คาบการหมุนของดาวเทียมรอบโลก คาบการโคจรของดาวเทียม การคำนวณความเร็วของดาวเทียมรอบโลก

เพื่อกำหนดความเร็ว "จักรวาล" ลักษณะพิเศษสองประการที่เกี่ยวข้องกับขนาดและสนามโน้มถ่วงของดาวเคราะห์ดวงหนึ่ง เราจะถือว่าโลกเป็นลูกบอลลูกเดียว

ข้าว. 5.8. วิถีโคจรต่างๆ ของดาวเทียมรอบโลก

ความเร็วจักรวาลครั้งแรกพวกเขาเรียกความเร็วต่ำสุดในแนวนอนที่วัตถุสามารถเคลื่อนที่รอบโลกในวงโคจรเป็นวงกลมนั่นคือกลายเป็นดาวเทียมเทียมของโลก

แน่นอนว่านี่คืออุดมคติ ประการแรก ดาวเคราะห์ไม่ใช่ลูกบอล และประการที่สอง หากดาวเคราะห์มีชั้นบรรยากาศหนาแน่นเพียงพอ ดาวเทียมดังกล่าว - แม้ว่าจะสามารถเปิดตัวได้ - ก็จะเผาไหม้อย่างรวดเร็ว อีกประการหนึ่งก็คือ ดาวเทียมโลกที่บินในชั้นไอโอโนสเฟียร์ที่ระดับความสูงเฉลี่ยเหนือพื้นผิว 200 กม. มีรัศมีวงโคจรที่แตกต่างจากรัศมีเฉลี่ยของโลกเพียงประมาณ 3% เท่านั้น

ดาวเทียมที่เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมโดยมีรัศมี (รูปที่ 5.9) จะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงของโลก ทำให้มีความเร่งปกติ

ข้าว. 5.9. การเคลื่อนที่ของดาวเทียมโลกเทียมในวงโคจรเป็นวงกลม

ตามกฎข้อที่สองของนิวตันที่เรามี

หากดาวเทียมเคลื่อนที่เข้าใกล้พื้นผิวโลกแล้ว

ดังนั้นสำหรับบนโลกที่เราได้รับ

จะเห็นได้ว่าจริงๆ แล้วมันถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของดาวเคราะห์: รัศมีและมวลของมัน

ระยะเวลาการโคจรของดาวเทียมรอบโลกคือ

โดยที่คือรัศมีของวงโคจรของดาวเทียม และคือความเร็วของวงโคจร

ค่าต่ำสุดของคาบการโคจรจะเกิดขึ้นได้เมื่อเคลื่อนที่ในวงโคจรซึ่งมีรัศมีเท่ากับรัศมีของดาวเคราะห์:

ดังนั้นความเร็วหลบหนีแรกสามารถกำหนดได้ดังนี้: ความเร็วของดาวเทียมในวงโคจรเป็นวงกลมโดยมีคาบการหมุนรอบโลกน้อยที่สุด

คาบการโคจรเพิ่มขึ้นตามรัศมีการโคจรที่เพิ่มขึ้น

หากระยะเวลาการปฏิวัติของดาวเทียมเท่ากับระยะเวลาการปฏิวัติของโลกรอบแกนของมันและทิศทางการหมุนของมันตรงกันและวงโคจรอยู่ในระนาบเส้นศูนย์สูตรดังนั้นดาวเทียมดังกล่าวจะถูกเรียกว่า ค้างอยู่.

