Algoritmus digitálního filtrování. Algoritmy pro digitální filtrování signálů na základě teorie fuzzy množin dmitrij anatolevič titov. Inteligentní automatizace v kurzech a diplomových projektech

Státní polytechnická univerzita v Petrohradě

Fakulta technické kybernetiky

Katedra automatizace a počítačové techniky

ZPRÁVA

pro laboratorní práce č. 3

Výzkum opakujících se algoritmů digitálního filtrování

signály metodou zprůměrování.

Vyplnil student gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Zkontroloval: V.D. Yarmiychuk

Petrohrad

1. Cíle práce

Účelem práce je seznámit se s různými algoritmy pro digitální filtrování signálů průměrovací metodou a studovat efektivitu jejich práce v podmínkách, kdy je na užitečný signál uvalen šum typu „bílý šum“ s nulovým matematickým očekáváním a

řízená disperze.

2. Metodika výzkumu

Prověřují se filtry založené na následujících algoritmech:

1). Opakující se průměrující algoritmus s nekonečnou pamětí.

Účelem filtru je izolovat konstantní složku užitečného signálu na pozadí rušení.

Výraz pro něj v opakující se formě:

Když poskytne .

2). Opakující se průměrující algoritmus s konstantním korekčním faktorem.

Účelem filtru je izolovat nízkofrekvenční složky vstupního užitečného signálu na pozadí šumu.

Pokud souhlasíte, můžete tuto rovnici napsat ve tvaru:

Odtud při přechodu do souvislého času získáme přenosovou funkci filtru:

To znamená, že filtr vytvořený podle tohoto algoritmu pro malé hodnoty je ekvivalentní

analogový nízkoprůchodový filtr prvního řádu.

3). Opakující se algoritmus průměrování konečné paměti.

Účelem filtru je zvýraznit nízkofrekvenční složky vstupního signálu

pomocí průměrování pouze omezeného počtu svých nejnovějších měření.

Účinnost digitálního filtrování, tj. Míra snížení úrovně hluku na výstupu filtru ve srovnání s úrovní hluku na vstupu, bude odhadnuta následovně:

Kde: - hlučný signál na vstupu filtru

Užitečný signál na vstupu filtru

Výstupní signál filtru

Užitečný signál na výstupu filtru

3. Schéma experimentu (viz dodatek 1)

4. Experimentální výsledky

4.1. Opakující se průměrující algoritmus s nekonečnou pamětí

Studie byly prováděny s konstantní periodou vzorkování rovnající se 100 ms.

Zvažte, jak se účinnost filtru mění z velikosti konstantního vstupního signálu (X).

LABORATORNÍ PRÁCE

ALGORITHMY FILTRACE SIGNÁLUV systému řízení procesů

Cílová. Seznámení s algoritmy pro filtrování naměřených náhodných signálů, nejběžnějších v systému řízení procesů, provádění srovnávací analýzy jejich přesnosti a implementačních funkcí v počítači.

Cvičení

1) pro dané charakteristiky náhodných signálů vypočítejte optimální parametry filtru,

2) simulovat filtrační systém na počítači a vypočítat filtrační chybu pro každou z uvažovaných metod,

3) provést srovnávací analýzu účinnosti uvažovaných algoritmů.

Základní ustanovení. 1 Prohlášení o problému optimální filtrace. Signály z měřicích zařízení často obsahují náhodnou chybu - interference. Úkolem filtrování je oddělit užitečnou složku signálu od rušení na jeden nebo druhý stupeň. Užitný signál a interference jsou zpravidla považovány za stacionární náhodné procesy, pro které jsou známy jejich statistické charakteristiky: matematické očekávání, rozptyl, korelační funkce, spektrální hustota. Při znalosti těchto charakteristik je nutné najít filtr ve třídě lineárních dynamických systémů nebo v užší třídě lineárních systémů s danou strukturou tak, aby se signál na výstupu filtru co nejméně lišil od užitečného signálu.

