รูปภาพตามการเปลี่ยนแปลงของ Laplacian ดั้งเดิม การแปลง Laplace เป็นคำจำกัดความหลักของคุณสมบัติของสูตร Duhamel ไดเร็ค ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์ม
แก้สมการเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์เราจะใช้การแปลงลาปลาซ
ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์มเรียกว่าอัตราส่วน
ฟังก์ชั่นการตั้งค่า x(ท)ตัวแปรที่แท้จริง tฟังก์ชั่นในสาย X(s)ตัวแปรที่ซับซ้อน s (s = σ+ jω).โดยที่ x(ท)เรียกว่า ต้นฉบับ X(s)- ภาพหรือ ภาพตาม Laplaceและ ส- ตัวแปรการแปลงลาปลาซต้นฉบับระบุด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก และรูปภาพระบุด้วยอักษรตัวใหญ่ที่มีชื่อเดียวกัน
สันนิษฐานว่าฟังก์ชัน x(t) ภายใต้การแปลงลาปลาซมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ฟังก์ชั่น x(ท)ถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทีละส่วนในช่วงเวลา โดยที่< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8 การบรรยายที่ 7 หน้าที่ของผู้ปฏิบัติงานของวงจร ฟังก์ชันอินพุตและการถ่ายโอนของผู้ดำเนินการ ขั้วและศูนย์ของฟังก์ชันของวงจร 3 บทสรุป ฟังก์ชันอินพุตและการถ่ายโอนของตัวดำเนินการ ฟังก์ชันตัวดำเนินการของวงจรคือความสัมพันธ์
68 การบรรยาย 7 กระบวนการชั่วคราวในวงจรลำดับแรก แผน 1 กระบวนการชั่วคราวในวงจร RC ของลำดับที่หนึ่ง 2 กระบวนการชั่วคราวในวงจร R ของลำดับแรก 3 ตัวอย่างการคำนวณกระบวนการชั่วคราวในวงจร
4 วงจรไฟฟ้าเชิงเส้นของกระแสไฟ AC ไซนูซอยด์และวิธีการคำนวณ 4.1 เครื่องจักรไฟฟ้า หลักการสร้างกระแสไซนัสอยด์ 4.1.012 กระแสไซนัสเรียกว่าทันที
หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "มหาวิทยาลัย KUBAN STATE" คณะฟิสิกส์และเทคโนโลยี ภาควิชาออปโตอิเล็กทรอนิกส์
~ ~ FCF อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน FCF ของเงื่อนไข Cauchy-Riemann แนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอของ FCF การพรรณนาและรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบของ FCF: โดยที่ฟังก์ชันที่แท้จริงของตัวแปรสองตัวนั้นเป็นของจริง
ส่วนที่ 2 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
อ.ยุ.อโนกินา
ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาและรูปแบบของทฤษฎีการทำงานของตัวแปรที่ซับซ้อน (TFV) ในเรื่อง
หนึ่งในหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนคือหลักสูตร TFKT ความซับซ้อนของรายวิชานี้เกิดจาก ประการแรก เนื่องจากความหลากหลายของความสัมพันธ์ระหว่างวิชากับสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ ซึ่งแสดงออกมาในอดีตในแนวประยุกต์กว้างๆ ของวิทยาศาสตร์ของ TFKT
ในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ มีข้อมูลที่กระจัดกระจายเกี่ยวกับประวัติของการพัฒนา TFCT พวกเขาต้องการการจัดระบบและลักษณะทั่วไป
ในเรื่องนี้ งานหลักของบทความนี้คือคำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับการพัฒนา TFCT และการก่อตัวของทฤษฎีนี้เป็นหัวข้อทางการศึกษา
จากผลการศึกษา ได้ระบุสามขั้นตอนต่อไปนี้ในการพัฒนา TFCT เป็นวิชาวิทยาศาสตร์และวิชาการ:
ระยะการเกิดขึ้นและการรับรู้ของจำนวนเชิงซ้อน
ขั้นตอนของการสะสมของวัสดุจริงเกี่ยวกับฟังก์ชันของปริมาณจินตภาพ
ขั้นตอนของการก่อตัวของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ขั้นตอนแรกในการพัฒนา TFKP (กลางศตวรรษที่ 16 - ศตวรรษที่ 18) เริ่มต้นด้วยงานของ G. Cardano (1545) ผู้ตีพิมพ์ Artis magnae sive de regulis algebraitis (Great Art หรือตามกฎเกี่ยวกับพีชคณิต) งานของ G. Cardano มีภารกิจหลักในการพิสูจน์วิธีพีชคณิตทั่วไปสำหรับการแก้สมการขององศาที่สามและสี่ซึ่งเพิ่งค้นพบโดย Ferro (1465-1526), Tartaglia (1506-1559) และ Ferrari (1522-1565) ). ถ้าสมการกำลังสามลดลงเป็นรูป
x3 + พิกเซล + q = 0,
และควรจะ
เมื่อ (p^Ap V (|- 70) สมการมีรากจริงสามราก และรากจริงสองราก
มีค่าเท่ากัน ถ้าสมการมีหนึ่งจริงและสอง co-
ปั่นรากที่ซับซ้อน ตัวเลขที่ซับซ้อนปรากฏในผลลัพธ์สุดท้าย ดังนั้น G. Cardano สามารถทำได้เหมือนที่ทำก่อนหน้าเขา: ประกาศสมการเป็น have
หนึ่งราก เมื่อไหร่ (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так
กรณีที่เรียกว่าลดหย่อนไม่ได้นั้นมีลักษณะเฉพาะที่ไม่พบจนกระทั่งศตวรรษที่ 16 สมการ x3 - 21x + 20 = 0 มีรากจริงสามราก 1, 4, - 5 ซึ่งง่าย
