Stanovení impulsní odezvy. Přechodové a impulsní charakteristiky lineárních obvodů. Metody časování
18. Reakce lineární obvody na funkce jednotky... Přechodové a impulsní charakteristiky obvodu, jejich zapojení.
Funkce jednoho kroku (povolit funkci) 1 (t) je definován takto:
Funkční graf 1 (t) je znázorněno na Obr. 2.1.
Funkce 1 (t) je nula pro všechny záporné hodnoty argumentu a jedna pro t³ 0 Také zavádíme v úvahu funkci posunutého kroku jednotky
Takový dopad se zapne v okamžiku času t= t ..
Napětí ve formě jednokrokové funkce na vstupu obvodu bude při připojení zdroje konstantního napětí U 0 = 1 V at t= 0 pomocí ideálního klíče (obr. 2.3).
Singl impulsní funkce (d - funkce, Diracova funkce) je definována jako derivace jednotkové krokové funkce. Od okamžiku t= funkce 0 1 (t) prochází diskontinuitou, pak její derivace neexistuje (obrací se do nekonečna). Tedy funkce jednotkového impulsu
Je to speciální funkce nebo matematická abstrakce, ale široce se používá při analýze elektrických a jiných fyzikálních objektů. Funkce tohoto druhu jsou uvažovány v matematické teorii zobecněných funkcí.
Za nárazový náraz (dostatečně velká amplituda a nekonečně krátká expoziční doba) lze považovat náraz v podobě funkce jediného impulsu. Zavedena je také funkce jednotkového impulsu, posunutá o čas t= t
Je obvyklé zobrazovat jedinou impulsní funkci ve formě svislé šipky na t= 0 a posunuto o - t= t (obr. 2.4).
Vezmeme-li integrál jednotkové impulsní funkce, tzn. určíme oblast, která je jí ohraničena, dostaneme následující výsledek:
Rýže. 2.4.
Je zřejmé, že integrační interval může být libovolný, pokud se tam bod dostane t= 0. Integrál posunuté jednotkové impulsní funkce d ( t-t) se také rovná 1 (pokud je bod t= t). Vezmeme-li integrál jednotkové impulsní funkce vynásobený nějakým koeficientem A 0 , pak je zřejmé, že výsledek integrace bude roven tomuto koeficientu. Proto koeficient A 0 před d ( t) definuje oblast ohraničenou funkcí A 0 d ( t).
Pro fyzikální interpretaci funkce d - je vhodné ji považovat za limitu, ke které by se měla směřovat určitá posloupnost obyčejných funkcí, např.
Přechodná a impulsní odezva
Přechodná odezva h (t) se nazývá reakce řetězce na náraz ve formě jednokrokové funkce 1 (t). Impulzní odezva g (t) se nazývá reakce řetězce na akci ve tvaru jednotkové impulsní funkce d ( t). Obě charakteristiky jsou určeny s nulovými počátečními podmínkami.
Přechodové a impulsní funkce charakterizují obvod v přechodovém režimu, protože jsou reakcemi na skokové, tzn. docela těžké pro jakýkoli nárazový systém. Navíc, jak bude ukázáno níže, pomocí přechodových a impulsních charakteristik lze určit odezvu obvodu na libovolnou akci. Přechodové a impulsní charakteristiky jsou vzájemně propojeny, stejně jako jsou propojeny odpovídající vlivy. Jednotková impulsní funkce je derivací jednotkové skokové funkce (viz (2.2)), proto je impulsní odezva derivací přechodové odezvy a při h(0) = 0 . (2.3)
Toto tvrzení vyplývá z obecných vlastností lineárních systémů, které jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi, zejména pokud je jeho derivace aplikována na lineární řetězec s nulovými počátečními podmínkami namísto akce, pak bude reakce rovna derivaci prvotní reakce.