Obr. 1. Na prohlášení o problému s filtrací

Pojďme si představit notaci a přesněji formulovat problém filtrace. Nechejte vstup filtru s impulzní odezvou Na(t) a odpovídající (kvůli Fourierově transformaci) 0

AFKh W(iω) jsou přijímány užitečné signály X(t) a rušení, které s ním nesouvisí z(t) (Obr. 1). Korelační funkce a spektrální hustoty užitečného signálu a interference jsou označeny R. X (t), S X (t), R. z (t) a S z (t) ... Je nutné najít charakteristiky filtru k (t) nebo W (t) tak, aby efektivní hodnota rozdílu ε mezi signálem na výstupu filtru a užitečným signálem x byl minimální. Pokud je charakteristika filtru známá s přesností na jeden nebo několik parametrů, musí být zvoleny optimální hodnoty těchto parametrů.

Chyba ε obsahuje dvě složky. První ( ε 1 ) je způsobeno skutečností, že určitá část hluku bude stále procházet filtrem a druhá ( ε 2 ) - aby se tvar užitečného signálu při průchodu filtrem změnil. Stanovení optimální charakteristiky filtru je tedy hledáním kompromisního řešení, které minimalizuje celkovou chybu.

Představme frekvenční odezvu filtru ve tvaru:

W (iω) = A (ω) exp.

Pomocí vzorců spojujících spektrální hustoty náhodných procesů na vstupu a výstupu lineárního systému s jeho frekvenční odezvou vypočítáme spektrální hustoty každé z chybových složek.

Za chybu spojenou s přeskočením hluku získáme

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektrální hustota chyby související se zkreslením užitečného signálu je

S ε2 (ω) = S X (ω )|1 – W(iω)| 2

Součet těchto složek S ε má spektrální hustotu

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Vezmeme-li v úvahu, že

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A. 2 (ω ) hřích 2 F(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S X (ω) A 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Střední kvadratická chyba souvisí se spektrální hustotou výrazu

Minimalizací S ε (ω ) na F(ω) a A (ω), dojdeme k rovnicím

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Nalezené charakteristiky optimálního filtru odpovídají hustotě spektrálních chyb

Minimální odmocnina střední odmocniny

(3)

Nalezený filtr bohužel není realizovatelný, protože podmínka rovnosti na nulu na všech frekvencích fázově frekvenční odezvy znamená, že impulsní odezva filtru je rovnoměrná funkce, je nenulová nejen pro t>0 , ale také na t(Obrázek 2, a).

Pro jakýkoli fyzicky realizovatelný filtr platí následující požadavek: Na(t) = 0 na t (obr. 2, b). Tento požadavek by měl být zaveden do prohlášení o problému. Přirozeně, dosažitelná chyba σ současně by se zvýšil. Problém optimálního filtrování s přihlédnutím k fyzické proveditelnosti byl vyřešen.

Rýže. 2. Impulsní charakteristika nerealizovatelných (a) a realizovatelných (b) filtrů

Rýže. 3. Spektrální hustoty užitečného signáluS X (ω) a hlukS z (ω) a amplitudově-frekvenční charakteristika optimálního filtru A * (ω) s nepřekrývajícím se (a) a překrývajícím se (b)S X (ω) aS z (ω)

N. Wiener. Jeho řešení je mnohem komplikovanější než řešení uvedené výše, proto v této práci budeme hledat fyzicky realizovatelné filtry pouze ve třídě filtrů, jejichž charakteristiky jsou specifikovány přesně na hodnoty parametrů. Množství vypočtené podle vzorce (3) může sloužit jako nižší odhad dosažitelné chyby filtrování.

Fyzický význam vztahu (2, b) je znázorněn na obr. 3. Pokud se spektra užitečného signálu a interference nepřekrývají, pak A (ω) by měla být rovna nule, kde je spektrální hustota interference odlišná od nuly, a rovna jedné pro všechny frekvence, při kterých S X (ω)>0 ... Na obr. 3, b ukazuje znak A * (ω) v případě, že se spektrální hustoty signálu a interference navzájem překrývají.

