การเปลี่ยนจากข้อจำกัดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้น สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ทางเลือกของปริมาณการแจกจ่ายซ้ำ

บรรยาย 2

วี รูปแบบบัญญัติ

การตัดสินใจที่ยอมรับได้ของ LPP(แผนการที่ยอมรับได้).

ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับ LPP

ความต้องการ

ตัวอย่าง.

มาเขียนงานใน รูปแบบบัญญัติ

สถานการณ์พิเศษของโซลูชันกราฟิกของ LPP

ยกเว้นเมื่อมีปัญหา ทางออกที่ดีที่สุดเท่านั้นเพื่อและบางที สถานการณ์พิเศษ:

1.ปัญหามี โซลูชั่นที่ดีที่สุดจำนวนอนันต์ - ถึงจุดสูงสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา ( ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด)- รูปที่ 2;

2.งาน แก้ไม่ได้ เนื่องจากความไร้ขอบเขตของ IDT หรือ - รูปที่ 3

3. SDT - จุดเดียว อ่า แล้ว;

4.task แก้ไม่ได้ ถ้า ODR เป็นพื้นที่ว่าง

NS

รูปที่ 2 รูปที่ 3

หากเส้นระดับขนานกับด้านข้างของพื้นที่ของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ ปลายสุดจะไปถึงทุกจุดของด้านข้าง ปัญหามีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดนับไม่ถ้วน - ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด ... ทางออกที่ดีที่สุดหาได้จากสูตร

พารามิเตอร์อยู่ที่ไหน สำหรับค่าใด ๆ จาก 0 ถึง 1 เป็นไปได้ที่จะได้รับคะแนนทั้งหมดของเซ็กเมนต์ซึ่งแต่ละฟังก์ชันใช้ค่าเดียวกัน ดังนั้นชื่อ - ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด

ตัวอย่าง... แก้ปัญหาแบบกราฟิก การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด):

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1. เขียนปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบทั่วไป

2. เขียนปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบบัญญัติและรูปแบบมาตรฐาน

3.การแปลงใดบ้างที่สามารถนำมาใช้เพื่อส่งผ่านจากรูปแบบทั่วไปหรือมาตรฐานของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นไปยังรูปแบบบัญญัติได้

4. ให้คำจำกัดความของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้และเหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรง

5. วิธีแก้ปัญหาใดที่ "ดีที่สุด" สำหรับปัญหาการลดฟังก์ชัน ถ้า ?

6. วิธีแก้ปัญหาใดที่ "ดีที่สุด" สำหรับปัญหาในการเพิ่มฟังก์ชันให้สูงสุด if ?

7. เขียนรูปแบบมาตรฐานของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว

8. วิธีสร้างครึ่งระนาบที่กำหนดโดยอสมการเชิงเส้นในสองตัวแปร ?

9. อะไรเรียกว่าคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในสองตัวแปร? สร้างขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของระบบอสมการเชิงเส้นดังกล่าวบนระนาบซึ่ง:

1) มีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

2) มีวิธีแก้ปัญหามากมาย

3) ไม่มีทางออกเดียว

10. จดบันทึกสำหรับ ฟังก์ชันเชิงเส้น ไล่ระดับเวกเตอร์ ตั้งชื่อชนิดของเส้นระดับ การไล่ระดับสีและเส้นระดับมีตำแหน่งสัมพันธ์กันอย่างไร?

11. กำหนดอัลกอริธึมสำหรับวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ LPP มาตรฐานที่มีสองตัวแปร

12. จะหาพิกัดและค่าของโซลูชันได้อย่างไร?

13. พลอตพื้นที่ของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ เกรเดียนต์และเส้นระดับ สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ซึ่ง:

1) บรรลุที่จุดเดียวและ - บนส่วน ODR;

2) บรรลุที่จุดเดียวของ ODR และ

14. ให้ภาพประกอบทางเรขาคณิตของ LPP หากเป็น:

1) มีทางออกที่ดีที่สุดสำหรับและ;

2) มีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดมากมายสำหรับ

บรรยาย 2

วิธีการแบบกราฟิกหาทางออกที่ดีที่สุด

1. รูปแบบของตัวแบบทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นและการแปลงรูปแบบ

2. วิธีการแบบกราฟิกในการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

3. สถานการณ์พิเศษของการแก้ปัญหาแบบกราฟิกของ LPP

4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหาเศรษฐกิจของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

รูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นและการแปลง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) สามารถเขียนได้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสามรูปแบบ

วี รูปแบบทั่วไปของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุดหรือต่ำสุด ระบบข้อจำกัดมีความไม่เท่าเทียมกันและสมการ ไม่ใช่ตัวแปรทั้งหมดที่สามารถไม่เป็นค่าลบได้

วี รูปแบบบัญญัติต้องใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ระบบข้อจำกัดประกอบด้วยสมการเท่านั้น ตัวแปรทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ

ในรูปแบบมาตรฐานของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันสูงสุดหรือต่ำสุด ข้อจำกัดทั้งหมดเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ตัวแปรทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ

วิธีแก้ปัญหาของระบบข้อจำกัดที่เป็นไปตามเงื่อนไขของการไม่เป็นลบของตัวแปรเรียกว่า การตัดสินใจที่ยอมรับได้ของ LPP(แผนการที่ยอมรับได้).

เซตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เรียกว่า พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ของ LPP

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ซึ่งฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงค่าสูงสุดเรียกว่า ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับ LPP

การเขียน LPP ทั้งสามรูปแบบมีความเท่าเทียมกันในแง่ที่ว่าแต่ละรูปแบบสามารถลดลงเป็นรูปแบบที่แตกต่างกันได้โดยใช้การแปลงทางคณิตศาสตร์

ความต้องการ การเปลี่ยนจากรูปแบบหนึ่งของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นอีกรูปแบบหนึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการแก้ปัญหา เช่น วิธีซิมเพล็กซ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในโปรแกรมเชิงเส้นตรง ใช้กับปัญหาที่เขียนในรูปแบบบัญญัติ และวิธีการกราฟิกใช้กับรูปแบบมาตรฐานของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การเปลี่ยนไปใช้รูปแบบบัญญัติของการเขียนZLP.

ตัวอย่าง.

มาเขียนงานใน รูปแบบบัญญัติโดยการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม (สมดุล) ที่มีเครื่องหมาย "+" ทางด้านซ้ายของอสมการแรกของระบบข้อจำกัด และตัวแปรเพิ่มเติมที่มีเครื่องหมายลบทางด้านซ้ายของอสมการที่สอง

ความหมายทางเศรษฐกิจของตัวแปรเพิ่มเติมต่างๆ อาจไม่เหมือนกัน ขึ้นอยู่กับความหมายทางเศรษฐกิจของข้อจำกัดที่รวมตัวแปรเหล่านี้ไว้ด้วย

ดังนั้นในปัญหาการใช้วัตถุดิบพวกเขาแสดงวัตถุดิบที่เหลือและในปัญหาในการเลือกเทคโนโลยีที่เหมาะสม - เวลาที่ไม่ได้ใช้ขององค์กรสำหรับเทคโนโลยีบางอย่าง ในปัญหาการตัด - การปล่อยช่องว่างตามความยาวที่กำหนดเหนือแผน ฯลฯ

คำนิยาม. การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LP) -ศาสตร์แห่งวิธีการวิจัยและการค้นหาค่าสุดขีด (ใหญ่และเล็กที่สุด) ของฟังก์ชันเชิงเส้นซึ่งมีการกำหนดข้อ จำกัด เชิงเส้นที่ไม่รู้จัก

ฟังก์ชันเชิงเส้นนี้เรียกว่า เป้า,และข้อจำกัดที่เขียนทางคณิตศาสตร์ในรูปของสมการหรืออสมการเรียกว่า ระบบข้อจำกัด

คำนิยาม.นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดเรียกว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเศรษฐกิจ

โดยทั่วไป แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (LP) เขียนเป็น

โดยมีข้อจำกัด:

ที่ไหน x j- ไม่ทราบ; อิจ, ข ฉัน, c j- ให้ค่าคงที่

สมการทั้งหมดหรือบางส่วนของระบบข้อจำกัดสามารถเขียนได้ในรูปของอสมการ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบที่กระชับยิ่งขึ้นมีรูปแบบ

โดยมีข้อจำกัด:

คำนิยาม.วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (แผน) ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือเวกเตอร์ = ( NS 1 , NS 2 ,..., xn),เป็นไปตามระบบข้อจำกัด

ชุดของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ก่อให้เกิดพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (ODS)

คำนิยาม.วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ซึ่งฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงค่าสูงสุดเรียกว่า โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรง และแสดงโดย opt

