Risposte transitorie e impulsive circuito rl. Caratteristica di transizione. risposta impulsiva. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici. Ministero dell'Istruzione e della Scienza dell'Ucraina

Risposta all'impulso (peso) o funzione dell'impulso Catene - questa è la sua caratteristica generalizzata, che è una funzione tempo, numericamente uguale alla risposta del circuito ad una singola azione impulsiva al suo ingresso in condizioni iniziali zero (Fig. 13.14); in altre parole, questa è la risposta di un circuito privo di accumulo iniziale di energia alla funzione delta di Diran
al suo ingresso.

Funzione
può essere determinato calcolando la transizione
o trasmissione
funzione del circuito.

Calcolo della funzione
utilizzando la funzione di transizione del circuito. Lascia sotto l'azione di input
la reazione di un circuito elettrico lineare è
. Quindi, per la linearità del circuito, con un'azione in ingresso uguale alla derivata
, la reazione della catena sarà uguale alla derivata
.

Come notato, quando
, reazione a catena
, e se
, allora sarà la reazione a catena
, cioè. funzione impulsiva

Secondo la proprietà di campionamento
lavoro
. Quindi, la funzione di impulso del circuito

. (13.8)

Se un
, allora la funzione impulso ha la forma

. (13.9)

Pertanto, la dimensione risposta impulsiva ed è uguale alla dimensione della risposta transitoria divisa per il tempo.

Calcolo della funzione
usando funzione di trasferimento Catene. Secondo l'espressione (13.6), quando si agisce sull'input della funzione
, la risposta della funzione sarà la funzione di transizione
genere:

.

D'altra parte, è noto che l'immagine della derivata di una funzione rispetto al tempo
, A
, è uguale al prodotto
.

In cui si
,

o
, (13.10)

quelli. risposta impulsiva
circuito è uguale alla trasformata di Laplace inversa della sua trasmissione
funzioni.

Esempio. Cerchiamo funzione impulsiva circuito, i cui circuiti equivalenti sono mostrati in fig. 13.12, un; 13.13.

Decisione

Le funzioni di transizione e trasferimento di questo circuito sono state ottenute in precedenza:

Quindi, secondo l'espressione (13.8)

dove
.

Trama di risposta all'impulso
la catena è mostrata in fig. 13.15.

risultati

risposta impulsiva
introdotto per le stesse due ragioni della risposta transitoria
.

1. Azione ad impulso singolo
- influenza esterna intermittente e quindi piuttosto pesante per qualsiasi impianto o circuito. Pertanto, è importante conoscere la reazione del sistema o della catena sotto tale impatto, ad es. risposta impulsiva
.

2. Con l'aiuto di qualche modifica dell'integrale di Duhamel, conoscere
calcolare la risposta del sistema o del circuito a qualsiasi perturbazione esterna (vedere ulteriori sottosezioni 13.4, 13.5).

4. Sovrapposizione integrale (duhamel).

Sia una rete arbitraria passiva a due terminali (Fig. 13.16, un) è collegato a una sorgente che cambia continuamente dal momento
voltaggio (Fig. 13.16, b).

Necessità di trovare la corrente (o tensione) in qualsiasi ramo della rete a due terminali dopo la chiusura della chiave.

Risolveremo il problema in due fasi. Per prima cosa troviamo il valore desiderato accendendo la rete a due terminali per un unico salto di tensione, che è dato da una funzione a passo singolo
.

È noto che la reazione della catena a un singolo salto è risposta al gradino (funzione)
.

Ad esempio, per
– funzione transitoria dei circuiti per la corrente
(vedi punto 2.1), per
– funzione transitoria di tensione del circuito
.

Nella seconda fase, tensione in continuo cambiamento
sostituire con una funzione passo con salti rettangolari elementari
(vedi fig. 13.16 b). Quindi il processo di variazione della tensione può essere rappresentato come l'accensione a
tensione costante
, e quindi come l'inclusione di sollecitazioni costanti elementari
, spostati l'uno rispetto all'altro per intervalli di tempo
e avendo un segno più per il segno crescente e meno per il ramo discendente della curva di tensione data.

La componente della corrente desiderata al momento dalla tensione continua
è uguale a:

.

La componente della corrente desiderata da un salto di tensione elementare
incluso al momento è uguale a:

.

Qui l'argomento della funzione di transizione è il tempo
, poiché il salto di tensione elementare
inizia a lavorare per un po' dopo la chiusura della chiave, o, in altre parole, dall'intervallo di tempo tra il momento l'inizio dell'azione di questo salto e il tempo è uguale a
.

Sovraccarico di corrente elementare

,

dove
è il fattore di scala.