ตรวจสอบด้วยการทดแทนอย่างง่าย แต่ ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; ดังนั้นตามสูตรทั่วไป x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . ซับซ้อน กล่าวคือ "เท็จ" ตัวเลขไม่ใช่ผลลัพธ์ที่นี่ แต่เป็นเทอมกลางในการคำนวณที่นำไปสู่รากที่แท้จริงของสมการที่เป็นปัญหา G. Cardano ประสบปัญหาและตระหนักว่าเพื่อรักษาความเป็นทั่วไปของสูตรนี้ จำเป็นต้องละทิ้งการเพิกเฉยต่อจำนวนเชิงซ้อนโดยสมบูรณ์ J. d'Alembert (1717-1783) เชื่อว่าเป็นกรณีนี้ที่ทำให้ G. Cardano และนักคณิตศาสตร์ที่ติดตามแนวคิดนี้สนใจเรื่องจำนวนเชิงซ้อนอย่างจริงจัง
ในขั้นตอนนี้ (ในศตวรรษที่ 17) ทั้งสองมุมมองเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป มุมมองแรกแสดงโดย Girard ซึ่งยกประเด็นเรื่องการตระหนักถึงความจำเป็นในการใช้จำนวนเชิงซ้อนอย่างไม่จำกัด ที่สอง - เดส์การตส์ผู้ปฏิเสธความเป็นไปได้ในการตีความตัวเลขที่ซับซ้อน ตรงกันข้ามกับความคิดเห็นของ Descartes คือมุมมองของ J. Wallis - Descartes เพิกเฉยต่อการมีอยู่ของการตีความตัวเลขที่ซับซ้อนอย่างแท้จริง ตัวเลขเชิงซ้อนเริ่มถูก "บังคับ" เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาประยุกต์ในสถานการณ์ที่การใช้จำนวนจริงทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ซับซ้อน หรือไม่สามารถหาผลลัพธ์ได้ในทางทฤษฎี แต่มีการปฏิบัติจริง
การใช้ตัวเลขเชิงซ้อนโดยสัญชาตญาณนำไปสู่ความจำเป็นในการรักษากฎหมายและกฎของเลขคณิตของจำนวนจริงในชุดของจำนวนเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการพยายามถ่ายโอนโดยตรง ซึ่งบางครั้งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด ในเรื่องนี้ คำถามเกี่ยวกับการให้เหตุผลของจำนวนเชิงซ้อนและการสร้างอัลกอริธึมสำหรับเลขคณิตได้กลายเป็นประเด็นเฉพาะ นี่เป็นจุดเริ่มต้นของขั้นตอนใหม่ในการพัฒนา TFCT
ขั้นตอนที่สองในการพัฒนา TFKP (ต้นศตวรรษที่ 18 - ศตวรรษที่ 19) ในศตวรรษที่สิบแปด แอล. ออยเลอร์แสดงแนวคิดเกี่ยวกับการปิดช่องจำนวนเชิงซ้อนเกี่ยวกับพีชคณิต การปิดพีชคณิตของฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน C ทำให้นักคณิตศาสตร์ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:
ว่าการศึกษาฟังก์ชันและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปจะได้รับความครบถ้วนสมบูรณ์ที่เหมาะสมเมื่อพิจารณาถึงพฤติกรรมของฟังก์ชันในโดเมนที่ซับซ้อนเท่านั้น
จำเป็นต้องพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวแปร
ในปี ค.ศ. 1748 L. Euler (1707-1783) ในงานของเขา "Introduction to the analysis of infinitesimals" ได้แนะนำตัวแปรที่ซับซ้อนเป็นแนวคิดทั่วไปที่สุดของตัวแปรโดยใช้จำนวนเชิงซ้อนเมื่อสลายฟังก์ชันเป็นปัจจัยเชิงเส้น L. ออยเลอร์ถือว่าเป็นหนึ่งในผู้สร้าง TFCT อย่างถูกต้อง ในงานของ L. Euler ได้ทำการศึกษาฟังก์ชันพื้นฐานของตัวแปรเชิงซ้อนอย่างละเอียด (1740-1749) เงื่อนไขสำหรับความแตกต่าง (1755) และจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (1777) L. Euler ได้แนะนำการทำแผนที่แบบสอดคล้อง (1777) ในทางปฏิบัติ เขาเรียกแผนที่เหล่านี้ว่า "คล้ายคลึงกันเล็กน้อย" และคำว่า "สอดคล้อง" ถูกใช้ครั้งแรก โดยเห็นได้ชัดว่านักวิชาการเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก F. Schubert (1789) L. ออยเลอร์ยังได้ประยุกต์ใช้ฟังก์ชันต่างๆ ของตัวแปรที่ซับซ้อนกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ และวางรากฐานสำหรับการประยุกต์ใช้ในอุทกพลศาสตร์ (17551757) และการทำแผนที่ (1777) เค เกาส์กำหนดนิยามของอินทิกรัลในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งเป็นทฤษฎีบทอินทิกรัลเกี่ยวกับการขยายตัวของฟังก์ชันการวิเคราะห์ไปเป็นอนุกรมกำลัง Laplace ใช้ตัวแปรที่ซับซ้อนในการคำนวณอินทิกรัลที่ยาก และพัฒนาวิธีการแก้สมการเชิงเส้น ความแตกต่าง และอนุพันธ์ที่เรียกว่าการแปลงลาปลาซ
เริ่มตั้งแต่ปี ค.ศ. 1799 เอกสารจะปรากฏขึ้นซึ่งมีการตีความจำนวนเชิงซ้อนที่สะดวกไม่มากก็น้อยและกำหนดการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ การตีความเชิงทฤษฎีทั่วไปและการตีความทางเรขาคณิตอย่างเป็นธรรมเผยแพร่โดย K. Gauss ในปี 1831 เท่านั้น
แอล. ออยเลอร์และคนในสมัยของเขาทิ้งมรดกอันล้ำค่าไว้ให้ลูกหลานในรูปแบบของการสะสม บางแห่งที่จัดระบบ ที่ไหนสักแห่งที่ไม่มี แต่ยังคงกระจัดกระจายข้อเท็จจริงใน TFCT เราสามารถพูดได้ว่าวัสดุที่เป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับฟังก์ชันของปริมาณจินตภาพ จำเป็นต้องมีการจัดระบบในรูปแบบของทฤษฎี ทฤษฎีนี้เริ่มเป็นรูปเป็นร่างแล้ว
