Vývoj algoritmu pro analýzu filtrace signálu. Algoritmus lineárního digitálního filtrování. Strukturní diagram rekurzivního digitálního filtru

Fyzicky proveditelné digitální filtry, které pracují v reálném čase, mohou používat následující data pro generování výstupního signálu v diskrétním časovém okamžiku: a) hodnota vstupního signálu v okamžiku vzorkování, stejně jako určitý počet "minulých" vstupní vzorky určitý počet předchozích vzorků výstupního signálu Celá čísla typ určuje pořadí CF. Klasifikace CF se provádí různými způsoby v závislosti na tom, jak se používají informace o minulých stavech systému.

Příčné CF.

Toto je název pro filtry, které pracují v souladu s algoritmem.

kde je posloupnost koeficientů.

Číslo je řádem příčného digitálního filtru. Jak je vidět ze vzorce (15.58), příčný filtr provádí vážené sčítání předchozích vzorků vstupního signálu a nepoužívá minulé vzorky výstupního signálu. Aplikováním z-transformace na obě strany výrazu (15.58) to zajistíme

Z toho vyplývá, že systém funguje

je zlomková racionální funkce z s vícenásobným pólem a nulami, jejíž souřadnice jsou určeny koeficienty filtru.

Algoritmus pro fungování transverzálního DF je znázorněn na blokovém schématu na Obr. 15.7.

Rýže. 15.7. Schéma pro konstrukci příčného digitálního filtru

Hlavními prvky filtru jsou bloky zpoždění vzorkových hodnot pro jeden vzorkovací interval (obdélníky se symboly) a také škálovací bloky, které provádějí digitální násobení odpovídajícími koeficienty. Z výstupů stupnicových bloků jdou signály do sčítačky, kde sečtením tvoří vzorek výstupního signálu.

Forma zde prezentovaného diagramu vysvětluje význam pojmu "příčný filtr" (z anglického transverse - příčný).

Softwarová implementace transverzální digitální funkce.

Je třeba mít na paměti, že blokové schéma zobrazené na Obr. 15.7 není schematický diagram elektrický obvod, ale pouze slouží grafický obrázek algoritmus zpracování signálu. S využitím prostředků jazyka FORTRAN uvažujme fragment programu, který implementuje příčnou digitální filtraci.

Pustit dovnitř paměť s náhodným přístupem Počítač je tvořen dvěma jednorozměrnými poli M buněk: pole s názvem X, které ukládá hodnoty vstupního signálu, a pole s názvem A, obsahující hodnoty koeficientů filtru.

Obsah buněk v poli X se změní pokaždé, když je přijat nový vzorek vstupního signálu.

Předpokládejme, že toto pole je vyplněno předchozími vzorky vstupní sekvence a zvažte situaci, která nastane v okamžiku příchodu dalšího vzorku, který je v programu označen jako S. Tento vzorek by měl být umístěn v buňce číslo 1, ale pouze za předchozím záznamem je o jednu pozici vpravo, tedy směrem k zaostávající straně.

Takto vytvořené prvky pole X se po členech vynásobí prvky pole A a výsledek se zanese do buňky s názvem Y, kde se akumuluje vzorová hodnota výstupního signálu. Níže je text programu příčného digitálního filtrování:

Impulzní odezva. Vraťme se ke vzorci (15.59) a vypočítejme impulsní odezvu příčného CF provedením inverzní z-transformace. Je snadné vidět, že každý člen funkce přispívá k odpovídajícímu koeficientu, posunutému o pozice směrem ke zpoždění. Tak tady

K tomuto závěru lze dojít přímo, vezmeme-li v úvahu blokové schéma filtru (viz obr. 15.7) a za předpokladu, že na jeho vstup je přiveden „jediný impuls“.

Je důležité poznamenat, že impulsní odezva příčného filtru obsahuje konečný počet členů.

Frekvenční odezva.

Pokud změníme proměnnou ve vzorci (15.59), dostaneme koeficient přenosu frekvence

Pro daný vzorkovací krok A lze vhodnou volbou hmotností filtrů realizovat širokou škálu forem frekvenční odezvy.

Příklad 15.4. Prozkoumejte frekvenční charakteristiky příčného digitálního filtru druhého řádu, který průměruje aktuální hodnotu vstupního signálu a dvou předchozích vzorků podle vzorce

Systémová funkce tohoto filtru

Rýže. 15.8. Frekvenční charakteristiky příčného DF z příkladu 15.4: a - frekvenční charakteristika; b - PFC

odkud najdeme koeficient přenosu frekvence

Elementární transformace vedou k následujícím výrazům pro frekvenční odezvu ve fázové odezvě tohoto systému:

Odpovídající grafy jsou na Obr. 15.8, a, b, kde je hodnota vynesena podél vodorovných os - fázový úhel vzorkovacího intervalu při aktuální hodnotě frekvence.

Předpokládejme například, že na jednu periodu kmitání harmonického vstupu připadá šest vzorků. V tomto případě bude mít vstupní sekvence tvar

(na absolutních hodnotách vzorků nezáleží, protože filtr je lineární). Pomocí algoritmu (15.62) najdeme výstupní sekvenci:

Je vidět, že tomu odpovídá harmonický výstupní signál stejné frekvence jako na vstupu, s amplitudou rovnou amplitudě vstupního kmitání a s počáteční fází posunutou o 60° směrem ke zpoždění.