ดาวเทียมค้างฟ้าจะแขวนอยู่เหนือจุดเดียวกันบนพื้นผิวโลกอย่างต่อเนื่อง (รูปที่ 5.10)

ข้าว. 5.10. การเคลื่อนที่ของดาวเทียมค้างฟ้า

เพื่อให้ร่างกายออกจากทรงกลมของแรงโน้มถ่วงนั่นคือเพื่อเคลื่อนที่ไปยังระยะทางที่แรงดึงดูดของโลกหยุดมีบทบาทสำคัญก็จำเป็น ความเร็วหลบหนีที่สอง(รูปที่ 5.11)

ความเร็วหลบหนีที่สองพวกเขาเรียกความเร็วต่ำสุดที่ต้องส่งให้กับวัตถุเพื่อให้วงโคจรของมันในสนามโน้มถ่วงของโลกกลายเป็นพาราโบลานั่นคือเพื่อให้ร่างกายสามารถเปลี่ยนเป็นบริวารของดวงอาทิตย์ได้

ข้าว. 5.11. ความเร็วหลบหนีที่สอง

เพื่อให้ร่างกาย (ในกรณีที่ไม่มีความต้านทานต่อสิ่งแวดล้อม) สามารถเอาชนะแรงโน้มถ่วงและออกไปนอกอวกาศได้ จำเป็นที่พลังงานจลน์ของร่างกายบนพื้นผิวโลกจะต้องเท่ากับ (หรือมากกว่า) งานที่ทำกับ แรงโน้มถ่วง มาเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานกลกัน อีร่างกายเช่นนี้ บนพื้นผิวโลก โดยเฉพาะโลก

ความเร็วจะน้อยที่สุดหากร่างกายอยู่นิ่งในระยะทางที่ไม่สิ้นสุดจากดาวเคราะห์

เมื่อเทียบนิพจน์ทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน เราก็จะได้

ดังนั้นความเร็วหนีที่สองที่เรามี

ในการบอกความเร็วที่ต้องการ (ความเร็วจักรวาลแรกหรือวินาที) ให้กับวัตถุที่ปล่อยออกมา จะมีประโยชน์ที่จะใช้ความเร็วเชิงเส้นของการหมุนของโลก กล่าวคือ ปล่อยมันให้ใกล้กับเส้นศูนย์สูตรมากที่สุด โดยที่ความเร็วนี้ตามที่เรามี ที่เห็นคือ 463 m/s (แม่นยำยิ่งขึ้น 465.10 m/s ) ในกรณีนี้ทิศทางการเปิดตัวจะต้องตรงกับทิศทางการหมุนของโลก - จากตะวันตกไปตะวันออก เป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณว่าด้วยวิธีนี้ คุณสามารถได้รับต้นทุนพลังงานเพิ่มขึ้นหลายเปอร์เซ็นต์

ขึ้นอยู่กับความเร็วเริ่มต้นที่มอบให้กับร่างกาย ณ จุดขว้าง กบนพื้นผิวโลกสามารถเคลื่อนที่ประเภทต่อไปนี้ได้ (รูปที่ 5.8 และ 5.12):

ข้าว. 5.12. รูปร่างของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคขึ้นอยู่กับความเร็วในการขว้าง

การเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงของวัตถุในจักรวาลอื่นๆ เช่น ดวงอาทิตย์ จะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกันทุกประการ เพื่อที่จะเอาชนะแรงโน้มถ่วงของแสงสว่างและออกจากระบบสุริยะ วัตถุที่อยู่นิ่งสัมพันธ์กับดวงอาทิตย์และอยู่ห่างจากวัตถุนั้นในระยะทางเท่ากับรัศมีวงโคจรของโลก (ดูด้านบน) จะต้องได้รับความเร็วขั้นต่ำ กำหนดจากความเท่าเทียมกัน

โดยที่คือรัศมีของวงโคจรของโลก และเป็นมวลของดวงอาทิตย์

สิ่งนี้นำไปสู่สูตรที่คล้ายกับนิพจน์สำหรับความเร็วหลบหนีที่สอง โดยจำเป็นต้องแทนที่มวลของโลกด้วยมวลของดวงอาทิตย์ และรัศมีของโลกด้วยรัศมีวงโคจรของโลก:

ให้เราเน้นย้ำว่านี่คือความเร็วต่ำสุดที่ต้องกำหนดให้กับวัตถุที่อยู่นิ่งซึ่งอยู่ในวงโคจรของโลกเพื่อที่จะเอาชนะแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ได้

โปรดสังเกตการเชื่อมต่อด้วย

ด้วยความเร็ววงโคจรของโลก การเชื่อมต่อนี้ตามที่ควรจะเป็น - โลกเป็นบริวารของดวงอาทิตย์ เหมือนกับระหว่างความเร็วจักรวาลที่หนึ่งและที่สอง และ .

