Laplace transformuje příklady. Laplaceova transformace. K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci. Příklady výpočtu Laplaceovy transformace

K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci.

Laplaceova transformace nazvěte poměr

přiřazování funkcí x (t) reálná proměnná t funkce zápas X (s) komplexní proměnná s (s = σ+ jω). V čem x (t) se nazývají originál, X (s)- obraz nebo Laplaceův obrázek a s- Laplaceova transformační proměnná. Originál je označen malými písmeny a jeho obrázek je stejnojmenným velkým písmenem.

Předpokládá se, že funkce X(t) podléhající Laplaceově transformaci má následující vlastnosti:

1) funkce x (t) je definován a po částech diferencovatelný na intervalu. Přesná dolní mez s0 všech čísel s, α0 = infs, pro kterou platí nerovnost (1), se nazývá rychlost růstu funkce f (t). Komentář. V obecném případě nerovnost neplatí, ale odhad platí tam, kde e> 0 je libovolné. Funkce má tedy exponent růstu в0 = Pro ni neplatí nerovnost \ t \ ^ M V * ^ 0, ale nerovnost | f | ^ Mei. Podmínka (1) je mnohem méně omezující než podmínka (*). Příklad 1. funkce nesplňuje podmínku ("), ale podmínka (1) je splněna pro libovolné s> I a A /> I; rychlost růstu 5o = Toto je tedy původní funkce. Na druhou stranu funkce není původní funkcí: má nekonečný řád růstu, „o = + oo. Nejjednodušší původní funkcí je tzv. jednotková funkce Pokud některá funkce splňuje podmínky 1 a 3 z definice 1, ale nesplňuje podmínku 2, pak je součin již původní funkcí. Pro jednoduchost zápisu zpravidla vynecháme faktor rj (t), když se dohodneme, že všechny funkce, které budeme uvažovat, se rovnají nule pro záporné t, takže pokud mluvíme o nějaké funkci f (t), například o sin ty cos t, el atd., pak jsou vždy implikovány následující funkce (obr. 2): n = n (0 obr. 1 Definice 2. Nechť f (t) je původní funkce. Obrázek funkce f (t ) podle Laplacea je funkce F (p) komplexní proměnné definovaná vzorcem LAPLACE TRANSFORM Základní definice Vlastnosti Konvoluce funkcí Věta o násobení Nalezení originálu z obrázku Použití inverzní věty pro operační počet Duhamelův vzorec Integrace soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Řešení integrálních rovnic, kde je integrál převzat z kladu poloosy t. Funkce F (p) se také nazývá Laplaceova transformace funkce f (f); transformace K (t) p) = e ~ pt. To, že funkce má svůj obrázek F (p), zapíšeme Příklad 2. Najděte obrázek funkce jednotky r) (t). Funkce je původní funkcí s rychlostí růstu 0 - 0. Podle vzorce (2) bude obrazem funkce rj (t) funkce If then for, integrál na pravé straně poslední rovnost bude konvergovat a dostaneme tak, že obrazem funkce rj (t) bude funkce £. Jak jsme se dohodli, napíšeme, že rj (t) = 1, a získaný výsledek pak zapíšeme následovně: Věta 1. Pro libovolnou původní funkci f (t) s růstovým exponentem z0 je definován obraz F (p). v polorovině R ep = s > s0 a je analytickou funkcí v této polorovině (obr. 3). Nechť K prokázání existence obrazu F (p) v naznačené polorovině stačí stanovit, že nevlastní integrál (2) konverguje absolutně pro a> Pomocí (3) dostaneme, že dokazuje absolutní konvergenci integrál (2). Zároveň jsme získali odhad pro Laplaceovu transformaci F (p) v polorovině konvergence Diferencováním výrazu (2) formálně pod znaménkem integrálu vzhledem k p zjistíme, že existence integrálu (5) je stanovena stejným způsobem, jako byla stanovena existence integrálu (2). Aplikací integrace po částech pro F "(p) získáme odhad, který implikuje absolutní konvergenci integrálu (5). (Neintegrální člen, 0., - má limitu rovnou nule pro t + oo). integrál (5) konverguje rovnoměrně vzhledem k p, protože je majorizován konvergentním integrálem nezávislým na p. V důsledku toho je derivace podle p legální a platí rovnost (5). Protože existuje derivace F "(p), Laplaceova transformace F (p) všude v polorovině Rep = 5> 5® je analytická funkce. Nerovnost (4) implikuje důsledek. Jestliže tenké