdite), le grandi dimensioni, l'alto costo di produzione.
2.7.1. Fondamenti di teoria dei filtri ARC. Per una rete lineare a quattro terminali (incluso un filtro ARC lineare), il rapporto tra la tensione di ingresso e di uscita (in forma di operatore) è espresso dalla funzione di trasferimento della tensione:
dove w(p) è un polinomio pari (K p 0 per LPF) o dispari (per HPF),
v(p) è un polinomio di Hurwitz di ordine N.
Per LPF, la funzione di trasferimento (valore normalizzato) può essere rappresentata come un prodotto di fattori
dove K \u003d HU (0) \u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - il valore della funzione HU (p) (per un filtro di ordine pari) durante la trasmissione di una tensione costante ( cioè a f = 0 o, in forma di operatore, a p=0);
i fattori al denominatore sono formati dal prodotto di complesse radici coniugate
nel caso di un filtro di ordine dispari, esiste un fattore formato utilizzando la radice del polinomio di Hurwitz con valore reale .
Ciascun fattore di funzione di trasferimento può essere implementato con un filtro passa basso (ARC) attivo del secondo o del primo ordine. E l'intera funzione di trasferimento data H U (p) è una connessione a cascata di tali reti a quattro terminali (Figura 2.13).
Un dispositivo attivo a quattro terminali basato su un amplificatore operazionale ha una proprietà molto utile: la sua impedenza di ingresso è molto maggiore della sua impedenza di uscita. Il collegamento a una rete a quattro terminali come carico di resistenza molto elevato (questa modalità di funzionamento è vicina alla modalità inattiva) non influisce sulle caratteristiche della rete a quattro terminali stessa.
H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)
Ad esempio, un filtro passa basso attivo di 5° ordine può essere implementato da un circuito che è una connessione in cascata di due quadripoli del secondo ordine e un quadripolo del primo ordine (Fig. 2.14), e un filtro passa basso di 4° ordine è costituito di un collegamento in cascata di due quadripoli del secondo ordine. I quadripoli con un fattore di qualità superiore sono collegati per primi al percorso di trasmissione del segnale; il dispositivo a quattro terminali del primo ordine (con il fattore di qualità più basso e la pendenza più bassa della risposta in frequenza) è collegato per ultimo.
2.7.2. Sintesi del filtro ARC prodotto utilizzando la funzione di trasferimento di tensione (2.29). La normalizzazione della frequenza viene eseguita rispetto alla frequenza di taglio f c . Alla frequenza di taglio, il valore della funzione di trasferimento della tensione è inferiore al massimo Hmax di un fattore 1 e il valore di attenuazione è 3 dB
Riso. 2.14. Filtro passa basso ARC 5° ordine.
La normalizzazione delle caratteristiche di frequenza viene effettuata rispetto a f c . Se risolviamo le equazioni (2.16) e (2.23) rispetto alla frequenza di taglio, otteniamo le espressioni
Per LPF con caratteristica Butterworth;
Con una caratteristica di Chebyshev.
A seconda del tipo di caratteristica del filtro - Butterworth o Chebyshev - l'ordine della funzione di approssimazione è determinato dalle formule (2.19) o (2.26).
Le radici del polinomio di Hurwitz sono determinate dalle formule (2.20) o (2.26). La funzione di trasferimento di tensione per un quadripolo del secondo ordine può essere formata utilizzando una coppia di radici coniugate complesse e, inoltre, può essere espressa in termini di parametri degli elementi del circuito (Fig. 2.14). L'analisi del circuito e la derivazione dell'espressione (2.31) non sono fornite. L'espressione (2.32) per il quadripolo del primo ordine è scritta in modo simile.
Poiché il valore della resistenza di carico non influisce sulle caratteristiche del filtro attivo, la denormalizzazione viene eseguita in base a quanto segue. Innanzitutto, vengono selezionati i valori accettabili delle resistenze resistive (10 ... 30 kOhm). Quindi vengono determinati i valori reali dei parametri di capacità; per questo, f c è usato nell'espressione (2.15).
Moduli per la televisione digitale
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