Přenosová funkce. Impulsní odezva a přenosová funkce Vztah impulzní odezvy a přenosové funkce

K určení impulsní odezvy G(t, τ), kde τ je doba expozice, t- doba výskytu a působení odezvy, nutno použít diferenciální rovnici obvodu přímo podle daných parametrů obvodu.

Analyzovat způsob hledání G(t, τ), zvažte jednoduchý řetězec popsaný rovnicí prvního řádu:

kde F(t) - dopad, y(t) je odpověď.

A-priory, impulsní odezva je odezva obvodu na jeden delta impuls δ ( t-τ) dodávané na vstup v tuto chvíli t= τ. Z této definice vyplývá, že pokud na pravou stranu rovnice dáme F(t)=δ( t-τ), pak vlevo můžete přijmout y(t)=G(t,).

Tím se dostáváme k rovnici

.

Protože pravá část této rovnice se rovná nule všude kromě bodu t= τ, funkce G(t) lze hledat ve formě řešení homogenní diferenciální rovnice:

za počátečních podmínek vyplývajících z předchozí rovnice, jakož i z podmínky, že okamžikem aplikace impulsu δ ( t-τ) v obvodu nejsou žádné proudy a napětí.

Poslední rovnice odděluje proměnné:

kde
- hodnoty impulsní odezvy v době expozice.

D K určení počáteční hodnoty
zpět k původní rovnici. Z toho plyne, že v bod
funkce G(t) musí skočit o 1 / A 1 (τ), protože pouze za této podmínky první člen v původní rovnici A 1 (t)[dg/dt] může tvořit delta funkci δ ( t-τ).

Od v

, pak v tuto chvíli

.

Nahrazením neurčitého integrálu určitým s proměnnou horní hranicí integrace získáme vztahy pro určení impulsní odezvy:

Při znalosti impulsní odezvy je snadné určit přenosovou funkci lineárního parametrického obvodu, protože obě osy jsou spojeny dvojicí Fourierových transformací:

kde A=t-τ - zpoždění signálu. Funkce G 1 (t,A) se získá z funkce
nahrazením τ = t-a.

Spolu s posledním výrazem lze získat další definici přenosové funkce, ve které je impulsní odezva G 1 (t,A) neobjevuje se. K tomu používáme pro odpověď inverzní Fourierovu transformaci S VEN ( t):

.

V případě, že je vstupní signál harmonický, S(t) = cosω 0 t... Odpovídající S(t) analytický signál je
.

Spektrální rovina tohoto signálu

Střídání
namísto
do posledního vzorce, dostaneme

Odtud najdeme:

Tady Z VEN ( t) - analytický signál odpovídající výstupnímu signálu S VEN ( t).

Tedy výstupní signál s harmonickým působením

je definována stejným způsobem jako u jiných lineárních obvodů.

Pokud je funkce přenosu K(jω 0 , t) změny v čase podle periodického zákona se základní frekvencí Ω, pak to může být reprezentováno jako Fourierova řada:

kde
- časově nezávislé koeficienty, v obecném případě komplexní, které lze interpretovat jako přenosové funkce některých dvoubranových sítí s konstantními parametry.

Práce

lze považovat za přenosovou funkci kaskádového (sériového) spojení dvou čtyřportových sítí: jedné s přenosovou funkcí
, nezávislý na čase a druhý s přenosovou funkcí
, která se mění v čase, ale nezávisí na frekvenci ω 0 vstupního signálu.

Na základě posledního výrazu může být jakýkoli parametrický obvod s periodicky se měnícími parametry reprezentován jako následující ekvivalentní obvod:

Kde je jasný proces vzniku nových frekvencí ve spektru výstupního signálu?

Analytický signál na výstupu bude stejný

kde φ 0, φ 1, φ 2 ... jsou fázové charakteristiky dvoubranových sítí.

Přechodem na skutečný signál na výstupu dostaneme

Tento výsledek ukazuje následující vlastnost obvodu s proměnnými parametry: když se přenosová funkce mění podle libovolného složitého, ale periodického zákona se základní frekvencí

Ω,  harmonický vstupní signál s frekvencí ω 0 tvoří na výstupu obvodu spektrum obsahující frekvence ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2Ω atd.

Pokud je na vstup obvodu přiveden komplexní signál, pak vše uvedené výše platí pro každou z frekvencí ω a pro vstupní spektrum. V lineárním parametrickém obvodu samozřejmě nedochází k interakci mezi jednotlivými složkami vstupního spektra (princip superpozice) a frekvencemi tvaru n ω 1 ± mω 2 kde ω 1 a ω 2 jsou různé frekvence vstupního signálu.

