Calcolo e costruzione delle caratteristiche temporali di un filtro analogico. Risposta all'impulso e funzione di trasferimento Risposta all'impulso di trasferimento

A-priorità Funzione di trasmissione(PF) è un operatore pari al rapporto tra le immagini delle coordinate di output e di input a condizioni iniziali nulle:

W (p) = R (p) / Q (p)

Scopo del servizio... L'oggetto di controllo (OC) è descritto da un lineare equazione differenziale n ordine. Per un collegamento oscillatorio di ordine n-esimo si determinano:

1. Funzione di trasmissione;
2. caratteristiche di frequenza (ampiezza (AFC), fase (PFC), logaritmica (LFC));
3. funzioni transitorie e transitorie impulsive (peso);
4. grafici delle caratteristiche transitorie e di frequenza.

Per trovare la funzione di trasferimento online, è necessario selezionare il tipo di collegamento e inserire il grado del collegamento.

Un esempio. L'impianto di controllo (OC) è descritto da un'equazione differenziale lineare del terzo ordine:
(2)
1) Funzione di trasmissione OA nel caso generale può essere rappresentato sotto forma di una relazione
W (iω) = A (ω) e iφ (ω) = U (ω) + iV (ω),
dove R (p) e Q (p) sono le immagini di Laplace delle variabili di output e di input dell'unità organizzativa corrispondenti ai lati sinistro e destro dell'equazione 1. Quindi, la funzione di trasferimento avrà la forma:
(3)
o
. (4)

2) Determinare le caratteristiche di frequenza dell'amplificatore operazionale. È noto che la funzione di trasferimento di frequenza W (ω) può essere rappresentata come:
, (5)
dove A (ω) - risposta in frequenza di ampiezza (AFC);
φ (ω) - risposta in frequenza di fase (PFC);
U (ω) - risposta in frequenza reale (HFC);
V (ω) - risposta in frequenza immaginaria;
Sostituisci iω nell'espressione (3) invece di p. Noi abbiamo:
(6)
Sulla base delle espressioni (5) e (6), separiamo le caratteristiche di ampiezza e frequenza di fase e sostituiamo i valori numerici dei coefficienti. In base al fatto che:
A (ω) = |W (iω) |
φ (ω) = argomento (W (iω))
(vedi numeri complessi). Otteniamo infine: (7)

3) Determinare la risposta in frequenza di ampiezza logaritmica (LFC).
È noto che LFC è determinato dal rapporto:
L (ω) = 20 lg (A (ω)) (8)
Questa caratteristica ha la dimensione di dB (decibel) e mostra la variazione del rapporto di potenza del valore di uscita rispetto al valore di ingresso. Per comodità, il LAFC è tracciato su una scala logaritmica.
La risposta in frequenza di fase tracciata su scala logaritmica sarà indicata come risposta in frequenza di fase logaritmica (LPFC).
Esempi di tracciatura di LAFC e LPFC per i nostri dati iniziali sono mostrati nella Figura 1.
Definiamo una funzione transitoria impulsiva (peso). La funzione di ponderazione w (t) è la risposta del sistema a una funzione di impulso unitario applicata al suo ingresso. La funzione di ponderazione è correlata alla funzione di trasferimento dalla trasformata di Laplace.
. (9)
Pertanto, la funzione di ponderazione può essere trovata applicando l'inversa trasformata di Laplace alla funzione di trasferimento.
w (t) = L -1 (10)

Funzione transitoria dell'impulso (funzione peso, risposta impulsiva) è il segnale di uscita del sistema dinamico come reazione al segnale di ingresso sotto forma della funzione delta di Dirac. Nei sistemi digitali il segnale di ingresso è un semplice impulso di ampiezza minima (pari al periodo di campionamento per i sistemi discreti) e di ampiezza massima. Applicato al filtraggio del segnale, è anche chiamato nucleo del filtro... È ampiamente utilizzato nella teoria del controllo, nell'elaborazione di segnali e immagini, nella teoria della comunicazione e in altri campi dell'ingegneria.