Rekurzivní DF.

Tento druh digitální filtry se vyznačuje tím, že pro tvorbu výstupního počtu se používají předchozí hodnoty nejen vstupních a výstupních signálů:

(15.63)

navíc koeficienty, které určují rekurzivní část filtračního algoritmu, nejsou zároveň rovny nule. Aby se zdůraznil rozdíl mezi strukturami těchto dvou typů digitálních filtrů, transverzální filtry se také nazývají nerekurzivní filtry.

Systémová funkce rekurzivní digitální funkce.

Provedením z-transformace obou stran rekurentního vztahu (15.63) zjistíme, že funkce systému

popisující frekvenční vlastnosti rekurzivního CF, má póly v rovině z. Pokud jsou koeficienty rekurzivní části algoritmu reálné, pak tyto póly buď leží na reálné ose, nebo tvoří komplexně konjugované páry.

Strukturní diagram rekurzivního digitálního filtru.

Na Obr. 15.9 ukazuje schéma algoritmu výpočtů prováděných podle vzorce (15.63). Horní část blokového diagramu odpovídá příčné (nerekurzivní) části filtračního algoritmu. K jeho implementaci jsou v obecném případě zapotřebí rozsáhlé bloky (multiplikační operace) a paměťové buňky, ve kterých jsou uloženy vstupní vzorky.

Spodní část blokového diagramu odpovídá rekurzivní části algoritmu. Využívá postupné výstupní hodnoty, které se během provozu filtru posouvají z buňky na buňku.

Rýže. 15.9. Strukturní diagram rekurzivního digitálního filtru

Rýže. 15.10. Strukturní schéma kanonického rekurzivního digitálního filtru 2. řádu

Nevýhodou tohoto implementačního principu je potřeba velkého počtu paměťových buněk, zvlášť pro rekurzivní a nerekurzivní část. Dokonalejší jsou kanonická schémata rekurzivních digitálních funkcí, ve kterých je použit minimální možný počet paměťových buněk rovný největšímu z čísel. Jako příklad lze uvést Obr. 15.10 ukazuje blokové schéma kanonického rekurzivního filtru druhého řádu, který odpovídá funkci systému

Abyste se ujistili, že tento systém implementuje danou funkci, zvažte pomocnou diskrétní signál na výstupu sčítačky 1 a zapište dvě zřejmé rovnice:

(15.67)

Provedením -transformace rovnice (15.66) zjistíme, že

Na druhou stranu, v souladu s výrazem (15.67)

Spojením vztahů (15.68) a (15.69) dospějeme k dané systémové funkci (15.65).

Stabilita rekurzivních digitálních funkcí.

Rekurzivní CF je diskrétní analog dynamického systému s zpětná vazba, protože hodnoty jeho předchozích stavů jsou uloženy v paměťových buňkách. Jsou-li dány nějaké počáteční podmínky, tedy množina hodnot, pak při nepřítomnosti vstupního signálu filtr vytvoří prvky nekonečné sekvence, která hraje roli volných oscilací.

Digitální filtr se nazývá stabilní, pokud volný proces, který v něm vzniká, je nerostoucí sekvence, tj. hodnoty at nepřesahují nějaké kladné číslo M, bez ohledu na volbu počátečních podmínek.

Volné oscilace v rekurzivní digitální funkci založené na algoritmu (15.63) jsou řešením lineární diferenční rovnice

Analogicky s principem lineárního řešení diferenciální rovnice budeme hledat řešení (15.70) ve formě exponenciální funkce

s dosud neznámou hodnotou. Dosazením (15,71) do (15,70) a zrušením společným činitelem vidíme, že a je kořenem charakteristické rovnice

Na základě (15.64) se tato rovnice přesně shoduje s rovnicí, která je splněna póly systémové funkce rekurzivního CF.

Nechť je nalezen kořenový systém rovnice (15.72). Potom bude mít obecné řešení diferenční rovnice (15.70) tvar

Koeficienty by měly být zvoleny tak, aby byly splněny počáteční podmínky.

Pokud všechny póly systému fungují, tj. čísla nepřesahují jednu v absolutní hodnotě, jsou umístěny uvnitř jednotkové kružnice se středem v bodě, pak na základě (15.73) bude jakýkoli volný proces v CF popsán pomocí podmínky klesajícího geometrického průběhu a filtr bude stabilní. Je jasné, že prakticky lze aplikovat pouze stabilní digitální filtry.

Příklad 15.5. Prozkoumejte stabilitu rekurzivního digitálního filtru 2. řádu se systémovou funkcí

Charakteristická rovnice

má kořeny

Křivka popsaná rovnicí na koeficientové rovině je hranicí, nad kterou jsou póly systémové funkce reálné a pod kterou jsou komplexně sdružené.

V případě komplexně konjugovaných pólů je tedy jednou z hranic oblasti stability přímka 1.

Rýže. 15.11. Oblast stability rekurzivního filtru 2. řádu (póly filtru jsou komplexně konjugované v barevně označené oblasti)

S ohledem na skutečné póly máme ve formuláři podmínku stability

LABORATORNÍ PRÁCE

ALGORITHMY FILTROVÁNÍ SIGNÁLUV systému řízení procesů

Cílová. Seznámit se s algoritmy pro filtrování naměřených náhodných signálů, které jsou nejrozšířenější v systému řízení procesů, a provést srovnávací analýzu jejich přesnosti a implementačních vlastností v počítači.