2.3 Obecné vlastnosti přenosové funkce.

Kritérium stability pro diskrétní obvod se shoduje s kritériem stability pro analogový obvod: póly přenosové funkce musí být umístěny v levé polorovině komplexní proměnné, což odpovídá poloze pólů v jednotkové kružnici letadlo

Funkce přenosu řetězu obecný pohled je napsáno podle (2.3) takto:

kde jsou v koeficientech a i, b j zohledněna znaménka členů, přičemž b 0 = 1.

Vlastnosti přenosové funkce řetězce obecného tvaru je vhodné formulovat ve formě požadavků na fyzikální realizovatelnost racionální funkce Z: libovolnou racionální funkci Z lze realizovat jako přenosovou funkci stabilního diskrétního řetězce. až do faktoru H 0 ЧH Q, pokud tato funkce splňuje požadavky:

1. koeficienty a i, b j jsou reálná čísla,

2.kořeny rovnice V (Z) = 0, tzn. póly H (Z) jsou umístěny v jednotkové kružnici roviny Z.

Faktor H 0 ЧZ Q zohledňuje konstantní zesílení signálu H 0 a konstantní posun signálu podél časové osy o hodnotu QT.

2.4 Frekvenční charakteristiky.

Komplex funkce přenosu diskrétního obvodu

definuje frekvenční charakteristiky obvodu

Kmitočtová charakteristika, - fázová frekvenční charakteristika.

Na základě (2.6) lze komplex přenosových funkcí obecného tvaru zapsat jako

Proto vzorce pro frekvenční odezvu a fázovou frekvenční odezvu

Frekvenční charakteristiky diskrétního obvodu jsou periodické funkce. Doba opakování je rovna vzorkovací frekvenci w d.

Frekvenční charakteristiky jsou obvykle normalizovány podél frekvenční osy na vzorkovací frekvenci

kde W je normalizovaná frekvence.

Při výpočtech s využitím počítače se normalizace frekvence stává nutností.

Příklad. Určete frekvenční charakteristiky obvodu, jehož přenosovou funkci

H (Z) = a 0 + a 1 ЧZ-1.

Komplex přenosových funkcí: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

s přihlédnutím k frekvenční normalizaci: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Vzorce pro frekvenční odezvu a fázovou odezvu

H (W) =, j (W) = - arctan .

grafy frekvenční odezvy a fázové frekvenční odezvy pro kladné hodnoty a 0 a a 1 za podmínky a 0 > a 1 jsou uvedeny na obr. (2.5, a, b.)

Logaritmická stupnice frekvenční odezvy - útlum A:

; . (2.10)

Nuly přenosové funkce mohou být umístěny v libovolném bodě roviny Z. Pokud jsou nuly umístěny v jednotkovém kruhu, pak frekvenční odezva a charakteristika fázové odezvy takového obvodu souvisí pomocí Hilbertovy transformace a lze je jednoznačně určit pomocí jiný. Takový obvod se nazývá obvod typu s minimální fází. Pokud se mimo jednotkový kruh objeví alespoň jedna nula, pak řetězec patří k řetězci typu nelineární fáze, pro který není Hilbertova transformace použitelná.

2.5 Impulzní odezva. Konvoluce.

Přenosová funkce charakterizuje obvod ve frekvenční oblasti. V časové oblasti je obvod charakterizován impulsní odezvou h (nT). Impulzní odezva diskrétního obvodu je odezvou obvodu na diskrétní d - funkci. Impulsní odezva a přenosová funkce jsou charakteristiky systému a jsou spojeny vzorcem Z-konverze. Impulzní odezvu lze tedy považovat za určitý signál a přenosová funkce H (Z) - Z je obrazem tohoto signálu.

Přenosová funkce je hlavní charakteristikou v návrhu, pokud jsou normy nastaveny vzhledem k frekvenčním charakteristikám systému. V souladu s tím je hlavní charakteristikou impulsní odezva, pokud jsou normy nastaveny v čase.

Impulzní odezvu lze určit přímo z obvodu jako odezvu obvodu na funkci d, nebo řešením diferenční rovnice obvodu za předpokladu x (nT) = d (t).

Příklad. Určete impulsní odezvu obvodu, jehož schéma je na obrázku 2.6, b. Obr.

Diferenční rovnice řetězce y (nT) = 0,4 x (nT-T) - 0,08 y (nT-T).

Řešení diferenční rovnice v číselném tvaru za předpokladu, že x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T) - 0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1 T) - 0,08 y (1 T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; atd. ...

