การพัฒนาอัลกอริธึมสำหรับวิเคราะห์การกรองสัญญาณ อัลกอริธึมการกรองแบบดิจิตอลเชิงเส้น ไดอะแกรมโครงสร้างของตัวกรองดิจิตอลแบบเรียกซ้ำ

ตัวกรองดิจิทัลที่เป็นไปได้ทางกายภาพซึ่งทำงานแบบเรียลไทม์สามารถใช้ข้อมูลต่อไปนี้เพื่อสร้างสัญญาณเอาต์พุตในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง: a) ค่าของสัญญาณอินพุตในขณะที่สุ่มตัวอย่าง รวมทั้งจำนวน "ที่ผ่านมา" ตัวอย่างอินพุต จำนวนตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณเอาต์พุต จำนวนเต็ม ประเภทที่กำหนดลำดับของ CF การจำแนกประเภทของ CF ดำเนินการในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับว่ามีการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะในอดีตของระบบอย่างไร

CFs ตามขวาง

นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับตัวกรองที่ทำงานตามอัลกอริทึม

โดยที่ลำดับของสัมประสิทธิ์คือ

ตัวเลขคือลำดับของตัวกรองดิจิทัลตามขวาง ดังที่เห็นได้จากสูตร (15.58) ตัวกรองขวางจะดำเนินการรวมน้ำหนักของตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณอินพุตและไม่ใช้ตัวอย่างที่ผ่านมาของสัญญาณเอาต์พุต ใช้การแปลง z กับนิพจน์ทั้งสองด้าน (15.58) เราแน่ใจว่า

ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่การทำงานของระบบ

เป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน z ที่มีหลายขั้วที่และศูนย์ พิกัดที่กำหนดโดยสัมประสิทธิ์ตัวกรอง

อัลกอริธึมสำหรับการทำงานของ DF ตามขวางแสดงโดยแผนภาพบล็อกที่แสดงในรูปที่ 15.7.

ข้าว. 15.7. แบบแผนสำหรับการสร้างตัวกรองดิจิตอลตามขวาง

องค์ประกอบหลักของตัวกรองคือบล็อกการหน่วงเวลาของค่าตัวอย่างสำหรับช่วงสุ่มตัวอย่างหนึ่งช่วง (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัญลักษณ์) รวมถึงบล็อกมาตราส่วนซึ่งทำการคูณแบบดิจิทัลด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน จากเอาท์พุตของสเกลบล็อค สัญญาณจะไปที่แอดเดอร์ เมื่อรวมกันแล้ว พวกมันจะสร้างตัวอย่างของสัญญาณเอาท์พุต

รูปแบบของไดอะแกรมที่นำเสนอนี้อธิบายความหมายของคำว่า "ตัวกรองตามขวาง" (จากขวางภาษาอังกฤษ - ขวาง)

การใช้ซอฟต์แวร์ของฟังก์ชันดิจิตอลตามขวาง

ควรระลึกไว้เสมอว่าแผนภาพบล็อกที่แสดงในรูปที่ 15.7 ไม่ใช่ แผนภาพ วงจรไฟฟ้าแต่ให้บริการเท่านั้น ภาพกราฟิกอัลกอริทึมการประมวลผลสัญญาณ โดยใช้วิธีการของภาษา FORTRAN ให้เราพิจารณาส่วนย่อยของโปรแกรมที่ใช้การกรองแบบดิจิทัลตามขวาง

ปล่อยให้ใน หน่วยความจำเข้าถึงโดยสุ่มคอมพิวเตอร์ประกอบด้วยอาร์เรย์หนึ่งมิติของเซลล์ M สองชุด: อาร์เรย์ชื่อ X ซึ่งเก็บค่าของสัญญาณอินพุต และอาร์เรย์ชื่อ A ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวกรอง

เนื้อหาของเซลล์ในอาร์เรย์ X จะเปลี่ยนแปลงทุกครั้งที่ได้รับตัวอย่างใหม่ของสัญญาณอินพุต

สมมติว่าอาร์เรย์นี้เต็มไปด้วยตัวอย่างก่อนหน้าของลำดับอินพุตและพิจารณาสถานการณ์ที่เกิดขึ้นในขณะที่มาถึงของกลุ่มตัวอย่างถัดไปซึ่งได้รับชื่อ S ในโปรแกรม ตัวอย่างนี้ควรอยู่ในหมายเลขเซลล์ 1 แต่หลังจากบันทึกก่อนหน้าถูกเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่งเท่านั้น นั่นคือ ไปทางด้านที่ล้าหลัง

องค์ประกอบของอาร์เรย์ X ที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้จะถูกคูณแบบเทอมต่อเทอมด้วยองค์ประกอบของอาร์เรย์ A และผลลัพธ์จะถูกป้อนลงในเซลล์ที่ชื่อ Y โดยที่ค่าตัวอย่างของสัญญาณเอาท์พุตจะถูกสะสม ด้านล่างนี้เป็นข้อความของโปรแกรมการกรองแบบดิจิตอลตามขวาง:

การตอบสนองของแรงกระตุ้น ให้เรากลับไปที่สูตร (15.59) และคำนวณการตอบสนองของแรงกระตุ้นของ CF ตามขวางโดยทำการแปลงค่า z ผกผัน เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าแต่ละเทอมของฟังก์ชันมีส่วนสนับสนุนเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน โดยเลื่อนตามตำแหน่งไปสู่การหน่วงเวลา ที่นี่เลย

ข้อสรุปนี้สามารถเข้าถึงได้โดยตรงโดยพิจารณาจากแผนภาพบล็อกของตัวกรอง (ดูรูปที่ 15.7) และสมมติว่า "ชีพจรเดียว" ถูกป้อนเข้า

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของตัวกรองตามขวางมีจำนวนพจน์ที่จำกัด

การตอบสนองความถี่

ถ้าเราเปลี่ยนตัวแปรในสูตร (15.59) เราก็จะได้ค่าสัมประสิทธิ์การส่งความถี่

สำหรับขั้นตอนการสุ่มตัวอย่าง A ที่กำหนด รูปแบบการตอบสนองความถี่ที่หลากหลายสามารถทำได้โดยการเลือกน้ำหนักตัวกรองอย่างเหมาะสม

ตัวอย่างที่ 15.4 ตรวจสอบลักษณะความถี่ของตัวกรองดิจิทัลแนวขวางอันดับสองที่หาค่าเฉลี่ยของค่าปัจจุบันของสัญญาณอินพุตและตัวอย่างก่อนหน้าสองตัวอย่างตามสูตร

ฟังก์ชั่นระบบของตัวกรองนี้

ข้าว. 15.8. ลักษณะความถี่ของ DF ตามขวางจากตัวอย่าง 15.4: a - การตอบสนองความถี่; b - PFC

ดังนั้นเราจึงหาค่าสัมประสิทธิ์การส่งความถี่

การแปลงเบื้องต้นนำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับการตอบสนองต่อความถี่ในการตอบสนองต่อเฟสของระบบนี้:

กราฟที่เกี่ยวข้องจะแสดงในรูปที่ 15.8, a, b โดยที่ค่าถูกพล็อตตามแกนนอน - มุมเฟสของช่วงการสุ่มตัวอย่างที่ค่าความถี่ปัจจุบัน

ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีตัวอย่างหกตัวอย่างต่อหนึ่งช่วงของการสั่นของอินพุตฮาร์มอนิก ในกรณีนี้ลำดับอินพุตจะมีรูปแบบ

(ค่าสัมบูรณ์ของตัวอย่างไม่สำคัญเนื่องจากตัวกรองเป็นแบบเส้นตรง) โดยใช้อัลกอริทึม (15.62) เราพบลำดับเอาต์พุต:

จะเห็นได้ว่าสัญญาณเอาท์พุตฮาร์มอนิกที่มีความถี่เดียวกันกับอินพุตนั้นสอดคล้องกับมัน โดยมีแอมพลิจูดเท่ากับแอมพลิจูดของการสั่นของอินพุตและเฟสเริ่มต้นเลื่อน 60 °ไปทางการหน่วงเวลา

DF แบบเรียกซ้ำ

แบบนี้ ตัวกรองดิจิตอลโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าสำหรับการก่อตัวของการนับเอาท์พุทนั้นไม่เพียง แต่ใช้ค่าก่อนหน้าของสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตเท่านั้น:

(15.63)

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดส่วนแบบเรียกซ้ำของอัลกอริธึมการกรองจะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เพื่อเน้นความแตกต่างระหว่างโครงสร้างของตัวกรองดิจิทัลทั้งสองประเภท ตัวกรองตามขวางจะเรียกว่าตัวกรองแบบไม่เรียกซ้ำ

ฟังก์ชันระบบของฟังก์ชันดิจิทัลแบบเรียกซ้ำ

ทำการแปลง z ของความสัมพันธ์การเกิดซ้ำทั้งสองข้าง (15.63) เราพบว่าฟังก์ชันของระบบ

อธิบายคุณสมบัติความถี่ของ CF แบบเรียกซ้ำ มีขั้วบนระนาบ z หากสัมประสิทธิ์ของส่วนแบบเรียกซ้ำของอัลกอริธึมเป็นจริง ขั้วเหล่านี้อาจอยู่บนแกนจริงหรือสร้างคู่คอนจูเกตที่ซับซ้อน

ไดอะแกรมโครงสร้างของตัวกรองดิจิทัลแบบเรียกซ้ำ

ในรูป 15.9 แสดงไดอะแกรมของอัลกอริทึมของการคำนวณที่ดำเนินการตามสูตร (15.63) ส่วนบนของบล็อกไดอะแกรมสอดคล้องกับส่วนขวาง (ไม่เรียกซ้ำ) ของอัลกอริทึมการกรอง สำหรับการนำไปใช้ ในกรณีทั่วไป จำเป็นต้องมีบล็อกขนาดใหญ่ (การดำเนินการคูณ) และเซลล์หน่วยความจำซึ่งเก็บตัวอย่างอินพุตไว้

