มุมมองทั่วไปของโมเดลโปรแกรมเชิงเส้นตรง รูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นและการแปลง การกำหนดประเภทหลักของปัญหา LP การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

หน่วยงานการศึกษาของรัฐบาลกลาง

FGOU PO "วิทยาลัยการก่อสร้างและเศรษฐกิจ PSKOV"

เรื่อง "วิธีการทางคณิตศาสตร์"

งาน การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

หลักสูตรการทำงาน

กลุ่มนักเรียน 315-PO

Andreev Dmitry Alexandrovich

หัวหน้างานหลักสูตร

Vasilyeva Natalia Anatolievna

Pskov 2009

บทนำ

บทที่ Ι การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

§ 1 สูตรทั่วไปของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

§ 2 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

§ 3 รูปแบบมาตรฐานของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

บทที่ ΙΙ การแก้ปัญหาโดยใช้วิธี Simplex

§ 1 คำชี้แจงของปัญหา

§ 2 การรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

§ 3 อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาด้วยวิธีซิมเพล็กซ์

§ 4 การสร้างโซลูชันการสนับสนุนเบื้องต้นโดยวิธีเกาส์

§ 5 การแก้ปัญหา

บทสรุป

วรรณกรรม

บทนำ

ในปัจจุบัน ปัญหาด้านการวางแผนและการจัดการในภาคส่วนต่างๆ ของเศรษฐกิจของประเทศ ตลอดจนปัญหาที่ประยุกต์ใช้โดยเฉพาะจำนวนมาก ได้รับการแก้ไขโดยวิธีการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ การพัฒนามากที่สุดในด้านการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมคือวิธีการโปรแกรมเชิงเส้น วิธีการเหล่านี้ช่วยให้คุณอธิบายงานกิจกรรมเชิงพาณิชย์ที่หลากหลายได้อย่างแม่นยำเพียงพอ เช่น การวางแผนการหมุนเวียน ตำแหน่งของเครือข่ายการค้าปลีกของเมือง การวางแผนการจัดหาสินค้าไปยังเมือง อำเภอ แนบผู้ประกอบการการค้ากับซัพพลายเออร์ การจัดการขนส่งสินค้าอย่างมีเหตุผล การกระจายคนงานการค้าไปยังตำแหน่ง; การจัดซื้อผลิตภัณฑ์อาหารอย่างมีเหตุผล การจัดสรรทรัพยากร การวางแผนการลงทุน การเพิ่มประสิทธิภาพความสัมพันธ์ระหว่างภาคส่วน การเปลี่ยนอุปกรณ์เชิงพาณิชย์ การกำหนดช่วงที่เหมาะสมของสินค้าในพื้นที่จำกัด การสร้างโหมดการทำงานที่มีเหตุผล

ในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง เกณฑ์ประสิทธิภาพและฟังก์ชันในระบบข้อจำกัดเป็นแบบเส้นตรง

หากมีตัวแปรเวลาในปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และเกณฑ์ประสิทธิภาพแสดงผ่านสมการที่อธิบายการไหลของการดำเนินการในเวลา ปัญหาดังกล่าวก็คือปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก

ในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์หลายๆ แบบ ความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยคงที่และปัจจัยผันแปรสามารถพิจารณาเป็นเส้นตรงได้

การใช้วิธีการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ในกิจกรรมเชิงพาณิชย์เกี่ยวข้องกับการรวบรวมข้อมูลที่จำเป็นโดยพ่อค้า นักเศรษฐศาสตร์ นักการเงิน จากนั้นจึงตั้งค่าปัญหาควบคู่ไปกับคณิตศาสตร์ เนื่องจากวิธีการโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ได้ถูกนำมาใช้บนคอมพิวเตอร์ในรูปแบบของแพ็คเกจของโปรแกรมมาตรฐานแล้ว การเข้าถึงโปรแกรมเหล่านี้มักจะง่าย อัตโนมัติ และไม่มีปัญหาใดๆ เป็นพิเศษ

จากนั้นการทำงานของโมเดลจะรวมถึงการรวบรวมและประมวลผลข้อมูล การป้อนข้อมูลที่ประมวลผลลงในคอมพิวเตอร์ การคำนวณตามโปรแกรมกำหนดการที่พัฒนาขึ้น และสุดท้าย การออกผลการคำนวณ (ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับผู้ใช้) สำหรับ การใช้งานในด้านกิจกรรมการผลิต

บทที่ Ι การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

§ 1 สูตรทั่วไปของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

โปรแกรมเชิงเส้นตรงเป็นสาขาหนึ่งของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการแก้ปัญหาที่รุนแรง ซึ่งมีลักษณะความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างตัวแปรและฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น ในการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาจะถูกวาดขึ้นและเลือกวิธีการแก้ปัญหา

คำชี้แจงปัญหาของกิจกรรมเชิงพาณิชย์สามารถนำเสนอในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของโปรแกรมเชิงเส้นถ้าฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์สามารถนำเสนอในรูปแบบของรูปแบบเชิงเส้นและสามารถอธิบายความสัมพันธ์กับทรัพยากรที่มีจำกัดโดยใช้วิธีการเชิงเส้น สมการหรืออสมการ นอกจากนี้ยังมีการแนะนำข้อ จำกัด เพิ่มเติม - ค่าของตัวแปรจะต้องไม่เป็นค่าลบเนื่องจากแสดงถึงปริมาณเช่นการหมุนเวียนเวลาดำเนินการต้นทุนและตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจอื่น ๆ

การตีความทางเรขาคณิตของปัญหาทางเศรษฐกิจทำให้เห็นภาพโครงสร้างของปัญหา ระบุคุณลักษณะ และเปิดหนทางในการศึกษาคุณสมบัติที่ซับซ้อนมากขึ้น ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรสามารถแก้ไขได้แบบกราฟิกเสมอ อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิสามมิติแล้ว การแก้ปัญหาดังกล่าวจะกลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้น และในพื้นที่ที่มีมิติมากกว่าสามมิติ การแก้ปัญหาแบบกราฟิกโดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ กรณีของตัวแปรสองตัวไม่มีนัยสำคัญในทางปฏิบัติเป็นพิเศษ แต่การพิจารณาชี้แจงคุณสมบัติของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นนำไปสู่แนวคิดในการแก้ปัญหาทำให้วิธีการแก้ปัญหาที่ชัดเจนทางเรขาคณิตและวิธีการใช้งานจริง

§ 2 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ก่อนแก้ปัญหา เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือชุดของความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นและข้อจำกัดเชิงเส้นของตัวแปร

หลักการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. เลือกตัวแปรงาน

ตัวแปรของปัญหาคือปริมาณ

ซึ่งอธิบายลักษณะกระบวนการทางเศรษฐกิจอย่างครบถ้วนตามที่อธิบายไว้ในงาน มักจะเขียนเป็นเวกเตอร์ X = () นอกจากนี้ )

2. จัดทำระบบจำกัดปัญหา

ระบบข้อจำกัดคือชุดของสมการและความไม่เท่าเทียมกันที่ตัวแปรของปัญหาพึงพอใจและเป็นไปตามเงื่อนไขทางเศรษฐกิจที่จำกัดของปัญหา

วี ปริทัศน์ระบบเขียนว่า

3. กำหนดฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือฟังก์ชัน Z (X) ที่กำหนดลักษณะของงานซึ่งจะต้องพบส่วนสุดขีด โดยทั่วไป ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เขียน Z (X) =

แล้ว. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการหาตัวแปรของปัญหา

เป็นไปตามระบบข้อจำกัด:

และสภาวะที่ไม่เป็นลบ

0 (j =) ซึ่งให้ส่วนปลายของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Z (Y) =

ชุดของค่าตัวแปรใด ๆ ที่ตรงตามระบบของข้อจำกัดและการไม่ปฏิเสธตามเงื่อนไขจะเรียกว่าโซลูชันที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ชุดของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ก่อให้เกิดพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (ODS)

ทางออกที่ดีที่สุดคือวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงจุดสุดโต่ง

§ 3 รูปแบบมาตรฐานของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาต้องมีรูปแบบบัญญัติ

หากระบบข้อจำกัดประกอบด้วยสมการเพียงอย่างเดียวและตัวแปรทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ แสดงว่าปัญหามีรูปแบบบัญญัติ

หากระบบมีความไม่เท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งตัวหรือตัวแปรใดๆ ที่ไม่มีขอบเขตโดยเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ แสดงว่าปัญหามีรูปแบบมาตรฐาน ในการนำงานไปสู่รูปแบบบัญญัติ คุณต้อง:

ส่งผ่านจากอสมการเป็นสมการดังนี้ ทางด้านซ้ายของอสมการ เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ (+1) สำหรับอสมการ (

) และ (-1) สำหรับความไม่เท่าเทียมกัน () ตัวแปรเพิ่มเติมไม่ได้ถูกกำหนดให้เป็นเป้าหมายที่ไม่เป็นลบ จากนั้นจะถูกแทนที่ด้วยความแตกต่างของตัวแปรที่ไม่เป็นลบสองตัว นั่นคือ: = - (

มุมมองทั่วไปของรูปแบบบัญญัติ:

บทที่ ΙΙ การแก้ปัญหาโดยใช้วิธี Simplex

วิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีการปรับปรุงตามลำดับของแผน (โซลูชัน) ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดและใช้เพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ

ชื่อของวิธีการมาจากภาษาละติน simplecx - ง่ายเพราะ จากขอบเขตเริ่มต้นของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของปัญหามี มุมมองที่ง่ายที่สุด... แนวคิดของวิธีการนี้เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย L.V. Kontarovich ในปี 1939 จากนั้นแนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาและพัฒนาโดย J. Danzig ในปี 1949

วิธีแบบซิมเพล็กซ์ช่วยให้สามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดหรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่ในขั้นตอนจำนวนจำกัด

§ 1 คำชี้แจงของปัญหา

บริษัทใช้เครื่องจักร 3 ประเภทในกระบวนการผลิต: Ι, ІΙ, ІVІ. ในกรณีนี้จะใช้วัตถุดิบทรัพยากรแรงงานและคำนึงถึงต้นทุนค่าโสหุ้ย

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสามารถลดลงเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบบัญญัติได้ ในการทำเช่นนี้ ในกรณีทั่วไป คุณต้องสามารถลดปัญหาของการขยายใหญ่สุดให้เป็นปัญหาของการย่อให้เล็กสุดได้ เปลี่ยนจากข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมเป็นข้อจำกัดความเท่าเทียมกันและแทนที่ตัวแปรที่ไม่เชื่อฟังเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ การขยายสูงสุดของฟังก์ชันบางอย่างเทียบเท่ากับการย่อเล็กสุดของฟังก์ชันเดียวกัน โดยใช้เครื่องหมายตรงข้าม และในทางกลับกัน

กฎสำหรับการลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติมีดังนี้:

• ถ้าในปัญหาเดิมจำเป็นต้องกำหนดสูงสุด ฟังก์ชันเชิงเส้นคุณควรเปลี่ยนเครื่องหมายและมองหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้
• หากด้านขวาของข้อจำกัดเป็นค่าลบ ข้อจำกัดนี้ควรคูณด้วย -1
• หากมีข้อ จำกัด ที่ไม่เท่าเทียมกันโดยการแนะนำตัวแปรที่ไม่ใช่ค่าลบเพิ่มเติมพวกเขาจะเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน
• ถ้าตัวแปรบางอย่าง x jไม่มีข้อจำกัดของสัญญาณ จากนั้นจะถูกแทนที่ (ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์และในข้อจำกัดทั้งหมด) ด้วยความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่ไม่เป็นลบใหม่สองตัว:
  x 3 = x 3 + - x 3 - , ที่ไหน x 3 +, x 3 - ≥ 0 .

