บนพื้นผิว

คุณสมบัติท้องถิ่นของพิกัดความโค้ง

เมื่อพิจารณาพิกัดโค้งในส่วนนี้ เราจะถือว่าเรากำลังพิจารณาพื้นที่สามมิติ (n = 3) ที่ติดตั้งพิกัดคาร์ทีเซียน x , y , z กรณีของมิติอื่นแตกต่างกันในจำนวนพิกัดเท่านั้น

ในกรณีของสเปซแบบยุคลิด เมทริกซ์เทนเซอร์ หรือที่เรียกว่ากำลังสองของอาร์คดิฟเฟอเรนเชียล ในพิกัดเหล่านี้จะมีรูปแบบที่สอดคล้องกับเมทริกซ์เอกลักษณ์:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2$

กรณีทั่วไป

อนุญาต $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- พิกัดโค้งบางส่วน ซึ่งเราจะพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นของ x , y , z ให้มีสามคุณสมบัติ $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ทำหน้าที่เป็นพิกัดในบางพื้นที่จำเป็นต้องมีการทำแผนที่ผกผัน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right$

ที่ไหน $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในบางโดเมนของเซต $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$พิกัด.

การวิเคราะห์พื้นฐานและเทนเซอร์ในพื้นที่

ในแคลคูลัสเทนเซอร์ เราสามารถแนะนำเวกเตอร์พื้นฐานเฉพาะที่: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, ที่ไหน $\backslash mathbf\; e\_i$- orts ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $Q^i\_j$คือเมทริกซ์จาโคเบียน $x^i$พิกัดในระบบคาร์ทีเซียน $y^i$- ป้อนพิกัดโค้ง
ไม่ยากเลยที่จะเห็นว่าพิกัดโค้งโดยทั่วไปจะแตกต่างกันไปในแต่ละจุด
ให้เราระบุสูตรสำหรับการเชื่อมต่อระหว่างพิกัดโค้งและคาร์ทีเซียน:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ที่ไหน $P^j\_i\; Q^i\_j=E$โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
ผลคูณของเวกเตอร์พื้นฐานท้องถิ่นสองตัวสร้างเมทริกซ์เมตริกซ์:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, ที่ไหน $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$สัญลักษณ์ที่ขัดแย้งกัน covariant และ Kronecker ผสม
ดังนั้น สนามเทนเซอร์ใดๆ $\backslash mathbf\; T$ของอันดับ n สามารถขยายได้โดยใช้ polyad ในพื้นที่:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
ตัวอย่างเช่น ในกรณีของฟิลด์เทนเซอร์อันดับแรก (เวกเตอร์):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

พิกัดความโค้งมุมฉาก

ในอวกาศแบบยุคลิด การใช้พิกัดความโค้งมุมฉากมีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากสูตรที่เกี่ยวข้องกับความยาวและมุมในพิกัดมุมฉากจะดูง่ายกว่าในกรณีทั่วไป นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมทริกซ์เมตริกในระบบที่มีพื้นฐานแบบออร์โธนอร์มัลจะเป็นแนวทแยง ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก
ตัวอย่างของระบบดังกล่าว ได้แก่ ระบบทรงกลมใน $\backslash mathbb(R)^2$

ค่าสัมประสิทธิ์ง่อย

เราเขียนส่วนโค้งในพิกัดโค้งในรูปแบบ (โดยใช้กฎการรวม Einstein):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~i=1,2,3

โดยคำนึงถึงมุมฉากของระบบพิกัด ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ที่ $ฉัน\; \backslash ne\; j$) นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่เป็น

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

ค่าบวก $สวัสดี\backslash$ขึ้นอยู่กับจุดในอวกาศเรียกว่าสัมประสิทธิ์ขาดหรือปัจจัยมาตราส่วน ค่าสัมประสิทธิ์ความอ่อนแอแสดงจำนวนหน่วยของความยาวที่มีอยู่ในหน่วยพิกัดของจุดที่กำหนด และใช้ในการแปลงเวกเตอร์เมื่อเคลื่อนที่จากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

เมตริกซ์เมตริกซ์รีมันเนียนเขียนด้วยพิกัด $(q\_i)$, เป็นเมทริกซ์แนวทแยง บนเส้นทแยงมุมซึ่งเป็นกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความอ่อนแอ:

ตัวอย่าง

พิกัดเชิงขั้ว ( น=2)

พิกัดเชิงขั้วในระนาบประกอบด้วยระยะทาง r ถึงขั้ว (จุดกำเนิด) และทิศทาง (มุม) φ

การเชื่อมต่อพิกัดเชิงขั้วกับคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrix)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ง่อย:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; ร.\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างอาร์ค:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

ที่จุดเริ่มต้น ฟังก์ชัน φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ หากพิกัด φ ไม่ถือเป็นตัวเลข แต่เป็นมุม (จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย) พิกัดเชิงขั้วจะสร้างระบบพิกัดในพื้นที่ที่ได้รับจากระนาบทั้งหมดโดยเอาจุดกำเนิดออก ถ้าอย่างไรก็ตาม φ ถือเป็นตัวเลข ในพื้นที่ที่กำหนดจะมีค่าหลายค่า และสร้างระบบพิกัดอย่างเคร่งครัดในความหมายทางคณิตศาสตร์ได้เฉพาะในพื้นที่ที่เชื่อมต่ออย่างเรียบง่ายซึ่งไม่รวมที่มาของพิกัดสำหรับ ตัวอย่าง บนเครื่องบินที่ไม่มีรังสี

พิกัดทรงกระบอก ( น=3)

พิกัดทรงกระบอกเป็นการสรุปเล็กน้อยของพิกัดเชิงขั้วในกรณีของพื้นที่สามมิติโดยการเพิ่มพิกัดที่สาม z ความสัมพันธ์ของพิกัดทรงกระบอกกับคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matrix)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ง่อย:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างอาร์ค:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2$

พิกัดทรงกลม ( น=3)

พิกัดทรงกลมสัมพันธ์กับพิกัดละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมหน่วย การเชื่อมต่อของพิกัดทรงกลมกับคาร์ทีเซียน:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(เมทริกซ์)\backslash right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ง่อย:

$\backslash begin(เมทริกซ์)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\; \backslash end(เมทริกซ์)$

ส่วนต่างอาร์ค:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2$

พิกัดทรงกลม เช่น พิกัดทรงกระบอก ไม่ทำงานบนแกน z (x=0, y=0) เนื่องจากพิกัด φ ไม่ได้กำหนดไว้ที่นั่น

พิกัดต่าง ๆ บนเครื่องบิน ( น=2) และลักษณะทั่วไปของพวกมัน

เขียนคำวิจารณ์ในบทความ "ระบบพิกัดโค้ง"

วรรณกรรม

• กร ก., กร ที.คู่มือคณิตศาสตร์ (สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร) - M.: Nauka, 1974. - 832 น.