Mezi filtry s danou strukturou jsou nejrozšířenější filtry založené na operaci klouzavého průměru, dále exponenciální filtr a takzvaný statistický filtr nulového řádu. Exponenciální filtr je neperiodický filtr prvního řádu a statistický filtr nulového řádu je zesilovací článek. Zvažme každý ze zmíněných filtrů podrobněji.

Filtr klouzavého průměru. Výstup filtru souvisí s jeho vstupem poměrem

Impulsní přechodová funkce filtru je znázorněna na obr. 4, a. Frekvenční charakteristiky jsou stejné

Impulsní odezvu lze vyjádřit pomocí funkce Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Nastavitelné parametry filtru jsou zisk k a paměť T.

Exponenciální filtr(Obr. 4, b). Výstupní signál je určen diferenciální rovnicí

y/ γ + y = kg

Impulsní odezva je:

Frekvenční charakteristiky

Parametry filtru jsou zisk k a časová konstanta inverzní k γ .

Rýže. 4. Impulsní přechodové funkcek(t) a amplitudově -frekvenční charakteristiky А (ω) typických filtrů: а - aktuální průměr; b - exponenciální; c) statický nulový řád

Statistický filtr nulového řádu. Tento filtr, jak je uvedeno výše, je zesilovacím článkem. Jeho vlastnosti

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; F(ω) = 0

Hmotnost uvedených filtrů neumožňuje dosáhnout ideálního filtrování ani při nesouvislých spektrech signálu a rušení. Minimalizujte chybu σ ε můžete vybrat parametry k, T, γ... To vyžaduje vlastnosti filtru A (ω) a F(ω) jako funkci frekvence a parametrů nahraďte ve vzorci (1), vezměte integrál výsledného výrazu, který bude funkcí parametrů filtru, a najděte minimum tohoto integrálu nad parametry.

Například pro statistický filtr Coulombova řádu bude mít spektrální hustota chyby tvar:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S X ω (1 – k 2 )

Integrální S ε se rovná rozptylu interference vynásobenému π ... Dostaneme

Vezměme v úvahu, že integrály na pravé straně této rovnosti se rovnají odchylkám užitečného signálu a šumu, takže

Podmínka minima tohoto výrazu s ohledem na k vede k rovnosti

Po dosazení nalezené hodnoty k do výrazu pro odchylku chyby dostaneme:

Filtry aktuálního průměru a exponenciálu mají každý dva nastavitelné parametry a jejich optimální hodnoty nelze tak snadno vyjádřit pomocí charakteristik užitečného signálu a šumu, ale tyto hodnoty lze zjistit numerickými metodami pro nalezení minimum funkce ve dvou proměnných.

Obr. 5 Blokové schéma počítačové simulace systému filtrování náhodných signálů

2. Popis simulovaného systému. Práce se provádí modelováním systému sestávajícího z následujících bloků na počítači (obr. 5).

1. Generátor vstupního signálu I, včetně generátoru náhodných signálů (GSS) a dvou tvarovacích filtrů se specifikovanými charakteristikami W X (iω) a W z (iω) , na jehož výstupu je přijímán užitečný signál X(t) a překážka z(t) ... Mezi generátorem náhodného signálu a tvarovacím filtrem W z zahrnoval zpožďovací spoj A, poskytující posun o dva až tři hodinové cykly. V tomto případě jsou vstup filtru, který tvoří interferenci, a vstup filtru, který tvoří užitečný signál, navzájem nekorelovaný.

2. Blok pro výpočet korelačních funkcí
.

3. Filtrační jednotka (II), včetně skutečného filtru
a blok pro výpočet chyby filtrování
.

Užitečný signál generovaný v systému X(t) a překážka z(t) jsou stacionární náhodné procesy, jejichž korelační funkce lze přibližně aproximovat pomocí exponentů formuláře (obr. 6)

(6)

kde

Odhady rozptylu signálu a vypočteno pomocí bloku (při τ = 0); parametry α a α z nastavuje učitel.