ส่วนล่างของบล็อกไดอะแกรมสอดคล้องกับส่วนที่เรียกซ้ำของอัลกอริทึม ใช้ค่าเอาต์พุตที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งจะเปลี่ยนจากเซลล์หนึ่งไปอีกเซลล์หนึ่งระหว่างการทำงานของตัวกรอง

ข้าว. 15.9. ไดอะแกรมโครงสร้างของตัวกรองดิจิตอลแบบเรียกซ้ำ

ข้าว. 15.10. ไดอะแกรมโครงสร้างของตัวกรองดิจิทัลแบบเรียกซ้ำตามบัญญัติของลำดับที่ 2

ข้อเสียของหลักการนำไปใช้นี้คือความต้องการเซลล์หน่วยความจำจำนวนมาก แยกกันสำหรับชิ้นส่วนแบบเรียกซ้ำและแบบไม่เรียกซ้ำ รูปแบบบัญญัติของฟังก์ชันดิจิทัลแบบเรียกซ้ำนั้นสมบูรณ์แบบกว่า ซึ่งใช้จำนวนเซลล์หน่วยความจำที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เท่ากับจำนวนที่ใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น รูปที่ 15.10 แสดงบล็อกไดอะแกรมของตัวกรองแบบเรียกซ้ำแบบบัญญัติอันดับสอง ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันของระบบ

เพื่อให้แน่ใจว่าระบบนี้ใช้ฟังก์ชันที่กำหนด ให้พิจารณาตัวช่วย สัญญาณไม่ต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของแอดเดอร์ 1 และเขียนสมการที่ชัดเจนสองสมการ:

(15.67)

ดำเนินการ -การแปลงสมการ (15.66) เราพบว่า

ในทางกลับกัน ตามนิพจน์ (15.67)

การรวมความสัมพันธ์ (15.68) และ (15.69) เรามาถึงฟังก์ชันของระบบที่กำหนด (15.65)

ความเสถียรของฟังก์ชันดิจิตอลแบบเรียกซ้ำ

CF แบบเรียกซ้ำเป็นอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของระบบไดนามิกที่มี ข้อเสนอแนะเนื่องจากค่าของสถานะก่อนหน้าจะถูกเก็บไว้ในเซลล์หน่วยความจำ หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นบางอย่าง นั่นคือ ชุดของค่า จากนั้นหากไม่มีสัญญาณอินพุต ตัวกรองจะสร้างองค์ประกอบของลำดับอนันต์ที่ทำหน้าที่เป็นการแกว่งอิสระ

ตัวกรองดิจิทัลเรียกว่าเสถียรหากกระบวนการอิสระที่เกิดขึ้นนั้นเป็นลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นนั่นคือค่าที่ ไม่เกินจำนวนบวก M โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นที่เลือก

การแกว่งอิสระในฟังก์ชันดิจิทัลแบบเรียกซ้ำตามอัลกอริธึม (15.63) เป็นคำตอบของสมการผลต่างเชิงเส้น

โดยเปรียบเทียบกับหลักการแก้สมการเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์เราจะหาวิธีแก้ปัญหา (15.70) ในรูปแบบของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ที่ยังไม่ทราบค่า แทนที่ (15.71) ใน (15.70) และยกเลิกด้วยปัจจัยร่วม เราจะเห็นว่า a เป็นรากของสมการคุณลักษณะ

จากพื้นฐาน (15.64) สมการนี้ตรงกับสมการที่ขั้วของฟังก์ชันระบบของ recursive CF พอใจ

ให้หาระบบรากของสมการ (15.72) แล้วคำตอบทั่วไปของสมการผลต่าง (15.70) จะได้รูป

ควรเลือกค่าสัมประสิทธิ์เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น

หากขั้วทั้งหมดของฟังก์ชันระบบ กล่าวคือ ตัวเลขไม่เกินหนึ่งในค่าสัมบูรณ์ ซึ่งอยู่ภายในวงกลมหน่วยที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง จากนั้น บนพื้นฐานของ (15.73) กระบวนการอิสระใดๆ ใน CF จะถูกอธิบายโดย เงื่อนไขของการลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและตัวกรองจะมีเสถียรภาพ เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถใช้ได้จริงเฉพาะตัวกรองดิจิทัลที่เสถียรเท่านั้น

ตัวอย่าง 15.5 ตรวจสอบความเสถียรของตัวกรองดิจิทัลลำดับที่ 2 แบบเรียกซ้ำด้วยฟังก์ชันระบบ

สมการคุณลักษณะ

มีราก

เส้นโค้งที่อธิบายโดยสมการบนระนาบสัมประสิทธิ์คือขอบเขตที่อยู่เหนือซึ่งขั้วของฟังก์ชันระบบเป็นของจริงและด้านล่างเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน

สำหรับกรณีของเสาคอนจูเกตที่ซับซ้อน ดังนั้น ขอบเขตหนึ่งของขอบเขตความมั่นคงคือเส้นตรง 1