ชื่อของพิกัด ประเภทของระบบพิกัด พิกัด 2 มิติ พิกัด 3 มิติ $น$-พิกัดมิติ พิกัดทางกายภาพ คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

ข้อความที่ตัดตอนมาเกี่ยวกับลักษณะระบบพิกัดโค้ง

“ถ้าเขาสามารถโจมตีเราได้ เขาจะทำมันวันนี้” เขากล่าว
“คุณคิดว่าเขาไม่มีอำนาจ” Langeron กล่าว
“มากถ้าเขามีทหาร 40,000 นาย” Weyrother ตอบด้วยรอยยิ้มของแพทย์ที่แพทย์ต้องการชี้ให้เห็นวิธีการรักษา
“ในกรณีนั้น เขาไปสู่ความตายเพื่อรอการจู่โจมของเรา” แลงเจอรอนกล่าวด้วยรอยยิ้มบางและประชดประชัน มองย้อนกลับไปที่มิโลราโดวิชที่ใกล้ที่สุดเพื่อยืนยัน
แต่เห็นได้ชัดว่า Miloradovich ในขณะนั้นกำลังคิดอย่างน้อยที่สุดเกี่ยวกับสิ่งที่นายพลกำลังโต้เถียงกันอยู่
- มะฟอย [โดยพระเจ้า] - เขาพูด - พรุ่งนี้เราจะเห็นทุกอย่างในสนามรบ
Weyrother หัวเราะคิกคักอีกครั้งด้วยรอยยิ้มที่บอกว่ามันเป็นเรื่องตลกและแปลกสำหรับเขาที่จะพบกับการคัดค้านจากนายพลรัสเซียและเพื่อพิสูจน์สิ่งที่ไม่เพียงแต่ตัวเขาเองเท่านั้นที่มั่นใจเกินไป แต่สิ่งที่จักรพรรดิมั่นใจด้วย
“ศัตรูดับไฟแล้ว และมีเสียงดังอย่างต่อเนื่องในค่ายของเขา” เขากล่าว - มันหมายความว่าอะไร? “ไม่ว่าเขาจะย้ายออกไป ซึ่งเป็นสิ่งเดียวที่เราควรกลัว หรือไม่ก็เปลี่ยนตำแหน่ง (เขาหัวเราะ)” แต่ถึงแม้ว่าเขาจะเข้ารับตำแหน่งใน Tyuras เขาก็ช่วยเราได้มากเท่านั้น และคำสั่งต่างๆ จนถึงรายละเอียดที่เล็กที่สุด ยังคงเหมือนเดิม
“ ในทางใด? ..” เจ้าชายอังเดรผู้ซึ่งรอโอกาสที่จะแสดงความสงสัยมานานแล้ว
Kutuzov ตื่นขึ้นกระแอมอย่างหนักและมองไปรอบ ๆ นายพล
“ท่านสุภาพบุรุษ อารมณ์ของวันพรุ่งนี้ แม้กระทั่งวันนี้ (เพราะเป็นชั่วโมงแรกแล้ว) ก็ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้” เขากล่าว “คุณเคยได้ยินเธอแล้ว และเราทุกคนจะทำหน้าที่ของเรา และก่อนการต่อสู้ก็ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า ... (เขาหยุดชั่วคราว) วิธีนอนหลับให้สบาย
เขาแกล้งทำเป็นลุกขึ้น นายพลโค้งคำนับและเกษียณ เลยเที่ยงคืนไปแล้ว เจ้าชายแอนดรูว์ออกไป

สภาทหารซึ่งเจ้าชายอังเดรล้มเหลวในการแสดงความคิดเห็นของเขาในขณะที่เขาหวังทิ้งความประทับใจที่ไม่ชัดเจนและน่ารำคาญแก่เขา ใครถูก: Dolgorukov กับ Weyrother หรือ Kutuzov กับ Langeron และคนอื่น ๆ ที่ไม่เห็นด้วยกับแผนการโจมตีเขาไม่รู้ “ แต่มันเป็นไปไม่ได้จริง ๆ ที่ Kutuzov จะแสดงความคิดของเขาต่ออธิปไตยโดยตรงหรือไม่? ทำอย่างอื่นไม่ได้เหรอ? จำเป็นจริง ๆ ไหมที่จะต้องเสี่ยงชีวิตนับหมื่นและชีวิตของฉันเพราะการพิจารณาของศาลและเรื่องส่วนตัว? เขาคิดว่า.
“ใช่ เป็นไปได้มากที่พวกเขาจะฆ่าคุณในวันพรุ่งนี้” เขาคิด และทันใดนั้น เมื่อนึกถึงความตาย ความทรงจำทั้งหมดที่อยู่ห่างไกลและจริงใจที่สุดก็ผุดขึ้นในจินตนาการของเขา เขาจำคำอำลาครั้งสุดท้ายของพ่อและภรรยาได้ เขาจำวันแรกที่รักเธอได้! เขาจำการตั้งครรภ์ของเธอได้ และเขารู้สึกเสียใจต่อทั้งเธอและตัวเขาเอง และในสภาพที่อ่อนล้าและกระวนกระวายใจ เขาออกจากกระท่อมที่เขายืนอยู่กับ Nesvitsky และเริ่มเดินไปหน้าบ้าน
กลางคืนมีหมอกและแสงจันทร์ส่องผ่านหมอกอย่างลึกลับ “ใช่ พรุ่งนี้ พรุ่งนี้! เขาคิดว่า. “พรุ่งนี้ บางทีทุกอย่างจะจบลงเพื่อฉัน ความทรงจำทั้งหมดเหล่านี้จะไม่มีอีกต่อไป ความทรงจำทั้งหมดเหล่านี้จะไม่มีความหมายสำหรับฉันอีกต่อไป พรุ่งนี้ บางที อาจจะเป็นพรุ่งนี้ ฉันคาดการณ์ไว้ เป็นครั้งแรกที่ฉันจะต้องแสดงทุกสิ่งที่ฉันทำได้ในที่สุด และเขาจินตนาการถึงการต่อสู้ ความพ่ายแพ้ ความเข้มข้นของการต่อสู้ในจุดหนึ่ง และความสับสนของผู้บังคับบัญชาทั้งหมด และตอนนี้ช่วงเวลาที่มีความสุขนั้น ตูลงซึ่งเขารอมานานก็ปรากฏแก่เขา เขาพูดความคิดเห็นของเขาอย่างแน่วแน่และชัดเจนกับทั้ง Kutuzov และ Weyrother และจักรพรรดิ ทุกคนประหลาดใจในความถูกต้องของความคิดของตน แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ ดังนั้นเขาจึงใช้กองทหาร กองพล ประกาศเงื่อนไขที่ไม่มีใครควรเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับคำสั่งของเขา และนำความแตกแยกของเขาไปยังจุดแตกหักและโดยลำพัง ชนะ ความตายและความทุกข์เป็นอย่างไร? พูดอีกเสียงหนึ่ง แต่เจ้าชายอังเดรไม่ตอบเสียงนี้และยังคงประสบความสำเร็จต่อไป การจัดการของการต่อสู้ครั้งต่อไปเกิดขึ้นโดยเขาเพียงคนเดียว เขามียศนายทหารภายใต้ Kutuzov แต่เขาทำทุกอย่างเพียงลำพัง การต่อสู้ครั้งต่อไปชนะโดยเขาคนเดียว Kutuzov ถูกแทนที่เขาได้รับการแต่งตั้ง ... ถ้าอย่างนั้น? อีกเสียงหนึ่งพูดอีกครั้ง แล้วถ้าท่านไม่ได้รับบาดเจ็บ ถูกฆ่าหรือถูกหลอกมาสิบครั้งก่อน อืม แล้วไง “ก็แล้ว” เจ้าชายอังเดรตอบตัวเอง “ฉันไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นต่อไป ฉันไม่ต้องการและไม่รู้ แต่ถ้าฉันต้องการสิ่งนี้ ฉันต้องการความรุ่งโรจน์ ฉันอยากเป็น คนดังฉันต้องการที่จะได้รับความรักจากพวกเขา มันไม่ใช่ความผิดของฉันที่ฉันต้องการสิ่งนี้ ฉันต้องการสิ่งนี้เพียงลำพัง ฉันมีชีวิตอยู่เพื่อสิ่งนี้เพียงคนเดียว ใช่สำหรับอันนี้! ฉันจะไม่บอกเรื่องนี้กับใคร แต่พระเจ้า! ฉันจะทำอย่างไรถ้าฉันไม่รักอะไรนอกจากความรุ่งโรจน์ ความรักของมนุษย์ ความตาย บาดแผล การสูญเสียครอบครัว ไม่มีอะไรน่ากลัวเลย และไม่ว่าหลายคนจะเป็นที่รักและรักของฉันมากแค่ไหน - พ่อ, น้องสาว, ภรรยาของฉัน - คนที่รักฉันที่สุด - แต่ไม่ว่าจะดูน่ากลัวและผิดธรรมชาติเพียงใด ฉันจะให้พวกเขาทั้งหมดในช่วงเวลาแห่งความรุ่งโรจน์ชัยชนะ เหนือผู้คนเพื่อรักตัวเองคนที่ฉันไม่รู้จักและจะไม่รู้จักเพื่อความรักของคนเหล่านี้” เขาคิดขณะฟังการสนทนาในบ้านของ Kutuzov ในบ้านของ Kutuzov ได้ยินเสียงของระเบียบที่บรรจุขึ้น เสียงหนึ่งอาจเป็นคนขับรถม้าล้อเลียนพ่อครัว Kutuzovsky เก่าซึ่ง Prince Andrei รู้จักและชื่อ Tit คือ Tit กล่าวว่า: "Tit และ Tit?"
“อืม” ชายชราตอบ
“ไททัส ไปนวดเถอะ” โจ๊กเกอร์พูด
“อืม ไปลงนรกกับพวกเขาเถอะ” เสียงหนึ่งดังขึ้นพร้อมกับเสียงหัวเราะของทหารและคนใช้
“แต่ฉันก็รักและหวงแหนเพียงชัยชนะเหนือพวกเขาทั้งหมด ฉันหวงแหนพลังลึกลับและรัศมีภาพซึ่งที่นี่วิ่งเหนือฉันในหมอกนี้!”