Definizione [ | ]

Risposta impulsiva Il sistema è chiamato la sua risposta ad un impulso unitario in condizioni iniziali nulle.

Proprietà [ | ]

Applicazione [ | ]

Analisi dei sistemi [ | ]

Recupero della risposta in frequenza[ | ]

Una proprietà importante della risposta all'impulso è il fatto che sulla sua base si può ottenere una risposta in frequenza complessa, definita come il rapporto tra lo spettro complesso del segnale in uscita dal sistema e lo spettro complesso del segnale in ingresso.

La risposta in frequenza complessa (CFC) è un'espressione analitica di una funzione complessa. CFC è tracciato sul piano complesso e rappresenta la curva della traiettoria dell'estremità del vettore nell'intervallo di frequenze operative, chiamato odografo KCHH. Per tracciare il CFC, sono generalmente necessari 5-8 punti nell'intervallo di frequenza operativa: dalla frequenza minima realizzabile alla frequenza di taglio (la frequenza di fine dell'esperimento). CFC, così come la caratteristica del tempo, darà informazioni complete sulle proprietà dei sistemi dinamici lineari.

La risposta in frequenza del filtro è definita come trasformata di Fourier (trasformata di Fourier discreta nel caso segnale digitale) sulla risposta all'impulso.

H (j ω) = ∫ - ∞ + ∞ h (τ) e - j ω τ d τ (\ displaystyle H (j \ omega) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) h ( \ tau) e ^ (- j \ omega \ tau) \, d \ tau)

Per determinare la risposta all'impulso G(T, τ), dove è il tempo di esposizione, T- il tempo di occorrenza e l'azione della risposta, direttamente secondo i parametri dati del circuito, è necessario utilizzare l'equazione differenziale del circuito.

Per analizzare il metodo di ricerca G(T, τ), si consideri una catena semplice descritta da un'equazione del primo ordine:

dove F(T) - impatto, sì(T) è la risposta.

Per definizione, la risposta all'impulso è la risposta del circuito a un singolo impulso delta ( T-τ) fornito all'ingresso al momento T= . Da questa definizione segue che se a destra dell'equazione poniamo F(T)=δ( T-τ), poi a sinistra puoi accettare sì(T)=G(T,).

Quindi, arriviamo all'equazione

.

Perché parte destra di questa equazione è uguale a zero ovunque, eccetto per il punto T= τ, la funzione G(T) può essere cercato sotto forma di soluzione di un'equazione differenziale omogenea:

nelle condizioni iniziali derivanti dall'equazione precedente, nonché dalla condizione che al momento dell'applicazione della quantità di moto δ ( T-τ) non ci sono correnti o tensioni nel circuito.

L'ultima equazione separa le variabili:

dove
- i valori della risposta all'impulso al momento dell'esposizione.

D Per determinare il valore iniziale
torna all'equazione originale. Ne consegue che al punto
funzione G(T) deve saltare di 1 / un 1 (τ), poiché solo in questa condizione il primo termine nell'equazione originale un 1 (T)[dg/dt] può formare una funzione delta δ ( T-τ).

Dal momento che a

, quindi al momento

.

Sostituendo l'integrale indefinito con uno definito con limite superiore di integrazione variabile, si ottengono le relazioni per la determinazione della risposta all'impulso:

Conoscendo la risposta all'impulso, è facile determinare la funzione di trasferimento del circuito parametrico lineare, poiché entrambi gli assi sono collegati da una coppia di trasformate di Fourier:

dove un=T-τ - ritardo del segnale. Funzione G 1 (T,un) si ottiene dalla funzione
sostituendo τ = t-a.

Insieme all'ultima espressione, si può ottenere un'altra definizione della funzione di trasferimento, in cui la risposta all'impulso G 1 (T,un) non appare. Per fare ciò, usiamo la trasformata di Fourier inversa per la risposta S FUORI ( T):

.

