Laplace trasforma gli esempi. Trasformata di Laplace. Per risolvere le equazioni differenziali lineari, utilizzeremo la trasformata di Laplace. Esempi di calcolo delle trasformate di Laplace

Per risolvere le equazioni differenziali lineari, utilizzeremo la trasformata di Laplace.

Trasformata di Laplace chiama il rapporto

assegnazione di funzioni x (t) variabile reale T funzione di corrispondenza X(i) variabile complessa s (s = σ+ jω). in cui x (t) sono chiamati originale, X (s)- Immagine o immagine di Laplace e S- Variabile trasformata di Laplace. L'originale è indicato in minuscolo e la sua immagine è nella lettera maiuscola con lo stesso nome.

Si assume che la funzione X(T) soggetto alla trasformata di Laplace ha le seguenti proprietà:

1) funzione x (t)è definita e differenziabile a tratti su un intervallo. L'esatto minimo s0 di tutti i numeri s, α0 = infs, per il quale vale la disuguaglianza (1), è chiamato tasso di crescita della funzione f (t). Commento. Nel caso generale, la disuguaglianza non vale, ma la stima è valida dove e> 0 è qualsiasi. Quindi, la funzione ha un esponente di crescita в0 = Per essa, la disuguaglianza \ t \ ^ M V * ^ 0 non vale, ma la disuguaglianza | f | ^ Mei. La condizione (1) è molto meno restrittiva della condizione (*). Esempio 1. la funzione non soddisfa la condizione (), ma la condizione (1) è soddisfatta per ogni s> I e A /> I; tasso di crescita 5o = Quindi questa è la funzione originale. D'altra parte, la funzione non è una funzione originale: ha un ordine di crescita infinito, “o = + oo. La funzione originale più semplice è la cosiddetta funzione unitaria: se una funzione soddisfa le condizioni 1 e 3 della definizione 1, ma non soddisfa la condizione 2, allora il prodotto è già una funzione originale. Per semplicità di notazione, di norma ometteremo il fattore rj (t), avendo convenuto che tutte le funzioni che considereremo sono uguali a zero per t negativo, quindi se stiamo parlando di una qualche funzione f (t), per esempio, o sin ty cos t, el, ecc., allora sono sempre implicate le seguenti funzioni (Fig. 2): n = n (0 Fig. 1 Definizione 2. Sia f (t) la funzione originale. della funzione f (t ) di Laplace è la funzione F (p) di una variabile complessa definita dalla formula LAPLACE TRANSFORM Definizioni di base Proprietà Convoluzione delle funzioni Teorema di moltiplicazione Trovare l'originale dall'immagine Usare il teorema di inversione per il calcolo operazionale Formula di Duhamel Integrazione di sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Soluzione di equazioni integrali in cui l'integrale è assunto sul positivo del semiasse t. La funzione F (p) è anche detta trasformata di Laplace della funzione f (f); il nocciolo della trasformazione K (t) p) = e ~ pt. Il fatto che la funzione abbia la sua immagine F (p), scriveremo l'Esempio 2. Trova l'immagine funzione dell'unità r) (t). La funzione è una funzione originale con un tasso di crescita di 0 - 0. In virtù della formula (2), l'immagine della funzione rj (t) sarà la funzione Se allora, per, l'integrale a destra di l'ultima uguaglianza convergerà, e si ottiene che l'immagine della funzione rj (t) sarà la funzione £. Come d'accordo, scriveremo che rj (t) = 1, e quindi il risultato ottenuto sarà scritto come segue: Teorema 1. Per qualsiasi funzione originale f (t) con esponente di crescita z0, l'immagine F (p) è definita nel semipiano R ep = s > s0 ed è una funzione analitica in questo semipiano (Fig. 3). Sia Per dimostrare l'esistenza dell'immagine F (p) nel semipiano indicato, basta stabilire che l'integrale improprio (2) converge assolutamente per a> Usando (3), si ottiene che dimostra la convergenza assoluta dell'integrale (2). Allo stesso tempo, abbiamo ottenuto una stima per la trasformata di Laplace F (p) nel semipiano di convergenza. Differenziando l'espressione (2) formalmente sotto il segno di integrale rispetto a p, troviamo che l'esistenza dell'integrale (5) è stabilito nello stesso modo in cui è stata stabilita l'esistenza dell'integrale (2). Applicando l'integrazione per parti per F "(p), si ottiene una stima che implica la convergenza assoluta dell'integrale (5). (Il termine non integrale, 0., - per t + oo ha limite uguale a zero). l'integrale (5) converge uniformemente rispetto a p, poiché è maggiorato da un integrale convergente indipendente da p. Di conseguenza, la derivazione rispetto a p è legale e vale l'uguaglianza (5). Poiché esiste la derivata F "(p), la trasformata di Laplace F (p) ovunque nel semipiano Rep = 5> 5® è una funzione analitica. La disuguaglianza (4) implica il Corollario. Se il p sottile tende all'infinito in modo che Re p = s aumenta indefinitamente, allora Esempio 3. Troviamo anche l'immagine della funzione qualsiasi numero