Cvičení

1) pro dané charakteristiky náhodných signálů vypočítejte optimální parametry filtru,

2) simulovat filtrační systém na počítači a vypočítat chybu filtrace pro každou z uvažovaných metod,

3) provést srovnávací analýzu účinnosti uvažovaných algoritmů.

Základní ustanovení. 1 Stanovení problému optimální filtrace. Signály z měřicích zařízení často obsahují náhodnou chybu - rušení. Úkolem filtrování je oddělit užitečnou složku signálu od interference do té či oné míry. Zpravidla se předpokládá, že užitečný signál i interference jsou stacionární náhodné procesy, pro které jsou známy jejich statistické charakteristiky: matematické očekávání, rozptyl, korelační funkce, spektrální hustota. Při znalosti těchto charakteristik je nutné najít filtr ve třídě lineárních dynamických systémů nebo v užší třídě lineárních systémů s danou strukturou tak, aby se signál na výstupu filtru co nejméně lišil od užitečného signálu.

Obr. 1. K vyjádření problému filtrace

Pojďme zavést notaci a přesněji formulovat problém filtrace. Nechte vstup filtru s impulsní odezvou Na(t) a odpovídající (díky Fourierově transformaci) 0

AFH W(iω) jsou přijímány užitečné signály X(t) a interference, která s tím nesouvisí z(t) (Obr. 1). Korelační funkce a spektrální hustoty užitečného signálu a interference jsou označeny R X (t), S X (t), R z (t) a S z (t) ... Je nutné najít charakteristiky filtru k (t) nebo W (t), aby efektivní hodnota rozdílu ε mezi signálem na výstupu filtru a užitečným signálem x byl minimální. Pokud je charakteristika filtru známa s přesností jednoho nebo více parametrů, je nutné zvolit optimální hodnoty těchto parametrů.

Chyba ε obsahuje dvě složky. První ( ε 1 ) souvisí se skutečností, že určitá část hluku stále projde filtrem a druhá ( ε 2 ) - aby se tvar užitečného signálu při průchodu filtrem změnil. Stanovení optimální charakteristiky filtru je tedy hledáním kompromisního řešení, které minimalizuje celkovou chybu.

Představme si frekvenční odezvu filtru ve tvaru:

W (iω) = A (ω) exp.

Pomocí vzorců spojujících spektrální hustoty náhodných procesů na vstupu a výstupu lineárního systému s jeho frekvenční charakteristikou vypočítáme spektrální hustoty každé z chybových složek.

Pro chybu spojenou s přeskakováním šumu získáme

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektrální hustota chyby spojené se zkreslením užitečného signálu je

S ε2 (ω) = S X (ω )|1 – W(iω)| 2

Součet těchto složek S ε má spektrální hustotu

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Vezmeme-li v úvahu, že

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) hřích 2 F(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S X (ω) A 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Střední kvadratická chyba souvisí se spektrální hustotou výrazem

Minimalizací S ε (ω ) na F(ω) a A (ω), dostáváme se k rovnicím

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Zjištěné charakteristiky optimálního filtru odpovídají hustotě spektrální chyby

Minimální střední kvadratická chyba

(3)

Bohužel nalezený filtr není realizovatelný, protože podmínka rovnosti nuly na všech frekvencích fázově-frekvenční odezvy znamená, že impulsní odezva filtru je sudá funkce, je nenulová nejen pro t>0 , ale také na t(Obrázek 2, a).

Pro jakýkoli fyzicky realizovatelný filtr platí následující požadavek: Na(t) = 0 na t (obr. 2, b). Tento požadavek by měl být uveden v prohlášení o problému. Přirozeně dosažitelná chyba σ zároveň by se zvýšil. Problém optimálního filtrování s ohledem na fyzickou proveditelnost byl vyřešen.

Rýže. 2. Impulsní charakteristiky nerealizovatelných (a) a realizovatelných (b) filtrů

Rýže. 3. Spektrální hustoty užitečného signáluS X (ω) a hlukS z (ω) a amplitudově-frekvenční charakteristika optimálního filtru A * (ω) s nepřekrývajícím se (a) a překrývajícím se (b)S X (ω) aS z (ω)

N. Wiener. Jeho řešení je mnohem složitější než výše uvedené, proto v této práci budeme hledat fyzicky realizovatelné filtry pouze ve třídě filtrů, jejichž vlastnosti jsou specifikovány přesně na hodnoty parametrů. Množství vypočítaný podle vzorce (3) může sloužit jako nižší odhad dosažitelné chyby filtrování.

Fyzikální význam vztahu (2, b) je znázorněn na Obr. 3. Pokud se spektra užitečného signálu a interference nepřekrývají, pak A (ω) by měla být rovna nule tam, kde je spektrální hustota interference odlišná od nuly, a rovna jedné pro všechny frekvence, na kterých S X (ω)>0 ... Na Obr. 3, b znázorňuje znak A * (ω) v případě, kdy se spektrální hustoty signálu a interference vzájemně překrývají.

Mezi filtry s danou strukturou jsou nejrozšířenější filtry založené na operaci klouzavého průměru, dále exponenciální filtr a tzv. statistický filtr nultého řádu. Exponenciální filtr je aperiodický filtr prvního řádu a statistický filtr nultého řádu je zesilovací spoj. Podívejme se podrobněji na každý z uvedených filtrů.