Nel caso in cui il segnale in ingresso sia armonico, S(T) = cosω 0 T... Corrispondente S(T) il segnale analitico è
.

Il piano spettrale di questo segnale

sostituzione
invece di
nell'ultima formula, otteniamo

Da qui troviamo:

Qui Z FUORI ( T) - segnale analitico corrispondente al segnale di uscita S FUORI ( T).

Pertanto, il segnale di uscita con azione armonica

è definito allo stesso modo di qualsiasi altro circuito lineare.

Se la funzione di trasferimento K(Jω 0 , T) cambia nel tempo secondo una legge periodica con frequenza fondamentale , allora può essere rappresentata come una serie di Fourier:

dove
- coefficienti indipendenti dal tempo, nel caso generale, complessi, interpretabili come funzioni di trasferimento di alcune reti a due porte con parametri costanti.

Opera

può essere considerata come la funzione di trasferimento di un collegamento in cascata (serie) di due reti a quattro porte: una con funzione di trasferimento
, indipendente dal tempo, e il secondo con la funzione di trasferimento
, che cambia nel tempo, ma non dipende dalla frequenza 0 del segnale di ingresso.

Sulla base dell'ultima espressione, qualsiasi circuito parametrico con parametri che cambiano periodicamente può essere rappresentato come il seguente circuito equivalente:

Come è chiaro il processo di formazione di nuove frequenze nello spettro del segnale di uscita?

Il segnale analitico in uscita sarà uguale

dove φ 0, φ 1, φ 2 ... - caratteristiche di fase delle reti a quattro porte.

Passando al segnale reale in uscita, otteniamo

Questo risultato indica la seguente proprietà di un circuito a parametri variabili: quando la funzione di trasferimento cambia secondo una qualsiasi legge complessa ma periodica con la frequenza fondamentale

Ω,  un segnale di ingresso armonico con frequenza ω 0 forma uno spettro all'uscita del circuito contenente frequenze ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2Ω, ecc.

Se un segnale complesso viene applicato all'ingresso del circuito, tutto quanto detto sopra si applica a ciascuna delle frequenze e allo spettro di ingresso. Ovviamente, in un circuito parametrico lineare, non c'è interazione tra le singole componenti dello spettro di ingresso (principio di sovrapposizione) e le frequenze della forma nω 1 ± mω 2 dove ω 1 e ω 2 sono diverse frequenze del segnale di ingresso.

2.3 Proprietà generali della funzione di trasferimento.

Il criterio di stabilità per un circuito discreto coincide con il criterio di stabilità per un circuito analogico: i poli della funzione di trasferimento devono trovarsi nel semipiano sinistro della variabile complessa, che corrisponde alla posizione dei poli all'interno del cerchio unitario di l'aereo

Funzione di trasferimento a catena vista generale si scrive, secondo la (2.3), come segue:

dove si tiene conto dei segni dei termini nei coefficienti a i, b j, mentre b 0 = 1.

È conveniente formulare le proprietà della funzione di trasferimento di una catena di forma generale sotto forma di requisiti per la realizzabilità fisica di una funzione razionale di Z: qualsiasi funzione razionale di Z può essere realizzata come una funzione di trasferimento di un discreto stabile concatenare fino a un fattore H 0 ЧH Q se questa funzione soddisfa i requisiti:

1.i coefficienti a i, b j sono numeri reali,

2.le radici dell'equazione V (Z) = 0, cioè i poli di H (Z) si trovano all'interno del cerchio unitario del piano Z.

Il moltiplicatore H 0 ЧZ Q tiene conto dell'amplificazione costante del segnale H 0 e dello spostamento costante del segnale lungo l'asse del tempo per il valore di QT.

2.4 Caratteristiche di frequenza.

Complesso di funzioni di trasferimento di circuiti discreti

determina le caratteristiche di frequenza del circuito

AFC, - PFC.

In base alla (2.6), il complesso della funzione di trasferimento generale può essere scritto come

Da qui le formule per la risposta in frequenza e la risposta in frequenza di fase

Le caratteristiche di frequenza di un circuito discreto sono funzioni periodiche. Il periodo di ripetizione è uguale alla frequenza di campionamento w d.