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ขั้นพื้นฐาน (NS 1 , NS 2 , ..., NS NS , 0, …, 0) เป็นโซลูชันอ้างอิงโดยที่ NS -อันดับของระบบข้อจำกัด

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา LP อาจเป็นแบบบัญญัติและไม่ใช่แบบบัญญัติ

7.การแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยวิธีกราฟิก... กราฟข้อ จำกัด ของฟังก์ชัน เส้นระดับ

วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น

วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้งานง่ายที่สุดของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือวิธีกราฟิก มันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหา LP ด้วยตัวแปรสองตัวที่กำหนดในรูปแบบที่ไม่เป็นที่ยอมรับและหลายตัวแปรในรูปแบบมาตรฐาน โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรอิสระส่วนใหญ่มีตัวแปรอิสระอย่างน้อยสองตัว

จากมุมมองทางเรขาคณิต ในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น เรามองหาจุดมุมหรือชุดจุดจากชุดโซลูชันที่เป็นไปได้ซึ่งไปถึงเส้นระดับสูงสุด (ต่ำสุด) ซึ่งอยู่ไกลกว่า (ใกล้กว่า) อื่น ๆ ในทิศทางของการเติบโตที่เร็วที่สุด

ในการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในการแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหา LP ให้ใช้ vector หลี่() บนพื้นผิว NS 1 โอ้ 2 , ที่เราแสดงว่า . เวกเตอร์นี้แสดงทิศทางของการเปลี่ยนแปลงที่เร็วที่สุดในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ กล่าวอีกนัยหนึ่งเวกเตอร์เป็นเรื่องปกติของเส้นระดับ หลี่()

ที่ไหน อี 1 และ อี 2 - เวกเตอร์หน่วยตามแกน วัว 1 และ โอเอ็กซ์ 2 ตามลำดับ; ดังนั้น = (∂L / ∂х .) 1 , ∂L / ∂х 2 ). พิกัดของเวกเตอร์คือสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ล. ().การสร้างเส้นระดับจะได้รับการพิจารณาในรายละเอียดเมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา

1. ค้นหาขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับระบบข้อจำกัดของปัญหา

2. การสร้างเวกเตอร์ .

3. วาดเส้นระดับ หลี่ 0 , ซึ่งตั้งฉากกัน .

4. ย้ายเส้นระดับไปในทิศทางของเวกเตอร์สำหรับงานไปยังค่าสูงสุดและในทิศทางตรงกันข้าม , สำหรับงานให้น้อยที่สุด

เส้นระดับถูกย้ายจนกว่าจะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวที่มีพื้นที่แก้ปัญหาที่ยอมรับได้ จุดนี้ซึ่งกำหนดทางออกเดียวสำหรับปัญหา LP จะเป็นจุดสุดโต่ง

หากปรากฎว่าเส้นระดับขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของ ODR แล้วปลายสุดจะไปถึงทุกจุดของด้านที่สอดคล้องกัน และปัญหา LP จะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด ว่ากันว่าปัญหา LP ดังกล่าวมี ทางเลือกที่เหมาะสมที่สุด,และหาคำตอบได้จากสูตร:

โดยที่ 0 ≤ NS≤ 1, 1 และ 2 - โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดที่จุดมุมของ ODR

ปัญหา LP สามารถแก้ไขได้เมื่อข้อจำกัดที่กำหนดกลายเป็นความขัดแย้ง

5. ค้นหาพิกัดของจุดสุดขั้วและค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในนั้น

ตัวอย่างที่ 3การเลือกตัวเลือกการเปิดตัวผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสมที่สุด

บริษัทผลิตไอศกรีม 2 ประเภท ได้แก่ ครีมและช็อกโกแลต สำหรับการผลิตไอศกรีมนั้นใช้ผลิตภัณฑ์เริ่มต้นสองอย่าง: นมและสารตัวเติมซึ่งกำหนดราคาต่อไอศกรีม 1 กิโลกรัมและของใช้ประจำวันในตาราง

การศึกษาตลาดการขายพบว่าความต้องการไอศกรีมในแต่ละวันเกินความต้องการไอศกรีมช็อกโกแลต แต่ไม่เกิน 100 กิโลกรัม

นอกจากนี้ยังพบว่ามีความต้องการไอศกรีมช็อกโกแลตไม่เกิน 350 กิโลกรัมต่อวัน ราคาขายปลีกไอศกรีมครีม 1 กิโลกรัม 16 รูเบิล, ช็อคโกแลต - 14 รูเบิล

บริษัทควรผลิตไอศกรีมแต่ละประเภทมากน้อยเพียงใดเพื่อเพิ่มรายได้จากการขายผลิตภัณฑ์ให้สูงสุด?

สารละลาย.ขอแสดงว่า: NS 1 - ปริมาณการผลิตไอศกรีมต่อวัน kg; NS 2 - ไอศกรีมช็อคโกแลตที่ส่งออกทุกวันกก.

มาเขียนกันเถอะ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์งาน

ราคาไอศกรีมเป็นที่รู้จัก: 16 rubles และ 14 rubles ตามลำดับ ดังนั้นฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะมีลักษณะดังนี้:

เราจะกำหนดขีดจำกัดของนมสำหรับไอศกรีม การบริโภคไอศกรีมครีม - 0.8 กก. สำหรับช็อกโกแลต - 0.5 กก. น้ำสต๊อก 400กก. ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันอันดับแรกจะเป็น:

0.8x 1 + 0.5x 2 ≤400 - ความไม่เท่าเทียมกันแรกเป็นข้อจำกัด ความไม่เท่าเทียมกันที่เหลือประกอบขึ้นในลักษณะเดียวกัน

ผลที่ได้คือระบบความไม่เท่าเทียมกัน นั่นคือพื้นที่แก้ปัญหาของอสมการแต่ละอย่าง ซึ่งสามารถทำได้โดยการแทนที่พิกัดของจุด O (0: 0) ลงในอสมการแต่ละตัว เป็นผลให้เราได้รับ:

รูป โออาเบเดฟ -พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ เราสร้างเวกเตอร์ (16; 14) เส้นระดับ หลี่ 0 ได้จากสมการ 16x 1 + 14x 2 = Const เราเลือกตัวเลขใดๆ เช่น ตัวเลข 0 แล้ว 16x 1 + 14x 2 = 0 ในรูป สำหรับเส้น L 0 จะมีการเลือกจำนวนบวกที่ไม่เท่ากับศูนย์ เส้นระดับทั้งหมดขนานกัน เส้นระดับเวกเตอร์ปกติ

เลื่อนเส้นระดับไปในทิศทางของเวกเตอร์ จุดออก หลี่ 0 จากขอบเขตของคำตอบที่เป็นไปได้คือจุด NSพิกัดของมันถูกกำหนดเป็นจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ:

แก้ระบบเราได้พิกัดของจุด NS(312.5; 300) ซึ่งจะมีทางออกที่ดีที่สุดคือ

ดังนั้น บริษัทควรผลิตไอศกรีม 312.5 กก. และไอศกรีมช็อกโกแลต 300 กก. ต่อวัน ในขณะที่รายได้จากการขายจะอยู่ที่ 9,200 รูเบิล

8.ลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตามอำเภอใจให้เป็นปัญหาหลักการแปลงข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการที่สอดคล้องกัน

วิธี 9.Simplex... คำอธิบายและอัลกอริทึมของวิธีการการบังคับใช้

ในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ มีความจำเป็น:

1. ระบุวิธีการค้นหาโซลูชันการสนับสนุนที่เหมาะสมที่สุด

2. ระบุวิธีการเปลี่ยนจากโซลูชันการสนับสนุนหนึ่งไปอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะใกล้เคียงกับค่าที่เหมาะสมที่สุด กล่าวคือ ระบุวิธีปรับปรุงโซลูชันอ้างอิง

3. กำหนดเกณฑ์ที่อนุญาตให้คุณหยุดการค้นหาโซลูชันการสนับสนุนอย่างทันท่วงทีเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดหรือเพื่อสรุปว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

อัลกอริทึมของวิธีซิมเพล็กซ์สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

1. นำปัญหามาสู่รูปแบบบัญญัติ

2. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นด้วย "หน่วยพื้นฐาน" (หากไม่มีวิธีแก้ไข แสดงว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข เนื่องจากระบบข้อ จำกัด ไม่เข้ากัน)

3. คำนวณค่าประมาณของการขยายเวกเตอร์บนพื้นฐานของโซลูชันการสนับสนุนและกรอกข้อมูลในตารางของวิธีซิมเพล็กซ์

4. หากเป็นไปตามเกณฑ์ความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด การแก้ปัญหาก็จะสิ้นสุดลง

5. หากเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของชุดโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด โดยการแจงนับอย่างง่ายจะพบคำตอบที่เหมาะสมที่สุดทั้งหมด

10. ปัญหาด้านการขนส่งความหมาย ประเภท วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นของปัญหาการขนส่ง

ปัญหาการขนส่งเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่พบบ่อยที่สุดปัญหาหนึ่ง เป้าหมายของมันคือการพัฒนาวิธีและวิธีการขนส่งสินค้าที่มีเหตุผลมากที่สุด กำจัดการขนส่งทางไกลที่ใกล้เข้ามาและซ้ำซาก

1. ค้นหาโซลูชันการสนับสนุนเบื้องต้น

2. ตรวจสอบโซลูชันนี้เพื่อความเหมาะสม

3. การเปลี่ยนจากโซลูชันการสนับสนุนหนึ่งไปยังอีกโซลูชันหนึ่ง

3.1. ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น- นี่คือส่วนที่พัฒนามากที่สุด การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ด้วยความช่วยเหลือในการวิเคราะห์และแก้ไขปัญหาที่รุนแรงเกี่ยวกับการเชื่อมต่อเชิงเส้นและข้อจำกัด

การโปรแกรมเชิงเส้นรวมถึงวิธีการแก้ปัญหาแบบฮิวริสติก (โดยประมาณ) จำนวนหนึ่งที่อนุญาตทั้งหมด . ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ทางเลือกที่เป็นไปได้การแก้ปัญหาการผลิตเพื่อเลือกสิ่งที่ดีที่สุดเหมาะสมที่สุด วิธีการเหล่านี้รวมถึงวิธีต่อไปนี้ - กราฟิค, เริม, วิธีที่เป็นไปได้ (วิธีการแจกจ่ายที่แก้ไข - MODI), Hitchkova, Kreko, วิธีการประมาณ Vogel และอื่น ๆ

วิธีการเหล่านี้บางวิธีรวมกันโดยใช้ชื่อสามัญ - การแจกจ่ายหรือการขนส่ง วิธี

แหล่งกำเนิดของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือรัสเซีย งานแรกเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยนักวิชาการในอนาคต L.V. Kantorovich เผยแพร่ในปี 1939 ในปี 1975 เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์สำหรับการพัฒนาวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เนื่องจากผลงานส่วนใหญ่ของ Academician L.V. คันโตโรวิชทุ่มเทให้กับการแก้ปัญหาด้านการขนส่ง ถือได้ว่ารางวัลโนเบลที่ระบุนั้นให้เกียรติคุณความดีของวิทยาศาสตร์การขนส่งของรัสเซียด้วย

ในการขนส่งทางถนน มีการใช้วิธีการโปรแกรมเชิงเส้นตั้งแต่ทศวรรษ 1960 เพื่อแก้ปัญหาการผลิตที่สำคัญที่สุดจำนวนมาก ได้แก่ การลดระยะทางในการขนส่งสินค้า จัดทำแผนการขนส่งที่เหมาะสม การเลือกเส้นทางการเคลื่อนที่ที่สั้นที่สุด งานขนส่งสินค้าต่าง ๆ แต่เปลี่ยนได้ การวางแผนกะรายวัน การวางแผนการขนส่งสินค้าล็อตเล็ก การกระจายของรถโดยสารตามเส้นทางและอื่น ๆ

คุณสมบัติของโมเดลโปรแกรมเชิงเส้นตรงมีดังนี้:

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดจะแสดงโดยการพึ่งพาเชิงเส้น (ความเท่าเทียมกันหรือความไม่เท่าเทียมกัน)

จำนวนการขึ้นต่อกันจะน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จักเสมอ (เงื่อนไขความไม่แน่นอน)

ความไม่เป็นลบของตัวแปรที่ต้องการ รูปแบบทั่วไปของการเขียนโมเดลโปรแกรมเชิงเส้นตรงในรูปแบบย่อมีดังนี้:

หา NS ij ≥ 0 (j = 1, 2 ... n) ภายใต้ข้อจำกัดประเภทต่อไปนี้:

ข้อจำกัดเหล่านี้ย่อเล็กสุด (หรือสูงสุด) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์

รูปแบบมาตรฐานของการเขียนแบบจำลองโปรแกรมเชิงเส้นตรงคือระบบ สมการเชิงเส้นบันทึกไว้ใน บัญญัติรูปแบบ นั่นคือ ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันเชิงเส้น ในจำนวนที่ไม่เป็นลบ:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ; (3.1)

……………………………..

a m x 1 + a m 2 x 2 +… + a mn x n = b m ..

ถ้าตัวแบบเขียนในรูปของอสมการในจำนวนที่ไม่ติดลบ แสดงว่ามีรูปแบบ

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1 n x n ≤ b 1;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ≤ b 2 ; (3.2)

……………………………..

a m x 1 + a m 2 x 2 +… + a mn x n ≤ b m, ..

จากนั้นบันทึกนี้จะลดลงเป็น บัญญัติรูปแบบ (3.1) โดยแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม x n +1> 0 (ผม=1,2…NS) ทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน (หรือการยกเลิกจำนวนตัวแปร หากเครื่องหมายอสมการชี้ไปในทิศทางอื่น) ตัวแปรเพิ่มเติมประกอบขึ้นเป็นพื้นฐาน

รูปแบบมาตรฐานของการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นในจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด ในกรณีนี้ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ

L = s 1 x 1 + s 2 x 2 ... s n x n →นาที, (3.3)

ที่ไหน s 1, s 2 ... s n- สัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หลี่ด้วยตัวแปร NS NS.

ตัวแปรเพิ่มเติมเข้าสู่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ในกรณีของการเพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หลี่เครื่องหมายของตัวแปรของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ควรจะย้อนกลับและเรามาถึงปัญหาของการย่อเล็กสุดอีกครั้งนั่นคือ งานหนึ่งลดเหลืออีกงานหนึ่งโดยการทดแทน หลี่บน - หลี่หรือ max หลี่= นาที (- หลี่).

โซลูชันพื้นฐานสำหรับระบบสมการเชิงเส้น (3.1) คือโซลูชันที่กำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐาน

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานเรียกว่า admissible ซึ่งตัวแปรที่รวมอยู่ในค่าพื้นฐานนั้นไม่เป็นค่าลบ

ทางออกที่ดีที่สุดคือวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ซึ่งเพิ่ม (หรือย่อเล็กสุด) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด (3.3)

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงแต่ละปัญหาจะสัมพันธ์กับปัญหาอื่น เรียกว่าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคู่ ปัญหาเดิมที่เกี่ยวข้องกับคู่เรียกว่าโดยตรง ปัญหาโดยตรงและปัญหาคู่ก่อตัวเป็นคู่ เรียกว่าคู่คู่ในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น คู่ทางตรงและคู่สร้างคู่แบบอสมมาตรเมื่อปัญหาโดยตรงเขียนในรูปแบบบัญญัติ และคู่สมมาตรเมื่อเงื่อนไขของปัญหาเขียนด้วยความไม่เท่าเทียมกัน

กฎสำหรับการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาคู่นั้นขึ้นอยู่กับกฎของแคลคูลัสเมทริกซ์

แนวคิดของความเป็นคู่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น คุณสมบัติความเป็นคู่ได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดในแต่ละกรณี

3.2. วิธีการวิเคราะห์กราฟิก

วิธีกราโฟวิเคราะห์เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เขาเปิดเผยสาระสำคัญของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอย่างชัดเจน การตีความทางเรขาคณิตของมันอย่างชัดเจน ข้อเสียของมันคือช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาที่ไม่ทราบได้ 2 หรือ 3 รายการนั่นคือใช้ได้กับปัญหาที่แคบ วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับกฎของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

การแก้ปัญหาด้วยสองตัวแปร x 1และ x2ซึ่งในแง่ของปัญหาไม่ควรเป็นลบจะดำเนินการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน สมการ x 1= 0 และ x2= 0 คือแกนของระบบพิกัดจตุภาคแรก

ให้เราพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3.1มีผลิตภัณฑ์คอนกรีตโฟม 300 ตันและเหล็ก 200 ตันในโกดัง บริษัทรถยนต์จำเป็นต้องส่งมอบผลิตภัณฑ์เหล่านี้ไปยังโรงงานที่อยู่ระหว่างการก่อสร้าง บริษัท รถยนต์มีรถบรรทุก KamAZ - 5320 และ