ตัวอย่าง 1... การลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติ:

ขั้นต่ำ L = 2x 1 + x 2 - x 3;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0

เราแนะนำในแต่ละสมการของระบบข้อ จำกัด ตัวแปรปรับระดับ x 4, x 5, x 6... ระบบจะถูกเขียนในรูปแบบของความเท่าเทียมกันและในสมการที่หนึ่งและสามของระบบข้อจำกัดตัวแปร x 4, x 6จะถูกป้อนทางด้านซ้ายมือด้วยเครื่องหมาย "+" และในสมการที่สองตัวแปร x 5ป้อนด้วยเครื่องหมาย "-"

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0

เงื่อนไขอิสระในรูปแบบบัญญัติต้องเป็นค่าบวก สำหรับสิ่งนี้ เราคูณสมการสองสมการสุดท้ายด้วย -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3

ในรูปแบบบัญญัติของการเขียนปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น ตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในระบบข้อจำกัดต้องเป็นค่าลบ สมมุติว่า x 1 = x 1 '- x 7 , ที่ไหน x 1 '≥ 0, x 7 ≥ 0 .

แทนที่นิพจน์นี้ในระบบของข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ และเขียนตัวแปรในลำดับจากน้อยไปมากของดัชนี เราได้รับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่นำเสนอในรูปแบบบัญญัติ:

L นาที = 2x 1 '+ x 2 - x 3 - 2x 7;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 '- x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 '+ x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 '≥ 0; x ผม ≥ 0, ผม = 2, 3, 4, 5, 6, 7

สภาวะที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแผนพื้นฐานของปัญหา LP ที่เป็นที่ยอมรับ วิธี Simplex และการบรรจบกัน

วิธีซิมเพล็กซ์คือ สากล,เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเกือบทั้งหมดที่เขียนใน แบบฟอร์มบัญญัติ

แนวคิดของวิธีซิมเพล็กซ์ การปรับปรุงแผนอย่างต่อเนื่องอยู่ในความจริงที่ว่าเริ่มจากโซลูชันการสนับสนุนเบื้องต้น กำกับการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่องโดยการสนับสนุนการแก้ปัญหาให้เหมาะสมที่สุด

ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไม่ลดลงด้วยการเคลื่อนไหวนี้สำหรับงานให้สูงสุด

เนื่องจากจำนวนของโซลูชันการสนับสนุนมีจำกัด หลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัด เราจึงได้รับโซลูชันการสนับสนุนที่เหมาะสมที่สุด

โซลูชันที่ไม่เป็นลบพื้นฐานเรียกว่าโซลูชันอ้างอิง

อัลกอริธึมเมธอด Simplex

1. ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของปัญหาควรเป็น บัญญัติ หากไม่ใช่ตามบัญญัติ ก็จะต้องนำไปอยู่ในรูปแบบบัญญัติ

2. ค้นหาโซลูชันการสนับสนุนดั้งเดิมและตรวจสอบเพื่อความเหมาะสม
เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้กรอกข้อมูลในตารางซิมเพล็กซ์ 1
เรากรอกแถวทั้งหมดของตารางในขั้นตอนที่ 1 ตามข้อมูลของระบบข้อ จำกัด และฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์

กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้เมื่อแก้ไขปัญหาบน ขีดสุด:

1. ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของแถวสุดท้ายของตารางซิมเพล็กซ์ ดีเจ ³ 0 แล้วพบ

สารละลาย เหมาะสมที่สุด

2 ถ้าอย่างน้อยหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์ ดีเจ £ 0 แต่สำหรับตัวแปรที่สอดคล้องกันนั้นไม่มีอัตราส่วนการประเมินเชิงบวกเพียงค่าเดียว จากนั้นจึงใช้วิธีแก้ปัญหา เราหยุดงาน, ตั้งแต่ F (X) ® ¥,กล่าวคือ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไม่จำกัดในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

หากอย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ของแถวสุดท้ายเป็นค่าลบ และสำหรับตัวแปรที่สอดคล้องกันจะมี อย่างน้อยหนึ่งความสัมพันธ์เชิงประเมินเชิงบวก คุณต้องไป ไปยังโซลูชันอ้างอิงอื่น

อี ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบหลายตัวในบรรทัดสุดท้าย ดังนั้น ไปยังคอลัมน์ตัวแปรฐาน(Bp) แนะนำว่า ตัวแปรซึ่งตรงกับ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบที่ใหญ่ที่สุดในค่าสัมบูรณ์

5. ถ้าอย่างน้อยหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์Dk< 0 ,แล้ว k - thคอลัมน์ที่เรายอมรับ สำหรับเจ้าภาพ

6. สำหรับ สายนำเรายอมรับสิ่งที่สอดคล้องกับ มินิมอลทัศนคติของสมาชิกฟรี สองเป็นค่าสัมประสิทธิ์บวก ชั้นนำ k - thatคอลัมน์.

7. องค์ประกอบที่จุดตัดของแถวนำหน้าและคอลัมน์เรียกว่า องค์ประกอบชั้นนำ

กำลังเติมตารางซิมเพล็กซ์2 :

· เติมคอลัมน์ฐานด้วยศูนย์และคน

· เขียนเส้นนำใหม่โดยหารด้วยองค์ประกอบนำ

หากแถวนำหน้ามีเลขศูนย์ คอลัมน์ที่เกี่ยวข้องก็สามารถโอนไปยังตารางซิมเพล็กซ์ถัดไปได้

· สัมประสิทธิ์ที่เหลือหาได้จากกฎ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า"

เราได้รับโซลูชันการสนับสนุนใหม่ ซึ่งเราตรวจสอบ เพื่อความเหมาะสม:

ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของแถวสุดท้าย ดีเจ ³ 0 จากนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหา ขีดสุด.

ถ้าไม่เช่นนั้น ให้กรอกข้อมูลในตาราง simplex ขั้นตอนที่ 8 เป็นต้น

ถ้าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เอฟ (X)ต้องการค้นหา ค่าต่ำสุดแล้วเกณฑ์ ความเหมาะสมของปัญหาเป็น อัตราต่อรองที่ไม่เป็นบวก NS j สำหรับทุกคน j = 1,2,… n

การบรรจบกันของวิธีซิมเพล็กซ์ ความเสื่อมในปัญหา LP คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของอัลกอริธึมการคำนวณใด ๆ คือการบรรจบกัน นั่นคือความเป็นไปได้ที่จะได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ (ด้วยความแม่นยำที่กำหนด) ระหว่างการใช้งานในจำนวนขั้นตอนที่ จำกัด (การวนซ้ำ)

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาของการบรรจบกันของวิธีซิมเพล็กซ์อาจเกิดขึ้นได้ในขั้นตอนการเลือกค่าของ r (ข้อ 2 ") ในกรณีที่ค่าต่ำสุดเท่ากันของอัตราส่วน

จะไปถึงหลายแถวของตาราง T (q) พร้อมกัน จากนั้น ในการทำซ้ำครั้งถัดไป คอลัมน์ b (β (q + 1)) จะมีองค์ประกอบเป็นศูนย์

⇐ ก่อนหน้า12345ถัดไป ⇒

วันที่เผยแพร่: 2015-11-01; อ่าน: 4190 | เพจละเมิดลิขสิทธิ์

Studopedia.org - Studopedia.Org - 2014-2018. (0.002 ว.) ...

ทางออกที่ดีที่สุด - ปัญหา - การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

หน้า 1

การแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงนั้นทำได้ที่จุดอ้างอิงจุดใดจุดหนึ่ง โดยที่ตัวแปรอย่างน้อย k p, - m มีค่าเท่ากับศูนย์

การใช้วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง ทำให้สามารถค้นหาการเปลี่ยนแปลงที่ยอมรับได้ใน DS ซึ่ง L ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หากมีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง แสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดขั้นพื้นฐาน

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นตั้งอยู่บนขอบเขตของขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรควบคุมซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมในพื้นที่ n มิติและถูกกำหนดโดยระบบข้อจำกัดเชิงเส้น

เนื่องจาก z เป็นวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัด m โซลูชันนี้จึงมีตัวแปรที่เป็นบวกอย่างมากที่สุด m ตัว

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอยู่ในขอบเขตของขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรควบคุม ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมในพื้นที่ n มิติที่กำหนดโดยระบบข้อจำกัดเชิงเส้น พิกัดของจุดยอดแต่ละจุดถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการ (ข้อจำกัด) และเมื่อมีตัวแปรควบคุม n ตัวและข้อจำกัด m จำเป็นต้องแก้ระบบสมการ m ชุดค่าผสม Cm n (m - n เติบโตอย่างรวดเร็วด้วยประเภทที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นการค้นหาวิธีแก้ปัญหาต้องใช้การคำนวณจำนวนมากที่ไม่สามารถเข้าถึงได้แม้แต่กับคอมพิวเตอร์

ดังนั้น ในกรณี D 1 วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงจะกลายเป็นจำนวนเต็มโดยอัตโนมัติ

ดังที่แสดงไว้ในส่วนที่ 1 วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงไม่จำเป็นต้องเป็นอินทิกรัล และในขณะเดียวกันก็มีปัญหามากมายที่ธรรมชาติต้องการโซลูชันที่สมบูรณ์ ปัญหาเหล่านี้บางส่วนในแวบแรกไม่ใช่ปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม แต่สามารถกำหนดได้เช่นนี้

แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกโซลูชันพื้นฐานที่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาที่ไม่เสื่อมสภาพจะต้องเป็นพื้นฐานสำหรับระบบสมการเสมอ (VIII, 42) และด้วยเหตุนี้ ปัญหาในการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดจึงประกอบด้วยการแจกแจงเฉพาะคำตอบพื้นฐานของระบบสมการเท่านั้น ( VIII, 42) ซึ่งพบสิ่งที่ดีที่สุด

แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกโซลูชันพื้นฐานที่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาที่ไม่เสื่อมสภาพจะต้องเป็นพื้นฐานสำหรับระบบสมการ (VIII42) เสมอ ดังนั้น ปัญหาในการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดจึงประกอบด้วยการแจกแจงเฉพาะคำตอบพื้นฐานของระบบสมการ (VIII42) ซึ่งพบสิ่งที่ดีที่สุด

หลังจากดำเนินการซ้ำหลายครั้งในขั้นตอนที่ 3 ทางเลือกอื่นที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นอาจปรากฏขึ้น

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

การวนซ้ำนี้บางครั้งเรียกว่าความเสื่อมอย่างต่อเนื่อง น่าเสียดายที่ปรากฏการณ์นี้มักเกิดขึ้นในปัญหา PI ขนาดกลางที่มีมิติสูง นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างมากมายของปัญหามิติต่ำ (ไม่เกิน 10 ตัวแปรและสมการ) ที่ต้องใช้การวนซ้ำหลายพันครั้งเพื่อให้เกิดการบรรจบกัน