Le caratteristiche di frequenza sono generalmente normalizzate lungo l'asse della frequenza alla frequenza di campionamento

dove W è la frequenza normalizzata.

Nei calcoli con l'uso di un computer, la normalizzazione della frequenza diventa una necessità.

Esempio. Determinare le caratteristiche di frequenza del circuito, la cui funzione di trasferimento

H (Z) = un 0 + un 1 ЧZ -1.

Complesso di funzioni di trasferimento: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

tenendo conto della normalizzazione della frequenza: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Formule di risposta in frequenza e risposta di fase

H (W) =, j (W) = - arctan .

i grafici della risposta in frequenza e della risposta in frequenza di fase per i valori positivi a 0 e a 1 nella condizione a 0> a 1 sono mostrati in Fig. (2.5, a, b.)

Scala logaritmica della risposta in frequenza - attenuazione A:

; . (2.10)

Gli zeri della funzione di trasferimento possono essere posizionati in qualsiasi punto del piano Z. Se gli zeri si trovano all'interno del cerchio unitario, le caratteristiche di risposta in frequenza e risposta in fase di tale circuito sono correlate dalla trasformazione di Hilbert e possono essere determinate in modo univoco uno attraverso l'altro. Tale circuito è chiamato circuito di tipo a fase minima. Se almeno uno zero appare al di fuori del cerchio unitario, allora la catena appartiene a una catena di tipo a fase non lineare per la quale la trasformata di Hilbert non è applicabile.

2.5 Risposta impulsiva... convoluzione.

La funzione di trasferimento caratterizza il circuito nel dominio della frequenza. Nel dominio del tempo, il circuito ha una risposta all'impulso h (nT). La risposta all'impulso di un circuito discreto è la risposta del circuito a una funzione d discreta. La risposta all'impulso e la funzione di trasferimento sono caratteristiche del sistema e sono collegate da formule di conversione Z. Pertanto, la risposta all'impulso può essere considerata come un certo segnale e la funzione di trasferimento H (Z) - Z è un'immagine di questo segnale.

La funzione di trasferimento è la caratteristica principale nel progetto, se le norme sono stabilite relative alle caratteristiche di frequenza del sistema. Di conseguenza, la caratteristica principale è la risposta all'impulso se le norme sono stabilite nel tempo.

La risposta all'impulso può essere determinata direttamente dal circuito come risposta del circuito alla funzione d - o risolvendo l'equazione alle differenze del circuito, assumendo x (nT) = d (t).

Esempio. Determinare la risposta all'impulso del circuito, il cui diagramma è mostrato in Figura 2.6, b.

L'equazione alle differenze della catena y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Soluzione dell'equazione alle differenze in forma numerica a condizione che x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; eccetera. ...

Quindi h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Per un circuito stabile, i conteggi della risposta all'impulso tendono a zero nel tempo.

La risposta all'impulso può essere determinata da una nota funzione di trasferimento applicando

un. Z-trasformata inversa,

B. teorema di decomposizione,

v. il teorema del ritardo per i risultati della divisione del polinomio numeratore per il polinomio denominatore.

L'ultimo dei metodi elencati si riferisce ai metodi numerici per risolvere il problema.

Esempio. Determinare la risposta all'impulso del circuito in Fig. (2.6, b) mediante la funzione di trasferimento.

Qui H (Z) = .

Dividi il numeratore per il denominatore

Applicando il teorema del ritardo al risultato della divisione, si ottiene

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Confrontando il risultato con i calcoli utilizzando l'equazione alle differenze nell'esempio precedente, ci si può convincere dell'affidabilità delle procedure di calcolo.

Si propone di determinare indipendentemente la risposta all'impulso del circuito di Fig. (2.6, a), applicando successivamente entrambi i metodi considerati.