p tíhne k nekonečnu tak, že Re p = s roste donekonečna, pak Příklad 3. Nalezněme také obraz funkce libovolného komplexního čísla. Exponent funkce f (() je roven a. > a, ale také ve všech bodech p, kromě bodu p = a, kde má tento obrázek jednoduchý pól. V budoucnu se nejednou setkáme obdobná situace, kdy je obraz F (p) analytickou funkcí v celé rovině komplexní proměnné p, neboť zde není rozpor s Větou 1. Ta pouze tvrdí, že v polorovině Rep> «o funkce F (p) nemá žádné singulární body: ukáže se, že všechny leží buď nalevo od přímky Rep = tak, nebo na této přímce samotné. Všimněte si, že ne. V operačním počtu se někdy používá Heavisideův obraz funkce f (f), který je definován rovností a liší se od Laplaceova obrazu faktorem p. §2. Vlastnosti Laplaceovy transformace V následujícím budeme označovat původní funkce a skrz - jejich obrazy podle Laplacea. £ biw dee jsou spojité funkce) mají stejný obraz, pak jsou identicky stejné. Teopewa 3 (n "yeyiost * transformující Laplace). Pokud jsou funkce původní, pak pro libovolné komplexní konstanty vzduchu Platnost tvrzení vyplývá z vlastnosti linearity integrálu, která určuje obraz:, jsou rychlosti růstu funkcí, resp. Na základě této vlastnosti získáme Podobně zjistíme, že a dále Věta 4 (podobnosti). Jestliže f (t) je původní funkce a F (p) je její Laplaceův obraz, pak pro libovolnou konstantu a> 0 Při = m máme Pomocí této věty ze vzorců (5) a (6) získáme větu 5 (o odlišení originálu). Nechť je původní funkce s obrázkem F (p) a nechť - jsou také původní funkce a kde je rychlost růstu funkce Potom a obecně Zde máme na mysli správnou mezní hodnotu Let. Nalezneme obrázek Máme Integrování po částech, dostaneme Neceliální člen na pravé straně (10) zaniká v k. Pro Rc p = s> h máme substituci t = Odet - / ( 0). Druhý člen vpravo v (10) je roven pF (p). Vztah (10) tedy nabývá tvaru a vzorec (8) je dokázán. Konkrétně, jestliže K nalezení obrazu f (n \ t) napíšeme odkud, integrováním n krát po částech dostaneme Příklad 4. Pomocí věty o derivaci originálu najděte obraz funkce f (t) = hřích2 t. Nechť Proto Věta 5 zakládá pozoruhodnou vlastnost Laplaceovy integrální transformace: převádí (stejně jako Fourierova transformace) operaci derivování na algebraickou operaci násobení pomocí p. Vzorec pro zařazení. Pokud se jedná o původní funkce, pak skutečně, na základě důsledků věty 1 má každý obrázek tendenci k nule jako. Odtud tedy plyne inkluzní vzorec (Věta 6 (o diferenciaci obrazu). Diferenciace obrazu je redukována na násobení originálem, Protože funkce F (p) v polorovině je analytická, může být diferencované vzhledem k p. Příklad 5. Pomocí věty 6 najděte obraz funkce 4 Jak je známo, tedy (Opět použitím věty 6 najdeme obecně větu 7 (integrace původní). Integrace originálu se redukuje na dělení obrázku Let Je snadné zkontrolovat, že pokud existuje originální funkce, pak to bude navíc funkce originální. Nechat. Na základě tak, že Na druhé straně, odkud F = Poslední je ekvivalentní dokázanému vztahu (13). Příklad 6. Najděte obrázek funkce M V tomto případě tak. Proto Věta 8 (integrace obrazu). Pokud integrál také konverguje, pak slouží jako obraz funkce ^: LAPLACE TRANSFORM Základní definice Vlastnosti Konvoluce funkcí Věta o násobení Nalezení originálu z obrázku Použití inverzní věty pro operační počet Duhamelův vzorec Integrace soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantní koeficienty Řešení integrálních rovnic Ostatně za předpokladu, že integrační dráha leží v polorovině, můžeme změnit pořadí integrace Poslední rovnost znamená, že se jedná o obraz funkce Příklad 7. Najděte obraz a funkce M Jak známo,. Proto, protože klademe, dostáváme £ = 0, for. Vztah (16) má tedy tvar Příklad. Najděte obraz funkce f (t), daný graficky (obr. 5). Zapišme výraz pro funkci f (t) takto: Tento výraz lze získat následovně. Zvažte funkci a odečtěte ji od ní. Rozdíl bude roven jedné pro. K výslednému rozdílu