Sviluppo di un algoritmo per l'analisi del filtraggio del segnale. Algoritmo di filtraggio digitale lineare. Schema strutturale di un filtro digitale ricorsivo

Filtri digitali fisicamente realizzabili che operano in tempo reale possono utilizzare i seguenti dati per generare il segnale di uscita in un istante discreto: a) il valore del segnale di ingresso al momento del campionamento, nonché un certo numero di "passati" campiona in ingresso un certo numero di campioni precedenti del segnale in uscita Interi il tipo determina l'ordine del CF. La classificazione dei CF viene effettuata in modi diversi, a seconda di come vengono utilizzate le informazioni sugli stati passati del sistema.

CF trasversali.

Questo è il nome dato ai filtri che funzionano secondo l'algoritmo.

dove è una sequenza di coefficienti.

Il numero è l'ordine del filtro digitale trasversale. Come si vede dalla formula (15.58), il filtro trasversale effettua una sommatoria pesata dei campioni precedenti del segnale di ingresso e non utilizza i campioni passati del segnale di uscita. Applicando la trasformazione z a entrambi i lati dell'espressione (15.58), ci assicuriamo che

Ne segue che la funzione di sistema

è una funzione razionale frazionaria z avente un polo multiplo a e zeri, le cui coordinate sono determinate dai coefficienti del filtro.

L'algoritmo per il funzionamento del DF trasversale è illustrato dallo schema a blocchi mostrato in Fig. 15.7.

Riso. 15.7. Schema per la costruzione di un filtro digitale trasversale

Gli elementi principali del filtro sono blocchi di ritardo dei valori campione per un intervallo di campionamento (rettangoli con simboli), nonché blocchi di scala che eseguono la moltiplicazione digitale per i coefficienti corrispondenti. Dalle uscite dei blocchi scala, i segnali vanno al sommatore, dove sommandosi formano un campione del segnale di uscita.

La forma del diagramma qui presentato spiega il significato del termine "filtro trasversale" (dall'inglese trasversale - trasversale).

Implementazione software della funzione digitale trasversale.

Si tenga presente che lo schema a blocchi mostrato in Fig. 15.7 non è diagramma schematico circuito elettrico, ma serve solo immagine grafica algoritmo di elaborazione del segnale. Utilizzando i mezzi del linguaggio FORTRAN, consideriamo un frammento di un programma che implementa il filtraggio digitale trasversale.

Far entrare memoria ad accesso casuale Il computer è formato da due array unidimensionali di celle M ciascuno: un array denominato X, che memorizza i valori del segnale di ingresso, e un array denominato A, contenente i valori dei coefficienti del filtro.

Il contenuto delle celle nell'array X viene modificato ogni volta che viene ricevuto un nuovo campione del segnale di ingresso.

Supponiamo che questo array sia riempito con i campioni precedenti della sequenza di input e consideriamo la situazione che si verifica al momento dell'arrivo del campione successivo, a cui nel programma è assegnato il nome S. Questo campione dovrebbe trovarsi nella cella numero 1, ma solo dopo che il record precedente è stato spostato di una posizione a destra, cioè verso il lato in ritardo.

Gli elementi dell'array X così formati vengono moltiplicati termine per termine per gli elementi dell'array A e il risultato viene inserito in una cella denominata Y, dove viene accumulato il valore campionario del segnale di uscita. Di seguito il testo del programma di filtraggio digitale trasversale:

Risposta impulsiva. Torniamo alla formula (15.59) e calcoliamo la risposta all'impulso della CF trasversale eseguendo la z-trasformazione inversa. È facile vedere che ogni termine della funzione apporta un contributo pari al coefficiente corrispondente, spostato di posizioni verso il ritardo. Ecco

A questa conclusione si può giungere direttamente, considerando lo schema a blocchi del filtro (vedi Fig. 15.7) e ipotizzando che al suo ingresso venga fornito un "singolo impulso".

È importante notare che la risposta all'impulso di un filtro trasversale contiene un numero finito di termini.

Risposta in frequenza.

Se cambiamo la variabile nella formula (15.59), otteniamo il coefficiente di trasmissione della frequenza

Per una data fase di campionamento A, è possibile realizzare un'ampia varietà di forme di risposta in frequenza selezionando opportunamente i pesi del filtro.

Esempio 15.4. Indagare le caratteristiche di frequenza di un filtro digitale trasversale del secondo ordine che media il valore corrente del segnale di ingresso e due campioni precedenti secondo la formula

La funzione di sistema di questo filtro

Riso. 15.8. Caratteristiche in frequenza del DF trasversale dell'esempio 15.4: a - risposta in frequenza; b - PFC

da cui troviamo il coefficiente di trasmissione della frequenza

Le trasformazioni elementari portano alle seguenti espressioni per la risposta in frequenza nella risposta di fase di questo sistema:

I grafici corrispondenti sono mostrati in Fig. 15.8, a, b, dove il valore è tracciato lungo gli assi orizzontali - l'angolo di fase dell'intervallo di campionamento al valore di frequenza corrente.

Supponiamo, per esempio, che ci siano sei campioni per un periodo dell'oscillazione armonica in ingresso. In questo caso, la sequenza di input avrà la forma

(i valori assoluti dei campioni non contano, poiché il filtro è lineare). Utilizzando l'algoritmo (15.62), troviamo la sequenza di output:

Si vede che ad esso corrisponde un segnale armonico in uscita della stessa frequenza di quello in ingresso, con ampiezza pari all'ampiezza dell'oscillazione in ingresso e con una fase iniziale sfasata di 60° verso il ritardo.

