Algoritmo di filtraggio digitale. Algoritmi per il filtraggio digitale dei segnali basati sulla teoria degli insiemi fuzzy titov dmitry anatolevich. Automazione intelligente nei progetti di corsi e diplomi

Università Politecnica Statale di San Pietroburgo

Facoltà di Cibernetica Tecnica

Dipartimento di Automazione e Ingegneria Informatica

RAPPORTO

per lavori di laboratorio n. 3

Ricerca di algoritmi di filtraggio digitale ricorrenti

segnali con il metodo della media.

Completato dallo studente gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Controllato da: V.D. Yarmiychuk

San Pietroburgo

1. Obiettivi del lavoro

Lo scopo del lavoro è familiarizzare con vari algoritmi per il filtraggio digitale dei segnali con il metodo della media e studiare l'efficienza del loro lavoro in condizioni in cui viene imposto un rumore di tipo "rumore bianco" con zero aspettative matematiche sul segnale utile e

dispersione controllata.

2. Metodologia di ricerca

Sono allo studio filtri basati sui seguenti algoritmi:

1). Algoritmo di media ricorrente con memoria infinita.

Lo scopo del filtro è isolare la componente costante del segnale utile sullo sfondo dell'interferenza.

Espressione per esso in forma ricorrente:

Quando fornisce .

2). Algoritmo di media ricorrente con fattore di correzione costante.

Lo scopo del filtro è isolare le componenti a bassa frequenza del segnale utile in ingresso sullo sfondo del rumore.

Se accetti, puoi scrivere questa equazione nella forma:

Da cui, passando al tempo continuo, si ottiene la funzione di trasferimento del filtro:

Cioè il filtro costruito secondo questo algoritmo, per valori piccoli, equivale a

un filtro passa-basso analogico del primo ordine.

3). Algoritmo di media della memoria finita ricorrente.

Lo scopo del filtro è evidenziare le componenti a bassa frequenza del segnale in ingresso

utilizzando la media di un numero limitato delle sue misurazioni più recenti.

L'efficienza del filtraggio digitale, ovvero una misura di riduzione del livello di rumore all'uscita del filtro rispetto al livello di rumore all'ingresso, sarà stimata come segue:

Dove: - segnale rumoroso all'ingresso del filtro

Segnale utile all'ingresso del filtro

Segnale di uscita del filtro

Segnale utile all'uscita del filtro

3. Schema dell'esperimento (vedi Appendice 1)

4. Risultati sperimentali

4.1. Algoritmo di media ricorrente con memoria infinita

Gli studi sono stati condotti con un periodo di campionamento costante di 100 ms.

Considera come l'efficienza del filtro cambia dalla grandezza del segnale di ingresso costante (X).

LAVORO DI LABORATORIO

ALGORITMI DI FILTRO DEL SEGNALENel sistema di controllo di processo

Obbiettivo. Conoscenza degli algoritmi per il filtraggio dei segnali casuali misurati, più comuni nel sistema di controllo del processo, conducendo un'analisi comparativa della loro accuratezza e delle caratteristiche di implementazione in un computer.

Esercizio

1) per le caratteristiche date dei segnali casuali, calcolare i parametri di filtro ottimali,

2) simulare il sistema di filtrazione su un computer e calcolare l'errore di filtrazione per ciascuno dei metodi considerati,

3) effettuare un'analisi comparativa dell'efficacia degli algoritmi considerati.

Disposizioni di base. 1 Enunciato del problema della filtrazione ottima. I segnali dei dispositivi di misurazione spesso contengono un errore casuale: l'interferenza. Il compito del filtraggio è di separare in un modo o nell'altro la componente utile del segnale dall'interferenza. Di norma, sia il segnale utile che l'interferenza sono assunti come processi casuali stazionari di cui sono note le caratteristiche statistiche: aspettativa matematica, varianza, funzione di correlazione, densità spettrale. Conoscendo queste caratteristiche, è necessario trovare un filtro nella classe dei sistemi dinamici lineari o in una classe più ristretta di sistemi lineari con una data struttura in modo che il segnale all'uscita del filtro differisca il meno possibile dal segnale utile.

