Fondamenti teorici della sintesi dei filtri. "Sintesi di filtri lineari. Funzione di trasferimento di una rete a due porte

La scienza affina la mente;

L'apprendimento farà rivivere la memoria.

Kozma Prutkov

capitolo 15

ELEMENTI DI SINTESI DI CIRCUITI STAZIONARI LINEARI

15.1. Problemi studiati

CON Dispositivi analogici Intez a due terminali. Sintesi di reti fisse a quattro porte per una data risposta in frequenza. Filtri Butterworth e Chebyshev.

Indicazioni. Quando si studiano i problemi, è necessario comprendere chiaramente l'ambiguità di risolvere il problema della sintesi di dispositivi a due terminali e modi specifici di risolvere il problema secondo Foster e Cauer, nonché acquisire la capacità di determinare la possibilità di attuazione una o l'altra funzione della resistenza di ingresso di una rete a due terminali. Quando si sintetizzano filtri elettrici basati su filtri prototipo, è importante comprendere i vantaggi e gli svantaggi dell'approssimazione delle caratteristiche di attenuazione secondo Chebyshev e Butterworth. È necessario essere in grado di calcolare rapidamente i parametri degli elementi di qualsiasi tipo di filtro (LPF, HPF, PPF) utilizzando le formule delle trasformazioni di frequenza.

15.2. Brevi informazioni teoriche

Nella teoria dei circuiti è consuetudine parlare di sintesi strutturale e parametrica. Il compito principale della sintesi strutturale è la scelta della struttura (topologia) del circuito che soddisfi le proprietà predeterminate. Nella sintesi parametrica vengono determinati solo i parametri e il tipo di elementi del circuito, la cui struttura è nota. Nel seguito parleremo solo di sintesi parametrica.

L'impedenza di ingresso viene solitamente utilizzata come punto di partenza nella sintesi di reti a due porte.

Se una funzione è data, allora può essere implementata da un circuito passivo alle seguenti condizioni: 1) tutti i coefficienti dei polinomi del numeratore e del denominatore sono reali e positivi; 2) tutti gli zeri e i poli sono o nel semipiano sinistro o sull'asse immaginario, e i poli e gli zeri sull'asse immaginario sono semplici; questi punti sono sempre reali o formano coppie coniugate complesse; 3) i gradi superiore e inferiore dei polinomi del numeratore e del denominatore differiscono di non più di uno. Va inoltre notato che la procedura di sintesi non è univoca, ovvero la stessa funzione di input può essere implementata in diversi modi.

I circuiti Foster vengono solitamente utilizzati come strutture iniziali delle reti sintetizzate a due terminali, che sono una connessione in serie o in parallelo rispetto ai terminali di ingresso, rispettivamente, di diverse resistenze e conduttanze complesse, nonché circuiti a scala Cauer.

Il metodo di sintesi delle reti a due porte si basa sul fatto che un determinato input funziona o è soggetto a una serie di semplificazioni successive. Allo stesso tempo, in ogni fase, viene evidenziata un'espressione, che è associata a un elemento fisico della catena sintetizzata. Se tutti i componenti della struttura selezionata sono identificati con elementi fisici, allora il problema di sintesi è risolto.

La sintesi delle reti a quattro porte si basa sulla teoria dei prototipi di filtri passa-basso. Opzioni possibili Il prototipo LPF è mostrato in Fig. 15.1.

Qualsiasi schema può essere utilizzato nel calcolo, poiché le loro caratteristiche sono identiche. Figura. 15.1 hanno il seguente significato: - l'induttanza della bobina in serie o la capacità del condensatore in parallelo; - resistenza del generatore, se, o conducibilità del generatore, se; - resistenza del carico, se o conducibilità del carico, se.

I valori degli elementi del prototipo sono normalizzati in modo che lo sia anche la frequenza di taglio. Il passaggio dai filtri prototipo normalizzati a un diverso livello di resistenze e frequenze viene effettuato utilizzando le seguenti trasformazioni degli elementi del circuito:

;

.

I valori tratteggiati si riferiscono al prototipo normalizzato, quelli senza trattino al circuito trasformato. Il valore iniziale per la sintesi è l'attenuazione della potenza operativa, espressa in decibel:

, dB,

- la potenza massima del generatore con resistenza interna e fem, - la potenza di uscita nel carico.

Di solito, la dipendenza dalla frequenza è approssimata dalla caratteristica massimamente piatta (Butterworth) (Fig.15.2, un)

dove .

Il valore dell'attenuazione di esercizio corrispondente alla frequenza di taglio viene solitamente scelto pari a 3 dB. in cui. Parametro nè uguale al numero di elementi attivi nel circuito e determina l'ordine del filtro.

Documenti simili

Scopo dei filtri di frequenza risonante passa-banda. Elementi di un circuito oscillatorio seriale e parallelo. Analisi delle proprietà di frequenza di vari circuiti utilizzando caratteristiche di ampiezza-frequenza. Un esempio di calcolo di un filtro passa-banda LC.

tesina, aggiunta il 21/11/2013


Calcolo e giustificazione della frequenza di un dato generatore. Costruzione di grafici delle caratteristiche indagate. Determinazione delle espressioni analitiche per il coefficiente di trasferimento. Calcolo dell'attenuazione del segnale quando la frequenza viene modificata di due volte in una determinata banda di arresto.

lavoro di laboratorio, aggiunto il 20/12/2015


Caratteristiche delle fasi di sviluppo dei filtri ricorsivi. Specificità di un filtro notch a frequenza arbitraria, deformazione della scala di frequenza. Tipi di filtri di frequenza ricorsivi, caratteristiche del metodo di posizionamento di zeri e poli. Descrizione dei filtri di selezione.

articolo aggiunto il 15/11/2018


Determinazione dello scopo dei quadripoli lineari con proprietà selettive. Calcolo di un filtro passa-banda LC. Determinazione dello spettro di ampiezza degli impulsi radio. Formazione dei requisiti per un filtro passa-banda. Calcolo dei poli del filtro ARC.

tesina aggiunta il 01/10/2017


Sintesi di un filtro-osservatore adattativo delle armoniche fondamentali dei segnali di uscita (tensioni e correnti) di un convertitore di frequenza (FC) con modulazione di larghezza di impulso (PWM), in cui non vi è differenziazione di segnale. Miglioramento delle proprietà di filtraggio del filtro.