Ze dvou uvažovaných charakteristik se nejjednodušeji určí přechodová, protože ji lze vypočítat z odezvy obvodu na sepnutí zdroje konstantního napětí nebo proudu na vstupu. Pokud je taková reakce známa, pak k získání h (t) stačí ji vydělit amplitudou vstupní konstantní akce. Z toho plyne, že přechodová (stejně jako impulsní) charakteristika může mít rozměr odporu, vodivosti nebo být bezrozměrnou veličinou v závislosti na rozměru akce a reakce.
Příklad ... Definujte přechodné h (t) a impuls G(t) charakteristiky sériového RC obvodu.
Náraz je vstupní napětí u 1 (t) a reakcí je napětí na kapacitance u 2 (t). Podle definice přechodové odezvy by měla být definována jako napětí na výstupu, když je na vstup obvodu připojen zdroj konstantního napětí. U 0
Tento problém byl vyřešen v části 1.6, kde byl získán u 2
(t)
= u C
(t)
=
Tím pádem, h (t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Impulzní odezva je určena (2.3) 
.
3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Impulsní odezva obvodu se nazývá poměr reakce řetězce k impulsní akci k oblasti této akce při nulových počátečních podmínkách.
A-priory,
kde je reakce obvodu na impulsní akci;
- oblast impulsu nárazu.
Podle známé impulsní odezvy obvodu můžete zjistit odezvu obvodu na danou akci:.
Jako akční funkce se často používá jediná impulsní akce, nazývaná také delta funkce nebo Diracova funkce.
Delta funkce je funkce rovna nule všude kromě a její plocha je rovna jedné ():
.
Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulzu s výškou a trváním, když (obr. 3):
Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.
A-priory:
Je-li dopad (původní) uvažován pro nejobecnější případ ve formě součinu plochy impulsu funkcí delta, tedy ve tvaru, pak má obraz tohoto nárazu podle korespondenční tabulky tvar:
.
Na druhé straně je poměr Laplaceovy transformované řetězové reakce k velikosti oblasti nárazového impulsu impulsní odezvou operátora v obvodu:
.
Proto, .
K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
, tedy vlastně 
.
Shrneme-li vzorce, získáme vztah mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovými přechodovými a impulsními charakteristikami obvodu:
Když tedy znáte jednu z charakteristik řetězu, můžete určit další.
Udělejme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části.
Pak budeme mít.
Pokud 
je obrazem derivace přechodné odezvy, pak lze původní rovnost přepsat jako:
Přechodem do oblasti originálů získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu podle jeho známé přechodové odezvy:
Pokud, tak.
Inverzní vztah mezi těmito charakteristikami je následující:
.
Podle přenosová funkce je snadné stanovit přítomnost termínu ve funkci.
Pokud jsou stupně čitatele a jmenovatele stejné, bude uvažovaný výraz přítomen. Pokud je funkcí pravidelný zlomek, pak tento výraz nebude existovat.
Příklad: Určete impulsní charakteristiky pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.
Pojďme definovat:
Pojďme k originálu podle srovnávací tabulky:
.
Graf této funkce je na obrázku 5.
Rýže. 5
Přenosová funkce:
Podle srovnávací tabulky máme:
.
Graf výsledné funkce je na obrázku 6.
Poukazujeme na to, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů vytvářejících spojení mezi a.
Impulzní odezva ve fyzikálním smyslu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna podmínka:
4. Integrály konvoluce (překryvy)
Zvažte postup pro stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní efekt, pokud je známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.
Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém časovém okamžiku. Při řešení tohoto problému znázorňujeme dopad jako součet pravoúhlých impulsů nekonečně krátkého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému okamžiku, je znázorněn na obrázku 7. Tento impuls je charakterizován svou dobou trvání a výškou.
Z dříve uvažovaného materiálu je známo, že odezvu obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti působení impulsu. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce způsobená touto impulsní akcí v okamžiku času rovna:
protože plocha pulsu je stejná a čas plyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.
Pomocí principu superpozice lze celkovou odezvu obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých složek způsobených sekvencí impulsních vlivů nekonečně malých ploch, předcházejících časovému okamžiku.
Tím pádem:
.
Tento vzorec je platný pro libovolnou hodnotu, proto se proměnná obvykle označuje jednoduše. Pak:
.
Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo superpoziční integrál. Funkce, která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a.
Jiný tvar konvolučního integrálu můžete najít, pokud změníte proměnné ve výsledném výrazu na:
.
Příklad: najděte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstupu působí exponenciální puls ve tvaru:
obvod je spojen se: změnou energetického stavu ... (+0) ,. Uc (-0) = Uc (+0). 3. Přechodné charakteristický elektrický řetězy toto: Odpověď na jeden krok...
Studie řetězy druhá objednávka. Vyhledejte vstup a výstup Specifikace
Kurz >> Komunikace a komunikace3. Přechodné a impuls Specifikace řetězy Laplaceův obrázek přechodný Specifikace má formu. Obdržet přechodný Specifikace v ... A., Zolotnitsky V.M., Chernyshev E.P. Základy teorie elektrický řetězy.-SPb.: Lan, 2004. 2. Dyakonov V.P. MATLAB ...
Hlavní ustanovení teorie přechodný procesy
Abstrakt >> FyzikaLaplace; - dočasné, užívající přechodný a impuls Specifikace; - frekvence založená na ... klasické metodě analýzy přechodný kolísání v elektrický řetězy Přechodné procesy v elektrický řetězy jsou popsány rovnicemi,...
Pozoruhodný rys lineárních systémů - platnost principu superpozice - otevírá přímou cestu k systematickému řešení problémů průchodu různých signálů těmito systémy. Metoda dynamické reprezentace (viz kap. 1) umožňuje reprezentovat signály jako součty elementárních impulsů. Je-li možné tak či onak nalézt odezvu na výstupu, která vzniká vlivem elementárního impulsu na vstupu, pak konečnou fází řešení problému bude sumace takových reakcí.
Zamýšlená cesta analýzy je založena na časové reprezentaci vlastností signálů a systémů. Analýza ve frekvenční oblasti je stejně použitelná a někdy mnohem pohodlnější, když jsou signály dány Fourierovými řadami nebo integrály. V tomto případě jsou vlastnosti systémů popsány jejich frekvenčními charakteristikami, které udávají zákon transformace elementárních harmonických signálů.
Impulzní odezva.
Nechť nějaký lineární stacionární systém popíše operátor T. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že vstupní a výstupní signály jsou jednorozměrné. Podle definice je impulsní odezva systému funkcí, která je odezvou systému na vstupní signál. To znamená, že funkce h (t) splňuje rovnici
Protože je systém stacionární, bude podobná rovnice platit v případě, že vstupní akce je posunuta v čase o derivační hodnotu:
Mělo by být jasné, že impulsní odezva, stejně jako funkce delta, která ji generuje, je výsledkem rozumné idealizace. Impulzní odezva z fyzikálního hlediska přibližně odráží odezvu systému na vstupní impulzní signál libovolného tvaru s jednotkovou plochou za předpokladu, že doba trvání tohoto signálu je zanedbatelná ve srovnání s charakteristickým časovým měřítkem systému, např. například doba jeho vlastních kmitů.
Duhamelův integrál.
Se znalostí impulsní odezvy lineárního stacionárního systému lze formálně vyřešit jakýkoli problém průchodu deterministického signálu takovým systémem. Vskutku, v Ch. 1 bylo ukázáno, že vstupní signál vždy připouští reprezentaci formy
Odpovídající výstupní reakce
Nyní vezmeme v úvahu, že integrál je limitní hodnotou součtu, proto lze pod znaménkem integrálu zavést lineární operátor T na principu superpozice. Dále operátor T "působí" pouze na veličiny, které závisí na aktuálním čase t, ale ne na proměnné integrace x. Z výrazu (8.7) tedy vyplývá, že
nebo konečně
Tento vzorec, který má zásadní význam v teorii lineárních systémů, se nazývá Duhamelův integrál. Vztah (8.8) udává, že výstupní signál lineárního stacionárního systému je konvolucí dvou funkcí - vstupního signálu a impulsní odezvy systému. Je zřejmé, že vzorec (8.8) může být také zapsán ve tvaru
Pokud je tedy známa impulsní odezva h (t), pak se další fáze řešení redukují na plně formalizované operace.