ในทางปฏิบัติ เราปล่อยจรวดออกจากโลก ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าจรวดมีส่วนร่วมในการโคจรรอบดวงอาทิตย์อย่างเห็นได้ชัด ดังที่แสดงไว้ข้างต้น โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ด้วยความเร็วเชิงเส้น

ขอแนะนำให้ปล่อยจรวดไปในทิศทางที่โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์

ความเร็วที่ต้องมอบให้กับวัตถุบนโลกเพื่อที่จะออกจากระบบสุริยะตลอดไปเรียกว่า ความเร็วหลบหนีที่สาม .

ความเร็วขึ้นอยู่กับทิศทางที่ยานอวกาศออกจากเขตแรงโน้มถ่วง เมื่อออกตัวได้ดีที่สุด ความเร็วนี้จะอยู่ที่ประมาณ = 6.6 กม./วินาที

ที่มาของตัวเลขนี้สามารถเข้าใจได้จากการพิจารณาด้านพลังงาน ดูเหมือนว่าจะเพียงพอที่จะบอกความเร็วของจรวดเทียบกับโลกได้

ในทิศทางที่โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์และจะออกจากระบบสุริยะ แต่นี่คงจะถูกต้องถ้าโลกไม่มีสนามโน้มถ่วงของตัวเอง ร่างกายจะต้องมีความเร็วดังกล่าวซึ่งเคลื่อนตัวออกห่างจากทรงกลมแรงโน้มถ่วงไปแล้ว ดังนั้น การคำนวณความเร็วหลบหนีครั้งที่สามจึงคล้ายกับการคำนวณความเร็วหลบหนีที่สองมาก แต่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม - วัตถุที่อยู่ห่างจากโลกมากจะต้องยังคงมีความเร็ว:

ในสมการนี้ เราสามารถแสดงพลังงานศักย์ของวัตถุบนพื้นผิวโลกได้ (เทอมที่สองทางด้านซ้ายของสมการ) ในรูปของความเร็วหลุดพ้นที่สองตามสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับความเร็วหลุดพ้นที่สอง

จากที่นี่เราพบว่า

ข้อมูลเพิ่มเติม

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. วิชาฟิสิกส์ทั่วไป เล่ม 1 กลศาสตร์ ก. วิทยาศาสตร์ 1979 - หน้า 325–332 (§61, 62): ได้รับสูตรสำหรับความเร็วจักรวาลทั้งหมด (รวมถึงความเร็วที่สามด้วย) ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของยานอวกาศได้รับการแก้ไข กฎของเคปเลอร์ได้มาจากกฎแรงโน้มถ่วงสากล

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - นิตยสาร“ Kvant” - การบินของยานอวกาศสู่ดวงอาทิตย์ (A. Byalko)

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - นิตยสาร Kvant - พลวัตของดวงดาว (A. Chernin)

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Strelkov S.P. กลศาสตร์เอ็ด วิทยาศาสตร์ 1971 - หน้า 138–143 (§§ 40, 41): แรงเสียดทานที่มีความหนืด กฎของนิวตัน

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - นิตยสาร“ Kvant” - เครื่องแรงโน้มถ่วง (A. Sambelashvili)

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - A.V. Bialko "โลกของเรา - โลก" วิทยาศาสตร์ 2526 ช. 1 ย่อหน้าที่ 3 หน้า 23–26 - ให้แผนภาพตำแหน่งของระบบสุริยะในกาแลคซีของเรา ทิศทางและความเร็วการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์และกาแล็กซีที่สัมพันธ์กับการแผ่รังสีไมโครเวฟพื้นหลังของจักรวาล

ระยะเวลาของการปฏิวัติของดาวเทียมประดิษฐ์ที่เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมที่ระดับความสูงเท่ากับรัศมีของโลกมีกี่ครั้งที่เกินระยะเวลาของการปฏิวัติของดาวเทียมในวงโคจรโลกต่ำ?