ในกรณีเหล่านี้ จะใช้วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ ซึ่งเป็นโพรซีเดอร์แบบวนซ้ำ (ทีละขั้นตอน) เพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง การคำนวณโดยใช้วิธีการแบบซิมเพล็กซ์จะเริ่มต้นด้วยการกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ จากนั้นจึงค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้อื่นๆ และตรวจสอบความเป็นไปได้สำหรับการปรับปรุง การเปลี่ยนจากโซลูชันหนึ่งไปอีกโซลูชันหนึ่งจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะไม่สามารถปรับปรุงใหม่ได้ มาตรฐาน โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้วิธีซิมเพล็กซ์ในการแก้ปัญหาการจัดการที่สามารถแสดงเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

หากระบบข้อจำกัดเชิงเส้นมีโครงสร้างพิเศษ เช่น หากสร้างแบบจำลองเครือข่าย จากนั้นในขั้นตอนที่ 2 เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง สามารถใช้สถานการณ์นี้ได้

แนวคิดของการกระจายตามสัดส่วนถูกนำมาใช้ในรูปแบบของอัลกอริธึมการคำนวณแบบสองขั้นตอนที่เสนอโดย II Dikin ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะใช้คุณสมบัติของวิธีจุดภายในเพื่อสร้างจุดภายในที่ค่อนข้างเหมาะสมของชุดโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดสำหรับ ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น คุณสมบัตินี้หมายความว่าค่าขอบเขตตามเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกัน (2.3.2) - (2.3.4) จะได้รับเฉพาะสำหรับตัวแปรเหล่านั้นที่มีค่าขอบเขตเหล่านี้สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมอื่น ๆ

หน้า: 1 2

วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

พิจารณา LPP ในรูปแบบมาตรฐานสำหรับกรณีของตัวแปรสองตัว:

(10)

ปล่อยให้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน (10) มีความสอดคล้องกัน (มีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ไข) ความเหลื่อมล้ำใดๆ ของระบบนี้จะกำหนดระนาบครึ่งระนาบด้วยเส้นเขตในเชิงเรขาคณิต เงื่อนไขที่ไม่เป็นลบกำหนดระนาบครึ่งหนึ่งด้วยเส้นเขตแดนที่สอดคล้องกัน และ.

เนื่องจากระบบมีความสอดคล้องกัน ระนาบครึ่งตามที่เซตนูน ตัดกัน ก่อตัวเป็นส่วนร่วม ซึ่งเป็นเซตนูนและเป็นชุดของจุด พิกัดของแต่ละอันเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบนี้ สะสมแต้มเหล่านี้เรียกว่า โซลูชั่นรูปหลายเหลี่ยมอาจเป็นจุด ส่วนของเส้นตรง รังสี เส้นตรง รูปหลายเหลี่ยมปิด พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต

การแก้ปัญหาของ LPP คือการค้นหาจุดของรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันในเชิงเรขาคณิต พิกัดที่ส่งค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ไปยังฟังก์ชันวัตถุประสงค์ นอกจากนี้ ทุกจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

พิจารณาสิ่งที่เรียกว่า เส้นระดับฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ zนั่นคือเส้นที่ฟังก์ชันนี้ใช้ค่าคงที่เดียวกัน: or

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยวิธีกราฟิก (จำนวนตัวแปร)

1. สร้างพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมของสารละลายที่เป็นไปได้บนระนาบซึ่งสอดคล้องกับข้อจำกัด จากนั้นจึงสร้างการไล่ระดับสีเวกเตอร์

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ zขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ ณ จุดใด ๆ

2. เส้นตรง (เส้นระดับฟังก์ชัน z) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ไล่ระดับ เคลื่อนที่ขนานไปกับตัวมันเองในทิศทางของเวกเตอร์การไล่ระดับสีในกรณีที่มีปัญหาสูงสุด (และในทิศทางตรงกันข้าม - ในกรณีของปัญหาขั้นต่ำ) จนกว่าจะออกจากพื้นที่ของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ จุดจำกัด (หรือจุด) ของภูมิภาคเป็นจุดที่เหมาะสมที่สุด

3. ในการหาพิกัดของจุดที่เหมาะสมที่สุด จำเป็นต้องแก้ระบบสมการซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรง ซึ่งเป็นจุดตัดของจุดนี้

การกำหนดประเภทหลักของปัญหา LP การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ณ จุดนี้จะเหมาะสมที่สุด และพิกัดของจุดเองจะเป็นวิธีแก้ปัญหา LP .

ตัวอย่าง.แก้ปัญหาทางเรขาคณิต:

สร้างรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด OABCDและเวกเตอร์ทิศทางของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (รูปที่ 1) ทิศทางของเวกเตอร์การไล่ระดับสีระบุทิศทางของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เนื่องจากปัญหาที่พิจารณาคือการหาค่าสูงสุด เราจึงย้ายเส้นตรงตั้งฉากกับเวกเตอร์ในทิศทางของเวกเตอร์นี้ขนานกับตัวมันเองจนกระทั่งเส้นตรงนี้ออกจากพื้นที่ของคำตอบที่ยอมรับได้ ที่ชายแดนของภูมิภาคในกรณีของเราที่จุด กับและจะมีวิธีแก้ปัญหา จุด กับอยู่ที่จุดตัดของเส้นตรงและ ดังนั้นพิกัดของมันถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการเหล่านี้ให้เป็นสมการ:

เพราะเหตุใด จุด กับมีพิกัด (6, 4)

ค่าสูงสุด (ค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์) คือ: ตอบ:ด้วยทางออกที่ดีที่สุดคือ กำไรสูงสุดสามารถทำได้โดยการผลิต 6 หน่วยของผลิตภัณฑ์แรกและ 4 หน่วยของผลิตภัณฑ์ที่สอง

การแนะนำ

ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์สมัยใหม่ทั้งในระดับจุลภาคและระดับมหภาครวมถึงองค์ประกอบที่จำเป็นและเป็นธรรมชาติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวิธีการ การใช้คณิตศาสตร์ในทางเศรษฐศาสตร์ ประการแรก เน้นและอธิบายอย่างเป็นทางการถึงความสัมพันธ์ที่สำคัญและสำคัญที่สุดระหว่างตัวแปรทางเศรษฐกิจกับวัตถุ: การศึกษาวัตถุที่ซับซ้อนดังกล่าวจำเป็นต้องมีนามธรรมในระดับสูง ประการที่สอง จากข้อมูลเริ่มต้นและความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน สามารถใช้วิธีการนิรนัยเพื่อให้ได้ข้อสรุปที่เพียงพอกับวัตถุที่อยู่ภายใต้การศึกษาในระดับเดียวกับเงื่อนไขเบื้องต้นที่ทำขึ้น ประการที่สาม วิธีการทางคณิตศาสตร์และสถิติช่วยให้อุปนัยได้รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุ: เพื่อประเมินรูปแบบและพารามิเตอร์ของการพึ่งพาตัวแปรของตนในขอบเขตสูงสุดที่สอดคล้องกับการสังเกตที่มีอยู่ สุดท้าย ประการที่สี่ การใช้ภาษาของคณิตศาสตร์ช่วยให้สามารถนำเสนอบทบัญญัติของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ได้อย่างถูกต้องและกระชับ กำหนดแนวคิดและข้อสรุป

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในเศรษฐศาสตร์สามารถแบ่งออกได้เป็นชั้นเรียนตามคุณลักษณะหลายประการที่เกี่ยวข้องกับคุณลักษณะของวัตถุจำลอง วัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองและเครื่องมือที่ใช้: แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์จุลภาคและมหภาค ทฤษฎีและดุลยภาพ สถิติและไดนามิก

สาระสำคัญของวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพนั้นขึ้นอยู่กับความพร้อมของทรัพยากรบางอย่าง เลือกวิธีการใช้งาน (การกระจาย) ซึ่งช่วยให้มั่นใจสูงสุด (ต่ำสุด) ของตัวบ่งชี้ที่เราสนใจ

ส่วนหลักทั้งหมดของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (การวางแผน) ถูกใช้เป็นวิธีการปรับให้เหมาะสมในทางเศรษฐศาสตร์

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาปัญหาการควบคุมการวางแผนและการพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาที่รุนแรง (สูงสุดหรือน้อยที่สุด) การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์

โดยทั่วไป สูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาสุดโต่งประกอบด้วยการกำหนดค่าสูงสุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
บนเงื่อนไข ,

โดยที่ และ ได้รับฟังก์ชัน และเป็นจำนวนจริงบางจำนวน

ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันเป้าหมายและข้อจำกัด การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ที่สุด

ส่วนที่ศึกษาของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์คือการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

คำนิยาม.

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (หน้า 1 จาก 3)

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น - ศาสตร์แห่งวิธีการใช้และค้นหาค่าสุดขีด (ใหญ่และเล็กที่สุด) ของฟังก์ชันเชิงเส้นซึ่งมีการกำหนดข้อ จำกัด เชิงเส้นที่ไม่รู้จัก

ฟังก์ชันเชิงเส้นนี้เรียกว่าวัตถุประสงค์ และข้อจำกัดในรูปของสมการหรืออสมการเรียกว่าระบบข้อจำกัด

คำนิยาม. นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดเรียกว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเศรษฐกิจ

ลองพิจารณาปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP)

1. ปัญหาการใช้ทรัพยากร (ปัญหาการวางแผนการผลิต)

สำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ต่างๆ บริษัทใช้วัตถุดิบสามประเภทที่แตกต่างกัน อัตราการใช้วัตถุดิบในการผลิตผลิตภัณฑ์เดียว , เช่นเดียวกับจำนวนทั้งหมด

วัตถุดิบแต่ละประเภทที่องค์กรสามารถใช้ได้แสดงไว้ในตาราง

จัดทำแผนสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ซึ่งต้นทุนรวมของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิตโดยองค์กรสูงสุด

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้กัน

เราแสดงผ่านผลผลิตที่ต้องการผ่าน - ผลิตภัณฑ์

ผ่าน - สินค้า.

เนื่องจากมีอัตราต้นทุนสำหรับวัตถุดิบแต่ละประเภท เราจึงสามารถค้นหาต้นทุนรวมของวัตถุดิบแต่ละประเภทสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ทั้งหมดได้ จากตารางจะมีปริมาณวัตถุดิบประเภทที่ 1 ทั้งหมด II -
,

สาม -
... และเนื่องจากมีข้อจำกัดเรื่องสต็อควัตถุดิบ ดังนั้น ปริมาณรวมของวัตถุดิบแต่ละประเภทไม่ควรเกินจำนวนวัตถุดิบทั้งหมด กล่าวคือ

เราได้รับระบบความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

(1)

ในเชิงเศรษฐศาสตร์ ตัวแปร รับได้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น:

(2)

ต้นทุนสินค้าทุกประเภทจะเป็น – – ดังนั้นต้นทุนรวมของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยองค์กรจะเป็น (3)

เราต้องหา ฟังก์ชันนี้ ดังนั้น ในบรรดาโซลูชันที่ไม่เป็นลบทั้งหมดของระบบ (1) จำเป็นต้องค้นหาโซลูชันที่ฟังก์ชัน (3) ใช้ค่าสูงสุด

งานนี้สามารถสรุปได้ง่ายในกรณีของการเปิดตัวประเภทผลิตภัณฑ์โดยใช้ประเภทของวัตถุดิบ (ทรัพยากร)

ให้เราแทนด้วย - จำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่วางแผนไว้สำหรับการผลิต - สต็อคทรัพยากร - ประเภท - การใช้ทรัพยากรเฉพาะสำหรับการผลิต - ผลิตภัณฑ์ - กำไรจากการขายหน่วยของผลิตภัณฑ์ - ประเภทแรก

แล้วแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ของปัญหาการใช้ทรัพยากรในภาพรวมก็จะออกมาในรูปแบบ : หาแผนดังกล่าว
ผลลัพธ์ที่เป็นไปตามระบบพื้นฐานของข้อจำกัด

ระบบข้อ จำกัด เพิ่มเติม

โดยที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือ

ใช้ค่าสูงสุด

ความคิดเห็นในการจัดทำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของ LPP คุณต้อง:

- แนะนำการกำหนดตัวแปร

- ตามเป้าหมายของการวิจัยทางเศรษฐกิจ ร่างฟังก์ชันเป้าหมาย

- คำนึงถึงข้อ จำกัด ในการใช้ตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจของปัญหาและกฎหมายเชิงปริมาณเขียนระบบข้อ จำกัด

การแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นขึ้นอยู่กับแนวคิดของเรขาคณิตวิเคราะห์ในพื้นที่เวกเตอร์มิติ

การนำ LPP ทั่วไปมาสู่รูปแบบบัญญัติ

มุมมองทั่วไปของ LPP มีดังนี้:

(1)

(2)

(3)

โดยที่ความสัมพันธ์ (1) เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (2) เป็นระบบของข้อจำกัดพื้นฐาน (3) เป็นระบบของข้อจำกัดเพิ่มเติม

ความสัมพันธ์ (2) และ (3) แบบฟอร์ม ระบบที่สมบูรณ์ข้อ จำกัด.

