Algoritem digitalnega filtriranja. Algoritmi za digitalno filtriranje signalov, ki temeljijo na teoriji mehkih množic Dmitrij Anatolevič Titov. Inteligentna avtomatizacija pri terminskih in diplomskih projektih

Državna politehnična univerza Sankt Peterburga

Fakulteta za tehnično kibernetiko

Oddelek za avtomatiko in računalništvo

POROČILO

za laboratorijsko delo št.3

Raziskave ponavljajočih se algoritmov digitalnega filtriranja

signalov z metodo povprečenja.

Izpolnila študentka gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Preveril: V.D. Yarmiychuk

Saint Petersburg

1. Cilji dela

Namen dela je seznaniti se z različnimi algoritmi za digitalno filtriranje signalov po metodi povprečja in preučiti učinkovitost njihovega dela v pogojih, ko je uporabnemu signalu vsiljen šum tipa "beli šum" z ničelnim matematičnim pričakovanjem. in

nadzorovana disperzija.

2. Metodologija raziskovanja

Raziskujejo se filtri, ki temeljijo na naslednjih algoritmih:

ena). Algoritem ponavljajočega povprečenja z neskončnim pomnilnikom.

Namen filtra je izolirati konstantno komponento uporabnega signala od ozadja motenj.

Izraz za to v ponavljajoči se obliki:

Ko zagotovi .

2). Algoritem ponavljajočega povprečenja s konstantnim korekcijskim faktorjem.

Namen filtra je izolirati nizkofrekvenčne komponente vhodnega uporabnega signala od ozadja šuma.

Če se strinjate, lahko to enačbo zapišete v obliki:

Od koder pri prehodu na neprekinjen čas dobimo prenosno funkcijo filtra:

To pomeni, da je filter, izdelan po tem algoritmu, enak za majhne vrednosti

analogni nizkoprepustni filter prvega reda.

3). Algoritem ponavljajočega se končnega povprečja pomnilnika.

Namen filtra je osvetliti nizkofrekvenčne komponente vhodnega signala

z uporabo povprečja le omejenega števila najnovejših meritev.

Učinkovitost digitalnega filtriranja, to je merilo za zmanjšanje ravni hrupa na izhodu filtra v primerjavi z nivojem hrupa na vhodu, bo ocenjena na naslednji način:

Kje: - šumni signal na vhodu filtra

Uporaben signal na vhodu filtra

Filtriraj izhodni signal

Uporaben signal na izhodu filtra

3. Shema poskusa (glej Dodatek 1)

4. Rezultati poskusa

4.1. Algoritem ponavljajočega povprečenja z neskončnim pomnilnikom

Študije so bile izvedene s konstantnim obdobjem vzorčenja 100 ms.

Razmislite, kako se učinkovitost filtra spreminja glede na velikost konstantnega vhodnega signala (X).

LABORATORIJSKO DELO

ALGORITMI ZA FILTRIRANJE SIGNALAV sistemu nadzora procesa

Tarča. Seznanitev z algoritmi za filtriranje izmerjenih naključnih signalov, ki so najpogostejši v sistemu za vodenje procesov, ter izvedba primerjalne analize njihove točnosti in izvedbenih lastnosti v računalniku.

Vaja

1) za dane značilnosti naključnih signalov izračunajte optimalne parametre filtra,

2) simulirati sistem filtracije na računalniku in izračunati napako filtracije za vsako od obravnavanih metod,

3) opraviti primerjalno analizo učinkovitosti obravnavanih algoritmov.

Osnovne določbe. 1 Postavitev problema optimalne filtracije. Signali merilnih naprav pogosto vsebujejo naključno napako – motnje. Naloga filtriranja je ločiti uporabno komponento signala od motenj do te ali druge stopnje. Praviloma se tako za koristen signal kot za interferenco predpostavlja, da sta stacionarna naključna procesa, za katere so znane njihove statistične značilnosti: matematično pričakovanje, varianca, korelacijska funkcija, spektralna gostota. Ob poznavanju teh značilnosti je treba poiskati filter v razredu linearnih dinamičnih sistemov ali v ožjem razredu linearnih sistemov z dano strukturo, tako da se signal na izhodu filtra čim manj razlikuje od uporabnega signala.