Fig. 1. Sulla dichiarazione del problema di filtrazione

Introduciamo la notazione e formuliamo più precisamente il problema della filtrazione. Lascia che l'ingresso del filtro con una risposta all'impulso Per(T) e il corrispondente (dovuto alla trasformata di Fourier) 0

AFKh W(io) si ricevono segnali utili X(T) e l'interferenza che non è correlata con esso z(T) (Fig. 1). Le funzioni di correlazione e le densità spettrali del segnale utile e dell'interferenza sono indicate con R X (T), S X (T), R z (T) e S z (T) ... È necessario trovare le caratteristiche del filtro k (t) o W (t) in modo che il valore efficace della differenza ε tra il segnale all'uscita del filtro e il segnale utile x era minimo. Se la caratteristica del filtro è nota con una precisione di uno o più parametri, è necessario scegliere i valori ottimali di questi parametri.

Errore ε contiene due componenti. Il primo ( ε 1 ) è dovuto al fatto che una parte del rumore passerà ancora attraverso il filtro, e la seconda ( ε 2 ) - in modo che la forma del segnale utile cambi quando passa attraverso il filtro. Pertanto, la determinazione della caratteristica ottimale del filtro è una ricerca di una soluzione di compromesso che minimizzi l'errore totale.

Rappresentiamo la risposta in frequenza del filtro nella forma:

W (iω) = A (ω) esp.

Utilizzando le formule che collegano le densità spettrali dei processi casuali all'ingresso e all'uscita di un sistema lineare con la sua risposta in frequenza, calcoliamo le densità spettrali di ciascuna delle componenti di errore.

Per l'errore associato al salto del rumore si ottiene

S 1 (ω) = S z (ω ) UN 2 (ω )

La densità spettrale dell'errore associato alla distorsione del segnale utile è

S 2 (ω) = S X (ω )|1 – W(io)| 2

La somma di queste componenti S ε ha la densità spettrale

S ε (ω ) = S 1 (ω ) + S 2 (ω )

Considerando che

|1 – W(io)| 2 = 2 + A 2 (ω ) peccato 2 F(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) UN 2 (ω) + S X (ω) UN 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) UN(ω) cosf(ω) . (1)

L'errore quadratico medio è correlato alla densità spettrale dall'espressione

Riducendo al minimo S ε (ω ) Su F(ω) e A (ω), arriviamo alle equazioni

cosF * (ω ) = 1
F *(ω ) = 0

2S z (ω ) LA (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Le caratteristiche trovate del filtro ottimale corrispondono alla densità di errore spettrale

Errore quadratico medio minimo

(3)

Sfortunatamente, il filtro trovato non è realizzabile, poiché la condizione di uguaglianza a zero a tutte le frequenze della risposta in frequenza di fase significa che la risposta all'impulso del filtro è una funzione pari, è diversa da zero non solo per T>0 , ma anche a T(Figura 2, a).

Per qualsiasi filtro realizzabile fisicamente, vale il seguente requisito: Per(T) = 0 a t (fig. 2, b). Questo requisito dovrebbe essere introdotto nella dichiarazione del problema. Naturalmente, l'errore realizzabile σ allo stesso tempo aumenterebbe. Il problema del filtraggio ottimale tenendo conto della fattibilità fisica è stato risolto.

Riso. 2. Caratteristiche di impulso dei filtri non realizzabili (a) e realizzabili (b)

Riso. 3. Densità spettrali del segnale utileS X (ω) e rumoreS z (ω) e la caratteristica ampiezza-frequenza del filtro ottimale A * (ω) con non sovrapposizione (a) e sovrapposizione (b)S X (ω) eS z (ω)

N. Wiener. La sua soluzione è molto più complicata di quella data sopra, quindi, in questo lavoro, cercheremo filtri realizzabili fisicamente solo nella classe di filtri le cui caratteristiche sono specificate con precisione ai valori dei parametri. La quantità calcolato dalla formula (3) può servire come stima inferiore dell'errore di filtraggio ottenibile.

Il significato fisico della relazione (2, b) è illustrato in Fig. 3. Se gli spettri del segnale utile e dell'interferenza non si sovrappongono, allora A (ω) dovrebbe essere uguale a zero dove la densità spettrale dell'interferenza è diversa da zero, e uguale a uno per tutte le frequenze alle quali S X (ω)>0 ... Nella fig. 3, b mostra il carattere A * (ω) nel caso in cui le densità spettrali del segnale e l'interferenza si sovrappongano.