การลดระบบของข้อจำกัดพื้นฐานของรูปแบบบัญญัตินั้นดำเนินการโดยการเพิ่มตัวแปรที่ไม่เป็นลบเพิ่มเติมด้วยสัมประสิทธิ์ "+1" หากอสมการอยู่ในรูปแบบ และ "-1" หากอสมการอยู่ในรูปแบบ ที่ด้านซ้ายมือของความไม่เท่าเทียมกัน ตัวแปรเพิ่มเติมเข้าสู่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

คำนิยาม ... LPP เรียกว่ากำหนดแบบบัญญัติถ้าระบบของข้อจำกัดพื้นฐานแสดงด้วยสมการ

คำนิยาม. LPP ถูกเรียกให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของรูปแบบบัญญัติ หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) ระบบของข้อจำกัดพื้นฐานแสดงด้วยสมการและทั้งหมดเป็นอิสระเชิงเส้น

2) จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร

3) ปัญหาการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์กำลังได้รับการแก้ไข

4) ด้านขวามือของระบบข้อจำกัดพื้นฐานไม่เป็นลบ

5) ตัวแปรทั้งหมดไม่เป็นค่าลบเช่นกัน

ในวิธีการส่วนใหญ่ในการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น จะถือว่าระบบข้อจำกัดประกอบด้วยสมการและสภาวะธรรมชาติสำหรับค่าความไม่เป็นลบของตัวแปร

อย่างไรก็ตาม เมื่อรวบรวมแบบจำลองของปัญหาจำนวนมาก ข้อจำกัดส่วนใหญ่จะเกิดขึ้นในรูปแบบของระบบความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสามารถย้ายจากระบบความไม่เท่าเทียมกันไปเป็นระบบสมการได้

สามารถทำได้ดังนี้:

หาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

และเพิ่มปริมาณเข้าไปทางซ้ายบ้าง เพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันกลายเป็นความเท่าเทียมกัน

นอกจากนี้ ค่านี้ไม่เป็นค่าลบ

ตัวอย่าง

นำปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมาสู่รูปแบบบัญญัติ:

สารละลาย:

ให้เราพิจารณาถึงปัญหาการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเปลี่ยนเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ในการแปลงอสมการที่สองและสามของระบบข้อจำกัดให้เป็นสมการ เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมที่ไม่เป็นลบ x 4 x 5 (ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร D)

ตัวแปร x 4 ถูกนำมาใช้ที่ด้านซ้ายของอสมการที่สองด้วยเครื่องหมาย "+" เนื่องจากอสมการมีรูปแบบ "≤"

ตัวแปร x 5 ถูกนำมาใช้ทางด้านซ้ายของอสมการที่สามด้วยเครื่องหมาย "-" เนื่องจากอสมการมีรูปแบบ "≥"

ตัวแปร x 4 x 5 ถูกป้อนลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ เท่ากับศูนย์

เราเขียนงานในรูปแบบบัญญัติ:

วิธีง่ายๆ ในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

วิธีนี้เป็นวิธีการแจงนับการแก้ปัญหาการสนับสนุนของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นอย่างมีเป้าหมาย ช่วยให้สามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดได้ในขั้นตอนจำนวนจำกัด หรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

อัลกอริทึมของวิธีซิมเพล็กซ์สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ คุณต้องทำดังต่อไปนี้:

1. นำปัญหามาสู่รูปแบบบัญญัติ

หัวข้อที่ 8 การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นด้วย "หน่วยพื้นฐาน" (หากไม่มีวิธีสนับสนุน ปัญหาก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากความไม่ลงรอยกันของระบบข้อจำกัด)

3. คำนวณค่าประมาณของการขยายเวกเตอร์ตามพื้นฐานของโซลูชันการสนับสนุนและกรอกตารางของวิธีซิมเพล็กซ์

4. หากเป็นไปตามเกณฑ์ความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด การแก้ปัญหาก็จะสิ้นสุดลง

5. หากเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของชุดโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด โดยการแจงนับอย่างง่ายจะพบคำตอบที่เหมาะสมที่สุดทั้งหมด

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์

ตัวอย่าง 1

แก้ปัญหาด้วยวิธีซิมเพล็กซ์:

ลดค่าฟังก์ชันให้น้อยที่สุด

F = 10 × 1 - 4 × 3 สูงสุด

เมื่อมีข้อจำกัดในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน

เรานำปัญหามาสู่รูปแบบบัญญัติ

ในการทำเช่นนี้ ทางด้านซ้ายของข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันแรก เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม x 5 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ +1 ตัวแปร x 5 รวมอยู่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ (นั่นคือ ไม่รวม)

เราได้รับ:

F = 10 × 1 - 4 × 3 + 0 ∙ x5 สูงสุด

เมื่อมีข้อจำกัดในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน

ค้นหาโซลูชันการสนับสนุนเบื้องต้น สำหรับสิ่งนี้ ตัวแปรอิสระ (ไม่ได้รับการแก้ไข) จะเท่ากับศูนย์ x1 = x3 = 0

เราได้รับโซลูชันอ้างอิง X1 = (0,0,0,5,9 / 15.6) ด้วยหน่วยพื้นฐาน B1 = (A4, A5, A6)

เราคำนวณค่าประมาณการขยายเวกเตอร์ของเงื่อนไขตามสูตรการสนับสนุน:

Δ k = C b X k - c k

C b = (s 1, s 2, ..., s m) เป็นเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน

X k = (x 1k, x 2k, ..., x mk) เป็นเวกเตอร์ของการขยายตัวของเวกเตอร์ A ที่สอดคล้องกันกับพื้นฐานของโซลูชันอ้างอิง

· С к - สัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ตัวแปร х к

ค่าประมาณของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานจะเป็นศูนย์เสมอ

โซลูชันการสนับสนุน ค่าสัมประสิทธิ์การขยายและการประมาณการขยายของเวกเตอร์เงื่อนไขในพื้นฐานของโซลูชันการสนับสนุนถูกเขียนในตารางด้านเดียว:

เหนือตาราง เพื่อความสะดวกในการคำนวณค่าประมาณ ค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกเขียนขึ้น คอลัมน์แรก "B" ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในโซลูชันอ้างอิง ลำดับการเขียนของเวกเตอร์เหล่านี้สอดคล้องกับตัวเลขของค่าไม่ทราบที่อนุญาตในสมการข้อจำกัด คอลัมน์ที่สองของตาราง "C b" บันทึกค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ด้วยตัวแปรพื้นฐานในลำดับเดียวกัน ด้วยตำแหน่งที่ถูกต้องของสัมประสิทธิ์ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในคอลัมน์ "C b" การประมาณของเวกเตอร์หน่วยที่รวมอยู่ในฐานจะเท่ากับศูนย์เสมอ

แถวสุดท้ายของตารางที่มีค่าประมาณ Δ k ในคอลัมน์ "A 0" จะบันทึกค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในโซลูชันอ้างอิง Z (X 1)

วิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นไม่เหมาะสม เนื่องจากในปัญหาสูงสุด ค่าประมาณ Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 สำหรับเวกเตอร์ A1 และ A3 เป็นค่าลบ

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการปรับปรุงโซลูชันการสนับสนุน ถ้าในปัญหาสูงสุด อย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์มีค่าประมาณเชิงลบ ก็จะพบวิธีแก้ปัญหาการสนับสนุนใหม่ ซึ่งค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะมากกว่า

ให้เราพิจารณาว่าเวกเตอร์ใดในสองเวกเตอร์ที่จะนำไปสู่การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์มากขึ้น

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์พบได้จากสูตร:

เราคำนวณค่าของพารามิเตอร์ θ 01 สำหรับคอลัมน์ที่หนึ่งและสามโดยใช้สูตร:

เราได้ θ 01 = 6 ด้วย l = 1, θ 03 = 3 พร้อม l = 1 (ตาราง 26.1)

ค้นหาการเพิ่มของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อแนะนำเวกเตอร์แรกเข้าสู่ฐาน

ΔZ 1 = - 6 * (- 2) = 12,

และเวกเตอร์ที่สาม ΔZ 3 = - 3 * (- 9) = 27

ดังนั้น เพื่อการประมาณค่าที่เร็วขึ้นถึงวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด จึงจำเป็นต้องแนะนำเวกเตอร์ A3 ลงในพื้นฐานของโซลูชันการสนับสนุนแทนเวกเตอร์แรกของฐาน A6 เนื่องจากถึงค่าต่ำสุดของพารามิเตอร์ θ 03 ในแถวแรก (ล. = 1).

