E jest. E (funkcje E). Wyrażenia w terminach funkcji trygonometrycznych

Opisanie e jako „stałej w przybliżeniu równej 2,71828…” jest jak nazywanie pi „liczbą niewymierną w przybliżeniu równą 3,1415…”. Bez wątpienia tak, ale kwestia wciąż nam umyka.

Liczba pi to stosunek obwodu do średnicy, taki sam dla wszystkich okręgów... Jest to podstawowa proporcja tkwiąca we wszystkich okręgach, dlatego bierze udział w obliczaniu obwodu, pola, objętości i pola powierzchni dla okręgów, kul, cylindrów itp. Pi pokazuje, że wszystkie okręgi są połączone, nie mówiąc już o funkcjach trygonometrycznych wywodzących się z okręgów (sinus, cosinus, tangens).

Liczba e jest podstawowym wskaźnikiem wzrostu dla wszystkich stale rosnących procesów. Liczba e pozwala wziąć proste tempo wzrostu (gdzie różnica jest widoczna dopiero na koniec roku) i obliczyć składowe tego wskaźnika, normalnego wzrostu, w którym z każdą nanosekundą (lub nawet szybciej) wszystko trochę rośnie jeszcze.

Liczba e uczestniczy zarówno w wykładniczych, jak i stałych systemach wzrostu: populacji, rozpadu promieniotwórczego, liczenia procentowego i wielu, wielu innych. Nawet stopniowane systemy, które nie rosną równomiernie, można przybliżyć za pomocą liczby e.

Tak jak dowolna liczba może być postrzegana jako „skalowana” wersja 1 (jednostka podstawowa), każdy okrąg może być postrzegany jako „skalowana” wersja okręgu jednostkowego (o promieniu 1). A każde tempo wzrostu może być postrzegane jako „skalowana” wersja e (jednostkowa stopa wzrostu).

Tak więc liczba e nie jest liczbą losową. Liczba e uosabia ideę, że wszystkie stale rosnące systemy są skalowanymi wersjami tej samej metryki.

Koncepcja wzrostu wykładniczego

Zacznijmy od przyjrzenia się podstawowemu systemowi, który debel przez pewien czas. Na przykład:

• Bakterie dzielą się i „podwajają” w ilości co 24 godziny
• Dostaniemy dwa razy więcej makaronu, jeśli podzielimy go na pół.
• Twoje pieniądze podwajają się co roku, jeśli zarobisz 100% (szczęście!)

A wygląda to tak:

Dzielenie lub podwajanie to bardzo prosty postęp. Oczywiście możemy trzykrotnie lub czterokrotnie, ale podwojenie jest wygodniejsze dla wyjaśnienia.

Matematycznie, jeśli mamy x podziałów, otrzymujemy 2 ^ x razy więcej dobra niż mieliśmy na początku. Jeśli zrobimy tylko 1 split, otrzymamy 2 ^ 1 razy więcej. Jeśli są 4 partycje, otrzymujemy 2 ^ 4 = 16 części. Ogólna formuła wygląda tak:

wzrost= 2x

Innymi słowy, podwojenie to 100% wzrost. Możemy przepisać tę formułę w ten sposób:

wzrost= (1 + 100%) x

To jest ta sama równość, podzieliliśmy tylko „2” na jej części składowe, co w istocie jest tą liczbą: wartość początkowa (1) plus 100%. Sprytne, co?

Oczywiście możemy zastąpić dowolną inną liczbę (50%, 25%, 200%) zamiast 100% i uzyskać wzór na wzrost dla tego nowego współczynnika. Ogólny wzór na x okresów szeregu czasowego będzie następujący:

wzrost = (1+wzrost) x

Oznacza to po prostu, że używamy stopy zwrotu (1 + przyrost), „x” razy z rzędu.

Przyjrzyjmy się bliżej

Nasz wzór zakłada, że ​​przyrost następuje w dyskretnych krokach. Nasze bakterie czekają, czekają, a potem bum! iw ostatniej chwili ich liczba się podwaja. Nasz zysk z odsetek od lokaty pojawia się magicznie dokładnie za 1 rok. W oparciu o powyższy wzór zysk rośnie stopniowo. Nagle pojawiają się zielone kropki.

Ale świat nie zawsze taki jest. Powiększając obraz, widzimy, że nasi bakteryjni przyjaciele nieustannie się dzielą:

Zielony kolega nie powstaje z niczego: powoli wyrasta z niebieskiego rodzica. Po 1 okresie czasu (w naszym przypadku 24 godziny) zielony przyjaciel jest już w pełni dojrzały. Po dojrzeniu staje się pełnoprawnym niebieskim członkiem stada i może samodzielnie tworzyć nowe zielone komórki.

Czy ta informacja w jakiś sposób zmieni nasze równanie?

Nie. W przypadku bakterii, częściowo uformowane zielone komórki nadal nie mogą nic zrobić, dopóki nie urosną i nie oddzielą się od swoich niebieskich rodziców. Więc równanie jest poprawne.

Funkcją jest model. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej // niezależny oznacza dowolny.

Funkcja to reguła, według której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć jedyną wartość zmiennej zależnej. // tj. jest jeden y dla każdego x.

Z definicji wynika, że ​​istnieją dwa pojęcia - zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjmować dowolne wartości) oraz zmienną zależną (którą oznaczamy przez y lub f(x) i jest wyliczana z funkcji, gdy podstawiamy x).

NA PRZYKŁAD y = 5 + x

1. Niezależność to x, więc przyjmujemy dowolną wartość, niech x = 3

2. a teraz obliczamy y, więc y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y jest zależne od x, bo jakie x podstawiamy, to jest y i otrzymujemy)

Mówi się, że zmienna y funkcjonalnie zależy od zmiennej x i jest oznaczona następująco: y = f (x).

NA PRZYKŁAD.

1.y = 1 / x. (tzw. hiperbola)

2.y = x ^ 2. (tzw. parabola)

3.y = 3x + 7. (zwana linią prostą)

4.y = √x. (tzw. gałąź paraboli)

Zmienna niezależna (którą oznaczamy jako x) nazywa się argumentem funkcji.

Zakres funkcji

Zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez argument funkcji nazywa się dziedziną funkcji i jest oznaczony jako D (f) lub D (y).

Rozważ D (y) dla 1., 2., 3., 4.

1. D (y) = (∞; 0) i (0; + ∞) // cały zestaw liczb rzeczywistych, z wyjątkiem zera.

2.D (y) = (∞; + ∞) // wszystkie liczby rzeczywiste

3.D (y) = (∞; + ∞) // wszystkie liczby rzeczywiste

4.D (y) =)