Příklad 8.4. Nějaký lineární stacionární systém, jehož vnitřní struktura je nevýznamná, má impulsní odezvu, což je obdélníkový obrazový impuls o délce T. Pulz vzniká při t = 0 a má amplitudu
Určete výstupní odezvu tohoto systému, když je na vstup přiveden krokový signál
Při použití Duhamelova integrálního vzorce (8.8) byste měli věnovat pozornost skutečnosti, že výstupní signál bude vypadat odlišně v závislosti na tom, zda doba trvání impulsní odezvy překročí nebo nepřekročí aktuální hodnotu. Protože máme
Pokud tedy pro, funkce zmizí
Nalezená výstupní odezva je zobrazena v lineárním grafu po částech.
Zobecnění na vícerozměrný případ.
Doposud se předpokládalo, že jak vstupní, tak výstupní signály jsou jednorozměrné. V obecnějším případě systému se vstupy a výstupy by měly být zavedeny dílčí impulsní odezvy, z nichž každá zobrazuje signál na výstupu, když je na vstup aplikována delta funkce.
Sada funkcí tvoří matici impulsní odezvy
Ve vícerozměrném případě má formu Duhamelův integrální vzorec
kde je -rozměrný vektor; - -rozměrný vektor.
Podmínka fyzické realizovatelnosti.
Bez ohledu na konkrétní typ impulsní odezvy fyzikálně proveditelného systému musí být vždy splněna nejdůležitější zásada: výstupní signál odpovídající akci impulsního vstupu nemůže nastat, dokud se impuls neobjeví na vstupu.
To znamená velmi jednoduché omezení typu přípustných impulsních odezev:
Tuto podmínku splňuje např. impulsní charakteristika systému uvažovaného v příkladu 8.4.
Je snadné vidět, že u fyzikálně realizovatelného systému může být horní mez v Duhamelově integrálním vzorci nahrazena aktuální časovou hodnotou:
Vzorec (8.13) má jasný fyzikální význam: lineární stacionární systém, zpracovávající vstupní signál, provádí operaci váženého součtu všech svých okamžitých hodnot, které existovaly „v minulosti“ na - Role váhové funkce je prováděné impulsní odezvou systému. Je zásadně důležité, že fyzicky realizovatelný systém není za žádných okolností schopen pracovat s „budoucími“ hodnotami vstupního signálu.
Fyzicky realizovatelný systém musí být navíc stabilní. To znamená, že jeho impulsní odezva musí splňovat podmínku absolutní integrovatelnosti
Přechodná odezva.
Nechť signál reprezentovaný Heavisideovou funkcí působí na vstupu lineárního stacionárního systému.
Výstupní reakce
je obvyklé nazývat přechodnou odezvu systému. Protože je systém stacionární, přechodová odezva je neměnná s ohledem na časový posun:
Dříve vyslovené úvahy o fyzické realizovatelnosti systému se zcela přenášejí na případ, kdy systém není buzen delta funkcí, ale jednotkovým skokem. Přechodná odezva fyzikálně realizovatelného systému se proto liší od nuly pouze při, zatímco při t Mezi impulsní a přechodovou charakteristikou existuje úzký vztah. Ve skutečnosti, protože na základě (8.5)
Diferenciační operátor a lineární stacionární operátor T tedy mohou měnit místa
Pomocí dynamického reprezentačního vzorce (1.4) a při postupu stejně jako u odvození vztahu (8.8) získáme další tvar Duhamelova integrálu:
Koeficient přenosu frekvence.
V matematickém studiu systémů jsou zvláště zajímavé takové vstupní signály, které jsou transformovány systémem a zůstávají ve tvaru nezměněny. Pokud existuje rovnost
pak je vlastní funkcí systémového operátora T a číslo X, které je obecně komplexní, je jeho vlastní hodnotou.