คืนนั้นรอสตอฟอยู่กับหมวดทหารในสายโซ่แฟลงเกอร์ ก่อนการปลดบาเกรชั่น เสือกลางของเขากระจัดกระจายเป็นคู่เป็นโซ่ ตัวเขาเองขี่ไปตามโซ่ตรวนเส้นนี้ พยายามเอาชนะการหลับใหลที่ทำให้เขาล้มลงอย่างไม่อาจต้านทานได้ ข้างหลังเขาสามารถมองเห็นกองไฟอันกว้างใหญ่ของกองทัพของเราที่กำลังลุกไหม้อย่างไม่ชัดเจนในสายหมอก ข้างหน้าเขามีหมอกหนาทึบ ไม่ว่า Rostov จะมองเข้าไปในระยะหมอกหนาแค่ไหน เขาก็ไม่เห็นอะไรเลย มันกลายเป็นสีเทา จากนั้นบางสิ่งก็ดูเหมือนจะมืดลง แล้วส่องประกายเหมือนแสงที่ศัตรูควรจะ; จากนั้นเขาก็คิดว่ามันเป็นประกายในดวงตาของเขาเท่านั้น ตาของเขาปิดและในจินตนาการของเขาเขาจินตนาการถึงจักรพรรดิจากนั้นก็เดนิซอฟแล้วก็ความทรงจำของมอสโกและอีกครั้งเขารีบลืมตาและปิดต่อหน้าเขาเขาเห็นหัวและหูของม้าที่เขานั่ง บางครั้งร่างของเสือกลางสีดำเมื่อเขาอยู่ห่างออกไปหกก้าวก็วิ่งเข้าหาพวกเขาและในระยะไกลก็มีหมอกหนาทึบเช่นเดียวกัน "จากสิ่งที่? เป็นไปได้มากที่ Rostov คิดว่าอธิปไตยพบฉันแล้วจะออกคำสั่งเหมือนที่เขาทำกับเจ้าหน้าที่คนใด: เขาจะพูดว่า: "ไปค้นหาว่ามีอะไรอยู่ที่นั่น" พวกเขาเล่ากันมากว่าโดยบังเอิญ เขาจำเจ้าหน้าที่บางคนในลักษณะนี้ได้อย่างไร และพาเขาเข้าใกล้เขามากขึ้น ถ้าเขาพาฉันเข้าไปใกล้เขาล่ะ! โอ้ฉันจะปกป้องเขาได้อย่างไรฉันจะบอกความจริงทั้งหมดกับเขาได้อย่างไรฉันจะเปิดเผยผู้หลอกลวงของเขาได้อย่างไร” และ Rostov เพื่อจินตนาการถึงความรักและความจงรักภักดีต่ออธิปไตยอย่างชัดเจนจินตนาการถึงศัตรูหรือผู้หลอกลวงชาวเยอรมัน ซึ่งเขายินดีไม่เพียง แต่ฆ่า แต่ยังทุบแก้มในสายตาของกษัตริย์ ทันใดนั้นเสียงร้องอันไกลโพ้นก็ปลุกรอสตอฟ เขาสะดุ้งและลืมตาขึ้น
"ฉันอยู่ที่ไหน? ใช่ ในห่วงโซ่: สโลแกนและรหัสผ่านคือแถบเลื่อน Olmutz น่าเสียดายที่พรุ่งนี้ฝูงบินของเราจะถูกสำรองไว้... เขาคิด - ฉันจะขอทำงาน นี่อาจเป็นโอกาสเดียวที่จะได้เห็นกษัตริย์ ใช่ อีกไม่นานก่อนการเปลี่ยนแปลง ฉันจะไปรอบๆ อีกครั้ง และเมื่อฉันกลับมา ฉันจะไปหานายพลและถามเขา” เขาฟื้นจากอานและสัมผัสม้าเพื่อไปรอบๆ hussar อีกครั้ง เขาคิดว่ามันสว่างกว่า ทางด้านซ้ายมือสามารถมองเห็นทางลาดที่นุ่มนวลและสว่างไสว และอีกด้านเป็นเนินสีดำซึ่งดูสูงชันราวกับกำแพง มีจุดสีขาวบนเนินเขาซึ่ง Rostov ไม่เข้าใจในทางใดทางหนึ่ง: มันเป็นที่โล่งในป่าที่ส่องสว่างด้วยดวงจันทร์หรือหิมะที่เหลือหรือบ้านสีขาว? ดูเหมือนว่าเขาจะมีบางอย่างขยับตัวอยู่เหนือจุดสีขาวนี้ “หิมะต้องเป็นรอยเปื้อน รอยเปื้อนนั้นไม่มีรอยเลย Rostov คิด “ที่นี่คุณไม่ได้ทา ... ”

คุณสามารถสร้างระบบพิกัดได้โดยกำหนดตำแหน่งของจุดบนนั้นอีกครั้งด้วยตัวเลขสองตัว ในการทำเช่นนี้ในทางใดทางหนึ่ง เราครอบคลุมพื้นผิวทั้งหมดด้วยเส้นสองตระกูล เพื่อให้ผ่านแต่ละจุด (อาจมีข้อยกเว้นเล็กน้อย) หนึ่งเส้นและเพียงเส้นเดียวจากแต่ละครอบครัวผ่านไป ตอนนี้ จำเป็นเท่านั้นที่จะจัดให้มีเครื่องหมายตัวเลขของแต่ละตระกูลตามกฎที่แน่ชัดบางประการที่ช่วยให้ค้นหาสายตระกูลที่ต้องการด้วยเครื่องหมายตัวเลข (รูปที่ 22)