Filtr klouzavého průměru. Výstup filtru souvisí s jeho vstupem poměrem

Impulzní přechodová funkce filtru je znázorněna na obr. 4,a. Frekvenční charakteristiky jsou stejné

Impulzní odezvu lze vyjádřit pomocí Heavisideovy funkce 1(t)

k(t) = k.

Nastavitelnými parametry filtru jsou zisk k a paměť T.

Exponenciální filtr(obr. 4, b). Výstupní signál je určen diferenciální rovnicí

y/ γ + y = kg

Impulzní odezva je:

Kmitočtové charakteristiky

Parametry filtru jsou zisk k a časová konstanta inverzní k γ .

Rýže. 4. Impulsní přechodové funkcek(t) a amplitudově-frekvenční charakteristiky А (ω) typických filtrů: а - průměr proudu; b - exponenciální; c) statický nulový řád

Statistický filtr nultého řádu. Tento filtr, jak je uvedeno výše, je zesilující odkaz. Jeho vlastnosti

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; F(ω) = 0

Hmotnost uvedených filtrů neumožňuje dosažení ideální filtrace ani při disjunktních signálových a interferenčních spektrech. Minimalizujte chybu σ ε můžete vybrat parametry k, T, y... To vyžaduje vlastnosti filtru A (ω) a F(ω) jako funkci frekvence a parametrů dosaďte do vzorce (1), vezměte integrál výsledného výrazu, který bude funkcí parametrů filtru, a najděte minimum tohoto integrálu nad parametry.

Například pro statistický filtr Coulombova řádu bude mít spektrální hustota chyby tvar:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S X ω (1 – k 2 )

Integrální S ε se rovná rozptylu interference vynásobené π ... Dostaneme

Vezměme v úvahu, že integrály na pravé straně této rovnosti se rovnají rozptylům užitečného signálu a šumu, takže

Podmínka pro minimum tohoto výrazu s ohledem na k vede k rovnosti

Po dosazení nalezené hodnoty k do výrazu pro rozptyl chyby dostaneme:

Filtry aktuálního průměru a exponenciály mají každý dva nastavitelné parametry a jejich optimální hodnoty nelze tak snadno vyjádřit charakteristikou užitečného signálu a šumu, ale tyto hodnoty lze zjistit numerickými metodami pro zjištění minimálně funkce ve dvou proměnných.

Obr. 5 Blokové schéma počítačové simulace systému filtrování náhodných signálů

2. Popis simulovaného systému. Práce se provádí modelováním na počítači systému skládajícího se z následujících bloků (obr. 5).

1. Generátor vstupního signálu I, včetně generátoru náhodného signálu (GSS) a dvou tvarovacích filtrů se specifikovanými charakteristikami W X (iω) a W z (iω) , na jehož výstupu je přijímán užitečný signál X(t) a překážkou z(t) ... Mezi generátorem náhodného signálu a tvarovacím filtrem W z zahrnoval zpožďovací spoj Δ, poskytující posun o dva až tři hodinové cykly. V tomto případě vstup filtru, který tvoří rušení, a vstup filtru, který tvoří užitečný signál, spolu nekorelují.

2. Blok pro výpočet korelačních funkcí
.

3. Filtrační jednotka (II), včetně vlastního filtru
a blok pro výpočet chyby filtrování
.

Užitečný signál generovaný v systému X(t) a překážkou z(t) jsou stacionární náhodné procesy, jejichž korelační funkce lze přibližně aproximovat exponenty tvaru (obr. 6)

(6)

kde

Odhady rozptylu signálu a vypočítaný pomocí bloku (při τ = 0); parametry α a α z nastavuje učitel.

3. Diskrétní implementace spojitých filtrů. Používáme diskrétní implementace spojitých filtrů popsaných výše. Diskrétní krok t Ó trvat podstatně kratší dobu, než je doba doznívání korelačních funkcí užitečného signálu a šumu. Proto lze výše uvedené výrazy (1) pro výpočet σ ε prostřednictvím spektrálních charakteristik vstupního signálu a šumu použít v diskrétním případě.

Nejprve najdeme diskrétní analogy filtrů, které tvoří náhodné procesy s korelačními funkcemi ze signálu přijatého z GSS (6). Spektrální hustoty odpovídající těmto korelačním funkcím mají tvar

(7)

Přenosové funkce tvarovacích filtrů pro případ, kdy je rozptyl signálu na výstupu z GSS roven jedné, jsou

Není těžké to vidět

Pokud je signál na vstupu každého z tvarovacích filtrů označen ξ , pak mají diferenciální rovnice odpovídající výše napsaným přenosovým funkcím tvar

Odpovídající rozdílové analogy budou zapsány ve tvaru;

Algoritmus pro provoz filtru, který tvoří užitečný signál, má tedy tvar:

(8a)

Stejně tak u filtru pro tvarování šumu

(8b)

Analogy spojitých filtrů navržených k izolaci rušení jsou následující:

pro filtr klouzavého průměru

(9)

kde je hodnota l vyberte si z podmínky (l + 1) t Ó = T;

pro exponenciální filtr

(10)

pro statistický filtr nultého řádu

na i = kg i (11)

Prováděcí příkaz. 1. Vytvořte a odlaďte podprogramy bloku pro filtrování aktuálních informací a výpočet chyb filtrování.