Slika 1. O izjavi filtracijskega problema

Uvedemo zapis in natančneje formulirajmo problem filtracije. Pustite vhod filtra z impulznim odzivom Za (t) in ustrezna (zaradi Fourierjeve transformacije) 0

AFH W(iω) sprejemajo koristne signale x(t) in motnje, ki z njim niso povezane z(t) (slika 1). Korelacijske funkcije in spektralne gostote uporabnega signala in motenj so označene z R x (t), S x (t), R z (t) in S z (t) ... Treba je najti karakteristike filtra k (t) ali W (t), tako da je efektivna vrednost razlike ε med signalom na izhodu filtra in uporabnim signalom x je bil minimalen. Če je značilnost filtra znana z natančnostjo enega ali več parametrov, je treba izbrati optimalne vrednosti teh parametrov.

Napaka ε vsebuje dve komponenti. Prvi ( ε 1 ) je povezan z dejstvom, da bo del hrupa še vedno prešel skozi filter, drugi pa ( ε 2 ) - tako da se bo oblika uporabnega signala spremenila ob prehodu skozi filter. Tako je določitev optimalne karakteristike filtra iskanje kompromisne rešitve, ki minimizira skupno napako.

Predstavljajmo frekvenčni odziv filtra v obliki:

W (iω) = A (ω) exp.

S pomočjo formul, ki povezujejo spektralne gostote naključnih procesov na vhodu in izhodu linearnega sistema z njegovim frekvenčnim odzivom, izračunamo spektralne gostote vsake od komponent napake.

Za napako, povezano s preskakovanjem hrupa, dobimo

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektralna gostota napake, povezane s popačenjem uporabnega signala, je

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Vsota teh komponent S ε ima spektralno gostoto

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

Glede na to

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) greh 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Srednja kvadratna napaka je povezana s spektralno gostoto z izrazom

Z minimiziranjem S ε (ω ) na f(ω) in A (ω), pridemo do enačb

cosf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Najdene karakteristike optimalnega filtra ustrezajo gostoti spektralne napake

Najmanjša povprečna kvadratna napaka

(3)

Na žalost najdenega filtra ni mogoče uresničiti, saj pogoj enakosti nič na vseh frekvencah fazno-frekvenčnega odziva pomeni, da je impulzni odziv filtra soda funkcija, ni nič ne samo za t>0 , ampak tudi pri t(Slika 2, a).

Za vsak fizično izvedljiv filter velja naslednja zahteva: Za (t) = 0 pri t (slika 2, b). To zahtevo je treba vključiti v izjavo o problemu. Seveda, dosegljiva napaka σ hkrati bi se povečala. Problem optimalnega filtriranja ob upoštevanju fizične izvedljivosti je rešen.

riž. 2. Impulzne karakteristike neuresničljivih (a) in izvedljivih (b) filtrov

riž. 3. Spektralne gostote uporabnega signalaS x (ω) in hrupS z (ω) in amplitudno-frekvenčno karakteristiko optimalnega filtra A * (ω) s neprekrivanjem (a) in prekrivanjem (b)S x (ω) inS z (ω)

N. Wiener. Njegova rešitev je veliko bolj zapletena od zgoraj navedene, zato bomo v tem delu iskali fizično uresničljive filtre samo v razredu filtrov, katerih značilnosti so določene natančno na vrednosti parametrov. Količina izračunana po formuli (3) lahko služi kot nižja ocena dosegljive napake filtriranja.

Fizični pomen relacije (2, b) je prikazan na sl. 3. Če se spektra uporabnega signala in motenj ne prekrivata, potem A (ω) mora biti enak nič, kjer je spektralna gostota motenj drugačna od nič, in enaka eni za vse frekvence, pri katerih S x (ω)>0 ... Na sl. 3, b prikazuje lik A * (ω) v primeru, ko se spektralna gostota signala in interferenca prekrivata.

Med filtri z dano strukturo so najbolj razširjeni filtri, ki temeljijo na delovanju drsečega povprečja, pa tudi eksponentni filter in tako imenovani statistični filter ničelnega reda. Eksponentni filter je aperiodični filter prvega reda, statistični filter ničelnega reda pa ojačevalna povezava. Oglejmo si vsakega od omenjenih filtrov podrobneje.