DF ricorsivi.

Questo tipo filtri digitaliè caratterizzato dal fatto che per la formazione del conteggio di uscita vengono utilizzati i valori precedenti non solo dei segnali di ingresso e di uscita:

(15.63)

inoltre i coefficienti che determinano la parte ricorsiva dell'algoritmo di filtraggio non sono contemporaneamente uguali a zero. Per sottolineare la differenza tra le strutture dei due tipi di filtri digitali, i filtri trasversali sono detti anche filtri non ricorsivi.

Funzione di sistema della funzione digitale ricorsiva.

Eseguendo la z-trasformazione di entrambi i membri della relazione di ricorrenza (15.63), troviamo che la funzione di sistema

descrivendo le proprietà di frequenza di una CF ricorsiva, ha poli sul piano z. Se i coefficienti della parte ricorsiva dell'algoritmo sono reali, allora questi poli giacciono sull'asse reale o formano coppie coniugate complesse.

Schema strutturale di un filtro digitale ricorsivo.

Nella fig. 15.9 mostra un diagramma dell'algoritmo dei calcoli eseguiti secondo la formula (15.63). La parte superiore dello schema a blocchi corrisponde alla parte trasversale (non ricorsiva) dell'algoritmo di filtraggio. Per la sua implementazione, nel caso generale, sono necessari blocchi di grandi dimensioni (operazioni di moltiplicazione) e celle di memoria in cui sono memorizzati i campioni di input.

La parte inferiore dello schema a blocchi corrisponde alla parte ricorsiva dell'algoritmo. Utilizza valori di output successivi, che vengono spostati da cella a cella durante l'operazione di filtro.

Riso. 15.9. Schema strutturale di un filtro digitale ricorsivo

Riso. 15.10. Schema strutturale del filtro digitale ricorsivo canonico del 2° ordine

Lo svantaggio di questo principio di implementazione è la necessità di un gran numero di celle di memoria, separatamente per le parti ricorsive e non ricorsive. Più perfetti sono gli schemi canonici delle funzioni digitali ricorsive, in cui viene utilizzato il numero minimo possibile di celle di memoria, pari al più grande dei numeri. A titolo di esempio, Fig. 15.10 mostra uno schema a blocchi del filtro ricorsivo canonico del secondo ordine, che corrisponde alla funzione di sistema

Per assicurarsi che questo sistema implementi una determinata funzione, considerare un ausiliario segnale discreto all'uscita del sommatore 1 e annotare due equazioni ovvie:

(15.67)

Eseguendo la -trasformazione dell'equazione (15.66), troviamo che

D'altra parte, secondo l'espressione (15.67)

Combinando le relazioni (15.68) e (15.69), si arriva alla data funzione di sistema (15.65).

Stabilità delle funzioni digitali ricorsive.

Una CF ricorsiva è un analogo discreto di un sistema dinamico con risposta, poiché i valori dei suoi stati precedenti sono memorizzati nelle celle di memoria. Se vengono fornite alcune condizioni iniziali, ovvero un insieme di valori, in assenza di un segnale di ingresso, il filtro formerà elementi di una sequenza infinita che svolge il ruolo di oscillazioni libere.

Un filtro digitale è chiamato stabile se il processo libero che ne deriva è una sequenza non crescente, cioè i valori a non superano un certo numero positivo M, indipendentemente dalla scelta delle condizioni iniziali.

Le oscillazioni libere in una funzione digitale ricorsiva basata sull'algoritmo (15.63) sono una soluzione dell'equazione alle differenze lineari

Per analogia con il principio di risoluzione lineare equazioni differenziali cercheremo una soluzione alla (15.70) sotto forma di una funzione esponenziale

con un valore ancora sconosciuto. Sostituendo (15.71) in (15.70) e annullando per un fattore comune, vediamo che a è la radice dell'equazione caratteristica

In base alla (15.64), questa equazione coincide esattamente con l'equazione soddisfatta dai poli della funzione di sistema della CF ricorsiva.

Si trovi il sistema radice dell'equazione (15.72). Allora la soluzione generale dell'equazione alle differenze (15.70) avrà la forma

I coefficienti dovrebbero essere selezionati in modo che le condizioni iniziali siano soddisfatte.

Se tutti i poli del sistema funzionano, cioè i numeri non superano uno in valore assoluto, essendo localizzati all'interno del cerchio unitario centrato in un punto, allora in base alla (15.73) ogni processo libero nella CF sarà descritto da termini di progressioni geometriche decrescenti e il filtro sarà stabile. È chiaro che possono essere applicati praticamente solo filtri digitali stabili.

Esempio 15.5. Indagare la stabilità di un filtro digitale ricorsivo del 2° ordine con una funzione di sistema

Equazione caratteristica

ha radici

La curva descritta dall'equazione sul piano dei coefficienti è il confine al di sopra del quale i poli della funzione di sistema sono reali e al di sotto del quale sono complessi coniugati.

Nel caso dei poli complessi-coniugati, quindi, uno dei confini della regione di stabilità è la retta 1.

Riso. 15.11. Regione di stabilità di un filtro ricorsivo di 2° ordine (i poli del filtro sono complessi coniugati nella regione codificata a colori)

Considerando i poli reali a, abbiamo la condizione di stabilità nella forma

LAVORO DI LABORATORIO

ALGORITMI DI FILTRO DEL SEGNALENel sistema di controllo di processo

Obbiettivo. Conoscenza degli algoritmi per filtrare i segnali casuali misurati, che sono più comuni nel sistema di controllo del processo, ed eseguire un'analisi comparativa della loro accuratezza e delle caratteristiche di implementazione in un computer.