2. Získejte realizace náhodných procesů na výstupu tvarovacích filtrů a použijte je k nalezení odhadů rozptylů užitečného signálu a šumu a také korelačních funkcí R X (τ) a R z (τ) ... Přibližně definovat α NS a α z a porovnat s vypočítanými.

3. Počítejte podle S X (ω) a S z (ω) analyticky nebo na počítači dolní mez pro chybu filtrování rms.

4. Pomocí vzorce (4) najděte optimální zisk statistického filtru nultého řádu a odpovídající hodnotu porovnat s.

5. K nalezení optimálních parametrů klouzavého průměru a exponenciálních filtrů a efektivních chyb filtrace používám jednu ze známých metod hledání minima funkce dvou proměnných a předem sestavený program. V tomto případě specifická kombinace parametrů filtru odpovídá hustotě spektrální chyby S ε (ω) definovaný vzorcem (1) a z něj najděte hodnotu po numerické integraci.

6. Zadejte filtrační program do počítače, experimentálně určete střední kvadraturu pro optimální a neoptimální parametry filtru, porovnejte výsledky s vypočtenými.

7. Proveďte srovnávací analýzu účinnosti různých filtračních algoritmů pro následující ukazatele: a) minimální dosažitelná střední kvadratická chyba; b) požadované množství paměti RAM; c) počítačový čas počítání.

Zpráva by měla obsahovat: 1) blokové schéma systému (viz obr. 5);

2) podprogramy tvarování a syntetizovaných filtrů;

3) výpočet optimálních parametrů filtrů a odpovídajících hodnot střední kvadratické chyby;

4) výsledky analýzy uvažovaných algoritmů a závěry.

Stánek 6.2. Vytvoření projektu 6.3. Studie APCS na školení laboratoř... jistý cíle jejich činnosti. Cíle aktivity...

I.O. Příjmení "" 20 g

Dokument

Režim práce);. … […) [Název režimu práce] ... podle laboratoř analýzy; 5) ... požadavky na APCS... Technologické procesy ... zpracování a analýza informací ( signály, zprávy, dokumenty atd... algoritmy filtrace a algoritmy eliminovat hluk z cíl ...

Inteligentní automatizace v semestrálních a diplomových projektech

abstraktní

Drát. cílová... produkt... signál HART pro integraci do systémů APCS ... filtrace Existují různé typy prachových senzorů. DT400G funguje ... algoritmus... chemický průmysl. Technické prostředky a laboratoř práce/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Pracovní program oboru "automatizace technologických procesů"

Pracovní program

... CÍLE A CÍLE UČENÍ DISCIPLÍNĚ Účel... hlavní komponenty APCS- ovladače ... pohledy signály c ... opravy chyb, filtrace zprávy,... algoritmy a programy, besedy, výkon kontroly funguje. Laboratoř třídy. Laboratoř ...

Fyzikálně proveditelné digitální filtry, které pracují v reálném čase, mohou pro generování výstupního signálu v i-tém diskrétním časovém okamžiku použít následující data: a) hodnotu vstupního signálu v okamžiku i-tého vzorku, jako stejně jako určitý počet "minulých" vstupních vzorků, b) určitý počet předcházejících vzorků výstupního signálu Celá čísla ma n definují pořadí CF. Klasifikace CF se provádí různými způsoby v závislosti na tom, jak se používají informace o minulých stavech systému.

Traisverse CF. Toto je název pro filtry, které pracují v souladu s algoritmem.

kde -posloupnost koeficientů.

Číslo T je řád příčného digitálního filtru. Jak je vidět ze vzorce (2.138), příčný filtr provádí vážené sčítání předchozích vzorků vstupního signálu a nepoužívá minulé vzorky výstupního signálu. Aplikujeme-li z-transformaci na obě strany výrazu (2.138), vidíme to

Z toho vyplývá, že systém funguje

je zlomková racionální funkce z , mající m-násobný pól při z = 0 a T nuly, jejichž souřadnice jsou určeny koeficienty filtru.

Algoritmus pro fungování transverzálního DF je znázorněn na blokovém schématu na Obr. 2.17.

Rýže. 2.17. Schéma pro konstrukci příčného digitálního filtru

Hlavními prvky filtru jsou bloky zpoždění vzorkových hodnot pro jeden vzorkovací interval (obdélníky se symboly z -1) a také škálovací bloky, které provádějí digitální násobení odpovídajícími koeficienty. Z výstupů stupnicových bloků jdou signály do sčítačky, kde sečtením tvoří vzorek výstupního signálu.

Forma zde prezentovaného diagramu vysvětluje význam termínu „příčný filtr“ (z anglického transverse).

Impulzní odezva. Vraťme se ke vzorci (2.139) a vypočítejme impulsní odezvu příčného CF provedením inverzní z-transformace. Je snadné vidět, že každý člen funkce H (z) má příspěvek rovný odpovídajícímu koeficientu , přemístěno o NS pozice směrem k zaostávající straně. Tak tady

K tomuto závěru lze dojít přímo, vezmeme-li v úvahu blokové schéma filtru (viz obr. 2.17) a za předpokladu, že na jeho vstup je přiveden „jediný impuls“ (1, 0, 0, 0, ...).

