Funzione di trasmissione. Risposta all'impulso e funzione di trasferimento Relazione tra risposta all'impulso e funzione di trasferimento

Per determinare la risposta all'impulso G(T, τ), dove è il tempo di esposizione, T- il tempo di comparsa e di azione della risposta, è necessario utilizzare l'equazione differenziale del circuito direttamente secondo i parametri dati del circuito.

Per analizzare il metodo di ricerca G(T, ), si consideri una catena semplice descritta da un'equazione del primo ordine:

dove F(T) - impatto, sì(T) è la risposta.

Per definizione, risposta impulsivaè la risposta del circuito a un singolo impulso delta ( T-τ) fornito all'ingresso al momento T= τ. Da questa definizione segue che se a destra dell'equazione poniamo F(T)=δ( T-τ), poi a sinistra puoi accettare sì(T)=G(T,).

Quindi, arriviamo all'equazione

.

Perché parte destra di questa equazione è uguale a zero ovunque, eccetto per il punto T= τ, la funzione G(T) può essere cercato sotto forma di soluzione di un'equazione differenziale omogenea:

nelle condizioni iniziali derivanti dall'equazione precedente, nonché dalla condizione che al momento dell'applicazione dell'impulso ( T-τ) non ci sono correnti e tensioni nel circuito.

L'ultima equazione separa le variabili:

dove
- i valori della risposta all'impulso al momento dell'esposizione.

D Per determinare il valore iniziale
torna all'equazione originale. Ne consegue che al punto
funzione G(T) deve saltare di 1 / un 1 (τ), poiché solo in questa condizione il primo termine nell'equazione originale un 1 (T)[dg/dt] può formare una funzione delta δ ( T-τ).

Dal momento che a

, quindi al momento

.

Sostituendo l'integrale indefinito con uno definito con limite superiore di integrazione variabile, si ottengono le relazioni per la determinazione della risposta all'impulso:

Conoscendo la risposta all'impulso, è facile determinare la funzione di trasferimento del circuito parametrico lineare, poiché entrambi gli assi sono collegati da una coppia di trasformate di Fourier:

dove un=T-τ - ritardo del segnale. Funzione G 1 (T,un) si ottiene dalla funzione
sostituendo τ = t-a.

Insieme all'ultima espressione si può ottenere un'altra definizione della funzione di trasferimento, in cui la risposta all'impulso G 1 (T,un) non appare. Per fare ciò, usiamo la trasformata di Fourier inversa per la risposta S FUORI ( T):

.

Nel caso in cui il segnale in ingresso sia armonico, S(T) = cosω 0 T... Corrispondente S(T) il segnale analitico è
.

Il piano spettrale di questo segnale

sostituzione
invece di
nell'ultima formula, otteniamo

Da qui troviamo:

Qui Z FUORI ( T) - segnale analitico corrispondente al segnale di uscita S FUORI ( T).

Pertanto, il segnale di uscita con azione armonica

è definito allo stesso modo di qualsiasi altro circuito lineare.

Se la funzione di trasferimento K(Jω 0 , T) cambia nel tempo secondo una legge periodica con frequenza fondamentale , allora può essere rappresentata come una serie di Fourier:

dove
- coefficienti indipendenti dal tempo, nel caso generale, complessi, interpretabili come funzioni di trasferimento di alcune reti a due porte con parametri costanti.

Opera

può essere considerata come la funzione di trasferimento di un collegamento in cascata (in serie) di due reti a quattro porte: una con funzione di trasferimento
, indipendente dal tempo, e il secondo con la funzione di trasferimento
, che cambia nel tempo, ma non dipende dalla frequenza 0 del segnale di ingresso.

Sulla base dell'ultima espressione, qualsiasi circuito parametrico con parametri che cambiano periodicamente può essere rappresentato come il seguente circuito equivalente:

Dov'è chiaro il processo di formazione di nuove frequenze nello spettro del segnale in uscita?

Il segnale analitico in uscita sarà uguale

dove φ 0, φ 1, φ 2 ... sono le caratteristiche di fase delle reti a due porte.

Passando al segnale reale in uscita, otteniamo

Questo risultato indica la seguente proprietà di un circuito a parametri variabili: quando la funzione di trasferimento cambia secondo una qualsiasi legge complessa ma periodica con la frequenza fondamentale

Ω,  un segnale di ingresso armonico con frequenza ω 0 forma uno spettro all'uscita del circuito contenente frequenze ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2Ω, ecc.

Se un segnale complesso viene applicato all'ingresso del circuito, tutto quanto detto sopra si applica a ciascuna delle frequenze e allo spettro di ingresso. Ovviamente, in un circuito parametrico lineare, non c'è interazione tra le singole componenti dello spettro di ingresso (principio di sovrapposizione) e le frequenze della forma nω 1 ± mω 2 dove ω 1 e ω 2 sono diverse frequenze del segnale di ingresso.