Esercizio

1) per le caratteristiche date dei segnali casuali, calcolare i parametri di filtro ottimali,

2) simulare il sistema di filtrazione su un computer e calcolare l'errore di filtrazione per ciascuno dei metodi considerati,

3) effettuare un'analisi comparativa dell'efficacia degli algoritmi considerati.

Disposizioni di base. 1 Enunciato del problema della filtrazione ottima. I segnali dei dispositivi di misurazione spesso contengono un errore casuale: l'interferenza. Il compito del filtraggio consiste nel separare in un modo o nell'altro la componente utile del segnale dall'interferenza. Di norma, sia il segnale utile che l'interferenza sono assunti come processi casuali stazionari di cui sono note le caratteristiche statistiche: aspettativa matematica, varianza, funzione di correlazione, densità spettrale. Conoscendo queste caratteristiche, è necessario trovare un filtro nella classe dei sistemi dinamici lineari o in una classe più ristretta di sistemi lineari con una data struttura in modo che il segnale all'uscita del filtro differisca il meno possibile dal segnale utile.

Fig. 1. Sulla dichiarazione del problema di filtrazione

Introduciamo la notazione e formuliamo più precisamente il problema della filtrazione. Lascia che l'ingresso del filtro con una risposta all'impulso A(T) e il corrispondente (dovuto alla trasformata di Fourier) 0

AFH W(io) si ricevono segnali utili X(T) e l'interferenza che non è correlata con esso z(T) (Fig. 1). Le funzioni di correlazione e le densità spettrali del segnale utile e dell'interferenza sono indicate con R X (T), S X (T), R z (T) e S z (T) ... È necessario trovare le caratteristiche del filtro k (t) o W (t) in modo che il valore efficace della differenza ε tra il segnale all'uscita del filtro e il segnale utile x era minimo. Se la caratteristica del filtro è nota con una precisione di uno o più parametri, è necessario scegliere i valori ottimali di questi parametri.

Errore ε contiene due componenti. Il primo ( ε 1 ) è legato al fatto che una parte del rumore passerà ancora attraverso il filtro e la seconda ( ε 2 ) - in modo che la forma del segnale utile cambi quando passa attraverso il filtro. Pertanto, la determinazione della caratteristica del filtro ottimale è una ricerca di una soluzione di compromesso che minimizzi l'errore totale.

Rappresentiamo la risposta in frequenza del filtro nella forma:

W (iω) = A (ω) esp.

Utilizzando le formule che collegano le densità spettrali dei processi casuali all'ingresso e all'uscita di un sistema lineare con la sua risposta in frequenza, calcoliamo le densità spettrali di ciascuna delle componenti di errore.

Per l'errore associato al salto del rumore si ottiene

S 1 (ω) = S z (ω ) UN 2 (ω )

La densità spettrale dell'errore associato alla distorsione del segnale utile è

S 2 (ω) = S X (ω )|1 – W(io)| 2

La somma di queste componenti S ε ha la densità spettrale

S ε (ω ) = S 1 (ω ) + S 2 (ω )

Considerando che

|1 – W(io)| 2 = 2 + A 2 (ω ) peccato 2 F(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) UN 2 (ω) + S X (ω) UN 2 (ω ) + S X (ω) - 2S X (ω) UN(ω) cos(ω) . (1)

L'errore quadratico medio è correlato alla densità spettrale dall'espressione

Riducendo al minimo S ε (ω ) in poi F(ω) e A (ω), arriviamo alle equazioni

cosF * (ω ) = 1
F *(ω ) = 0

2S z (ω ) LA (ω) - 2S X (ω) = 0

(2)

Le caratteristiche trovate del filtro ottimale corrispondono alla densità di errore spettrale

Errore quadratico medio minimo

(3)

Sfortunatamente, il filtro trovato non è realizzabile, poiché la condizione di uguaglianza a zero a tutte le frequenze della risposta in frequenza di fase significa che la risposta all'impulso del filtro è una funzione pari, è diversa da zero non solo per T>0 , ma anche a T(Figura 2, a).

Per qualsiasi filtro realizzabile fisicamente, vale il seguente requisito: A(T) = 0 in t (fig. 2, b). Questo requisito dovrebbe essere introdotto nella dichiarazione del problema. Naturalmente, l'errore realizzabile σ allo stesso tempo aumenterebbe. Il problema del filtraggio ottimale tenendo conto della fattibilità fisica è stato risolto.

Riso. 2. Caratteristiche di impulso dei filtri non realizzabili (a) e realizzabili (b)

Riso. 3. Densità spettrali del segnale utileS X (ω) e rumoreS z (ω) e la caratteristica ampiezza-frequenza del filtro ottimale A * (ω) con non sovrapposizione (a) e sovrapposizione (b)S X (ω) eS z (ω)

N. Wiener. La sua soluzione è molto più complicata di quella data sopra, quindi, in questo lavoro, cercheremo filtri realizzabili fisicamente solo nella classe di filtri le cui caratteristiche sono specificate in modo accurato ai valori dei parametri. La quantità calcolato dalla formula (3) può servire come stima inferiore dell'errore di filtraggio ottenibile.