articolo aggiunto il 29/09/2018


Determinazione della corrente raddrizzata nominale media, della resistenza di carico, del fattore di livellamento del filtro. Calcolo delle correnti di cortocircuito. Sviluppo dell'elettrico diagramma schematico convertitore. Calcolo e selezione di elementi filtranti e diodi.

tesina, aggiunta il 24/01/2013


Caratteristiche delle principali tipologie di filtri analogici. Studio dei problemi di sintesi di circuiti selettivi in ​​frequenza. Selezione dell'ordine minimo del filtro. Modellazione utilizzando il pacchetto software Micro-Cap. Analisi delle basi della scelta di un amplificatore operazionale.

tesina aggiunta il 21/01/2015


Tracciare la dipendenza dal tempo della tensione di uscita come risposta al picco di tensione di ingresso. Compensazione dell'attenuazione alte frequenze con un filtro passa alto. Scelta del circuito e calcolo degli elementi dei circuiti amplificatori resistivi.

tesina aggiunta il 26/01/2015


Calcolo del raddrizzatore, degli elementi filtranti e del trasformatore. Selezione del tipo di circuito magnetico e verifica del rispetto dei valori di minimo. Determinazione dei valori delle sezioni trasversali dei fili dell'avvolgimento, resistenza di ciascun avvolgimento a caldo, perdite di tensione.

test, aggiunto il 26/03/2014


Fondamenti teorici del processo di filtrazione. Classificazione moderna filtri di azione periodica. Il principio di funzionamento di un aspirapolvere a tamburo. Calcolo della superficie richiesta della zona di filtrazione, selezione di un filtro standard dai cataloghi e determinazione del loro numero.

Lezione numero 15.

Progettazione (sintesi) di lineare filtri digitali.

Il progetto (sintesi) di un filtro digitale è inteso come la scelta di tali coefficienti della funzione di sistema (trasferimento) in corrispondenza dei quali le caratteristiche del filtro risultante soddisfano i requisiti specificati. A rigor di termini, il problema di progettazione include anche la scelta di una struttura di filtro adeguata (vedi lezione 14), tenendo conto dell'accuratezza finita dei calcoli. Ciò è particolarmente importante quando si implementano filtri in forma hardware (sotto forma di LSI specializzati o processori di segnali digitali). Pertanto, in generale, la progettazione di un filtro digitale consiste nelle seguenti fasi:

1. Risoluzione di un problema di approssimazione per determinare coefficienti di filtro e una funzione di sistema che soddisfi requisiti specifici.
2. La scelta dello schema costruttivo del filtro, ovvero la trasformazione della funzione di sistema in una specifica diagramma a blocchi filtro.
3. Valutazione degli effetti della quantizzazione, ovvero degli effetti associati alla precisione finita della rappresentazione dei numeri nei sistemi digitali con profondità di bit finita.
4. Verifica mediante metodi di simulazione se il filtro ottenuto soddisfa i requisiti specificati.

I metodi per sintetizzare i filtri digitali possono essere classificati secondo vari criteri:

1. dal tipo di filtro ricevuto:
   • metodi di sintesi di filtri a risposta impulsiva finita;
   • metodi per la sintesi di filtri con risposta all'impulso infinita;
2. dalla presenza di un prototipo analogico:
   • metodi di sintesi utilizzando un prototipo analogico;
   • metodi di sintesi diretta (senza utilizzare un prototipo analogico).

In pratica, i filtri FIR sono spesso preferiti per i seguenti motivi. Innanzitutto, i filtri FIR forniscono la capacità di calcolare con precisione il segnale di uscita con un ingresso limitato in convoluzione che non richiede il troncamento della risposta all'impulso. In secondo luogo, i filtri a risposta all'impulso finito possono avere una risposta di fase strettamente lineare nella banda passante, il che rende possibile progettare filtri con una risposta in ampiezza che non distorce i segnali di ingresso. Terzo, i filtri FIR sono sempre stabili e, con l'introduzione di un opportuno ritardo finito, sono fisicamente realizzabili. Inoltre, i filtri FIR possono essere implementati non solo con schemi non ricorsivi, ma anche utilizzando forme ricorsive.

Notiamo gli svantaggi dei filtri FIR:

1. È necessaria una risposta all'impulso con un gran numero di campioni per approssimare i filtri la cui risposta in frequenza è netta. Pertanto, quando si utilizza la convoluzione normale, è necessario eseguire una grande quantità di calcoli. Solo lo sviluppo di metodi di convoluzione veloce basati su un algoritmo FFT altamente efficiente ha permesso ai filtri FIR di competere con successo con i filtri IIR che hanno tagli netti nella risposta in frequenza.
2. Il ritardo nei filtri FIR a fase lineare non è sempre un numero intero di contenitori di campioni. In alcune applicazioni, un tale ritardo multiplo può causare alcune difficoltà.

Una delle opzioni di progettazione per i filtri digitali è associata a una determinata sequenza di campioni di risposta all'impulso, che vengono utilizzati per ottenere e analizzare la sua risposta in frequenza (guadagno di frequenza).

Otteniamo una condizione in cui un filtro non ricorsivo ha una risposta di fase strettamente lineare. La funzione di sistema di un tale filtro è:

, (15.1)

dove i coefficienti del filtro sono i campioni di risposta all'impulso. La trasformata di Fourier di è la risposta in frequenza del filtro, periodica in frequenza con un periodo. Lo rappresentiamo per una sequenza reale nella forma: Otteniamo le condizioni in cui la risposta all'impulso del filtro assicurerà la stretta linearità della sua risposta di fase. Quest'ultimo significa che la caratteristica di fase dovrebbe avere la forma:

(15.2)

dove è il ritardo di fase costante, espresso in termini di numero di intervalli di campionamento. Scriviamo la risposta in frequenza come segue:

(15.3)

Uguagliando le parti reale e immaginaria, otteniamo:

, (15.4)

. (15.5)

Dove:

. (15.6)

Ci sono due possibili soluzioni dell'equazione (15.6). Uno (at) non è di interesse, l'altro è appropriato per il caso. Moltiplicando trasversalmente i termini dell'equazione (15.6), si ottiene:

(15.7)

Poiché l'equazione (15.7) ha la forma di una serie di Fourier, la soluzione dell'equazione deve soddisfare le seguenti condizioni:

, (15.8)

e (15.9)

Dalla condizione (15.8) segue che per ciascuno vi è un solo ritardo di fase al quale si può ottenere una stretta linearità della risposta di fase del filtro. Dalla (15.9) segue che per una data condizione soddisfacente (15.8), la risposta all'impulso deve avere una simmetria ben definita.