Tra i filtri con una data struttura, i più diffusi sono i filtri basati sull'operazione di media mobile, nonché un filtro esponenziale e il cosiddetto filtro statistico di ordine zero. Un filtro esponenziale è un filtro aperiodico del primo ordine e un filtro statistico di ordine zero è un collegamento di amplificazione. Consideriamo più in dettaglio ciascuno dei filtri menzionati.

Filtro media mobile. L'uscita del filtro è correlata al suo ingresso dal rapporto

La funzione transitoria impulsiva del filtro è mostrata in Fig. 4, a. Le caratteristiche di frequenza sono uguali

La risposta all'impulso può essere espressa in termini di funzione di Heaviside 1(T)

K(T) = K.

I parametri del filtro regolabili sono guadagno K e memoria T.

Filtro esponenziale(Fig. 4, b). Il segnale di uscita è determinato dall'equazione differenziale

sì/ γ + sì = kg

La risposta all'impulso è:

Caratteristiche di frequenza

I parametri del filtro sono il guadagno K e la costante di tempo inversa a γ .

Riso. 4. Funzioni transitorie impulsiveK(T) e caratteristiche ampiezza-frequenza А (ω) dei filtri tipici: а - media della corrente; b - esponenziale; c) ordine zero statico

Filtro statistico di ordine zero. Questo filtro, come accennato in precedenza, è un collegamento di amplificazione. Le sue caratteristiche

sì(T) = kg(T) ; UN(ω) = K; F(ω) = 0

Il peso dei filtri elencati non consente di ottenere un filtraggio ideale anche con segnali disgiunti e spettri di interferenza. Riduci al minimo l'errore σ ε puoi selezionare i parametri k, T,... Ciò richiede caratteristiche di filtro A (ω) e F(ω) in funzione della frequenza e dei parametri, sostituire nella formula (1), prendere l'integrale dell'espressione risultante, che sarà funzione dei parametri del filtro, e trovare il minimo di questo integrale sui parametri.

Ad esempio, per un filtro statistico di ordine Coulomb, la densità spettrale dell'errore avrà la forma:

S ε (ω ) = S z (ω ) K 2 + S X ω (1 – K 2 )

Integrante S ε è uguale alla varianza dell'interferenza moltiplicata per π ... Noi abbiamo

Si tenga conto che gli integrali a destra di questa uguaglianza sono uguali alle varianze del segnale utile e del rumore, per cui

La condizione per il minimo di questa espressione rispetto a K porta all'uguaglianza

Dopo la sostituzione del valore trovato K nell'espressione per la varianza dell'errore, si ottiene:

I filtri della corrente media ed esponenziale hanno due parametri regolabili ciascuno, e i loro valori ottimali non possono essere espressi così facilmente attraverso le caratteristiche del segnale e del rumore utili, ma questi valori possono essere trovati con metodi numerici per trovare il minimo di una funzione in due variabili.

Fig. 5 Schema a blocchi della simulazione al computer di un sistema di filtraggio del segnale casuale

2. Descrizione del sistema simulato. Il lavoro viene svolto modellando al computer un sistema costituito dai seguenti blocchi (Fig. 5).

1. Generatore di segnali di ingresso I, compreso un generatore di segnali casuali (GSS) e due filtri di sagomatura con caratteristiche specificate W X (io) e W z (io) , alla cui uscita viene ricevuto un segnale utile X(T) e ostacolo z(T) ... Tra il generatore di segnali casuali e il filtro di sagomatura W z includeva un collegamento di ritardo , che forniva uno spostamento di due o tre cicli di clock. In questo caso, l'ingresso del filtro che forma il rumore e l'ingresso del filtro che forma il segnale utile non sono correlati tra loro.

2. Blocco per il calcolo delle funzioni di correlazione
.

3. Unità di filtrazione (II), incluso il filtro vero e proprio
e un blocco per il calcolo dell'errore di filtraggio
.

Segnale utile generato nel sistema X(T) e ostacolo z(T) sono processi casuali stazionari, le cui funzioni di correlazione possono essere approssimate approssimativamente da esponenti della forma (Fig. 6)

(6)

dove

Stime della varianza del segnale e calcolato utilizzando un blocco (a τ = 0); i parametri α e α z sono impostati dall'insegnante.