3. Diskrétní implementace kontinuálních filtrů. Používáme diskrétní implementace kontinuálních filtrů popsaných výše. Krok diskrétnosti t Ó trvat podstatně méně, než je doba rozpadu korelačních funkcí užitečného signálu a šumu. Výše uvedené výrazy (1) pro výpočet σ ε prostřednictvím spektrálních charakteristik vstupního signálu a šumu lze proto použít v diskrétním případě.

Pojďme nejprve najít diskrétní analogy filtrů, které tvoří náhodné procesy s korelačními funkcemi ze signálu přijímaného z GSS (6). Spektrální hustoty odpovídající těmto korelačním funkcím mají formu

(7)

Přenosové funkce tvarovacích filtrů pro případ, kdy je rozptyl signálu na výstupu GSS roven jedné, jsou

Není těžké to vidět

Pokud je signál na vstupu každého z tvarovacích filtrů označen ξ , pak mají tvar diferenciální rovnice odpovídající výše uvedeným přenosovým funkcím

Odpovídající rozdílové analogy budou zapsány ve formě;

Algoritmus filtru, který tvoří užitečný signál, má tedy formu:

(8a)

Stejně tak pro filtr tvarující hluk

(8b)

Analogy kontinuálních filtrů určených k izolaci rušení jsou následující:

pro filtr klouzavého průměru

(9)

kde hodnota l vyberte si z podmínky (l + 1) t Ó = T;

pro exponenciální filtr

(10)

pro statistický filtr nulového řádu

na já = kg já (11)

Exekuční příkaz. 1. Vytvořte a odlaďte podprogramy bloku pro filtrování aktuálních informací a výpočet chyb filtrování.

2. Získejte realizace náhodných procesů na výstupu tvarovacích filtrů a použijte je k nalezení odhadů odchylek užitečného signálu a šumu a také korelačních funkcí R. X (τ) a R. z (τ) ... Přibližně určit α NS a α z a porovnat s vypočítanými.

3. Vypočítejte podle S X (ω) a S z (ω) analyticky nebo na dolní hranici počítače pro chybu filtrování efektivní hodnoty.

4. Pomocí vzorce (4) najděte optimální zisk statistického filtru nulového řádu a odpovídající hodnotu který je srovnáván s.

5. Používám jednu ze známých metod hledání minima funkce dvou proměnných a předem zkompilovaného programu k nalezení optimálních parametrů klouzavého průměru a exponenciálních filtrů a kořenových průměrných chyb filtrování. V tomto případě konkrétní kombinace parametrů filtru odpovídá hustotě spektrálních chyb S ε (ω) definovaný vzorcem (1), a z něj najděte hodnotu po numerické integraci.

6. Zadejte program filtrování do počítače, experimentálně určete chybu odmocniny pro optimální a neoptimální parametry filtru, porovnejte výsledky s vypočítanými.

7. Proveďte srovnávací analýzu účinnosti různých filtračních algoritmů pro následující ukazatele: a) minimální dosažitelná chyba odmocniny; b) požadovaný objem paměť s náhodným přístupem; c) doba počítání počítače.

Zpráva by měla obsahovat: 1) blokové schéma systému (viz obr. 5);

2) podprogramy tvarovacích a syntetizovaných filtrů;

3) výpočet optimálních parametrů filtrů a odpovídajících hodnot chyby odmocniny;

4) výsledky analýzy uvažovaných algoritmů a závěrů.

Stánek 6.2. Vytvoření projektu 6.3. Studie APCS na školení laboratoř... jisté cíle jejich činnosti. Cílečinnosti ...

Jméno Příjmení "" 20 g

Dokument

Režim práce);. … […) [Název režimu práce] ... podle laboratoř analýzy; 5) ... požadavky na APCS... Technologické procesy ... zpracování a analýza informací ( signály, zprávy, dokumenty atd ... algoritmy filtrace a algoritmy eliminovat hluk z cíl ...

Inteligentní automatizace v kurzech a diplomových projektech

abstraktní

Drát. cílová... produkt ... signál HART pro integraci do systémů APCS ... filtrace existují různé typy prachových senzorů. DT400G funguje ... algoritmus... chemický průmysl. Technické prostředky a laboratoř práce/ G.I. Lapshenkov, L.M. ...