Filter gibljivega povprečja. Izhod filtra je povezan z njegovim vhodom z razmerjem

Impulzna prehodna funkcija filtra je prikazana na sliki 4, a. Frekvenčne lastnosti so enake

Impulzni odziv je mogoče izraziti s funkcijo Heaviside 1(t)

k(t) = k.

Nastavljivi parametri filtra so dobiček k in spomin T.

Eksponentni filter(slika 4, b). Izhodni signal je določen z diferencialno enačbo

y/ γ + y = kg

Impulzni odziv je:

Frekvenčne značilnosti

Parametri filtra so dobiček k in časovna konstanta, obrnjena na γ .

riž. 4. Impulzne prehodne funkcijek(t) in amplitudno-frekvenčne karakteristike А (ω) tipičnih filtrov: а - trenutno povprečje; b - eksponentno; c) statični ničelni red

Statistični filter ničelnega reda. Ta filter, kot je omenjeno zgoraj, je ojačevalna povezava. Njegove značilnosti

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Teža naštetih filtrov ne omogoča doseganja idealnega filtriranja tudi pri neskladnih spektrih signala in motenj. Zmanjšajte napako σ ε lahko izberete parametre k, T, γ... To zahteva lastnosti filtra A (ω) in f(ω) kot funkcijo frekvence in parametrov nadomestite s formulo (1), vzemite integral dobljenega izraza, ki bo funkcija parametrov filtra, in poiščite minimum tega integrala nad parametri.

Na primer, za statistični filter Coulombovega reda bo spektralna gostota napake imela obliko:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Integralno S ε je enaka varianci interference, pomnoženi z π ... Dobimo

Upoštevajmo, da so integrali na desni strani te enakosti enaki variansam uporabnega signala in šuma, tako da

Pogoj za minimum tega izraza glede na k vodi k enakosti

Po zamenjavi najdene vrednosti k v izraz za varianco napake dobimo:

Filtra trenutnega povprečja in eksponenta imata po dva nastavljiva parametra in njihovih optimalnih vrednosti ni mogoče tako enostavno izraziti skozi značilnosti uporabnega signala in šuma, vendar je te vrednosti mogoče najti z numeričnimi metodami za iskanje minimalne vrednosti. funkcije v dveh spremenljivkah.

Slika 5 Blok diagram računalniške simulacije sistema za filtriranje naključnih signalov

2. Opis simuliranega sistema. Delo se izvaja z modeliranjem na računalniku sistema, sestavljenega iz naslednjih blokov (slika 5).

1. Generator vhodnih signalov I, vključno z generatorjem naključnih signalov (GSS) in dvema filtroma za oblikovanje z določenimi značilnostmi W x (iω) in W z (iω) , na izhodu katerega se sprejme koristen signal x(t) in ovira z(t) ... Med generatorjem naključnih signalov in oblikovalnim filtrom W z vključevala zakasnilno povezavo Δ, ki zagotavlja premik dveh do treh urnih ciklov. V tem primeru sta vhod filtra, ki tvori interferenco, in vhod filtra, ki tvori uporaben signal, med seboj nepovezana.

2. Blok za izračun korelacijskih funkcij
.

3. Filtracijska enota (II), vključno z dejanskim filtrom
in blok za izračun napake filtriranja
.

Uporaben signal, ustvarjen v sistemu x(t) in ovira z(t) so stacionarni naključni procesi, katerih korelacijske funkcije lahko približno aproksimiramo z eksponenti oblike (slika 6)

(6)

kje

Ocene variance signala in izračunano z uporabo bloka (pri τ = 0); parametra α in α z nastavi učitelj.

3. Diskretna implementacija neprekinjenih filtrov. Uporabljamo diskretne izvedbe zgoraj opisanih neprekinjenih filtrov. Korak diskretnosti t o traja bistveno manj kot čas upadanja korelacijskih funkcij uporabnega signala in šuma. Zato lahko zgornje izraze (1) za izračun σ ε preko spektralnih značilnosti vhodnega signala in šuma uporabimo v diskretnem primeru.