เราทำการแปลง Jordan ด้วยองค์ประกอบ X13 = 2 เราได้รับโซลูชันการสนับสนุนที่สอง

X2 = (0,0,3,21,42,0)

ด้วยพื้นฐาน B2 = (A3, A4, A5)

(ตารางที่ 26.2)

วิธีแก้ปัญหานี้ไม่เหมาะสม เนื่องจากเวกเตอร์ A2 มีค่าประมาณติดลบ Δ2 = - 6

เพื่อปรับปรุงโซลูชัน จำเป็นต้องแนะนำเวกเตอร์ A2 ให้เป็นพื้นฐานของโซลูชันการสนับสนุน

กำหนดจำนวนของเวกเตอร์ที่ได้มาจากฐาน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้คำนวณพารามิเตอร์ θ 02 สำหรับคอลัมน์ที่สอง ซึ่งเท่ากับ 7 สำหรับ l = 2

ดังนั้นจากฐานเราจึงได้เวกเตอร์พื้นฐานที่สอง A4

เราดำเนินการเปลี่ยนรูปแบบจอร์แดนด้วยองค์ประกอบ x 22 = 3 เราได้รับโซลูชันการสนับสนุนที่สาม

X3 = (0.7.10.0.63.0)

B2 = (A3, A2, A5) (ตารางที่ 26.3)

คำตอบนี้เป็นวิธีเดียวที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดที่ไม่รวมอยู่ในค่าประมาณ จะเป็นค่าบวก

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2

ตอบ: สูงสุด Z (X) = 201 ที่ X = (0.7,10,0.63)

⇐ ก่อนหน้า123456789ถัดไป ⇒

ในทางปฏิบัติ ข้อจำกัดในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมักไม่ได้ระบุด้วยสมการ แต่ระบุโดยอสมการ

ให้เราแสดงให้เห็นว่าเราจะเปลี่ยนจากปัญหาข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันไปเป็นปัญหาหลักของโปรแกรมเชิงเส้นได้อย่างไร

ปล่อยให้มีปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรงกับตัวแปร ซึ่งข้อจำกัดที่กำหนดให้กับตัวแปรอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในบางส่วน เครื่องหมายอสมการอาจอยู่ในส่วนอื่นๆ (ประเภทที่สองจะลดลงเป็นอันแรกโดยการกลับรายการอย่างง่ายของเครื่องหมายของทั้งสองส่วน) ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในรูปแบบมาตรฐาน:

จำเป็นต้องค้นหาชุดของค่าที่ไม่เป็นลบที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (4.1) และยิ่งไปกว่านั้น จะลดฟังก์ชันเชิงเส้นให้น้อยที่สุด:

มันง่ายที่จะส่งต่อจากงานที่ตั้งค่าด้วยวิธีนี้ไปยังงานหลักของโปรแกรมเชิงเส้นตรง อันที่จริง ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

ตัวแปรใหม่อยู่ที่ไหนที่เราจะเรียกว่า "เพิ่มเติม" ตามเงื่อนไข (4.1) ตัวแปรเพิ่มเติมเหล่านี้ควรไม่เป็นค่าลบตามที่ควรจะเป็น

ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในสูตรต่อไปนี้: ค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรเพื่อให้เป็นไปตามระบบสมการ (4.3) และลดฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรเหล่านี้ให้เหลือน้อยที่สุดพร้อมกัน:

อย่างที่คุณเห็น เรามีหน้าที่หลักในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) ในรูปแบบบริสุทธิ์ สมการ (4.3) อยู่ในรูปแบบที่อนุญาตแล้วสำหรับตัวแปรพื้นฐานที่แสดงในรูปของตัวแปรอิสระ จำนวนตัวแปรทั้งหมดเท่ากัน ซึ่ง "เริ่มต้น" และ "เพิ่มเติม" ฟังก์ชัน L แสดงในรูปของตัวแปร "เริ่มต้น" เท่านั้น (ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร "เพิ่มเติม" ในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์)

ดังนั้นเราจึงลดปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นปัญหาหลักของโปรแกรมเชิงเส้นตรง แต่ด้วยตัวแปรจำนวนมากกว่าเดิมในปัญหา

ตัวอย่างที่ 1 มีปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่มีข้อจำกัดอสมการคือ ค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่ตรงตามเงื่อนไข

และการลดฟังก์ชันเชิงเส้นให้น้อยที่สุด

จำเป็นต้องนำงานนี้ไปอยู่ในรูปของ OZLP

สารละลาย. เราลดความไม่เท่าเทียมกัน (4.4) ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม:

งานจะลดลงเพื่อค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร

สมการที่น่าพอใจ (4.6) และการลดฟังก์ชันเชิงเส้น (4.5)

เราได้แสดงให้เห็นว่าเราสามารถเปลี่ยนจากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันไปเป็นปัญหาที่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน (LPPP) ได้อย่างไร การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับเป็นไปได้เสมอ - จาก LPP ไปจนถึงปัญหาที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน หากในกรณีแรกเราเพิ่มจำนวนตัวแปร ในกรณีที่สองเราจะลดจำนวนลง กำจัดตัวแปรพื้นฐานและปล่อยให้ตัวแปรว่างเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 2 มีปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน (LPPP):

และฟังก์ชั่นที่จะย่อให้เล็กสุด

จำเป็นต้องเขียนลงไปว่าเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย. ตั้งแต่นั้นมาเราจะเลือกตัวแปรสองตัวบางตัวเป็นตัวแปรอิสระ โปรดทราบว่าไม่สามารถเลือกตัวแปรเป็นตัวแปรอิสระได้ เนื่องจากพวกมันสัมพันธ์กันโดยสมการแรก (4-7): ค่าของตัวแปรหนึ่งจะถูกกำหนดโดยค่าของอีกตัวหนึ่งโดยสมบูรณ์ และตัวแปรอิสระจะต้องเป็นอิสระ

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกตัวแปรให้เป็นอิสระ (พวกมันเชื่อมต่อกันด้วยสมการที่สอง) ให้เลือกเป็นตัวแปรอิสระและแสดงค่าอื่นๆ ทั้งหมดผ่านตัวแปรเหล่านี้:

เนื่องจากเงื่อนไข (4 9) สามารถแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันได้:

ให้เราส่งต่อนิพจน์ของฟังก์ชันเชิงเส้น L ไปยังตัวแปรอิสระแทนค่านิพจน์ (4.9) เราได้รับ.

โมเดลการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

1 คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของตัวแบบโปรแกรมเชิงเส้นตรง

2 วิธีการนำโมเดลโปรแกรมเชิงเส้นไปใช้งาน

3 ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคู่

โมเดลการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น(LP) เกิดขึ้นหากในระบบที่ศึกษา (วัตถุ) ข้อ จำกัด ของตัวแปรและฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ เชิงเส้น.

แบบจำลอง LP ใช้เพื่อแก้ไขปัญหาหลักสองประเภท:

1) การวางแผนที่เหมาะสมที่สุดในกิจกรรมของมนุษย์ ไม่ว่าจะเป็นด้านสังคม เศรษฐกิจ วิทยาศาสตร์ เทคนิค และการทหาร ตัวอย่างเช่น ด้วยการวางแผนการผลิตที่เหมาะสมที่สุด: การกระจายการเงิน แรงงานและทรัพยากรอื่นๆ การจัดหาวัตถุดิบ การจัดการสินค้าคงคลัง ฯลฯ

2) ปัญหาการขนส่ง (การหาแผนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการขนส่งประเภทต่าง ๆ แผนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกระจายกองทุนต่าง ๆ ไปยังวัตถุเพื่อวัตถุประสงค์ต่าง ๆ เป็นต้น)

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

จำเป็นต้องค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร

ตอบสนองข้อจำกัดเชิงเส้นในรูปแบบของความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน

,

ที่ไหน - ให้ตัวเลข

และให้ส่วนปลายของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น

,

ที่ตัวเลขที่กำหนดซึ่งเขียนเป็น

ทางออกที่ถูกต้องชุดไหนก็เรียกว่า เป็นไปตามเงื่อนไข

โดเมนของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้- ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ทางออกที่ดีที่สุด
, ซึ่ง .

หมายเหตุ

1. รุ่น LP ที่กำหนดคือ โดยรวม... แยกแยะด้วย มาตรฐานและ บัญญัติรูปแบบของรุ่น LP

2... เงื่อนไขของการดำรงอยู่การนำโมเดล LP ไปใช้:

- ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ไม่ว่างเปล่า

- ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ ถูก จำกัด (อย่างน้อยจากด้านบนเมื่อค้นหาสูงสุดและจากด้านล่างเมื่อค้นหาขั้นต่ำ)

3.LP ขึ้นอยู่กับสองทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทที่ 1 มากมาย NSกำหนดโดยระบบข้อจำกัดของแบบฟอร์มคือชุดปิดนูน ( รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนด้วยจุดมุม - ยอด.)

ทฤษฎีบท 2 รูปแบบเชิงเส้น กำหนดบน polytope นูน

NS=1,2,…,NS

ผม = ส+1, s + 2, ..., NS,

ถึงจุดสุดยอดที่จุดยอดหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้

ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบทที่ปลายสุดของรูปแบบเชิงเส้น

ตามทฤษฎีบทของ Weierstrass โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและเป็นสุดโต่งระดับโลก

มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสู่การนำโมเดล LP ไปใช้ - วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ เมื่อแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมักจะไม่มีวิธีแก้ไข สิ่งนี้เกิดขึ้นด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้

ให้เราอธิบายเหตุผลแรกด้วยตัวอย่าง

ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงกล่าวว่าข้อ จำกัด ไม่เข้ากัน ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้คือเซตว่าง

เหตุผลที่สองถูกแสดงความคิดเห็นโดยตัวอย่างต่อไปนี้:

ในกรณีนี้ ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ไม่จำกัดจากด้านบน ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ไม่ จำกัด

ตามธรรมเนียมของโปรแกรมเชิงเส้นตรง ให้เราตีความปัญหาทางเศรษฐศาสตร์ให้กับปัญหา LP ปล่อยให้อยู่ในการกำจัดของเรา NSประเภทของทรัพยากร จำนวนประเภททรัพยากร NSเท่ากับ ทรัพยากรเหล่านี้จำเป็นสำหรับการผลิต NSประเภทของสินค้า ให้เราแสดงปริมาณของสินค้าเหล่านี้ด้วยสัญลักษณ์ ตามลำดับ หน่วยประเภทรายการ ผมค่าใช้จ่าย การผลิตสินค้าประเภท ผมควรจะจำกัดอยู่ที่ค่า ตามลำดับ สำหรับการผลิตหน่วยประเภทสินค้าโภคภัณฑ์ ผมประเภทของทรัพยากรถูกใช้ไป NS... มีความจำเป็นต้องกำหนดแผนดังกล่าวสำหรับการผลิตสินค้า ( ) เพื่อให้ต้นทุนรวมน้อยที่สุด

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่ใช้ในการปรับการทำงานของอ็อบเจ็กต์จริงให้เหมาะสมมีตัวแปรและข้อจำกัดจำนวนมาก ทำให้ไม่สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ วิธีการแบบกราฟิก... ด้วยตัวแปรและข้อจำกัดจำนวนมาก จึงใช้วิธีพีชคณิต ซึ่งอิงตามขั้นตอนการคำนวณแบบวนซ้ำ ในโปรแกรมเชิงเส้นตรง วิธีพีชคณิตจำนวนมากได้รับการพัฒนาซึ่งแตกต่างกันในวิธีการสร้างโซลูชันที่เป็นไปได้เริ่มต้นและเงื่อนไขสำหรับการเปลี่ยนจากการวนซ้ำแบบหนึ่งไปอีกแบบหนึ่ง อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งหมดเหล่านี้ใช้หลักการทางทฤษฎีทั่วไป

ลักษณะทั่วไปของบทบัญญัติทางทฤษฎีพื้นฐานนำไปสู่ความจริงที่ว่าวิธีพีชคณิตสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีความคล้ายคลึงกันหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เกือบทุกปัญหาต้องการการลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในเบื้องต้นให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (ตามรูปแบบบัญญัติ)

วิธีการเกี่ยวกับพีชคณิตในการแก้ปัญหา LP เริ่มต้นด้วยการลดให้เป็น แบบฟอร์มมาตรฐาน (บัญญัติ):

,

,

ผม=1,..,NS;NS=1,..,NS.