Si consiglia di considerare l'uso delle condizioni (15.8) e (15.9) separatamente per i casi pari e dispari. Se un numero dispari, quindi un numero intero, ovvero il ritardo nel filtro è uguale a un numero intero di intervalli di campionamento. In questo caso il centro di simmetria cade sul riferimento. Se il numero è pari, allora è un numero frazionario e il ritardo nel filtro è uguale a un numero non intero di intervalli di campionamento. Ad esempio, per otteniamo, e il centro di simmetria della risposta all'impulso si trova nel mezzo tra due campioni.

I valori dei coefficienti di risposta all'impulso vengono utilizzati per calcolare la risposta in frequenza dei filtri FIR. Si può dimostrare che per una risposta all'impulso simmetrica con un numero dispari di campioni, l'espressione per una funzione reale che assume valori positivi e negativi è:

, (15.10)

dove

Molto spesso, quando si progetta un filtro FIR, si procede dalla risposta in frequenza richiesta (o desiderata), seguita dal calcolo dei coefficienti del filtro. Esistono diversi metodi per calcolare tali filtri:metodo di progettazione con l'aiuto di Windows, metodo di campionamento della frequenza, metodo di calcolo del filtro ottimale (secondo Chebyshev).Si consideri un'idea di progettazione di finestre utilizzando un filtro FIR passa basso come esempio.

Prima di tutto, viene impostata la risposta in frequenza desiderata del filtro progettato. Ad esempio, prendiamo la risposta in frequenza continua ideale di un filtro passa basso con un guadagno pari a uno per basse frequenze ah e uguale a zero a frequenze superiori a qualche frequenza di taglio ... Una rappresentazione discreta di un filtro passa-basso ideale è una caratteristica periodica che può essere specificata da campioni a un intervallo di periodicità uguale alla frequenza di campionamento. La determinazione dei coefficienti del filtro passa basso con i metodi DFT inversi (o analiticamente o utilizzando un programma che implementa la DFT inversa) fornisce una sequenza infinita in entrambe le direzioni di campioni di risposta all'impulso, che ha la forma di una funzione classica.

Per ottenere un filtro non ricorsivo realizzabile di un determinato ordine, questa sequenza viene troncata: da essa viene selezionato il frammento centrale della lunghezza richiesta. Il semplice troncamento dei campioni di risposta all'impulso è coerente con l'uso difinestra rettangolaredato da funzione speciale A causa del troncamento del campione, la risposta in frequenza inizialmente specificata è distorta, poiché è una convoluzione nel dominio della frequenza della risposta in frequenza discreta e la DFT della funzione finestra:

, (15.11)

dove DFT Di conseguenza, l'ondulazione del lobo laterale si verifica nella banda passante della risposta in frequenza.

Per attenuare gli effetti elencati e, soprattutto, per ridurre il livello dei lobi nella banda di arresto, la risposta all'impulso troncata viene moltiplicata per la funzione di ponderazione (finestra), cadendo dolcemente verso i bordi. Pertanto, il metodo di progettazione del filtro FIR con finestra è un metodo per ridurre gli spazi tra le finestre utilizzando finestre non rettangolari. In questo caso, la funzione di ponderazione (finestra) deve avere le seguenti proprietà:

• la larghezza del lobo principale della risposta in frequenza della finestra contenente quanta più energia totale possibile dovrebbe essere piccola;
• l'energia nei lobi laterali della risposta in frequenza della finestra dovrebbe diminuire rapidamente quando ci si avvicina.

Come funzioni del peso, vengono utilizzate le finestre di Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev, ecc.

Corso breve di lezioni di ingegneria elettrica (dipartimento di corrispondenza) (Documento)

Nerreter V. Calcolo dei circuiti elettrici su un personal computer (documento)

Gershunsky B.S. Fondamenti di elettronica (documento)

Afanasyev V.A. Teoria applicata degli automi digitali (documento)

Volkov E.A., Sankovsky E.I., Sidorovich D.Yu. Teoria dei circuiti elettrici lineari dell'automazione ferroviaria, della telemeccanica e delle comunicazioni (Documento)

Happ H. Diakoptics e reti elettriche (documento)

n1.docx

Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa
Istituto scolastico statale

formazione professionale superiore

"Università tecnica statale di Omsk"

ANALISI E SINTESI DELLO SCHEMA
CIRCUITO ELETTRICO
Istruzioni metodiche
alla progettazione del corso e al CPC

Casa editrice OmSTU

2010
Compilato da I. V. Nikonov

Le linee guida forniscono sintesi e analisi circuito elettrico con importanti unità funzionali analogiche dell'ingegneria radiofonica: un filtro elettrico e un amplificatore. Viene eseguita un'analisi dello spettro del segnale periodico complesso in ingresso, nonché l'analisi del segnale all'uscita del circuito elettrico (per una modalità di funzionamento lineare).

Sono destinati agli studenti delle specialità 210401, 210402, 090104 e direzioni 21030062 forme di studio a tempo pieno e part-time, studiando le discipline "Fondamenti di teoria dei circuiti", "Ingegneria elettrica ed elettronica".
Ristampato per decisione del Consiglio di redazione ed editoria
Università tecnica statale di Omsk