ข้าว. 15.11. บริเวณความเสถียรของตัวกรองแบบเรียกซ้ำลำดับที่ 2 (เสาตัวกรองเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนในบริเวณที่มีรหัสสี)

พิจารณาจากขั้วจริงที่เรามีเงื่อนไขความมั่นคงในรูปแบบ

งานห้องปฏิบัติการ

อัลกอริทึมการกรองสัญญาณในระบบควบคุมกระบวนการ

เป้า.ทำความคุ้นเคยกับอัลกอริทึมสำหรับการกรองสัญญาณสุ่มที่วัดได้ ซึ่งพบได้บ่อยที่สุดในระบบควบคุมกระบวนการ และทำการวิเคราะห์เปรียบเทียบความถูกต้องและคุณสมบัติการใช้งานในคอมพิวเตอร์

ออกกำลังกาย

1) สำหรับคุณลักษณะที่กำหนดของสัญญาณสุ่ม ให้คำนวณพารามิเตอร์ตัวกรองที่เหมาะสมที่สุด

2) จำลองระบบการกรองบนคอมพิวเตอร์และคำนวณข้อผิดพลาดในการกรองสำหรับแต่ละวิธีที่พิจารณา

3) เพื่อทำการวิเคราะห์เปรียบเทียบประสิทธิภาพของอัลกอริธึมที่พิจารณา

บทบัญญัติพื้นฐาน 1 คำชี้แจงของปัญหาการกรองที่เหมาะสมที่สุดสัญญาณจากอุปกรณ์วัดมักจะมีข้อผิดพลาดแบบสุ่ม - การรบกวน งานการกรองคือการแยกส่วนประกอบสัญญาณที่มีประโยชน์ออกจากสัญญาณรบกวนไปยังระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง ตามกฎแล้ว ทั้งสัญญาณที่เป็นประโยชน์และการรบกวนจะถือว่าเป็นกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ซึ่งทราบลักษณะทางสถิติ: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ความหนาแน่นของสเปกตรัม เมื่อทราบคุณลักษณะเหล่านี้แล้ว จำเป็นต้องค้นหาตัวกรองในคลาสของระบบไดนามิกเชิงเส้นหรือในคลาสที่แคบกว่าของระบบเชิงเส้นตรงที่มีโครงสร้างที่กำหนด เพื่อให้สัญญาณที่เอาต์พุตของตัวกรองแตกต่างจากสัญญาณที่มีประโยชน์น้อยที่สุด

มะเดื่อ 1. ว่าด้วยปัญหาการกรอง

ให้เราแนะนำสัญกรณ์และกำหนดปัญหาการกรองให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้อินพุตของตัวกรองตอบสนองด้วยแรงกระตุ้น ถึง(t) และที่สอดคล้องกัน (เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์) 0

AFH W(ฉัน) รับสัญญาณที่เป็นประโยชน์ x(t) และการรบกวนที่ไม่สัมพันธ์กับมัน z(t) (รูปที่ 1). ฟังก์ชันสหสัมพันธ์และความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณที่เป็นประโยชน์และการรบกวนถูกแสดงโดย R x (t), ส x (t), R z (t) และ ส z (t) ... จำเป็นต้องค้นหาลักษณะของตัวกรอง k (t) หรือ W (t) เพื่อให้ค่า rms ของความแตกต่าง ε ระหว่างสัญญาณที่เอาต์พุตของตัวกรองและสัญญาณที่มีประโยชน์ x มีค่าน้อยที่สุด หากทราบคุณสมบัติของตัวกรองด้วยความแม่นยำของพารามิเตอร์หนึ่งหรือหลายพารามิเตอร์ จำเป็นต้องเลือกค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์เหล่านี้

ข้อผิดพลาด ε ประกอบด้วยสององค์ประกอบ ครั้งแรก ( ε 1 ) เชื่อมโยงกับความจริงที่ว่าเสียงบางส่วนยังคงผ่านตัวกรองและส่วนที่สอง ( ε 2 ) - เพื่อให้รูปร่างของสัญญาณที่มีประโยชน์เปลี่ยนไปเมื่อผ่านตัวกรอง ดังนั้น การกำหนดคุณลักษณะตัวกรองที่เหมาะสมที่สุดคือการค้นหาโซลูชันประนีประนอมที่ลดข้อผิดพลาดทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด

มาแสดงการตอบสนองความถี่ของตัวกรองในรูปแบบ:

W (iω) = A (ω) ประสบการณ์

โดยใช้สูตรที่เชื่อมต่อความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มที่อินพุตและเอาต์พุตของระบบเชิงเส้นตรงที่มีการตอบสนองต่อความถี่ เราจะคำนวณความหนาแน่นของสเปกตรัมของแต่ละองค์ประกอบข้อผิดพลาด

สำหรับข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการข้ามเสียงเราได้รับ

ส ε1 (ω) = ส z (ω ) อา 2 (ω )

ความหนาแน่นสเปกตรัมของข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการบิดเบือนของสัญญาณที่เป็นประโยชน์คือ