Pertanto, la componente desiderata della corrente

Le sovratensioni elementari vengono attivate nell'intervallo di tempo da
fino al momento , per cui viene determinata la corrente desiderata. Sommando quindi le componenti di corrente da tutti i salti, si passa al limite a
e tenendo conto della componente di corrente dal salto di tensione iniziale
, noi abbiamo:

L'ultima formula per determinare la corrente con una variazione continua della tensione applicata

(13.11)

chiamata integrale di sovrapposizione (sovrapposizione) o Duhamel integrale (la prima forma di scrittura di questo integrale).

Allo stesso modo, il problema viene risolto quando si collega il circuito e la sorgente di corrente. Secondo questo integrale, la reazione della catena, in generale,
ad un certo punto dopo l'inizio dell'esposizione
determinato da tutta quella parte dell'impatto che ha avuto luogo prima di quel momento .

Modificando le variabili e integrando per parti, si possono ottenere altre forme di scrittura dell'integrale di Duhamel, equivalente all'espressione (13.11):

La scelta della forma per scrivere l'integrale di Duhamel è determinata dalla comodità del calcolo. Ad esempio, se
è espresso da una funzione esponenziale, la formula (13.13) o (13.14) risulta conveniente, il che è dovuto alla semplicità di differenziazione della funzione esponenziale.

In
o
conviene usare la notazione in cui svanisce il termine che precede l'integrale.

Impatto arbitrario
può anche essere rappresentato come una somma di impulsi collegati in sequenza, come mostrato in Fig. 13.17.

Per una durata di impulso infinitesimale
otteniamo formule per l'integrale di Duhamel simili a (13.13) e (13.14).

Le stesse formule possono essere ottenute dalle relazioni (13.13) e (13.14) sostituendo a con la funzione derivata
funzione impulsiva
.

Conclusione.

Quindi, sulla base delle formule dell'integrale di Duhamel (13.11) - (13.16) e delle caratteristiche temporali del circuito
e
è possibile determinare le funzioni temporali delle risposte del circuito
su influenze arbitrarie
.

3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici

Circuito di risposta all'impulso è il rapporto tra la risposta del circuito a un'azione impulsiva e l'area di questa azione a condizioni iniziali zero.

A-priorita ,

dov'è la risposta del circuito a un'azione impulsiva;

è l'area dell'impulso di impatto.

Secondo la nota risposta all'impulso del circuito, si può trovare la reazione del circuito ad una data azione: .

Come funzione di azione, viene spesso utilizzata una singola azione di impulso, chiamata anche funzione delta o funzione di Dirac.

La funzione delta è una funzione uguale a zero ovunque, eccetto, e la sua area è uguale a uno ():

.

Il concetto di funzione delta può essere raggiunto considerando il limite di un impulso rettangolare con altezza e durata quando (Fig. 3):

Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento del circuito e la sua risposta all'impulso, per la quale utilizziamo il metodo dell'operatore.

A-priorità:

Se l'impatto (originale) è considerato per il caso più generale nella forma del prodotto dell'area del polso e della funzione delta, cioè nella forma , allora l'immagine di questo impatto secondo la tabella di corrispondenza ha la forma:

.

Quindi, d'altra parte, il rapporto tra la reazione trasformata di Laplace del circuito e il valore dell'area dell'impulso di azione è la risposta all'impulso dell'operatore del circuito:

.

Quindi, .

Per trovare la risposta all'impulso del circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:

, cioè in realtà .

Generalizzando le formule, otteniamo una relazione tra la funzione di trasferimento dell'operatore del circuito e le risposte transitorie e impulsive dell'operatore del circuito:

Quindi, conoscendo una delle caratteristiche del circuito, puoi determinarne altre.

Facciamo una trasformazione identica di uguaglianza aggiungendo alla parte centrale .

Allora avremo.

Nella misura in cui è un'immagine della derivata della risposta transitoria, quindi l'uguaglianza originale può essere riscritta come:

Passando al regno degli originali, otteniamo una formula che ci permette di determinare la risposta all'impulso del circuito dalla sua nota risposta transitoria:

Se poi .

La relazione inversa tra le caratteristiche indicate ha la forma:

.

Secondo la funzione di trasferimento, è facile stabilire la presenza di un termine nella composizione della funzione.

Se i gradi del numeratore e del denominatore sono gli stessi, allora sarà presente il termine in questione. Se la funzione è una frazione propria, allora questo termine non esisterà.

Esempio: determinare le risposte all'impulso per le tensioni e nel circuito in serie mostrato nella Figura 4.

Definiamo:

Secondo la tabella delle corrispondenze, passiamo all'originale:

.

Il grafico di questa funzione è mostrato in Figura 5.

Riso. 5

Funzione di trasmissione:

Secondo la tabella delle corrispondenze, abbiamo:

.

Il grafico della funzione risultante è mostrato in Figura 6.

Precisiamo che le stesse espressioni potrebbero essere ottenute con l'ausilio di relazioni che stabiliscano un collegamento tra e.