© GOU VPO "Stato di Omsk

Università Tecnica", 2010

1. Analisi delle specifiche tecniche. Principali fasi di progettazione 5

2. Principi di base e metodi di progettazione elettrica
filtri 6

2.1. Principi fondamentali di progettazione del filtro 6

2.2. Tecnica per la sintesi di filtri per parametri caratteristici 11

2.3. Tecnica per la sintesi di filtri mediante parametri operativi 18

2.4. Un esempio di sintesi del circuito equivalente di un filtro elettrico 25

3. Principi di base e fasi di calcolo circuito elettrico amplificatore
tensione 26

3.1 Principi di base del calcolo dei circuiti elettrici degli amplificatori 26

3.2. Un esempio di calcolo di un amplificatore del circuito elettrico
transistor bipolare 28

4. Principi di base e fasi dell'analisi spettrale complessa
segnale periodico 30

4.1. Principi di analisi spettrale 30

4.2. Formule di calcolo per l'analisi spettrale 31

4.3. Esempio di analisi dello spettro di un segnale in ingresso 32

5. Analisi del segnale all'uscita del circuito elettrico. Raccomandazioni
sullo sviluppo di uno schema elettrico 33

5.1. Analisi del flusso del segnale attraverso un circuito elettrico 33

6. Requisiti di base per contenuto, prestazioni, protezione
tesina 35

6.1. Modalità e tempi per il rilascio di un incarico per la progettazione del corso 35

6.3. Registrazione della parte grafica del lavoro del corso (progetto) 36

6.4. Protezione progetti di corsi(funziona) 38

Bibliografia 39

Appendici 40

Appendice A. Elenco delle abbreviazioni e dei simboli 40

Appendice B. Varianti dei dati iniziali per la sintesi del filtro 41

Appendice B. Varianti dei dati iniziali per il calcolo dell'amplificatore 42

Appendice D. Opzioni per i dati di input per l'analisi dello spettro
segnale 43

Appendice D. Parametri dei transistor per il circuito di commutazione
OE (OI) 45

Appendice E. Modulo di attività 46

INTRODUZIONE
I compiti principali delle discipline di ingegneria elettrica e radiofonica sono l'analisi e la sintesi di circuiti e segnali elettrici. Nel primo caso si analizzano correnti, tensioni, coefficienti di trasmissione, spettri per modelli, circuiti, dispositivi, segnali noti. Nella sintesi, viene risolto il problema inverso: lo sviluppo di modelli analitici e grafici (diagrammi) di circuiti e segnali elettrici. Se i calcoli e lo sviluppo sono completati con la produzione di documentazione progettuale e tecnologica, la produzione di modelli o prototipi, viene utilizzato il termine design.

Le prime discipline delle specialità di ingegneria radiofonica degli istituti di istruzione superiore, in cui vengono considerati vari problemi di analisi e sintesi, sono le discipline "Fondamenti di teoria dei circuiti elettrici" e "Ingegneria elettrica ed elettronica". Le sezioni principali di queste discipline:

- analisi allo stato stazionario di circuiti elettrici resistivi lineari, circuiti elettrici reattivi lineari, inclusi circuiti risonanti e non galvanici;

- analisi di complesse caratteristiche di frequenza di circuiti elettrici;

- analisi di circuiti elettrici lineari con influenze periodiche complesse;

- analisi di circuiti elettrici lineari sottoposti a influenze impulsive;

- teoria delle reti lineari a quattro porte;

- analisi di circuiti elettrici non lineari;

- filtri elettrici lineari, sintesi di filtri elettrici.

Le sezioni elencate vengono studiate durante le sessioni in aula, tuttavia, anche la progettazione del corso è una parte importante del processo educativo. L'argomento del lavoro del corso (progetto) può corrispondere a una delle sezioni studiate, può essere complesso, cioè può includere più sezioni della disciplina, può essere proposto dallo studente.

In queste linee guida, vengono prese in considerazione le raccomandazioni per l'implementazione di un lavoro di corso completo (progetto), in cui è necessario risolvere i problemi correlati di sintesi e analisi per un circuito elettrico analogico.

1. ANALISI DEL RIFERIMENTO TECNICO.
PRINCIPALI FASI DI PROGETTAZIONE
Come lavoro di corso complesso (progetto) in queste linee guida, si propone di sviluppare schemi elettrici equivalenti e schematici di un circuito elettrico contenente un filtro elettrico e un amplificatore, nonché un'analisi dello spettro del segnale di ingresso del generatore di impulsi e analisi del "passaggio" del segnale in ingresso all'uscita del dispositivo. Questi compiti sono importanti, praticamente utili, poiché vengono sviluppate e analizzate unità funzionali ampiamente utilizzate nell'ingegneria radiofonica.

Lo schema elettrico strutturale dell'intero dispositivo, per il quale è necessario eseguire calcoli, è mostrato nella Figura 1. Le opzioni per le attività per le singole sezioni di calcolo sono fornite nelle appendici B, C, D. I numeri delle opzioni per le attività corrispondono ai numeri degli studenti nell'elenco del gruppo, oppure il numero dell'opzione è formato in modo più complesso. Se necessario, gli studenti possono impostare in modo indipendente requisiti di progettazione aggiuntivi, ad esempio requisiti di peso e dimensioni, requisiti per le caratteristiche di frequenza di fase e altri.

Generatore

impulsi

Filtro elettrico analogico

Amplificatore di tensione analogico

Riso. uno
La figura 1 mostra i complessi valori efficaci delle tensioni elettriche di ingresso e di uscita della forma armonica.

Quando si progettano i corsi, è necessario risolvere i seguenti compiti:

A) sintetizzare (sviluppare) con qualsiasi metodo un circuito elettrico equivalente e quindi - uno schema elettrico su qualsiasi radioelemento. Calcolare l'attenuazione e il coefficiente di trasmissione della tensione, illustrare i calcoli con grafici;

B) sviluppare uno schema elettrico di un amplificatore di tensione su eventuali radioelementi. Eseguire calcoli dell'amplificatore per corrente continua, analizzare i parametri dell'amplificatore nella modalità di piccoli segnali variabili;

D) analizzare il passaggio di tensione elettrica dal generatore di impulsi attraverso un filtro elettrico e amplificatore, illustrare l'analisi con grafici dell'ampiezza e dello spettro di fase del segnale di uscita.

In questa sequenza, si consiglia di eseguire i calcoli necessari e quindi di disporli sotto forma di sezioni di una nota esplicativa. I calcoli devono essere eseguiti con una precisione di almeno il 5%. Questo dovrebbe essere preso in considerazione in vari arrotondamenti, analisi approssimative dello spettro del segnale, quando si scelgono radioelementi standard che si avvicinano in valore nominale ai valori calcolati.

2.1. Principi di base della progettazione del filtro

2.1.1. Requisiti di progettazione di base

I filtri elettrici sono circuiti elettrici lineari o quasi lineari con coefficienti di trasmissione di potenza apparente complessi dipendenti dalla frequenza. In questo caso almeno uno dei due coefficienti di trasmissione è anche dipendente dalla frequenza: tensione o corrente. Invece dei coefficienti di trasmissione adimensionali, l'attenuazione (), misurata in decibel, è ampiamente utilizzata nell'analisi e nella sintesi dei filtri:

, (1)

dove,, sono i moduli dei coefficienti di trasferimento (nella formula (1) si usa il logaritmo decimale).

