Výpočet a konstrukce časových charakteristik analogového filtru. Impulsní odezva a přenosová funkce Impulsní přenosová odezva

A-převorství Přenosová funkce(PF) je operátor rovný poměru obrázků výstupních a vstupních souřadnic při nulových počátečních podmínkách:

W (p) = R (p) / Q (p)

Účel služby... Řídicí objekt (OC) je popsán lineárně diferenciální rovnice n pořadí. Pro oscilační spoj n-tého řádu jsou určeny následující:

1. Přenosová funkce;
2. frekvenční charakteristiky (amplituda (AFC), fáze (PFC), logaritmická (LFC));
3. přechodné a impulsní přechodné (hmotnostní) funkce;
4. grafy přechodových a frekvenčních charakteristik.

Chcete-li najít funkci přenosu online, musíte vybrat typ odkazu a zadat stupeň odkazu.

Příklad. Zařízení řízení (OC) je popsáno lineární diferenciální rovnicí třetího řádu:
(2)
1) Přenosová funkce OA v obecném případě může být reprezentován ve formě vztahu
W (iω) = A (ω) e iφ (ω) = U (ω) + iV (ω),
kde R (p) a Q (p) jsou Laplaceovy obrazy výstupních a vstupních proměnných OU odpovídajících levé a pravé straně rovnice 1. Přenosová funkce tedy bude mít tvar:
(3)
nebo
. (4)

2) Určete frekvenční charakteristiky operačního zesilovače. Je známo, že funkce přenosu frekvence W (ω) může být reprezentována jako:
, (5)
kde A (ω) - amplitudová frekvenční odezva (AFC);
φ (ω) - fázová frekvenční odezva (PFC);
U (ω) - reálná frekvenční odezva (HFC);
V (ω) - imaginární frekvenční charakteristika;
Do výrazu (3) místo p dosaďte iω. Dostaneme:
(6)
Na základě výrazů (5) a (6) oddělíme amplitudové a fázově frekvenční charakteristiky a dosadíme číselné hodnoty koeficientů. Na základě skutečnosti, že:
A (ω) = |W (iω) |
φ (ω) = arg (W (iω))
(viz komplexní čísla). Konečně dostáváme: (7)

3) Určete logaritmickou amplitudovou frekvenční odezvu (LAFC).
Je známo, že LFC se určuje z poměru:
L (ω) = 20 lg (A (ω)) (8)
Tato charakteristika má rozměr dB (decibely) a ukazuje změnu poměru výkonu výstupní hodnoty k hodnotě vstupní. Pro usnadnění je LAFC vykreslen na logaritmické stupnici.
Fázová frekvenční odezva vynesená na logaritmické stupnici bude označována jako logaritmická fázová frekvenční odezva (LPFC).
Příklady vynesení LAFC a LPFC pro naše počáteční data jsou znázorněny na obrázku 1.
Definujme impulsní přechodovou (váhovou) funkci. Váhová funkce w (t) je odezvou systému na jednotkovou impulsní funkci aplikovanou na jeho vstup. Váhová funkce souvisí s přenosovou funkcí pomocí Laplaceovy transformace.
. (9)
Proto lze váhovou funkci najít aplikací inverzní Laplaceovy transformace na přenosovou funkci.
w (t) = L -1 (10)

Impulsní přechodná funkce (funkce váhy, impulsní odezva) je výstupní signál dynamického systému jako reakce na vstupní signál ve formě Diracovy delta funkce. V digitálních systémech je vstupním signálem jednoduchý impuls o minimální šířce (rovné s periodou vzorkování u diskrétních systémů) a maximální amplitudě. Pokud jde o filtrování signálu, nazývá se také filtrační jádro... Je široce používán v teorii řízení, zpracování signálu a obrazu, teorii komunikace a dalších oblastech inženýrství.

Definice [ | ]

Impulzní odezva systém se nazývá jeho odezva na jednotkový impuls při nulových počátečních podmínkách.