Je důležité poznamenat, že impulsní odezva příčného filtru obsahuje konečný počet členů.

Frekvenční odezva. Pokud ve vzorci (2.139) změníme proměnnou , pak dostaneme koeficient přenosu frekvence

Pro daný krok vzorkování A vhodnou volbou hmotností filtrů je možné realizovat širokou škálu forem frekvenční odezvy.

Metody syntézy digitálních filtrů. Nejrozšířenější v praxi syntézy digitálních filtrů jsou tři níže popsané metody.

Metoda invariantních impulsních odezev.

Tato metoda je založena na předpokladu, že syntetizovaný digitální filtr by měl mít impulsní odezvu, která je výsledkem vzorkování impulsní odezvy odpovídajícího prototypu analogového filtru. Znamená syntézu fyzikálně realizovatelných systémů, u kterých mizí impulsní odezva t<0 , získáme následující výraz pro impulsní odezvu CF:

kde T krok vzorkování času.

Je třeba poznamenat, že počet jednotlivých členů ve výrazu pro impulsní odezvu CF může být konečný nebo nekonečný. To určuje strukturu syntetizovaného filtru: příčný filtr odpovídá impulsní odezvě s konečným počtem vzorků, zatímco rekurzivní DF je zapotřebí k implementaci nekonečně dlouhé impulsní odezvy.

Vztah mezi koeficientem impulsní odezvy a strukturou DF je zvláště jednoduchý pro příčný filtr. V obecném případě se syntéza struktury filtru provádí aplikací z-převod na sekvenci výše uvedeného formuláře. Nalezením funkce systému H (z) filtr, měli byste jej porovnat s obecným výrazem a určit koeficienty příčné a rekurzivní části. Stupeň aproximace amplitudově-frekvenční charakteristiky syntetizovaného digitálního filtru k charakteristice analogového prototypu závisí na zvoleném kroku vzorkování. V případě potřeby byste měli vypočítat koeficient přenosu frekvence digitálního filtru provedením systémové funkce H (z) změnit proměnnou podle vzorce
a poté porovnejte výsledek s frekvenčním ziskem analogového obvodu.

DF syntéza založená na diskretizaci diferenciální rovnice

analogový obvod.

Ke struktuře digitálního filtru, která přibližně odpovídá známému analogovému obvodu, lze dospět diskretizací diferenciální rovnice popisující analogový prototyp. Jako příklad použití této metody uvažujme syntézu CF odpovídající oscilační dynamické soustavě druhého řádu, pro kterou platí vztah mezi výstupní oscilací y (t) a vstupní kolísání x (t) je stanovena diferenciální rovnicí

(2.142)

Předpokládejme, že krok vzorkování je  t a zvážit sběr diskrétních vzorků  na 1  a  NS 1  ... Pokud jsou derivace ve vzorci nahrazeny jejich konečnými diferenčními výrazy, pak se diferenciální rovnice změní na diferenční rovnici

Přeuspořádáním podmínek získáme:

(2.144)

Diferenční rovnice definuje algoritmus rekurzivního filtru 2. řádu, který simuluje analogový oscilační systém a nazývá se digitální rezonátor. Při vhodné volbě koeficientů může digitální rezonátor fungovat jako frekvenčně selektivní filtr, podobně jako oscilační obvod.

Metoda invariantních frekvenčních charakteristik .

Je v podstatě nemožné vytvořit digitální filtr, jehož frekvenční charakteristika by přesně opakovala frekvenční charakteristiku některého analogového obvodu. Důvodem je, že, jak víte, koeficient přenosu frekvence DF je periodická funkce frekvence s periodou určenou krokem vzorkování.

Když mluvíme o podobnosti (invarianci) frekvenčních charakteristik analogového a digitálního filtru, můžeme pouze požadovat, aby celý nekonečný interval frekvencí ω a, vztažený k analogovému systému, byl převeden na frekvenční segment ω q digitálního filtru. uspokojení nerovnosti
při zachování celkového pohledu na frekvenční charakteristiku.

Nech být K A (R) přenosová funkce analogového filtru specifikovaná zlomkovým racionálním vyjádřením v mocninách p... Pokud použijete vztah mezi proměnnými z a p, pak můžeme napsat:

. (2.145)

S tímto zákonem vztah mezi p a z je nemožné získat fyzicky realizovatelnou funkci systémového filtru, protože substituce do výrazu K A (R) dá systémovou funkci, která není vyjádřena jako podíl dvou polynomů. Proto je pro syntézu dolnopropustných filtrů spojení formuláře

, (2.146)

který také mapuje body jednotkové kružnice v rovině z do bodů pomyslné osy na rovině p. Pak

, (2.147)

odkud vyplývá vztah mezi frekvenčními proměnnými  analogové a digitální systémy:

. (2.148)

Pokud je vzorkovací frekvence dostatečně vysoká ( C T<<1), pak, jak je snadno vidět ze vzorce (2.147),  A  C... Při nízkých frekvencích jsou tedy vlastnosti analogového a digitálního filtru prakticky stejné. Obecně je nutné počítat s transformací stupnice podél frekvenční osy digitálního filtru.

V praxi je postup pro syntézu CF stejný jako ve funkci K A (R) analogový obvod je nahrazen proměnnou podle vzorce (2.145). Výsledná systémová funkce DF se ukáže jako zlomkově racionální, a proto umožňuje přímo zapsat algoritmus digitální filtrace.