L'intervallo di frequenza in cui l'attenuazione () si avvicina allo zero e il guadagno di potenza apparente () si avvicina all'unità è chiamato larghezza di banda (BW). E viceversa, nella gamma di frequenze, dove il coefficiente di trasferimento di potenza è vicino allo zero e l'attenuazione è di diverse decine di decibel, c'è una banda di arresto (FB). La banda di arresto è anche chiamata banda di arresto o banda di arresto nella letteratura sui filtri elettrici. C'è una banda di frequenza di transizione tra SP e PS. In base alla posizione della banda passante nella gamma di frequenza, i filtri elettrici sono classificati nei seguenti tipi:

LPF - filtro passa basso, la banda passante è alle frequenze più basse;

HPF - filtro passa-alto, la banda passante è alle alte frequenze;

PF - filtro passabanda, la banda passante si trova in un intervallo di frequenza relativamente ristretto;

RF - filtro notch, la banda di arresto è in un intervallo di frequenza relativamente ristretto.

Un vero e proprio filtro elettrico può essere implementato su vari componenti radio: induttanze e condensatori, dispositivi di amplificazione selettivi, dispositivi selettivi piezoelettrici ed elettromeccanici, guide d'onda, e molti altri. Esistono manuali per il calcolo dei filtri su componenti radio ben definiti. Tuttavia, il seguente principio è più universale: in primo luogo, viene sviluppato un circuito equivalente basato su elementi LC ideali, quindi gli elementi ideali vengono ricalcolati in qualsiasi componente radio reale. Con tale ricalcolo, viene sviluppato uno schema elettrico, un elenco di elementi, vengono selezionati componenti radio standard o vengono progettati indipendentemente i componenti radio necessari. La versione più semplice di tale calcolo è lo sviluppo di un diagramma schematico di un filtro reattivo con condensatori e induttori, poiché il diagramma schematico in questo caso è simile a uno equivalente.

Ma anche con un calcolo universale così generale, esistono diversi metodi per sintetizzare il circuito equivalente di un filtro LC:

- sintesi in modo coordinato dagli stessi collegamenti a forma di G, T, U. Questa tecnica viene anche chiamata caratterizzazione o sintesi del filtro "k". Dignità: semplici formule di calcolo; l'attenuazione calcolata (irregolarità dell'attenuazione) nella banda passante () è considerata pari a zero. Difetto: questo metodo di sintesi utilizza approssimazioni diverse, ma in realtà non è possibile eseguire la corrispondenza sull'intera larghezza di banda. Pertanto, i filtri calcolati con questo metodo possono avere un'attenuazione in banda passante superiore a tre decibel;

- sintesi polinomiale. In questo caso, il fattore di trasferimento di potenza richiesto viene approssimato da un polinomio, ovvero viene sintetizzato l'intero circuito e non i singoli collegamenti. Questo metodo è anche chiamato sintesi secondo parametri operativi o sintesi secondo libri di riferimento di filtri passa basso normalizzati. Quando si utilizzano libri di riferimento, viene calcolato l'ordine del filtro, viene selezionato un filtro passa basso equivalente che soddisfi i requisiti dell'attività. Dignità: i calcoli tengono conto di eventuali incongruenze e deviazioni dei parametri dei radioelementi, i filtri passa basso sono facilmente convertibili in filtri di altro tipo. Difetto: è necessario utilizzare libri di riferimento o programmi speciali;

- sintesi per impulso o caratteristiche transitorie... Basato sulla relazione tra le caratteristiche di tempo e frequenza dei circuiti elettrici attraverso varie trasformazioni integrali (Fourier, Laplace, Carson, ecc.). Ad esempio, la risposta all'impulso () è espressa in termini di risposta di trasferimento () usando conversione diretta Fourier:

Questo metodo ha trovato applicazione nella sintesi di vari filtri trasversali (filtri con ritardi), ad esempio digitali, acustoelettronici, per i quali è più facile sviluppare circuiti elettrici in termini di impulso che di caratteristiche di frequenza. V tesina Quando si progettano circuiti di filtraggio, si consiglia di applicare il metodo di sintesi in base a parametri caratteristici o operativi.

Quindi, nel lavoro riguardante la sintesi di un filtro elettrico, è necessario, con uno dei metodi, sviluppare un circuito elettrico equivalente su elementi reattivi ideali, e quindi uno schema elettrico su eventuali radioelementi reali.

Nell'incarico per la progettazione del corso nella parte relativa alla sintesi di un filtro elettrico (Appendice B), possono essere riportati i seguenti dati:

- il tipo di filtro sintetizzato (LPF, HPF, PF, RF);

- - resistenze attive dei circuiti esterni, alle quali il filtro deve essere abbinato in tutto o in parte in banda passante;

- - frequenza di taglio della banda passante del filtro;

- è la frequenza di taglio della banda di stop del filtro;

- - frequenza di filtro media (per PF e RF);

- - attenuazione del filtro in banda passante (non più);

- - attenuazione del filtro nella banda di stop (non inferiore);

- - larghezza di banda del PF o RF;

- - banda di ritenzione PF o RF;

- - coefficiente di ortogonalità di LPF, HPF;

- - coefficiente di ortogonalità PF, RF.

Se necessario, gli studenti possono selezionare autonomamente dati aggiuntivi o requisiti di progettazione.

2.1.2. Razionamento e conversioni di frequenza

Quando si sintetizzano circuiti di filtro equivalenti e di base, è consigliabile applicare la normalizzazione e le trasformazioni di frequenza. Ciò consente di ridurre il numero di diversi tipi di calcoli ed effettuare sintesi, prendendo come base un filtro passa basso. Il razionamento è il seguente. Invece di progettare per determinate frequenze operative e resistenze di carico, i filtri sono progettati per resistenza di carico normalizzata e frequenze normalizzate. La normalizzazione della frequenza viene eseguita, di regola, rispetto alla frequenza. ... Con questa normalizzazione, la frequenza e la frequenza. Durante la normalizzazione, viene prima sviluppato un circuito equivalente con elementi normalizzati, quindi questi elementi vengono ricalcolati in base ai requisiti specificati utilizzando fattori di denormazione:

La possibilità di applicare la normalizzazione nella sintesi dei circuiti elettrici deriva dal fatto che la forma delle caratteristiche di trasferimento richieste del circuito elettrico durante questa operazione non cambia, vengono trasferite solo ad altre frequenze (normalizzate).