Ukažme, že komplexní signál pro libovolnou hodnotu frekvence je vlastní funkcí lineárního stacionárního operátoru. K tomu použijeme Duhamelův integrál tvaru (8.9) a vypočítáme
Proto je vidět, že vlastní hodnotou operátora systému je komplexní číslo
(8.21)
nazývá se frekvenční zisk systému.
Vzorec (8.21) stanoví zásadně důležitou skutečnost - koeficient přenosu frekvence a impulsní odezva lineárního stacionárního systému jsou propojeny Fourierovou transformací. Proto vždy, když znáte funkci, můžete určit impulsní odezvu
Dostali jsme se k nejdůležitějšímu postavení teorie lineárních stacionárních systémů - každý takový systém lze uvažovat buď v časové oblasti pomocí jeho impulsní nebo přechodové charakteristiky, nebo ve frekvenční oblasti, nastavení koeficientu přenosu frekvence. Oba přístupy jsou ekvivalentní a výběr jednoho z nich je dán pohodlím získávání počátečních dat o systému a jednoduchostí výpočtů.
Na závěr podotýkáme, že frekvenční vlastnosti lineárního systému se vstupy a výstupy lze popsat maticí koeficientů přenosu frekvence
Mezi maticemi existuje zákon o spojení, podobný tomu, který dávají vzorce (8.21), (8.22).
Amplitudo-frekvenční a fázově-frekvenční charakteristiky.
Funkce má jednoduchou interpretaci: pokud na vstup systému dorazí harmonický signál se známou frekvencí a komplexní amplitudou, pak komplexní amplituda výstupního signálu
Podle vzorce (8.26) je modul koeficientu přenosu frekvence (AFC) sudý a fázový úhel (FFC) je lichou funkcí frekvence.
Mnohem obtížnější je odpovědět na otázku, jaký by měl být koeficient frekvenčního přenosu, aby byly splněny podmínky fyzické realizovatelnosti (8.12) a (8.14). Uvádíme bez důkazů konečný výsledek, známý jako Paley - Wienerovo kritérium: koeficient přenosu frekvence fyzikálně realizovatelného systému musí být takový, že integrál
Uvažujme konkrétní příklad, který ilustruje vlastnosti frekvenčního zisku lineárního systému.
Příklad 8.5. Některý lineární stacionární systém má vlastnosti ideálního dolnopropustného filtru, tj. jeho koeficient frekvenčního přenosu je dán systémem rovnosti:
Na základě výrazu (8.20) impulsní odezva takového filtru
Symetrie grafu této funkce vzhledem k bodu t = 0 ukazuje, že ideální dolní propust je nerealizovatelná. Tento závěr však vyplývá přímo z Paleyho - Wienerova kritéria. Integrál (8.27) se skutečně liší pro jakoukoli frekvenční odezvu, která mizí na nějakém konečném segmentu frekvenční osy.
Přes nerealizovatelnost ideálního dolnopropustného filtru je tento model úspěšně použit pro přibližný popis vlastností frekvenční filtry za předpokladu, že funkce obsahuje fázový faktor lineárně závislý na frekvenci:
Jak je snadné zkontrolovat, zde je impulsní odezva
Parametr rovný co do velikosti koeficientu strmosti charakteristiky fázově-frekvenční určuje časové zpoždění maxima funkce h (t). Je zřejmé, že čím vyšší hodnota, tím přesněji tento model odráží vlastnosti implementovaného systému.
Akademie Ruska
Katedra fyziky
Přednáška
Přechodové a impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Eagle 2009
Vzdělávací a vzdělávací cíle:
Vysvětlit publiku podstatu přechodových a impulsních charakteristik elektrických obvodů, ukázat vztah mezi charakteristikami, věnovat pozornost aplikaci uvažovaných charakteristik pro analýzu a syntézu EC, zaměřit se na kvalitní přípravu pro praktickou lekce.
Přidělení času přednášky
Úvodní část ………………………………………………… 5 min.
Studijní otázky:
1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů ……………… 15 min.
2. Duhamelovy integrály ………………………………………………… ... 25 min.
3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů. Vztah mezi charakteristikami ………………………………………………….… ... 25 min.