Samotestovací otázky

Který filtr se nazývá odpovídající.

Jaká je impulsní odezva filtru.

Jaký je signál na výstupu přizpůsobeného filtru.

Jaké filtry se nazývají digitální.

Jaký je rozdíl mezi algoritmy pro provoz rekurzivního a transverzálního filtru.

Jaké jsou hlavní metody syntézy digitálních filtrů? .

Jaké jsou hlavní vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace.

Algoritmy pro analytickou gradaci, digitální filtrování pomocí metod exponenciálního vyhlazování a klouzavého průměru. Robustní, horní propust, pásmová propust a vrubové filtry. Diskrétní diferenciace, integrace a průměrování naměřených hodnot.

Filtr je systém nebo síť, která selektivně mění tvar signálu (amplitudově-frekvenční nebo fázově-frekvenční odezvu). Hlavními cíli filtrování je zlepšení kvality signálu (například odstranění nebo snížení rušení), extrahování informací ze signálů nebo oddělení několika signálů, které byly dříve kombinovány, například pro efektivní využití dostupného komunikačního kanálu.

Digitální filtr - jakýkoli filtr, který zpracovává digitální signál za účelem izolace a/nebo potlačení určitých frekvencí tohoto signálu.

Na rozdíl od digitálního filtru se analogový filtr zabývá analogovým signálem, jeho vlastnosti jsou nediskrétní (spojité), respektive přenosová funkce závisí na vnitřních vlastnostech jeho prvků.

Zjednodušené blokové schéma digitálního filtru reálného času s analogovým vstupem a výstupem je na Obr. 8a. Úzkopásmový analogový signál je periodicky vzorkován a převáděn na sadu digitálních vzorků, x (n), n = 0,1, Filtry digitálního procesoru, mapující vstupní sekvenci x (n) na výstup y (n) podle výpočetního filtru algoritmus. DAC převádí digitálně filtrovaný výstup na analogové hodnoty, které jsou pak analogově filtrovány, aby se vyhladily a odstranily nežádoucí vysokofrekvenční složky.

Rýže. 8a. Zjednodušené blokové schéma digitálního filtru

Činnost digitálních filtrů je zajišťována převážně softwarovými prostředky, proto se oproti analogovým ukazují jako mnohem flexibilnější v aplikaci. Pomocí digitálních filtrů je možné implementovat takové přenosové funkce, které jsou konvenčními metodami velmi obtížně dosažitelné. Digitální filtry však zatím nemohou nahradit analogové filtry ve všech situacích, takže zůstává potřeba nejoblíbenějších analogových filtrů.

Abychom pochopili podstatu digitální filtrace, je nejprve nutné určit matematické operace, které se provádějí se signály v digitální filtraci (DF). K tomu je užitečné zapamatovat si definici analogového filtru.

Lineární analogový filtr je čtyřportová síť, ve které je realizována lineární transformace vstupního signálu na výstupní signál. Matematicky je tato transformace popsána obyčejnou lineární diferenciální rovnice N-tý řád

kde a jsou koeficienty, které jsou buď konstanty nebo funkce času t; - pořadí filtrů.

Lineární diskrétní filtr je diskrétní verze analogového lineárního filtru, ve kterém je kvantovaná (vzorkovaná) nezávislá proměnná - čas (je krok vzorkování). V tomto případě lze celočíselnou proměnnou považovat za „diskrétní čas“ a signály za funkce „diskrétního času“ (tzv. mřížkové funkce).

Matematicky je funkce lineárního diskrétního filtru popsána lineárním diferenční rovnice druhu

kde a jsou naměřené hodnoty vstupního a výstupního signálu; a - koeficienty filtračního algoritmu, které jsou buď konstanty nebo funkce "diskrétního času" n.

Filtrační algoritmus (2.2) může být implementován pomocí analogové nebo digitální technologie. V prvním případě nejsou čtení vstupních a výstupních signálů podle úrovně kvantována a mohou nabývat libovolných hodnot v rozsahu jejich variace (tj. mít sílu kontinua). Ve druhém případě jsou vzorky signálů a jsou kvantovány podle úrovně, a proto mohou nabývat pouze „povolené“ hodnoty určené bitovou hloubkou digitálních zařízení. Kvantované vzorky signálu jsou navíc kódovány, takže aritmetické operace prováděné ve výrazu (2.2) se neprovádějí na samotných signálech, ale na jejich binárních kódech. Kvůli kvantizaci z hlediska úrovně signálu a stejně tak koeficientů a rovnosti v algoritmu (2.2) nemůže být přesná a je splněna pouze přibližně.

Lineární digitální filtr je tedy digitální zařízení, které přibližně implementuje filtrační algoritmus (2.2).

Hlavní nevýhodou analogových a diskrétních filtrů je, že při změně provozních podmínek (teplota, tlak, vlhkost, napájecí napětí, stárnutí prvků atd.) se mění jejich parametry. Tohle vede k nekontrolovaně chyby výstupního signálu, tzn. na nízkou přesnost zpracování.