Proto h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Pro stabilní obvod mají počty impulsní odezvy v průběhu času tendenci k nule.

Impulzní odezvu lze určit ze známé přenosové funkce aplikací

A. inverzní Z-transformace,

b. teorém o rozkladu,

proti. lag teorém pro výsledky dělení polynomu čitatele polynomem jmenovatele.

Poslední z uvedených metod se týká numerických metod řešení problému.

Příklad. Určete impulsní odezvu obvodu na obr. (2.6, b) pomocí přenosové funkce.

Zde H (Z) = .

Vydělte čitatele jmenovatelem

Aplikováním teorému o zpoždění na výsledek dělení získáme

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Porovnáním výsledku s výpočty pomocí diferenční rovnice v předchozím příkladu se lze přesvědčit o spolehlivosti výpočtových postupů.

Je navrženo nezávisle určit impulsní odezvu obvodu na obr. (2.6, a), přičemž se postupně použijí obě uvažované metody.

V souladu s definicí přenosové funkce lze Z - obraz signálu na výstupu obvodu definovat jako součin Z - obrazu signálu na vstupu obvodu a přenosové funkce obvodu. :

Y (Z) = X (Z) 0H (Z). (2.11)

Podle konvoluční věty tedy konvoluce vstupního signálu s impulsní odezvou dává signál na výstupu obvodu.

y (nT) = x (kT) Чh (nT - kT) = h (kT) Чx (nT - kT). (2.12)

Určení výstupního signálu pomocí konvolučního vzorce nachází uplatnění nejen ve výpočetních postupech, ale také jako algoritmus pro fungování technických systémů.

Určete signál na výstupu obvodu, jehož schéma je na obr. (2.6, b), je-li x (nT) = (1,0; 0,5).

Zde h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Výpočet podle (2.12)

n = 0: y (OT) = h (OT) x (OT) = 0;

n = 1: y (1 T) = h (OT) x (1 T) + h (1 T) x (OT) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1 T) x (1 T) + h (2T) x (OT) = 0,168;

Tedy y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

V technických systémech se místo lineární konvoluce (2.12) častěji používá kruhová nebo cyklická konvoluce.

Student skupiny 220352 Chernyshev D. A. Reference - zpráva o patentovém a vědeckotechnickém výzkumu Téma závěrečné kvalifikační práce: televizní přijímač s digitálním zpracováním signálu. Začátek hledání 2. 02. 99. Konec hledání 25.03.99 Předmět hledání Země, Index (MKI, NKI) Ne ...

Nosné a amplitudová fázová modulace s jedním postranním pásmem (AFM-SSB). 3. Volba doby trvání a počtu elementárních signálů použitých k vytvoření výstupního signálu ve skutečných komunikačních kanálech pro přenos signálů přes frekvenci omezený kanál je použit signál tvaru, který je však časově nekonečný, takže je vyhlazen podle kosinusového zákona. , kde - ...

Tato dynamická charakteristika se používá k popisu jednokanálových systémů.

s nulovými počátečními podmínkami

Přechodná odezva h (t) je odezva systému na vstupní jednokrokovou akci při nulových počátečních podmínkách.

Okamžik výskytu vstupní akce

Obrázek 2.4. Přechodná odezva systému

Příklad 2.4:

Přechodové charakteristiky pro různé hodnoty aktivního odporu v elektrický obvod:

Chcete-li analyticky určit přechodovou odezvu, musíte vyřešit diferenciální rovnici s nulovými počátečními podmínkami a u(t) = 1 (t).

U reálného systému lze přechodovou odezvu získat experimentálně; v tomto případě by měla být na vstup systému aplikována postupná akce a měla by být zaznamenána odezva na výstupu. Pokud je kroková akce odlišná od jednoty, pak by se výstupní charakteristika měla vydělit velikostí vstupní akce.

Při znalosti přechodové odezvy je možné určit odezvu systému na libovolnou vstupní akci pomocí konvolučního integrálu

Pomocí funkce delta je simulována skutečná vstupní akce typu nárazu.

Obrázek 2.5. Impulzní odezva systému

Příklad 2.5:

Impulzní charakteristiky pro různé hodnoty aktivního odporu v elektrickém obvodu:

Přechodová funkce a impulsní funkce jsou navzájem jedinečně propojeny vztahy

Přechodová matice je řešením maticové diferenciální rovnice

Se znalostí přechodové matice je možné určit odezvu systému

na libovolné vstupní akci pro jakékoli počáteční podmínky x (0) výrazem

Pokud má systém nulové počáteční podmínky x (0) = 0, pak

,

(2.17)

Pro lineární systémy s konstantními parametry přechodová matice Ф (t) je maticový exponent

Pro malé rozměry nebo jednoduchou maticovou strukturu A výraz (2.20) lze použít k přesné reprezentaci matice přechodu pomocí elementárních funkcí. V případě velké matice A k výpočtu maticové exponenciály by měly být použity stávající programy.