4. Integrály konvoluce ………………………………………………… .15 min.
Závěr ………………………………………………………… 5 min.
1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů
Přechodná odezva obvodu (stejně jako impulzní odezva) se vztahuje k časovým charakteristikám obvodu, to znamená, že vyjadřuje určitý přechodový proces za předem stanovených vlivů a počátečních podmínek.
Pro porovnání elektrických obvodů podle jejich reakce na tyto vlivy je nutné uvést obvody do stejných podmínek. Nejjednodušší a nejpohodlnější jsou nulové počáteční podmínky.
Přechodová odezva obvodu se nazývá poměr řetězové reakce ke skokové akci k velikosti této akce při nulových počátečních podmínkách.
A-priory,
kde je reakce řetězce na krokový efekt;
- velikost skokového efektu [B] nebo [A].
Vzhledem k tomu, že je děleno velikostí nárazu (toto je skutečné číslo), pak ve skutečnosti - reakce řetězce na jednokrokovou akci.
Pokud je známa přechodová charakteristika obvodu (nebo ji lze vypočítat), pak ze vzorce lze najít reakci tohoto obvodu na skokovou akci při nule NL
.
Vytvořme spojení mezi přenosovou funkcí operátoru řetězce, která je často známá (nebo ji lze nalézt), a přechodovou odezvou tohoto řetězce. K tomu používáme zavedený koncept funkce operátorského přenosu:
.
Poměr Laplaceovy transformované řetězové reakce k velikosti účinku je operátorovou přechodnou charakteristikou řetězce:
Proto .
Odtud se zjistí operátorová přechodná odezva obvodu z hlediska funkce operátorského přenosu.
K určení přechodové odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
pomocí korespondenční tabulky nebo (předběžné) dekompoziční věty.
Příklad: Určete přechodovou odezvu pro napěťovou odezvu přes kapacitu v sériovém obvodu (obr. 1):
Zde je reakce na postupnou akci podle velikosti:
,
odkud přechodná odezva:
.
Přechodové charakteristiky nejběžnějších obvodů jsou uvedeny a uvedeny v referenční literatuře.
2. Duhamelovy integrály
Přechodná reakce se často používá k nalezení reakce řetězce na komplexní podnět. Pojďme vytvořit tyto vztahy.
Shodněme se, že akce je spojitá funkce a je přiváděna do obvodu v okamžiku času a počáteční podmínky jsou nulové.
Daný dopad může být reprezentován jako součet postupných akcí aplikovaných na obvod v daném okamžiku a nekonečně velkého počtu nekonečně malých krokových akcí, které na sebe plynule navazují. Jedna z těchto základních akcí odpovídající okamžiku aplikace je znázorněna na obrázku 2.
Pojďme najít hodnotu reakce řetězce v určitém časovém okamžiku.
Postupná akce s poklesem v časovém okamžiku způsobí reakci rovnou součinu poklesu o hodnotu přechodové charakteristiky obvodu při, tedy rovné:
Nekonečně malý stupňovitý efekt s kapkou způsobí nekonečně malou reakci 
, kde je čas, který uplynul od okamžiku aplikace vlivu do okamžiku pozorování. Protože podle podmínky je funkce spojitá, pak:
V souladu s principem superpozice bude reakce rovna součtu reakcí vyvolaných množinou vlivů předcházejících okamžiku pozorování, tzn.
.
Obvykle se v posledním vzorci jednoduše nahrazují, protože nalezený vzorec je správný pro jakoukoli časovou hodnotu:
.
Nebo po několika jednoduchých transformacích:
.
Jakýkoli z těchto poměrů řeší problém výpočtu reakce lineárního elektrického obvodu na danou spojitou akci pomocí známé přechodové charakteristiky obvodu. Tyto vztahy se nazývají Duhamelovy integrály.
3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Impulsní odezva obvodu se nazývá poměr reakce řetězce k impulsní akci k oblasti této akce při nulových počátečních podmínkách.
A-priory,
kde je reakce obvodu na impulsní akci;
- oblast impulsu nárazu.
Podle známé impulsní odezvy obvodu můžete zjistit odezvu obvodu na danou akci: 
.