Vlastnosti [ | ]

aplikace [ | ]

Systémová analýza [ | ]

Obnova frekvenční odezvy[ | ]

Důležitou vlastností impulsní odezvy je skutečnost, že na jejím základě lze získat komplexní frekvenční charakteristiku, definovanou jako poměr komplexního spektra signálu na výstupu systému ke komplexnímu spektru vstupního signálu.

Komplexní frekvenční odezva (CFC) je analytickým vyjádřením komplexní funkce. CFC je vykreslen na komplexní rovině a představuje křivku trajektorie konce vektoru v rozsahu pracovních frekvencí, tzv. hodograf KCHH. K vykreslení CFC je obvykle zapotřebí 5-8 bodů v rozsahu provozních frekvencí: od minimální realizovatelné frekvence po mezní frekvenci (frekvence na konci experimentu). CCH, stejně jako časová charakteristika dá úplné informace o vlastnostech lineárních dynamických systémů.

Frekvenční odezva filtru je definována jako Fourierova transformace (v případě diskrétní Fourierova transformace digitální signál) na impulsní odezvu.

H (j ω) = ∫ - ∞ + ∞ h (τ) e - j ω τ d τ (\ styl zobrazení H (j \ omega) = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) h ( \ tau) e ^ (- j \ omega \ tau) \, d \ tau)

K určení impulsní odezvy G(t, τ), kde τ je doba expozice, t- doba výskytu a působení odezvy, nutno použít diferenciální rovnici obvodu přímo podle daných parametrů obvodu.

Analyzovat způsob hledání G(t, τ), zvažte jednoduchý řetězec popsaný rovnicí prvního řádu:

kde F(t) - dopad, y(t) je odpověď.

Podle definice je impulsní odezva odezvou obvodu na jeden delta pulz δ ( t-τ) dodávané na vstup v tuto chvíli t= τ. Z této definice vyplývá, že pokud na pravou stranu rovnice dáme F(t)=δ( t-τ), pak vlevo můžete přijmout y(t)=G(t,).

Tím se dostáváme k rovnici

.

Protože pravá část této rovnice se rovná nule všude kromě bodu t= τ, funkce G(t) lze hledat ve formě řešení homogenní diferenciální rovnice:

za počátečních podmínek vyplývajících z předchozí rovnice, jakož i z podmínky, že okamžikem aplikace impulsu δ ( t-τ) v obvodu nejsou žádné proudy a napětí.

Poslední rovnice odděluje proměnné:

kde
- hodnoty impulsní odezvy v době expozice.

D K určení počáteční hodnoty
zpět k původní rovnici. Z toho plyne, že v bod
funkce G(t) musí skočit o 1 / A 1 (τ), protože pouze za této podmínky první člen v původní rovnici A 1 (t)[dg/dt] může tvořit delta funkci δ ( t-τ).

Od v

, pak v tuto chvíli

.

Nahrazením neurčitého integrálu určitým s proměnnou horní hranicí integrace získáme vztahy pro určení impulsní odezvy:

Při znalosti impulsní odezvy je snadné určit přenosovou funkci lineárního parametrického obvodu, protože obě osy jsou spojeny dvojicí Fourierových transformací:

kde A=t-τ - zpoždění signálu. Funkce G 1 (t,A) se získá z funkce
nahrazením τ = t-a.

Spolu s posledním výrazem lze získat další definici přenosové funkce, ve které je impulsní odezva G 1 (t,A) neobjevuje se. K tomu použijeme pro odpověď inverzní Fourierovu transformaci S VEN ( t):

.

V případě, že je vstupní signál harmonický, S(t) = cosω 0 t... Odpovídající S(t) analytický signál je
.

Spektrální rovina tohoto signálu

Střídání
namísto
do posledního vzorce, dostaneme

Odtud najdeme:

Tady Z VEN ( t) - analytický signál odpovídající výstupnímu signálu S VEN ( t).

Tedy výstupní signál s harmonickým působením

je definována stejným způsobem jako u jiných lineárních obvodů.