Najprej poiščimo diskretne analoge filtrov, ki tvorijo naključne procese s korelacijskimi funkcijami iz signala, prejetega iz GSS (6). Spektralne gostote, ki ustrezajo tem korelacijskim funkcijam, imajo obliko

(7)

Prenosne funkcije oblikovalskih filtrov za primer, ko je disperzija signala na izhodu GSS enaka eni, so

To ni težko videti

Če je signal na vhodu vsakega od oblikovalnih filtrov označen z ξ , potem imajo diferencialne enačbe, ki ustrezajo zgoraj napisanim prenosnim funkcijam, obliko

Ustrezni analogi razlike bodo zapisani v obrazcu;

Tako ima algoritem za delovanje filtra, ki tvori uporaben signal, obliko:

(8a)

Enako velja za filter za oblikovanje hrupa

(8b)

Analogi neprekinjenih filtrov, zasnovanih za izolacijo motenj, so naslednji:

za filter drsečega povprečja

(9)

kjer je vrednost l izberite med pogojem (l + 1) t O = T;

za eksponentni filter

(10)

za statistični filter ničelnega reda

pri jaz = kg jaz (11)

Nalog za izvršitev. 1. Ustvarite in razhroščite podprograme bloka za filtriranje trenutnih informacij in izračun napak pri filtriranju.

2. Pridobite realizacije naključnih procesov na izhodu oblikovalnih filtrov in jih uporabite za iskanje ocen variance uporabnega signala in šuma ter korelacijskih funkcij R x (τ) in R z (τ) ... Približno opredeliti α X in α z in primerjaj z izračunanimi.

3. Izračunaj po S x (ω) in S z (ω) analitično ali na računalniški spodnji meji za napako pri filtriranju rms.

4. S formulo (4) poiščite optimalni dobiček statističnega filtra ničelnega reda in ustrezno vrednost primerjati z.

5. Uporabljam eno od znanih metod iskanja minimuma funkcije dveh spremenljivk in vnaprej sestavljen program za iskanje optimalnih parametrov drsečega povprečja in eksponentnih filtrov ter povprečne kvadratne napake filtriranja. V tem primeru specifična kombinacija parametrov filtra ustreza gostoti spektralne napake S ε (ω) definirano s formulo (1), in iz nje poiščite vrednost po numerični integraciji.

6. V računalnik vnesemo filtrirni program, eksperimentalno določimo povprečno kvadratno napako za optimalne in neoptimalne parametre filtra, rezultate primerjamo z izračunanimi.

7. Izvedite primerjalno analizo učinkovitosti različnih algoritmov filtriranja za naslednje kazalnike: a) najmanjšo dosegljivo korensko povprečno kvadratno napako; b) zahtevana prostornina pomnilnik z naključnim dostopom; c) računalniško štetje časa.

Poročilo mora vsebovati: 1) blokovni diagram sistema (glej sliko 5);

2) podprogrami oblikovanja in sintetiziranih filtrov;

3) izračun optimalnih parametrov filtrov in ustreznih vrednosti povprečne kvadratne napake;

4) rezultate analize obravnavanih algoritmov in sklepov.

Stojnica 6.2. Ustvarjanje projekta 6.3. Študij APCS na treningu laboratoriju... gotovo cilji njihove dejavnosti. Cilji dejavnosti ...

I.O. Priimek "" 20 g

dokument

način delo) ;. … […) [Ime načina delo] ... po navedbah laboratoriju analize; 5) ... zahteve za APCS... Tehnološki procesi ... obdelava in analiza informacij ( signali, sporočila, dokumenti itd... algoritmov filtracija in algoritmov odpraviti hrup iz meriti ...

Inteligentna avtomatizacija pri terminskih in diplomskih projektih

povzetek

Žica. cilj... izdelek ... signal HART za integracijo v sisteme APCS ... filtracija Obstajajo različne vrste senzorjev prahu. DT400G delajo ... algoritem... kemična industrija. Tehnična sredstva in laboratoriju delo/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Program dela discipline "avtomatizacija tehnoloških procesov"

Delovni program

... CILJI IN CILJI UČENJA DISCIPLINE Namen... glavne komponente APCS- krmilniki ... pogledi signali c ... popravki napak, filtracija sporočila,... algoritmov in programi, razprave, izvajanje nadzora deluje. Laboratorij razredov. Laboratorij ...