พิกัดจุด เอ็มพื้นผิวทำหน้าที่เป็นตัวเลข ยู, วีที่ไหน ยู-- เครื่องหมายตัวเลขของสายตระกูลแรกที่ผ่าน เอ็มและ วี-- การทำเครื่องหมายเส้นของตระกูลที่สอง เราจะเขียนต่อไปว่า: ม(ยู; วี)ตัวเลข และ, วีเรียกว่า พิกัดโค้งของจุด ม.สิ่งที่พูดไปจะชัดเจนขึ้นถ้าเราดูตัวอย่างจากเรื่องทรงกลม เส้นเมอริเดียนครอบคลุมทั่ว (ตระกูลแรก); แต่ละอันสอดคล้องกับเครื่องหมายตัวเลขคือค่าของลองจิจูด ยู(หรือค). ความคล้ายคลึงกันทั้งหมดก่อให้เกิดครอบครัวที่สอง แต่ละอันสอดคล้องกับเครื่องหมายตัวเลข - ละติจูด วี(หรือและ). ผ่านแต่ละจุดของทรงกลม (ไม่รวมขั้ว) มีเส้นเมริเดียนเพียงเส้นเดียวและเส้นขนานเพียงเส้นเดียว

อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้พิจารณาพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกทรงกลมด้านขวาที่มีความสูง ชม,รัศมี เอ(รูปที่ 23). สำหรับตระกูลแรก เราจะใช้ระบบเครื่องกำเนิดไฟฟ้า หนึ่งในนั้นจะถูกนำมาเป็นเครื่องกำเนิดเริ่มต้น เรากำหนดเครื่องหมายให้กับแต่ละ generatrix ยู,เท่ากับความยาวของส่วนโค้งบนเส้นรอบวงของฐานระหว่าง generatrix เริ่มต้นและส่วนที่กำหนด (เราจะนับส่วนโค้งเช่นทวนเข็มนาฬิกา) สำหรับตระกูลที่สองเราใช้ระบบส่วนแนวนอนของพื้นผิว เครื่องหมายตัวเลข วีเราจะพิจารณาความสูงที่ส่วนนั้นถูกวาดเหนือฐาน ด้วยการเลือกแกนที่เหมาะสม x, y, zในอวกาศเราจะมีจุดใดก็ได้ ม(x; y; z) พื้นผิวของเรา:

(ในที่นี้ อาร์กิวเมนต์สำหรับโคไซน์และไซน์ไม่ได้เป็นองศา แต่เป็นเรเดียน) สมการเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นสมการพาราเมทริกสำหรับพื้นผิวของทรงกระบอก

ปัญหาที่ 9 ตามเส้นโค้งใดควรตัดชิ้นส่วนดีบุกเพื่อทำข้อศอกท่อระบายน้ำเพื่อให้หลังจากการดัดที่เหมาะสมจะได้รัศมีทรงกระบอก ก,ตัดทอนโดยระนาบทำมุม 45 องศากับระนาบของฐาน?

สารละลาย. ให้เราใช้สมการพาราเมตริกของพื้นผิวทรงกระบอก:

เราวาดระนาบการตัดผ่านแกน โอ้,สมการของเธอ z=yเมื่อรวมกับสมการที่เขียนไป เราจะได้สมการ

ทางแยกในพิกัดโค้ง หลังจากกางพื้นผิวออกสู่ระนาบแล้ว พิกัดความโค้ง และและ วีเปลี่ยนเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน

ดังนั้นควรวางแผ่นดีบุกจากด้านบนตามแนวไซน์

ที่นี่ ยูและ วีพิกัดคาร์ทีเซียนบนเครื่องบินแล้ว (รูปที่ 24)

ทั้งในกรณีของทรงกลมและพื้นผิวทรงกระบอก และในกรณีทั่วไป การระบุพื้นผิวโดยสมการพาราเมทริกทำให้เกิดระบบพิกัดความโค้งบนพื้นผิว อันที่จริง การแสดงออกของพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, zจุดโดยพลการ ม (x; y; z)พื้นผิวผ่านสองพารามิเตอร์ ยู, วี(โดยทั่วไปจะเขียนดังนี้: X\u003d ค ( ยู; ก),y=ค (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - ฟังก์ชั่นของสองอาร์กิวเมนต์) ทำให้เป็นไปได้โดยรู้ตัวเลขคู่หนึ่ง ยู, วีค้นหาพิกัดที่ตรงกัน x, y, z,ดังนั้นตำแหน่งของจุด เอ็มบนพื้นผิว; ตัวเลข ยู, วีทำหน้าที่เป็นพิกัด ให้ค่าคงที่แก่หนึ่งในนั้น เช่น ยู=ยู 0 เราได้รับนิพจน์ x, y, zผ่านพารามิเตอร์เดียว วีนั่นคือสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง นี่คือเส้นพิกัดของครอบครัวหนึ่ง, สมการของมัน คุณ=u 0 . สายเดียวกัน วี=วี 0 -- เส้นพิกัดของตระกูลอื่น

พิกัดคาร์ทีเซียนรัศมีเวกเตอร์

ระบบเชิงพื้นที่สี่เหลี่ยมของพิกัดคาร์ทีเซียน

การแปลงของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่

การแปลงแผนที่เชิงเส้น

การลดรูปกำลังสองทั่วไปให้เป็นแบบบัญญัติ

พิกัดความโค้ง

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับระบบพิกัดโค้ง

พิกัดโค้งบนพื้นผิว

ระบบพิกัดเชิงขั้วและลักษณะทั่วไป

ระบบพิกัดเชิงพื้นที่

ระบบพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกลม

พิกัดเชิงขั้วบนพื้นผิว

บทที่ 3 ระบบประสานงานที่ใช้ใน GEODESY

การจำแนกประเภททั่วไปของระบบพิกัดที่ใช้ใน geodesy

ระบบพิกัดจีโอเดติกภาคพื้นดิน

ระบบพิกัดเชิงขั้วใน geodesy

ระบบวงรีโค้งของพิกัดจีโอเดติก

การหาพิกัดจีโอเดติกทรงรีด้วยวิธีแยกสำหรับกำหนดตำแหน่งตามแผนและระดับความสูงของจุดบนพื้นผิวโลก

การแปลงพิกัดเชิงพิกัดเชิงพื้นที่เป็นพิกัดเชิงพิกัดเชิงพื้นที่

การแปลงระบบอ้างอิงของพิกัดจีโอเดติกเป็นโกลบอลและในทางกลับกัน

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่

ความสัมพันธ์ของพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่กับพิกัดจีโอเดติกทรงรี

การแปลงพิกัดอ้างอิงสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่เป็นโกลบอลและในทางกลับกัน

ระบบพิกัด Topocentric ใน geodesy

ความสัมพันธ์ของ CS geodesic ในแนวนอนเชิงพื้นที่เชิงพื้นที่กับพิกัดทรงกลมเชิงพื้นที่เชิงพื้นที่

การแปลงพิกัด geodetic แนวนอน topocentric เป็นพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ X, Y, Z

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมแบนใน geodesy

ความสัมพันธ์ของระนาบสี่เหลี่ยม Gauss–Krüger กับพิกัด geodetic ทรงรี

Gauss–Kruger การแปลงพิกัดสี่เหลี่ยมระนาบระนาบจากโซนหนึ่งไปอีกโซนหนึ่ง

การคำนวณพิกัดสี่เหลี่ยมแบนซ้ำของจุดของโครงสร้าง geodetic ในพื้นที่ไปยังระบบอื่นของพิกัดสี่เหลี่ยมแบน

บทที่ 4

ระบบพิกัดของดาราศาสตร์ทรงกลม

ระบบอ้างอิงใน geodesy อวกาศ

พิกัดเส้นศูนย์สูตรเฉื่อยของดาวฤกษ์ (ท้องฟ้า)

Greenwich terrestrial geocentric system ของพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่