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ การเปรียบเทียบแบบจำลองทั่วไปกับแบบจำลองตามรูปแบบบัญญัติทำให้เราสามารถสรุปได้ว่าเพื่อลดปัญหา LP ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ประการแรก จำเป็นต้องผ่านจากระบบความไม่เท่าเทียมกันไปสู่ความเท่าเทียมกัน และประการที่สอง การแปลงทั้งหมด ตัวแปรเพื่อให้ไม่เป็นค่าลบ

การเปลี่ยนไปสู่ความเท่าเทียมกันนั้นดำเนินการโดยการเพิ่มทางด้านซ้ายของข้อจำกัดของตัวแปรที่เหลือที่ไม่เป็นลบสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของประเภท และการลบออกจากด้านซ้ายของตัวแปรซ้ำซ้อนที่ไม่ติดลบสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของประเภท ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกัน แปลงเป็นความเท่าเทียมกันเมื่อเปลี่ยนไปใช้รูปแบบมาตรฐาน , ความไม่เท่าเทียมกัน - สู่ความเท่าเทียมกัน ... นอกจากนี้ ทั้งตัวแปรตกค้างและตัวแปรสำรองไม่เป็นค่าลบ

สันนิษฐานว่าทางขวามือของอสมการไม่เป็นลบ มิฉะนั้น สามารถทำได้โดยการคูณอสมการทั้งสองข้างด้วย "-1" แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

หากในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นตรงเดิม ตัวแปรไม่ได้ถูกจำกัดด้วยเครื่องหมาย ก็สามารถแสดงแทนความแตกต่างของตัวแปรที่ไม่เป็นลบสองตัวได้ , ที่ไหน .

ลักษณะสำคัญของตัวแปร คือสำหรับวิธีแก้ปัญหาใดๆ ที่ยอมรับได้ มีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่สามารถมีค่าเป็นบวกได้ ซึ่งหมายความว่าถ้า , แล้ว และในทางกลับกัน. ดังนั้นจึงถือได้ว่าเป็นตัวแปรที่เหลือ แต่เป็นตัวแปรซ้ำซ้อน

ตัวอย่างให้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น:

,

.

มีความจำเป็นต้องนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน โปรดทราบว่าความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกของปัญหาเดิมมีสัญญาณ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มตัวแปรที่เหลือเข้าไป ส่งผลให้เราได้รับ

ความไม่เท่าเทียมกันที่สองมีสัญญาณและสำหรับการแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานจำเป็นต้องมีการแนะนำตัวแปรซ้ำซ้อนซึ่งเราได้ดำเนินการนี้

นอกจากนี้ ตัวแปรไม่จำกัดในเครื่องหมาย ดังนั้นทั้งในฟังก์ชันวัตถุประสงค์และในข้อจำกัดทั้งสองจึงต้องแทนที่ด้วยผลต่าง ... เมื่อทำการทดแทนแล้ว เราได้รับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งเทียบเท่ากับปัญหาเดิม:

.

ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานคือปัญหาในการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนเซตของเวกเตอร์ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ อย่างที่คุณทราบ ระบบสมการเชิงเส้นอาจไม่มีคำตอบ ไม่มีคำตอบเฉพาะ หรือมีชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด การเพิ่มประสิทธิภาพของฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อระบบ ไม่มีที่สิ้นสุดโซลูชั่นมากมาย ระบบสมการเชิงเส้นมีชุดคำตอบที่ไม่สิ้นสุดหากสอดคล้องกัน (อันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย) และหากอันดับของเมทริกซ์หลักน้อยกว่าจำนวน ไม่รู้จัก

ให้อันดับของเมทริกซ์ของระบบข้อจำกัดเป็น NS... ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์มีค่ารองอย่างน้อยหนึ่งตัว NSลำดับ th ไม่เท่ากับศูนย์ โดยไม่สูญเสียความทั่วถึง เราสามารถสรุปได้ว่าผู้เยาว์อยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนการกำหนดหมายเลขของตัวแปร ผู้เยาว์อันดับที่ไม่ใช่ศูนย์นี้ NSเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกมันว่าพื้นฐาน มาสร้างระบบกันก่อน NSสมการของระบบ เขียนได้ดังนี้

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ที่ง่ายที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่าตัวแบบกำหนดเชิงเส้น พวกมันถูกระบุในรูปแบบของตัวแปรควบคุมเชิงเส้น ( NS):

W = a 0 + NS 1 NS 1 + … + a k x k

ที่ ข้อ จำกัด เชิงเส้นใจดี

NS 1 เจ x 1 + NS 2 เจ x 2 + … + b kj x k ³ b j , เจ = 1,…, NS 1 ;

ค 1 เจ x 1 + ค 2 เจ x 2 + … + c kj x k = c j , เจ = 1,…, NS 2 ;

NS 1 เจ x 1 + NS 2 เจ x 2 + … + d kj x k £ d j , เจ = 1,…, NS 3 .

จำนวนข้อจำกัดทั้งหมด m = q 1 + NS 2 + NS 3 อาจเกินจำนวนตัวแปร (NS> k). นอกจากนี้ เงื่อนไขสำหรับค่าบวกของตัวแปรมักจะถูกนำมาใช้ ( x ฉัน ³ 0).

พื้นผิวการตอบสนองสำหรับแบบจำลองเชิงเส้นคือ ไฮเปอร์เพลน... ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวแบบเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้:

ว =–2NS 1 –3NS 2 (2.2)

ภายใต้ข้อจำกัดดังต่อไปนี้

(2.3)

2NS 1 + 3NS 2 18 ปอนด์;

NS 1 – 4NS 2 £ 4;

–2NS 1 + NS 2 ปอนด์;

NS 1 ³ 0; NS 2 ³ 0.

ช่วงของค่าที่ถูกต้อง (ช่วงของคำจำกัดความ) OABCDสำหรับโมเดล (2.2) เกิดขึ้นจากข้อจำกัด (2.3) (รูปที่ 2.2) พื้นผิวตอบสนองเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบน โอเอ "บี" ซี "ดี"(รูปที่ 2.2, NS).

สำหรับอัตราส่วนของข้อจำกัด ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้อาจไม่มีอยู่ (ว่าง) ตัวอย่างของชุดดังกล่าวแสดงในรูปที่ 2.3. โดยตรง เช่นและ ดวงอาทิตย์จำกัด ช่วงของค่าที่ยอมรับได้จากด้านบน ข้อจำกัดที่สามตัดช่วงของค่าที่อนุญาตจากด้านล่างของเส้นตรง เอบี.ดังนั้นจึงไม่มีพื้นที่ส่วนกลางที่เป็นไปตามข้อจำกัดทั้งสาม

ตัวแบบเชิงเส้นนั้นค่อนข้างเรียบง่าย ดังนั้น ในแง่หนึ่ง บ่งบอกถึงการลดความซับซ้อนของงานอย่างมีนัยสำคัญ และในทางกลับกัน พวกมันช่วยให้การพัฒนาแบบเรียบง่ายและ วิธีที่มีประสิทธิภาพโซลูชั่น

ในการศึกษา DLA นั้น ตัวแบบเชิงเส้นนั้นไม่ค่อยได้ใช้และแทบใช้สำหรับคำอธิบายปัญหาโดยประมาณเท่านั้น

ตัวแบบเชิงเส้นสามารถใช้สำหรับการประมาณแบบเป็นขั้นตอนของตัวแบบที่ไม่เชิงเส้น (linearization ของปัญหา) เทคนิคนี้ใช้ได้ผลอย่างยิ่งเมื่อศึกษาพื้นที่เล็กๆ ของพื้นที่ที่ทำการสำรวจ การแสดงแต่ละส่วนของพื้นผิวการตอบสนองแบบไม่เชิงเส้นด้วยแบบจำลองเชิงเส้นเป็นพื้นฐานของวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพกลุ่มใหญ่ ซึ่งเรียกว่าวิธีการที่มียุทธวิธีเชิงเส้น

การศึกษาตัวแบบเชิงเส้นไม่ใช่เรื่องยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิทธิพลของตัวแปรแต่ละตัวที่มีต่อลักษณะของแบบจำลองของแบบฟอร์ม

W = a 0 + NS 1 NS 1 + NS 2 NS 2 + …+ a k x k

กำหนดโดยสัมประสิทธิ์:

, ผม = 1,…, เค

เพื่อหาตัวแบบเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุด W opt พัฒนาวิธี simplex ที่มีประสิทธิภาพ

แบบจำลองต้นทุนที่ง่ายที่สุดในบางครั้งอาจลดลงเป็นแบบเชิงเส้น ซึ่งถือเป็นชุดของต้นทุนที่เกิดขึ้น

ตัวอย่างของโมเดลดังกล่าวคือความคลาสสิค โมเดลค่าขนส่ง (ปัญหาการขนส่ง)(รูปที่ 2.4).

มี kจุดผลิต
(ผม = 1,…, k) และ NSคะแนนการบริโภค
(NS = 1,…, NS) ของผลิตภัณฑ์บางอย่าง จำนวนสินค้าที่ผลิตในแต่ละครั้ง kจุดผลิตเท่ากับ ฉัน; จำนวนสินค้าที่ต้องการในแต่ละ NSคะแนนการบริโภคเท่ากับ b j.

สมมติว่ามีความเท่าเทียมกันของการผลิตและการบริโภคทั้งหมด:

จำนวนสินค้าที่ขนส่งจาก ผม- จุดผลิตใน NSจุดการบริโภค th เท่ากับ x อิจ; ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยของผลิตภัณฑ์นี้ - กับไอจิ.

ค่าขนส่งทั้งหมด กับ S ได้รับ แบบจำลองเชิงเส้น:

ภายใต้ข้อจำกัดดังต่อไปนี้

ตัวแบบเชิงเส้นยังรวมถึงตัวแบบในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (อนุพันธ์สามัญหรืออนุพันธ์บางส่วน)

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น NS-คำสั่งที่ มีรูปแบบ

เงื่อนไขเริ่มต้นเขียนเป็น

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นตรงมีรูปแบบ

แบบจำลองที่กำหนดในรูปแบบของสมการอนุพันธ์ย่อย รวมถึงเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต (เงื่อนไขบนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน F ( NS)).

2.3. ศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด
การทำงานของเครื่องยนต์กังหันก๊าซ

เครื่องยนต์กังหันก๊าซ (GTE) เป็นโรงไฟฟ้าหลักของเครื่องบินสมัยใหม่

แผนภาพ GTE มีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 2.5.

ที่นี่ 1 - diffuser ทางเข้า; 2 - คอมเพรสเซอร์; 3 - ห้องเผาไหม้; 4 - กังหัน;
5 - หัวฉีดทางออก

วัฏจักรการทำงานของ GTE ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) กำลังมาด้วยความรวดเร็ว วีการไหลของอากาศผ่านดิฟฟิวเซอร์เข้าสู่คอมเพรสเซอร์

2) คอมเพรสเซอร์หมุนบนเพลาเดียวกันกับกังหันอัดอากาศที่เข้าสู่ห้องเผาไหม้

3) เชื้อเพลิง (น้ำมันก๊าด) ถูกฉีดเข้าไปในห้องเผาไหม้อย่างต่อเนื่องซึ่งผสมกับอากาศอัด

4) ก๊าซที่เกิดจากการเผาไหม้เข้าสู่กังหันซึ่งเร่งความเร็วให้สูงขึ้น W.

