E è. E (funzioni E). Espressioni in termini di funzioni trigonometriche

Descrivere e come "una costante approssimativamente uguale a 2,71828 ..." è come chiamare pi "un numero irrazionale approssimativamente uguale a 3,1415 ...". Senza dubbio lo è, ma il punto ci sfugge ancora.

Il numero pi è il rapporto tra la circonferenza e il diametro, lo stesso per tutti i cerchi... Questa è una proporzione fondamentale inerente a tutti i cerchi, e quindi partecipa al calcolo della circonferenza, dell'area, del volume e della superficie per cerchi, sfere, cilindri, ecc. Pi mostra che tutti i cerchi sono collegati, per non parlare delle funzioni trigonometriche derivate dai cerchi (seno, coseno, tangente).

Il numero e è il rapporto di crescita di base per tutti i processi in continua crescita. Il numero e permette di prendere un semplice tasso di crescita (dove la differenza è visibile solo alla fine dell'anno) e calcolare le componenti di questo indicatore, crescita normale, in cui ad ogni nanosecondo (o anche più veloce) tutto cresce un po' di più.

Il numero e partecipa a sistemi di crescita esponenziale e costante: popolazione, decadimento radioattivo, conteggio percentuale e molti, molti altri. Anche i sistemi graduati che non crescono uniformemente possono essere approssimati usando il numero e.

Proprio come qualsiasi numero può essere visto come una versione "ridimensionata" 1 (unità di base), qualsiasi cerchio può essere visto come una versione "ridimensionata" del cerchio unitario (con un raggio di 1). E qualsiasi tasso di crescita può essere visto come una versione "ridimensionata" di e (un tasso di crescita "unità").

Quindi il numero e non è un numero casuale preso a caso. Il numero e incarna l'idea che tutti i sistemi in continua crescita sono versioni in scala della stessa metrica.

Concetto di crescita esponenziale

Iniziamo guardando il sistema di base, che raddoppia per un certo periodo di tempo. Per esempio:

• I batteri si dividono e "raddoppiano" in quantità ogni 24 ore
• Otteniamo il doppio delle tagliatelle se le dividiamo a metà.
• I tuoi soldi raddoppiano ogni anno se guadagni il 100% (fortunato!)

E sembra così:

Dividere o raddoppiare è una progressione molto semplice. Certo, possiamo triplicare o quadruplicare, ma raddoppiare è più conveniente per chiarimenti.

Matematicamente, se abbiamo x divisioni, otteniamo 2^x volte più buoni di quelli che avevamo all'inizio. Se viene eseguita solo 1 divisione, otteniamo 2 ^ 1 volte di più. Se ci sono 4 partizioni, otteniamo 2 ^ 4 = 16 parti. La formula generale si presenta così:

altezza= 2 x

In altre parole, il raddoppio è una crescita del 100%. Possiamo riscrivere questa formula in questo modo:

altezza= (1 + 100%) x

Questa è la stessa uguaglianza, abbiamo solo diviso "2" nelle sue parti costituenti, che in sostanza è questo numero: il valore iniziale (1) più 100%. Intelligente, eh?

Naturalmente, possiamo sostituire qualsiasi altro numero (50%, 25%, 200%) invece del 100% e ottenere la formula di crescita per questo nuovo coefficiente. La formula generale per x periodi della serie storica sarà:

altezza = (1+crescita) X

Significa solo che usiamo il tasso di rendimento, (1 + incremento), "x" volte di seguito.

Diamo un'occhiata più da vicino

La nostra formula presuppone che l'incremento avvenga in passi discreti. I nostri batteri aspettano, aspettano e poi bam!, e all'ultimo minuto raddoppiano di numero. Il nostro profitto sugli interessi dal deposito appare magicamente in esattamente 1 anno. Sulla base della formula sopra, il profitto cresce gradualmente. I punti verdi appaiono all'improvviso.

Ma il mondo non è sempre così. Se ingrandiamo l'immagine, possiamo vedere che i nostri amici batteri si dividono costantemente:

Il compagno verde non nasce dal nulla: cresce lentamente dal genitore blu. Dopo 1 periodo di tempo (24 ore nel nostro caso), l'amico verde è già completamente maturo. Essendo maturato, diventa un membro blu a tutti gli effetti della mandria e può creare nuove cellule verdi da solo.

Questa informazione cambierà in qualche modo la nostra equazione?

No. Nel caso dei batteri, le cellule verdi semiformate non possono ancora fare nulla finché non crescono e si separano dai loro genitori blu. Quindi l'equazione è corretta.

La funzione è il modello. Definiamo X come l'insieme dei valori della variabile indipendente // indipendente significa any.

Una funzione è una regola per cui, per ogni valore della variabile indipendente dall'insieme X, si trova l'unico valore della variabile dipendente. // cioè. c'è una y per ogni x.

Dalla definizione segue che ci sono due concetti: una variabile indipendente (che indichiamo con x e può assumere qualsiasi valore) e una variabile dipendente (che indichiamo con y o f (x) e viene calcolata dalla funzione quando sostituiamo x).

PER ESEMPIO y = 5 + x

1. Indipendente è x, quindi prendiamo qualsiasi valore, sia x = 3

2. e ora calcoliamo y, quindi y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y dipende da x, perché ciò che x sostituiamo, questo è y e otteniamo)

Si dice che la variabile y dipende funzionalmente dalla variabile x ed è indicata come segue: y = f (x).

PER ESEMPIO.

1.y = 1 / x. (detta iperbole)

2.y = x^2. (detta parabola)

3.y = 3x + 7. (chiamato linea retta)

4.y = x. (chiamato ramo di una parabola)

La variabile indipendente (che indichiamo come x) è chiamata argomento della funzione.

Ambito della funzione

L'insieme di tutti i valori che assume un argomento di funzione è chiamato dominio della funzione ed è indicato con D (f) o D (y).

Considera D (y) per 1., 2., 3., 4.

1. D (y) = (∞; 0) e (0; + ∞) // tutti gli insiemi di numeri reali, eccetto zero.

2.D (y) = (∞; + ∞) // tutti molti numeri reali

3.D (y) = (∞; + ∞) // tutti molti numeri reali

4.D (y) =)