ระบบพิกัด Topocentric

บทที่ 5

ระบบพิกัด geodetic ของรัฐในช่วงต้นศตวรรษที่ XXI

การสร้างเครือข่าย geodetic ของรัฐ

บรรณานุกรม

ภาคผนวก 1 แนวทางแก้ไขปัญหาทางภูมิศาสตร์โดยตรงในอวกาศ

ภาคผนวก 2 การแก้ปัญหาทางภูมิศาสตร์ผกผันในอวกาศ

ภาคผนวก 3 การแปลงพิกัดทางภูมิศาสตร์ B, L, H เป็นสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ X, Y, Z

ภาคผนวก 4

ภาคผนวก 5. การแปลงพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ X, Y, Z SK-42 เป็นพิกัดระบบ PZ-90

ภาคผนวก 6 การแปลงระบบอ้างอิงของพิกัดทางภูมิศาสตร์ B, L, H เข้าสู่ระบบของพิกัดทางภูมิศาสตร์ PZ-90 B0, L0, H0

ภาคผนวก 7. การแปลงพิกัดเชิงพื้นที่ของระบบ S, ZG, A เป็นพิกัดทางภูมิศาสตร์ในแนวนอนบนศูนย์กลาง ХТ, УТ, ZТ

ภาคผนวก 8 การแปลงพิกัดพิกัดทางภูมิศาสตร์ในแนวนอนของ TOPOCENTRIC ХТ, УТ, ZТ ลงในพิกัดเชิงพื้นที่ของขั้วโลก – S, ZГ, A

ภาคผนวก 9. การแปลงพิกัดพิกัดทางภูมิศาสตร์แนวนอนบนโทโปเซ็นเตอร์ XT, UT, ZT เป็นพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ X, Y, Z

ภาคผนวก 10. การแปลงพิกัดเรขาคณิตวงรี B, L เป็นพิกัดสี่เหลี่ยมแบน GAUSS - KRUGER X, Y

ภาคผนวก 11 การแปลงพิกัดของเครื่องบินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด GAUSS – KRUGER X, Y เป็นพิกัดเรขาคณิตวงรี B, L

(a 11 - λ1 )(a 22 - λ1 ) - a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองเหล่านี้คือ ³ 0, เช่น

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0

สมการ (2.56), (2.57) เรียกว่า สมการคุณลักษณะ

เมทริกซ์ และรากของสมการเหล่านี้คือ ตัวเลขของตัวเองเมทริกซ์ A. เราแทนที่ค่าลักษณะเฉพาะที่พบจาก (2.57) เป็น (2.39) เราได้รับ

สมการบัญญัติ

รับรูปแบบกำลังสองในรูปแบบ: F (x x ) = 5x 2				2x2.

หารูปแบบบัญญัติของสมการนี้

ตั้งแต่ที่นี่ 11 = 5; และ 21 = 2; และ 22 = 2 จากนั้นสมการคุณลักษณะ (2.56) สำหรับรูปแบบกำลังสองที่กำหนดจะมีรูปแบบ

5 - λ 2

2 2 - λ 1

การหาดีเทอร์มีแนนต์ของสมการเมทริกซ์นี้เป็นศูนย์

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

และการแก้สมการกำลังสองนี้ เราจะได้ λ1 = 6; λ2 = 1

แล้วรูปแบบบัญญัติของรูปแบบกำลังสองนี้จะมีลักษณะดังนี้

ฉ (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. พิกัดความโค้ง

2.3.1. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับระบบพิกัดโค้ง

คลาสของพิกัดโค้งเมื่อเทียบกับคลาสของพิกัดเป็นเส้นตรงนั้นกว้างขวางและหลากหลายกว่ามากและจากมุมมองเชิงวิเคราะห์นั้นเป็นสากลมากที่สุดเนื่องจากขยายความเป็นไปได้ของวิธีการพิกัดเป็นเส้นตรง การใช้พิกัดโค้งในบางครั้งอาจทำให้การแก้ปัญหาหลายๆ อย่างง่ายขึ้นอย่างมาก โดยเฉพาะปัญหาที่แก้ไขได้โดยตรงบนพื้นผิวของการปฏิวัติ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ปัญหาบนพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาฟังก์ชันบางอย่าง ในพื้นที่ของการระบุฟังก์ชันนี้บนพื้นผิวที่กำหนด คุณสามารถเลือกระบบพิกัดโค้งดังกล่าวที่จะช่วยให้คุณ บริจาค ฟังก์ชั่นนี้คุณสมบัติใหม่จะต้องคงที่ในระบบพิกัดที่กำหนด ซึ่งไม่สามารถทำได้เสมอไปเมื่อใช้ระบบพิกัดเป็นเส้นตรง

ระบบพิกัดโค้งที่กำหนดในบางพื้นที่ของพื้นที่แบบยุคลิดสามมิติกำหนดให้กับแต่ละจุดของพื้นที่นี้ด้วยลำดับสามของจำนวนจริง - φ, λ, r (พิกัดโค้งของจุด)

หากระบบพิกัดโค้งตั้งอยู่บนพื้นผิวบางส่วนโดยตรง (พื้นผิวของการปฏิวัติ) ในกรณีนี้แต่ละจุดของพื้นผิวจะได้รับตัวเลขจริงสองตัวคือ φ, λ ซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดบนพื้นผิวนี้โดยเฉพาะ

ระหว่างระบบพิกัดโค้ง φ, λ, r และคาร์ทีเซียน CS เป็นเส้นตรง (X, Y, Z) จะต้องมีอยู่ การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์. อันที่จริงให้ระบบพิกัดโค้งได้รับในบางพื้นที่ แต่ละจุดของพื้นที่นี้สอดคล้องกับพิกัดโค้งสามเท่า - φ, λ, r ในทางกลับกัน จุดเดียวกันนั้นสอดคล้องกับพิกัดคาร์ทีเซียนที่เป็นเส้นตรงเพียงสามเท่า - X, Y, Z จากนั้นจะเถียงได้ว่าใน ปริทัศน์

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2.58)

XYZ

r = r(X, Y, Z).

มีทั้งทางตรง (2.58) และความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ผกผันระหว่าง SC เหล่านี้

จากการวิเคราะห์สูตร (2.58) ตามมาด้วยค่าคงที่ของพิกัดความโค้งเชิงพื้นที่ φ, λ, r ตัวอย่างเช่น

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d const,

และ ค่าตัวแปรของอีกสองค่า (λ, r ) เราได้รับพื้นผิวโดยทั่วไปซึ่งเรียกว่าพิกัดหนึ่ง พื้นผิวพิกัดที่สอดคล้องกับพิกัดเดียวกันจะไม่ตัดกัน อย่างไรก็ตาม สองพื้นผิวพิกัดที่สอดคล้องกับพิกัดที่ต่างกันตัดกันและให้เส้นพิกัดที่สอดคล้องกับพิกัดที่สาม

2.3.2. พิกัดโค้งบนพื้นผิว

สำหรับ geodesy พิกัดความโค้งของพื้นผิวเป็นสิ่งที่น่าสนใจที่สุด

ให้สมการพื้นผิวเป็นฟังก์ชันของพิกัดคาร์ทีเซียนใน

มีรูปแบบโดยปริยาย
F (X, Y, Z) = 0.