ปัญหาข้อ 2.5.14 จาก “รวบรวมปัญหาการเตรียมตัวสอบเข้าวิชาฟิสิกส์ที่ USPTU”

ที่ให้ไว้:

\(h=R\), \(\frac(T_2)(T_1)-?\)

การแก้ปัญหา:

ลองหาคาบการโคจร \(T_2\) ของดาวเทียมที่เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมที่ระดับความสูง \(h=R\) เห็นได้ชัดว่าแรงโน้มถ่วงสากลส่งผ่านความเร่งสู่ศูนย์กลางของดาวเทียม \(a_t\) ดังนั้นกฎข้อที่สองของนิวตันจะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

\[(F_(t2)) = ม(a_(t2))\;\;\;\;(1)\]

แรงโน้มถ่วงถูกกำหนดโดยกฎแรงโน้มถ่วงสากล:

\[(F_(t2)) = G\frac((Mm))((((\left((R + h) \right))^2)))\;\;\;\;(2)\ ]

เพื่อให้คาบการโคจรปรากฏในสูตรของเรา เราจำเป็นต้องแสดงความเร่งสู่ศูนย์กลาง \(a_(c2)\) ผ่านคาบนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนสูตรเพื่อหาความเร่ง \(a_(q2)\) ผ่านความเร็วเชิงมุมและสูตรสำหรับเชื่อมต่อค่าหลังกับคาบ

\[(a_(t2)) = (\โอเมก้า ^2)\left((R + h) \right)\]

\[\โอเมก้า = \frac((2\pi ))(T_2)\]

\[(a_(t2)) = \frac((4(\pi ^2)))(T_2^2)\left((R + h) \right)\;\;\;\;(3)\ ]

ลองแทนที่นิพจน์ (2) และ (3) ให้เป็นความเท่าเทียมกัน (1):

ลองเปรียบเทียบดาวเทียมที่เคลื่อนที่ในวงโคจรโลกต่ำกันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าระยะเวลาการปฏิวัติจะเท่ากับ:

\[(T_1) = 2\pi \sqrt (\frac(((R^3)))((GM)))\]

ทีนี้ลองแทนที่เงื่อนไข \(h=R\) ลงในสูตรเพื่อกำหนดระยะเวลา \(T_2\) (ในสูตร (4)):

\[(T_2) = 2\pi \sqrt (\frac((((\left((R + R) \right))^3)))((GM))) = 2\pi \sqrt (\frac ((8(R^3)))((จีเอ็ม))) \]

อัตราส่วนที่ต้องการคือ:

\[\frac(((T_2)))(((T_1))) = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 = 2.83\]

ตอบ: 2.83 เท่า

หากคุณไม่เข้าใจวิธีแก้ปัญหาและมีคำถามหรือพบข้อผิดพลาด โปรดแสดงความคิดเห็นด้านล่าง

ในอวกาศ แรงโน้มถ่วงให้แรงที่ทำให้ดาวเทียม (เช่น ดวงจันทร์) โคจรรอบวัตถุที่มีขนาดใหญ่กว่า (เช่น โลก) โดยทั่วไปวงโคจรเหล่านี้จะมีรูปร่างเป็นวงรี แต่ส่วนใหญ่แล้ววงรีนี้ก็ไม่ได้แตกต่างจากวงกลมมากนัก ดังนั้น ในการประมาณครั้งแรก วงโคจรของดาวเทียมจึงถือเป็นวงกลมได้ เมื่อทราบมวลของดาวเคราะห์และความสูงของวงโคจรของดาวเทียมเหนือโลก เราก็สามารถคำนวณได้ว่าควรจะเป็นเท่าใด ความเร็วของดาวเทียมรอบโลก.