2.3 Proprietà generali della funzione di trasferimento.

Il criterio di stabilità per un circuito discreto coincide con il criterio di stabilità per un circuito analogico: i poli della funzione di trasferimento devono trovarsi nel semipiano sinistro della variabile complessa, che corrisponde alla posizione dei poli all'interno del cerchio unitario di l'aereo

Funzione di trasferimento a catena vista generale si scrive, secondo la (2.3), come segue:

dove si tiene conto dei segni dei termini nei coefficienti a i, b j, mentre b 0 = 1.

È conveniente formulare le proprietà della funzione di trasferimento di una catena di una forma generale sotto forma di requisiti per la realizzabilità fisica di una funzione razionale di Z: qualsiasi funzione razionale di Z può essere realizzata sotto forma di una funzione di trasferimento di una catena discreta stabile fino a un fattore H 0 ЧH Q se questa funzione soddisfa i requisiti:

1.i coefficienti a i, b j sono numeri reali,

2.le radici dell'equazione V (Z) = 0, cioè i poli di H (Z) si trovano all'interno del cerchio unitario del piano Z.

Il fattore H 0 ЧZ Q tiene conto dell'amplificazione costante del segnale H 0 e dello spostamento costante del segnale lungo l'asse del tempo per il valore di QT.

2.4 Caratteristiche di frequenza.

Complesso di funzioni di trasferimento di circuiti discreti

definisce le caratteristiche di frequenza del circuito

Risposta in frequenza, - risposta in frequenza di fase.

In base alla (2.6), il complesso della funzione di trasferimento di forma generale può essere scritto come

Da qui le formule per la risposta in frequenza e la risposta in frequenza di fase

Le caratteristiche di frequenza di un circuito discreto sono funzioni periodiche. Il periodo di ripetizione è uguale alla frequenza di campionamento w d.

Le caratteristiche di frequenza sono generalmente normalizzate lungo l'asse della frequenza alla frequenza di campionamento

dove W è la frequenza normalizzata.

Nei calcoli con l'uso di un computer, la normalizzazione della frequenza diventa una necessità.

Esempio. Determinare le caratteristiche di frequenza del circuito, la cui funzione di trasferimento

H (Z) = un 0 + un 1 ЧZ -1.

Complesso di funzioni di trasferimento: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

tenendo conto della normalizzazione della frequenza: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Formule di risposta in frequenza e risposta di fase

H (W) =, j (W) = - arctan .

i grafici della risposta in frequenza e della risposta in frequenza di fase per i valori positivi a 0 e a 1 nella condizione a 0> a 1 sono mostrati in Fig. (2.5, a, b.)

Scala logaritmica della risposta in frequenza - attenuazione A:

; . (2.10)

Gli zeri della funzione di trasferimento possono essere posizionati in qualsiasi punto del piano Z. Se gli zeri si trovano all'interno del cerchio unitario, le caratteristiche di risposta in frequenza e risposta in fase di tale circuito sono correlate dalla trasformazione di Hilbert e possono essere determinate in modo univoco uno attraverso l'altro. Tale circuito è chiamato circuito di tipo a fase minima. Se almeno uno zero appare al di fuori del cerchio unitario, allora la catena appartiene a una catena di tipo a fase non lineare per la quale la trasformata di Hilbert non è applicabile.

2.5 Risposta all'impulso. convoluzione.

La funzione di trasferimento caratterizza il circuito nel dominio della frequenza. Nel dominio del tempo, il circuito è caratterizzato da una risposta all'impulso h (nT). La risposta all'impulso di un circuito discreto è la risposta del circuito a una funzione d discreta. La risposta all'impulso e la funzione di trasferimento sono caratteristiche del sistema e sono collegate da formule di conversione Z. Pertanto, la risposta all'impulso può essere considerata come un certo segnale e la funzione di trasferimento H (Z) - Z è un'immagine di questo segnale.

La funzione di trasferimento è la caratteristica principale nel progetto, se le norme sono stabilite relative alle caratteristiche di frequenza del sistema. Di conseguenza, la caratteristica principale è la risposta all'impulso se le norme sono stabilite nel tempo.

La risposta all'impulso può essere determinata direttamente dal circuito come risposta del circuito alla funzione d - o risolvendo l'equazione alle differenze del circuito, assumendo x (nT) = d (t).

Esempio. Determinare la risposta all'impulso del circuito, il cui diagramma è mostrato in Figura 2.6, b.

L'equazione alle differenze della catena y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Soluzione dell'equazione alle differenze in forma numerica, a condizione che x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; eccetera. ...

Quindi h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Per un circuito stabile, i conteggi della risposta all'impulso tendono a zero nel tempo.