ส ε2 (ω) = ส x (ω )|1 – W(ฉัน)| 2

ผลรวมของส่วนประกอบเหล่านี้ S ε มีความหนาแน่นของสเปกตรัม

ส ε (ω ) = ส ε1 (ω ) + ส ε2 (ω )

พิจารณาว่า

|1 – W(ฉัน)| 2 = 2 + อา 2 (ω ) บาป 2 ฉ(ω ),

ส ε (ω ) = ส z (ω) อา 2 (ω) + ส x (ω) อา 2 (ω ) + ส x (ω) - 2ส x (ω) อา(ω) cosf(ω) . (1)

ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูตสัมพันธ์กับความหนาแน่นของสเปกตรัมโดยนิพจน์

โดยการย่อให้เล็กสุด ส ε (ω ) บน ฉ(ω) และ เอ (ω),เรามาถึงสมการ

cosฉ * (ω ) = 1
ฉ *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

ลักษณะที่พบของตัวกรองที่เหมาะสมที่สุดสอดคล้องกับความหนาแน่นของข้อผิดพลาดทางสเปกตรัม

ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองค่าเฉลี่ยรูตขั้นต่ำ

(3)

น่าเสียดายที่ตัวกรองที่พบนั้นไม่สามารถทำได้ เนื่องจากเงื่อนไขของความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ที่ความถี่ทั้งหมดของการตอบสนองต่อความถี่เฟสหมายความว่าการตอบสนองของอิมพัลส์ของตัวกรองนั้นเป็นฟังก์ชันที่เท่ากัน มันไม่ใช่ศูนย์ไม่เพียงแต่สำหรับ t>0 แต่ยังอยู่ที่ t(รูปที่ 2, ก).

สำหรับตัวกรองที่ใช้งานได้จริง ข้อกำหนดต่อไปนี้เป็นจริง: ถึง(t) = 0 ที่ เสื้อ (รูปที่ 2, b). ข้อกำหนดนี้ควรนำมาใช้ในคำชี้แจงปัญหา ย่อมเกิดความผิดพลาดขึ้นได้ σ ในขณะเดียวกันก็จะเพิ่มขึ้น ปัญหาของการกรองที่เหมาะสมที่สุดโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ทางกายภาพได้รับการแก้ไขแล้ว

ข้าว. 2. ลักษณะแรงกระตุ้นของตัวกรองที่ไม่เกิดขึ้นจริง (ก) และตัวกรองที่ทำได้จริง (ข)

ข้าว. 3. ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณที่เป็นประโยชน์ส x (ω) และเสียงรบกวนส z (ω) และลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของตัวกรองที่เหมาะสมที่สุด A * (ω) โดยที่ไม่ทับซ้อนกัน (a) และทับซ้อนกัน (b)ส x (ω) และส z (ω)

น. วีเนอร์. การแก้ปัญหานั้นซับซ้อนกว่าที่กล่าวไว้ข้างต้นมาก ดังนั้นในงานนี้ เราจะมองหาตัวกรองที่ใช้งานได้จริงเฉพาะในคลาสของตัวกรองที่มีคุณสมบัติที่ระบุได้อย่างแม่นยำตามค่าของพารามิเตอร์ ปริมาณ คำนวณโดยสูตร (3) สามารถทำหน้าที่เป็นค่าประมาณที่ต่ำกว่าของข้อผิดพลาดในการกรองที่ได้

ความหมายทางกายภาพของความสัมพันธ์ (2, b) แสดงไว้ในรูปที่ 3. หากสเปกตรัมของสัญญาณที่เป็นประโยชน์และการรบกวนไม่ทับซ้อนกัน เอ (ω)ควรเท่ากับศูนย์โดยที่ความหนาแน่นสเปกตรัมของการรบกวนจะแตกต่างจากศูนย์และเท่ากับหนึ่งสำหรับความถี่ทั้งหมดที่ ส x (ω)>0 ... ในรูป 3, b แสดงตัวอักษร ก * (ω)ในกรณีที่ความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณและการรบกวนทับซ้อนกัน

ในบรรดาตัวกรองที่มีโครงสร้างที่กำหนด ตัวกรองที่แพร่หลายที่สุดคือตัวกรองตามการดำเนินการของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ เช่นเดียวกับตัวกรองเลขชี้กำลังและตัวกรองทางสถิติที่เรียกว่าลำดับศูนย์ ตัวกรองเลขชี้กำลังคือตัวกรอง aperiodic อันดับแรก และตัวกรองสถิติลำดับศูนย์คือลิงก์ที่ขยายผล พิจารณาแต่ละตัวกรองที่กล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติม

ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เอาต์พุตของตัวกรองสัมพันธ์กับอินพุตตามอัตราส่วน

ฟังก์ชันอิมพัลส์ชั่วคราวของตัวกรองแสดงในรูปที่ 4, a. ลักษณะความถี่เท่ากัน

การตอบสนองของแรงกระตุ้นสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันเฮวิไซด์ 1(t)

k(t) = k.

พารามิเตอร์ตัวกรองที่ปรับได้จะได้รับ kและความทรงจำ ตู่.