La risposta all'impulso in senso fisico riflette il processo delle oscillazioni libere e per questo si può sostenere che nei circuiti reali la condizione deve essere sempre soddisfatta:

4. Integrali di convoluzione (overlay)

Considerare la procedura per determinare la risposta di un circuito elettrico lineare a un effetto complesso, se è nota la risposta all'impulso di questo circuito. Assumiamo che l'impatto sia una funzione continua a tratti mostrata nella Figura 7.

Sia richiesto di trovare il valore della reazione ad un certo punto nel tempo. Risolvendo questo problema, rappresentiamo l'impatto come somma di impulsi rettangolari di durata infinitesima, uno dei quali, corrispondente al momento temporale, è mostrato in Figura 7. Questo impulso è caratterizzato da durata e altezza.

Dal materiale precedentemente considerato, è noto che la risposta di un circuito a un breve impulso può essere considerata uguale al prodotto della risposta all'impulso del circuito e l'area dell'azione dell'impulso. Di conseguenza, la componente infinitamente piccola della reazione, dovuta a tale azione impulsiva, al momento sarà pari a:

poiché l'area dell'impulso è , e il tempo trascorre dal momento della sua applicazione al momento dell'osservazione.

Utilizzando il principio di sovrapposizione, la risposta totale del circuito può essere definita come la somma di un numero infinitamente grande di componenti infinitamente piccoli, causati da una sequenza di azioni impulsive di area infinitamente piccola che precedono l'istante temporale.

Così:

.

Questa formula è vera per qualsiasi valore, quindi la variabile è generalmente indicata semplicemente. Quindi:

.

La relazione risultante è chiamata integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione. La funzione che si trova come risultato del calcolo dell'integrale di convoluzione è chiamata convoluzione e .

Puoi trovare un'altra forma dell'integrale di convoluzione se modifichi le variabili nell'espressione risultante per:

.

Esempio: trova la tensione ai capi della capacità di un circuito seriale (Fig. 8), se un impulso esponenziale della forma agisce all'ingresso:

la catena è collegata: con un cambiamento dello stato energetico ... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. di transizione caratteristica elettrico Cateneè: risposta a un passo unitario...

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Caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici

Aquila 2009

Obiettivi educativi ed educativi:

Spiegare al pubblico l'essenza delle caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici, mostrare la relazione tra le caratteristiche, prestare attenzione all'uso delle caratteristiche considerate per l'analisi e la sintesi di EC, mirare a una preparazione di alta qualità per una lezione pratica .

Assegnazione del tempo di lezione

Parte introduttiva………………………………………………………5 min.

Domande di studio:

1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici………………15 min.

2. Integrali di Duhamel…………………………………………………...25 min.

3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici. Relazione tra le caratteristiche……………………………………………….………...25 min.

4. Integrali di convoluzione……………………………………………………….15 min.

Conclusione………………………………………………………………5 min.

1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici

Risposta al passo circuito (così come impulso) si riferisce alle caratteristiche temporali del circuito, cioè esprime un certo processo transitorio sotto influenze predeterminate e condizioni iniziali.

Per confrontare i circuiti elettrici in termini di risposta a queste influenze, è necessario mettere i circuiti nelle stesse condizioni. Le più semplici e convenienti sono zero condizioni iniziali.

Risposta transitoria del circuito è il rapporto tra la risposta della catena a un'azione a gradino e il valore di questa azione a condizioni iniziali zero.

A-priorita ,

– reazione a catena all'azione del gradino; - l'entità dell'azione del gradino [B] o [A]. ed è diviso per l'entità dell'impatto (questo è un numero reale), quindi in effetti - la reazione della catena a un impatto a passo singolo.

Se la risposta transitoria del circuito è nota (o può essere calcolata), dalla formula puoi trovare la risposta di questo circuito a un'azione a gradino a zero NL

Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento dell'operatore di un circuito, che è spesso nota (o si può trovare), e la risposta transitoria di questo circuito. Per fare ciò, utilizziamo il concetto introdotto di una funzione di trasferimento operatore:

Il rapporto tra la reazione a catena trasformata da Laplace e l'entità dell'impatto

rappresenta la risposta transitoria dell'operatore del circuito:

Quindi .

Da qui, la risposta transitoria dell'operatore del circuito viene rilevata dalla funzione di trasferimento dell'operatore.

Per determinare la risposta transitoria del circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:

,

utilizzando la tabella delle corrispondenze o (preliminarmente) il teorema di espansione.

Esempio: determinare la risposta al gradino per la risposta in tensione attraverso le capacità in una serie

-catene (Fig. 1):

Qui, la risposta all'azione del passaggio è

:

da cui la risposta transitoria:

Le caratteristiche transitorie dei circuiti più comuni sono riportate e riportate nella letteratura di riferimento.