3. Implementazione discreta di filtri continui. Usiamo implementazioni discrete dei filtri continui descritti sopra. Discretezza passo T o impiegano significativamente meno del tempo di decadimento delle funzioni di correlazione del segnale utile e del rumore. Pertanto, le espressioni di cui sopra (1) per calcolare σ ε attraverso le caratteristiche spettrali del segnale di ingresso e del rumore possono essere utilizzate anche nel caso discreto.

Troviamo prima analoghi discreti di filtri che formano processi casuali con funzioni di correlazione dal segnale ricevuto dal GSS (6). Le densità spettrali corrispondenti a queste funzioni di correlazione hanno la forma

(7)

Le funzioni di trasferimento dei filtri di sagomatura per il caso in cui la varianza del segnale all'uscita del GSS è uguale a uno, sono

Non è difficile vederlo

Se il segnale all'ingresso di ciascuno dei filtri di sagomatura è indicato con ξ , allora le equazioni differenziali corrispondenti alle funzioni di trasferimento scritte sopra hanno la forma

Gli analoghi delle differenze corrispondenti saranno scritti nella forma;

Pertanto, l'algoritmo del filtro, che forma il segnale utile, ha la forma:

(8a)

Allo stesso modo per il filtro di formazione del rumore

(8b)

Gli analoghi dei filtri continui progettati per isolare le interferenze sono i seguenti:

per il filtro della media mobile

(9)

dove il valore io scegli dalla condizione (io + 1) T oh = T;

per filtro esponenziale

(10)

per il filtro statistico di ordine zero

a io = kg io (11)

Ordine di esecuzione. 1. Creare ed eseguire il debug delle subroutine del blocco per filtrare le informazioni correnti e calcolare gli errori di filtraggio.

2. Ottenere realizzazioni di processi casuali all'uscita dei filtri di sagomatura e utilizzarli per trovare stime delle varianze del segnale e del rumore utili, nonché funzioni di correlazione R X (τ) e R z (τ) ... Definire approssimativamente α NS e α z e confrontare con quelli calcolati.

3. Calcola per S X (ω) e S z (ω) analiticamente o su un computer limite inferiore per l'errore di filtraggio rms.

4. Usando la formula (4), trova il guadagno ottimale del filtro statistico di ordine zero e il valore corrispondente con cui si confronta.

5. Utilizzo uno dei metodi noti per trovare il minimo di una funzione di due variabili e un programma compilato in anticipo per trovare i parametri ottimali dei filtri a media mobile ed esponenziale e gli errori di filtraggio rms. In questo caso, una specifica combinazione di parametri del filtro corrisponde alla densità di errore spettrale S ε (ω) definita dalla formula (1), e da essa trova il valore dopo integrazione numerica.

6. Immettere il programma di filtraggio nel computer, determinare sperimentalmente l'errore quadratico medio per i parametri di filtro ottimali e non ottimali, confrontare i risultati con quelli calcolati.

7. Condurre un'analisi comparativa dell'efficacia dei vari algoritmi di filtraggio per i seguenti indicatori: a) il minimo errore quadratico medio ottenibile; b) volume richiesto memoria ad accesso casuale; c) tempo di conteggio computerizzato.

La relazione dovrebbe contenere: 1) uno schema a blocchi del sistema (vedi Fig. 5);

2) sottoprogrammi di sagomatura e filtri di sintesi;

3) calcolo dei parametri ottimali dei filtri e dei corrispondenti valori dell'errore quadratico medio;

4) i risultati dell'analisi degli algoritmi considerati e le conclusioni.

Stand 6.2. Creazione del progetto 6.3. Studio APCS alla formazione laboratorio... certo obiettivi le loro attività. Obiettivi attività...

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Modalità opera) ;. … […) [Nome modalità opera] ... secondo laboratorio analisi; 5) ... requisiti per APCS... Processi tecnologici ... elaborazione e analisi delle informazioni ( segnali, messaggi, documenti, ecc... algoritmi filtrazione e algoritmi eliminare il rumore da scopo ...