Pokud je funkce přenosu K(jω 0 , t) změny v čase podle periodického zákona se základní frekvencí Ω, pak to může být reprezentováno jako Fourierova řada:

kde
- časově nezávislé koeficienty, v obecném případě komplexní, které lze interpretovat jako přenosové funkce některých dvoubranových sítí s konstantními parametry.

Práce

lze považovat za přenosovou funkci kaskádového (sériového) spojení dvou čtyřportových sítí: jedné s přenosovou funkcí
, nezávislý na čase a druhý s přenosovou funkcí
, která se mění v čase, ale nezávisí na frekvenci ω 0 vstupního signálu.

Na základě posledního výrazu může být jakýkoli parametrický obvod s periodicky se měnícími parametry reprezentován jako následující ekvivalentní obvod:

Kde je jasný proces vzniku nových frekvencí ve spektru výstupního signálu?

Analytický signál na výstupu bude stejný

kde φ 0, φ 1, φ 2 ... jsou fázové charakteristiky dvoubranových sítí.

Přechodem na skutečný signál na výstupu dostaneme

Tento výsledek ukazuje na následující vlastnost obvodu s proměnnými parametry: když se přenosová funkce mění podle libovolného složitého, ale periodického zákona se základní frekvencí

Ω,  harmonický vstupní signál o frekvenci ω 0 tvoří na výstupu obvodu spektrum obsahující frekvence ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2Ω atd.

Pokud je na vstup obvodu přiveden komplexní signál, pak vše uvedené výše platí pro každou z frekvencí ω a pro vstupní spektrum. V lineárním parametrickém obvodu samozřejmě nedochází k interakci mezi jednotlivými složkami vstupního spektra (princip superpozice) a frekvencemi tvaru n ω 1 ± mω 2 kde ω 1 a ω 2 jsou různé frekvence vstupního signálu.

2.3 Obecné vlastnosti přenosové funkce.

Kritérium stability pro diskrétní obvod se shoduje s kritériem stability pro analogový obvod: póly přenosové funkce musí být umístěny v levé polorovině komplexní proměnné, což odpovídá poloze pólů v jednotkové kružnici letadlo

Funkce přenosu řetězu obecný pohled je napsáno podle (2.3) takto:

kde jsou v koeficientech a i, b j zohledněna znaménka členů, přičemž b 0 = 1.

Vlastnosti přenosové funkce řetězce obecného tvaru je vhodné formulovat ve formě požadavků na fyzikální realizovatelnost racionální funkce Z: libovolnou racionální funkci Z lze realizovat ve formě přenosové funkce stabilní diskrétní řetězec až do faktoru H 0 ЧH Q, pokud tato funkce splňuje požadavky:

1. koeficienty a i, b j jsou reálná čísla,

2.kořeny rovnice V (Z) = 0, tzn. póly H (Z) jsou umístěny v jednotkové kružnici roviny Z.

Faktor H 0 ЧZ Q zohledňuje konstantní zesílení signálu H 0 a konstantní posun signálu podél časové osy o hodnotu QT.

2.4 Frekvenční charakteristiky.

Komplex funkce přenosu diskrétního obvodu

definuje frekvenční charakteristiky obvodu

Kmitočtová charakteristika, - fázová frekvenční charakteristika.

Na základě (2.6) lze komplex přenosových funkcí obecného tvaru zapsat jako

Proto vzorce pro frekvenční odezvu a fázovou frekvenční odezvu

Frekvenční charakteristiky diskrétního obvodu jsou periodické funkce. Doba opakování je rovna vzorkovací frekvenci w d.

Frekvenční charakteristiky jsou obvykle normalizovány podél frekvenční osy na vzorkovací frekvenci

kde W je normalizovaná frekvence.

Při výpočtech s využitím počítače se normalizace frekvence stává nutností.

Příklad. Určete frekvenční charakteristiky obvodu, jehož přenosovou funkci

H (Z) = a 0 + a 1 ЧZ-1.

Komplex přenosových funkcí: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

s přihlédnutím k frekvenční normalizaci: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Vzorce pro frekvenční odezvu a fázovou odezvu

H (W) =, j (W) = - arctan .

grafy frekvenční odezvy a fázové frekvenční odezvy pro kladné hodnoty a 0 a a 1 za podmínky a 0 > a 1 jsou uvedeny na obr. (2.5, a, b.)