Přenosová funkce

Spolu s obyčejnými diferenciálními rovnicemi v teorii automatické ovládání používají se různé transformace. Pro lineární systémy je výhodnější zapisovat tyto rovnice v symbolické podobě pomocí tzv. derivačního operátoru

který umožňuje transformovat diferenciální rovnice jako algebraické a zavést novou dynamickou charakteristiku - přenosovou funkci.

Zvažte tento přechod pro vícekanálové systémy formuláře (2.6)

Zapišme stavovou rovnici v symbolickém tvaru:

px = Ax + Bu,

což nám umožňuje určit stavový vektor

Jedná se o matici s následujícími komponenty:

(2.27)

kde - skalární přenosové funkce , které představují poměr výstupu k vstupu v symbolické podobě s nulovými počátečními podmínkami

Vlastní přenosové funkce i-tý kanál jsou komponenty přenosové matice které jsou na hlavní diagonále. Nazývají se komponenty umístěné nad nebo pod hlavní diagonálou funkce křížového přenosu mezi kanály.

Inverzní matici najdeme výrazem

Příklad 2.6.

Určete přenosovou matici pro objekt

Použijme výraz pro přenosovou matici (2.27) a najdeme předběžnou inverzní matici (2.29). Tady

Transponovaná matice má tvar

a det (pl-A) = p-2p + 1,.

kde je transponovaná matice. Výsledkem je následující inverzní matice:

a přenosová matice objektu

Přenosové funkce se nejčastěji používají k popisu jednokanálových systémů formuláře

kde je charakteristický polynom.

Přenosové funkce jsou obvykle psány ve standardním tvaru:

,

(2.32)

kde je koeficient přenosu;

Přenosovou matici (přenosovou funkci) lze také určit pomocí snímků Laplace nebo Carson-Heaviside. Pokud obě strany diferenciální rovnice podrobíme jedné z těchto transformací a najdeme vztah mezi vstupní a výstupní veličinou při nulových počátečních podmínkách, dostaneme stejnou přenosovou matici (2.26) nebo funkci (2.31).

Abychom dále rozlišili transformace diferenciálních rovnic, použijeme následující zápis:

Operátor diferenciace;

Operátor Laplaceovy transformace.

Po obdržení jedné z dynamických charakteristik objektu můžete určit všechny ostatní. Přechod z diferenciálních rovnic na přenosové funkce a naopak se provádí pomocí derivačního operátoru p.

Zvažte vztah mezi přechodové charakteristiky a přenosovou funkcí. Výstupní proměnná je nalezena pomocí impulsní funkce v souladu s výrazem (2.10),

Pojďme si ho podřídit Laplaceova transformace,

,

a dostat y (s) = g (s) u (s). Odtud definujeme impulsní funkci:

(2.33)

Přenosová funkce je tedy Laplaceova transformace impulsní funkce.

Příklad 2.7.

Určete přenosovou funkci objektu, jehož diferenciální rovnice má tvar

Pomocí derivačního operátoru d / dt = p zapíšeme rovnici objektu v symbolickém tvaru

na základě kterých určíme požadovanou přenosovou funkci předmětu

Modální charakteristiky

Modální charakteristiky odpovídají volné složce pohybu systému (2.6) nebo jinými slovy odrážejí vlastnosti autonomního systému typu (2.12)

Soustava rovnic (2.36) bude mít nenulové řešení vzhledem k if

.

(2.37)

Zavolá se rovnice (2.37). charakteristický a má n-kořeny, které se nazývají vlastní čísla matrice A... Dosazením vlastních čísel v (2.37) získáme

.

kde jsou vlastní vektory,

Množina vlastních čísel a vlastních vektorů je modální charakteristiky systému .

Pro (2.34) mohou existovat pouze následující exponenciální řešení

K získání charakteristické rovnice soustavy postačí přirovnat společného jmenovatele přenosové matice (přenosové funkce) k nule (2.29).

Kmitočtové charakteristiky

Pokud je na vstup objektu přiveden periodický signál dané amplitudy a frekvence, pak výstupem bude také periodický signál stejné frekvence, ale v obecném případě jiné amplitudy s fázovým posunem. Je stanoven vztah mezi parametry periodických signálů na vstupu a výstupu objektu frekvenční charakteristiky ... Nejčastěji se používají k popisu jednokanálových systémů:

a je uveden ve formě

.