Automazione intelligente nei progetti di corsi e diplomi

astratto

Il cavo. obbiettivo... Prodotto ... segnale HART per l'integrazione nei sistemi APCS ... filtrazione ci sono diversi tipi di sensori di polvere. DT400G lavori ... algoritmo...l'industria chimica. Mezzi tecnici e laboratorio opera/ G.I. Lapshenkov, L.M. ...

Programma di lavoro della disciplina "automazione dei processi tecnologici"

Programma di lavoro

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Filtri digitali fisicamente realizzabili che operano in tempo reale possono utilizzare i seguenti dati per generare il segnale di uscita in un istante discreto: a) il valore del segnale di ingresso al momento del campionamento, nonché un certo numero di "passati" campiona in ingresso un certo numero di campioni precedenti del segnale in uscita Interi il tipo determina l'ordine del CF. La classificazione delle CF viene effettuata in modi diversi, a seconda di come vengono utilizzate le informazioni sugli stati passati del sistema.

CF trasversali.

Questo è il nome dato ai filtri che funzionano secondo l'algoritmo.

dove è una sequenza di coefficienti.

Il numero è l'ordine del filtro digitale trasversale. Come si vede dalla formula (15.58), il filtro trasversale esegue una somma pesata dei campioni precedenti del segnale di ingresso e non utilizza i campioni passati del segnale di uscita. Applicando la trasformazione z a entrambi i lati dell'espressione (15.58), ci assicuriamo che

Ne segue che la funzione di sistema

è una funzione razionale frazionaria z con un polo multiplo a e zeri, le cui coordinate sono determinate dai coefficienti del filtro.

L'algoritmo per il funzionamento del DF trasversale è illustrato dallo schema a blocchi riportato in Fig. 15.7.

Riso. 15.7. Schema per la costruzione di un DF . trasversale

Gli elementi principali del filtro sono blocchi di ritardo dei valori del campione per un intervallo di campionamento (rettangoli con simboli), nonché blocchi di scala che eseguono la moltiplicazione digitale per i coefficienti corrispondenti. Dalle uscite dei blocchi scala, i segnali vanno al sommatore, dove si sommano per formare un campione del segnale di uscita.

La forma del diagramma qui presentato spiega il significato del termine "filtro trasversale" (dall'inglese trasversale - trasversale).

Implementazione software del DF trasversale.

Si tenga presente che lo schema a blocchi mostrato in Fig. 15.7 non è un diagramma schematico circuito elettrico, ma serve solo immagine grafica algoritmo di elaborazione del segnale. Utilizzando i mezzi del linguaggio FORTRAN, consideriamo un frammento di un programma che implementa il filtraggio digitale trasversale.

Si formino nella RAM del computer due array unidimensionali di celle M ciascuno: un array con il nome X, che memorizza i valori del segnale di ingresso, e un array con il nome A, contenente i valori del coefficienti di filtraggio.

Il contenuto delle celle nell'array X viene modificato ogni volta che viene ricevuto un nuovo campione del segnale di ingresso.

Supponiamo che questo array sia riempito con i campioni precedenti della sequenza di input, e consideriamo la situazione che si presenta al momento dell'arrivo del campione successivo, a cui nel programma è dato il nome S. una posizione a destra, cioè , verso il lato ritardato.

Gli elementi dell'array X così formati vengono moltiplicati termine per termine per gli elementi dell'array A e il risultato viene inserito in una cella denominata Y, dove viene accumulato il valore campionario del segnale di uscita. Di seguito il testo del programma di filtraggio digitale trasversale:

Risposta impulsiva. Torniamo alla formula (15.59) e calcoliamo la risposta all'impulso della CF trasversale eseguendo la z-trasformazione inversa. È facile vedere che ogni termine della funzione apporta un contributo pari al coefficiente corrispondente, spostato di posizioni verso il ritardo. Ecco

A questa conclusione si può giungere direttamente, considerando lo schema a blocchi del filtro (vedi Fig. 15.7) e ipotizzando che al suo ingresso venga inviato un "singolo impulso".

È importante notare che la risposta all'impulso di un filtro trasversale contiene un numero finito di termini.

Risposta in frequenza.