ZIL-4314. สำหรับการเดินทางครั้งเดียว KamAZ-5320 สามารถส่งคอนกรีตโฟม 6 ตันและเหล็ก 2 ตันและกำไรจากการขี่จะอยู่ที่ 4,000 รูเบิล ZIL-4314 ส่งคอนกรีตโฟม 2 ตันและเหล็ก 4 ตันในการเดินทางครั้งเดียว กำไรจากการเดินทางคือ 6,000 รูเบิล จำเป็นต้องจัดระบบขนส่งในลักษณะที่รับประกันผลกำไรสูงสุดสำหรับบริษัทรถยนต์

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหากัน ให้เราแสดงด้วย x 1 จำนวนผู้ขับขี่ KamAZ-5320 ที่ต้องการและผ่าน NS 2 จำนวนผู้ขับขี่ที่ต้องการ ZIL-4314

การขนส่งทั้งหมดในผลิตภัณฑ์คอนกรีตโฟมคือ6 x 1 + 2x2, และจากเหล็ก2 x 1 + 4x2... ข้อ จำกัด ด้านการขนส่งตามจำนวนรายการที่มีคือ 6 x 1 + 2x 2 ≤ 300t สำหรับคอนกรีตโฟมและ2 x 1 + 4x 2 ≤ 200t สำหรับเหล็ก

กำไรรวมพันรูเบิล แสดงเป็น 4 NS 1 + 6NS 2 ซึ่งต้องขยายให้ใหญ่สุดและเป็นเกณฑ์ของความเหมาะสมในปัญหาที่พิจารณา ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้ จำเป็นต้องเพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด

หลี่ = 4x 1 + 6x 2 →สูงสุดภายใต้เงื่อนไข: 6 x 1 + 2x 2 ≤ 300; 2x 1 + 4x 2 ≤ 200; x 1 ≥ 0;x 2 ≥ 0.

พิจารณาสมการ 6 x 1 + 2x 2 = 300. ในการสร้างเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการนี้ เราพบจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงนี้ ที่ x 1= 0 จากสมการของเส้นตรงเราพบ 2 x 2 = 300 โดยที่ x 2 = 150 ดังนั้น จุด A ที่มีพิกัด (0,150) จะอยู่บนเส้นตรงที่ต้องการ ที่ x2= 0 เรามี 6 x 1= 300 โดยที่ x 1 = 50 และจุด NSโดยมีพิกัด (50,0) อยู่ในเส้นค้นหาด้วย ลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดนี้ AD(รูปที่ 3.1)

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 6 x 1 + 2x 2 ≤ 300 เป็นระนาบครึ่งที่ตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นตรงที่สร้างขึ้น 6 x 1 + 2x 2 = 300. เพื่อหาว่าด้านใดของเส้นตรงนี้จุดของระนาบที่ต้องการอยู่ เราแทน 6 x 1 + 2x 2 ≤ 300 พิกัดของจุดใดๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นเขต ตัวอย่างเช่น ที่มาคือ 0- (0,0) สำหรับเขา ความไม่เท่าเทียมกัน 6 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 0< 300. Это значит, что начало координат лежит в области допустимых значений, которая находится слева от прямой ADและในรูป 3.1 ถูกแรเงา

สมการ 2 x 1 + 4x2= 200 เราจะสร้างสองจุด ที่ x 1 = 0 4x 2 = 200 จากไหน x 2 = 50. แล้วประเด็น อีมีพิกัด (0.50) และอยู่ในแนวที่ขอ ที่ x2= 0, 2x 2 = 200 จุด กับอยู่ในบรรทัดที่กำหนดพร้อมพิกัด (100,0) การแทนพิกัดของจุดเป็นอสมการ กับ(0,0) เราได้ 2 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 0< 200. Значит, начало координат находится в области допустимых значений от прямой 2x 1+ 4x2= 200.

ระบบข้อจำกัดของงานกำหนดให้แผน ( x 1; x2) ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่ นั่นคือ การออกแบบที่ยอมรับได้คือคะแนน ( x 1; x2) ต้องอยู่ในครึ่งระนาบทั้งสี่พร้อมกัน ข้อกำหนดนี้เป็นไปตามข้อกำหนดเฉพาะจุดที่อยู่ภายในและบนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น OEKDซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้คือจุด โอ, อี, เค, ดี,ส่วนของเส้น OE, EK, KD, OD- ซี่โครงของเขา จุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยม OEKDเป็นแผนของปัญหาที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นจากจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นและสอดคล้องกับแผนผังพื้นฐานของปัญหา ซึ่งเป็นแผนผังที่ดีที่สุด (เหมาะสมที่สุด) ดังนั้น จะมีแผนพื้นฐานมากเท่ากับที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันที่เป็นไปได้

นอกจากนี้ยังสามารถรับการแทนค่าทางเรขาคณิตที่ชัดเจนสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หลี่ = 4x 1 + 6x2... มาแก้ไขค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์กัน เช่น หลี่= 120.equation 4 x 1 + 6x 2 = 120 กำหนดเส้นผ่านจุด วีพร้อมพิกัด (x 1 = 0; x 2 = 20) และจุด หลี่พร้อมพิกัด (( NS 1 = 30; NS 2 = 0). ส่วน BLอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม OEKD... ดังนั้นสำหรับทุกแผน (คะแนน) ของส่วนนี้ ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะเท่ากันและเท่ากับ 120 โดยการกำหนดค่าอื่น ๆ ให้กับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เราจะได้เส้นคู่ขนานซึ่งเรียกว่า เส้นระดับฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์

เคลื่อนตัวตรง หลี่ขนานกับตัวมันเองในทิศทางเดียวเราได้ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เพิ่มขึ้นและในทิศทางตรงกันข้าม - มันลดลง ในตัวอย่างนี้ การเคลื่อนที่ของเส้นตรง BLทางด้านขวาจะเป็นตัวกำหนดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่เรากำลังเพิ่มสูงสุด เราทำเช่นนี้ตราบเท่าที่ตรง BLจะมีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดกับรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้ OEKD... รูปที่. 3.1 ตามมาว่าจุดสุดท้ายที่ข้ามเส้นระดับฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะเป็นจุด ถึง... ซึ่งหมายความว่าจุด ถึงกำหนดแผนงานที่เหมาะสมที่สุด

ทิศทางจากน้อยไปมากตั้งฉากกับเส้นระดับเรียกว่า ทิศทางการเพิ่มขึ้นสูงสุดฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์และกำหนดการเติบโตสูงสุด ทิศทางนี้สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องวาดเส้นระดับ สำหรับสิ่งนี้มันเป็นสิ่งจำเป็นบนแกน x 1และ x2เพื่อเลื่อนเซกเมนต์ให้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จากนั้นเป็นพิกัดเพื่อสร้างเวกเตอร์ของการเพิ่มขึ้นสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า การไล่ระดับสีและแสดงโดยผู้สำเร็จการศึกษา ไล่ระดับสำหรับฟังก์ชัน หลี่ = 4x 1 + 6x 2จะมีเวกเตอร์ NS| 4; 6 | ... เพื่อความสะดวกในการก่อสร้าง เราจะเพิ่มพิกัด เช่น 10 เท่า เช่น n | 40; 60 | ... สร้างการไล่ระดับสีของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หลี่ซึ่งเราเชื่อมต่อจุดด้วยพิกัด (40; 60) กับจุดกำเนิด เส้นระดับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถูกพล็อตในแนวตั้งฉากกับทิศทางของการไล่ระดับสี

จึงไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ได้กำหนดขึ้นว่า ถึงกำหนดแผนที่ดีที่สุดของปัญหา ค่าของตัวแปรที่สอดคล้องกับพิกัดของจุดที่กำหนด ในการสร้างพิกัด จำเป็นต้องแก้ระบบสมการของเส้นตรงที่สร้างจุดยอดนี้:

6x 1 + 2x2= 300;

2x 1 + 4x2= 200.

มาทำให้สัมประสิทธิ์ที่ x 1 เท่ากันโดยคูณสมการที่สองด้วย 3 แล้วลบตัวแรกออกจากสมการที่สอง เราได้ 10 x2= 300,x 2 = 30. แทนค่า x 2 = 30 ในสมการใด ๆ เช่น ค่าแรก เราจะหาค่า NS 1:

6x 1+ 2NS · 30 = 300,

ที่ไหน6 x 1 = 300 - 60 = 240 ดังนั้น x 1 = 40.