přičteme funkci a získáme tak funkci f (t) (obr. 6 c), takže pomocí věty o zpoždění najdeme větu 10 (posun). pak pro libovolné komplexní číslo p0 Věta skutečně umožňuje ze známých obrazů funkcí najít obrazy stejných funkcí vynásobené exponenciální funkcí, například 2,1. Konvoluce funkcí. Věta o násobení Nechť jsou funkce f (t) u definované a spojité pro všechna t. Konvoluce těchto funkcí se nazývá novou funkci od t, definovaného rovností (pokud tento integrál existuje). U původních funkcí je operace vždy skládací a (17) 4 Součin původních funkcí jako funkce m je totiž konečná funkce, tzn. zmizí mimo nějaký konečný interval (v tomto případě mimo interval. Pro konečné spojité funkce je operace konvoluce splnitelná a získáme vzorec Snadno si ověříme, že operace konvoluce je komutativní, Věta 11 (násobení). Jestliže, pak konvoluce t) má obraz, že konvoluce (původních funkcí je původní funkce s tempem růstu "kde jsou rychlosti růstu funkcí, resp. Najdeme obrázek konvoluce, Použití toho, co máme Změna pořadí integrace v integrálu vpravo (taková operace je legální) a použitím teorému o zpoždění dostaneme Z (18) a (19) tedy zjistíme, že násobení obrázků odpovídá konvoluci originálů, Prter 9. Najděte obraz funkce A funkce V (0 je konvoluce funkcí. Podle věty o násobení Úloha. Nechť je funkce f (t) periodická s periodou T , ecg je původní funkce Ukažte, že její Laplaceův obraz F (p) je dáno vzorcem 3. Nalezení originálu z obrázku Problém je postaven takto: Pro funkci F (p) musíme najít funkci / (<)>jehož obraz je F (p). Formulujme podmínky postačující k tomu, aby funkce F (p) komplexní proměnné p sloužila jako obraz. Věta 12. Jestliže funkce F (p) 1) analytická v polorovině tak inklinuje k nule pro v libovolné polorovině R s0 rovnoměrně vzhledem k arg p; 2) integrál konverguje absolutně, pak F (p) je obrazem nějaké původní funkce Úloha. Může funkce F (p) = sloužit jako obraz nějaké původní funkce? Zde je několik způsobů, jak najít originál z obrázku. 3.1. Nalezení originálu pomocí obrazových tabulek Nejprve se vyplatí funkci F (p) převést do jednodušší, „tabulkové“ podoby. Například v případě, kdy F (p) je zlomková racionální funkce argumentu p, rozloží se na elementární zlomky a použijí se příslušné vlastnosti Laplaceovy transformace. Příklad 1. Najděte originál pro Zapišme funkci F (p) ve tvaru Pomocí věty o posunutí a vlastnosti linearity Laplaceovy transformace získáme Příklad 2. Najděte originál pro funkci 4 Napište F (p ) jako tedy 3.2. Využití inverzní věty a její důsledky Věta 13 (inverze). Je-li funkce fit) původní funkcí s růstovým exponentem s0 a F (p) je jejím obrazem, pak v libovolném bodě spojitosti funkce f (t) platí vztah, kde je integrál vzat podél libovolné přímky a je chápán ve smyslu hlavní hodnoty, tj. jako vzorec (1) se nazývá inverzní vzorec Laplaceovy transformace, neboli Mellinův vzorec. Nechť je například f (t) po částech hladké na každém konečném segmentu, kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Přednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCE OBVODŮ Operátorské vstupní a přenosové funkce Póly a nuly obvodových funkcí 3 Závěry Operátorské vstupní a přenosové funkce Operátorská funkce řetězce je vztah

68 Přednáška 7 PŘECHODOVÉ PROCESY V OBVODech PRVNÍHO ŘÁDU Plán 1 Přechodové děje v RC-obvodech 1. řádu 2 Přechodové děje v R-obvodech 1. řádu 3 Příklady výpočtu přechodových dějů v okruzích

4 LINEÁRNÍ ELEKTRICKÉ OBVODY AC SINUSOIDNÍHO PROUDU A ZPŮSOBY JEJICH VÝPOČTU 4.1 ELEKTRICKÉ STROJE. PRINCIP SINUSOIDNÍHO GENEROVÁNÍ PROUDU 4.1.012. Sinusový proud se nazývá okamžitý

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "KUBÁNSKÁ STÁTNÍ UNIVERZITA" Fyzikálně-technologická fakulta Katedra optoelektroniky

~ ~ FKP Derivace funkce komplexní proměnné FKP Cauchyho - Riemannova podmínka pojem pravidelnosti FKP Obraz a tvar komplexního čísla Forma FKP: kde reálná funkce dvou proměnných je reálná