complesso. L'esponente della funzione f (() è uguale a a. > a, ma anche in tutti i punti p, eccetto il punto p = a, dove questa immagine ha un polo semplice. In futuro, incontreremo ripetutamente un simile situazione in cui l'immagine F (p) è una funzione analitica nell'intero piano della variabile complessa p, poiché non c'è contraddizione con il Teorema 1. Quest'ultimo afferma solo che nel semipiano Rep> «o la funzione F (p ) non ha punti singolari: risultano tutti giacere o a sinistra della linea Rep = so, o su questa stessa linea. Notare di no. Nel calcolo operazionale, a volte viene utilizzata l'immagine di Heaviside della funzione f (f), che è definita dall'uguaglianza e differisce dall'immagine di Laplace per il fattore p. §2. Proprietà della trasformata di Laplace Nel seguito indicheremo le funzioni originarie, e attraverso - le loro immagini secondo Laplace. £ biw dee sono funzioni continue) hanno la stessa immagine, quindi sono identicamente uguali. Teopewa 3 (n "yeyiost * che trasforma Laplace). Se le funzioni sono originali, allora per qualsiasi costante complessa dell'aria La validità dell'affermazione deriva dalla proprietà di linearità dell'integrale che determina l'immagine:, sono rispettivamente i tassi di crescita delle funzioni). Sulla base di questa proprietà, otteniamo Analogamente, troviamo quello e, inoltre, il Teorema 4 (somiglianze). Se f (t) è la funzione originale e F (p) è la sua immagine di Laplace, allora per ogni costante a> 0 Ponendo a = m, abbiamo Usando questo teorema, dalle formule (5) e (6) otteniamo il Teorema 5 (sulla differenziazione dell'originale). Sia la funzione originale con l'immagine F (p) e siano - anche le funzioni originali, e dov'è il tasso di crescita della funzione Allora e in generale Qui intendiamo il giusto valore limite Let. Troviamo l'immagine Abbiamo Integrando per parti, otteniamo Il termine non integrale a destra di (10) si annulla in k. Per Rc p = s> h, abbiamo la sostituzione t = Odet - / ( 0). Il secondo termine a destra in (10) è uguale a pF (p). Quindi, la relazione (10) assume la forma e la formula (8) è dimostrata. In particolare, se Per trovare l'immagine f (n \ t) scriviamo da dove, integrando n volte per parti, otteniamo l'Esempio 4. Usando il teorema sulla differenziazione dell'originale, troviamo l'immagine della funzione f (t) = peccato2 t. Sia Di conseguenza, il Teorema 5 stabilisce una proprietà notevole della trasformata integrale di Laplace: essa (come la trasformata di Fourier) trasforma l'operazione di differenziazione in un'operazione algebrica di moltiplicazione per p. Formula di inclusione. Se sono funzioni originarie, allora infatti, in virtù del corollario del Teorema 1, ogni immagine tende a zero come. Quindi, da dove segue la formula di inclusione (Teorema 6 (sulla differenziazione dell'immagine). La differenziazione dell'immagine si riduce alla moltiplicazione per l'originale, Poiché la funzione F (p) nel semipiano è quindi analitica, può essere differenziato rispetto a p Esempio 5. Utilizzando il Teorema 6, trovare l'immagine della funzione 4 Come è noto, Quindi (sempre applicando il Teorema 6, troviamo, in generale, il Teorema 7 (integrazione dell'originale). L'integrazione dell'originale si riduce alla divisione dell'immagine per Let È facile verificare che se c'è una funzione originale, allora sarà una funzione originale, inoltre. Lascia stare. In virtù di tale D'altra parte, donde F = Quest'ultimo è equivalente alla relazione dimostrata (13). Esempio 6. Trova l'immagine della funzione M In questo caso, così. Pertanto, Teorema 8 (integrazione dell'immagine). Se anche l'integrale converge, allora serve come immagine della funzione ^: LAPLACE TRANSFORM Definizioni di base Proprietà Convoluzione delle funzioni Teorema di moltiplicazione Trovare l'originale dall'immagine Uso del teorema inverso del calcolo operazionale Formula di Duhamel Integrazione di sistemi di equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti Soluzione di equazioni integrali Infatti, Supponendo che il cammino di integrazione giaccia sul semipiano quindi, possiamo cambiare l'ordine di integrazione L'ultima uguaglianza significa che è un'immagine di una funzione Esempio 7. Trova un'immagine di una funzione M Come è noto,. Quindi, poiché poniamo, otteniamo £ = 0, per. Pertanto, la relazione (16) assume la forma Esempio. Trova un'immagine della funzione f (t) data graficamente (Fig. 5). Scriviamo l'espressione per la funzione f (t) come segue: Questa espressione può essere ottenuta come segue. Considera la funzione e sottrai la funzione da essa La differenza sarà uguale a uno per. Sommiamo la funzione alla differenza risultante.Di conseguenza, otteniamo la funzione f (t) (Fig. 6 c), in modo che Da