ดังนั้น เพื่อให้ได้ผลกำไรสูงสุด องค์กรยานยนต์จำเป็นต้องเดินทางให้ครบ 40 ครั้งใน KamAZ-5320 และ 30 เที่ยวใน ZIL-4314 กำไรสูงสุดในกรณีนี้จะเป็น

หลี่ = 4x 1 + 6x2= 4 40 + 6 30 = 340,000 รูเบิล

จากตัวอย่างที่พิจารณาและการตีความทางเรขาคณิตของปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยตัวแปรสองตัว สามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

1) ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของสารละลายที่เป็นไปได้คือรูปหลายเหลี่ยม

2) รูปหลายเหลี่ยมแต่ละด้านสอดคล้องกับค่าของตัวแปรหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

3) จุดยอดแต่ละจุดของรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันที่เป็นไปได้สอดคล้องกับค่าของตัวแปรสองตัวเท่ากับศูนย์

4) เส้นตรงสอดคล้องกับแต่ละค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

5) ทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาสอดคล้องกับจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้รับค่าที่เหมาะสมที่สุดในขณะที่พิกัดของจุดยอดนี้เป็นตัวแปรที่เหมาะสมที่สุด

โดยทั่วไป ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพมีการตีความทางเรขาคณิตที่คล้ายกัน ชุดของแผนของปัญหาจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม จุดยอดที่สอดคล้องกับแผนอ้างอิง เมื่อแก้ปัญหา การเปลี่ยนจากจุดยอดด้านหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมไปเป็นอีกจุดหนึ่งโดยมีค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์มากจนกว่าจะได้ค่าที่เหมาะสมที่สุด โปรดทราบว่าประสิทธิภาพของวิธีการปรับให้เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าการค้นหาจุดยอด (การวนซ้ำ) จะดำเนินการในทิศทางของการเพิ่มขึ้นมากที่สุดในฟังก์ชันวัตถุประสงค์เท่านั้น ดังนั้นไม่ใช่ยอดทั้งหมดที่มีจำนวนมาก แต่จะพิจารณาเฉพาะจุดที่อยู่ใกล้สุดขีดเท่านั้น

เมื่อกำหนดคลาสของปัญหาการปรับให้เหมาะสมและเลือกวิธีการแก้ปัญหา จำเป็นต้องรู้ว่าชุดของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้นั้นนูนหรือไม่นูน เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น

ตามนิยาม เซตนี้เรียกว่า นูนถ้าจุดสองจุดใด ๆ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นของชุดนี้ ตัวอย่างของเซตนูน ได้แก่ ส่วน (รูปที่ 3.2, a) ระนาบในรูปของวงกลม ลูกบาศก์ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละด้าน ฯลฯ

ในรูป 3.2b แสดงชุดที่ไม่นูน ในชุดที่ไม่นูน สามารถระบุจุด AB อย่างน้อยสองจุดที่ไม่อยู่ในชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

3.3. วิธีซิมเพล็กซ์

วิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น วิธีการนี้ได้ชื่อมาจากคำว่า "ซิมเพล็กซ์" ซึ่งหมายถึงรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ง่ายที่สุด จำนวนจุดยอดที่มากกว่ามิติของช่องว่างเสมอ วิธีการแบบซิมเพล็กซ์ได้รับการพัฒนาในสหรัฐอเมริกาโดยนักคณิตศาสตร์ J. Danzig ในช่วงปลายทศวรรษ 1940

วิธีการแบบซิมเพล็กซ์รวมถึงการได้รับคำตอบพื้นฐานที่ไม่เป็นลบของระบบสมการเชิงเส้นตรงของประเภท (3.1) การลดขนาดที่ตามมา (การขยายสูงสุด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (3.3) และการค้นหาด้วยวิธีนี้ค่าที่เหมาะสมที่สุดของตัวแปรที่ต้องการ x 1, x 2 ... x น.

แนวคิดของวิธีการแบบซิมเพล็กซ์คือในกระบวนการคำนวณ กระบวนการหนึ่งผ่านตามลำดับจากโซลูชันพื้นฐานแรกไปยังวิธีที่สอง สาม ฯลฯ ตามลำดับ ผ่านสิ่งที่เรียกว่า ซิมเพล็กซ์การเปลี่ยนแปลง การแปลงจะดำเนินการในรูปแบบของตารางซิมเพล็กซ์ ซึ่งช่วยลดความยุ่งยากและเพิ่มความเร็วในการคำนวณอย่างมาก

เพื่อให้ได้คำตอบพื้นฐานที่ไม่เป็นลบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องดำเนินการกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบลักษณะในลักษณะที่เงื่อนไขอิสระของสมการยังคงไม่เป็นลบในทุกขั้นตอนของกระบวนการ ในกรณีนี้ กฎหนึ่งควรได้รับคำแนะนำ: ในฐานะตัวแปรฐานใหม่ ตัวแปรอิสระใดๆ จะถูกใช้ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์บวกอย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวแปรได้มาจากฐานที่สอดคล้องกับอัตราส่วนที่น้อยที่สุดของเงื่อนไขอิสระของสมการกับสัมประสิทธิ์บวกที่สอดคล้องกันของสมการสำหรับตัวแปรที่นำมาสู่พื้นฐาน การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า ตัวแปลงซิมเพล็กซ์.

สิ่งนี้สำคัญมาก เนื่องจากเพื่อค้นหาคำตอบที่ไม่เป็นลบโดยเฉพาะซึ่งสอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของตัวแปรอิสระตัวใดตัวหนึ่งที่ค่าศูนย์ของตัวแปรอิสระอื่น ๆ แทนที่จะกำหนดช่วงของการแปรผันของตัวแปรที่ระบุและการแทนที่ ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ในการแก้ปัญหาทั่วไป ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ตัวแปรนี้เป็นตัวแปรพื้นฐานและทำให้ระบบมีการแปลงแบบซิมเพล็กซ์ ส่งต่อไปยังพื้นฐานใหม่ ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก

การคำนวณทำได้อย่างสะดวกโดยใช้ตารางแบบซิมเพล็กซ์ การเปลี่ยนจากตารางหนึ่งไปยังอีกตารางหนึ่งสอดคล้องกับการวนซ้ำหนึ่งครั้ง กล่าวคือ การเปลี่ยนจากพื้นฐานหนึ่งไปสู่อีกตารางหนึ่ง ในขณะที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ลดลง สำหรับการวนซ้ำจำนวนหนึ่งจะไปถึงพื้นฐานซึ่งจะได้รับค่าที่เหมาะสมที่สุด (ต่ำสุดหรือสูงสุด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ลองพิจารณาวิธีการแบบซิมเพล็กซ์โดยทั่วไป

ปัญหาทั่วไปของโปรแกรมเชิงเส้นตรงคือการย่อให้เล็กสุด (สูงสุด) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ตัวแปรที่เชื่อมโยงถึงกันด้วยระบบสมการเชิงเส้น อยู่ภายใต้เงื่อนไขของการไม่ลบ

จำเป็นต้องย่อแบบฟอร์มเชิงเส้นให้น้อยที่สุด

หลี่ = กับ 1 x 1 + กับ 2 x 2 + ... กับ n x n.

ภายใต้เงื่อนไข (เพื่อความชัดเจน จะคงค่าศูนย์และค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งค่าในสมการไว้):

1x 1+ 0x 2 + ... 0x m + a 1m + 1x m + 1 ... + a 1n x n = b 1;

0x 1 + 1x 2 +… 0x m + a 2m + 1x m + 1 ... + a 2n x n = b 2;

……………………………………………

0x 1+ 0x 2 + ... 1x m + a mm + 1x m +1 ... + a mn x n = b m

ในระบบสมการนี้มีพื้นฐานสำเร็จรูปอยู่แล้ว เนื่องจากสมการข้อจำกัดแต่ละสมการมีค่าไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่ง ซึ่งไม่มีอยู่ในสมการอื่น กล่าวคือ จากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร NS 1 , NS 2 …, x มคุณสามารถเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์

มาแก้สมการของตัวแปรพื้นฐานกัน:

x 1 = b 1 - (a 1m + 1 x m + 1 ... + a 1n x n);

x 2 = b 2 - (a 2m + 1 x m + 1 ... + a 2n x n);

………………………………

x m = b m - (a mm + 1x m + 1 ... + a mn x n)

และเราแสดงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปของตัวแปรอิสระ แทนนิพจน์ในรูปของตัวแปรอิสระแทนตัวแปรพื้นฐาน:

L = c 1 b 1 + c 2 b 2 + cmbm - (c 1 a 1m + c 2 a 2m + 1 +… + cma mn + 1) x m + 1 -… - (c 1 a 1n + c 2 a 2n +… + cma mn) xn… + cnx n ..

ตัวแปร x 1, x 2 ..., x มด้วยความช่วยเหลือซึ่งพบแผนพื้นฐานแรกเป็นพื้นฐานและส่วนที่เหลือ x m +1, x m +2, ... x n -ฟรี. ควรมีตัวแปรพื้นฐานมากพอ ๆ กับสมการในระบบเสมอ ตามเงื่อนไข nonnegativity ค่าที่น้อยที่สุดของตัวแปรอิสระคือศูนย์ คำตอบพื้นฐานของระบบสมการที่ได้คือคำตอบเริ่มต้นที่ยอมรับได้คือ x 1 = b 1, x 2 = b 2, ... x m = b m, x m +1 = 0,…, X n = 0.