2. Integrali di Duhamel

La risposta transitoria viene spesso utilizzata per trovare la risposta di un circuito a un'azione complessa. Stabiliamo questi rapporti.

Siamo d'accordo che l'impatto

è una funzione continua e viene applicata al circuito in tempo e le condizioni iniziali sono zero.

Esposizione target

può essere rappresentato come la somma dell'azione di gradino applicata al circuito in quel momento e di un numero infinitamente grande di azioni di gradino infinitamente piccole che si susseguono continuamente. Una di queste azioni elementari corrispondenti al momento dell'applicazione è mostrata in Figura 2.

Trova il valore della reazione a catena in un determinato momento

.

Passa all'azione con una differenza

nel momento in cui provoca una reazione pari al prodotto della caduta per il valore della risposta transitoria del circuito a , cioè pari a:

Un'azione a passi infinitamente piccoli con una differenza

, provoca una reazione infinitesimale, dove è il tempo trascorso dal momento dell'applicazione dell'impatto al momento dell'osservazione. Poiché la funzione è continua, allora:

Secondo il principio della sovrapposizione delle reazioni

sarà uguale alla somma delle reazioni dovute alla totalità delle influenze che precedono il momento di osservazione, cioè

Di solito nell'ultima formula

sostituisci semplicemente con , poiché la formula trovata è vera per tutti i valori temporali:

Duhamel integrale.

Conoscere la risposta del circuito ad una singola azione perturbatrice, ad es. la funzione di conducibilità transitoria o (e) la funzione transitoria di tensione, puoi trovare la risposta del circuito all'azione di una forma arbitraria. La base del metodo - il metodo di calcolo mediante l'integrale di Duhamel - è il principio di sovrapposizione.

Quando si utilizza l'integrale di Duhamel per separare la variabile su cui viene eseguita l'integrazione e la variabile che determina il momento in cui viene determinata la corrente nel circuito, la prima è solitamente indicata come , e la seconda - come t.

Lasciamo momentaneamente al circuito con condizioni iniziali zero (rete passiva a due terminali PD in fig. 1) è collegata una sorgente con una tensione arbitraria. Per trovare la corrente nel circuito, sostituiamo la curva originale con una curva a gradini (vedi Fig. 2), dopodiché, tenendo conto che il circuito è lineare, sommiamo le correnti dal salto di tensione iniziale e tutti gli incrementi di tensione al momento t, che entrano in azione con un ritardo.

All'istante t, la componente della corrente totale, determinata dal salto di tensione iniziale, è uguale a .

C'è un salto di tensione in questo momento , che, tenendo conto dell'intervallo di tempo dall'inizio del salto al momento t di interesse, determinerà la componente di corrente .

La corrente totale al tempo t è ovviamente uguale alla somma di tutte le componenti di corrente dei singoli picchi di tensione, tenendo conto, ad es.

Sostituzione dell'intervallo di incremento di tempo finito con uno infinitamente piccolo, ad es. passando dalla somma all'integrale, scriviamo

.

(1)

Viene chiamata la relazione (1). l'integrale di Duhamel.

Va notato che la tensione può essere determinata anche utilizzando l'integrale di Duhamel. In questo caso, in (1) al posto della conducibilità transitoria, entrerà la funzione transitoria rispetto alla tensione.

Sequenza di calcolo utilizzando
Duhamel integrale

Come esempio di utilizzo dell'integrale di Duhamel, determiniamo la corrente nel circuito di Fig. 3 calcolato nella lezione precedente utilizzando la formula di inclusione.

Dati iniziali per il calcolo: , , .

1. Conduttanza transitoria

.

18. Funzione di trasferimento.

La relazione dell'operatore di azione con il proprio operatore è chiamata funzione di trasferimento o funzione di trasferimento in forma di operatore.

Un collegamento descritto da una o più equazioni in forma simbolica o operatore può essere caratterizzato da due funzioni di trasferimento: una funzione di trasferimento per il valore di ingresso u; e la funzione di trasferimento rispetto al valore di input f.

e

Utilizzando le funzioni di trasferimento, l'equazione viene scritta come . Questa equazione è una notazione condizionale più compatta dell'equazione originale.

Insieme alla funzione di trasferimento sotto forma di operatore, è ampiamente utilizzata la funzione di trasferimento sotto forma di immagini di Laplace.

Le funzioni di trasferimento sotto forma di immagini di Laplace e la forma di operatore coincidono fino alla notazione. La funzione di trasferimento nel modulo, le immagini di Laplace possono essere ottenute dalla funzione di trasferimento nel modulo operatore, se in quest'ultimo viene effettuata la sostituzione p = s. Nel caso generale, ciò deriva dal fatto che la differenziazione dell'originale - la moltiplicazione simbolica dell'originale per p - in condizioni iniziali zero corrisponde alla moltiplicazione dell'immagine per un numero complesso s.