(2.42)

Složky zobecněné frekvenční odezvy mají nezávislý význam a následující názvy:

Frekvenční odezvu výrazem (2.42) lze vykreslit na komplexní rovině. V tomto případě konec vektoru odpovídající komplexnímu číslu při změně z 0 na vykreslí křivku na komplexní rovině, která je tzv. amplitudově-fázová charakteristika (AFH).

Obrázek 2.6. Příklad amplitudově-fázové charakteristiky systému

Fázově-frekvenční odezva (PFC)- grafické zobrazení závislosti fázového posunu mezi vstupními a výstupními signály v závislosti na frekvenci,

K určení čitatele a jmenovatele W (j) rozložit na faktory ne vyšší než druhého řádu

,

pak kde znaménko "+" odkazuje i = 1,2, ..., l(čitatel přenosové funkce), znak "-" -к i = l + 1, ..., L(jmenovatel přenosové funkce).

Každý z výrazů je určen výrazem

Spolu s AFC jsou všechny ostatní frekvenční charakteristiky vykresleny samostatně. Frekvenční odezva tedy ukazuje, jak linka prochází signálem různých frekvencí; navíc odhadem přenosu je poměr amplitud výstupního a vstupního signálu. Fázová odezva ukazuje fázové posuny zavedené systémem na různých frekvencích.

Kromě uvažovaných frekvenčních charakteristik využívá teorie automatického řízení logaritmická frekvenční odezva ... Pohodlnost práce s nimi se vysvětluje tím, že operace násobení a dělení jsou nahrazeny operacemi sčítání a odčítání. Frekvenční odezva vynesená na logaritmické stupnici se nazývá logaritmická frekvenční odezva (LACHH)

,

(2.43)

Tato hodnota je vyjádřena v decibely (db). Při zobrazování LFCH je vhodnější vykreslit frekvenci na ose x na logaritmické stupnici, tj. vyjádřenou v dekádách (dec).

Obrázek 2.7. Příklad logaritmické amplitudové frekvenční odezvy

Fázově-frekvenční charakteristiku lze také vykreslit na logaritmické stupnici:

Obrázek 2.8. Příklad logaritmické fázové frekvenční odezvy

Příklad 2.8.

LFC, skutečný a asymptotický LFC systému, jehož přenosová funkce má tvar:

.

(2.44)

.

Rýže. 2.9. Reálné a asymptotické LFC systému

.

Rýže. 2.10. LFH systémy

STRUKTURÁLNÍ METODA

3.1. Úvod

3.2. Proporcionální spojení (zesilující, bez setrvačnosti)

3.3. Rozlišovací odkaz

3.4. Integrační odkaz

3.5. Neperiodický odkaz

3.6. Vynucený odkaz (proporcionální - rozlišovací)

3.7. Odkaz 2. objednávky

3.8. Strukturální transformace

3.8.1. Sériové připojení odkazů

3.8.2. Paralelní připojení

3.8.3. Zpětná vazba

3.8.4. Přenosové pravidlo

3.9. Přechod od přenosových funkcí ke stavovým rovnicím pomocí strukturních diagramů

3.10. Rozsah konstrukční metody

Úvod

Pro výpočet různých systémů automatického řízení jsou obvykle rozděleny do samostatných prvků, jejichž dynamickými charakteristikami jsou diferenciální rovnice ne vyššího než druhého řádu. Prvky, které se liší svou fyzikální podstatou, lze navíc popsat stejnými diferenciálními rovnicemi, proto jsou připisovány určitým třídám, tzv. typické odkazy .

Obraz systému ve formě množiny typických vazeb s vyznačením vazeb mezi nimi se nazývá strukturní diagram. Lze jej získat jak na základě diferenciálních rovnic (část 2), tak přenosových funkcí. Tato metoda a tvoří podstatu strukturální metody.

Podívejme se nejprve podrobněji na typické vazby, které tvoří automatické řídicí systémy.

Proporcionální vazba

(zesilující, bez setrvačnosti)

Úměrný se nazývá vazba, která je popsána rovnicí

a odpovídající strukturální schéma je znázorněn na Obr. 3.1.

Impulzní funkce je:

g (t) = k .

Pro proporcionální odkaz neexistují žádné modální charakteristiky (vlastní čísla a vlastní vektory).