ขั้นตอนที่สามของการก่อตัวของ TFKP (ศตวรรษที่ XIX - ศตวรรษที่ XX) ความสำเร็จหลักที่นี่เป็นของ O. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) และ K. Weierstrass (1815-1897) แต่ละคนเป็นตัวแทนของทิศทางการพัฒนา TFKP อย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวแทนของทิศทางแรกซึ่งในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์เรียกว่า "ทฤษฎีของฟังก์ชัน monogenic หรือดิฟเฟอเรนติเอเบิล" คือ O. Cauchy เขาสร้างข้อเท็จจริงที่แตกต่างกันเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน อธิบายความหมายของแนวคิดพื้นฐานและการปฏิบัติการด้วยจินตภาพ ในงานของ O. Cauchy ได้มีการนำเสนอทฤษฎีขีดจำกัดและทฤษฎีของอนุกรมและฟังก์ชันเบื้องต้นที่มีพื้นฐานอยู่บนนั้น ได้มีการกำหนดทฤษฎีบทที่อธิบายขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังได้อย่างสมบูรณ์ ในปี ค.ศ. 1826 O. Cauchy ได้แนะนำคำว่า deduction (ตัวอักษร: ส่วนที่เหลือ) ในงานเขียนระหว่างปี พ.ศ. 2369 ถึง พ.ศ. 2372 เขาได้สร้างทฤษฎีการหักเงิน O. Cauchy อนุมานสูตรอินทิกรัล; ได้รับทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับการขยายตัวของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเป็นอนุกรมกำลัง (1831) O. Cauchy วางรากฐานสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ของตัวแปรหลายตัว กำหนดสาขาหลักของฟังก์ชันหลายค่าของตัวแปรเชิงซ้อน ใช้การตัดเครื่องบินครั้งแรก (1831-1847) ในปี ค.ศ. 1850 เขาได้แนะนำแนวคิดของฟังก์ชันโมโนโดรมและแยกแยะคลาสของฟังก์ชันโมโนเจนิก
ผู้ติดตามของ O. Cauchy คือ B. Riemann ผู้สร้างทิศทาง "เรขาคณิต" (ที่สอง) ของตนเองในการพัฒนา TFCT ในงานของเขา เขาเอาชนะการแยกความคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนและสร้างแผนกใหม่ของทฤษฎีนี้ ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสาขาวิชาอื่นๆ Riemann ได้สร้างขั้นตอนใหม่ที่สำคัญในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์ เขาเสนอให้เชื่อมโยงกับแต่ละฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน แนวคิดในการทำแผนที่จากภูมิภาคหนึ่งไปยังอีกภูมิภาคหนึ่ง เขาแยกแยะระหว่างหน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อนและตัวแปรจริง บี. รีมันน์วางรากฐานสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันทางเรขาคณิต แนะนำพื้นผิวรีมันน์ พัฒนาทฤษฎีการแมปตามรูปแบบ สร้างการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันวิเคราะห์และฟังก์ชันฮาร์มอนิก นำฟังก์ชันซีตามาพิจารณา
การพัฒนาต่อไปของ TFKP เกิดขึ้นในอีกทิศทางหนึ่ง (ที่สาม) พื้นฐานคือความเป็นไปได้ของการแสดงฟังก์ชันตามอนุกรมกำลัง เทรนด์นี้ได้รับการขนานนามว่าเป็น “การวิเคราะห์” ในประวัติศาสตร์ มันถูกสร้างขึ้นในผลงานของ K. Weierstrass ซึ่งเขาได้นำแนวคิดเรื่องการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอมาใช้ K. Weierstrass ได้กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ถูกต้องตามกฎหมายของการลดเงื่อนไขที่คล้ายกันในชุดข้อมูล K. Weierstrass ได้ผลลัพธ์พื้นฐาน: ขีดจำกัดของลำดับของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันภายในโดเมนหนึ่งๆ เป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ เขาสามารถสรุปทฤษฎีบทของ Cauchy เกี่ยวกับการขยายอนุกรมกำลังของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน และอธิบายกระบวนการของการวิเคราะห์ต่อเนื่องของอนุกรมกำลังและการประยุกต์ใช้เพื่อแทนคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ K. Weierstrass ได้สร้างความจริงที่ว่าไม่เพียงแต่การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ของซีรีส์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอด้วย ทฤษฎีบท Weierstrass ปรากฏบนการขยายฟังก์ชันทั้งหมดลงในผลิตภัณฑ์ เขาวางรากฐานสำหรับทฤษฎีของฟังก์ชันการวิเคราะห์ของตัวแปรหลายตัว สร้างทฤษฎีการหารของอนุกรมกำลัง
พิจารณาการพัฒนาทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์ในรัสเซีย นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียแห่งศตวรรษที่ XIX เป็นเวลานานที่พวกเขาไม่ต้องการอุทิศตนให้กับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ อย่างไรก็ตาม เราสามารถตั้งชื่อได้หลายชื่อซึ่งเธอไม่ใช่มนุษย์ต่างดาว และระบุผลงานและความสำเร็จบางอย่างของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียเหล่านี้
นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียคนหนึ่งคือ M.V. ออสโตรกราดสกี้ (1801-1861) เกี่ยวกับ M.V. ไม่ค่อยมีใครรู้จักเกี่ยวกับ Ostrogradsky ในด้านทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ แต่ O. Cauchy พูดด้วยความชื่นชมจากนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียรุ่นเยาว์ผู้นี้ ซึ่งใช้ปริพันธ์และให้การพิสูจน์สูตรใหม่และสรุปสูตรอื่นๆ เอ็มวี Ostrogradsky เขียนงาน "Remarks on Definite Integrals" ซึ่งเขาได้รับสูตร Cauchy สำหรับการหักฟังก์ชันที่เกี่ยวกับขั้วอันดับที่ n เขาสรุปการใช้งานของทฤษฎีสารตกค้างและสูตรของ Cauchy ในการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนในหลักสูตรการบรรยายสาธารณะที่กว้างขวางซึ่งให้ไว้ในปี 1858-1859
ผลงานของ N.I. Lobachevsky ซึ่งมีความสำคัญโดยตรงสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ทฤษฎีฟังก์ชันเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อนมีอยู่ในงาน "พีชคณิตหรือการคำนวณหาขอบเขต" (Kazan, 1834) โดยที่ cos x และ sin x ถูกกำหนดเริ่มต้นสำหรับจำนวนจริง x ว่าเป็นจริงและ
ส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน เช่น ^ การใช้คุณสมบัติที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและการขยายกำลัง จะได้รับคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดย-
เห็นได้ชัดว่า Lobachevsky ให้ความสำคัญเป็นพิเศษกับการสร้างเชิงวิเคราะห์ของตรีโกณมิติอย่างหมดจด โดยไม่ขึ้นกับเรขาคณิตแบบยุคลิด
เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าในทศวรรษสุดท้ายของศตวรรษที่ XIX และทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 20 การวิจัยพื้นฐานในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) ประกอบด้วยการชี้แจงทีละน้อยของข้อเท็จจริงที่ว่าเรขาคณิตของ Lobachevsky คือ เรขาคณิตของฟังก์ชันการวิเคราะห์ของคอมเพล็กซ์เดียว ตัวแปร.
ในปี พ.ศ. 2393 ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก (ต่อมาเป็นนักวิชาการ) I.I. Somov (1815-1876) ตีพิมพ์ Foundations of the Theory of Analytic Functions ซึ่งอิงจากฐานรากใหม่ของ Jacobi
อย่างไรก็ตาม นักวิจัยชาวรัสเซียคนแรกที่ "ดั้งเดิม" อย่างแท้จริงในด้านทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ของตัวแปรที่ซับซ้อนคือ Yu.V. โซค็อตสกี้ (1842-1929) เขาปกป้องวิทยานิพนธ์ของอาจารย์ของเขา "ทฤษฎีการตกค้างของอินทิกรัลกับแอปพลิเคชันบางอย่าง" (เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2411) ตั้งแต่ฤดูใบไม้ร่วงปี 2411 Yu.V. Sokhotsky สอนหลักสูตรเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจินตภาพและเศษส่วนต่อเนื่องโดยนำไปประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท Yu.V. Sokhotsky ทุ่มเทให้กับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีของสารตกค้างกับการผกผันของอนุกรมกำลัง (อนุกรมลากรองจ์) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การขยายฟังก์ชันการวิเคราะห์เป็นเศษส่วนต่อเนื่อง เช่นเดียวกับพหุนามเลเจนด์ ในบทความนี้ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในละแวกใกล้เคียงของจุดเอกพจน์ที่สำคัญได้รับการกำหนดและพิสูจน์แล้ว ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Sokhotsky
(1873) เป็นครั้งแรกที่แนวคิดของอินทิกรัลของประเภท Cauchy ถูกนำมาใช้ในรูปแบบขยาย: *r/ ^ & _ โดยที่
a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนโดยพลการ อินทิกรัลควรจะถูกนำไปตามเส้นโค้ง ("วิถี") ที่เชื่อมต่อ a และ b ในงานนี้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่ง
ผลงานของ N.E. Zhukovsky และ S.A. Chaplygin ผู้เปิดขอบเขตการใช้งานที่ไร้ขอบเขตในด้านแอโรและไฮโดรเมคคานิกส์
เมื่อพูดถึงการพัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันการวิเคราะห์ เราไม่สามารถพูดถึงการศึกษาของ S.V. Kovalevskaya แม้ว่าความหมายหลักของพวกเขาจะอยู่นอกทฤษฎีนี้ ความสำเร็จของงานของเธอเกิดจากการกำหนดรูปแบบใหม่ของปัญหาในแง่ของทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์และการพิจารณาเวลา t เป็นตัวแปรที่ซับซ้อน
ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ XX ธรรมชาติของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ในด้านทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนกำลังเปลี่ยนแปลงไป หากก่อนหน้านี้ การวิจัยส่วนใหญ่ในพื้นที่นี้ดำเนินการในแง่ของการพัฒนาหนึ่งในสามทิศทาง (ทฤษฎีของฟังก์ชันโมโนเจนิกหรือดิฟเฟอเรนติเอเบิลของ Cauchy, ความคิดทางเรขาคณิตและทางกายภาพของรีมันน์, ทิศทางการวิเคราะห์ของไวเออร์สตราส) ตอนนี้ความแตกต่างและ การโต้เถียงที่เกี่ยวข้องกับพวกเขากำลังถูกเอาชนะปรากฏขึ้นและเพิ่มจำนวนงานอย่างรวดเร็วซึ่งมีการสังเคราะห์ความคิดและวิธีการ แนวคิดพื้นฐานประการหนึ่งที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความเชื่อมโยงและความสอดคล้องกันระหว่างการแสดงแทนทางเรขาคณิตกับเครื่องมือของอนุกรมกำลังคือแนวคิดของการวิเคราะห์ต่อเนื่อง