Se cambiamo la variabile nella formula (15.59), otteniamo il coefficiente di trasmissione della frequenza

Con una data fase di campionamento A, è possibile realizzare un'ampia varietà di forme di risposta in frequenza selezionando opportunamente i pesi del filtro.

Esempio 15.4. Indagare le caratteristiche di frequenza di un filtro digitale trasversale del secondo ordine che media il valore corrente del segnale di ingresso e due campioni precedenti secondo la formula

La funzione di sistema di questo filtro

Riso. 15.8. Caratteristiche in frequenza del DF trasversale dell'esempio 15.4: a - risposta in frequenza; b - PFC

da cui troviamo il coefficiente di trasmissione della frequenza

Le trasformazioni elementari portano alle seguenti espressioni per la risposta in frequenza nella risposta di fase di questo sistema:

I grafici corrispondenti sono mostrati in Fig. 15.8, a, b, dove il valore è tracciato lungo gli assi orizzontali - l'angolo di fase dell'intervallo di campionamento al valore di frequenza corrente.

Supponiamo, ad esempio, che ci siano sei campioni per un periodo dell'oscillazione armonica in ingresso. In questo caso, la sequenza di input avrà la forma

(i valori assoluti dei campioni non contano, poiché il filtro è lineare). Utilizzando l'algoritmo (15.62), troviamo la sequenza di output:

Si vede che ad esso corrisponde un segnale di uscita armonico della stessa frequenza di quello in ingresso, con un'ampiezza pari all'ampiezza dell'oscillazione in ingresso e con una fase iniziale sfasata di 60° verso il ritardo.

DF ricorsivi.

Questo tipo filtri digitaliè caratterizzato dal fatto che per la formazione del conteggio di uscita vengono utilizzati i valori precedenti non solo dei segnali di ingresso e di uscita:

(15.63)

ei coefficienti che determinano la parte ricorsiva dell'algoritmo di filtraggio non sono contemporaneamente uguali a zero. Per sottolineare la differenza tra le strutture dei due tipi di filtri digitali, i filtri trasversali sono detti anche filtri non ricorsivi.

Funzione di sistema della funzione digitale ricorsiva.

Eseguendo la z-trasformazione di entrambi i membri della relazione di ricorrenza (15.63), troviamo che la funzione di sistema

descrivendo le proprietà di frequenza di una CF ricorsiva, ha poli sul piano z. Se i coefficienti della parte ricorsiva dell'algoritmo sono reali, allora questi poli giacciono sull'asse reale o formano coppie coniugate complesse.

Schema strutturale di un filtro digitale ricorsivo.

Nella fig. 15.9 mostra un diagramma dell'algoritmo dei calcoli eseguiti secondo la formula (15.63). Parte in alto diagramma strutturale corrisponde alla parte trasversale (non ricorsiva) dell'algoritmo di filtraggio. Per la sua implementazione, nel caso generale, sono necessari blocchi di grandi dimensioni (operazioni di moltiplicazione) e celle di memoria in cui sono memorizzati i campioni di input.

La parte inferiore dello schema a blocchi corrisponde alla parte ricorsiva dell'algoritmo. Utilizza valori di output successivi, che vengono spostati da cella a cella durante l'operazione di filtro.

Riso. 15.9. Schema strutturale di un filtro digitale ricorsivo

Riso. 15.10. Schema strutturale della DF ricorsiva canonica del 2° ordine

Lo svantaggio di questo principio di implementazione è la necessità di un gran numero di celle di memoria, separatamente per le parti ricorsive e non ricorsive. Più perfetti sono gli schemi canonici delle funzioni digitali ricorsive, in cui viene utilizzato il numero minimo possibile di celle di memoria, pari al più grande dei numeri. A titolo di esempio, Fig. 15.10 mostra uno schema a blocchi del filtro ricorsivo canonico del secondo ordine, che corrisponde alla funzione di sistema

Per assicurarsi che questo sistema implementi una determinata funzione, considerare un ausiliario segnale discreto all'uscita del sommatore 1 e annotare due equazioni ovvie:

(15.67)

Eseguendo la -trasformazione dell'equazione (15.66), troviamo che

D'altra parte, secondo l'espressione (15.67)

Combinando le relazioni (15.68) e (15.69), arriviamo alla data funzione di sistema (15.65).