โดยการนำเวกเตอร์หน่วยไปตามแกนพิกัด i, j, l (รูปที่ 2.11) สมการพื้นผิวสามารถเขียนได้ในรูปแบบเวกเตอร์

r \u003d X ฉัน + Y j + Z ล. (2.60)

เราแนะนำตัวแปรอิสระใหม่สองตัว φ และ λ เพื่อให้ฟังก์ชัน

เป็นไปตามสมการ (2.59) ความเท่าเทียมกัน (2.61) คือสมการพาราเมทริกของพื้นผิว

λ1=const

					λ2=const
					λ3=const
					φ3=const
					φ2=ค่าคงที่
					φ1=const

ข้าว. 2.11. ระบบพิกัดพื้นผิวโค้ง

ตัวเลขแต่ละคู่ φ และ λ สอดคล้องกับจุด (จุดเดียว) บนพื้นผิว และตัวแปรเหล่านี้สามารถใช้เป็นพิกัดของจุดบนพื้นผิวได้

ถ้าเราให้ค่าคงที่ต่างๆ φ = φ1 , φ = φ2 , … เราก็จะได้กลุ่มของเส้นโค้งบนพื้นผิวที่สอดคล้องกับค่าคงที่เหล่านี้ ในทำนองเดียวกันให้ค่าคงที่สำหรับ λ เราจะมี

ครอบครัวที่สองของเส้นโค้ง ดังนั้นเครือข่ายของเส้นพิกัด φ = const และ λ = const จึงถูกสร้างขึ้นบนพื้นผิว เส้นพิกัดโดยทั่วไป

เป็นเส้นโค้ง ดังนั้นตัวเลข φ, λ จึงถูกเรียกว่า

พิกัดความโค้ง จุดบนพื้นผิว

พิกัดความโค้งสามารถเป็นได้ทั้งปริมาณเชิงเส้นและเชิงมุม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบพิกัดโค้ง โดยที่พิกัดหนึ่งเป็นปริมาณเชิงเส้น และอีกตัวหนึ่งเป็นปริมาณเชิงมุม สามารถใช้เป็นพิกัดเชิงขั้วบนระนาบได้

การเลือกพิกัดโค้งไม่จำเป็นต้องมาก่อนการก่อตัวของเส้นพิกัด ในบางกรณี เป็นการสมควรมากกว่าที่จะสร้างเครือข่ายของเส้นพิกัดที่สะดวกที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่างบนพื้นผิว จากนั้นเลือกพารามิเตอร์ (พิกัด) สำหรับเส้นเหล่านี้ซึ่งจะมีค่าคงที่สำหรับแต่ละเส้นพิกัด

เครือข่ายเส้นพิกัดที่กำหนดไว้อย่างดียังสอดคล้องกับระบบพารามิเตอร์บางระบบ แต่สำหรับเส้นพิกัดแต่ละกลุ่ม พารามิเตอร์อื่น ๆ อีกมากมายสามารถเลือกได้ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีค่าเดียวของพารามิเตอร์นี้ ในกรณีทั่วไป มุมระหว่างเส้นพิกัดของแฟมิลี φ = const และเส้นของแฟมิลี λ = const สามารถมีค่าต่างกันได้

เราจะพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดโค้งมุมฉากเท่านั้น ซึ่งแต่ละเส้นพิกัด φ = const ตัดกับเส้นพิกัดอื่น λ= const ที่มุมฉาก

ในการแก้ปัญหาหลายอย่างบนพื้นผิวโดยเฉพาะปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพิกัดความโค้งของจุดพื้นผิว จำเป็นต้องมี สมการเชิงอนุพันธ์การเปลี่ยนแปลงของพิกัดความโค้ง φ และ λ ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของความยาว S ของเส้นโค้งพื้นผิว

ความสัมพันธ์ระหว่างดิฟเฟอเรนเชียล dS , dφ, dλ สามารถสร้างได้โดยการแนะนำตัวแปรใหม่ α นั่นคือมุม

α dS

φ = คอนสต

λ = คอนสต

λ+d λ = const

ทิศทางบวกของเส้น λ = const เป็นบวก

ทิศทางของเส้นโค้งนี้ (รูปที่ 2.12) มุมนี้ เหมือนเดิม กำหนดทิศทาง (การวางแนว) ของเส้นใน

จุดที่กำหนดบนพื้นผิว จากนั้น (ไม่มีเอาต์พุต):

ข้าว. 2.12. เรขาคณิตของการเชื่อมต่อของส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งบนพื้นผิวที่มีการเปลี่ยนแปลง (ส่วนต่าง) ของส่วนโค้ง

พิกัด

					∂X		2 ∂ และ 2
E = (rϕ )
						∂ϕ		∂ϕ
ก = (						∂X		∂ คุณ 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		บาป

วี มุม geodesy α สอดคล้องกับ geodetic azimuth: α =ก.

2.3.3. ระบบพิกัดเชิงขั้วและลักษณะทั่วไป

2.3.4. ระบบพิกัดเชิงพื้นที่

ในการกำหนดระบบเชิงพื้นที่ของพิกัดเชิงขั้ว คุณต้องเลือกระนาบก่อน (ต่อไปนี้เราจะเรียกว่าเครื่องหลัก) บางจุด O ถูกเลือกบนเครื่องบินลำนี้

การวัด

เซ็กเมนต์

พื้นที่แล้ว

ตำแหน่ง

จุดใดก็ได้ในอวกาศจะ

อย่างแน่นอน

มุ่งมั่น

ปริมาณ: r, φ, λ โดยที่ r คือ

ขั้วโลก

ระยะเส้นตรงจากเสา

O ไปยังจุด Q (รูปที่ 2.13); ล -

มุมขั้วคือมุมระหว่าง

ขั้วโลก

ข้าว. 2.13. ระบบอวกาศ

มุมฉาก

การฉายภาพ

รัศมีขั้วถึงหลัก

พิกัดเชิงขั้วและการดัดแปลง

เครื่องบิน

การเปลี่ยนแปลง

(รัศมีขั้ว) และของมัน

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

เวกเตอร์

การฉายภาพ

OQ0 บน

ขั้นพื้นฐาน

ระนาบ ถือเป็นค่าบวก (0 ≤ φ ≤ π/2) สำหรับจุดของครึ่งสเปซบวกและลบ (-π/2 ≤ φ ≤ 0) สำหรับจุดของครึ่งสเปซเชิงลบ

CS เชิงพื้นที่ใด ๆ สามารถเชื่อมต่อได้อย่างง่ายดาย (แปลง) ด้วย CS สี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเชิงพื้นที่

ถ้าเราหามาตราส่วนและจุดกำเนิดของระบบขั้วเป็นมาตราส่วนและจุดกำเนิดของพิกัดในระบบสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่ แกนขั้ว OP - เป็นกึ่งแกนของ abscissa OX เส้น OZ ที่ลากจากขั้ว O ตั้งฉากกับ ระนาบหลักในทิศทางบวกของระบบขั้ว - เช่นเดียวกับ OZ กึ่งแกนของระบบคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสำหรับกึ่งแกน - OS ให้ใช้แกนที่แกน abscissa ผ่านเมื่อหมุนผ่านมุม π / 2 ในทิศทางบวกในระนาบหลักของระบบขั้ว จากนั้นจากรูปที่ 2.13

สูตร (2.64) ช่วยให้เราสามารถแสดง X, Y, Z ในรูปของ r, φ, λ และในทางกลับกัน

จนถึงขณะนี้ ต้องการทราบตำแหน่งของจุดบนเครื่องบินหรือในอวกาศ เราได้ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ตัวอย่างเช่น เรากำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยใช้สามพิกัด พิกัดเหล่านี้คือ abscissa กำหนดและประยุกต์ใช้จุดแปรผันในอวกาศ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่าการระบุ abscissa, ordinate, และ applicate ของจุดนั้นไม่ใช่วิธีเดียวที่จะกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศ ซึ่งสามารถทำได้ในอีกทางหนึ่ง เช่น การใช้พิกัดโค้ง

ให้ตามกฎที่กำหนดไว้อย่างดีแต่ละจุด เอ็มพื้นที่ไม่ซ้ำกันสอดคล้องกับตัวเลขสามตัวบางตัว ( q 1 , q 2 , q 3) และจุดที่แตกต่างกันสอดคล้องกับตัวเลขสามตัวที่แตกต่างกัน จากนั้นเราบอกว่าระบบพิกัดได้รับในอวกาศ ตัวเลข q 1 , q 2 , q 3 ที่ตรงประเด็น เอ็มเรียกว่าพิกัด (หรือพิกัดโค้ง) ของจุดนี้

ขึ้นกับกฎซึ่งเลขสามตัว ( q 1 , q 2 , q 3) ใส่ในการติดต่อกับจุดในอวกาศพวกเขาพูดถึงระบบพิกัดอย่างใดอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการสังเกตว่าในระบบพิกัดที่กำหนด ตำแหน่งของจุด M จะถูกกำหนดโดยตัวเลข q 1 , q 2 , q 3 แล้วเขียนได้ดังนี้ เอ็ม(q 1 , q 2 , q 3).