Chyba výstupního signálu v digitálním filtru nezávisí na provozních podmínkách (teplota, tlak, vlhkost, napájecí napětí atd.), ale je určena pouze krokem kvantizace signálu a algoritmem samotného filtru, tzn. vnitřní důvody. Tato chyba je ovládané lze jej snížit zvýšením počtu bitů reprezentujících vzorky digitálních signálů. Právě tato okolnost určuje hlavní výhody digitálních filtrů oproti analogovým a diskrétním (vysoká přesnost zpracování signálu a stabilita DF charakteristiky).

DF podle typu algoritmu zpracování signálu se dále dělí na stacionární a nestacionární, rekurzivní a nerekurzivní, lineární a nelineární.

Hlavní charakteristikou CF je filtrační algoritmus, podle kterého se provádí realizace KF. Algoritmus filtrování popisuje provoz CF libovolné třídy bez omezení, zatímco jiné charakteristiky mají omezení na třídu CF, například některé z nich jsou vhodné pro popis pouze stacionárních lineárních CF.

Rýže. 11. Klasifikace CF

Na Obr. 11 ukazuje klasifikaci digitálních filtrů (DF). Klasifikace je založena na funkčním principu, tzn. Digitální filtry jsou dále rozděleny na základě algoritmů, které implementují, a neberou v úvahu žádné obvodové vlastnosti.

DF výběru frekvence. Jedná se o nejznámější, dobře prostudovaný a v praxi testovaný typ CF. Z algoritmického hlediska řeší DF frekvenční výběr následující problémy:

· Přidělení (potlačení) jednoho a priori specifikovaného frekvenčního pásma; podle toho, které frekvence jsou potlačeny a které ne, se rozlišují dolní propust (LPF), horní propust (HPF), pásmová propust (PF) a vrubový filtr (RF);

· Oddělení spektrálních složek signálu čárovým spektrem na samostatných frekvenčních kanálech, rovnoměrně a rovnoměrně rozložených v celém frekvenčním rozsahu; rozlišovat mezi CF s decimací v čase a decimací ve frekvenci; a protože hlavní metodou snižování nákladů na hardware je kaskádování nižší selektivity než původní sady PF, vícestupňová pyramidální struktura, která z toho vyplývá, se nazývala „preselektor-selektor“ DF;

· Separace spektrálních složek signálu do samostatných frekvenčních kanálů, jejichž spektrum se skládá z dílčích pásem různé šířky, nerovnoměrně rozložených v pracovním rozsahu filtru.

Rozlišuje se mezi filtrem s konečnou impulsní odezvou (FIR filtr) nebo filtrem s nekonečnou impulsní odezvou (IIR filtr).

Optimální (kvazioptimální) CF. Tento typ filtrů se používá, když je potřeba vyhodnotit určité fyzikální veličiny charakterizující stav systému vystaveného náhodným poruchám. Současným trendem je využívání výdobytků teorie optimálního filtrování a implementace zařízení minimalizujících střední kvadrát chyby odhadu. Dělí se na lineární a nelineární, podle toho, které rovnice popisují stav systému.

Pokud jsou stavové rovnice lineární, pak se aplikuje optimální Kalmanův CF, pokud jsou stavové rovnice systému nelineární, pak se používají různé vícekanálové CF, jejichž kvalita se zlepšuje s nárůstem počtu kanálů.

Existují různé speciální případy, kdy algoritmy implementované optimálními (kvazioptimálními) CF mohou být zjednodušeny bez významné ztráty přesnosti: to je za prvé případ lineárního stacionárního systému vedoucího ke známému Wienerovu CF; za druhé, případ pozorování pouze v jednom pevném okamžiku, což vede k DF, které je optimální podle kritéria maximálního poměru signálu k šumu (SNR); za třetí, případ stavových rovnic systému blízkých lineárním vedoucím k nelineárním filtrům prvního a druhého řádu atd.

Důležitým problémem je také zajištění necitlivosti všech výše uvedených algoritmů na odchylky statistických charakteristik systému od předem stanovených; syntéza takových DF, nazývaná robustní.

Adaptivní CF. Podstata adaptivní digitální filtrace je následující: pro zpracování vstupního signálu (obvykle jsou adaptivní DF sestaveny s jedním kanálem) se používá konvenční FIR filtr; IR tohoto filtru však nezůstane jednou provždy nastaveno, jako tomu bylo při zvažování frekvenčního výběru DF; rovněž se nemění podle a priori daného zákona, jako tomu bylo při posuzování Kalmanova CF; Jsou korigovány s příchodem každého nového vzorku takovým způsobem, aby se minimalizovala střední kvadratická chyba filtrace v daném kroku. Adaptivní algoritmus je chápán jako opakující se postup pro přepočítávání vektoru IH vzorků v předchozím kroku na vektor „nových“ IH vzorků pro další krok.

Heuristické CF. Jsou možné situace, kdy je použití matematicky správných postupů zpracování nepraktické, protože to vede k neodůvodněně vysokým nákladům na hardware. Heuristický přístup je (z řečtiny a lat. Evrica- „hledání“, „objevování“) při využívání znalostí, studiu kreativního, nevědomého myšlení člověka. Heuristika je spojena s psychologií, fyziologií vyšší nervové aktivity, kybernetikou a dalšími vědami. Heuristický přístup je „generován“ touhou vývojářů snížit náklady na hardware a stal se rozšířeným navzdory absenci rigorózního matematického zdůvodnění. Jedná se o tzv. CF s autorovým obvodovým řešením, jedním z nejznámějších příkladů je tzv. střední filtr.