การคำนวณความเร็วของดาวเทียมรอบโลก

ดาวเทียมที่หมุนเป็นวงโคจรรอบโลก ณ จุดใดก็ตามในวิถีโคจรสามารถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมบูรณ์คงที่เท่านั้น แม้ว่าทิศทางของความเร็วนี้จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาก็ตาม ความเร็วนี้มีขนาดเท่าใด? สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันและกฎแรงโน้มถ่วง

เพื่อรักษาวงโคจรเป็นวงกลมของดาวเทียมมวลตามกฎข้อที่สองของนิวตัน จำเป็นต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลาง: โดยที่ คือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ดังที่ทราบกันดีว่าความเร่งสู่ศูนย์กลางถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ความเร็วของดาวเทียมคือรัศมีของวงโคจรวงกลมที่ดาวเทียมเคลื่อนที่

แรงสู่ศูนย์กลางได้มาจากแรงโน้มถ่วง ดังนั้นตามกฎแรงโน้มถ่วง:

โดยที่ kg คือมวลของโลก m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 คือค่าคงที่แรงโน้มถ่วง

เมื่อแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรดั้งเดิมเราจะได้:

เมื่อแสดงความเร็วที่ต้องการ เราพบว่าความเร็วของดาวเทียมรอบโลกเท่ากับ:

นี่เป็นสูตรสำหรับความเร็วที่ดาวเทียมโลกต้องมีในรัศมีที่กำหนด (เช่น ระยะห่างจากศูนย์กลางดาวเคราะห์) เพื่อรักษาวงโคจรเป็นวงกลม ความเร็วไม่สามารถเปลี่ยนขนาดได้ตราบใดที่ดาวเทียมยังคงรักษารัศมีวงโคจรให้คงที่ ตราบใดที่มันยังคงโคจรรอบดาวเคราะห์ในเส้นทางวงกลม

เมื่อใช้สูตรผลลัพธ์ จะต้องพิจารณารายละเอียดหลายประการ:

ตามกฎแล้วดาวเทียมประดิษฐ์ของโลกโคจรรอบดาวเคราะห์ที่ระดับความสูง 500 ถึง 2,000 กม. จากพื้นผิวดาวเคราะห์ มาคำนวณว่าดาวเทียมดังกล่าวควรเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนที่ระดับความสูง 1,000 กม. เหนือพื้นผิวโลก ในกรณีนี้ กม. แทนที่ตัวเลขเราจะได้:

วัสดุที่จัดทำโดย Sergei Valerievich

2.2.2. การเคลื่อนไหวภายใต้อิทธิพล แรงโน้มถ่วง (ดาวเทียม)

เมื่อดาวเทียมเคลื่อนที่ (โดยที่เครื่องยนต์ดับอยู่) ในวงโคจรเป็นวงกลม จะมีแรงเพียงแรงเดียวเท่านั้นที่กระทำต่อดาวเทียมเหล่านั้น นั่นคือ แรงดึงดูดของดาวเทียมที่มีต่อดาวเคราะห์

ดาวเทียมที่มีมวล m และเคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมที่ความสูง h เหนือพื้นผิวดาวเคราะห์ (รูปที่ 2.2) จะได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงเท่านั้น

ข้าว. 2.2

แรงนี้มุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของโลกและให้ความเร่งสู่ศูนย์กลางไปยังดาวเทียม ในกรณีนี้ความสัมพันธ์นั้นถูกต้อง

G m M r 2 = ม v 2 r

ทำให้เราได้สูตรคำนวณมา ความเร็วหลบหนีดาวเทียม:

โดยที่ G = 6.67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล ม. - น้ำหนักตัว; r = R + h - รัศมีวงโคจร; R คือรัศมีของดาวเคราะห์ h คือความสูงของดาวเทียมเหนือพื้นผิวดาวเคราะห์

มีความเร็วจักรวาลที่หนึ่ง สอง และสาม สำหรับดาวเคราะห์โลก:

• ความเร็วหลบหนีครั้งแรก- ความเร็วต่ำสุดที่มอบให้กับดาวเทียมใกล้กับพื้นผิวโลก ซึ่งสามารถเข้าสู่วงโคจรเป็นวงกลมและเริ่มหมุนรอบโลกในวงโคจรโลกต่ำ (h γ 0)

โวลต์ 1 γ 7.9 กม./วินาที;

• ความเร็วหลบหนีที่สอง- ความเร็วต่ำสุดที่มอบให้กับดาวเทียมที่อยู่ใกล้พื้นผิวโลกซึ่งสามารถเคลื่อนตัวออกจากโลกไปในระยะไกลมากและกลายเป็นดาวเทียมของดวงอาทิตย์

โวลต์ 2 γ 11.2 กม./วินาที;

• ความเร็วหลบหนีที่สาม- ความเร็วต่ำสุดที่รายงานไปยังดาวเทียมใกล้กับพื้นผิวโลกซึ่งสามารถออกจากระบบสุริยะได้ มีค่าประมาณ 16.6 กม./วินาที

เมื่อพวกเขาพูดถึงความเร็วหลบหนีครั้งแรกของดาวเคราะห์ พวกเขาหมายความว่าดาวเทียมกำลังเคลื่อนที่ที่ระดับความสูง h µ 0 นั่นคือ รัศมีของวงโคจรของดาวเทียม r เกิดขึ้นพร้อมกับรัศมีของดาวเคราะห์ R:

r = อาร์

คาบการโคจรของดาวเทียมรอบๆ ดาวเคราะห์ (เวลาของการปฏิวัติหนึ่งครั้ง) สามารถกำหนดเป็นอัตราส่วนของความยาววงโคจรต่อความเร็วหลุดพ้นครั้งแรก:

โดยที่ L = 2πr คือความยาวของวงโคจรที่มีรัศมี r (เส้นรอบวง) v คือความเร็วหนีแรกของดาวเทียมในวงโคจรนี้

ตัวอย่างที่ 5 คาบการโคจรของดาวเทียมประดิษฐ์เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมที่ระดับความสูงเท่ากับสองเท่าของรัศมีของโลกเกินกว่าคาบการโคจรของดาวเทียมที่หมุนในวงโคจรใกล้โลกกี่ครั้ง

สารละลาย. คาบการโคจรของดาวเทียมที่เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลมที่ระดับความสูง h 1 = 2R ถูกกำหนดโดยสูตร

T 1 = 2 π (R + ชั่วโมง 1) v 1,

โดยที่ R คือรัศมีของโลก v 1 คือความเร็วหนีแรกของดาวเทียมที่ระดับความสูง h 1

คาบการโคจรของดาวเทียมที่เคลื่อนที่ในวงโคจรโลกต่ำ (h 2 data 0) ถูกกำหนดโดยสูตร

T 2 = 2 π (R + ชั่วโมง 2) v 2,

โดยที่ v 2 คือความเร็วหนีแรกของดาวเทียมในวงโคจรโลกต่ำ

การแทนที่ค่า h 1 = 2R และ h 2 = 0 ลงในสูตรในการคำนวณระยะเวลาที่สอดคล้องกันจะได้:

T 1 = 6 π R v 1 และ T 2 = 2 π R v 2 .