Jako akční funkce se často používá jediná impulsní akce, nazývaná také delta funkce nebo Diracova funkce.
Delta funkce je funkce rovna nule všude kromě a její plocha je rovna jedné ():
.
Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulzu s výškou a trváním, když (obr. 3):
Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.
A-priory:
.
Je-li dopad (původní) uvažován pro nejobecnější případ ve formě součinu plochy impulsu funkcí delta, tedy ve tvaru, pak má obraz tohoto nárazu podle korespondenční tabulky tvar:
.
Na druhé straně je poměr Laplaceovy transformované řetězové reakce k velikosti oblasti nárazového impulsu impulsní odezvou operátora v obvodu:
.
Proto, .
K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
To je ve skutečnosti.
Shrneme-li vzorce, získáme vztah mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovými přechodovými a impulsními charakteristikami obvodu:
Když tedy znáte jednu z charakteristik řetězu, můžete určit další.
Udělejme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části.
Pak budeme mít.
Protože se jedná o obraz derivace přechodné odezvy, lze původní rovnost přepsat jako:
Přechodem do oblasti originálů získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu podle jeho známé přechodové odezvy:
Pokud, tak.
Inverzní vztah mezi těmito charakteristikami je následující:
.
Pomocí přenosové funkce je snadné zjistit přítomnost termínu ve funkci.
Pokud jsou stupně čitatele a jmenovatele stejné, bude uvažovaný výraz přítomen. Pokud je funkcí pravidelný zlomek, pak tento výraz nebude existovat.
Příklad: Určete impulsní charakteristiky pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.
Pojďme definovat:
Pojďme k originálu podle srovnávací tabulky:
.
Graf této funkce je na obrázku 5.
Rýže. 5
Přenosová funkce:
Podle srovnávací tabulky máme:
.
Graf výsledné funkce je na obrázku 6.
Poukazujeme na to, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů vytvářejících spojení mezi a.
Impulzní odezva ve svém fyzikálním významu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna podmínka:
4. Integrály konvoluce (překryvy)
Zvažte postup pro stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní efekt, pokud je známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.
Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém časovém okamžiku. Při řešení tohoto problému znázorňujeme dopad jako součet pravoúhlých impulsů nekonečně krátkého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému okamžiku, je znázorněn na obrázku 7. Tento impuls je charakterizován svou dobou trvání a výškou.
Z dříve uvažovaného materiálu je známo, že odezvu obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti působení impulsu. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce způsobená touto impulsní akcí v okamžiku času rovna:
protože plocha pulsu je stejná a čas plyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.
Pomocí principu superpozice lze celkovou odezvu obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých složek způsobených sekvencí impulsních vlivů nekonečně malých ploch, předcházejících časovému okamžiku.
Tím pádem:
.
Tento vzorec je platný pro libovolnou hodnotu, proto se proměnná obvykle označuje jednoduše. Pak:
.
Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo superpoziční integrál. Funkce, která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a.
Jiný tvar konvolučního integrálu můžete najít, pokud změníte proměnné ve výsledném výrazu na:
.
Příklad: najděte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstupu působí exponenciální puls ve tvaru:
Použijme konvoluční integrál:
.
Výraz pro 
byla přijata dříve.
Proto, 
, a 
.
Stejný výsledek lze získat pomocí Duhamelova integrálu.
Literatura:
Beletskiy A.F. Teorie lineárních elektrických obvodů. - M .: Rádio a komunikace, 1986. (učebnice)
Bakalov VP aj. Teorie elektrických obvodů. - M .: Rozhlas a komunikace, 1998. (učebnice);
Kachanov NS a další Lineární radiotechnická zařízení. M .: Vojenství. publ., 1974. (Učebnice);
Popov V.P. Základy teorie obvodů - M .: Vyšší škola, 2000. (učebnice)
Přechodová odezva se používá k výpočtu odezvy lineárního elektrického obvodu, když je na jeho vstup přiveden impuls. 
volná forma. V tomto případě vstupní impuls 
aproximovat souborem kroků a určit reakci řetězce na každý krok a poté najít integrální obvod 
jako součet odezev na každou složku vstupního impulsu 
.