Výměna ve funkci přenosu p na j dostaneme následující frekvenční charakteristiky:

Amplitudová frekvenční odezva (AFC) je určena poměrem:

To znamená, že amplituda periodického vstupního signálu je zesílena o k- krát a nedochází k žádnému fázovému posunu.

Rozlišovací odkaz

Rozlišování se nazývá odkaz, který je popsán diferenciální rovnicí:

y = k.

(3.6)

Jeho přenosová funkce je:

Nyní získáme frekvenční charakteristiky spoje.

AFH : W (j) = j k, shoduje se s kladnou imaginární poloosou v komplexní rovině;

HFC: R () = 0,

MChH: I () = k,

Frekvenční odezva: ,

PFC:, to znamená pro všechny frekvence, spoj zavádí konstantní fázový posun;

Integrační odkaz

Toto je odkaz, jehož rovnice je:

a poté na jeho přenosovou funkci

Stanovme frekvenční charakteristiky integračního spoje.

AFH: ; HFC:; MFC: ; vypadá jako přímka na rovině (obrázek 3.9).

Charakteristická rovnice

A (p) = p = 0

má jeden kořen, což je modální charakteristika integračního článku.

Neperiodický odkaz

Neperiodický se nazývá spoj, jehož diferenciální rovnice má tvar

kde, je koeficient přenosu spoje.

Nahrazení v (3.18) d / dt na p, přejdeme k symbolickému zápisu diferenciální rovnice,

(Tp + 1) y = ku,

(3.19)

a definovat přenosovou funkci aperiodického spoje:) = 20lg (k).

Impulzní (hmotnostní) charakteristika neboli impulsní funkce řetězy - jde o jeho zobecněnou charakteristiku, která je časovou funkcí, číselně se rovná reakci obvodu na jednorázovou akci impulsu na jeho vstupu při nulových počátečních podmínkách (obr. 13.14); jinými slovy, toto je odezva obvodu bez počáteční dodávky energie na funkci Diran delta
u jeho vchodu.

Funkce
lze určit výpočtem přechodu
nebo převodovka
řetězová funkce.

Výpočet funkce
pomocí přechodové funkce obvodu. Nechte na vstupní akci
reakce lineárního elektrického obvodu je
... Potom, vzhledem k linearitě obvodu na vstupu akce rovné derivaci
, bude řetězová reakce rovna derivaci
.

Jak bylo uvedeno, v
, řetězová reakce
, co když
, pak bude řetězová reakce
, tj. impulsní funkce

Podle vzorkovací vlastnosti
práce
... Tedy impulsní funkce obvodu

. (13.8)

Li
, pak má impulsní funkce tvar

. (13.9)

V důsledku toho se rozměr impulsní odezvy rovná rozměru přechodové odezvy dělené časem.

Výpočet funkce
pomocí funkce řetězového přenosu. Podle výrazu (13.6) při působení na vstup funkce
, odezvou funkce bude přechodná funkce
druh:

.

Na druhou stranu je známo, že obrazem časové derivace funkce
, na
, se rovná produktu
.

Kde
,

nebo
, (13.10)

ty. impulsní odezva
obvodu se rovná inverzní Laplaceově transformaci jeho přenosu
funkcí.

Příklad. Nalezneme impulsní funkci obvodu, jehož ekvivalentní obvody jsou na Obr. 13.12, A; 13.13.

Řešení

Přechodové a přenosové funkce tohoto obvodu byly získány dříve:

Pak podle výrazu (13.8)

kde
.

Graf impulsní odezvy
obvod je znázorněn na obr. 13.15.

závěry

Impulzní odezva
zaveden ze stejných dvou důvodů jako přechodná odezva
.

1. Jednorázová akce
- náhlý, a proto poměrně silný vnější vliv na jakýkoli systém nebo okruh. Proto je důležité znát reakci systému nebo řetězce přesně pod takovou akcí, tzn. impulsní odezva
.

2. Pomocí nějaké modifikace Duhamelova integrálu lze vědět
vypočítejte odezvu systému nebo okruhu na jakékoli vnější rušení (viz dále oddíly 13.4, 13.5).

4. Integrální překrytí (Duhamel).

Nechť libovolnou pasivní dvoukoncovou síť (obr.13.16, A) se připojuje ke zdroji, který se od okamžiku neustále mění
zdůrazňuje (obr.13.16, b).

Je potřeba najít proud (nebo napětí) v libovolné větvi dvoupólu po sepnutí klíče.

Problém vyřešíme ve dvou fázích. Nejprve najdeme požadovanou hodnotu, když je dvousvorková síť zapnuta pro jeden skok napětí, který je nastaven funkcí jednoho kroku
.