โซลูชันนี้สอดคล้องกับค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

หลี่ = s 1 b 1 + s 2 b 2 + ... s m b m.

โซลูชันเริ่มต้นได้รับการทดสอบเพื่อความเหมาะสม หากไม่เหมาะสม โดยการใส่ตัวแปรอิสระลงในฐาน จะพบวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ต่อไปนี้ที่มีค่าน้อยกว่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กำหนดตัวแปรอิสระที่ต้องป้อนลงในฐาน เช่นเดียวกับตัวแปรที่ต้องได้รับจากฐาน จากนั้นระบบหนึ่งจะย้ายจากระบบก่อนหน้าไปยังระบบที่เทียบเท่าถัดไป ทำได้โดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์ การแก้ปัญหาจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะได้ค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ตาราง Simplex ประกอบด้วยดังนี้ (ดูตาราง 3.1) ตัวแปรทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านบนของตาราง NS 1 , NS 2 …, x นและสัมประสิทธิ์ c jซึ่งรวมตัวแปรที่เกี่ยวข้องไว้ในฟังก์ชันเป้าหมาย คอลัมน์แรก ฉ ฉันประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับตัวแปรที่รวมอยู่ในฐาน ตามด้วยคอลัมน์ของตัวแปรพื้นฐานและเทอมสมการอิสระ องค์ประกอบของคอลัมน์ที่เหลือของตารางแสดงถึงสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่รวมคอลัมน์หลังไว้ในระบบสมการ ดังนั้น แต่ละแถวของตารางจึงสอดคล้องกับสมการของระบบ ซึ่งแก้ไขตามตัวแปรพื้นฐาน ตารางยังแสดงแผนตัวแปรที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับพื้นฐานที่กำหนด

แถวล่างสุดของตารางเรียกว่า ดัชนี... แต่ละองค์ประกอบ (ประมาณการ) ∆ NSกำหนด

∆เจ = z j - c j,

ที่ไหน c j- ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้องในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ซี เจ -ผลรวมของผลิตภัณฑ์สัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับตัวแปรพื้นฐานโดยตัวแปรที่เกี่ยวข้อง - องค์ประกอบ NS-คอลัมน์Th ของตาราง

ตาราง 3.1

ตาราง Simplex ที่มีค่าเริ่มต้น valid

ในทางปฏิบัติ ข้อจำกัดในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมักไม่ได้ระบุด้วยสมการ แต่ระบุโดยอสมการ

ให้เราแสดงให้เห็นว่าเราจะเปลี่ยนจากปัญหาข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันไปเป็นปัญหาหลักของการโปรแกรมเชิงเส้นได้อย่างไร

ปล่อยให้มีปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรงกับตัวแปร ซึ่งข้อจำกัดที่กำหนดให้กับตัวแปรอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในบางส่วน เครื่องหมายอสมการอาจอยู่ในส่วนอื่นๆ (ประเภทที่สองจะลดลงเป็นอันแรกโดยการกลับรายการอย่างง่ายของเครื่องหมายของทั้งสองส่วน) ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดในรูปแบบมาตรฐาน:

จำเป็นต้องค้นหาชุดของค่าที่ไม่เป็นลบที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (4.1) และยิ่งไปกว่านั้น จะลดฟังก์ชันเชิงเส้นให้น้อยที่สุด:

มันง่ายที่จะส่งต่อจากงานที่ตั้งค่าด้วยวิธีนี้ไปยังงานหลักของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น อันที่จริง ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

ตัวแปรใหม่อยู่ที่ไหนที่เราจะเรียกว่า "เพิ่มเติม" ตามเงื่อนไข (4.1) ตัวแปรเพิ่มเติมเหล่านี้และไม่ควรเป็นค่าลบ

ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในสูตรต่อไปนี้: ค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรเพื่อให้เป็นไปตามระบบสมการ (4.3) และลดฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรเหล่านี้ให้เหลือน้อยที่สุดพร้อมกัน:

อย่างที่คุณเห็น เรามีหน้าที่หลักของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) ในรูปแบบบริสุทธิ์ สมการ (4.3) อยู่ในรูปแบบที่อนุญาตแล้วสำหรับตัวแปรพื้นฐานที่แสดงในรูปของตัวแปรอิสระ จำนวนตัวแปรทั้งหมดเท่ากัน ซึ่ง "เริ่มต้น" และ "เพิ่มเติม" ฟังก์ชัน L แสดงในรูปของตัวแปร "เริ่มต้น" เท่านั้น (ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร "เพิ่มเติม" ในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์)

ดังนั้นเราจึงได้ลดปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นปัญหาหลักของโปรแกรมเชิงเส้นตรง แต่ด้วยตัวแปรจำนวนมากกว่าเดิมในปัญหา

ตัวอย่างที่ 1 มีปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน: ค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่ตรงตามเงื่อนไข

และการลดฟังก์ชันเชิงเส้นให้น้อยที่สุด

จำเป็นต้องนำงานนี้ไปอยู่ในรูปของ OZLP

สารละลาย. เราลดความไม่เท่าเทียมกัน (4.4) ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

เราแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม:

งานจะลดลงเพื่อค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร

สมการที่น่าพอใจ (4.6) และการลดฟังก์ชันเชิงเส้น (4.5)

เราได้แสดงให้เห็นว่าเราสามารถเปลี่ยนจากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันไปเป็นปัญหาที่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน (LPPP) ได้อย่างไร การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับเป็นไปได้เสมอ - จาก LPP ไปจนถึงปัญหาที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน หากในกรณีแรกเราเพิ่มจำนวนตัวแปร ในกรณีที่สองเราจะลดจำนวนลง กำจัดตัวแปรพื้นฐานและปล่อยให้ตัวแปรว่างเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 2 มีปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน (LPPP):

และฟังก์ชั่นที่จะย่อให้เล็กสุด

จำเป็นต้องเขียนลงไปว่าเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน

สารละลาย. ตั้งแต่นั้นมาเราจะเลือกตัวแปรบางตัวสองตัวเป็นฟรี โปรดทราบว่าไม่สามารถเลือกตัวแปรเป็นตัวแปรอิสระได้ เนื่องจากพวกมันสัมพันธ์กันโดยสมการแรก (4-7): ค่าของตัวแปรหนึ่งจะถูกกำหนดโดยค่าของอีกตัวหนึ่งโดยสมบูรณ์ และตัวแปรอิสระจะต้องเป็นอิสระ

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกตัวแปรให้เป็นอิสระ (พวกมันเชื่อมต่อกันด้วยสมการที่สอง) ให้เลือกเป็นตัวแปรอิสระและแสดงค่าอื่นๆ ทั้งหมดผ่านตัวแปรเหล่านี้:

เนื่องจากเงื่อนไข (4 9) สามารถแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันได้:

ให้เราส่งต่อนิพจน์ของฟังก์ชันเชิงเส้น L ไปยังตัวแปรอิสระแทนค่านิพจน์ (4.9) เราได้รับ.

แนวคิดการสร้างแบบจำลองพื้นฐาน

ในกระบวนการของกิจกรรมของมนุษย์ แนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติบางอย่างของวัตถุจริงและการโต้ตอบของวัตถุนั้นได้รับการพัฒนา การแสดงแทนเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยบุคคลในรูปแบบของคำอธิบายของวัตถุที่ใช้ภาษาคำอธิบาย อาจเป็นคำอธิบายด้วยวาจา (แบบจำลองทางวาจา) การวาด การวาด กราฟ เลย์เอาต์ ฯลฯ ทั้งหมดข้างต้นสรุปด้วยแนวคิดเดียว แบบอย่าง,และขั้นตอนการสร้างแบบจำลองคือ การสร้างแบบจำลอง

การสร้างแบบจำลองเป็นวิธีสากลในการศึกษากระบวนการและปรากฏการณ์ของโลกแห่งความเป็นจริง การสร้างแบบจำลองมีความสำคัญเป็นพิเศษในการศึกษาวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงการสังเกตและการวิจัยโดยตรง ซึ่งรวมถึงปรากฏการณ์และกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมโดยเฉพาะ

การศึกษาวัตถุใด ๆ การเคลื่อนไหวรูปแบบใด ๆ คือการเปิดเผยไม่เพียง แต่กฎหมายเชิงคุณภาพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎหมายเชิงปริมาณที่ศึกษาโดยคณิตศาสตร์ด้วย ที่กล่าวมาใช้กับเศรษฐกิจอย่างเต็มที่