Pracovní program disciplíny „automatizace technologických procesů“

Pracovní program

... CÍLE A CÍLE UČENÍ SE DISCIPLINE Účel... hlavní součásti APCS- ovladače ... pohledy signály c ... opravy chyb, filtrace zprávy, ... algoritmy a programy, diskuse, výkon kontroly funguje. Laboratoř třídy. Laboratoř ...

Fyzicky proveditelné digitální filtry, které fungují v reálném čase, mohou k generování výstupního signálu v diskrétním časovém čase použít následující data: a) hodnotu vstupního signálu v okamžiku vzorkování, jakož i určitý počet " minulé "vstupní vzorky určitý počet předchozích vzorků výstupních signálů Celá čísla typu určuje pořadí CF. Klasifikace CF se provádí různými způsoby v závislosti na tom, jak se používají informace o minulých stavech systému.

Příčné CF.

Toto je název pro filtry, které fungují v souladu s algoritmem.

kde je posloupnost koeficientů.

Číslo je pořadí příčného digitálního filtru. Jak je patrné ze vzorce (15.58), příčný filtr provádí vážené součty předchozích vzorků vstupního signálu a nepoužívá předchozí vzorky výstupního signálu. Aplikujeme-li transformaci z na obě strany výrazu (15.58), zajistíme to

Z toho vyplývá, že systém funguje

je zlomková racionální funkce z, mající více pólů na a nuly, jejichž souřadnice jsou určeny koeficienty filtru.

Algoritmus pro fungování příčného DF je znázorněn blokovým diagramem znázorněným na obr. 15.7.

Rýže. 15.7. Schéma pro konstrukci příčného DF

Hlavními prvky filtru jsou bloky zpoždění vzorkových hodnot pro jeden vzorkovací interval (obdélníky se symboly), stejně jako bloky měřítka, které provádějí digitální násobení odpovídajícími koeficienty. Z výstupů bloků stupnice přecházejí signály do sčítače, kde po sečtení tvoří vzorek výstupního signálu.

Forma zde uvedeného diagramu vysvětluje význam pojmu „příčný filtr“ (z angličtiny transverse - transverse).

Softwarová implementace příčného DF.

Je třeba mít na paměti, že blokové schéma znázorněné na obr. 15.7 není schematický diagram elektrický obvod, ale slouží pouze grafický obrázek algoritmus zpracování signálu. Pomocí prostředků jazyka FORTRAN uvažujme o fragmentu programu, který implementuje příčné digitální filtrování.

Nechte v paměti RAM počítače vytvořit dvě jednorozměrná pole M buněk: pole se jménem X, do kterého se ukládají hodnoty vstupního signálu, a pole se jménem A obsahující hodnoty koeficienty filtrování.

Obsah buněk v poli X se mění pokaždé, když je přijat nový vzorek vstupního signálu.

Předpokládejme, že toto pole je naplněno předchozími vzorky vstupní sekvence, a vezměte v úvahu situaci, která nastává v okamžiku příchodu dalšího vzorku, který má v programu název S. Tento vzorek by měl být umístěn do čísla buňky 1, ale až po předchozím záznamu je jedna pozice napravo, tedy směrem k zaostávající straně.

Takto vytvořené prvky pole X se čas od času násobí prvky pole A a výsledek se vloží do buňky s názvem Y, kde se akumuluje ukázková hodnota výstupního signálu. Níže je uveden text programu transverzálního digitálního filtrování:

Impulsní reakce. Vraťme se k vzorci (15.59) a vypočítáme impulsní odezvu transverzálního digitálního filtru provedením inverzní z transformace. Je snadné vidět, že každý člen funkce představuje příspěvek rovný odpovídajícímu koeficientu posunutému o polohy směrem ke zpoždění. Tak tady

K tomuto závěru lze dojít přímo s ohledem na blokové schéma filtru (viz obr. 15.7) a za předpokladu, že na jeho vstup je přiváděn „jeden puls“.

Je důležité si uvědomit, že impulsní odezva příčného filtru obsahuje konečný počet členů.

Frekvenční odezva.