La somiglianza tra le funzioni di trasferimento nella forma dell'immagine Laplace e nella forma dell'operatore è puramente esterna, e si verifica solo nel caso di collegamenti stazionari (sistemi), cioè solo in condizioni iniziali zero.

Si consideri un semplice circuito RLC (in serie), la sua funzione di trasferimento W(p)=U OUT /U IN

Integrale di Fourier.

Funzione f(X), definito sull'asse dei numeri interi viene chiamato periodico, se esiste un tale numero che per qualsiasi valore X uguaglianza . Numero T chiamata periodo di funzione.

Notiamo alcune proprietà di questa funzione:

1) Somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni periodiche Tè una funzione periodica del periodo T.

2) Se la funzione f(X) periodo T, quindi la funzione f(ascia) ha un punto.

3) Se f(X) è una funzione periodica del periodo T, allora due integrali qualsiasi di questa funzione sono uguali, presi su intervalli di lunghezza T(inoltre esiste l'integrale), cioè per ogni un e b equa uguaglianza .

serie trigonometriche. serie di Fourier

Se un f(X) si espande su un segmento in una serie trigonometrica uniformemente convergente: (1)

Quindi questa scomposizione è unica e i coefficienti sono determinati dalle formule:

dove n=1,2, . . .

Viene chiamata la serie trigonometrica (1) della forma considerata con coefficienti serie trigonometrica di Fourier.

Forma complessa della serie di Fourier

L'espressione è chiamata la forma complessa della serie di Fourier della funzione f(X) se definito dall'uguaglianza

, dove

Il passaggio dalla serie di Fourier in forma complessa alla serie in forma reale e viceversa avviene utilizzando le formule:

(n=1,2, . . .)

L'integrale di Fourier della funzione f(x) è un integrale della forma:

, dove .

funzioni di frequenza.

Se applicato all'ingresso del sistema con la funzione di trasferimento W(p) segnale armonico

quindi dopo il completamento del processo transitorio, si stabiliranno oscillazioni armoniche in uscita

con la stessa frequenza, ma diversa ampiezza e fase, a seconda della frequenza dell'azione perturbatrice. Possono essere usati per giudicare le proprietà dinamiche del sistema. Vengono chiamate le dipendenze che mettono in relazione l'ampiezza e la fase del segnale in uscita con la frequenza del segnale in ingresso caratteristiche di frequenza(CH). Viene chiamata l'analisi della risposta in frequenza di un sistema per studiarne le proprietà dinamiche analisi di frequenza.

Sostituiamo le espressioni per tu(t) e si(t) nell'equazione della dinamica

(aop n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bop m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Ne teniamo conto

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Relazioni simili possono essere scritte per il lato sinistro dell'equazione. Noi abbiamo:

Per analogia con la funzione di trasferimento, possiamo scrivere:

Viene chiamato W(j ), uguale al rapporto tra il segnale in uscita e l'ingresso quando il segnale in ingresso cambia secondo la legge armonica funzione di trasferimento di frequenza. È facile vedere che può essere ottenuto semplicemente sostituendo p con j nell'espressione W(p).

W(j ) è una funzione complessa, quindi:

dove P() - risposta in frequenza reale (VCH); Q() - risposta in frequenza immaginaria (MFH); MA() - risposta in frequenza di ampiezza (AFC): () - risposta in frequenza di fase (PFC). La risposta in frequenza fornisce il rapporto tra le ampiezze dei segnali di uscita e di ingresso, la risposta di fase è lo sfasamento del valore di uscita rispetto all'ingresso:

;

Se W(j ) è rappresentato come un vettore sul piano complesso, quando cambia da 0 a +, la sua estremità disegnerà una curva chiamata odografo vettoriale W(j), o ampiezza - risposta in frequenza di fase (APFC)(fig.48).

Il ramo AFC quando si passa da - a 0 può essere ottenuto specchiando questa curva rispetto all'asse reale.

In TAU sono ampiamente utilizzati risposta in frequenza logaritmica (LFC)(fig.49): risposta di picco logaritmica (LAFC) Sbarcare risposta di fase logaritmica (LPFC) ().

Si ottengono prendendo il logaritmo della funzione di trasferimento:

LACH si ottiene dal primo termine, che, per motivi di scala, viene moltiplicato per 20 e non viene utilizzato il logaritmo decimale, ovvero L() = 20lgA(). Il valore L() viene tracciato lungo l'asse y in decibel.

Una variazione del livello del segnale di 10 dB corrisponde a una variazione della sua potenza di 10 volte. Poiché la potenza del segnale armonico P è proporzionale al quadrato della sua ampiezza A, una variazione del segnale di 10 volte corrisponde a una variazione del suo livello di 20 dB, poiché

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20lg(A 2 /A 1).