Il significato fisico della relazione (2, b) è illustrato in Fig. 3. Se gli spettri del segnale utile e dell'interferenza non si sovrappongono, allora A (ω) dovrebbe essere uguale a zero dove la densità spettrale dell'interferenza è diversa da zero, e uguale a uno per tutte le frequenze alle quali S X (ω)>0 ... Nella fig. 3, b mostra il carattere A * (ω) nel caso in cui le densità spettrali del segnale e l'interferenza si sovrappongano.

Tra i filtri con una data struttura, i più diffusi sono i filtri basati sull'operazione di media mobile, nonché un filtro esponenziale e il cosiddetto filtro statistico di ordine zero. Un filtro esponenziale è un filtro aperiodico del primo ordine e un filtro statistico di ordine zero è un collegamento di amplificazione. Consideriamo più in dettaglio ciascuno dei filtri menzionati.

Filtro media mobile. L'uscita del filtro è correlata al suo ingresso dal rapporto

La funzione transitoria impulsiva del filtro è mostrata in Fig. 4, a. Le caratteristiche di frequenza sono uguali

La risposta all'impulso può essere espressa in termini di funzione di Heaviside 1(T)

K(T) = K.

I parametri del filtro regolabili sono guadagno K e memoria T.

Filtro esponenziale(Fig. 4, b). Il segnale di uscita è determinato dall'equazione differenziale

sì/ γ + sì = kg

La risposta all'impulso è:

Caratteristiche di frequenza

I parametri del filtro sono il guadagno K e la costante di tempo inversa a γ .

Riso. 4. Funzioni transitorie impulsiveK(T) e caratteristiche ampiezza-frequenza А (ω) dei filtri tipici: а - media della corrente; b - esponenziale; c) ordine zero statico

Filtro statistico di ordine zero. Questo filtro, come accennato in precedenza, è un collegamento di amplificazione. Le sue caratteristiche

sì(T) = kg(T) ; UN(ω) = K; F(ω) = 0

Il peso dei filtri elencati non consente di ottenere un filtraggio ideale anche con segnali disgiunti e spettri di interferenza. Riduci al minimo l'errore σ ε puoi selezionare i parametri k, T,... Ciò richiede caratteristiche di filtro A (ω) e F(ω) in funzione della frequenza e dei parametri, sostituire nella formula (1), prendere l'integrale dell'espressione risultante, che sarà funzione dei parametri del filtro, e trovare il minimo di questo integrale sui parametri.

Ad esempio, per un filtro statistico di ordine Coulomb, la densità spettrale dell'errore avrà la forma:

S ε (ω ) = S z (ω ) K 2 + S X ω (1 – K 2 )

Integrante S ε è uguale alla varianza dell'interferenza moltiplicata per π ... Noi abbiamo

Si tenga conto che gli integrali a destra di questa uguaglianza sono uguali alle varianze del segnale utile e del rumore, per cui

La condizione per il minimo di questa espressione rispetto a K porta all'uguaglianza

Dopo la sostituzione del valore trovato K nell'espressione per la varianza dell'errore, si ottiene:

I filtri della media corrente e dell'esponenziale hanno due parametri regolabili ciascuno, e i loro valori ottimali non possono essere espressi così facilmente attraverso le caratteristiche del segnale e del rumore utili, ma questi valori possono essere trovati con metodi numerici per trovare il minimo di una funzione in due variabili.

Fig. 5 Schema a blocchi della simulazione al computer di un sistema di filtraggio casuale del segnale

2. Descrizione del sistema simulato. Il lavoro viene svolto modellando al computer un sistema costituito dai seguenti blocchi (Fig. 5).

1. Generatore di segnali di ingresso I, compreso un generatore di segnali casuali (GSS) e due filtri di sagomatura con caratteristiche specificate W X (io) e W z (io) , alla cui uscita si riceve un segnale utile X(T) e ostacolo z(T) ... Tra il generatore di segnali casuali e il filtro di sagomatura W z includeva un collegamento di ritardo , che forniva uno spostamento di due o tre cicli di clock. In questo caso, l'ingresso del filtro che forma l'interferenza e l'ingresso del filtro che forma il segnale utile non sono correlati tra loro.

2. Blocco per il calcolo delle funzioni di correlazione
.

3. Unità di filtrazione (II), incluso il filtro vero e proprio
e un blocco per il calcolo dell'errore di filtraggio
.

Segnale utile generato nel sistema X(T) e ostacolo z(T) sono processi casuali stazionari, le cui funzioni di correlazione possono essere approssimate approssimativamente da esponenti della forma (Fig. 6)

(6)

dove

Stime della varianza del segnale e calcolato utilizzando un blocco (a τ = 0); i parametri α e α z sono impostati dall'insegnante.

3. Implementazione discreta di filtri continui. Usiamo implementazioni discrete dei filtri continui descritti sopra. Discretezza passo T o impiegano significativamente meno del tempo di decadimento delle funzioni di correlazione del segnale utile e del rumore. Pertanto, le espressioni di cui sopra (1) per calcolare σ ε attraverso le caratteristiche spettrali del segnale di ingresso e del rumore possono essere utilizzate nel caso discreto.