La risposta all'impulso può essere determinata da una funzione di trasferimento nota applicando

un. Z-trasformata inversa,

B. teorema di decomposizione,

v. il teorema del ritardo per i risultati della divisione del polinomio numeratore per il polinomio denominatore.

L'ultimo dei metodi elencati si riferisce ai metodi numerici per risolvere il problema.

Esempio. Determinare la risposta all'impulso del circuito in Fig. (2.6, b) mediante la funzione di trasferimento.

Qui H (Z) = .

Dividi il numeratore per il denominatore

Applicando il teorema del ritardo al risultato della divisione, si ottiene

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Confrontando il risultato con i calcoli utilizzando l'equazione alle differenze nell'esempio precedente, ci si può convincere dell'affidabilità delle procedure di calcolo.

Si propone di determinare indipendentemente la risposta all'impulso del circuito di Fig. (2.6, a), applicando successivamente entrambi i metodi considerati.

In accordo con la definizione della funzione di trasferimento, Z - l'immagine del segnale all'uscita del circuito può essere definita come il prodotto di Z - l'immagine del segnale all'ingresso del circuito e la funzione di trasferimento del circuito :

Y (Z) = X (Z) ЧH (Z). (2.11)

Quindi, per il teorema di convoluzione, la convoluzione del segnale di ingresso con una risposta all'impulso fornisce il segnale all'uscita del circuito

y (nT) = x (kT) h (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

La determinazione del segnale di uscita mediante la formula di convoluzione trova applicazione non solo nelle procedure computazionali, ma anche come algoritmo per il funzionamento dei sistemi tecnici.

Determinare il segnale all'uscita del circuito, il cui diagramma è mostrato in Fig. (2.6, b), se x (nT) = (1.0; 0.5).

Qui h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Calcolo secondo (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Quindi, y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

Nei sistemi tecnici, invece della convoluzione lineare (2.12), è più spesso utilizzata la convoluzione circolare o ciclica.

Studente del gruppo 220352 Chernyshev D. A. Riferimento - relazione su brevetto e ricerca scientifica e tecnica Argomento del lavoro di qualificazione finale: ricevitore televisivo con elaborazione digitale del segnale. Inizio della ricerca 2. 02. 99. Fine della ricerca 25.03.99 Oggetto della ricerca Paese, indice (MKI, NKI) No ...

Portanti e modulazione di fase di ampiezza a banda laterale singola (AFM-SSB). 3. La scelta della durata e del numero di segnali elementari utilizzati per formare il segnale di uscita Nei canali di comunicazione reali per la trasmissione di segnali in frequenza canale limitato si usa un segnale della forma, ma è infinito nel tempo, quindi è livellato secondo la legge del coseno. , dove - ...

Questa caratteristica dinamica viene utilizzata per descrivere i sistemi a canale singolo.

con condizioni iniziali nulle

Risposta transitoria h (t)è la risposta del sistema all'azione a passo singolo in ingresso a condizioni iniziali nulle.

Il momento in cui si verifica l'azione di input

Figura 2.4. Risposta transitoria del sistema

Esempio 2.4:

Caratteristiche transitorie per diversi valori di resistenza attiva in circuito elettrico:

Per determinare analiticamente la risposta transitoria, è necessario risolvere l'equazione differenziale con condizioni iniziali nulle e u (t) = 1 (t).

Per un sistema reale, la risposta transitoria può essere ottenuta sperimentalmente; in questo caso, dovrebbe essere applicata un'azione graduale all'ingresso del sistema e dovrebbe essere registrata la risposta all'uscita. Se l'azione del passo è diversa dall'unità, la caratteristica di uscita deve essere divisa per l'ampiezza dell'azione di ingresso.

Conoscendo la risposta transitoria, è possibile determinare la risposta del sistema ad un'azione arbitraria di input utilizzando l'integrale di convoluzione

Con l'aiuto della funzione delta, viene simulata l'azione di input reale del tipo di impatto.

Figura 2.5. Risposta all'impulso del sistema

Esempio 2.5:

Caratteristiche dell'impulso per diversi valori di resistenza attiva nel circuito elettrico:

La funzione di transizione e la funzione di impulso sono legate l'una all'altra in modo univoco dalle relazioni

Matrice di transizioneè la soluzione dell'equazione differenziale matriciale

Conoscendo la matrice di transizione, è possibile determinare la risposta del sistema

su un'azione di input arbitraria per qualsiasi condizione iniziale x (0) per espressione

Se il sistema ha zero condizioni iniziali x (0) = 0, poi

,

(2.17)

Per i sistemi lineari con parametri costanti, la matrice di transizione (t)è un esponente di matrice

Per piccole dimensioni o semplice struttura a matrice UN l'espressione (2.20) può essere utilizzata per rappresentare accuratamente la matrice di transizione utilizzando funzioni elementari. Nel caso di una matrice grande UN i programmi esistenti dovrebbero essere usati per calcolare l'esponenziale della matrice.