L'ascissa mostra la frequenza w su scala logaritmica. Cioè, i singoli spazi vuoti lungo l'ascissa corrispondono a una variazione di w di 10 volte. Tale intervallo viene chiamato decennio. Poiché lg(0) = - , l'asse y viene disegnato arbitrariamente.

L'LFC ottenuto dal secondo termine differisce dal PFC solo per la scala lungo l'asse. Il valore () viene tracciato lungo l'asse y in gradi o radianti. Per i collegamenti elementari, non va oltre: - + .

Le caratteristiche di frequenza sono le caratteristiche esaustive del sistema. Conoscendo la risposta in frequenza del sistema, è possibile ripristinarne la funzione di trasferimento e determinarne i parametri.

Risposta.

Si ritiene che il collegamento sia coperto reazione, se il suo segnale di uscita viene inviato all'ingresso tramite qualche altro collegamento. In questo caso, se il segnale di feedback viene sottratto dall'azione di ingresso (), il feedback viene chiamato negativo. Se il segnale di feedback viene aggiunto all'azione di ingresso (), il feedback viene chiamato positivo.

La funzione di trasferimento di un circuito chiuso con feedback negativo - un collegamento coperto da feedback negativo - è uguale alla funzione di trasferimento del circuito diretto divisa per uno più la funzione di trasferimento del circuito aperto

La funzione di trasferimento ad anello chiuso con feedback positivo è uguale alla funzione di trasferimento ad anello diretto divisa per uno meno la funzione di trasferimento ad anello aperto

22. 23. Quadripoli.

Nell'analisi dei circuiti elettrici nei problemi di studio del rapporto tra variabili (correnti, tensioni, potenze, ecc.) di alcuni due rami del circuito, è ampiamente utilizzata la teoria dei quadripoli.

Quadripolo- questa è una parte di un circuito di configurazione arbitraria che ha due coppie di terminali (da cui il nome), solitamente chiamati input e output.

Esempi di un quadripolare sono un trasformatore, un amplificatore, un potenziometro, una linea di alimentazione e altri dispositivi elettrici in cui si possono distinguere due coppie di poli.

In generale, i quadripoli possono essere suddivisi in attivo, la cui struttura comprende le fonti di energia, e passivo, i cui rami non contengono fonti di energia.

Per scrivere le equazioni del quadripolo, individuiamo in un circuito arbitrario un ramo con un'unica fonte di energia e qualsiasi altro ramo con una certa resistenza (vedi Fig. 1a).

Secondo il principio di compensazione, sostituiremo la resistenza iniziale con una sorgente con tensione (vedi Fig. 1b). Quindi, in base al metodo di sovrapposizione per il circuito di Fig. 1b può essere scritto

Le equazioni (3) e (4) sono le equazioni di base del quadripolo; sono anche chiamate equazioni del quadripolo in forma A (vedi Tabella 1). In generale, ci sono sei forme di scrittura delle equazioni di un quadripolo passivo. Infatti, un quadripolo è caratterizzato da due tensioni e e due correnti e. Qualsiasi due quantità possono essere espresse in termini delle altre. Poiché il numero di combinazioni di quattro per due è sei, sono possibili sei forme di scrittura delle equazioni di un quadripolo passivo, che sono riportate nella tabella. 1. Le direzioni positive delle correnti per varie forme di scrittura di equazioni sono mostrate in fig. 2. Si noti che la scelta dell'una o dell'altra forma di equazioni è determinata dall'area e dal tipo di problema da risolvere.

Tabella 1. Forme di scrittura delle equazioni di un quadripolo passivo

Il modulo	Equazioni	Relazione con i coefficienti delle equazioni di base
Una forma	; ;
Forma a Y	; ;	; ; ; ;
Forma a Z	; ;	; ; ; ;
Forma H	; ;	; ; ; ;
a forma di G	; ;	; ; ; ;
A forma di B	; .	; ; ; .

Impedenza e coefficiente caratteristici
propagazione di un quadripolo simmetrico

Nelle telecomunicazioni è ampiamente utilizzata la modalità di funzionamento di una rete simmetrica a quattro terminali, in cui la sua resistenza di ingresso è uguale al carico, ad es.

.

Questa resistenza è denominata resistenza caratteristica quadripolo simmetrico, e la modalità di funzionamento del quadripolo, per cui

,

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Caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici

Aquila 2009

Obiettivi educativi ed educativi:

Spiegare al pubblico l'essenza delle caratteristiche transitorie e impulsive dei circuiti elettrici, mostrare la relazione tra le caratteristiche, prestare attenzione all'uso delle caratteristiche considerate per l'analisi e la sintesi di EC, mirare a una preparazione di alta qualità per una lezione pratica .

Assegnazione del tempo di lezione

Parte introduttiva………………………………………………………5 min.

Domande di studio:

1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici………………15 min.

2. Integrali di Duhamel…………………………………………………...25 min.

3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici. Relazione tra le caratteristiche……………………………………………….………...25 min.