Troviamo prima analoghi discreti di filtri che formano processi casuali con funzioni di correlazione dal segnale ricevuto dal GSS (6). Le densità spettrali corrispondenti a queste funzioni di correlazione hanno la forma

(7)

Le funzioni di trasferimento dei filtri sagomatori per il caso in cui la dispersione del segnale all'uscita del GSS è uguale a uno, sono

Non è difficile vederlo

Se il segnale all'ingresso di ciascuno dei filtri di sagomatura è indicato con ξ , allora le equazioni differenziali corrispondenti alle funzioni di trasferimento sopra scritte hanno la forma

Gli analoghi delle differenze corrispondenti saranno scritti nella forma;

Pertanto, l'algoritmo per il funzionamento del filtro, che forma il segnale utile, ha la forma:

(8a)

Allo stesso modo per il filtro noise shaping

(8b)

Gli analoghi dei filtri continui progettati per isolare le interferenze sono i seguenti:

per il filtro della media mobile

(9)

dove il valore io scegli dalla condizione (io + 1) T oh = T;

per filtro esponenziale

(10)

per il filtro statistico di ordine zero

in io = kg io (11)

Ordine di esecuzione. 1. Creare ed eseguire il debug delle subroutine del blocco per filtrare le informazioni correnti e calcolare gli errori di filtraggio.

2. Ottenere realizzazioni di processi casuali all'uscita dei filtri di sagomatura e utilizzarli per trovare stime delle varianze del segnale e del rumore utili, nonché funzioni di correlazione R X (τ) e R z (τ) ... Definire approssimativamente α X e α z e confrontare con quelli calcolati.

3. Calcola per S X (ω) e S z (ω) analiticamente o su un computer limite inferiore per l'errore di filtraggio rms.

4. Usando la formula (4), trova il guadagno ottimale del filtro statistico di ordine zero e il valore corrispondente confrontare con.

5. Utilizzo uno dei metodi noti per trovare il minimo di una funzione di due variabili e un programma compilato in anticipo per trovare i parametri ottimali dei filtri a media mobile ed esponenziale e gli errori quadratici medi di filtraggio. In questo caso, una specifica combinazione di parametri del filtro corrisponde alla densità di errore spettrale S ε (ω) definita dalla formula (1), e da essa trova il valore dopo integrazione numerica.

6. Immettere il programma di filtrazione nel computer, determinare sperimentalmente l'errore quadratico medio per i parametri di filtro ottimali e non ottimali, confrontare i risultati con quelli calcolati.

7. Condurre un'analisi comparativa dell'efficacia dei vari algoritmi di filtraggio per i seguenti indicatori: a) l'errore quadratico medio minimo ottenibile; b) la quantità di RAM richiesta; c) tempo di conteggio computerizzato.

La relazione dovrebbe contenere: 1) uno schema a blocchi del sistema (vedi Fig. 5);

2) sottoprogrammi di sagomatura e filtri di sintesi;

3) calcolo dei parametri ottimali dei filtri e dei corrispondenti valori dell'errore quadratico medio;

4) i risultati dell'analisi degli algoritmi considerati e le conclusioni.

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I filtri digitali fisicamente realizzabili, che operano in tempo reale, possono utilizzare i seguenti dati per generare il segnale di uscita all'i-esimo momento discreto: a) il valore del segnale di ingresso al momento dell'i-esimo campione, come nonché un certo numero di campioni di ingresso "passati"; b) un certo numero di campioni precedenti del segnale di uscita I numeri interi m e n definiscono l'ordine del CF. La classificazione dei CF viene effettuata in modi diversi, a seconda di come vengono utilizzate le informazioni sugli stati passati del sistema.

Trasverso CF. Questo è il nome dato ai filtri che funzionano secondo l'algoritmo.

dove -sequenza di coefficienti.

Numero Tè l'ordine del filtro digitale trasversale. Come si vede dalla formula (2.138), il filtro trasversale effettua una sommatoria pesata dei campioni precedenti del segnale di ingresso e non utilizza i campioni passati del segnale di uscita. Applicando la trasformazione z a entrambi i lati dell'espressione (2.138), vediamo che

Ne segue che la funzione di sistema

è una funzione razionale frazionaria z , avente un polo m-fold in z = 0 e T zeri le cui coordinate sono determinate dai coefficienti del filtro.

L'algoritmo per il funzionamento del DF trasversale è illustrato dallo schema a blocchi mostrato in Fig. 2.17.

Riso. 2.17. Schema per la costruzione di un filtro digitale trasversale

Gli elementi principali del filtro sono blocchi di ritardo dei valori del campione per un intervallo di campionamento (rettangoli con simboli z -1), nonché blocchi di scala che eseguono la moltiplicazione digitale per i coefficienti corrispondenti. Dalle uscite dei blocchi scala, i segnali vanno al sommatore, dove sommandosi formano un campione del segnale di uscita.

La forma del diagramma qui presentato spiega il significato del termine "filtro trasversale" (dall'inglese transverse).

Risposta impulsiva. Torniamo alla formula (2.139) e calcoliamo la risposta all'impulso della CF trasversale eseguendo la z-trasformazione inversa. È facile vedere che ogni termine della funzione H (z) apporta un contributo pari al coefficiente corrispondente , spostato da P posizioni verso il lato ritardato. Ecco

A questa conclusione si può giungere direttamente, considerando lo schema a blocchi del filtro (vedi Fig. 2.17) e ipotizzando che al suo ingresso venga fornito un "singolo impulso" (1, 0, 0, 0, ...).

È importante notare che la risposta all'impulso di un filtro trasversale contiene un numero finito di termini.

Risposta in frequenza. Se nella formula (2.139) cambiamo la variabile , quindi otteniamo il coefficiente di trasmissione della frequenza

Per una data fase di campionamento UNè possibile realizzare un'ampia varietà di forme di risposta in frequenza selezionando opportunamente i pesi del filtro.