Přechodná odezva nebo přechodná funkce 
řetězy -
jde o jeho zobecněnou charakteristiku, což je časová funkce, která se číselně rovná odezvě obvodu na jediný skok napětí nebo proudu na jeho vstupu, s nulovými počátečními podmínkami (obr. 13.11);
|
|
jinými slovy, toto je odezva obvodu bez počáteční dodávky energie na funkci 
u vchodu.
Exprese přechodné odezvy
závisí pouze na vnitřní struktuře a hodnotách parametrů prvků obvodu.
Z definice přechodové charakteristiky obvodu vyplývá, že se vstupní akcí 
řetězová reakce 
(obr.13.11).
Příklad. Nechte obvod připojit ke zdroji konstantního napětí 
... Pak bude mít vstupní akce tvar, reakci obvodu - a přechodovou napěťovou charakteristiku obvodu - 
... Na 
.
Násobení řetězové reakce 
za funkci 
nebo 
znamená, že přechodová funkce
na 
a 
na 
který odráží princip kauzality
v lineárních elektrických obvodech, tzn. odezva (na výstupu obvodu) se nemůže objevit před okamžikem, kdy je signál přiveden na vstup obvodu.
Typy přechodových charakteristik.
Existují následující typy přechodných reakcí:
|
|
- napěťová přechodová odezva obvodu; |
|
|
- přechodovou charakteristiku obvodu z hlediska proudu; |
|
|
- přechodový odpor obvodu, Ohm; |
|
|
- přechodová vodivost obvodu, Cm, |
(13.5)
kde 
- úrovně vstupního krokového signálu.
Přechodná funkce 
pro jakoukoli pasivní dvouterminálovou síť lze nalézt klasickou nebo operátorskou metodou.
Výpočet přechodové odezvy klasickou metodou. Příklad.
Příklad. Vypočteme napěťovou přechodovou odezvu pro obvod (obr.13.12, A) s parametry.
|
|
Řešení
Použijeme výsledek získaný v části 11.4. Podle výrazu (11.20) napětí na indukčnosti
kde 
.
Provedeme škálování podle výrazu (13.5) a konstrukce funkce 
(obr.13.12, b):
.
Výpočet přechodové odezvy operátorovou metodou
Složitý ekvivalentní obvod původního obvodu bude mít podobu na Obr. 13.13.
|
|
Funkce přenosu napětí tohoto obvodu je:
kde 
.
Na 
, tj. na 
, obraz 
, a obrázek napětí na cívce 
.
V tomto případě originál 
snímky 
je napěťová přechodná funkce obvodu, tzn.
nebo v obecný pohled:
,
(13.6)
ty. přechodná funkce
obvodu se rovná inverzní Laplaceově transformaci jeho přenosové funkce
vynásobený obrazem skoku jednotky
.
V uvažovaném příkladu (viz obr.13.12) funkce přenosu napětí:
kde 
a funkce 
má formu.
Poznámka
.
Pokud je na vstup obvodu přivedeno napětí 
, pak ve vzorci přechodové funkce 
čas 
musí být nahrazeno výrazem 
... V uvažovaném příkladu má funkce zpožděného přenosu napětí tvar:
závěry
Přechodná odezva byla zavedena především ze dvou důvodů.
1. Jednokroková akce 
- křečovitý, a proto poměrně silný vnější vliv na jakýkoli systém nebo okruh. Proto je důležité znát reakci systému nebo řetězce přesně pod takovou akcí, tzn. přechodná odezva 
.
2. Se známou přechodnou odezvou 
pomocí Duhamelova integrálu (viz podsekce 13.4, 13.5 níže) můžete určit odezvu systému nebo řetězce na jakoukoli formu vnějších vlivů.
Odnoklassniki: Registrace a vytvoření profilu
E je. E (funkce E). Výrazy z hlediska goniometrických funkcí
Sociální sítě Ruska Nyní v sociálních sítích