In accordo con la definizione della funzione di trasferimento, Z - l'immagine del segnale all'uscita del circuito può essere definita come il prodotto della Z - immagine del segnale all'ingresso del circuito e la funzione di trasferimento del circuito :

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Quindi, per il teorema di convoluzione, la convoluzione del segnale di ingresso con una risposta all'impulso fornisce il segnale all'uscita del circuito

y (nT) = x (kT) h (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

La determinazione del segnale di uscita mediante la formula della convoluzione trova applicazione non solo nelle procedure di calcolo, ma anche come algoritmo per il funzionamento dei sistemi tecnici.

Determinare il segnale all'uscita del circuito, il cui diagramma è mostrato in Fig. (2.6, b), se x (nT) = (1.0; 0.5).

Qui h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Calcolo secondo (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Quindi, y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

Nei sistemi tecnici, invece della convoluzione lineare (2.12), è più spesso utilizzata la convoluzione circolare o ciclica.

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Le caratteristiche di temporizzazione del circuito sono chiamate risposte ai componenti tipici del segnale originale.

La risposta transitoria del circuito è la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle all'azione funzione dell'unità(Funzioni pesanti). La risposta transitoria è determinata dalla funzione di trasferimento dell'operatore dividendo per l'operatore e trovando l'originale dall'immagine risultante utilizzando la trasformata di Laplace inversa attraverso i residui.

La risposta all'impulso del circuito è la risposta del circuito alla funzione delta. - un impulso infinitamente breve di durata e infinitamente grande di ampiezza di un'area unitaria. La risposta all'impulso è determinata trovando i residui della funzione di trasferimento del circuito.

Si cercheranno anche le caratteristiche temporali della catena utilizzando il metodo dell'operatore. Per fare ciò, è necessario trovare l'immagine dell'operatore del segnale di ingresso, moltiplicarla per il coefficiente di trasmissione in forma di operatore e trovare l'originale dall'espressione ottenuta, ovvero, conoscendo il coefficiente di trasmissione del circuito, possiamo trovare la risposta a qualsiasi azione.

Trovare la risposta all'impulso si riduce a trovare la risposta del circuito alla funzione delta. È noto che l'immagine per la funzione delta è 1. Applicando la trasformata di Laplace inversa, troviamo la risposta all'impulso.

.

Selezioniamo l'intera parte per la funzione di trasferimento della catena, poiché i gradi dei coefficienti iniziali nel numeratore e nel denominatore sono uguali:

Trova i punti singolari della funzione di trasferimento eguagliando il denominatore a zero.

Abbiamo un solo punto singolare, ora prendiamo la detrazione in questo punto singolare.

L'espressione per la risposta all'impulso è scritta come segue:

Allo stesso modo, troviamo la risposta transitoria del circuito, sapendo che per la funzione di Heaviside, l'immagine è la funzione.

; , ;

Le risposte transitorie e impulsive sono correlate tra loro, così come le azioni di input:

Verifichiamo il rispetto delle relazioni limitanti tra le caratteristiche di frequenza e tempo del circuito, ad es. soddisfacimento delle seguenti condizioni:

Sostituiamo espressioni concrete per le caratteristiche dei circuiti nel sistema.

.

Come puoi vedere, le condizioni sono soddisfatte, il che indica la correttezza delle formule trovate.

Scriviamo le formule finali per le caratteristiche temporali, tenendo conto della normalizzazione

Utilizzando le formule precedenti, costruiremo grafici di queste funzioni.

segnale di Fourier analogico lineare

Figura 2.5 - Risposta all'impulso di un prototipo di filtro analogico

Figura 2.6 - Risposta transitoria di un prototipo di filtro analogico

Le caratteristiche temporali esistono solo a, poiché le risposte non possono superare l'impatto.

La nostra filiera si differenzia, quindi risposta transitoria si comporta così. Il circuito di differenziazione acuisce il transitorio e supera il bordo d'attacco. Il passato è responsabile del "lancio" alte frequenze, e dietro il blocco - non ha superato le basse frequenze.

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