Metodi di sintesi del filtro digitale. I più diffusi nella pratica della sintesi di filtri digitali sono tre metodi descritti di seguito.

Metodo delle risposte all'impulso invarianti.

Questo metodo si basa sul presupposto che il filtro digitale sintetizzato dovrebbe avere una risposta all'impulso, che è il risultato del campionamento della risposta all'impulso del corrispondente prototipo di filtro analogico. Ovvero la sintesi di sistemi fisicamente realizzabili per i quali la risposta all'impulso svanisce al T<0 , otteniamo la seguente espressione per la risposta all'impulso della CF:

dove T fase di campionamento temporale.

Va notato che il numero di termini individuali nell'espressione per la risposta all'impulso della CF può essere finito o infinito. Questo determina la struttura del filtro sintetizzato: un filtro trasversale corrisponde a una risposta all'impulso con un numero finito di campioni, mentre un DF ricorsivo è necessario per implementare una risposta all'impulso infinitamente lunga.

La relazione tra il coefficiente di risposta all'impulso e la struttura del DF è particolarmente semplice per un filtro trasversale. Nel caso generale, la sintesi della struttura del filtro viene effettuata applicando z-conversione in una sequenza della forma sopra indicata. Trovando la funzione di sistema H(z) filtro, dovresti confrontarlo con l'espressione generale e determinare i coefficienti delle parti trasversali e ricorsive. Il grado di approssimazione della caratteristica ampiezza-frequenza del filtro digitale sintetizzato alla caratteristica di un prototipo analogico dipende dal passo di campionamento selezionato. Se necessario, è necessario calcolare il coefficiente di trasmissione della frequenza del filtro digitale eseguendo la funzione di sistema H(z) cambia variabile per formula
, quindi confrontare il risultato con il guadagno in frequenza del circuito analogico.

Sintesi DF basata sulla discretizzazione dell'equazione differenziale

circuito analogico.

La struttura di un filtro digitale, che corrisponde approssimativamente a un circuito analogico noto, può essere ottenuta discretizzando l'equazione differenziale che descrive un prototipo analogico. Come esempio di utilizzo di questo metodo, si consideri la sintesi di un CF corrispondente a un sistema dinamico oscillatorio di secondo ordine, per il quale la relazione tra l'oscillazione in uscita s (t) e input oscillazione x (t)è fissato dall'equazione differenziale

(2.142)

Supponiamo che il passo di campionamento sia  T e considerare la raccolta di campioni discreti  in 1  e  X 1  ... Se le derivate nella formula vengono sostituite dalle loro espressioni alle differenze finite, l'equazione differenziale si trasformerà in un'equazione alle differenze

Riordinando i termini si ottiene:

(2.144)

L'equazione alle differenze definisce un algoritmo di filtro ricorsivo di 2° ordine che simula un sistema oscillatorio analogico ed è chiamato risonatore digitale. Con un'opportuna scelta dei coefficienti, il risonatore digitale può agire come un filtro selettivo in frequenza, simile a un circuito oscillatorio.

Metodo delle caratteristiche di frequenza invarianti .

È fondamentalmente impossibile creare un filtro digitale, la cui risposta in frequenza ripeterebbe esattamente la risposta in frequenza di un circuito analogico. Il motivo è che, come sai, il coefficiente di trasferimento di frequenza del DF è una funzione periodica della frequenza con un periodo determinato dalla fase di campionamento.

Parlando della somiglianza (invarianza) delle caratteristiche di frequenza dei filtri analogico e digitale, possiamo solo richiedere che l'intero intervallo infinito di frequenze a, relativo al sistema analogico, sia convertito nel segmento di frequenza ω q del filtro digitale soddisfare la disuguaglianza
mantenendo la visione generale della risposta in frequenza.

Permettere K un (R) funzione di trasferimento di un filtro analogico specificata da un'espressione razionale frazionaria in potenze P... Se usi la relazione tra variabili z e p, allora possiamo scrivere:

. (2.145)

Con questa legge, il rapporto tra P e zè impossibile ottenere una funzione di filtro del sistema fisicamente realizzabile, poiché la sostituzione nell'espressione K un (R) darà una funzione di sistema che non è espressa come quoziente di due polinomi. Pertanto, per la sintesi di filtri passa basso, un collegamento della forma

, (2.146)

che mappa anche i punti del cerchio unitario nel piano z ai punti dell'asse immaginario sul piano p. Poi

, (2.147)

da cui segue la relazione tra le variabili di frequenza  sistemi analogici e digitali:

. (2.148)

Se la frequenza di campionamento è sufficientemente alta ( C T<<1), allora, come si vede facilmente dalla formula (2.147),  un  C... Pertanto, alle basse frequenze, le caratteristiche dei filtri analogico e digitale sono praticamente le stesse. In generale, è necessario tenere conto della trasformazione di scala lungo l'asse delle frequenze del filtro digitale.

In pratica, la procedura per sintetizzare una CF consiste nel fatto che nella funzione K un (R) il circuito analogico è sostituito da una variabile secondo la formula (2.145). La funzione di sistema risultante del DF risulta essere frazionaria-razionale e quindi consente di scrivere direttamente l'algoritmo di filtraggio digitale.

Domande per l'autotest

Quale filtro viene chiamato abbinato.

Qual è la risposta all'impulso del filtro.