4. Integrali di convoluzione……………………………………………………….15 min.

Conclusione………………………………………………………………5 min.

1. Caratteristiche transitorie dei circuiti elettrici

La risposta transitoria del circuito (così come la risposta all'impulso) si riferisce alle caratteristiche temporali del circuito, ovvero esprime un certo processo transitorio sotto influenze e condizioni iniziali predeterminate.

Per confrontare i circuiti elettrici in termini di risposta a queste influenze, è necessario mettere i circuiti nelle stesse condizioni. Le più semplici e convenienti sono zero condizioni iniziali.

Risposta transitoria del circuito è il rapporto tra la risposta della catena a un'azione a gradino e il valore di questa azione a condizioni iniziali zero.

A-priorita ,

dove è la risposta del circuito a un'azione a gradino;

- l'entità dell'azione del gradino [B] o [A].

Poiché ed è diviso per l'entità dell'impatto (questo è un numero reale), quindi in effetti - la reazione della catena a un impatto a singolo passaggio.

Se la risposta transitoria del circuito è nota (o può essere calcolata), dalla formula puoi trovare la risposta di questo circuito a un'azione a gradino a zero NL

.

Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento dell'operatore di un circuito, che è spesso nota (o si può trovare), e la risposta transitoria di questo circuito. Per fare ciò, utilizziamo il concetto introdotto di una funzione di trasferimento operatore:

.

Il rapporto tra la reazione a catena trasformata da Laplace e l'entità dell'azione è la risposta transitoria dell'operatore della catena:

Quindi .

Da qui, la risposta transitoria dell'operatore del circuito viene rilevata dalla funzione di trasferimento dell'operatore.

Per determinare la risposta transitoria del circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:

utilizzando la tabella delle corrispondenze o (preliminarmente) il teorema di espansione.

Esempio: determinare la risposta transitoria per la risposta della tensione alle capacità in un circuito in serie (Fig. 1):

Ecco la risposta all'azione passo con il valore:

,

da cui la risposta transitoria:

.

Le caratteristiche transitorie dei circuiti più comuni sono riportate e riportate nella letteratura di riferimento.

2. Integrali di Duhamel

La risposta transitoria viene spesso utilizzata per trovare la risposta di un circuito a un'azione complessa. Stabiliamo questi rapporti.

Concordiamo sul fatto che l'azione è una funzione continua e viene applicata al circuito al tempo e le condizioni iniziali sono zero.

L'azione data può essere rappresentata come la somma dell'azione di gradino applicata al circuito in quel momento e di un numero infinito di azioni di gradino infinitamente piccole che si susseguono continuamente. Una di queste azioni elementari corrispondenti al momento dell'applicazione è mostrata in Figura 2.

Troviamo il valore della reazione a catena ad un certo punto nel tempo.

Un'azione a gradino con una caduta nel tempo provoca una reazione pari al prodotto della caduta per il valore della risposta transitoria del circuito a , cioè pari a:

Un'azione a passo infinitamente piccolo con una differenza provoca una reazione infinitamente piccola , dove è il tempo trascorso dal momento in cui è stato applicato l'impatto al momento dell'osservazione. Poiché la funzione è continua, allora:

Secondo il principio di sovrapposizione, la reazione sarà uguale alla somma delle reazioni dovute alla totalità delle influenze precedenti il ​​momento di osservazione, cioè

.

Di solito, nell'ultima formula, la sostituiscono semplicemente con, poiché la formula trovata è corretta per qualsiasi valore temporale:

.

Oppure, dopo semplici trasformazioni:

.

Ognuno di questi rapporti risolve il problema di calcolare la risposta di un circuito elettrico lineare ad una data azione continua secondo la nota risposta transitoria del circuito. Queste relazioni sono dette integrali di Duhamel.

3. Caratteristiche impulsive dei circuiti elettrici

Circuito di risposta all'impulso è il rapporto tra la risposta del circuito a un'azione impulsiva e l'area di questa azione a condizioni iniziali zero.

A-priorita ,

dov'è la risposta del circuito a un'azione impulsiva;

è l'area dell'impulso di impatto.

Secondo la nota risposta all'impulso del circuito, si può trovare la reazione del circuito a una data azione: .

Come funzione di azione, viene spesso utilizzata una singola azione di impulso, chiamata anche funzione delta o funzione di Dirac.

La funzione delta è una funzione uguale a zero ovunque, eccetto, e la sua area è uguale a uno ():

.

Il concetto di funzione delta può essere raggiunto considerando il limite di un impulso rettangolare con altezza e durata quando (Fig. 3):

Stabiliamo una connessione tra la funzione di trasferimento del circuito e la sua risposta all'impulso, per la quale utilizziamo il metodo dell'operatore.

A-priorità:

.