Ad esempio, per il circuito divisore di tensione mostrato nella Figura 2, il coefficiente di trasferimento di tensione è simile sia per determinati elementi radio e frequenza operativa, sia per valori normalizzati, quando si utilizzano fattori di normalizzazione.

Riso. 2

Senza razionamento:

, (5)

con la standardizzazione:

. (6)
Nell'espressione (6), nel caso generale, i fattori di normalizzazione possono essere numeri reali arbitrari.

L'uso aggiuntivo di trasformazioni di frequenza consente di semplificare significativamente la sintesi di HPF, PF, RF. Quindi, la sequenza consigliata di sintesi HPF, quando si utilizzano le trasformazioni di frequenza, è la seguente:

- vengono normalizzati i requisiti grafici per HPF (viene introdotto l'asse delle frequenze normalizzate);

- viene eseguita la conversione di frequenza dei requisiti di attenuazione dovuti alla conversione di frequenza:

- è in fase di progettazione un filtro passa basso con elementi standardizzati;

- LPF viene convertito in HPF con elementi normalizzati;

- gli elementi sono denormalizzati secondo le formule (3), (4).

- i requisiti grafici per il PF sono sostituiti con i requisiti per l'LPF a condizione che la loro larghezza di banda e ritardo siano uguali;

- viene sintetizzato un circuito di filtro passa basso;

- viene applicata una conversione di frequenza inversa per ottenere un circuito filtro passa-banda includendo elementi reattivi aggiuntivi nei rami LPF per formare circuiti risonanti.

- i requisiti grafici per la RF sono sostituiti con i requisiti per il filtro passa-alto a condizione che la loro larghezza di banda e ritardo siano uguali;

- viene sintetizzato un circuito di filtro passa-alto, direttamente o utilizzando un prototipo - un filtro passa-basso;

- il circuito HPF viene convertito in un circuito filtro notch includendo elementi reattivi aggiuntivi nei rami HPF.

2.2. Tecnica di sintesi del filtro

2.2.1. Principi di base della sintesi per parametri caratteristici

La fondatezza delle principali relazioni calcolate di questo metodo di sintesi è la seguente.

Viene considerata una rete lineare a due porte; per descriverla viene utilizzato un sistema di parametri:

dove sono la tensione e la corrente all'ingresso del dispositivo a quattro porte, sono la tensione e la corrente all'uscita del dispositivo a quattro terminali.

I coefficienti di trasmissione per una modalità arbitraria (matched o unmatched) sono determinati:

dove è la resistenza di carico (nel caso generale, complessa).

Per la modalità arbitraria, vengono introdotte la costante di trasmissione (), l'attenuazione (), la fase ():

. (11)

L'attenuazione in nepers è determinata dall'espressione
, (12)

e in decibel - dall'espressione

In modalità incoerente, input, output e caratteristiche di trasferimento le reti a quattro porte sono chiamate parametri operativi e nella modalità concordata - caratteristica. I valori delle resistenze di ingresso e uscita corrispondenti a una data frequenza operativa sono determinati dalle equazioni della rete a quattro porte (8):

In una modalità coerente, tenendo conto delle espressioni (14), (15), viene determinata la costante caratteristica della trasmissione:

Tenendo conto delle relazioni per le funzioni iperboliche

, (17)

(18)

viene determinata la relazione tra i parametri caratteristici della modalità abbinata e gli elementi del circuito elettrico (-parametri). Le espressioni sono della forma

Le espressioni (19), (20) caratterizzano la modalità coordinata di una rete arbitraria lineare a quattro porte. La figura 3 mostra un diagramma di un arbitrario
Collegamento a forma di L, i cui parametri, secondo le espressioni (8), sono determinati:

Riso. 3

Con l'inclusione coordinata del collegamento a forma di L, le espressioni (19), (20) vengono trasformate nella forma:

, (21)

. (22)

Se ci sono diversi tipi di elementi reattivi nei rami longitudinali e trasversali del circuito a forma di L, allora il circuito è un filtro elettrico.

L'analisi delle formule (21), (22) per questo caso permette di ottenere un metodo per sintetizzare filtri per parametri caratteristici. Le principali disposizioni di questa tecnica:

- il filtro è disegnato dallo stesso, collegato in cascata, abbinato in banda passante tra loro e con carichi esterni dei collegamenti (ad esempio collegamenti di tipo G);

- l'attenuazione in banda passante () è assunta pari a zero, in quanto il filtro si considera abbinato su tutta la banda passante;

- i valori richiesti delle resistenze attive esterne () per la modalità abbinata sono determinati attraverso le resistenze dei "rami" del collegamento a forma di L secondo la formula approssimativa

- la frequenza di taglio della banda passante () è determinata dalla condizione

- l'attenuazione del collegamento () alla frequenza di taglio della banda di arresto () è determinata (in decibel) dalla formula

; (25)

- il numero di G-link identici inclusi in cascata è determinato dall'espressione:

2.2.2. Sequenza di sintesi LPF (HPF)
per parametri caratteristici

Le formule di progetto sono ricavate dalle principali disposizioni della metodologia di sintesi dei parametri caratteristici di cui al paragrafo 2.2.1 dei dati linee guida... In particolare, le formule (27), (28) per determinare i valori degli elementi di collegamento sono ottenute dalle espressioni (23), (24). Quando si sintetizza per parametri caratteristici, la sequenza di calcoli per LPF e HPF è la seguente:

A) i valori nominali dell'induttanza e della capacità ideali del G-link del filtro sono calcolati in base ai valori dati delle resistenze di carico, del generatore e del valore della frequenza di taglio della banda passante:

dove sono i valori delle resistenze del carico e del generatore, è il valore della frequenza di taglio della banda passante. Lo schema dei requisiti di attenuazione e lo schema del collegamento a L del filtro passa basso sono mostrati nelle Figure 4 a, b... Figure 5 a, b sono forniti i requisiti per l'attenuazione e lo schema del collegamento HPF a forma di L.