Fizično izvedljivi digitalni filtri, ki delujejo v realnem času, lahko za generiranje izhodnega signala v diskretnem trenutku uporabijo naslednje podatke: a) vrednost vhodnega signala v trenutku vzorčenja, pa tudi določeno število " past" vhodni vzorci določeno število prejšnjih vzorcev izhodnega signala Cela števila tip določa vrstni red CF. Klasifikacija CF se izvaja na različne načine, odvisno od tega, kako se uporabljajo informacije o preteklih stanjih sistema.

Transverzalni CF.

Tako se imenujejo filtri, ki delujejo v skladu z algoritmom.

kjer je zaporedje koeficientov.

Številka je vrstni red prečnega digitalnega filtra. Kot je razvidno iz formule (15.58), prečni filter izvaja tehtano seštevanje prejšnjih vzorcev vhodnega signala in ne uporablja preteklih vzorcev izhodnega signala. Če uporabimo z-transformacijo na obe strani izraza (15.58), se prepričamo, da je to

Iz tega sledi, da sistem deluje

je ulomna racionalna funkcija z z večkratnim polom pri in ničlami, katerih koordinate so določene s koeficienti filtra.

Algoritem za delovanje prečnega DF je ponazorjen s blokovnim diagramom, prikazanim na sl. 15.7.

riž. 15.7. Shema za konstrukcijo prečnega digitalnega filtra

Glavni elementi filtra so bloki zamude vzorčnih vrednosti za en interval vzorčenja (pravokotniki s simboli), pa tudi bloki lestvice, ki izvajajo digitalno množenje z ustreznimi koeficienti. Iz izhodov merilnih blokov gredo signali v seštevalnik, kjer seštevanje tvori vzorec izhodnega signala.

Oblika diagrama, predstavljenega tukaj, pojasnjuje pomen izraza "prečni filter" (iz angleškega transverse - transverse).

Programska izvedba transverzalne digitalne funkcije.

Upoštevati je treba, da blokovni diagram, prikazan na sl. 15.7 ni shematski diagram električni tokokrog, ampak samo služi grafična slika algoritem za obdelavo signala. S sredstvi jezika FORTRAN si oglejmo delček programa, ki izvaja prečno digitalno filtriranje.

Naj se v RAM-u računalnika oblikujeta po dve enodimenzionalni nizi celic M: niz z imenom X, ki shranjuje vrednosti vhodnega signala, in niz z imenom A, ki vsebuje vrednosti koeficienti filtra.

Vsebina celic v polju X se spremeni vsakič, ko je prejet nov vzorec vhodnega signala.

Recimo, da je ta matrika napolnjena s prejšnjimi vzorci vhodnega zaporedja, in upoštevajte situacijo, ki nastane v trenutku prihoda naslednjega vzorca, ki ima v programu ime S. Ta vzorec naj se nahaja v številki celice 1, vendar šele potem, ko se prejšnji zapis premakne za eno pozicijo v desno, torej proti zaostajajoči strani.

Tako oblikovani elementi matrike X se pomnožejo člen za členom z elementi niza A in rezultat se vnese v celico z imenom Y, kjer se akumulira vzorčna vrednost izhodnega signala. Spodaj je besedilo programa transverzalnega digitalnega filtriranja:

Impulzni odziv. Vrnimo se k formuli (15.59) in izračunamo impulzni odziv prečnega CF z izvedbo inverzne z-transformacije. Zlahka je videti, da vsak člen funkcije prispeva k enakemu ustreznemu koeficientu, premaknjenemu za položaje proti zamudi. Torej tukaj

Do tega zaključka lahko pridemo neposredno, če upoštevamo blokovni diagram filtra (glej sliko 15.7) in ob predpostavki, da se na njegov vhod dovaja "enkratni impulz".

Pomembno je omeniti, da impulzni odziv prečnega filtra vsebuje končno število členov.

Frekvenčni odziv.