qui, usando il teorema del ritardo, troviamo il Teorema 10 (spostamento). quindi per qualsiasi numero complesso po Infatti, il teorema permette, da immagini note di funzioni, di trovare immagini delle stesse funzioni moltiplicate per una funzione esponenziale, ad esempio 2.1. Convoluzione di funzioni. Teorema di moltiplicazione Sia le funzioni f (t) u definite e continue per ogni t. La convoluzione di queste funzioni si chiama nuova funzione da t, definito dall'uguaglianza (se questo integrale esiste). Per le funzioni originali, l'operazione è sempre contorta, e (17) 4 Infatti, il prodotto delle funzioni originali in funzione di m è una funzione finita, cioè si annulla al di fuori di un intervallo finito (in questo caso, al di fuori dell'intervallo. Per le funzioni continue finite, l'operazione di convoluzione è soddisfacibile, e si ottiene la formula È facile verificare che l'operazione di convoluzione è commutativa, Teorema 11 (moltiplicazione). Se, quindi la convoluzione t) ha un'immagine che la convoluzione (delle funzioni originali è la funzione originale con l'esponente di crescita "dove, sono gli esponenti di crescita delle funzioni, rispettivamente. Troviamo l'immagine della convoluzione, Usando quello che abbiamo Cambiando l'ordine di integrazione nell'integrale a destra (tale operazione è lecita) e applicando il teorema del ritardo, si ottiene Quindi, dalle (18) e (19) troviamo che la moltiplicazione delle immagini corrisponde alla convoluzione degli originali , Prter 9. Trova l'immagine della funzione A la funzione V (0 è la convoluzione delle funzioni. Per il teorema di moltiplicazione Problema. Sia la funzione f (t) periodica con periodo T , ecg è la funzione originale Mostra che la sua immagine di Laplace F (p) è dato dalla formula 3. Trovare l'originale dall'immagine Il problema si pone come segue: Per la funzione F (p), dobbiamo trovare la funzione / (<)>la cui immagine è F (p). Formuliamo condizioni sufficienti affinché la funzione F (p) di una variabile complessa p serva da immagine. Teorema 12. Se una funzione F (p) 1) analitica nel semipiano così tende a zero per in qualsiasi semipiano R s0 uniformemente rispetto all'arg p; 2) l'integrale converge assolutamente, allora F (p) è un'immagine di qualche funzione originale Problema. La funzione F (p) = può servire da immagine di qualche funzione originale? Indicheremo alcuni modi per trovare l'originale dall'immagine. 3.1. Trovare l'originale usando le tabelle immagine Prima di tutto, vale la pena portare la funzione F (p) in una forma più semplice, "tabellare". Ad esempio, nel caso in cui F (p) sia una funzione razionale frazionaria dell'argomento p, questa viene scomposta in frazioni elementari e vengono utilizzate le proprietà appropriate della trasformata di Laplace. Esempio 1. Trovare l'originale per Scriviamo la funzione F (p) nella forma Usando il teorema di spostamento e la proprietà di linearità della trasformata di Laplace, otteniamo Esempio 2. Trovare l'originale per la funzione 4 Scriviamo F (p ) come Quindi 3.2. Uso del teorema di inversione e sue conseguenze Teorema 13 (inversione). Se la funzione fit) è una funzione originale con esponente di crescita s0 e F (p) è la sua immagine, allora in qualsiasi punto di continuità della funzione f (t), vale la relazione dove l'integrale è preso lungo una qualsiasi retta ed è intesa nel senso del valore principale, cioè come la Formula (1) è detta formula di inversione della trasformata di Laplace, o formula di Mellin. Infatti, sia, per esempio, f (t) essere uniforme a tratti su ogni segmento finito, dove< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Lezione 7 FUNZIONI OPERATORE DEI CIRCUITI Funzioni operatore e trasferimento Poli e zeri delle funzioni circuito 3 Conclusioni Funzioni operatore e trasferimento Una funzione operatore di una catena è una relazione

68 Lezione 7 PROCESSI DI TRANSIZIONE NEI CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE Schema 1 Processi transitori nei circuiti RC del primo ordine 2 Processi transitori nei circuiti R del primo ordine 3 Esempi di calcolo dei processi transitori nei circuiti

4 CIRCUITI ELETTRICI LINEARI DI CORRENTE SINUSOIDALE AC E METODI DEL LORO CALCOLO 4.1 MACCHINE ELETTRICHE. PRINCIPIO DI GENERAZIONE DI CORRENTE SINUSOIDALE 4.1.012. La corrente sinusoidale è detta istantanea

Agenzia federale per l'istruzione Istituto statale di istruzione professionale superiore "KUBAN STATE UNIVERSITY" Facoltà di fisica e tecnologia Dipartimento di optoelettronica

~ ~ FKP Derivata della funzione di una variabile complessa FKP della Cauchy - Riemann condiziona il concetto di regolarità della FKP Immagine e forma di un numero complesso Forma della FKP: dove la funzione reale di due variabili è reale