อัตราส่วนระยะเวลา

ที 1 ที 2 = 3 โวลต์ 2 โวลต์ 1

แสดงผ่านอัตราส่วนของความเร็วจักรวาลแรกของดาวเทียมในวงโคจรที่สอดคล้องกัน

ความเร็วจักรวาลแรกถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

• สำหรับความสูง ชั่วโมง 1 = 2R

โวลต์ 1 = G M R + ชั่วโมง 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;

• สำหรับความสูง h 2 data 0 (วงโคจรโลก)

โวลต์ 2 = G M R + ชั่วโมง 2 = G M R + 0 = G M R ,

โดยที่ G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล M คือมวลของโลก

เราได้แทน v 1 และ v 2 ลงในสูตรสำหรับอัตราส่วนของช่วงเวลา

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 µm 5.2

เหล่านั้น. คาบการโคจรของดาวเทียมที่เคลื่อนที่ที่ระดับความสูงเท่ากับสองรัศมีจะเกินคาบการโคจรของดาวเทียมในวงโคจรโลกต่ำประมาณ 5.2 เท่า

ตัวอย่างที่ 6 รัศมีของดาวเคราะห์ดวงหนึ่งมากกว่ารัศมีของโลก 3 เท่า และความหนาแน่นของดาวเคราะห์นั้นน้อยกว่าความหนาแน่นของโลก 9 เท่า กำหนดอัตราส่วนของความเร็วจักรวาลแรกของดาวเทียมสำหรับโลกและดาวเคราะห์

สารละลาย. มีการเปรียบเทียบความเร็วหนีแรกต่อไปนี้:

• สำหรับพื้นผิวโลก

โวลต์ 1 = G M Z R Z

• สำหรับพื้นผิวโลก

โดยที่ G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล MZ - มวลของโลก; RZ - รัศมีของโลก; M คือมวลของดาวเคราะห์ R คือรัศมีของดาวเคราะห์

อัตราส่วนความเร็วคือ

โวลต์ 1 โวลต์ 2 = ม Z R Z R M .

สมมติว่าโลกและดาวเคราะห์มีรูปร่างเป็นทรงกลม เราจะได้สูตรสำหรับคำนวณมวลที่สอดคล้องกัน:

• เพื่อโลก

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3

• สำหรับดาวเคราะห์

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

โดยที่ ρ Z คือความหนาแน่นของโลก ρ คือความหนาแน่นของดาวเคราะห์

ลองแทนค่ามวลลงในสูตรของอัตราส่วนความเร็ว:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .

ตามเงื่อนไขของปัญหา R = 3R З และ ρ З = 9ρ; ดังนั้นอัตราส่วนความเร็วที่ต้องการจึงเท่ากับ

โวลต์ 1 โวลต์ 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1,

เหล่านั้น. ความเร็วของดาวเทียมจะเท่ากันสำหรับพื้นผิวโลกและพื้นผิวของโลก

ตัวอย่างที่ 7 ดาวเทียมหมุนรอบดาวเคราะห์ดวงหนึ่งเป็นวงโคจรเป็นวงกลมด้วยรัศมี 20,000 กม. ด้วยความเร็ว 12 กม./วินาที กำหนดขนาดของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวโลกหากรัศมีของมันอยู่ที่ 12,000 กม.

สารละลาย. เราหาความเร่งของการตกอย่างอิสระบนพื้นผิวโลกโดยใช้สูตร

โดยที่ G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงสากล M คือมวลของดาวเคราะห์ R คือรัศมีของดาวเคราะห์

รัศมีของดาวเคราะห์ระบุไว้ในคำชี้แจงปัญหา ผลิตภัณฑ์ (GM) สามารถแสดงได้จากสูตรสำหรับความเร็วหลบหนีแรก:

v = G M R + h = G M r ,

โดยที่ r คือรัศมีวงโคจรของดาวเทียม ดังนั้นงานที่จำเป็น

GM = โวลต์ 2 ร.

ลองแทนที่ (GM) ลงในนิพจน์เพื่อคำนวณ g 0:

ก. 0 = โวลต์ 2 ร 2 .

การคำนวณช่วยให้เราได้ค่าความเร่งของแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวโลก:

ก. 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 เมตรต่อวินาที 2.