Změníme -li proměnnou ve vzorci (15,59), pak dostaneme koeficient přenosu frekvence

S daným vzorkovacím krokem A lze vhodným výběrem závaží filtru realizovat širokou škálu forem frekvenční odezvy.

Příklad 15.4. Prozkoumejte frekvenční charakteristiky příčného digitálního filtru druhého řádu, který průměruje aktuální hodnotu vstupního signálu a dvou předchozích vzorků podle vzorce

Systémová funkce tohoto filtru

Rýže. 15.8. Frekvenční charakteristiky příčného DF z příkladu 15.4: a - frekvenční odezva; b - PFC

odkud najdeme koeficient přenosu frekvence

Elementární transformace vedou k následujícím výrazům pro frekvenční charakteristiku ve fázové odezvě tohoto systému:

Odpovídající grafy jsou znázorněny na obr. 15.8, a, b, kde je hodnota vynesena podél horizontálních os - fázový úhel vzorkovacího intervalu při aktuální hodnotě frekvence.

Předpokládejme například, že existuje šest vzorků na jednu periodu oscilace harmonického vstupu. V tomto případě bude mít vstupní sekvence tvar

(na absolutních hodnotách vzorků nezáleží, protože filtr je lineární). Pomocí algoritmu (15,62) najdeme výstupní sekvenci:

Je vidět, že mu odpovídá harmonický výstupní signál stejné frekvence jako na vstupu, s amplitudou rovnou amplitudě vstupního kmitání a s počáteční fází posunutou o 60 ° směrem ke zpoždění.

Rekurzivní DF.

Tento druh digitální filtry je charakterizována skutečností, že pro vytvoření počtu výstupů jsou použity předchozí hodnoty nejen vstupních a výstupních signálů:

(15.63)

a koeficienty, které určují rekurzivní část filtračního algoritmu, se současně nerovná nule. Aby se zdůraznil rozdíl mezi strukturami těchto dvou typů digitálních filtrů, nazývají se příčné filtry také rekurzivní filtry.

Systémová funkce rekurzivní digitální funkce.

Provedením z-transformace obou stran relace rekurence (15,63) zjistíme, že systém funguje

popisující frekvenční vlastnosti rekurzivního CF, má póly v rovině z. Pokud jsou koeficienty rekurzivní části algoritmu reálné, pak tyto póly buď leží na skutečné ose, nebo tvoří komplexní konjugované páry.

Strukturální diagram rekurzivního digitálního filtru.

Na obr. 15.9 ukazuje diagram algoritmu výpočtů prováděných podle vzorce (15.63). Nejlepší část strukturální diagram odpovídá příčné (nerekurzivní) části algoritmu filtrování. Pro jeho implementaci jsou v obecném případě vyžadovány bloky ve velkém měřítku (operace násobení) a paměťové buňky, ve kterých jsou uloženy vstupní vzorky.

Spodní část blokového diagramu odpovídá rekurzivní části algoritmu. Používá po sobě jdoucí výstupní hodnoty, které se během operace filtru přesouvají z buňky do buňky.

Rýže. 15.9. Strukturální diagram rekurzivního digitálního filtru

Rýže. 15.10. Strukturální diagram kanonického rekurzivního DF 2. řádu

Nevýhodou tohoto principu implementace je potřeba velkého počtu paměťových buněk, samostatně pro rekurzivní a nerekurzivní části. Dokonalejší jsou kanonická schémata rekurzivních digitálních funkcí, ve kterých se používá minimální možný počet paměťových buněk, který se rovná největšímu z těchto čísel. Obr. 15.10 ukazuje blokové schéma kanonického rekurzivního filtru druhého řádu, které odpovídá funkci systému

Abyste se ujistili, že tento systém implementuje danou funkci, zvažte pomocnou funkci diskrétní signál na výstupu sčítačky 1 a zapište dvě zřejmé rovnice:

(15.67)

Provedením -transformace rovnice (15,66) to zjistíme

Na druhou stranu v souladu s výrazem (15,67)

Sloučením vztahů (15,68) a (15,69) dojdeme k dané funkci systému (15,65).

