E je. E (funkcije E). Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija

Opisivanje e kao "konstante približno jednake 2,71828 ..." je kao da pi nazivamo "iracionalnim brojem približno jednakim 3,1415 ...". Nema sumnje da jest, ali poanta nam još uvijek izmiče.

Broj pi je omjer opsega i promjera, isti za sve kružnice... To je temeljna proporcija svojstvena svim krugovima, pa stoga sudjeluje u izračunu opsega, površine, volumena i površine za krugove, kugle, cilindre itd. Pi pokazuje da su sve kružnice povezane, a da ne spominjemo trigonometrijske funkcije izvedene iz kružnica (sinus, kosinus, tangenta).

Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. Broj e vam omogućuje da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog pokazatelja, normalnog rasta, u kojem sa svakom nanosekundom (ili čak brže) sve malo raste više.

Broj e sudjeluje i u eksponencijalnom iu sustavu konstantnog rasta: populacija, radioaktivni raspad, brojenje postotaka i mnogi, mnogi drugi. Čak i stupnjevani sustavi koji ne rastu jednoliko mogu se aproksimirati pomoću broja e.

Baš kao što se bilo koji broj može promatrati kao "skalarirana" verzija 1 (osnovna jedinica), bilo koji krug se može promatrati kao "skalarirana" verzija jedinične kružnice (s polumjerom 1). I bilo koja stopa rasta može se promatrati kao "skalarirana" verzija e (stopa rasta "jedinica").

Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sustavi skalirane verzije iste metrike.

Koncept eksponencijalnog rasta

Počnimo s osvrtom na osnovni sustav, koji parovi na određeno vremensko razdoblje. Na primjer:

• Bakterije se dijele i "udvostručuju" u količini svaka 24 sata
• Dobivamo duplo više rezanaca ako ih prepolovimo.
• Vaš se novac udvostručuje svake godine ako ostvarite 100% profit (sreća!)

A to izgleda ovako:

Dijeljenje ili udvostručenje je vrlo jednostavan napredak. Naravno, možemo utrostručiti ili četverostruko, ali udvostručenje je prikladnije za pojašnjenje.

Matematički, ako imamo x podjela, dobivamo 2 ^ x puta više dobra nego što smo imali na početku. Ako se napravi samo 1 podjela, dobivamo 2 ^ 1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobivamo 2 ^ 4 = 16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:

visina= 2 x

Drugim riječima, udvostručenje je 100% rast. Ovu formulu možemo prepisati ovako:

visina= (1 + 100%) x

To je ista jednakost, samo smo "2" podijelili na sastavne dijelove, što je u biti ovaj broj: početna vrijednost (1) plus 100%. Pametno, ha?

Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi koeficijent. Opća formula za x razdoblja vremenske serije bit će:

visina = (1+rast) x

To samo znači da koristimo stopu povrata, (1 + prirast), "x" puta za redom.

Pogledajmo pobliže

Naša formula pretpostavlja da se povećanje događa u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju, čekaju, a onda bam!, a u zadnji čas se udvostruče. Naša dobit na kamate s depozita magično se pojavljuje za točno godinu dana. Na temelju gornje formule, dobit raste u koracima. Zelene točkice se pojavljuju iznenada.

Ali svijet nije uvijek takav. Ako povećamo sliku, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:

Zeleni momak ne nastaje iz ničega: on polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog razdoblja (24 sata u našem slučaju), zeleni prijatelj je već potpuno sazrio. Sazrijevši, postaje punopravni plavi član stada i može sam stvoriti nove zelene stanice.

Hoće li ova informacija nekako promijeniti našu jednadžbu?

ne. U slučaju bakterija, poluformirane zelene stanice još uvijek ne mogu učiniti ništa dok ne narastu i ne odvoje se od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je točna.

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo prema kojem za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X možete pronaći jedinu vrijednost zavisne varijable. // tj. postoji jedno y za svaki x.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA primjer y = 5 + x

1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. a sada izračunavamo y, pa je y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y ovisi o x, jer ono što x zamijenimo, ovo je y i dobijemo)

Kaže se da varijabla y funkcionalno ovisi o varijabli x i označava se na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y = 1 / x. (nazvana hiperbola)

2.y = x ^ 2. (naziva se parabola)

3.y = 3x + 7. (naziva se ravna linija)

4.y = √x. (naziva se grana parabole)

Nezavisna varijabla (koju označavamo kao x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije zauzima naziva se domenom funkcije i označava se D (f) ili D (y).

Uzmimo D (y) za 1., 2., 3., 4.

1. D (y) = (∞; 0) i (0; + ∞) // sav skup realnih brojeva, osim nule.

2.D (y) = (∞; + ∞) // svi mnogi realni brojevi

3.D (y) = (∞; + ∞) // svi mnogi realni brojevi

4.D (y) =)