เศรษฐกิจ- นี่คือระบบการผลิตเพื่อสังคมที่ดำเนินการผลิต แจกจ่าย แลกเปลี่ยน และบริโภคสินค้าวัสดุที่จำเป็นต่อสังคมอย่างแท้จริง

ตามลำดับ แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมทางเศรษฐกิจที่แสดงในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ โครงสร้างเชิงตรรกะซึ่งกำหนดโดยคุณสมบัติวัตถุประสงค์ของหัวข้อของคำอธิบายและโดยปัจจัยเป้าหมายส่วนตัวของการศึกษาที่กำลังดำเนินการคำอธิบายนี้

ปัญหาทางเศรษฐกิจและคณิตศาสตร์ในการเกษตรได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ ในหมู่พวกเขา การพัฒนามากที่สุดคือวิธีการโปรแกรมเชิงเส้น (LP) วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจและคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เงื่อนไขทั้งหมดแสดงเป็นระบบของสมการเชิงเส้นและอสมการ และเกณฑ์ความเหมาะสมจะแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มุ่งไปที่ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ระบบของข้อจำกัด และเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบสำหรับตัวแปร

ให้ฟังก์ชันได้รับ NSตัวแปร จำเป็นต้องหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันนี้ โดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ มากมาย NSเรียกว่าเซตของการตัดสินใจที่เป็นไปได้ และฟังก์ชันคือฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือฟังก์ชันวัตถุประสงค์ วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ซึ่งฟังก์ชันใช้ค่าสูงสุด (หรือน้อยที่สุด) เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

ถ้าฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นเส้นตรงและเซต NSระบุโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นและอสมการ จากนั้นปัญหาจะเรียกว่าปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นตรง (LPP) ดังนั้น ข้อความทั่วไปของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจึงเป็นดังนี้:

หาปลายสุดของฟังก์ชัน

มีข้อจำกัด

ภายใต้สภาวะที่ไม่เป็นลบ

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

หุ้น ผม-ประเภทของทรัพยากร;

ค่าใช้จ่าย ผม-ประเภทของทรัพยากรสำหรับการผลิต NS-ประเภทสินค้า;

กำไรต่อหน่วย NS-ประเภทสินค้า.

ในรูปแบบย่อ ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีรูปแบบดังนี้

สัญกรณ์ขนาดกะทัดรัดแสดงให้เห็นว่าโมเดลปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไปประกอบด้วยองค์ประกอบหลักห้าประการ:

ตัวแปร ค่าที่พบในกระบวนการแก้ปัญหา

ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐศาสตร์สำหรับตัวแปรในข้อจำกัด

ปริมาตรของอสมการด้านขวามือ ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่ของปัญหา

ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ซึ่งเรียกว่าการประมาณค่าตัวแปร

ดัชนีตัวแปร

ดัชนีข้อจำกัด

ฟังก์ชั่นเป้าหมาย(ฟังก์ชันเป้าหมาย) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่คุณต้องการหาค่าสุดขั้ว นั่นคือค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

ตัวแปร x jหมายถึงประเภทและวิธีการของกิจกรรมดังกล่าวซึ่งไม่ทราบขนาดและจะต้องกำหนดในการแก้ปัญหา โดยปกติ ในปัญหาทางการเกษตร ตัวแปรหมายถึงขนาดที่ต้องการของสาขาเศรษฐกิจ ประเภทของอาหารในอาหาร ยี่ห้อของรถแทรกเตอร์และเครื่องจักรการเกษตร ฯลฯ ตามเงื่อนไขเฉพาะ พืชผลหรือปศุสัตว์ชนิดเดียวกันสามารถแสดงได้ด้วยตัวแปรหลายตัว ตัวอย่างเช่นเมล็ดพืชและอาหารเม็ด; ข้าวโพดสำหรับเมล็ดพืช, หญ้าหมัก, อาหารสัตว์สีเขียว; หญ้ายืนต้นสำหรับหญ้าแห้ง หญ้าแห้ง อาหารสัตว์สีเขียว หญ้าป่นและเมล็ดพืช ฯลฯ

ตัวแปรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามอำเภอใจภายใต้เงื่อนไขของปัญหาที่พิจารณา ตัวแปร , ซึ่งสัมประสิทธิ์จากคอลัมน์หน่วยเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน.รูปแบบตัวแปรพื้นฐาน พื้นฐานหน่วยระบบต่างๆ ตัวแปรที่ไม่รวมอยู่ในหน่วยพื้นฐานเรียกว่า ฟรี.

จำนวนตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในงานจะขึ้นอยู่กับลักษณะของงาน เงื่อนไขการผลิตเฉพาะ ความสามารถในการรวบรวมข้อมูล ฯลฯ

ตัวแปรสามารถแสดงได้หลากหลายหน่วยวัด: ha, q, kg, pcs., Heads เป็นต้น โดยธรรมชาติแล้ว ตัวแปรจะถูกแบ่งออกเป็นตัวแปรหลัก เพิ่มเติม และรอง ตัวแปรหลัก ได้แก่ กิจกรรมที่แสวงหา: อุตสาหกรรม ประเภทของอาหารสัตว์ แบรนด์รถยนต์ ตัวแปรเพิ่มเติมเรียกว่าตัวแปรที่เกิดขึ้นในกระบวนการเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเป็นสมการ อาจหมายถึงทรัพยากรที่ใช้ประโยชน์น้อยเกินไป มากเกินไป ด้านขวาความไม่เท่าเทียมกัน (หากเป็นความไม่เท่าเทียมกันของประเภท "ไม่มาก") ตัวแปรเสริมรวมอยู่ในงานเพื่อกำหนดค่าโดยประมาณของทรัพยากรการผลิตที่ได้มาค่าประมาณของตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจของการผลิต

ตัวแปรเพิ่มเติมและตัวแปรเสริมมีค่าสัมประสิทธิ์หน่วยเสมอ (+1 หรือ –1)

ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐกิจ (a ij)ด้วยตัวแปรในระบบข้อ จำกัด จะแสดงอัตราของทรัพยากรการผลิตหรืออัตราผลผลิตต่อหน่วยการวัดของตัวแปร

ในทั้งสองกรณี จำเป็นที่สัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและเศรษฐกิจจะต้องสอดคล้องกับระยะเวลาการวางแผนที่ปัญหากำลังได้รับการแก้ไขทุกประการ ตัวอย่างเช่น หากปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ของการผลิตในช่วงที่ผ่านมา ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกคำนวณตามข้อมูลที่รายงาน หากมีการตัดสินใจในอนาคต ก็ควรคำนวณสัมประสิทธิ์สำหรับเปอร์สเปคทีฟนี้

อัตราการใช้ทรัพยากรมักถูกกำหนดโดยหนังสืออ้างอิง โดยจะต้องปรับให้เข้ากับเงื่อนไขเฉพาะที่เกี่ยวข้อง อัตราส่วนผลผลิตคำนวณจากผลผลิตพืชผลตามแผนและผลผลิตสัตว์

ในกรณีที่จำเป็นต้องจัดให้มีความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าระหว่างตัวแปร ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคนิคและทางเศรษฐศาสตร์จะแทนค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน ตัวอย่างเช่น ส่วนแบ่งของพืชในการหมุนครอบตัดหรือส่วนแบ่งของฟีดในกลุ่มฟีดทั้งหมด เป็นต้น

ด้านขวาของข้อจำกัด (b i)เรียกว่าค่าคงที่ กล่าวคือ ค่าคงที่ ซึ่งรวมถึงปริมาณทรัพยากรการผลิต - ที่ดิน แรงงาน เครื่องจักร ปุ๋ย เงินลงทุน ฯลฯ ทรัพยากรการผลิตควรได้รับการพิจารณาโดยคำนึงถึงสภาพจริงและจำเป็นต้องคำนึงถึงระยะเวลาการวางแผนด้วย นอกจากนี้ ทรัพยากรการผลิตเหล่านั้นซึ่งมีการใช้งานไม่สม่ำเสมอตลอดทั้งปี ไม่เพียงแต่คำนวณสำหรับทั้งปีเท่านั้น แต่ยังคำนวณสำหรับช่วงเวลาหรือเดือนที่เข้มข้น (ทรัพยากรแรงงาน) ด้วย

ทรัพยากรการผลิตถูกกำหนดในหน่วยต่าง ๆ: ที่ดิน - ในเฮกตาร์ ทรัพยากรแรงงาน - ใน man-day หรือใน man-hour อุปกรณ์ - ในจำนวนกะเครื่องจักร กะ หรือผลผลิตรายวัน ฯลฯ