Stabilità delle funzioni digitali ricorsive.

Una funzione digitale ricorsiva è un analogo discreto di un sistema di feedback dinamico, poiché i valori dei suoi stati precedenti sono memorizzati nelle celle di memoria. Se vengono fornite alcune condizioni iniziali, ovvero un insieme di valori, in assenza di un segnale di ingresso, il filtro formerà elementi di una sequenza infinita che svolge il ruolo di oscillazioni libere.

Un filtro digitale è chiamato stabile se il processo libero che ne deriva è una sequenza non crescente, cioè i valori a non superano un numero positivo M, indipendentemente dalla scelta delle condizioni iniziali.

Le oscillazioni libere in una funzione digitale ricorsiva basata sull'algoritmo (15.63) sono una soluzione dell'equazione alle differenze lineari

Per analogia con il principio di risoluzione lineare equazioni differenziali cercheremo una soluzione alla (15.70) sotto forma di una funzione esponenziale

con un valore ancora sconosciuto. Sostituendo (15.71) in (15.70) e annullando per un fattore comune, vediamo che a è la radice dell'equazione caratteristica

In base alla (15.64), questa equazione coincide esattamente con l'equazione soddisfatta dai poli della funzione di sistema della CF ricorsiva.

Si trovi il sistema radice dell'equazione (15.72). Allora la soluzione generale dell'equazione alle differenze (15.70) avrà la forma

I coefficienti dovrebbero essere selezionati in modo che le condizioni iniziali siano soddisfatte.

Se tutti i poli del sistema funzionano, cioè i numeri non superano uno in valore assoluto, essendo situati all'interno del cerchio unitario centrato in un punto, allora in base alla (15.73) ogni processo libero nella CF sarà descritto da termini di progressioni geometriche decrescenti e il filtro sarà stabile. È chiaro che possono essere applicati praticamente solo filtri digitali stabili.

Esempio 15.5. Indagare la stabilità di un filtro digitale ricorsivo del 2° ordine con una funzione di sistema

Equazione caratteristica

ha radici

La curva descritta dall'equazione sul piano dei coefficienti è il confine al di sopra del quale i poli della funzione di sistema sono reali e al di sotto del quale sono complessi coniugati.

Per il caso di poli coniugati complessi, quindi, uno dei confini della regione di stabilità è la retta 1.

Riso. 15.11. Regione di stabilità del filtro ricorsivo di 2° ordine (i poli del filtro sono complessi coniugati nella regione contrassegnata con il colore)

Considerando i poli reali a, abbiamo la condizione di stabilità nella forma

Questo tipo di filtri digitali è caratterizzato dal fatto che per la formazione io ns conteggio dell'uscita vengono utilizzati i valori precedenti non solo dell'ingresso, ma anche dei segnali di uscita (algoritmo di filtraggio):

e i coefficienti (b (, b 2, ..., b n _ Ts, definendo la parte ricorsiva dell'algoritmo di filtraggio, non sono uguali a zero allo stesso tempo.

Scriviamo funzione di sistema CF ricorsiva. Dopo aver completato z- trasformazione di entrambi i lati della relazione ricorsiva (7.28), troviamo che la funzione di sistema che descrive le proprietà di frequenza della CF ricorsiva ha la forma

Da questa espressione segue che la funzione di sistema della CF ricorsiva ha sul piano z (t-1) zeri e (NS- 1) poli. Se i coefficienti della parte ricorsiva dell'algoritmo sono reali, i poli giacciono sull'asse reale o formano coppie coniugate complesse.

calcoliamo risposta impulsiva CF ricorsiva. Una caratteristica che distingue una DF ricorsiva da una non ricorsiva è quella dovuta alla presenza feedback la sua risposta all'impulso ha la forma di una sequenza infinitamente estesa. Pertanto, spesso i filtri ricorsivi sono chiamati filtri IIR (Infinite Impulse Response Filters). Mostriamolo usando l'esempio del filtro del primo ordine più semplice descritto dalla funzione di sistema

Come sai, la risposta all'impulso può essere trovata usando l'inversa ^ -trasformazione della funzione di sistema. Usando la formula per l'inversa ^ -trasformazione, troviamo il termine m-esimo nella sequenza }