Qual è il segnale all'uscita del filtro abbinato.

Quali filtri sono chiamati digitali.

Qual è la differenza tra gli algoritmi per il funzionamento dei filtri ricorsivi e trasversali.

Quali sono i principali metodi per sintetizzare i filtri digitali? .

Quali sono le principali proprietà della trasformata discreta di Fourier.

Algoritmi per la graduazione analitica, filtraggio digitale utilizzando metodi di livellamento esponenziale e media mobile. Filtri robusti, passa alto, passa banda e notch. Differenziazione discreta, integrazione e media dei valori misurati.

Un filtro è un sistema o una rete che modifica selettivamente la forma di un segnale (risposta in frequenza di ampiezza o in frequenza di fase). Gli obiettivi principali del filtraggio sono il miglioramento della qualità del segnale (ad esempio, l'eliminazione o la riduzione delle interferenze), l'estrazione di informazioni dai segnali o la separazione di più segnali precedentemente combinati, ad esempio per utilizzare in modo efficiente il canale di comunicazione disponibile.

Filtro digitale - qualsiasi filtro che elabora un segnale digitale al fine di isolare e/o sopprimere determinate frequenze di questo segnale.

A differenza di un filtro digitale, un filtro analogico si occupa di un segnale analogico, le sue proprietà sono non discrete (continue), rispettivamente, la funzione di trasferimento dipende dalle proprietà interne dei suoi elementi costitutivi.

Uno schema a blocchi semplificato di un filtro digitale in tempo reale con ingresso e uscita analogici è mostrato in Fig. 8a. Il segnale analogico a banda stretta viene periodicamente campionato e convertito in un insieme di campioni digitali, x (n), n = 0,1, Il processore digitale filtra, mappando la sequenza di ingresso x (n) sull'uscita y (n) secondo il filtro computazionale algoritmo. Il DAC converte l'uscita filtrata digitalmente in valori analogici, che vengono quindi filtrati in modo analogico per appianare e rimuovere i componenti ad alta frequenza indesiderati.

Riso. 8a. Schema a blocchi semplificato di un filtro digitale

Il funzionamento dei filtri digitali è fornito principalmente tramite software, pertanto risultano essere molto più flessibili nell'applicazione rispetto a quelli analogici. Con l'ausilio di filtri digitali è possibile implementare tali funzioni di trasferimento che sono molto difficili da ottenere con i metodi convenzionali. Tuttavia, i filtri digitali non possono ancora sostituire i filtri analogici in tutte le situazioni, quindi rimane la necessità dei filtri analogici più diffusi.

Per comprendere l'essenza del filtraggio digitale, prima di tutto, è necessario determinare le operazioni matematiche che vengono eseguite sui segnali nel filtraggio digitale (DF). Per questo è utile ricordare la definizione di filtro analogico.

Filtro analogico lineareè una rete a quattro porte, in cui viene realizzata la trasformazione lineare del segnale di ingresso nel segnale di uscita. Matematicamente, questa trasformazione è descritta da un lineare ordinario equazione differenziale N-esimo ordine

dove e sono coefficienti che sono costanti o funzioni del tempo T; - ordine dei filtri.

Filtro lineare discretoè una versione discreta di un filtro lineare analogico, in cui il quantizzato (campionato) è la variabile indipendente - tempo (è il passo di campionamento). In questo caso, una variabile intera può essere considerata come "tempo discreto", e segnalata come funzioni del "tempo discreto" (le cosiddette funzioni reticolari).

Matematicamente, la funzione di un filtro discreto lineare è descritta da un lineare equazione alle differenze del genere

dove e sono le letture dei segnali di ingresso e di uscita, rispettivamente; e - coefficienti dell'algoritmo di filtraggio, che sono costanti o funzioni di "tempo discreto" n.

L'algoritmo di filtraggio (2.2) può essere implementato mediante tecnologia analogica o digitale. Nel primo caso, le letture dei segnali di ingresso e di uscita per livello non sono quantizzate e possono assumere qualsiasi valore nell'intervallo della loro variazione (cioè avere la potenza del continuo). Nel secondo caso, i campioni di segnali e sono quantizzati per livello, e quindi possono assumere solo valori "consentiti" determinati dalla profondità di bit dei dispositivi digitali. Inoltre, i campioni di segnale quantizzati sono codificati, quindi le operazioni aritmetiche eseguite nell'espressione (2.2) vengono eseguite non sui segnali stessi, ma sui loro codici binari. A causa della quantizzazione in termini di livello del segnale e, così come dei coefficienti e dell'uguaglianza nell'algoritmo (2.2), non può essere esatta e viene soddisfatta solo approssimativamente.

Pertanto, un filtro digitale lineare è un dispositivo digitale che implementa approssimativamente l'algoritmo di filtraggio (2.2).

Il principale svantaggio dei filtri analogici e discreti è che quando cambiano le condizioni operative (temperatura, pressione, umidità, tensioni di alimentazione, invecchiamento degli elementi, ecc.), I loro parametri cambiano. Porta a incontrollato errori del segnale di uscita, ad es. a bassa precisione di elaborazione.

L'errore del segnale di uscita nel filtro digitale non dipende dalle condizioni operative (temperatura, pressione, umidità, tensioni di alimentazione, ecc.), ma è determinato solo dalla fase di quantizzazione del segnale e dall'algoritmo del filtro stesso, ovvero ragioni interne. Questo errore è controllato, può essere ridotto aumentando il numero di bit per rappresentare i campioni dei segnali digitali. È questa circostanza che determina i principali vantaggi dei filtri digitali rispetto a quelli analogici e discreti (elevata precisione dell'elaborazione del segnale e stabilità delle caratteristiche DF).