ในตอนท้ายของศตวรรษที่ XIX ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนประกอบด้วยสาขาวิชาที่ซับซ้อนอย่างครอบคลุม: ทฤษฎีทางเรขาคณิตของฟังก์ชันที่อิงตามทฤษฎีการแมปตามรูปแบบและพื้นผิวรีมันน์ เราได้รับรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีของฟังก์ชันประเภทต่างๆ ได้แก่ จำนวนเต็มและเมโรมอร์ฟิค รูปไข่และโมดูลาร์ ออโตมอร์ฟิค ฮาร์มอนิก พีชคณิต ในการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันคลาสสุดท้าย ทฤษฎีของปริพันธ์อาเบเลียนได้รับการพัฒนา ทฤษฎีการวิเคราะห์ของสมการเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีการวิเคราะห์ของตัวเลขติดอยู่กับความซับซ้อนนี้ ทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์สร้างและเสริมความเชื่อมโยงกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ
ความมั่งคั่งของความสัมพันธ์ระหว่าง TFCT กับพีชคณิต เรขาคณิต และวิทยาศาสตร์อื่นๆ การสร้างรากฐานที่เป็นระบบของวิทยาศาสตร์ของ TFCT เอง และความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากของ TFCT มีส่วนทำให้ TFCT เป็นหัวข้อทางวิชาการ อย่างไรก็ตามในขณะเดียวกันเมื่อการก่อตัวของฐานรากเสร็จสมบูรณ์ แนวคิดใหม่ก็ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีของฟังก์ชันการวิเคราะห์ ซึ่งเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบ ธรรมชาติ และเป้าหมายไปอย่างมาก เอกสารที่ปรากฏประกอบด้วยคำอธิบายที่เป็นระบบของทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับสัจพจน์และมีวัตถุประสงค์เพื่อการศึกษาด้วย เห็นได้ชัดว่า ความสำคัญของผลลัพธ์ใน TFCT ที่ได้รับโดยนักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้น กระตุ้นให้พวกเขาเผยแพร่ TFCT ให้เป็นที่นิยมในรูปแบบของการบรรยายและเผยแพร่การศึกษา monographic ในมุมมองของการสอน สรุปได้ว่า กฟผ. ปรากฏเป็นการเรียนรู้
เรื่อง. ในปี ค.ศ. 1856 Ch. Briot และ T. Bouquet ได้ตีพิมพ์บันทึกความทรงจำเล็ก ๆ "การสืบสวนฟังก์ชั่นของตัวแปรในจินตนาการ" ซึ่งเป็นหนังสือเรียนเล่มแรก แนวคิดทั่วไปในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนเริ่มนำมาใช้ในการบรรยาย ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1856 K. Weiersht-rass ได้บรรยายเกี่ยวกับการแสดงฟังก์ชันด้วยอนุกรมกำลังบรรจบกัน และตั้งแต่ปี พ.ศ. 2404 เกี่ยวกับทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชัน ในปี 1876 งานพิเศษของ K. Weierstrass ได้ปรากฎขึ้น: "ในทฤษฎีของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีค่าเดียว" และในปี 1880 "เกี่ยวกับหลักคำสอนของฟังก์ชัน" ซึ่งทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ของเขาได้รับความครบถ้วนสมบูรณ์
การบรรยายของ Weierstrass ทำหน้าที่เป็นต้นแบบสำหรับตำราเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนเป็นเวลาหลายปี ซึ่งเริ่มปรากฏให้เห็นค่อนข้างบ่อยตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ในการบรรยายของเขาว่ามาตรฐานสมัยใหม่ของความเข้มงวดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยพื้นฐานและโครงสร้างที่กลายเป็นแบบดั้งเดิมนั้นแยกออกมา
ข้อมูลอ้างอิง
1. Andronov I.K. คณิตศาสตร์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน ม.: การศึกษา, 2518.
2. Klein F. บรรยายเกี่ยวกับการพัฒนาคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ XIX M.: ONTI, 1937. ตอนที่ 1
3. Lavrentiev M.A. , Shabat B.V. วิธีการของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน มอสโก: เนาก้า, 1987.
4. Markushevich A.I. ทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์ ม.: รัฐ. สำนักพิมพ์วรรณกรรมทางเทคนิคและทฤษฎี พ.ศ. 2493
5. คณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 19 เรขาคณิต. ทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์ / ed. A.N. Kolmogorova และ A.P. Yushkevich มอสโก: เนาก้า, 1981.
6. สารานุกรมคณิตศาสตร์ / บทที่. เอ็ด ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ ม.: สารานุกรมโซเวียต 2520 ต. 1
7. สารานุกรมคณิตศาสตร์ / บท. เอ็ด ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ M.: สารานุกรมโซเวียต, 1979. ปีที่ 2
8. Young V.N. พื้นฐานของหลักคำสอนเรื่องตัวเลขในศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 มอสโก: Uchpedgiz, 1963.