Logaritmická stupnice frekvenční odezvy - útlum A:

; . (2.10)

Nuly přenosové funkce mohou být umístěny v libovolném bodě roviny Z. Pokud jsou nuly umístěny v jednotkovém kruhu, pak frekvenční odezva a charakteristika fázové odezvy takového obvodu souvisí pomocí Hilbertovy transformace a lze je jednoznačně určit pomocí jiný. Takový obvod se nazývá obvod typu s minimální fází. Pokud se mimo jednotkový kruh objeví alespoň jedna nula, pak řetězec patří k řetězci typu nelineární fáze, pro který není Hilbertova transformace použitelná.

2.5 Impulzní odezva... Konvoluce.

Přenosová funkce charakterizuje obvod ve frekvenční oblasti. V časové oblasti je obvod charakterizován impulsní odezvou h (nT). Impulzní odezva diskrétního obvodu je odezvou obvodu na diskrétní d - funkci. Impulsní odezva a přenosová funkce jsou charakteristiky systému a jsou spojeny vzorcem Z-konverze. Impulzní odezvu lze tedy považovat za určitý signál a přenosová funkce H (Z) - Z je obrazem tohoto signálu.

Přenosová funkce je hlavní charakteristikou v návrhu, pokud jsou normy nastaveny vzhledem k frekvenčním charakteristikám systému. V souladu s tím je hlavní charakteristikou impulsní odezva, pokud jsou normy nastaveny v čase.

Impulzní odezvu lze určit přímo z obvodu jako odezvu obvodu na funkci d, nebo řešením diferenční rovnice obvodu za předpokladu x (nT) = d (t).

Příklad. Určete impulsní odezvu obvodu, jehož schéma je na obrázku 2.6, b. Obr.

Diferenční rovnice řetězce y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Řešení diferenční rovnice v číselném tvaru za předpokladu, že x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1 T) - 0,08 y (1 T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; atd. ...

Proto h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Pro stabilní obvod mají počty impulsní odezvy v průběhu času tendenci k nule.

Impulzní odezvu lze určit ze známé přenosové funkce aplikací

A. inverzní Z-transformace,

b. teorém o rozkladu,

proti. lag teorém pro výsledky dělení polynomu čitatele polynomem jmenovatele.

Poslední z uvedených metod se týká numerických metod řešení problému.

Příklad. Určete impulsní odezvu obvodu na obr. (2.6, b) pomocí přenosové funkce.

Zde H (Z) = .

Vydělte čitatele jmenovatelem

Aplikováním teorému o zpoždění na výsledek dělení získáme

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Porovnáním výsledku s výpočty pomocí diferenční rovnice v předchozím příkladu se lze přesvědčit o spolehlivosti výpočtových postupů.

Je navrženo nezávisle určit impulsní odezvu obvodu na obr. (2.6, a), přičemž se postupně použijí obě uvažované metody.

V souladu s definicí přenosové funkce lze Z - obraz signálu na výstupu obvodu definovat jako součin Z - obrazu signálu na vstupu obvodu a přenosové funkce obvodu. :

Y (Z) = X (Z) 0H (Z). (2.11)

Podle konvoluční věty tedy konvoluce vstupního signálu s impulsní odezvou dává signál na výstupu obvodu.

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

Určení výstupního signálu pomocí konvolučního vzorce nachází uplatnění nejen ve výpočetních postupech, ale také jako algoritmus pro fungování technických systémů.

Určete signál na výstupu obvodu, jehož schéma je na obr. (2.6, b), je-li x (nT) = (1,0; 0,5).

Zde h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Výpočet podle (2.12)

n = 0: y (OT) = h (OT) x (OT) = 0;

n = 1: y (1 T) = h (OT) x (1 T) + h (1 T) x (OT) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1 T) x (1 T) + h (2T) x (OT) = 0,168;

Tedy y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

V technických systémech se místo lineární konvoluce (2.12) častěji používá kruhová nebo cyklická konvoluce.