Je známo, že reakce řetězce na skok jednotky je přechodná odezva (funkce)
.

Například pro
- proudová přechodová funkce obvodu
(viz odstavec 2.1), pro
- přechodová funkce napětí obvodu
.

Na druhém stupni plynule se měnící napětí
nahradit krokovou funkcí elementárními pravoúhlými skoky
(viz obr.13.16 b). Pak lze proces změny napětí reprezentovat jako sepnutí při
konstantní napětí
a poté jako zahrnutí elementárních konstantních napětí
vzájemně posunuty o časové intervaly
a mající znaménko plus pro rostoucí a mínus pro klesající větev dané křivky napětí.

Složka požadovaného proudu v tuto chvíli z konstantního napětí
je rovný:

.

Složka požadovaného proudu z elementárního napěťového skoku
zahrnuto v daném okamžiku je rovný:

.

Zde je argumentem přechodové funkce čas
, protože elementární skok napětí
začne na chvíli jednat později než uzavření klíče, nebo jinými slovy, od časového intervalu mezi okamžikem začátek působení tohoto skoku a časový okamžik je rovný
.

Elementární napěťový ráz

,

kde
- měřítko.

Proto hledaná složka proudu

Elementární napěťové rázy jsou spínány v časovém intervalu od
až do okamžiku , pro který je určen hledaný proud. Proto sečtení složek proudu ze všech skoků, procházejících do limitu at
a při zohlednění složky proudu z počátečního skoku napětí
, dostaneme:

Poslední vzorec pro stanovení proudu s plynulou změnou přiloženého napětí

(13.11)

volala integrál superpozice (superpozice) nebo Duhamelův integrál (první forma zápisu tohoto integrálu).

Obdobným způsobem se problém řeší při připojení obvodu ke zdroji proudu. Podle tohoto integrálu je reakce řetězce v obecném tvaru
v určitém okamžiku po začátku expozice
je určena celou tou částí dopadu, která se do daného okamžiku odehrála .

Dosazením proměnných a integrací po částech můžeme získat jiné formy zápisu Duhamelova integrálu, ekvivalentní výrazu (13.11):

Volba formy zápisu pro Duhamelův integrál je dána pohodlností výpočtu. Například pokud
je vyjádřena exponenciální funkcí, jako vhodný se ukazuje vzorec (13.13) nebo (13.14), což je dáno jednoduchostí derivování exponenciální funkce.

Na
nebo
je vhodné použít zápis, ve kterém člen před integrálem zaniká.

Svévolný dopad
lze také reprezentovat jako součet impulzů zapojených do série, jak je znázorněno na obr. 13.17.

S nekonečně krátkou dobou trvání pulzu
získáme Duhamelovy integrální vzorce podobné (13.13) a (13.14).

Stejné vzorce lze získat ze vztahů (13.13) a (13.14), které nahrazují derivaci funkce
impulsní funkce
.

Výstup.

Tedy na základě Duhamelových integrálních vzorců (13.11) - (13.16) a časových charakteristik řetězce
a
mohou být definovány funkce časování odezev obvodu
na svévolné vlivy
.

Nechť je libovolná impulsní soustava dána strukturním diagramem, což je soubor standardních zapojení z nejjednodušších impulsních soustav (zapojení zpětnovazebního typu, sériové a paralelní). K získání přenosové funkce tohoto systému pak stačí být schopen najít přenosovou funkci standardních spojení z přenosových funkcí připojených impulsních systémů, protože ty jsou známy (buď přesně nebo přibližně) (viz. § 3.1).

Zapojení čistě impulsních systémů.

Vzorce pro výpočet -přenosových funkcí standardních spojení čistě impulzivních systémů z hlediska z-přenosových funkcí spojených čistě impulzivních prvků se shodují s podobnými vzorci z teorie spojitých systémů. K této shodě dochází proto, že struktura vzorce (3.9) se shoduje se strukturou podobného vzorce z teorie spojitých systémů, vzorec (3.9) přesně popisuje fungování čistě impulzivního systému.

Příklad. Najděte z-přenosovou funkci čistě impulsního systému danou strukturním diagramem (obr. 3.2).

S přihlédnutím k (3.9) z blokového schématu na Obr. 3.2, dostaneme:

Nahraďte poslední výraz prvním:

(srovnej se známým vzorcem z teorie spojitých systémů).

Zapojení impulsního systému.