ตัวกรองเลขชี้กำลัง(รูปที่ 4, ข). สัญญาณเอาท์พุตถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์

y/ γ + y = กิโลกรัม

การตอบสนองของแรงกระตุ้นคือ:

ลักษณะความถี่

พารามิเตอร์ตัวกรองคือค่าเกน kและค่าคงที่เวลาผกผันกับ γ .

ข้าว. 4. ฟังก์ชั่นชั่วคราวของแรงกระตุ้นk(t) และลักษณะแอมพลิจูด - ความถี่ А (ω) ของตัวกรองทั่วไป: а - ค่าเฉลี่ยปัจจุบัน; b - เลขชี้กำลัง; c) คำสั่งศูนย์คงที่

ตัวกรองสถิติลำดับศูนย์ ตัวกรองนี้เป็นตัวขยายสัญญาณดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ลักษณะของมัน

y(t) = กิโลกรัม(t) ; อา(ω) = k; ฉ(ω) = 0

น้ำหนักของตัวกรองในรายการไม่อนุญาตให้มีการกรองในอุดมคติ แม้จะมีสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องและสเปกตรัมการรบกวนก็ตาม ลดข้อผิดพลาด σ ε คุณสามารถเลือกพารามิเตอร์ k, T, γ... สิ่งนี้ต้องการคุณสมบัติของตัวกรอง เอ (ω)และ ฉ(ω) เป็นฟังก์ชันของความถี่และพารามิเตอร์ แทนที่ในสูตร (1) ใช้อินทิกรัลของนิพจน์ผลลัพธ์ ซึ่งจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ตัวกรอง และหาค่าต่ำสุดของอินทิกรัลนี้เหนือพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวกรองทางสถิติของลำดับคูลอมบ์ ความหนาแน่นสเปกตรัมของข้อผิดพลาดจะมีรูปแบบดังนี้:

ส ε (ω ) = ส z (ω ) k 2 + ส x ω (1 – k 2 )

ปริพันธ์ ส ε เท่ากับความแปรปรวนของการรบกวนคูณด้วย π ... เราได้รับ

ให้เราพิจารณาว่าอินทิกรัลทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับความแปรปรวนของสัญญาณที่มีประโยชน์และสัญญาณรบกวน ดังนั้น

เงื่อนไขสำหรับค่าต่ำสุดของนิพจน์นี้เกี่ยวกับ kนำไปสู่ความเท่าเทียมกัน

หลังจากการแทนที่ของค่าที่พบ kในนิพจน์สำหรับความแปรปรวนของข้อผิดพลาด เราได้รับ:

ตัวกรองของค่าเฉลี่ยปัจจุบันและเลขชี้กำลังมีพารามิเตอร์ที่ปรับได้สองตัวแต่ละตัวและค่าที่เหมาะสมไม่สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายผ่านลักษณะของสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่มีประโยชน์ แต่ค่าเหล่านี้สามารถพบได้โดยวิธีตัวเลขเพื่อค้นหา ฟังก์ชันขั้นต่ำในสองตัวแปร

รูปที่ 5 บล็อกไดอะแกรมของการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ของระบบกรองสัญญาณสุ่ม

2. คำอธิบายของระบบจำลองงานดำเนินการโดยการสร้างแบบจำลองบนคอมพิวเตอร์ระบบที่ประกอบด้วยบล็อกต่อไปนี้ (รูปที่ 5)

1. เครื่องกำเนิดสัญญาณอินพุต I รวมถึงเครื่องกำเนิดสัญญาณสุ่ม (GSS) และตัวกรองการสร้างรูปร่างสองตัวที่มีคุณสมบัติเฉพาะ W x (ฉัน) และ W z (ฉัน) ที่เอาต์พุตซึ่งรับสัญญาณที่เป็นประโยชน์ x(t) และอุปสรรค z(t) ... ระหว่างเครื่องกำเนิดสัญญาณสุ่มและตัวกรองการสร้าง W zรวมลิงก์ล่าช้า Δ ให้เปลี่ยนรอบนาฬิกาสองถึงสามรอบ ในกรณีนี้ อินพุตของตัวกรองที่สร้างสัญญาณรบกวนและอินพุตของตัวกรองที่สร้างสัญญาณที่มีประโยชน์จะไม่สัมพันธ์กัน

2. บล็อกสำหรับคำนวณฟังก์ชันสหสัมพันธ์
.

3. หน่วยการกรอง (II) รวมถึงตัวกรองจริง
และบล็อกสำหรับคำนวณข้อผิดพลาดในการกรอง
.