Funzione di trasmissione

Insieme alle equazioni differenziali ordinarie in teoria controllo automatico vengono utilizzate varie trasformazioni. Per i sistemi lineari è più conveniente scrivere queste equazioni in forma simbolica utilizzando il cosiddetto operatore di derivazione

che consente di trasformare le equazioni differenziali in algebriche e di introdurre una nuova caratteristica dinamica - funzione di trasferimento.

Considera questa transizione per sistemi multicanale della forma (2.6)

Scriviamo l'equazione di stato in forma simbolica:

px = Ax + Bu,

che ci permette di determinare il vettore di stato

È una matrice con i seguenti componenti:

(2.27)

dove - funzioni di trasferimento scalare , che rappresentano il rapporto tra l'output e l'input in forma simbolica con condizioni iniziali nulle

Funzioni di trasferimento proprie io-esimo canale sono i componenti della matrice di trasferimento che si trovano sulla diagonale principale. I componenti situati sopra o sotto la diagonale principale sono chiamati funzioni di trasferimento cross-link tra i canali.

La matrice inversa si trova dall'espressione

Esempio 2.6.

Determinare la matrice di trasferimento per l'oggetto

Usiamo l'espressione per la matrice di trasferimento (2.27) e troviamo una matrice inversa preliminare (2.29). Qui

La matrice trasposta ha la forma

a det (pI-A) = p -2p + 1,.

dove è la matrice trasposta. Di conseguenza, otteniamo la seguente matrice inversa:

e la matrice di trasferimento dell'oggetto

Le funzioni di trasferimento sono più spesso utilizzate per descrivere sistemi a canale singolo della forma

dove è il polinomio caratteristico.

Le funzioni di trasferimento sono solitamente scritte in una forma standard:

,

(2.32)

dove è il coefficiente di trasmissione;

La matrice di trasferimento (funzione di trasferimento) può essere determinata anche utilizzando immagini di Laplace o Carson-Heaviside. Se sottoponiamo entrambi i membri dell'equazione differenziale a una di queste trasformazioni e troviamo la relazione tra le quantità di ingresso e di uscita a condizioni iniziali nulle, otteniamo la stessa matrice di trasferimento (2.26) o funzione (2.31).

Per distinguere ulteriormente le trasformazioni delle equazioni differenziali, utilizzeremo la seguente notazione:

Operatore di differenziazione;

Operatore di trasformata di Laplace.

Dopo aver ricevuto una delle caratteristiche dinamiche dell'oggetto, puoi determinare tutte le altre. Il passaggio dalle equazioni differenziali alle funzioni di trasferimento e viceversa viene effettuato utilizzando l'operatore di derivazione P.

Considera la relazione tra caratteristiche transitorie e funzione di trasferimento. La variabile di uscita si trova tramite la funzione impulso secondo l'espressione (2.10),

Sottoponiamolo Trasformata di Laplace,

,

e prendi y (s) = g (s) u (s). Da qui definiamo la funzione impulso:

(2.33)

Pertanto, la funzione di trasferimento è la trasformata di Laplace della funzione impulso.

Esempio 2.7.

Determinare la funzione di trasferimento dell'oggetto, la cui equazione differenziale ha la forma

Usando l'operatore di derivazione d / dt = p, scriviamo l'equazione dell'oggetto in forma simbolica

in base alla quale determiniamo la funzione di trasferimento desiderata dell'oggetto

Caratteristiche modali

Le caratteristiche modali corrispondono alla componente libera del moto del sistema (2.6) o, in altre parole, riflettono le proprietà di un sistema autonomo del tipo (2.12)

Il sistema di equazioni (2.36) avrà una soluzione diversa da zero rispetto a se

.

(2.37)

Viene chiamata l'equazione (2.37) caratteristica e ha n-radici, che sono chiamate autovalori matrici UN... Sostituendo gli autovalori in (2.37), si ottiene

.

dove sono gli autovettori,

L'insieme di autovalori e autovettori è caratteristiche modali del sistema .

Per (2.34), possono esistere solo le seguenti soluzioni esponenziali

Per ottenere l'equazione caratteristica del sistema è sufficiente eguagliare a zero il denominatore comune della matrice di trasferimento (funzione di trasferimento) (2.29).

Caratteristiche di frequenza

Se un segnale periodico di una data ampiezza e frequenza viene applicato all'ingresso dell'oggetto, anche l'uscita sarà un segnale periodico della stessa frequenza, ma nel caso generale di un'ampiezza diversa con uno sfasamento. Viene determinata la relazione tra i parametri dei segnali periodici all'ingresso e all'uscita dell'oggetto caratteristiche di frequenza ... Sono più spesso usati per descrivere i sistemi a canale singolo:

ed è presentato nella forma

.