Příklad 3.2. Nechť je impulsní systém znázorněn strukturním diagramem (viz obr. 3.3, kromě tečkované a čárkované čáry). Pak

Pokud potřebujete určit diskrétní hodnoty výstupu (viz fiktivní synchronní klíč na výstupu - tečkovaná čára na obr. 3.3), pak způsobem podobným tomu, který byl použit k odvození (3.7), dostaneme spojení :

Zvažte jiný systém (obr. 3.4, kromě tečkované čáry), který se od předchozího liší pouze umístěním klíče. Pro ni

S fiktivním klíčem (viz tečkovaná čára na obr. 3.4)

Ze vztahů získaných v tomto příkladu lze vyvodit závěry.

Závěr 1. Typ analytického zapojení vstupu jako u spojitého [viz. (3.10), (3.12)] as diskrétními [srov. (3.11), (3.13)] hodnotami výstupu libovolného impulzního systému v podstatě závisí na umístění klíče.

Závěr 2. Pro libovolný impulsní systém, stejně jako pro ten nejjednodušší, který je popsán v 3.1, nelze získat charakteristiku podobnou přenosové funkci, která vždy spojuje vstup a výstup. Není možné získat podobnou charakteristiku, která spojuje vstup a výstup a v diskrétních časech, násobcích, jaká byla provedena pro nejjednodušší impulsní systém (viz § 3.1). To je patrné ze vztahů (3.10), (3.12) a (3.11), (3.13).

Závěr 3. Pro některé speciální případy zapojení impulsních soustav, např. pro impulsní soustavu, jejíž konstrukční schéma je na Obr. 3.5 (bez tečkované čáry), je možné najít přenosovou funkci spojující vstup a výstup v diskrétních časech, násobcích. Vskutku, z (3.10) následuje Ale pak [viz odvození vzorce (3.7)]

Struktura komunikace z-přenosová funkce otevřených a uzavřených systémů je v tomto případě stejný jako v teorii spojitých systémů.

Je třeba poznamenat, že ačkoli se jedná o speciální případ, má velmi velký praktický význam, protože mnoho systémů z třídy systémů pro sledování pulsů je redukováno na něj.

Závěr 4. Pro získání vhodného výrazu podobného z-přenosové funkci v případě libovolného impulsního systému (viz např. obr. 3.3) je nutné zavést synchronní dummy klíče nejen na výstup systému (viz tečkovaná čára na obr. 3.3), ale a v jejích dalších bodech (viz např. čárkovaný řez místo plného na obr. 3.3). Pak

a vzorce (3.10), (3.11) mají následující podobu:

a proto

Důsledky zavedení klíčů znázorněných na Obr. 3.3 s tečkovanou čárou a tečkovanou čarou se výrazně liší, protože tečkovaná čára nemění povahu provozu celého systému, pouze o něm poskytuje informace v diskrétních časech.

První, převádějící na pulzní nepřetržitý signál, který jde do spoje zpětná vazba, změní původní systém na úplně jiný. Tento nový systém bude schopen dostatečně dobře reprezentovat provoz původního systému, pokud bude přijat (viz § 5.4) a pokud

1) jsou splněny podmínky Kotelnikovovy věty (2.20);

2) šířka pásma zpětné vazby je menší:

kde je mezní frekvence zpětné vazby;

3) amplitudová frekvenční odezva (AFC) spoje v oblasti mezního kmitočtu poměrně strmě klesá (viz obr. 3.6).

Zpětnovazební spojkou pak prochází pouze ta část spektra pulzního signálu, která odpovídá spojitému signálu.

Vzorec (3.16) tedy v obecném případě pouze přibližně představuje práci původního systému i v diskrétních časech. Navíc to dělá tím přesněji, čím spolehlivěji jsou podmínky (2.20), (3.17) a podmínky strmého poklesu amplitudově-frekvenční charakteristiky pro spoj, jehož normální činnost je narušena fiktivním klíčem. spokojený.

Takže pomocí z-transformace můžete přesně prozkoumat fungování čistě impulzivního systému; pomocí Laplaceovy transformace – k přesnému zkoumání fungování spojitého systému.

Impulzní systém pomocí jedné (jakékoli) z těchto transformací lze zkoumat jen přibližně a i to za určitých podmínek. Důvodem je přítomnost spojitých i pulzních signálů v pulzním systému (proto jsou takové pulzní systémy spojité pulzní a někdy se nazývají spojité-diskrétní). V tomto ohledu se Laplaceova transformace, která je vhodná při provozu se spojitými signály, stává nepohodlnou diskrétní signály... Pohodlná pro diskrétní signály, z-transformace je nepohodlná pro spojité signály.

Takže v tomto případě se projevuje to, co je uvedeno v aporiích)