ตัวอย่าง 1. ให้ทำเครื่องหมายจุดคงที่ในช่องว่าง อู๋(จุดกำเนิด) และแกนตั้งฉากทั้งสามแกนถูกลากผ่านมันด้วยมาตราส่วนที่เลือกไว้ (แกน วัว, ออย, ออนซ์). สามอย่าง x, y, zตรงกับจุด เอ็ม, โดยที่เส้นโครงของเวกเตอร์รัศมี โอมบนเพลา วัว, ออย, ออนซ์จะเท่ากันตามลำดับ x, y, z. วิธีสร้างความสัมพันธ์ระหว่างสามเท่าของตัวเลข ( x, y, z) และคะแนน เอ็มนำเราไปสู่ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่รู้จักกันดี

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในกรณีของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ไม่เพียงแต่ตัวเลขสามตัวแต่ละตัวที่สอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ แต่ในทางกลับกัน แต่ละจุดในอวกาศสอดคล้องกับพิกัดสามเท่า

ตัวอย่าง 2. ให้แกนพิกัดถูกวาดอีกครั้งในอวกาศ วัว, ออย, ออนซ์ผ่านจุดคงที่ อู๋(ต้นทาง).

พิจารณาเลขสามตัว r, เจ, z, ที่ไหน r³0; ฿0 เจ£2 พี, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку เอ็มเพื่อให้แอปพลิเคชันมีค่าเท่ากับ zและฉายขึ้นบนเครื่องบิน Oxyมีพิกัดเชิงขั้ว rและ เจ(ดูรูปที่ 4.1) เป็นที่ชัดเจนว่าที่นี่แต่ละสามของตัวเลข r, เจ, zตรงกับจุดใดจุดหนึ่ง เอ็มและในทางกลับกันแต่ละจุด เอ็มตอบเลขสามตัวบางตัว r, เจ, z. ข้อยกเว้นคือจุดที่อยู่บนแกน ออนซ์: ในกรณีนี้ rและ zมีการกำหนดไว้อย่างเฉพาะตัวและมุม เจสามารถกำหนดค่าใด ๆ ได้ ตัวเลข r, เจ, zเรียกว่าพิกัดทรงกระบอกของจุด เอ็ม.

มันง่ายที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดทรงกระบอกและคาร์ทีเซียน:

x = r×cos เจ; y = r×บาป เจ; z = z.

และกลับมา; ; z = z.

ตัวอย่าง 3. มาแนะนำระบบพิกัดทรงกลมกัน ตั้งสามตัวเลข r, q, เจการกำหนดตำแหน่งของจุด เอ็มในอวกาศดังนี้ rคือระยะทางจากจุดกำเนิดพิกัดถึงจุด เอ็ม(ความยาวของเวกเตอร์รัศมี) q ออนซ์และรัศมีเวกเตอร์ โอม(จุดละติจูด เอ็ม) เจคือมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน วัวและการฉายภาพของเวกเตอร์รัศมีบนระนาบ Oxy(จุดลองจิจูด เอ็ม). (ดูรูปที่ 4.2)

เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้ไม่ใช่เฉพาะทุกจุด เอ็มสอดคล้องกับตัวเลขสามตัวบางตัว r, q, เจ, ที่ไหน r³ 0, 0 £ q £ พี, 0£ เจ£2 พีแต่ในทางกลับกัน ตัวเลขสามตัวแต่ละตัวนั้นสอดคล้องกับจุดหนึ่งในอวกาศ (อีกครั้ง ยกเว้นจุดของแกน ออนซ์ที่ซึ่งเอกลักษณ์นี้ถูกละเมิด)

ง่ายต่อการค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดทรงกลมและพิกัดคาร์ทีเซียน:

x = rบาป q cos เจ; y = rบาป qบาป เจ; z = r cos q.

กลับไปที่ระบบพิกัดตามอำเภอใจ ( อ๊อค 1 , อ๊อค 2 , อ๊อค 3). เราจะถือว่าไม่เพียง แต่แต่ละจุดในอวกาศเท่านั้นที่สอดคล้องกับตัวเลขสามตัว ( q 1 , q 2 , q 3) แต่ในทางกลับกัน ตัวเลขสามตัวแต่ละตัวจะสอดคล้องกับจุดหนึ่งในอวกาศ ให้เราแนะนำแนวคิดของพื้นผิวพิกัดและเส้นพิกัด

คำนิยาม. เซตของจุดที่พิกัด q 1 เป็นค่าคงที่ เรียกว่า พื้นผิวพิกัด qหนึ่ง . พื้นผิวพิกัดถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน q 2 , และ q 3 (ดูรูปที่ 4.3)

แน่นอน ถ้าจุด M มีพิกัด กับ 1 , กับ 2 , กับ 3 จากนั้นพื้นผิวพิกัดตัดกันที่จุดนี้ q 1 =ค 1 ; q 2 =ค 2 ; q 3 =ค 3 .

คำนิยาม. เซตของจุดที่มีเพียงพิกัดเท่านั้นที่เปลี่ยน q 1 (และอีกสองพิกัด q 2 และ q 3 คงค่าคงที่) เรียกว่าเส้นพิกัด q 1 .

แน่นอนว่าเส้นพิกัดใด ๆ q 1 คือเส้นตัดของระนาบพิกัด q 2 และ q 3 .

เส้นพิกัดถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน q 2 และ q 3 .

ตัวอย่าง 1. พิกัดพื้นผิว (ตามพิกัด x) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระนาบทั้งหมด x= คอนเทมโพรารี (ขนานกับระนาบ ออยซ์). พื้นผิวพิกัดถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยพิกัด yและ z.

ประสานงาน xเส้นคือเส้นตรงขนานกับแกน วัว. ประสานงาน y-ไลน์ ( z-line) - เส้นตรงขนานกับแกน OU(แกน ออนซ์).

ตัวอย่าง 2. พื้นผิวพิกัดในระบบทรงกระบอกคือ: ระนาบใดๆ ขนานกับระนาบ Oxy(พิกัดพื้นผิว z= const) พื้นผิวของทรงกระบอกทรงกลมที่มีแกนหมุนไปตามแกน ออนซ์(พิกัดพื้นผิว r= const) และครึ่งระนาบที่ล้อมรอบด้วยแกน ออนซ์(พิกัดพื้นผิว เจ= const) (ดูรูปที่ 4.4)

ชื่อระบบพิกัดทรงกระบอกอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในพื้นผิวพิกัดมีพื้นผิวทรงกระบอก

เส้นพิกัดในระบบนี้คือ z-line - ตรงขนานกับแกน ออนซ์; เจ-line - วงกลมนอนอยู่ในระนาบแนวนอนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่แกน ออนซ์; และ r-line - รังสีที่ออกมาจากจุดใดจุดหนึ่งในแกน ออนซ์,ขนานกับระนาบ Oxy.