(2.42)

I componenti della risposta in frequenza generalizzata hanno un significato indipendente e i seguenti nomi:

La risposta in frequenza per espressione (2.42) può essere tracciata sul piano complesso. In questo caso, la fine del vettore corrispondente al numero complesso, quando cambia da 0 a, disegna una curva sul piano complesso, che si chiama caratteristica ampiezza-fase (AFH).

Figura 2.6. Un esempio della caratteristica ampiezza-fase del sistema

Risposta in frequenza di fase (PFC)- visualizzazione grafica della dipendenza dello sfasamento tra i segnali di ingresso e di uscita in funzione della frequenza,

Per determinare numeratore e denominatore W (j) scomporre in fattori non superiori al secondo ordine

,

poi dove il segno "+" si riferisce a io = 1,2, ..., l(il numeratore della funzione di trasferimento), il segno "-" -к io = l + 1, ..., L(il denominatore della funzione di trasferimento).

Ciascuno dei termini è determinato dall'espressione

Insieme all'AFC, tutte le altre caratteristiche di frequenza vengono tracciate separatamente. Quindi la risposta in frequenza mostra come il collegamento fa passare un segnale di frequenze diverse; inoltre, la stima della trasmissione è il rapporto tra le ampiezze dei segnali di uscita e di ingresso. La risposta di fase mostra gli sfasamenti introdotti dal sistema a frequenze diverse.

Oltre alle caratteristiche di frequenza considerate, la teoria del controllo automatico utilizza risposta in frequenza logaritmica ... La comodità di lavorare con loro è spiegata dal fatto che le operazioni di moltiplicazione e divisione sono sostituite da operazioni di addizione e sottrazione. La risposta in frequenza tracciata su scala logaritmica si chiama risposta in frequenza logaritmica (LACH)

,

(2.43)

Questo valore è espresso in decibel (db). Quando si visualizza il LAFC, è più conveniente tracciare la frequenza sull'asse delle ascisse su una scala logaritmica, cioè espressa in decenni (dec).

Figura 2.7. Un esempio di risposta in frequenza di ampiezza logaritmica

La caratteristica frequenza di fase può anche essere tracciata su una scala logaritmica:

Figura 2.8. Esempio di una risposta in frequenza di fase logaritmica

Esempio 2.8.

LFC, LFC reale e asintotico del sistema, la cui funzione di trasferimento ha la forma:

.

(2.44)

.

Riso. 2.9. LFC reale e asintotico del sistema

.

Riso. 2.10. Sistemi LFH

METODO STRUTTURALE

3.1. introduzione

3.2. Collegamento proporzionale (amplificante, inerziale)

3.3. Collegamento differenziante

3.4. Collegamento di integrazione

3.5. Collegamento aperiodico

3.6. Collegamento forzato (proporzionale - differenziante)

3.7. Collegamento del 2° ordine

3.8. Trasformazione strutturale

3.8.1. Collegamento seriale di link

3.8.2. Collegamento in parallelo

3.8.3. Risposta

3.8.4. Regola di trasferimento

3.9. Transizione dalle funzioni di trasferimento alle equazioni di stato mediante diagrammi strutturali

3.10. Ambito del metodo strutturale

introduzione

Per calcolare vari sistemi di controllo automatico, di solito sono divisi in elementi separati, le cui caratteristiche dinamiche sono equazioni differenziali non superiori al secondo ordine. Inoltre, elementi differenti nella loro natura fisica possono essere descritti dalle stesse equazioni differenziali, quindi sono attribuiti a determinate classi, chiamate link tipici .

Un'immagine di un sistema sotto forma di un insieme di collegamenti tipici con un'indicazione delle connessioni tra di loro è chiamata diagramma strutturale. Può essere ottenuto sia sulla base di equazioni differenziali (Sezione 2) che di funzioni di trasferimento. Questo metodo e costituisce l'essenza del metodo strutturale.

Consideriamo prima più in dettaglio i collegamenti tipici che compongono i sistemi di controllo automatico.

Collegamento proporzionale

(amplificante, inerziale)

Proporzionaleè chiamato il collegamento, che è descritto dall'equazione

e il corrispondente schema strutturaleè mostrato in Fig. 3.1.

La funzione impulsiva è:

g (t) = k .

Non ci sono caratteristiche modali (autovalori e autovettori) per il collegamento proporzionale.

Sostituzione nella funzione di trasferimento P sul J otteniamo le seguenti caratteristiche di frequenza:

La risposta in frequenza di ampiezza (AFC) è determinata dal rapporto:

Ciò significa che l'ampiezza del segnale di ingresso periodico viene amplificata da K- volte, e non c'è sfasamento.

Collegamento differenziante

Differenziazione viene chiamato il collegamento, che è descritto dall'equazione differenziale:

y = k.