Student skupiny 220352 Chernyshev D. A. Reference - zpráva o patentovém a vědeckotechnickém výzkumu Téma závěrečné kvalifikační práce: televizní přijímač s digitálním zpracováním signálu. Začátek hledání 2. 02. 99. Konec hledání 25.03.99 Předmět hledání Země, Index (MKI, NKI) Ne ...

Nosné a amplitudová fázová modulace s jedním postranním pásmem (AFM-SSB). 3. Volba doby trvání a počtu elementárních signálů použitých k vytvoření výstupního signálu ve skutečných komunikačních kanálech pro přenos signálů přes frekvenci omezený kanál je použit signál tvaru, který je však časově nekonečný, takže je vyhlazován podle kosinusového zákona. , kde - ...

Časovací charakteristiky obvodu se nazývají odezvy na typické složky původního signálu.

Přechodová odezva obvodu je odezvou obvodu s nulovými počátečními podmínkami na akci funkce jednotky(Funkce Heaviside). Přechodná odezva je určena z přenosové funkce operátora jejím dělením operátorem a nalezením originálu z výsledného obrazu pomocí inverzní Laplaceovy transformace přes zbytky.

Impulzní odezva obvodu je odezvou obvodu na delta funkci. - nekonečně krátké trvání a nekonečně velká amplituda puls jednotkové plochy. Impulzní odezva je určena nalezením zbytků z přenosové funkce obvodu.

Operátorovou metodou budeme hledat i časové charakteristiky řetězce. K tomu je třeba najít operátorský obraz vstupního signálu, vynásobit jej koeficientem přenosu ve tvaru operátora a najít originál ze získaného výrazu, to znamená, že při znalosti koeficientu přenosu obvodu můžeme najít odezvu na jakoukoli akci.

Hledání impulsní odezvy je redukováno na nalezení odezvy obvodu na delta funkci. Je známo, že obraz pro delta funkci je 1. Aplikací inverzní Laplaceovy transformace najdeme impulsní odezvu.

.

Vyberme celou část pro přenosovou funkci řetězce, protože stupně vedoucích koeficientů v čitateli a ve jmenovateli jsou stejné:

Najděte singulární body přenosové funkce přirovnáním jmenovatele k nule.

Máme pouze jeden singulární bod, nyní provedeme srážku v tomto singulárním bodě.

Výraz pro impulsní odezvu je napsán takto:

Podobně zjistíme přechodovou odezvu obvodu s vědomím, že pro Heavisideovu funkci je funkcí obraz.

; , ;

Přechodové a impulsní odezvy spolu souvisí, stejně jako vstupní akce:

Zkontrolujme splnění omezujících vztahů mezi frekvenčními a časovými charakteristikami obvodu, tzn. splnění následujících podmínek:

Do systému dosazujeme konkrétní výrazy pro charakteristiky obvodů.

.

Jak vidíte, podmínky jsou splněny, což svědčí o správnosti nalezených vzorců.

Zapišme si konečné vzorce pro časové charakteristiky s přihlédnutím k normalizaci

Pomocí výše uvedených vzorců sestrojíme grafy těchto funkcí.

Fourierův signál analogový lineární

Obrázek 2.5 - Impulsní odezva analogového prototypového filtru

Obrázek 2.6 - Přechodová odezva analogového prototypového filtru

Časové charakteristiky existují pouze v, protože odezvy nemohou převýšit dopad.

Náš řetězec se proto odlišuje přechodná odezva chová se takto. Diferenciační obvod zostřuje přechodový jev a prochází náběžnou hranou. Minulost je zodpovědná za "hození" vysoké frekvence, a za zablokováním - neprošly nízké frekvence.

Tématický článek

Implementace a použití GPS trackerů v podnikovém prostředí
Tracker je zařízení pro příjem-vysílání-záznam dat pro satelitní sledování automobilů, lidí nebo jiných objektů, ke kterým je připojen, pomocí systému Global Positioning System k přesnému určení polohy objektu. Oblasti použití GPS-monitorování dopravy: ambulance ...