ข้าว. 4.5

เนื่องจากมีทรงกลมอยู่ในพื้นผิวพิกัด ระบบพิกัดนี้จึงเรียกว่าทรงกลม

เส้นพิกัดคือ: r-line - รังสีที่โผล่ออกมาจากแหล่งกำเนิด q-line - ครึ่งวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด เชื่อมจุดสองจุดบนแกน ออนซ์; เจ-line - วงกลมนอนอยู่ในระนาบแนวนอนมีศูนย์กลางที่แกน ออนซ์.

ในตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวข้างต้น เส้นพิกัดที่ผ่านจุดใดๆ เอ็มเป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นในทุกระบบพิกัด อย่างไรก็ตาม เราจำกัดตัวเองให้ศึกษาเฉพาะระบบพิกัดซึ่งในกรณีนี้เท่านั้น ระบบพิกัดดังกล่าวเรียกว่ามุมฉาก

คำนิยาม. ระบบพิกัด ( อ๊อค 1 , อ๊อค 2 , อ๊อค 3) เรียกว่า มุมฉาก ถ้าในแต่ละจุด เอ็มเส้นพิกัดที่ผ่านจุดนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก

พิจารณาตอนนี้บางประเด็น เอ็มและวาดเวกเตอร์หน่วยสัมผัส ณ จุดนี้เส้นพิกัดที่สอดคล้องกันและชี้ไปในทิศทางของการเพิ่มพิกัดที่สอดคล้องกัน หากเวกเตอร์เหล่านี้รวมกันเป็นสามเท่าตรงแต่ละจุด เราก็จะได้ระบบพิกัดที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, z(ด้วยการจัดเรียงแกนตามปกติ) ถูกต้อง ระบบพิกัดทรงกระบอกด้านขวาด้วย r, เจ, z(แต่แม่นๆ กับลำดับพิกัดนี้ ถ้าเปลี่ยนลำดับพิกัด เช่น r, z, เจเราไม่ได้รับระบบที่ถูกต้องอีกต่อไป)

ระบบพิกัดทรงกลมก็ถูกต้องเช่นกัน (หากคุณตั้งค่าลำดับดังกล่าว r, q, เจ).

โปรดทราบว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ทิศทางของเวกเตอร์หน่วยไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดใด เอ็มเราวาดเวกเตอร์นี้ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ เราสังเกตอย่างอื่นในระบบพิกัดโค้ง เช่น ในระบบพิกัดทรงกระบอก เวกเตอร์ที่จุด เอ็มและอีกจุดหนึ่ง เอ็ม 1 ไม่ต้องขนานกันอีกต่อไป เช่นเดียวกับเวกเตอร์ (ที่จุดต่างๆ โดยทั่วไปแล้วจะมีทิศทางต่างกัน)

ดังนั้นเวกเตอร์มุมฉากสามหน่วยในระบบพิกัดโค้งขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด เอ็มซึ่งในการพิจารณาเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์มุมฉากสามหน่วยเรียกว่าเฟรมเคลื่อนที่และเวกเตอร์เองเรียกว่า orts หน่วย (หรือเพียงแค่ orts)

สอดคล้องกับสเปซเวกเตอร์ดังกล่าว ในบทความนี้ คำจำกัดความแรกจะเป็นคำจำกัดความเริ่มต้น

ไม่มี (\displaystyle n)- ปริภูมิแบบยุคลิดแสดงไว้ E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)มักจะใช้สัญกรณ์ (ถ้าชัดเจนจากบริบทว่าช่องว่างมีโครงสร้างแบบยุคลิด)

สารานุกรม YouTube

1 / 5

✪ 04 - พีชคณิตเชิงเส้น อวกาศยุคลิด

✪ เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ส่วนที่หนึ่ง.

✪ เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ภาคสอง

✪ 01 - พีชคณิตเชิงเส้น เส้นตรง (เวกเตอร์) ช่องว่าง

✪ 8. ช่องว่างแบบยุคลิด

คำบรรยาย

คำนิยามที่เป็นทางการ

ในการกำหนดสเปซแบบยุคลิด เป็นการง่ายที่สุดที่จะใช้เป็นแนวคิดพื้นฐานของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ พื้นที่เวกเตอร์แบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่เวกเตอร์แบบมีมิติเหนือสนามของจำนวนจริง ซึ่งเวกเตอร์จะได้รับฟังก์ชันค่าจริง (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)ด้วยคุณสมบัติ 3 ประการดังนี้

ตัวอย่างพื้นที่แบบยุคลิด - พื้นที่พิกัด R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)ประกอบด้วยสิ่งอันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนจริง (x 1 , x 2 , … , xn) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

ความยาวและมุม

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่ให้ไว้ในสเปซแบบยุคลิดเพียงพอที่จะแนะนำแนวคิดทางเรขาคณิตของความยาวและมุม ความยาวเวกเตอร์ ยู (\ displaystyle u)กำหนดเป็น (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))และเขียนว่า | คุณ | . (\displaystyle |u|.)ความแน่นอนเชิงบวกของผลิตภัณฑ์ภายในรับประกันว่าความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ และตามมาจากภาวะสองเส้นที่ | คุณ | = | a | | คุณ | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)นั่นคือ ความยาวของเวกเตอร์ตามสัดส่วนเป็นสัดส่วน

มุมระหว่างเวกเตอร์ ยู (\ displaystyle u)และ v (\displaystyle v)ถูกกำหนดโดยสูตร φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)จากทฤษฎีบทโคไซน์ที่ว่าสเปซยูคลิดสองมิติ ( เครื่องบินยุคลิด) คำจำกัดความของมุมนี้ตรงกับมุมปกติ เวกเตอร์มุมฉากเช่นเดียวกับในปริภูมิสามมิติสามารถกำหนดเป็นเวกเตอร์ได้ซึ่งมุมระหว่างนั้นเท่ากับ π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy-Banyakovsky-Schwarz และความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

มีช่องว่างหนึ่งช่องว่างในคำจำกัดความของมุมที่ระบุข้างต้น: เพื่อ arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))ถูกกำหนดไว้แล้ว จำเป็นที่ความไม่เท่าเทียมกัน | (x, y) | x | | y | | ≤ 1 (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)ความเหลื่อมล้ำนี้เกิดขึ้นจริงในปริภูมิแบบยุคลิดตามอำเภอใจ เรียกว่า  Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz inequality จากอสมการนี้ ตามมาด้วยอสมการสามเหลี่ยม: | u+v | | คุณ | + | วี | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมร่วมกับคุณสมบัติความยาวที่แสดงด้านบน หมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เป็นบรรทัดฐานบนสเปซเวกเตอร์แบบยุคลิด และฟังก์ชัน d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)กำหนดโครงสร้างของพื้นที่เมตริกบนสเปซแบบยุคลิด (ฟังก์ชันนี้เรียกว่าเมตริกแบบยุคลิด) โดยเฉพาะระยะห่างระหว่างองค์ประกอบ (จุด) x (\displaystyle x)และ y (\displaystyle y)พิกัดพื้นที่ R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))กำหนดโดยสูตร d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

คุณสมบัติพีชคณิต

ฐานปกติ

ช่องว่างคู่และตัวดำเนินการ

เวกเตอร์ใดๆ x (\displaystyle x)สเปซแบบยุคลิดกำหนดเส้นตรง ฟังก์ชัน x ∗ (\displaystyle x^(*))บนพื้นที่นี้ถูกกำหนดเป็น x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)การทำแผนที่นี้เป็น isomorphism ระหว่างอวกาศแบบยุคลิดกับ