Riso. 4

Riso. 5

b) l'attenuazione del collegamento () è calcolata in decibel alla frequenza di taglio della banda di arresto () in base al valore dato del coefficiente di ortogonalità (). Per LPF:

Per il filtro passa alto:

. (30)

Nei calcoli che utilizzano le formule (29), (30), viene utilizzato il logaritmo naturale;

C) il numero di collegamenti () è calcolato secondo un dato valore di attenuazione garantita al limite della banda di arresto, secondo la formula (26):

Il valore viene arrotondato al valore intero superiore più vicino;

D) si calcola l'attenuazione del filtro in decibel per più frequenze in banda ferma (l'attenuazione calcolata in banda passante, escludendo le dispersioni termiche, in questo metodo è considerata uguale a zero). Per un filtro passa basso:

. (31)

Per il filtro passa alto:

; (32)
e) vengono analizzate le perdite di calore (). Per un calcolo approssimativo delle perdite di calore per un prototipo a bassa frequenza, le resistenze resistive degli induttori reali () vengono prima determinate a una frequenza a valori selezionati indipendentemente del fattore di qualità (). Induttanze, in futuro, nello schema elettrico, verranno introdotte al posto delle induttanze ideali (i condensatori sono considerati Q più alti e le loro perdite resistive non vengono prese in considerazione). Formule di calcolo:

. (34)

L'attenuazione del filtro in decibel, tenendo conto delle dispersioni termiche, è determinata da:

e il modulo del coefficiente di trasferimento di tensione () è determinato dalla relazione che lo collega con l'attenuazione del filtro:

E) sulla base dei risultati dei calcoli utilizzando le formule (35), (36), vengono costruiti grafici di attenuazione e modulo del coefficiente di trasferimento di tensione per un filtro passa-basso o un filtro passa-alto;

G) secondo i libri di riferimento dei radioelementi, i condensatori standard e gli induttori che sono i più vicini agli elementi ideali vengono selezionati per il successivo sviluppo di uno schema elettrico e un elenco di elementi dell'intero circuito elettrico. In assenza di bobine di induttanza standard del valore richiesto, è necessario svilupparle da soli. La figura 6 mostra le dimensioni di base di una semplice bobina cilindrica monostrato necessaria per il suo calcolo.
Riso. 6

Il numero di spire di una tale bobina con un nucleo ferromagnetico (ferrite, ferro carbonile) è determinato dall'espressione

dove è il numero di spire, è la permeabilità magnetica assoluta, è la permeabilità magnetica relativa del materiale del nucleo,
È la lunghezza della bobina, dove è il raggio della base della bobina.
2.2.3. Sequenza della sintesi di PF (RF)
per parametri caratteristici

Figure 7 a, b e 8 a, b sono mostrati i grafici dei requisiti per l'attenuazione e i collegamenti a forma di L più semplici, rispettivamente, per i filtri passa-banda e notch.
Riso. 7

Riso. otto

Si consiglia di sintetizzare PF e RF utilizzando i calcoli dei filtri prototipo con la stessa larghezza di banda e ritardo. Per PF, il prototipo è un filtro passa-basso e per RF, un filtro passa-alto. La tecnica di sintesi è la seguente:

A) nella prima fase della sintesi si applica la conversione di frequenza, in cui i requisiti grafici per l'attenuazione del PF vengono ricalcolati nei requisiti per l'indebolimento del filtro passa basso, e i requisiti grafici per l'indebolimento del Le radiofrequenze vengono ricalcolate nei requisiti per l'indebolimento del filtro passa-alto:

B) secondo il metodo precedentemente considerato per la sintesi di LPF e HPF (voci a – f
p. 2.2.2) si sta sviluppando un circuito elettrico equivalente ad un filtro passa basso per la sintesi di un PF, o un filtro passa alto - per una sintesi della RF. Per un filtro passa-basso o passa-alto, vengono tracciati grafici di attenuazione e coefficiente di trasferimento di tensione;

C) il circuito del filtro passa basso viene convertito in un circuito del filtro passa banda convertendo i rami longitudinali in circuiti oscillatori successivi e i rami trasversali in circuiti oscillatori paralleli collegando elementi reattivi aggiuntivi. Il circuito HPF viene convertito in un circuito filtro notch convertendo i rami longitudinali in circuiti oscillatori paralleli e i rami trasversali in circuiti oscillatori serie collegando elementi reattivi aggiuntivi. Ulteriori elementi reattivi per ciascun ramo LPF (HPF) sono determinati dal valore della frequenza media data del filtro passa banda o notch () e dai valori calcolati degli elementi reattivi dei rami LPF (HPF) utilizzando il pozzo -espressione nota per i circuiti risonanti:

D) per i circuiti PF o RF, i condensatori e gli induttori sono sviluppati o selezionati secondo i libri di riferimento dei radioelementi secondo la stessa metodologia che è stata considerata in precedenza al paragrafo 2.2.2 (punto g) di queste linee guida;

E) i grafici dell'attenuazione e del coefficiente di trasferimento di tensione dell'LPF (HPF) vengono ricalcolati nei grafici PF (RF) secondo i rapporti tra le frequenze di questi filtri. Ad esempio, per convertire i grafici LPF in PF:

, (41)

dove sono le frequenze, rispettivamente, sopra e sotto la frequenza centrale del filtro passa-banda. Le stesse formule vengono utilizzate per ricalcolare i grafici del filtro passa-alto nei grafici del filtro notch.

2.3. Tecnica per la sintesi di filtri per parametri operativi

2.3.1. Principi base della sintesi per parametri operativi
(sintesi polinomiale)

In questo metodo di sintesi, come nella sintesi per parametri caratteristici, vengono stabiliti i requisiti per il tipo di filtro progettato, la resistenza del carico attivo, l'attenuazione o il coefficiente di trasferimento di potenza nella banda passante e nella banda di arresto. Tuttavia, si tiene conto del fatto che le impedenze di ingresso e di uscita del filtro cambiano nella banda passante. A questo proposito, il filtro è sintetizzato in una modalità incoerente, cioè secondo parametri operativi, che si riflette nei dati iniziali dal requisito. Il metodo si basa sul calcolo obbligatorio per qualsiasi tipo di filtro passa basso - prototipo (filtro passa basso). I calcoli utilizzano la normalizzazione () e le trasformazioni di frequenza.