สัญญาณที่เป็นประโยชน์ที่สร้างขึ้นในระบบ x(ท)และอุปสรรค z(t) เป็นกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ซึ่งสามารถประมาณได้โดยเลขชี้กำลังของแบบฟอร์ม (รูปที่ 6)

(6)

ที่ไหน

ค่าประมาณความแปรปรวนของสัญญาณ และ คำนวณโดยใช้บล็อก (ที่ τ = 0); พารามิเตอร์ α และ α z ถูกกำหนดโดยครู

3. การใช้ตัวกรองต่อเนื่องแบบแยกส่วนเราใช้ตัวกรองแบบต่อเนื่องแบบแยกส่วนตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ขั้นที่รอบคอบ t oใช้เวลาน้อยกว่าเวลาการสลายตัวของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่มีประโยชน์อย่างมาก ดังนั้นนิพจน์ข้างต้น (1) สำหรับการคำนวณ σ ε ผ่านลักษณะสเปกตรัมของสัญญาณอินพุตและสัญญาณรบกวน สามารถใช้ในกรณีแยกกันได้

ก่อนอื่นให้เราค้นหาแอนะล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของตัวกรองที่สร้างกระบวนการสุ่มที่มีฟังก์ชันสหสัมพันธ์จากสัญญาณที่ได้รับจาก GSS (6) ความหนาแน่นของสเปกตรัมที่สอดคล้องกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์เหล่านี้มีรูปแบบ

(7)

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองการสร้างสำหรับกรณีที่การกระจายของสัญญาณที่เอาต์พุตของ GSS เท่ากับหนึ่งคือ

มองเห็นได้ไม่ยาก

หากสัญญาณที่อินพุตของตัวกรองการสร้างแต่ละตัวแสดงด้วย ξ จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการถ่ายโอนที่เขียนด้านบนจะมีรูปแบบ

แอนะล็อกความแตกต่างที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนในรูปแบบ;

ดังนั้นอัลกอริธึมสำหรับการทำงานของตัวกรองซึ่งเป็นสัญญาณที่มีประโยชน์จึงมีรูปแบบดังนี้

(8a)

ในทำนองเดียวกันสำหรับตัวกรองการสร้างเสียงรบกวน

(8b)

แอนะล็อกของฟิลเตอร์ต่อเนื่องที่ออกแบบมาเพื่อแยกสัญญาณรบกวนมีดังนี้:

สำหรับตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

(9)

ที่ค่า lเลือกจากเงื่อนไข (l + 1) t อู๋ = ตู่;

สำหรับตัวกรองเลขชี้กำลัง

(10)

สำหรับตัวกรองสถิติของลำดับศูนย์

ที่ ผม = กิโลกรัม ผม (11)

คำสั่งดำเนินการ 1. สร้างและดีบักรูทีนย่อยของบล็อกเพื่อกรองข้อมูลปัจจุบันและคำนวณข้อผิดพลาดในการกรอง

2. รับกระบวนการสุ่มที่เอาต์พุตของตัวกรองการสร้างและใช้เพื่อค้นหาค่าความแปรปรวนของสัญญาณที่มีประโยชน์และสัญญาณรบกวนตลอดจนฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R x (τ) และ R z (τ) ... ประมาณกำหนด α Xและ α zและเปรียบเทียบกับสิ่งที่คำนวณได้

3. คำนวณโดย ส x (ω) และ ส z (ω) วิเคราะห์หรือบนขอบล่างของคอมพิวเตอร์ สำหรับข้อผิดพลาดในการกรอง rms

4. ใช้สูตร (4) ค้นหากำไรสูงสุดของตัวกรองสถิติลำดับศูนย์และค่าที่สอดคล้องกัน เพื่อเปรียบเทียบกับ

5. ฉันใช้วิธีการที่รู้จักกันดีวิธีหนึ่งในการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวและโปรแกรมที่คอมไพล์ล่วงหน้าเพื่อค้นหาพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดของตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่และเลขชี้กำลัง และข้อผิดพลาดในการกรองค่าเฉลี่ยรูทสแควร์ ในกรณีนี้ การรวมกันของพารามิเตอร์ตัวกรองที่เฉพาะเจาะจงจะสอดคล้องกับความหนาแน่นของข้อผิดพลาดทางสเปกตรัม ส ε (ω) กำหนดโดยสูตร (1) แล้วหาค่า หลังจากรวมตัวเลขแล้ว

6. เข้าสู่โปรแกรมการกรองในคอมพิวเตอร์ กำหนดข้อผิดพลาด root-mean-square จากการทดลองสำหรับพารามิเตอร์ตัวกรองที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม เปรียบเทียบผลลัพธ์กับค่าที่คำนวณได้

7. ทำการวิเคราะห์เปรียบเทียบประสิทธิภาพของอัลกอริธึมการกรองต่างๆ สำหรับตัวบ่งชี้ต่อไปนี้: ก) ข้อผิดพลาดรูท-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองขั้นต่ำที่ทำได้ b) จำนวน RAM ที่ต้องการ; c) คอมพิวเตอร์นับเวลา

รายงานควรมี: 1) บล็อกไดอะแกรมของระบบ (ดูรูปที่ 5);

2) รูทีนย่อยของตัวกรองการสร้างและสังเคราะห์

3) การคำนวณพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดของตัวกรองและค่าที่สอดคล้องกันของข้อผิดพลาดรูทหมายถึงกำลังสอง

4) ผลการวิเคราะห์อัลกอริธึมที่พิจารณาแล้วและข้อสรุป

บูธ 6.2. การสร้างโครงการ 6.3 ศึกษา APCSในการอบรม ห้องปฏิบัติการ... แน่ใจ เป้าหมายกิจกรรมของพวกเขา เป้าหมายกิจกรรม ...