9. Rybnikov K.A. ประวัติคณิตศาสตร์. ม.: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก 2506 ตอนที่ 2
ไม่. Lyakhova สัมผัสเส้นโค้งระนาบ
คำถามเกี่ยวกับการสัมผัสกันของเส้นโค้งระนาบ ในกรณีที่พบ abscissas ของจุดร่วมจากสมการของรูปแบบ Рп x = 0 โดยที่ Р x เป็นพหุนามบางส่วน เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำถาม
บนหลายหลากของรากของพหุนาม Pn x . ในบทความนี้ คำสั่งที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดขึ้นสำหรับกรณีของการกำหนดฟังก์ชันที่ชัดเจนและโดยปริยายซึ่งมีกราฟเป็นเส้นโค้ง และจะแสดงการใช้ข้อความเหล่านี้ในการแก้ปัญหาด้วย
หากเส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และ y \u003d cp x มีจุดร่วม
ม() x0; v0 นั่นคือ y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 และแทนเจนต์ไปยังเส้นโค้งที่ระบุซึ่งวาดที่จุด M () x0; v0 ไม่ตรงกัน แล้วเราบอกว่าเส้นโค้ง y = แก้ไข) และ y - cp x ตัดกันที่จุด Mo xo;
รูปที่ 1 แสดงตัวอย่างการตัดกันของกราฟฟังก์ชัน
นี่คือชื่อของการแปลงอินทิกรัลอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งร่วมกับการแปลงฟูริเยร์ มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิศวกรรมวิทยุเพื่อแก้ปัญหาที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาสัญญาณ
แนวคิดของความถี่ที่ซับซ้อน
วิธีการสเปกตรัมตามที่ทราบกันดีอยู่แล้วนั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าสัญญาณที่อยู่ระหว่างการศึกษานั้นเป็นตัวแทนของผลรวมของคำศัพท์พื้นฐานที่ไม่ จำกัด จำนวนซึ่งแต่ละอันจะเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมายเป็นระยะ
ลักษณะทั่วไปโดยธรรมชาติของหลักการนี้อยู่ในข้อเท็จจริงที่ว่าแทนที่จะใช้สัญญาณเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่มีเลขชี้กำลังจินตภาพอย่างหมดจด สัญญาณเลขชี้กำลังของรูปแบบจะถูกนำมาพิจารณา โดยที่จำนวนเชิงซ้อนคือ: เรียกว่าความถี่เชิงซ้อน
สัญญาณที่ซับซ้อนดังกล่าวสามารถใช้เพื่อสร้างสัญญาณจริงได้ ตัวอย่างเช่น ตามกฎต่อไปนี้:
ค่าคอนจูเกตที่ซับซ้อนอยู่ที่ไหน
แท้จริงแล้วในขณะที่
ขึ้นอยู่กับทางเลือกของส่วนจริงและจินตภาพของความถี่เชิงซ้อน สามารถรับสัญญาณจริงต่างๆ ได้ ดังนั้น ถ้า แต่การสั่นของฮาร์มอนิกธรรมดาของแบบฟอร์ม ถ้าเช่นนั้น การสั่นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลจะได้รับทั้งการเพิ่มขึ้นหรือลดลงทั้งนี้ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย สัญญาณดังกล่าวได้รับรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อ . ในที่นี้ ตัวคูณจะอธิบายซองจดหมายที่เปลี่ยนแปลงแบบทวีคูณตามเวลา สัญญาณทั่วไปบางอย่างจะแสดงในรูปที่ 2.10.
แนวคิดเรื่องความถี่ที่ซับซ้อนกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์มาก โดยหลักแล้ว เพราะมันทำให้เป็นไปได้โดยไม่ต้องอาศัยฟังก์ชันทั่วไป เพื่อให้ได้การแสดงสเปกตรัมของสัญญาณซึ่งโมเดลทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้
ข้าว. 2.10. สัญญาณจริงที่สอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของความถี่ที่ซับซ้อน
การพิจารณาอีกประการหนึ่งก็มีความสำคัญเช่นกัน: สัญญาณเอ็กซ์โพเนนเชียลของรูปแบบ (2.53) ทำหน้าที่เป็นวิธี "ธรรมชาติ" ในการศึกษาการแกว่งในระบบเชิงเส้นต่างๆ คำถามเหล่านี้จะถูกสำรวจในบทที่ แปด.
ควรสังเกตว่าความถี่ทางกายภาพที่แท้จริงคือส่วนจินตภาพของความถี่ที่ซับซ้อน ไม่มีศัพท์เฉพาะสำหรับส่วนจริงของความถี่เชิงซ้อน
อัตราส่วนพื้นฐาน
ให้ - สัญญาณบางส่วน จริงหรือเชิงซ้อน กำหนดไว้สำหรับ t > 0 และเท่ากับศูนย์สำหรับค่าลบของเวลา การแปลงลาปลาซของสัญญาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนที่กำหนดโดยอินทิกรัล:
สัญญาณนี้เรียกว่าต้นฉบับและฟังก์ชันนี้เรียกว่า Laplace image (เรียกสั้น ๆ ว่าเป็นเพียงภาพ)
เงื่อนไขที่ทำให้แน่ใจการมีอยู่ของอินทิกรัล (2.54) มีดังนี้: สัญญาณต้องมีอัตราการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างมากที่สุด เช่น ต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นจำนวนบวก
เมื่อเกิดความไม่เท่าเทียมกันนี้ ฟังก์ชันมีอยู่ในแง่ที่ว่าอินทิกรัล (2.54) มาบรรจบกันอย่างแท้จริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ซึ่งจำนวน a เรียกว่า abscissa ของการลู่เข้าสัมบูรณ์
ตัวแปรในสูตรหลัก (2.54) สามารถระบุได้ด้วยความถี่เชิงซ้อน แท้จริงแล้ว สำหรับความถี่เชิงซ้อนจินตภาพล้วนๆ เมื่อสูตร (2.54) เปลี่ยนเป็นสูตร (2.16) ซึ่งกำหนดการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณซึ่งเป็นศูนย์ที่ จึงสามารถพิจารณาการแปลงลาปลาซได้
เช่นเดียวกับที่ทำในทฤษฎีของการแปลงฟูริเยร์ เป็นไปได้ที่รู้ภาพเพื่อฟื้นฟูต้นฉบับ การทำเช่นนี้ในสูตรสำหรับการแปลงฟูเรียร์ผกผัน
การวิเคราะห์ต่อเนื่องควรทำโดยการส่งผ่านจากตัวแปรจินตภาพไปยังอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน a บนระนาบของความถี่ที่ซับซ้อน การรวมเข้าด้วยกันจะดำเนินการตามแกนแนวตั้งที่ขยายอย่างไม่จำกัด ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของ abscissa ของการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ เนื่องจากสำหรับดิฟเฟอเรนเชียล สูตรสำหรับการแปลงลาปลาซผกผันจึงใช้รูปแบบ
ในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน พิสูจน์แล้วว่าภาพ Laplace มีคุณสมบัติ "ดี" จากมุมมองของความเรียบ: ภาพดังกล่าวที่จุดทุกจุดของระนาบเชิงซ้อน ยกเว้นชุดที่นับได้ของสิ่งที่เรียกว่า จุดเอกพจน์ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ จุดเอกพจน์มักจะเป็นขั้วเดียวหรือหลายจุด ดังนั้น ในการคำนวณอินทิกรัลของแบบฟอร์ม (2.55) จึงสามารถใช้วิธีการที่ยืดหยุ่นของทฤษฎีสารตกค้างได้
ในทางปฏิบัติ ตารางการแปลง Laplace มีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับการติดต่อระหว่างต้นฉบับ และภาพ การปรากฏตัวของตารางทำให้วิธีการแปลง Laplace เป็นที่นิยมทั้งในการศึกษาเชิงทฤษฎีและในการคำนวณทางวิศวกรรมของอุปกรณ์และระบบวิศวกรรมวิทยุ ในภาคผนวกจะมีตารางดังกล่าวซึ่งช่วยให้สามารถแก้ไขปัญหาได้ค่อนข้างหลากหลาย
ตัวอย่างการคำนวณการแปลง Laplace
วิธีการคำนวณภาพมีความคล้ายคลึงกันหลายประการกับสิ่งที่ได้รับการศึกษาเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์แล้ว ลองพิจารณากรณีทั่วไปมากที่สุด
ตัวอย่าง 2.4 รูปภาพของโมเมนตัมเลขชี้กำลังทั่วไป
อนุญาต โดยที่จำนวนเชิงซ้อนคงที่คือที่ไหน การมีอยู่ของ -function เป็นตัวกำหนดความเท่าเทียมกันที่ การใช้สูตร (2.54) เรามี
ถ้าตัวเศษหายไปเมื่อมีการแทนที่ขีดจำกัดบน เป็นผลให้เราได้รับจดหมาย
ในกรณีพิเศษของสูตร (2.56) เราสามารถค้นหาภาพของพัลส์วิดีโอแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลได้:
และสัญญาณเลขชี้กำลังที่ซับซ้อน:
ในที่สุด เมื่อใส่ (2.57) เราจะพบภาพของฟังก์ชัน Heaviside:
ตัวอย่าง 2.5 ภาพของฟังก์ชันเดลต้า
ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์ม- การแปลงอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน F (s) (\displaystyle \ F(s))ตัวแปรที่ซับซ้อน ( ภาพ) ด้วยฟังก์ชัน f (x) (\displaystyle \f(x))ตัวแปรจริง ( ต้นฉบับ). ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสมบัติของระบบไดนามิกจะได้รับการศึกษาและแก้สมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์
คุณลักษณะอย่างหนึ่งของการแปลง Laplace ซึ่งกำหนดไว้ล่วงหน้าการใช้งานอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และทางวิศวกรรมคืออัตราส่วนและการดำเนินการหลายอย่างกับต้นฉบับสอดคล้องกับอัตราส่วนที่ง่ายกว่าบนรูปภาพ ดังนั้นการบิดของสองฟังก์ชันในปริภูมิของภาพจึงลดลงตามการทำงานของการคูณ และสมการอนุพันธ์เชิงเส้นจะกลายเป็นพีชคณิต
สารานุกรม YouTube
1 / 5
✪ การแปลง Laplace - bezbotvy
✪ การบรรยายครั้งที่ 10: Laplace Transform
✪ คณิตศาสตร์ชั้นสูง - 4. การแปลงลาปลาซ ส่วนที่ 1
✪ วิธี Laplace สำหรับโซลูชัน DE
✪ การบรรยายที่ 11: การใช้การแปลงลาปลาซเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์
คำบรรยาย
คำนิยาม
ไดเร็ค ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์ม
ลิม b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | อี − σ 0 xdx , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)แล้วมาบรรจบกันอย่างเป็นเอกภาพและเป็นหน้าที่วิเคราะห์สำหรับ σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (อีกครั้ง) \,s)- ส่วนจริงของเชิงซ้อน ตัวแปร s (\displaystyle s)). ขอบเขตล่างที่แน่นอน σ a (\displaystyle \sigma _(a))ชุดตัวเลข σ (\displaystyle \sigma )ซึ่งตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า abscissa ของการบรรจบกันสัมบูรณ์การแปลงลาปลาซสำหรับฟังก์ชัน
- เงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของการแปลงลาปลาซโดยตรง
ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์ม L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))มีอยู่ในความหมายของการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ในกรณีต่อไปนี้:
- σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): การแปลงลาปลาซมีอยู่ถ้าอินทิกรัลมีอยู่ ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
- σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): การแปลงลาปลาซมีอยู่ถ้าอินทิกรัล ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)มีอยู่ทุกอณู x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)และ | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))สำหรับ x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
- σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)หรือ σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(ขอบเขตใดมากกว่า): การแปลง Laplace จะเกิดขึ้นหากมีการแปลง Laplace สำหรับฟังก์ชัน f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(อนุพันธ์ของ f (x) (\displaystyle f(x))) สำหรับ σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).