(3.6)

La sua funzione di trasferimento è:

Otteniamo ora le caratteristiche di frequenza del collegamento.

AFH : W (j) = j k, coincide con il semiasse immaginario positivo sul piano complesso;

HFC: R() = 0,

MchH: io () = k,

Risposta in frequenza: ,

PFC:, cioè, per tutte le frequenze, il collegamento introduce uno sfasamento costante;

Collegamento di integrazione

Questo è un collegamento la cui equazione è:

e poi alla sua funzione di trasferimento

Determiniamo le caratteristiche di frequenza del collegamento di integrazione.

AFH: ; HFC:; MFC: ; sembra una linea retta su un piano (Figura 3.9).

Equazione caratteristica

A (p) = p = 0

ha un'unica radice, che è la caratteristica modale del collegamento integratore.

Collegamento aperiodico

aperiodicoè detto collegamento, la cui equazione differenziale ha la forma

dove, è il coefficiente di trasmissione del collegamento.

Sostituzione in (3.18) d / dt sul P, passiamo alla notazione simbolica dell'equazione differenziale,

(Tp + 1) y = ku,

(3.19)

e definire la funzione di trasferimento del legame aperiodico:) = 20lg (k).

Caratteristica dell'impulso (peso) o funzione dell'impulso Catene - questa è la sua caratteristica generalizzata, che è una funzione tempo, numericamente uguale alla reazione del circuito ad una singola azione impulsiva al suo ingresso in condizioni iniziali nulle (Fig. 13.14); in altre parole, questa è la risposta del circuito, libero dalla fornitura iniziale di energia, alla funzione delta Diran
al suo ingresso.

Funzione
può essere determinato calcolando la transizione
o ingranaggio
funzione di catena.

Calcolo della funzione
utilizzando la funzione transitoria del circuito. Lascia che l'azione di input
la reazione di un circuito elettrico lineare è
... Allora, per la linearità del circuito all'ingresso azione pari alla derivata
, la reazione a catena sarà uguale alla derivata
.

Come notato, a
, reazione a catena
, e se
, allora la reazione a catena sarà
, cioè. funzione di impulso

Secondo la proprietà di campionamento
opera
... Quindi, la funzione impulsiva del circuito

. (13.8)

Se
, allora la funzione impulso ha la forma

. (13.9)

Di conseguenza, la dimensione della risposta all'impulso è uguale alla dimensione della risposta transitoria divisa per il tempo.

Calcolo della funzione
utilizzando la funzione di trasferimento a catena. Secondo l'espressione (13.6), quando si agisce sull'input della funzione
, la risposta della funzione sarà la funzione transitoria
tipo:

.

D'altra parte, è noto che l'immagine della derivata temporale di una funzione
, in
, è uguale al prodotto
.

Dove
,

o
, (13.10)

quelli. risposta impulsiva
circuito è uguale alla trasformata di Laplace inversa della sua trasmissione
funzioni.

Esempio. Troviamo la funzione impulsiva del circuito, i cui circuiti equivalenti sono mostrati in Fig. 13.12, un; 13.13.

Soluzione

Le funzioni di transizione e trasferimento di questo circuito sono state ottenute in precedenza:

Allora, secondo l'espressione (13.8)

dove
.

Grafico della risposta all'impulso
il circuito è mostrato in Fig. 13.15.

conclusioni

Risposta impulsiva
introdotto per le stesse due ragioni della risposta transitoria
.

1. Azione a impulso singolo
- un'influenza esterna brusca e quindi piuttosto pesante per qualsiasi sistema o circuito. Pertanto, è importante conoscere esattamente la reazione di un sistema o di una catena sotto tale azione, ad es. risposta impulsiva
.

2. Con l'aiuto di qualche modifica dell'integrale di Duhamel, si può, sapendo
calcolare la risposta del sistema o del circuito a qualsiasi disturbo esterno (vedere ulteriori Sezioni 13.4, 13.5).

4. Sovrapposizione integrale (Duhamel).

Lascia che una rete arbitraria passiva a due terminali (Fig.13.16, un) si connette a una sorgente che cambia continuamente dal momento
sottolinea (fig.13.16, B).

È necessario trovare la corrente (o tensione) in un qualsiasi ramo del bipolare dopo la chiusura della chiave.

Risolveremo il problema in due fasi. Innanzitutto, troviamo il valore desiderato quando la rete a due terminali è accesa per un singolo salto di tensione, che è impostato da una funzione a passo singolo
.

È noto che la reazione di una catena a un salto unitario è risposta transitoria (funzione)
.

Ad esempio, per
- funzione transitoria di corrente del circuito
(vedi clausola 2.1), per
- funzione transitoria di tensione del circuito
.