5) ที่ความเร็วนี้ ก๊าซจะถูกขับออกสู่บรรยากาศผ่านหัวฉีด

เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า W > วีทำให้เกิดแรงฉุดขึ้น NSซึ่งทำให้เครื่องบินสามารถบินได้ในชั้นบรรยากาศ

การเปลี่ยนแรงขับทำได้โดยการเปลี่ยนความเร็วของการฉีดน้ำมันเชื้อเพลิงเข้าไปในห้องเผาไหม้โดยเลื่อนปุ่มควบคุมเครื่องยนต์ (คันเร่ง) การเคลื่อนตัวของคันเร่งไปที่มุม d ของปีกผีเสื้อนั้นกระทำด้วยตนเองโดยนักบิน หรือโดยการใช้ตัวกระตุ้นตามสัญญาณจาก ACS ในการบิน การเพิ่มมูลค่าของ d throttle ทำให้ความแข็งแกร่งเพิ่มขึ้น NSและการลดลงคือการลดลงในแรงนี้

GTE เป็นระบบทางเทคนิคที่ซับซ้อนซึ่งมีกระบวนการทางกายภาพและทางเคมีจำนวนมากเกิดขึ้น เครื่องยนต์ติดตั้งอุปกรณ์อัตโนมัติทุกชนิด ระบบสำหรับการหมุนและระบายความร้อนของใบพัดกังหัน ฯลฯ โดยธรรมชาติ คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของ GTE จะค่อนข้างยุ่งยากเช่นกัน ซึ่งรวมถึงระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ อัลกอริธึมของระบบควบคุมเครื่องยนต์แบบดิจิทัล โมเดลดังกล่าวใช้ในกระบวนการออกแบบเครื่องยนต์กังหันก๊าซ

ในการแก้ปัญหาการควบคุมการบิน ใช้แบบจำลอง GTE ที่ง่ายกว่า ซึ่งขึ้นอยู่กับแรงผลัก NSจากมุม d ของคันเร่ง ค่าเบี่ยงเบนของคันเร่ง กระบวนการเปลี่ยนแรงฉุดอธิบายโดยสามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ใจดี:

, (2.11)

โดยที่ t> 0 คือค่าคงที่เวลาของเครื่องยนต์ ซึ่งนอกเหนือจากลักษณะการออกแบบแล้ว ยังขึ้นอยู่กับอุณหภูมิแวดล้อม ความชื้น และปัจจัยภายนอกอื่นๆ ด้วย k[กก. / องศา] - ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับสมการ (2.11) เขียนเป็น

NS(0) = NS 0 . (2.12)

ดังนั้น สมการ (2.11) ร่วมกับเงื่อนไขตั้งต้น (2.12) คือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดของการดำเนินการ GTE เขียนในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา 1ลำดับที่

เพื่อกำหนดอัตราส่วนภาพ kใช้กราฟการสอบเทียบของการพึ่งพาแรงขับในมุมของการหมุนของปีกผีเสื้อซึ่งสร้างขึ้นจากข้อมูลการทดลอง แทนเจนต์ของความชันของกราฟเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ

การรวมสมการ (2.11) กับเงื่อนไขเริ่มต้น (2.12) ทำให้เราสามารถค้นหาว่าแรงผลักเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร (รูปที่ 2.6)

เมื่อบิดคันเร่ง แรงขับ NSเพิ่มขึ้นและคงที่ที่ค่าจำกัดที่แน่นอน เช่น GTE เป็นวัตถุเฉื่อย

ขีดจำกัดแรงฉุดเราได้รับจาก (2.11) เมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงเท่ากับศูนย์:

. (2.13)

ระยะเวลาที่เพิ่มขึ้นขึ้นอยู่กับค่าของเวลาคงที่ของมอเตอร์เสื้อ กระบวนการนี้ถือว่าคงที่เมื่อ t = tปากเมื่อแรงขับเข้าสู่ทางเดินห้าเปอร์เซ็นต์ที่เรียกว่าค่าขีด จำกัด ของแรงผลัก (รูปที่ 2.6) ยิ่ง t ยิ่งมอเตอร์เฉื่อยมากขึ้น ดังนั้น ยิ่ง NSปาก

ในรูป 2.7 แสดงพฤติกรรมของแรงผลักตามหน้าที่ของมุมโก่งปีกผีเสื้อที่ t = 0.5

แรงผลักในระหว่างการบินขึ้นเมื่อเค้นถูกเบี่ยงเบนไป 10 ° จะเข้าสู่สภาวะคงที่ในวินาทีที่สามและถึง 3390 กก. สิบวินาทีหลังจากเครื่องขึ้น เมื่อคันเร่งถูกเบี่ยงเบนไป 20 ° แรงขับจะถูกตั้งไว้ที่ 6780 กก. และหลังจากนั้นอีกสิบวินาทีเมื่อเค้นเบี่ยงเบนไป 30 ° แรงขับจะถูกตั้งไว้ที่ 10170 กก. ค่าจำกัดของแรงฉุดคือ
14270 กก.

ข้อมูลที่คล้ายกัน

แนวคิดการสร้างแบบจำลองพื้นฐาน

ในกระบวนการของกิจกรรมของมนุษย์ แนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติบางอย่างของวัตถุจริงและการโต้ตอบของวัตถุนั้นได้รับการพัฒนา การแสดงแทนเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยบุคคลในรูปแบบของคำอธิบายของวัตถุที่ใช้ภาษาคำอธิบาย อาจเป็นคำอธิบายด้วยวาจา (แบบจำลองทางวาจา) การวาด การวาด กราฟ เลย์เอาต์ ฯลฯ ทั้งหมดข้างต้นสรุปด้วยแนวคิดเดียว แบบอย่าง,และขั้นตอนการสร้างแบบจำลองคือ การสร้างแบบจำลอง

การสร้างแบบจำลองเป็นวิธีสากลในการศึกษากระบวนการและปรากฏการณ์ของโลกแห่งความเป็นจริง การสร้างแบบจำลองมีความสำคัญเป็นพิเศษในการศึกษาวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงการสังเกตและการวิจัยโดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งปรากฏการณ์และกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคม

การศึกษาวัตถุใดๆ การเคลื่อนไหวรูปแบบใด ๆ คือการเปิดเผยกฎเชิงคุณภาพไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎหมายเชิงปริมาณที่ศึกษาโดยคณิตศาสตร์ด้วย ที่กล่าวมาใช้กับเศรษฐกิจอย่างเต็มที่

เศรษฐกิจ- นี่คือระบบการผลิตเพื่อสังคมที่ดำเนินการผลิต แจกจ่าย แลกเปลี่ยน และบริโภคสินค้าวัสดุที่จำเป็นสำหรับสังคมอย่างแท้จริง

ตามลำดับ แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมทางเศรษฐกิจที่แสดงในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ โครงสร้างเชิงตรรกะซึ่งกำหนดโดยคุณสมบัติวัตถุประสงค์ของหัวข้อของคำอธิบายและโดยปัจจัยเป้าหมายส่วนตัวของการศึกษาที่กำลังดำเนินการคำอธิบายนี้

ปัญหาทางเศรษฐกิจและคณิตศาสตร์ในการเกษตรได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ ในหมู่พวกเขา การพัฒนามากที่สุดคือวิธีการโปรแกรมเชิงเส้น (LP) วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจและคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เงื่อนไขทั้งหมดแสดงเป็นระบบของสมการเชิงเส้นและอสมการ และเกณฑ์ความเหมาะสมจะแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มุ่งไปที่ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ระบบของข้อจำกัด และเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบสำหรับตัวแปร

รับหน้าที่ NSตัวแปร จำเป็นต้องหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันนี้ โดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ มากมาย NSเรียกว่าเซตของการตัดสินใจที่เป็นไปได้ และฟังก์ชันคือฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือฟังก์ชันวัตถุประสงค์ วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ซึ่งฟังก์ชันใช้ค่าสูงสุด (หรือน้อยที่สุด) เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

ถ้าฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นเส้นตรงและเซต NSกำหนดโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นและอสมการ จากนั้นปัญหาจะเรียกว่าปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรง (LPP) ดังนั้น สูตรทั่วไปของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจึงเป็นดังนี้:

หาปลายสุดของฟังก์ชัน

มีข้อจำกัด

ภายใต้สภาวะที่ไม่เป็นลบ

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

หุ้น ผม-ประเภทของทรัพยากร;

ค่าใช้จ่าย ผม-ประเภทของทรัพยากรสำหรับการผลิต NS-ประเภทสินค้า;

กำไรต่อหน่วย NS-ประเภทสินค้า.

ในรูปแบบย่อ ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีรูปแบบดังนี้

สัญกรณ์ย่อแสดงให้เห็นว่าโมเดลปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไปประกอบด้วยองค์ประกอบหลักห้าประการ:

ตัวแปร ค่าที่พบในกระบวนการแก้ปัญหา

ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐศาสตร์สำหรับตัวแปรในข้อจำกัด

ปริมาตรของอสมการด้านขวามือ ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่ของปัญหา

ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ซึ่งเรียกว่าการประมาณค่าตัวแปร

ดัชนีตัวแปร

ดัชนีข้อจำกัด

ฟังก์ชั่นเป้าหมาย(ฟังก์ชันเป้าหมาย) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่คุณต้องการหาค่าสุดขั้ว นั่นคือค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

ตัวแปร x jหมายถึงประเภทและวิธีการของกิจกรรมดังกล่าวซึ่งไม่ทราบขนาดและจะต้องกำหนดในการแก้ปัญหา โดยปกติ ในปัญหาทางการเกษตร ตัวแปรหมายถึงขนาดที่ต้องการของสาขาเศรษฐกิจ ประเภทของอาหารในอาหาร แบรนด์ของรถแทรกเตอร์และเครื่องจักรการเกษตร ฯลฯ ตามเงื่อนไขเฉพาะ พืชผลหรือปศุสัตว์ชนิดเดียวกันสามารถแสดงได้ด้วยตัวแปรหลายตัว ตัวอย่างเช่นเมล็ดพืชและอาหารเม็ด; ข้าวโพดสำหรับเมล็ดพืช, หญ้าหมัก, อาหารสัตว์สีเขียว; หญ้ายืนต้นสำหรับหญ้าแห้ง หญ้าแห้ง อาหารสัตว์สีเขียว หญ้าป่นและเมล็ดพืช ฯลฯ

ตัวแปรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามอำเภอใจภายใต้เงื่อนไขของปัญหาที่พิจารณา ตัวแปร , ซึ่งสัมประสิทธิ์จากคอลัมน์หน่วยเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน.รูปแบบตัวแปรพื้นฐาน พื้นฐานหน่วยระบบต่างๆ ตัวแปรที่ไม่รวมอยู่ในหน่วยพื้นฐานเรียกว่า ฟรี.

จำนวนตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในงานจะขึ้นอยู่กับลักษณะของงาน เงื่อนไขการผลิตเฉพาะ ความสามารถในการรวบรวมข้อมูล ฯลฯ

ตัวแปรสามารถแสดงได้หลากหลายหน่วย: ha, q, kg, pcs., Heads เป็นต้น โดยธรรมชาติแล้ว ตัวแปรจะถูกแบ่งออกเป็นตัวแปรหลัก เพิ่มเติม และรอง ตัวแปรหลัก ได้แก่ กิจกรรมที่แสวงหา: อุตสาหกรรม ประเภทของอาหารสัตว์ แบรนด์รถยนต์ ตัวแปรเพิ่มเติมเรียกว่าตัวแปรที่เกิดขึ้นในกระบวนการเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการ อาจหมายถึงทรัพยากรที่ใช้ประโยชน์น้อยเกินไป มากเกินไป ด้านขวาความไม่เท่าเทียมกัน (หากเป็นความไม่เท่าเทียมกันของประเภท "ไม่มาก") ตัวแปรเสริมรวมอยู่ในงานเพื่อกำหนดค่าโดยประมาณของทรัพยากรการผลิตที่ได้มาค่าประมาณของตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจของการผลิต

ตัวแปรเพิ่มเติมและตัวแปรเสริมมีค่าสัมประสิทธิ์หน่วยเสมอ (+1 หรือ –1)

ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐกิจ (a ij)ด้วยตัวแปรในระบบข้อ จำกัด จะแสดงอัตราของทรัพยากรการผลิตหรืออัตราผลผลิตต่อหน่วยการวัดของตัวแปร

ในทั้งสองกรณี จำเป็นที่สัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐกิจจะต้องสอดคล้องกับระยะเวลาการวางแผนที่ปัญหากำลังได้รับการแก้ไขทุกประการ ตัวอย่างเช่น หากปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ของการผลิตในช่วงที่ผ่านมา ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกคำนวณตามข้อมูลที่รายงาน หากมีการตัดสินใจในอนาคต ก็ควรคำนวณสัมประสิทธิ์สำหรับเปอร์สเปคทีฟนี้

อัตราการใช้ทรัพยากรมักถูกกำหนดโดยหนังสืออ้างอิงซึ่งจะต้องปรับให้เข้ากับเงื่อนไขเฉพาะที่เกี่ยวข้อง อัตราส่วนผลผลิตคำนวณจากผลผลิตพืชผลตามแผนและผลผลิตสัตว์

ในกรณีที่จำเป็นต้องจัดให้มีความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าระหว่างตัวแปร ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและทางเศรษฐศาสตร์จะแทนค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน ตัวอย่างเช่น ส่วนแบ่งของพืชในการหมุนครอบตัดหรือส่วนแบ่งของฟีดในกลุ่มฟีดทั้งหมด เป็นต้น

ด้านขวาของข้อจำกัด (b i)เรียกว่าค่าคงที่ กล่าวคือ ค่าคงที่ ซึ่งรวมถึงปริมาณทรัพยากรการผลิต - ที่ดิน แรงงาน เครื่องจักร ปุ๋ย การลงทุน ฯลฯ ทรัพยากรการผลิตควรได้รับการพิจารณาโดยคำนึงถึงสภาพจริงและจำเป็นต้องคำนึงถึงระยะเวลาการวางแผนด้วย นอกจากนี้ ทรัพยากรการผลิตเหล่านั้นซึ่งมีการใช้งานไม่สม่ำเสมอตลอดทั้งปี ไม่เพียงแต่คำนวณสำหรับทั้งปีเท่านั้น แต่ยังคำนวณสำหรับช่วงเวลาหรือเดือนที่เข้มข้น (ทรัพยากรแรงงาน) ด้วย

ทรัพยากรการผลิตถูกกำหนดในหน่วยต่าง ๆ: ที่ดิน - ในเฮกตาร์ ทรัพยากรแรงงาน - ใน man-day หรือใน man-hour อุปกรณ์ - ในจำนวนกะเครื่องจักร กะ หรือผลผลิตรายวัน ฯลฯ

ดังนั้น การพิจารณาความพร้อมใช้งานของทรัพยากรการผลิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย จำเป็นต้องวิเคราะห์กิจกรรมการผลิตของเศรษฐกิจ การใช้แรงงาน ที่ดิน ทรัพยากรทางเทคนิคและทรัพยากรอื่นๆ อย่างรอบคอบ และหลังจากนั้นรวมปริมาณในข้อจำกัด

ด้านขวาของข้อจำกัดไม่เพียงแต่สะท้อนถึงปริมาณทรัพยากร แต่ยังรวมถึงปริมาณการผลิตที่ระดับบนหรือล่างด้วย ระดับที่ต่ำกว่าจะแสดงในกรณีที่ทราบปริมาณการผลิตล่วงหน้า น้อยกว่าที่ฟาร์มไม่ควรผลิต และระดับบนสุดไม่อนุญาตให้ผลิตผลิตภัณฑ์เกินปริมาณที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องมีข้อจำกัดเหล่านี้เสมอไป อย่างไรก็ตาม แทบไม่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของการรวมกันของอุตสาหกรรมที่ไม่ได้ทำโดยไม่มีข้อจำกัดที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ มิฉะนั้น โซลูชันด้านเดียวจะปรากฎออกมา เนื่องจากประสิทธิภาพของอุตสาหกรรมไม่เหมือนกัน

ในข้อจำกัดอื่นๆ ทั้งหมด ศูนย์จะถูกใส่ไว้ทางด้านขวา เนื่องจากเป็นการกำหนดเงื่อนไขสำหรับการผลิตและการใช้ผลิตภัณฑ์ หรือสะท้อนข้อจำกัดในการสื่อสารตามสัดส่วน

ข้อจำกัดเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ผูกตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน แบบฟอร์มข้อจำกัดทั้งหมด ระบบข้อจำกัดงาน ระบบข้อจำกัดในรูปแบบทางคณิตศาสตร์กำหนดเงื่อนไขของปัญหา ความสมบูรณ์ของการสะท้อนเงื่อนไขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของข้อจำกัด ดังนั้นเมื่อกำหนดจำนวนข้อ จำกัด ต้องคำนึงถึงสองสถานการณ์:

สะท้อนในงานเท่านั้นเงื่อนไขเหล่านั้นที่จำกัดความเป็นไปได้ของการผลิตจริงๆ

v ข้อจำกัดมากเกินไปทำให้ขนาดของปัญหาใหญ่ขึ้นและทำให้ยากต่อการแก้ไข

ข้อจำกัดมีสามประเภท: ความเท่าเทียมกัน (=) ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทน้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) ตัวอย่างเช่น,

ที่ไหน ผม = 1, 2, … , NS... ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรแสดงแทน อิจที่ดัชนี ผม- หมายเลขข้อ จำกัด ดัชนี NS- หมายเลขตัวแปรสมาชิกอิสระ (ด้านขวาของข้อ จำกัด ) แสดงอยู่ ข ฉัน, ดัชนี ผม- จำนวนจำกัด

ข้อจำกัดประเภทแรกเรียกว่าข้อจำกัดบน เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการต้องไม่สูงกว่าค่าที่กำหนด (ค่าคงที่) ข้อจำกัดประเภทที่สามเรียกว่าข้อจำกัดจากด้านล่าง เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการต้องไม่ต่ำกว่าค่าที่แน่นอน (ค่าคงที่)

ในแง่ของความหมาย ข้อจำกัดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นหลัก เพิ่มเติม และเสริม

ข้อจำกัดหลักคือ -สิ่งเหล่านี้คือตัวแปรที่ทับซ้อนกับตัวแปรงานทั้งหมดหรือส่วนใหญ่ ตามกฎแล้วด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเงื่อนไขหลักของปัญหาจะสะท้อนให้เห็น - ในแง่ของที่ดิน, แรงงาน, อาหารสัตว์, สารอาหาร, เทคโนโลยี ฯลฯ

ข้อจำกัดเพิ่มเติมถูกซ้อนทับในส่วนของตัวแปรหรือตัวแปรเดียว ข้อจำกัดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องจำกัดขนาดของตัวแปรแต่ละตัวจากด้านบนหรือด้านล่าง ตัวอย่างเช่น โดยคำนึงถึงข้อกำหนดในการหมุนเวียนพืชผล หรือคำนึงถึงขีดจำกัดทางสรีรวิทยาของความอิ่มตัวของอาหารด้วยอาหารแต่ละชนิดหรือแบบกลุ่ม ดังนั้น ข้อจำกัดเพิ่มเติมสะท้อนถึงเงื่อนไขเพิ่มเติมต่างๆ ที่เกิดขึ้นระหว่างการจำลอง แต่ข้อจำกัดเพิ่มเติมแต่ละข้อจะทำให้ขอบเขตของเสรีภาพในการเลือกแคบลง ดังนั้นควรแนะนำพวกเขาเข้าสู่งานอย่างระมัดระวังภายในขอบเขตที่สมเหตุสมผลและเมื่อจำเป็น

ข้อ จำกัด เสริมตามกฎแล้วพวกเขาไม่มีความหมายอิสระและนำไปสู่ปัญหาเพื่อสร้างเงื่อนไขส่วนบุคคลให้เป็นทางการ ซึ่งรวมถึงข้อจำกัดที่สร้างความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างตัวแปรแต่ละตัวหรือกลุ่มของตัวแปร

การประมาณค่าตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ด้วย NS) คือสัมประสิทธิ์ที่แสดงจำนวนรายได้รวมหรือต้นทุนต่อหน่วยวัดของตัวแปร ตามกฎแล้วการประมาณค่าตัวแปรแสดงถึงเกณฑ์ที่เหมาะสมที่สุดที่ยอมรับได้ นำเสนอได้ทั้งในรูปแบบและเงินสด เช่น ต้นทุนต่อหน่วย (ต้นทุนการผลิต)

เงื่อนไขสำหรับ nonnegativity ของตัวแปรเขียนอยู่ในรูป

x j≥ 0, เจ = 1, 2, ..., NS.

ในชีวิตจริงของการผลิต ตามเงื่อนไขของงาน รายการของตัวแปรและข้อจำกัดถูกรวบรวมจากบันทึกนี้ของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เชิงโครงสร้าง (EMM) ข้อมูลเบื้องต้นถูกจัดเตรียม การสร้างปัญหา EMM โดยละเอียดซึ่งก็คือ จากนั้นเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ (ตาราง) เข้าสู่คอมพิวเตอร์และการคำนวณและวิเคราะห์ผลลัพธ์จะดำเนินการตามโปรแกรมที่เกี่ยวข้อง i = 1, ..., NS, (1.5)

NS = 1, …, NS. (1.6)

เวกเตอร์ NS = (NS 1 , NS 2 , …, NS n) ส่วนประกอบ x jซึ่งเป็นไปตามข้อจำกัด (1.2) และ (1.3) [หรือ (1.5) และ (1.6) ในปัญหาขั้นต่ำ] เรียกว่า การตัดสินใจที่ยอมรับได้หรือ แผนการที่ยอมรับได้งาน LP การรวบรวมแผนที่ถูกต้องทั้งหมดเรียกว่า แผนที่ถูกต้องมากมาย

บัญญัติรูปแบบของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีลักษณะโดยข้อเท็จจริงที่ว่ามันประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ข้อ จำกัด ทั้งหมด ความเท่าเทียมกันตัวแปรทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสามารถลดลงเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบบัญญัติได้ ในการทำเช่นนี้ ในกรณีทั่วไป คุณต้องสามารถลดปัญหาของการขยายใหญ่สุดให้เป็นปัญหาของการย่อให้เล็กสุดได้ เปลี่ยนจากข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมเป็นข้อจำกัดความเท่าเทียมกันและแทนที่ตัวแปรที่ไม่เชื่อฟังเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ

กฎสำหรับการลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติเป็นดังนี้:

1) หากจำเป็นต้องกำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นในปัญหาเดิม คุณควรเปลี่ยนเครื่องหมายและมองหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้

2) หากด้านขวาเป็นลบในข้อ จำกัด ข้อ จำกัด นี้ควรคูณด้วย - 1;

3) หากในข้อจำกัดมีความไม่เท่าเทียมกัน โดยการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมของตัวแปรที่ไม่เป็นลบ พวกมันจะถูกแปลงเป็นความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ตัวแปรเพิ่มเติม S jในข้อจำกัดของประเภทที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ (£) ให้ป้อนด้วยเครื่องหมายบวก:

ตัวแปรเพิ่มเติม S jในข้อจำกัดประเภทที่มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) ให้ป้อนด้วยเครื่องหมายลบ:

เพื่อขจัดความเป็นลบของตัวแปรเพิ่มเติม - S jแนะนำตัวแปรเทียมด้วยเครื่องหมายบวก + เอ็ม เจที่มีค่ามาก