Če spremenimo spremenljivko v formuli (15.59), dobimo koeficient prenosa frekvence

Za dani korak vzorčenja A je mogoče z ustrezno izbiro uteži filtra realizirati široko paleto oblik frekvenčnega odziva.

Primer 15.4. Raziščite frekvenčne karakteristike prečnega digitalnega filtra drugega reda, ki povpreči trenutno vrednost vhodnega signala in dva predhodna vzorca po formuli

Sistemska funkcija tega filtra

riž. 15.8. Frekvenčne karakteristike transverzalnega DF iz primera 15.4: a - frekvenčni odziv; b - PFC

od koder najdemo frekvenčni prenosni koeficient

Elementarne transformacije vodijo do naslednjih izrazov za frekvenčni odziv v faznem odzivu tega sistema:

Ustrezni grafi so prikazani na sl. 15.8, a, b, kjer je vrednost narisana vzdolž vodoravnih osi - fazni kot intervala vzorčenja pri trenutni vrednosti frekvence.

Recimo na primer, da je na eno obdobje harmonskega vhodnega nihanja šest vzorcev. V tem primeru bo vhodno zaporedje imelo obliko

(absolutne vrednosti vzorcev niso pomembne, saj je filter linearen). Z algoritmom (15.62) najdemo izhodno zaporedje:

Vidimo lahko, da mu ustreza harmonični izhodni signal enake frekvence kot na vhodu, z amplitudo, ki je enaka amplitudi vhodnega nihanja in z začetno fazo, premaknjeno za 60 ° proti zamudi.

Rekurzivni DF.

Ta vrsta digitalni filtri je značilno, da se za oblikovanje izhodnega štetja uporabljajo prejšnje vrednosti ne le vhodnih in izhodnih signalov:

(15.63)

poleg tega koeficienti, ki določajo rekurzivni del algoritma filtriranja, niso hkrati enaki nič. Da bi poudarili razliko med strukturama dveh vrst digitalnih filtrov, se transverzalni filtri imenujejo tudi nerekurzivni filtri.

Sistemska funkcija rekurzivne digitalne funkcije.

Z izvedbo z-transformacije obeh strani ponavljajoče se relacije (15.63) ugotovimo, da je sistemska funkcija

ki opisuje frekvenčne lastnosti rekurzivnega CF, ima pole na z-ravnini. Če so koeficienti rekurzivnega dela algoritma realni, potem ti poli ležijo na realni osi ali tvorijo kompleksne konjugirane pare.

Strukturni diagram rekurzivnega digitalnega filtra.

Na sl. 15.9 prikazuje diagram algoritma izračunov, izvedenih v skladu s formulo (15.63). Zgornji del strukturni diagram ustreza prečnemu (nerekurzivnemu) delu algoritma filtriranja. Za njegovo izvedbo so v splošnem primeru potrebni veliki bloki (operacije množenja) in pomnilniške celice, v katerih so shranjeni vhodni vzorci.

Spodnji del blokovnega diagrama ustreza rekurzivnemu delu algoritma. Uporablja zaporedne izhodne vrednosti, ki se med delovanjem filtra premikajo iz celice v celico.

riž. 15.9. Strukturni diagram rekurzivnega digitalnega filtra

riž. 15.10. Strukturni diagram kanoničnega rekurzivnega digitalnega filtra 2. reda

Pomanjkljivost tega principa izvedbe je potreba po velikem številu pomnilniških celic, ločeno za rekurzivne in nerekurzivne dele. Popolnejše so kanonične sheme rekurzivnih digitalnih funkcij, v katerih je uporabljeno najmanjše možno število pomnilniških celic, enako največjemu številu. Kot primer, sl. 15.10 prikazuje blokovni diagram kanoničnega rekurzivnega filtra drugega reda, ki ustreza sistemski funkciji

Če želite zagotoviti, da ta sistem izvaja določeno funkcijo, razmislite o pomožni diskretni signal na izhodu seštevalnika 1 in zapišite dve očitni enačbi:

(15.67)

Z izvedbo -transformacije enačbe (15.66) ugotovimo, da

Po drugi strani pa v skladu z izrazom (15.67)

Če združimo relacije (15.68) in (15.69), pridemo do dane sistemske funkcije (15.65).

Stabilnost rekurzivnih digitalnih funkcij.