ดังนั้น การพิจารณาความพร้อมใช้งานของทรัพยากรการผลิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย จำเป็นต้องวิเคราะห์กิจกรรมการผลิตของเศรษฐกิจ การใช้แรงงาน ที่ดิน ทรัพยากรทางเทคนิคและทรัพยากรอื่นๆ อย่างรอบคอบ และหลังจากนั้นรวมปริมาณในข้อจำกัด

ด้านขวาของข้อจำกัดไม่เพียงแต่สะท้อนถึงปริมาณของทรัพยากร แต่ยังรวมถึงปริมาณการผลิตที่ระดับบนหรือล่างด้วย ระดับที่ต่ำกว่าจะแสดงในกรณีที่ทราบปริมาณการผลิตล่วงหน้า น้อยกว่าที่ฟาร์มไม่ควรผลิต และระดับบนสุดไม่อนุญาตให้ผลิตผลิตภัณฑ์เกินปริมาณที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องมีข้อจำกัดเหล่านี้เสมอไป อย่างไรก็ตาม แทบไม่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของการรวมกันของอุตสาหกรรมที่ไม่ได้ทำโดยไม่มีข้อจำกัดที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ มิฉะนั้น โซลูชันด้านเดียวจะปรากฎออกมา เนื่องจากประสิทธิภาพของอุตสาหกรรมไม่เหมือนกัน

ในข้อจำกัดอื่นๆ ทั้งหมด ศูนย์จะถูกใส่ไว้ทางด้านขวา เนื่องจากเป็นการกำหนดเงื่อนไขสำหรับการผลิตและการใช้ผลิตภัณฑ์ หรือสะท้อนข้อจำกัดในการสื่อสารตามสัดส่วน

ข้อจำกัดเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ผูกตัวแปรในรูปของความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน แบบฟอร์มข้อจำกัดทั้งหมด ระบบข้อจำกัดงาน ระบบข้อ จำกัด ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์กำหนดเงื่อนไขของปัญหา ความสมบูรณ์ของการสะท้อนเงื่อนไขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของข้อจำกัด ดังนั้นเมื่อกำหนดจำนวนข้อ จำกัด ต้องคำนึงถึงสองสถานการณ์:

สะท้อนในงานเท่านั้นเงื่อนไขเหล่านั้นที่จำกัดความเป็นไปได้ของการผลิตจริงๆ

v ข้อจำกัดมากเกินไปทำให้ขนาดของปัญหาใหญ่ขึ้นและทำให้ยากต่อการแก้ไข

ข้อจำกัดมีสามประเภท: ความเท่าเทียมกัน (=) ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทน้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) ตัวอย่างเช่น,

ที่ไหน ผม = 1, 2, … , NS... ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรแสดงแทน อิจที่ดัชนี ผม- หมายเลขข้อ จำกัด ดัชนี NS- หมายเลขตัวแปรสมาชิกอิสระ (ด้านขวาของข้อ จำกัด ) แสดงอยู่ ข ฉัน, ดัชนี ผม- จำนวนจำกัด

ข้อจำกัดประเภทแรกเรียกว่าข้อจำกัดบน เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการต้องไม่สูงกว่าค่าที่กำหนด (ค่าคงที่) ข้อจำกัดประเภทที่สามเรียกว่าข้อจำกัดจากด้านล่าง เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการต้องไม่ต่ำกว่าค่าที่แน่นอน (ค่าคงที่)

ในแง่ของความหมาย ข้อจำกัดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นหลัก เพิ่มเติม และเสริม

ข้อจำกัดหลักคือ -สิ่งเหล่านี้คือตัวแปรที่ทับซ้อนกับตัวแปรงานทั้งหมดหรือส่วนใหญ่ ตามกฎแล้วด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเงื่อนไขพื้นฐานของปัญหาจะสะท้อนออกมา - ในแง่ของที่ดิน, แรงงาน, อาหารสัตว์, สารอาหาร, เทคโนโลยี ฯลฯ

ข้อจำกัดเพิ่มเติมถูกซ้อนทับในส่วนของตัวแปรหรือตัวแปรเดียว ข้อจำกัดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องจำกัดขนาดของตัวแปรแต่ละตัวจากด้านบนหรือด้านล่าง ตัวอย่างเช่น โดยคำนึงถึงข้อกำหนดในการหมุนเวียนพืชผล หรือคำนึงถึงขีดจำกัดทางสรีรวิทยาของความอิ่มตัวของอาหารด้วยอาหารแต่ละชนิดหรือแบบกลุ่ม ดังนั้น ข้อจำกัดเพิ่มเติมสะท้อนถึงเงื่อนไขเพิ่มเติมต่างๆ ที่เกิดขึ้นระหว่างการจำลอง แต่ข้อจำกัดเพิ่มเติมแต่ละข้อจะทำให้ขอบเขตของเสรีภาพในการเลือกแคบลง ดังนั้นควรแนะนำพวกเขาเข้าสู่งานอย่างระมัดระวังภายในขอบเขตที่สมเหตุสมผลและเมื่อจำเป็น

ข้อ จำกัด เสริมตามกฎแล้วพวกเขาไม่มีความหมายอิสระและนำไปสู่ปัญหาเพื่อสร้างเงื่อนไขส่วนบุคคลให้เป็นทางการ ซึ่งรวมถึงข้อจำกัดที่สร้างความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างตัวแปรแต่ละตัวหรือกลุ่มของตัวแปร

การประมาณค่าตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ด้วย NS) คือสัมประสิทธิ์ที่แสดงจำนวนรายได้รวมหรือต้นทุนต่อหน่วยวัดของตัวแปร ตามกฎแล้วการประมาณค่าตัวแปรแสดงถึงเกณฑ์ที่เหมาะสมที่สุดที่ยอมรับได้ นำเสนอได้ทั้งในรูปแบบและเงินสด เช่น ต้นทุนต่อหน่วย (ต้นทุนการผลิต)

เงื่อนไขสำหรับ nonnegativity ของตัวแปรเขียนอยู่ในรูป

x j≥ 0, เจ = 1, 2, ..., NS.

ในชีวิตจริงของการผลิต ตามเงื่อนไขของงาน รายการของตัวแปรและข้อจำกัดถูกรวบรวมจากบันทึกนี้ของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เชิงโครงสร้าง (EMM) ข้อมูลเบื้องต้นถูกจัดเตรียม การสร้างปัญหา EMM โดยละเอียดซึ่งก็คือ จากนั้นเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ (ตาราง) เข้าสู่คอมพิวเตอร์และตามโปรแกรมที่เกี่ยวข้องจะทำการคำนวณและวิเคราะห์ผลลัพธ์ i = 1, ..., NS, (1.5)

NS = 1, …, NS. (1.6)

เวกเตอร์ NS = (NS 1 , NS 2 , …, NS n) ส่วนประกอบ x jซึ่งเป็นไปตามข้อจำกัด (1.2) และ (1.3) [หรือ (1.5) และ (1.6) ในปัญหาขั้นต่ำ] เรียกว่า ทางออกที่ยอมรับได้หรือ แผนการที่ยอมรับได้งาน LP การรวบรวมแผนที่ถูกต้องทั้งหมดเรียกว่า แผนที่ถูกต้องมากมาย

บัญญัติรูปแบบของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีลักษณะโดยข้อเท็จจริงที่ว่ามันประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ข้อ จำกัด ทั้งหมด ความเท่าเทียมกันตัวแปรทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสามารถลดลงเป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบบัญญัติได้ ในการทำเช่นนี้ ในกรณีทั่วไป คุณต้องสามารถลดปัญหาของการขยายใหญ่สุดให้เป็นปัญหาของการย่อให้เล็กสุดได้ เปลี่ยนจากข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมเป็นข้อจำกัดความเท่าเทียมกันและแทนที่ตัวแปรที่ไม่เชื่อฟังเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ

กฎสำหรับการลดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติเป็นดังนี้:

1) หากจำเป็นต้องกำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นในปัญหาเดิม คุณควรเปลี่ยนเครื่องหมายและมองหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้

2) ถ้าด้านขวาของข้อจำกัดเป็นลบ ข้อจำกัดนี้ควรคูณด้วย - 1

3) หากในข้อจำกัดมีความไม่เท่าเทียมกัน โดยการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมของตัวแปรที่ไม่เป็นลบ พวกมันจะถูกแปลงเป็นความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ตัวแปรเพิ่มเติม S jในข้อจำกัดของประเภทที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ (£) ให้ป้อนด้วยเครื่องหมายบวก:

ตัวแปรเพิ่มเติม S jในข้อจำกัดประเภทที่มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) ให้ป้อนด้วยเครื่องหมายลบ:

เพื่อขจัดความเป็นลบของตัวแปรเพิ่มเติม - S jแนะนำตัวแปรเทียมด้วยเครื่องหมายบวก + เอ็ม เจที่มีค่ามาก