Un circuito di filtro equivalente non è sviluppato da collegamenti identici separati, ma completamente in una volta, solitamente sotto forma di un circuito a struttura a catena. La figura 9 mostra una vista di un circuito a catena a forma di U di un filtro passa basso e la figura 10 mostra una vista di un circuito a forma di T dello stesso filtro con elementi non normalizzati.

Riso. 9

Riso. 10

Le principali fasi di calcolo su cui si basa questa sintesi sono le seguenti:

A) approssimazione - sostituzione dei requisiti grafici per il coefficiente di trasferimento di potenza con un'espressione analitica, ad esempio il rapporto dei polinomi in potenze, che corrisponde alle formule per le caratteristiche di frequenza dei filtri reattivi reali;

B) il passaggio alla forma dell'operatore di registrazione delle caratteristiche di frequenza (sostituzione di una variabile con una variabile in un'espressione analitica che approssima il coefficiente di trasferimento di potenza);

C) passaggio all'espressione per l'impedenza di ingresso del filtro, utilizzando il rapporto tra il coefficiente di trasferimento di potenza, il coefficiente di riflessione e l'impedenza di ingresso del filtro:

Nell'espressione (44) si applica un solo coefficiente di riflessione, che corrisponde ad un circuito elettrico stabile (i poli di questo coefficiente non hanno parte reale positiva);

D) espansione dell'espressione analitica per la resistenza di ingresso, ottenuta dalla (44), nella somma delle frazioni o in una frazione continua per ottenere il circuito equivalente e i valori degli elementi.

Negli sviluppi pratici, la sintesi polinomiale viene solitamente eseguita utilizzando libri di riferimento sui filtri, in cui vengono eseguiti i calcoli per un determinato metodo di sintesi. I libri di riferimento contengono funzioni di approssimazione, circuiti equivalenti ed elementi normalizzati di filtri passa basso. Nella maggior parte dei casi, i polinomi di Butterworth e Chebyshev sono usati come funzioni di approssimazione.

L'attenuazione del filtro passa basso con la funzione di approssimazione di Butterworth è descritta dall'espressione:

dove è l'ordine del filtro (un numero intero positivo numericamente uguale al numero di elementi reattivi nel circuito del filtro equivalente).

L'ordine del filtro è determinato dall'espressione

Le tabelle 1, 2 mostrano i valori degli elementi reattivi normalizzati nell'approssimazione di Butterworth, calcolati per diversi ordini del filtro passa basso (per circuiti simili a quelli delle Figure 9, 10).

Tabella 1

Valori degli elementi normalizzati del Butterworth LPF del circuito a forma di U

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932

Obbiettivo: Padroneggiare la tecnica di sintesi di filtri lineari (passa basso, passa alto e passa banda) basati su approssimazioni massimamente flat e Chebyshev.

Brevi informazioni teoriche: Per eseguire questo lavoro, devi essere in grado di analizzare vari tipi di circuiti lineari e trovare le loro caratteristiche principali. (rapporto di trasmissione in frequenza, funzione di trasferimento e suoi poli); conoscenza dei principi di sintesi dei filtri passa-basso lineari basati sulle approssimazioni massimo-piatto e di Chebyshev e dei principi di transizione da schemi di filtri passa-basso noti a circuiti di filtri passa-alto e passa-banda.

Gli LPF sono progettati per la trasmissione con attenuazione minima delle oscillazioni, le cui frequenze non superano una certa frequenza di taglio, che viene chiamata frequenza di taglio, in questo caso, le oscillazioni con frequenze superiori alla frequenza di taglio dovrebbero essere notevolmente attenuate.

Proprietà della funzione di trasferimento di una rete a due porte :

I poli della funzione di trasferimento della rete a due porte dovrebbero trovarsi nel semipiano sinistro della frequenza complessa p. Possono essere reali o formare coppie coniugate complesse.

Il numero di poli della funzione di trasferimento deve sempre superare il numero di zeri.

A differenza dei poli, gli zeri della funzione di trasferimento possono essere posizionati in qualsiasi semipiano, cioè sull'intero piano della frequenza complessa p.

Fasi di sintesi del filtro :

Formulazione dei requisiti tecnici per le caratteristiche del filtro in base alla larghezza di banda specificata. In questo caso, non vengono imposte restrizioni alla struttura del filtro. Questo approccio è chiamato sintesi per una data risposta in frequenza... Di norma, la caratteristica ideale non è realizzabile nella pratica.

Un'approssimazione di una caratteristica ideale utilizzando una funzione che può appartenere a un circuito realizzabile fisicamente.

Implementazione della funzione approssimata selezionata e ottenimento di uno schema circuitale del filtro con i valori nominali degli elementi inclusi in esso.

I più diffusi sono due tipi di approssimazione: massimamente piatta e Chebyshev.

Approssimazione piatta massima basato sull'uso della funzione del fattore di trasmissione della potenza in frequenza, espresso nella forma:

dove
- frequenza normalizzata adimensionale.

Un filtro la cui risposta in frequenza soddisfa questa funzione è chiamato un filtro con una caratteristica massima piatta o un filtro Butterworth.

La procedura di sintesi inizia con la determinazione dei poli della funzione di trasferimento del filtro, per la quale è necessario passare alla frequenza complessa normalizzata R n e determinare i poli della funzione del coefficiente di trasferimento di potenza di frequenza del filtro:

;

Nel caso generale, le radici di questa equazione possono essere determinate utilizzando la formula di Moivre (calcolando le radici n-esima potenza di un numero complesso). In questo caso è necessario tenere conto del valore della fase del numero complesso z= - 1 ( = ).

Quando si trovano le radici di questa equazione per qualsiasi ordine di filtro n quanto segue dovrebbe essere fatto generale modello: tutti i poli si trovano alla stessa distanza angolare l'uno dall'altro e questa distanza è sempre uguale a ; Se n- dispari, allora il primo polo è sempre 1, se n- pari, quindi il primo polo
.

Utilizzando la proprietà della simmetria del quadrante della posizione dei poli della funzione del coefficiente di trasferimento di potenza di frequenza e le condizioni di stabilità e realizzabilità fisica delle reti a due porte, per la funzione di trasferimento del filtro è necessario selezionare solo quei poli che sono situato nel semipiano sinistro della frequenza complessa e scrivere per loro rappresentazione a polo zero funzione di trasferimento.