Rekurzivna digitalna funkcija je diskretni analog dinamičnega sistema povratnih informacij, saj so vrednosti njegovih prejšnjih stanj shranjene v pomnilniških celicah. Če so podani nekateri začetni pogoji, to je niz vrednosti, bo filter ob odsotnosti vhodnega signala tvoril elemente neskončnega zaporedja, ki igra vlogo prostih nihanj.

Digitalni filter se imenuje stabilen, če je prosti proces, ki nastane v njem, nenaraščajoče zaporedje, to pomeni, da vrednosti pri ne presegajo določenega pozitivnega števila M, ne glede na izbiro začetnih pogojev.

Prosta nihanja v rekurzivni digitalni funkciji, ki temelji na algoritmu (15.63), so rešitev linearne diferencialne enačbe

Po analogiji z načelom linearnega reševanja diferencialne enačbe bomo iskali rešitev za (15.70) v obliki eksponentne funkcije

s še neznano vrednostjo. Če zamenjamo (15.71) v (15.70) in prekličemo s skupnim faktorjem, vidimo, da je a koren karakteristične enačbe

Na podlagi (15.64) ta enačba natančno sovpada z enačbo, ki jo izpolnjujejo polovi sistemske funkcije rekurzivnega CF.

Najdemo korenski sistem enačbe (15.72). Potem bo splošna rešitev diferencialne enačbe (15.70) imela obliko

Koeficiente je treba izbrati tako, da so izpolnjeni začetni pogoji.

Če vsi poli sistemske funkcije, tj. števila ne presegajo enega v absolutni vrednosti, se nahajajo znotraj enotnega kroga s središčem v točki, potem bo na podlagi (15.73) kateri koli prosti proces v CF opisan z izrazi padajoče geometrijske progresije in filter bo stabilen. Jasno je, da je v praksi mogoče uporabiti le stabilne digitalne filtre.

Primer 15.5. Raziščite stabilnost rekurzivnega digitalnega filtra 2. reda s sistemsko funkcijo

Karakteristična enačba

ima korenine

Krivulja, ki jo opisuje enačba na ravnini koeficienta, je meja, nad katero sta pola sistemske funkcije realna in pod katero sta kompleksno konjugirana.

Za primer kompleksno konjugiranih polov je torej ena od meja območja stabilnosti ravna črta 1.

riž. 15.11. Območje stabilnosti rekurzivnega filtra 2. reda (polički filtra so kompleksno konjugirani v barvno označenem območju)

Glede na realne poli pri, imamo pogoj stabilnosti v obliki

Za to vrsto digitalnih filtrov je značilno, da za tvorbo jaz th število izhodov uporabljene so prejšnje vrednosti ne samo vhodnih, ampak tudi izhodnih signalov (algoritem filtriranja):

in koeficienti (b (, b 2, ..., b n _ Ts, ki definirajo rekurzivni del filtrirnega algoritma, hkrati niso enaki nič.

Zapišimo sistemsko funkcijo rekurzivni CF. Po zaključku z- transformacijo obeh strani rekurzivne relacije (7.28), ugotovimo, da ima sistemska funkcija, ki opisuje frekvenčne lastnosti rekurzivnega CF, obliko

Iz tega izraza sledi, da ima sistemska funkcija rekurzivnega CF na z-ravnini (t-1) ničle in (P- 1) drogovi.Če so koeficienti rekurzivnega dela algoritma realni, potem poli ležijo na realni osi ali tvorijo kompleksne konjugirane pare.

Izračunajmo impulzni odziv rekurzivni CF. Značilna lastnost, ki razlikuje rekurzivni DF od nerekurzivnega, je, da zaradi prisotnosti povratne informacije njegov impulzni odziv ima obliko neskončno razširjenega zaporedja. Zato pogosto rekurzivni filtri se imenujejo filtri IIR (Infinite Impulse Response Filters). Pokažimo to na primeru najpreprostejšega filtra 1. reda, ki ga opisuje sistemska funkcija

Kot veste, je impulzni odziv mogoče najti z inverzno ^ -transformacijo sistemske funkcije. S formulo za inverzno ^ -transformacijo poiščemo m-ti člen v zaporedju }