Se l'impatto (originale) è considerato per il caso più generale nella forma del prodotto dell'area del polso e della funzione delta, cioè nella forma , allora l'immagine di questo impatto secondo la tabella di corrispondenza ha la forma:

.

Quindi, d'altra parte, il rapporto tra la reazione trasformata di Laplace del circuito e il valore dell'area dell'impulso di azione è la risposta all'impulso dell'operatore del circuito:

.

Quindi, .

Per trovare la risposta all'impulso del circuito, è necessario applicare la trasformata di Laplace inversa:

Cioè, in effetti.

Generalizzando le formule, otteniamo una relazione tra la funzione di trasferimento dell'operatore del circuito e le risposte transitorie e impulsive dell'operatore del circuito:

Quindi, conoscendo una delle caratteristiche del circuito, puoi determinarne altre.

Facciamo una trasformazione identica di uguaglianza aggiungendo alla parte centrale .

Allora avremo.

Poiché è un'immagine della derivata della risposta transitoria, l'uguaglianza originale può essere riscritta come:

Passando al regno degli originali, otteniamo una formula che ci permette di determinare la risposta all'impulso del circuito dalla sua nota risposta transitoria:

Se poi .

La relazione inversa tra le caratteristiche indicate ha la forma:

.

Secondo la funzione di trasferimento, è facile stabilire la presenza di un termine nella composizione della funzione.

Se i gradi del numeratore e del denominatore sono gli stessi, allora sarà presente il termine in questione. Se la funzione è una frazione propria, allora questo termine non esisterà.

Esempio: determinare le risposte all'impulso per le tensioni e nel circuito in serie mostrato nella Figura 4.

Definiamo:

Secondo la tabella delle corrispondenze, passiamo all'originale:

.

Il grafico di questa funzione è mostrato in Figura 5.

Riso. 5

Funzione di trasmissione:

Secondo la tabella delle corrispondenze, abbiamo:

.

Il grafico della funzione risultante è mostrato in Figura 6.

Segnaliamo che le stesse espressioni possono essere ottenute utilizzando relazioni che stabiliscono una connessione tra e .

La risposta all'impulso in senso fisico riflette il processo delle oscillazioni libere e per questo si può sostenere che nei circuiti reali la condizione deve essere sempre soddisfatta:

4. Integrali di convoluzione (overlay)

Considerare la procedura per determinare la risposta di un circuito elettrico lineare a un effetto complesso, se è nota la risposta all'impulso di questo circuito. Assumiamo che l'impatto sia una funzione continua a tratti mostrata nella Figura 7.

Sia richiesto di trovare il valore della reazione ad un certo punto nel tempo. Risolvendo questo problema, rappresentiamo l'impatto come somma di impulsi rettangolari di durata infinitesima, uno dei quali, corrispondente al momento temporale, è mostrato in Figura 7. Questo impulso è caratterizzato da durata e altezza.

Dal materiale precedentemente considerato, è noto che la risposta di un circuito a un breve impulso può essere considerata uguale al prodotto della risposta all'impulso del circuito e l'area dell'azione dell'impulso. Di conseguenza, la componente infinitamente piccola della reazione, dovuta a tale azione impulsiva, al momento sarà pari a:

poiché l'area dell'impulso è , e il tempo trascorre dal momento della sua applicazione al momento dell'osservazione.

Utilizzando il principio di sovrapposizione, la risposta totale del circuito può essere definita come la somma di un numero infinitamente grande di componenti infinitamente piccoli, causati da una sequenza di azioni impulsive di area infinitamente piccola che precedono l'istante temporale.

Così:

.

Questa formula è vera per qualsiasi valore, quindi la variabile è generalmente indicata semplicemente. Quindi:

.

La relazione risultante è chiamata integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione. La funzione , che si trova come risultato del calcolo dell'integrale di convoluzione, è chiamata convoluzione e .

Puoi trovare un'altra forma dell'integrale di convoluzione se modifichi le variabili nell'espressione risultante per:

.

Esempio: trova la tensione ai capi della capacità di un circuito seriale (Fig. 8), se un impulso esponenziale della forma agisce all'ingresso:

Usiamo l'integrale di convoluzione:

.

Espressione per è stato ricevuto in precedenza.

Quindi, , e .

Lo stesso risultato si ottiene applicando l'integrale di Duhamel.

Letteratura:

Beletsky AF Teoria dei circuiti elettrici lineari. - M.: Radio e comunicazione, 1986. (Libro di testo)

Bakalov V. P. et al Teoria dei circuiti elettrici. - M.: Radio e comunicazione, 1998. (Libro di testo);

Kachanov N. S. et al. Dispositivi di ingegneria radio lineare. M.: Voen. ed., 1974. (Libro di testo);

Popov V.P. Fondamenti di teoria dei circuiti - M.: Scuola superiore, 2000. (Libro di testo)