I DF in base al tipo di algoritmo di elaborazione del segnale sono suddivisi in stazionario e non stazionario, ricorsivo e non ricorsivo, lineare e non lineare.

La caratteristica principale della CF è algoritmo di filtraggio, in base al quale si attua l'attuazione del CF. L'algoritmo di filtraggio descrive il funzionamento delle CF di qualsiasi classe senza restrizioni, mentre altre caratteristiche hanno restrizioni sulla classe delle CF, ad esempio alcune di esse sono adatte a descrivere solo CF lineari stazionarie.

Riso. 11. Classificazione della CF

Nella fig. 11 mostra la classificazione dei filtri digitali (DF). La classificazione si basa sul principio funzionale, es. I filtri digitali sono suddivisi in base agli algoritmi che implementano e non tenendo conto di eventuali caratteristiche dei circuiti.

DF di selezione della frequenza. Questo è il tipo di FC più conosciuto, studiato e testato nella pratica. Da un punto di vista algoritmico, i DF di selezione della frequenza risolvono i seguenti problemi:

· Assegnazione (soppressione) di una banda di frequenza specificata a priori; a seconda di quali frequenze vengono soppresse e quali no, si distinguono un filtro passa basso (LPF), un filtro passa alto (HPF), un filtro passa banda (PF) e un filtro notch (RF);

· Separazione delle componenti spettrali del segnale con uno spettro a righe su canali di frequenza separati, uguali ed equamente distribuiti su tutta la gamma di frequenze; distinguere tra CF con decimazione nel tempo e decimazione in frequenza; e poiché il metodo principale per ridurre i costi dell'hardware è la cascata di selettività inferiore rispetto agli originali, insiemi di PF, la struttura piramidale multistadio che ne deriva è stata chiamata DF "preselettore-selettore";

· Separazione delle componenti spettrali del segnale in canali di frequenza separati, il cui spettro è costituito da sottobande di diversa ampiezza, distribuite in modo non uniforme all'interno del campo di lavoro del filtro.

Viene fatta una distinzione tra un filtro a risposta all'impulso finito (filtro FIR) o un filtro a risposta all'impulso infinita (filtro IIR).

CF ottimali (quasi ottimali). Questo tipo di filtri viene utilizzato quando è necessario valutare determinate grandezze fisiche che caratterizzano lo stato di un sistema soggetto a disturbi casuali. La tendenza attuale è l'utilizzo dei risultati della teoria del filtraggio ottimo e l'implementazione di dispositivi che minimizzino il quadrato medio dell'errore di stima. Si suddividono in lineari e non lineari, a seconda di quali equazioni descrivono lo stato del sistema.

Se le equazioni di stato sono lineari, viene applicata la CF ottimale di Kalman; se le equazioni di stato del sistema sono non lineari, vengono utilizzate varie CF multicanale, la cui qualità migliora con l'aumento del numero di canali.

Esistono vari casi particolari in cui gli algoritmi implementati da CF ottimali (quasi-ottimali) possono essere semplificati senza perdite significative di accuratezza: questo è, in primo luogo, il caso di un sistema stazionario lineare che porta alla ben nota CF di Wiener; in secondo luogo, il caso di osservazioni solo in un determinato momento temporale, che portano ad un DF ottimale secondo il criterio del massimo rapporto segnale-rumore (SNR); terzo, il caso delle equazioni di stato del sistema prossimo al lineare che porta a filtri non lineari del primo e del secondo ordine, ecc.

Un problema importante è anche quello di garantire l'insensibilità di tutti i suddetti algoritmi a deviazioni delle caratteristiche statistiche del sistema da quelle predeterminate; sintesi di tali DF, detti robusti.

CF adattativi. L'essenza del filtraggio digitale adattivo è la seguente: per l'elaborazione del segnale di ingresso (di solito i DF adattivi sono costruiti con un canale), viene utilizzato un filtro FIR convenzionale; tuttavia, l'IR di questo filtro non rimane impostato una volta per tutte, come era quando si considerava la selezione della frequenza DF; inoltre non cambia secondo la legge a priori data, come è stato quando si considera il Kalman CF; Sono corretti con l'arrivo di ogni nuovo campione in modo tale da minimizzare l'errore quadratico medio di filtraggio ad un dato passo. Un algoritmo adattativo è inteso come una procedura ricorrente per ricalcolare il vettore di campioni IH al passaggio precedente in un vettore di "nuovi" campioni IH per il passaggio successivo.

CF euristiche. Sono possibili situazioni in cui l'uso di procedure di elaborazione matematicamente corrette non è pratico, poiché comporta costi hardware ingiustificatamente elevati. L'approccio euristico è (dal greco e lat. Evrica- "cercare", "scoprire") nell'uso della conoscenza, studiando il pensiero creativo, inconscio di una persona. L'euristica è associata alla psicologia, alla fisiologia dell'attività nervosa superiore, alla cibernetica e ad altre scienze. L'approccio euristico è "generato" dal desiderio degli sviluppatori di ridurre i costi dell'hardware e si è diffuso nonostante l'assenza di una rigorosa giustificazione matematica. Questi sono i cosiddetti CF con le soluzioni circuitali dell'autore, uno degli esempi più famosi è il cosiddetto. filtro mediano.