Nella seconda fase, la tensione in continua evoluzione
sostituire con una funzione passo con salti rettangolari elementari
(vedi fig.13.16 B). Quindi il processo di variazione della tensione può essere rappresentato come l'accensione a
tensione costante
, e quindi come l'inclusione di tensioni costanti elementari
offset l'uno rispetto all'altro per intervalli di tempo
e avente un segno più per l'aumento e meno per il ramo discendente della curva di tensione data.

La componente della corrente richiesta al momento da tensione costante
è uguale a:

.

La componente della corrente richiesta da un salto di tensione elementare
incluso al momento è uguale a:

.

Qui, l'argomento della funzione di transizione è il tempo
, poiché il salto di tensione elementare
comincia ad agire per un po' dopo la chiusura della chiave, o, in altre parole, dall'intervallo di tempo intercorso tra il momento l'inizio dell'azione di questo salto e il momento del tempo è uguale a
.

Sovratensione elementare

,

dove
- fattore di scala.

Pertanto, la componente ricercata della corrente

Le sovratensioni elementari vengono attivate nell'intervallo di tempo da
fino al momento , per cui si determina la corrente cercata. Quindi, sommando le componenti della corrente da tutti i salti, passando al limite a
, e tenendo conto della componente di corrente dal salto di tensione iniziale
, noi abbiamo:

L'ultima formula per determinare la corrente con una variazione continua della tensione applicata

(13.11)

chiamato integrale di sovrapposizione (sovrapposizione) o l'integrale di Duhamel (la prima forma di scrittura di questo integrale).

Il problema si risolve in modo simile quando il circuito è collegato alla sorgente di corrente. Secondo questo integrale, la reazione della catena, in forma generale,
ad un certo punto dopo l'inizio dell'esposizione
è determinato da tutta quella parte dell'impatto che ha avuto luogo fino a quel momento .

Sostituendo le variabili e integrando per parti, possiamo ottenere altre forme di scrittura dell'integrale di Duhamel, equivalenti all'espressione (13.11):

La scelta della forma di notazione per l'integrale di Duhamel è determinata dalla comodità del calcolo. Ad esempio, se
è espresso da una funzione esponenziale, la formula (13.13) o (13.14) risulta conveniente, il che è dovuto alla semplicità di differenziare la funzione esponenziale.

A
o
conviene usare la notazione in cui il termine prima dell'integrale svanisce.

Impatto arbitrario
può essere rappresentato anche come somma di impulsi collegati in serie, come mostrato in Fig. 13.17.

Con una durata dell'impulso infinitamente breve
otteniamo le formule integrali di Duhamel simili a (13.13) e (13.14).

Le stesse formule si ottengono dalle relazioni (13.13) e (13.14), sostituendo la derivata della funzione
funzione di impulso
.

Conclusione.

Quindi, in base alle formule integrali di Duhamel (13.11) - (13.16) e alle caratteristiche temporali della catena
e
si possono definire le funzioni di temporizzazione delle risposte del circuito
su influenze arbitrarie
.

Lascia che un sistema di impulsi arbitrario sia dato da un diagramma strutturale, che è un insieme di connessioni standard dai sistemi di impulso più semplici (connessioni del tipo di feedback, seriale e parallelo). Quindi, per ottenere la funzione di trasferimento di questo sistema, è sufficiente poter ricavare la funzione di trasferimento dei collegamenti standard dalle funzioni di trasferimento dei sistemi ad impulsi collegati, poiché questi ultimi sono noti (esattamente o approssimativamente) (vedi § 3.1).

Connessioni di sistemi puramente impulsivi.

Le formule per il calcolo delle funzioni di trasferimento delle connessioni standard dei sistemi puramente impulsivi in ​​termini delle funzioni di trasferimento z degli elementi puramente impulsivi connessi coincidono con formule simili della teoria dei sistemi continui. Questa coincidenza si verifica perché la struttura della formula (3.9) coincide con la struttura di una formula simile dalla teoria dei sistemi continui, la formula (3.9) descrive esattamente il funzionamento di un sistema puramente impulsivo.

Un esempio. Trovare la funzione di trasferimento z di un sistema puramente impulsivo data dal diagramma strutturale (Fig. 3.2).

Tenendo conto (3.9) dello schema a blocchi mostrato in Fig. 3.2, otteniamo:

Sostituisci l'ultima espressione nella prima:

(confronta con la ben nota formula della teoria dei sistemi continui).

Collegamenti del sistema a impulsi.

Esempio 3.2. Si rappresenti il ​​sistema di impulsi con un diagramma strutturale (vedi Fig. 3.3, escludendo la linea tratteggiata e la linea tratteggiata). Poi

Se è necessario determinare i valori discreti dell'uscita (vedere la chiave sincrona fittizia all'uscita - la linea tratteggiata in Fig. 3.3), quindi in modo simile a quello utilizzato per derivare (3.7), otteniamo la connessione :

Considera un altro sistema (Fig. 3.4, esclusa la linea tratteggiata), che differisce dal precedente solo per la posizione della chiave. Per lei

Con una chiave fittizia (vedi la linea tratteggiata in Fig. 3.4)

Dalle relazioni ottenute in questo esempio si possono trarre delle conclusioni.