Stabilita rekurzivních digitálních funkcí.

Rekurzivní digitální funkce je diskrétním analogem systému dynamické zpětné vazby, protože hodnoty jejích předchozích stavů jsou uloženy v paměťových buňkách. Pokud jsou dány nějaké počáteční podmínky, tj. Sada hodnot, pak při absenci vstupního signálu vytvoří filtr prvky nekonečné posloupnosti, která hraje roli volných oscilací.

Digitální filtr se nazývá stabilní, pokud v něm vznikající volný proces je nerostoucí posloupnost, tj. Hodnoty v nepřesahují nějaké kladné číslo M, bez ohledu na volbu počátečních podmínek.

Volné kmity v rekurzivní digitální funkci založené na algoritmu (15,63) jsou řešením lineární diferenční rovnice

Analogicky s principem řešení lineárního diferenciální rovnice budeme hledat řešení (15,70) ve formě exponenciální funkce

se stále neznámou hodnotou. Dosazením (15,71) do (15,70) a zrušením společným faktorem vidíme, že a je kořen charakteristické rovnice

Na základě (15.64) se tato rovnice přesně shoduje s rovnicí, kterou splňují póly systémové funkce rekurzivního CF.

Nechť je nalezen kořenový systém rovnice (15,72). Potom obecné řešení rozdílové rovnice (15,70) bude mít tvar

Koeficienty by měly být zvoleny tak, aby byly splněny počáteční podmínky.

Pokud všechny póly systémové funkce, tj. Čísla nepřekračují jeden v absolutní hodnotě, jsou umístěny uvnitř jednotkové kružnice se středem v bodě, pak na základě (15,73) bude jakýkoli volný proces v CF popsán výrazy klesajících geometrických průběhů a filtr bude stabilní. Je jasné, že prakticky lze použít pouze stabilní digitální filtry.

Příklad 15.5. Prozkoumejte stabilitu rekurzivního digitálního filtru 2. řádu se systémovou funkcí

Charakteristická rovnice

má kořeny

Křivka popsaná rovnicí v rovině koeficientu je hranicí, nad kterou jsou póly systémové funkce skutečné a pod kterými jsou komplexně sdružené.

V případě komplexních konjugovaných pólů je tedy jednou z hranic oblasti stability přímka 1.

Rýže. 15.11. Oblast stability rekurzivního filtru 2. řádu (póly filtru jsou komplexně sdružené v oblasti označené barvou)

Když vezmeme v úvahu skutečné póly, máme ve formě podmínku stability

Tento typ digitálních filtrů se vyznačuje tím, že pro formaci já th počet výstupů jsou použity předchozí hodnoty nejen vstupních, ale i výstupních signálů (filtrační algoritmus):

a koeficienty (b (, b 2, ..., b n _ C, definující rekurzivní část filtračního algoritmu, se současně nerovná nule.

Zapíšeme si funkce systému rekurzivní CF. Po dokončení z- transformace obou stran relace rekurence (7.28), zjistíme, že systémová funkce popisující frekvenční vlastnosti rekurzivního CF má tvar

Z tohoto výrazu vyplývá, že systémová funkce rekurzivního CF má na rovině z (t-1) nuly a (NS- 1) póly. Pokud jsou koeficienty rekurzivní části algoritmu reálné, pak póly buď leží na skutečné ose, nebo tvoří komplexní konjugované páry.

Pojďme vypočítat impulzní odezva rekurzivní CF. Charakteristickým rysem, který odlišuje rekurzivní DF od nerekurzivního DF, je to, že je způsoben přítomností zpětná vazba jeho impulzní odezva má formu nekonečně rozšířené sekvence. Proto často rekurzivní filtry se nazývají filtry IIR (Infinite Impulse Response Filters). Ukažme si to na příkladu nejjednoduššího filtru 1. řádu popsaného funkcí systému

Jak víte, impulzní odezvu lze nalézt pomocí inverzní ^ transformace systémové funkce. Pomocí vzorce pro inverzní ^ -transformaci najdeme m -tý člen v posloupnosti }