บันทึก
- เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของการแปลงลาปลาซผกผัน
สำหรับการมีอยู่ของการแปลงลาปลาซผกผัน ก็เพียงพอแล้วที่จะตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ถ้าภาพ F (s) (\displaystyle F(s))- ฟังก์ชันวิเคราะห์ สำหรับ σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))และมีลำดับน้อยกว่า -1 ดังนั้นการแปลงผกผันสำหรับมันจึงมีอยู่และต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์และ L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)สำหรับ t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
- อนุญาต F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), ดังนั้น φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))เป็นการวิเคราะห์ที่เกี่ยวกับแต่ละคน z k (\displaystyle z_(k))และเท่ากับศูนย์สำหรับ z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), และ F k (s) = L ( fk (x) ) ) (σ > σ ak: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n))จากนั้นการแปลงผกผันจะเกิดขึ้นและการเปลี่ยนแปลงโดยตรงที่สอดคล้องกันมีการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์
บันทึก: สิ่งเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอต่อการดำรงอยู่
- ทฤษฎีบทบิด
บทความหลัก: ทฤษฎีบทบิด
- ความแตกต่างและบูรณาการของต้นฉบับ
จากข้อมูลของ Laplace อนุพันธ์อันดับแรกของต้นฉบับที่เกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์คือผลคูณของรูปภาพและการอาร์กิวเมนต์ของส่วนหลังลบต้นฉบับที่ศูนย์ทางด้านขวา:
L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)))ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นและสุดท้าย (ทฤษฎีบทจำกัด):
f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), ถ้าทุกขั้วของฟังก์ชัน s F (s) (\displaystyle sF(s))อยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้ายทฤษฎีบทค่าจำกัดมีประโยชน์มากเพราะอธิบายพฤติกรรมของต้นฉบับที่อนันต์ด้วยความสัมพันธ์ที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น ใช้ในการวิเคราะห์ความเสถียรของวิถีของระบบไดนามิก
- คุณสมบัติอื่นๆ
ความเป็นเส้นตรง:
L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s))คูณด้วยจำนวน:
L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)การแปลง Laplace แบบตรงและแบบผกผันของฟังก์ชันบางอย่าง
ด้านล่างนี้คือตารางการแปลง Laplace สำหรับบางฟังก์ชัน
| № | การทำงาน | โดเมนเวลา x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\)) |
โดเมนความถี่ X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\)) |
พื้นที่บรรจบกัน สำหรับ ระบบสาเหตุ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ล่าช้าในอุดมคติ | δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ ) | e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ ) | |
| 1a | เดี่ยว ชีพจร | δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ ) | 1 (\displaystyle 1\ ) | ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) |
| 2 | ล่าช้า n (\displaystyle n) | (t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} | e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2a | พลัง n (\displaystyle n)-คำสั่งที่ | t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !} | 1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1)))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2a.1 | พลัง q (\displaystyle q)-คำสั่งที่ | t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t)) | 1 วินาที q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1)))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2a.2 | เดียว ฟังก์ชั่น | H (t) (\displaystyle H(t)\ ) | 1 วินาที (\displaystyle (\frac (1)(s))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2b | ฟังก์ชั่นเดียวที่มีความล่าช้า | H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ ) | e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2c | "ขั้นตอนความเร็ว" | t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ ) | 1 วินาที 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2)))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 2วัน | n (\displaystyle n)- ลำดับที่มีการเปลี่ยนแปลงความถี่ | t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} | 1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1)))) | s > −α (\displaystyle s>-\alpha ) |
| 2d.1 | การสลายตัวแบบเลขชี้กำลัง | e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ ) | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) | s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ ) |
| 3 | การประมาณเลขชี้กำลัง | (1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ ) | α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha)))) | s > 0 (\displaystyle s>0\ ) |
| 4 | ไซนัส | บาป (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) | ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2)))) | s > 0 (\displaystyle s>0\ ) |
| 5 | โคไซน์ | cos (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) | s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2)))) | s > 0 (\displaystyle s>0\ ) |
| 6 | ไฮเปอร์โบลิก ไซน์ | s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) | α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2)))) | s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ ) |
| 7 | ไฮเปอร์โบลิก โคไซน์ | c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) | s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))) | s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ ) |
| 8 | เสื่อมสลายอย่างทวีคูณ ไซนัส |
e − α t sin (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) | ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) | s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ ) |
| 9 | เสื่อมสลายอย่างทวีคูณ โคไซน์ |
e − α t cos (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) | s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) | s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ ) |
| 10 | ราก n (\displaystyle n)-คำสั่งที่ | t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t)) | s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\ขวา)) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 11 | ธรรมชาติ ลอการิทึม | ln (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t)) | − t 0 s [ ln (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
| 12 | ฟังก์ชันเบสเซล แบบแรก คำสั่ง n (\displaystyle n) |
J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t)) | ω n (s + s 2 + ω 2) − ns 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))))) | s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ ) |
| 13 | แบบแรก คำสั่ง n (\displaystyle n) |
ฉัน n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t)) | ω n (s + s 2 − ω 2) − ns 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))))) | s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ ) |
| 14 | ฟังก์ชันเบสเซล ชนิดที่สอง สั่งเป็นศูนย์ |
Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ ) | − 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2))))))) | s > 0 (\displaystyle s>0\ ) |
| 15 | แก้ไขฟังก์ชัน Bessel ชนิดที่สอง สั่งเป็นศูนย์ |
K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t)) | ||
| 16 | ฟังก์ชันผิดพลาด | e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t)) | e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s))) | s > 0 (\displaystyle s>0) |
หมายเหตุตาราง:
| ||||
คู่มือฉบับสมบูรณ์สำหรับ Google ฟอร์ม วิธีสร้างและใช้งาน Google ฟอร์ม
Virus Petya: สนามรบ - Rosneft
Yandex Navigator ไม่ทำงาน