Conclusione 1. Il tipo di connessione analitica dell'input come con il continuo [vedi. (3.10), (3.12)] e con discreto [cfr. (3.11), (3.13)] dai valori dell'uscita di un sistema impulsivo arbitrario dipende essenzialmente dalla posizione della chiave.

Conclusione 2. Per un sistema di impulsi arbitrario, così come per quello più semplice, descritto in 3.1, non è possibile ottenere una caratteristica simile alla funzione di trasferimento che collega sempre l'ingresso e l'uscita. Non è possibile ottenere una caratteristica simile che colleghi l'ingresso e l'uscita ea tempi discreti, multipli, come è stato fatto per il sistema a impulsi più semplice (vedi § 3.1). Questo può essere visto dalle relazioni (3.10), (3.12) e (3.11), (3.13), rispettivamente.

Conclusione 3. Per alcuni casi speciali di connessioni di sistemi a impulsi, ad esempio per un sistema a impulsi, il cui schema strutturale è mostrato in Fig. 3.5 (nessuna linea tratteggiata), è possibile trovare una funzione di trasferimento che collega l'ingresso e l'uscita a tempi discreti, multipli. Infatti, dalla (3.10) a segue Ma poi [vedi derivazione della formula (3.7)]

Struttura di comunicazione funzione di trasferimento z sistemi aperti e chiusi in questo caso è lo stesso della teoria dei sistemi continui.

Va notato che sebbene questo sia un caso speciale, è di grande importanza pratica, poiché molti sistemi della classe dei sistemi di tracciamento degli impulsi sono ridotti ad esso.

Conclusione 4. Per ottenere un'espressione conveniente simile alla funzione di trasferimento z nel caso di un sistema di impulsi arbitrario (vedi, ad esempio, Fig. 3.3), è necessario introdurre chiavi fittizie sincrone non solo all'uscita del sistema (vedi la linea tratteggiata in Fig. 3.3), ma e negli altri suoi punti (vedi, ad esempio, la sezione tratteggiata invece di quella piena in Fig. 3.3). Poi

e le formule (3.10), (3.11) assumono rispettivamente la forma seguente:

e quindi

Le conseguenze dell'introduzione delle chiavi mostrate in Fig. 3.3 con una linea tratteggiata e una linea tratteggiata sono significativamente differenti, poiché quest'ultima non cambia la natura del funzionamento dell'intero sistema, ma fornisce semplicemente informazioni al riguardo in momenti discreti.

Il primo, convertendo in un impulso quel segnale continuo che va al link risposta, trasforma il sistema originale in uno completamente diverso. Questo nuovo sistema sarà in grado di rappresentare abbastanza bene il funzionamento del sistema originario se accettato (vedi § 5.4) e se

1) sono soddisfatte le condizioni del teorema di Kotelnikov (2.20);

2) la larghezza di banda del collegamento di feedback è inferiore:

dove è la frequenza di taglio del collegamento di feedback;

3) la risposta in frequenza di ampiezza (AFC) del collegamento nella regione della frequenza di taglio diminuisce abbastanza rapidamente (vedi Fig. 3.6).

Quindi solo quella parte dello spettro del segnale a impulsi che corrisponde al segnale continuo passa attraverso il collegamento di retroazione.

Pertanto, la formula (3.16) nel caso generale rappresenta solo approssimativamente il lavoro del sistema originale anche a tempi discreti. Inoltre, lo fa tanto più accuratamente, quanto più affidabili sono le condizioni (2.20), (3.17) e le condizioni di una forte caduta della caratteristica ampiezza-frequenza per un collegamento, il cui normale funzionamento è violato da una chiave fittizia, soddisfatto.

Quindi, usando la trasformata z, puoi studiare con precisione il funzionamento di un sistema puramente impulsivo; utilizzando la trasformata di Laplace - per studiare con precisione il funzionamento di un sistema continuo.

Un sistema di impulsi con l'aiuto di una (qualsiasi) di queste trasformazioni può essere studiato solo approssimativamente e anche in determinate condizioni. La ragione di ciò è la presenza in un sistema a impulsi di segnali sia continui che a impulsi (pertanto, tali sistemi a impulsi sono impulsi continui e talvolta sono chiamati continuo-discreto). A questo proposito la trasformata di Laplace, comoda quando si opera con segnali continui, diventa scomoda quando si tratta di segnali discreti... Conveniente per i segnali discreti, la trasformazione z è scomoda per quelli continui.

Quindi in questo caso si manifesta il notato nelle aporie)