IO นามสกุล "" 20 g

เอกสาร

โหมด งาน) ;. … […) [ชื่อโหมด งาน] ... ตาม ห้องปฏิบัติการวิเคราะห์; 5) ... ข้อกำหนดสำหรับ APCS... กระบวนการทางเทคโนโลยี ... การประมวลผลและการวิเคราะห์ข้อมูล ( สัญญาณ, ข้อความ, เอกสาร ฯลฯ ... อัลกอริทึม การกรองและ อัลกอริทึมขจัดเสียงรบกวนจาก จุดมุ่งหมาย ...

ระบบอัตโนมัติอัจฉริยะในโครงการภาคเรียนและอนุปริญญา

นามธรรม

ลวด. เป้า... ผลิตภัณฑ์ ... สัญญาณ HART สำหรับบูรณาการเข้ากับระบบ APCS ... การกรองเซ็นเซอร์ฝุ่นมีหลายประเภท DT400G ทำงาน ... อัลกอริทึม...อุตสาหกรรมเคมี. วิธีการทางเทคนิคและ ห้องปฏิบัติการ งาน/ จีไอ Lapchenkov, LM ...

โปรแกรมการทำงานของวินัย "อัตโนมัติของกระบวนการทางเทคโนโลยี"

โปรแกรมการทำงาน

... เป้าหมายและวัตถุประสงค์ในการเรียนรู้วินัย วัตถุประสงค์...ส่วนประกอบหลัก APCS- ตัวควบคุม ... มุมมอง สัญญาณค ... แก้ไขข้อผิดพลาด การกรองข้อความ, ... อัลกอริทึมและโปรแกรม การอภิปราย ประสิทธิภาพของการควบคุม ผลงาน. ห้องปฏิบัติการชั้นเรียน ห้องปฏิบัติการ ...

ตัวกรองดิจิทัลที่เป็นไปได้ทางกายภาพ ซึ่งทำงานตามเวลาจริง สามารถใช้ข้อมูลต่อไปนี้เพื่อสร้างสัญญาณเอาต์พุตในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องที่ i: a) ค่าของสัญญาณอินพุตในช่วงเวลาของตัวอย่างที่ i เช่น รวมทั้งจำนวนตัวอย่างอินพุต "ที่ผ่านมา" จำนวนหนึ่ง b) จำนวนตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณเอาท์พุต จำนวนเต็ม m และ n กำหนดลำดับของ CF การจำแนกประเภทของ CF ดำเนินการในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับว่ามีการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะในอดีตของระบบอย่างไร

ทราเวิร์ส CF.นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับตัวกรองที่ทำงานตามอัลกอริทึม

ที่ไหน -ลำดับของสัมประสิทธิ์

ตัวเลข ตู่คือลำดับของตัวกรองดิจิทัลตามขวาง ดังที่เห็นได้จากสูตร (2.138) ตัวกรองขวางจะดำเนินการรวมถ่วงน้ำหนักของตัวอย่างก่อนหน้าของสัญญาณอินพุตและไม่ใช้ตัวอย่างที่ผ่านมาของสัญญาณเอาต์พุต ใช้การแปลง z กับนิพจน์ทั้งสองด้าน (2.138) เราจะเห็นว่า

ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่การทำงานของระบบ

เป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน z , มีเสาพับ m ที่ z = 0 และ ตู่ศูนย์ที่มีพิกัดถูกกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์การกรอง

อัลกอริธึมสำหรับการทำงานของ DF ตามขวางแสดงโดยแผนภาพบล็อกที่แสดงในรูปที่ 2.17.

ข้าว. 2.17. แบบแผนสำหรับการสร้างตัวกรองดิจิตอลตามขวาง

องค์ประกอบหลักของตัวกรองคือบล็อกการหน่วงเวลาของค่าตัวอย่างสำหรับช่วงการสุ่มตัวอย่างหนึ่งช่วง (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัญลักษณ์ z -1) รวมถึงบล็อกมาตราส่วนที่ทำการคูณแบบดิจิทัลด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง จากเอาท์พุตของสเกลบล็อค สัญญาณจะไปที่แอดเดอร์ เมื่อรวมกันแล้ว พวกมันจะสร้างตัวอย่างของสัญญาณเอาท์พุต

รูปแบบของไดอะแกรมที่นำเสนอนี้อธิบายความหมายของคำว่า "ตัวกรองตามขวาง" (จากแนวขวางภาษาอังกฤษ)

การตอบสนองของแรงกระตุ้นให้เรากลับไปที่สูตร (2.139) และคำนวณการตอบสนองของแรงกระตุ้นของ CF ตามขวางโดยทำการแปลงค่า z ผกผัน เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าแต่ละเทอมของฟังก์ชัน H (z) มีส่วนสนับสนุนเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน , พลัดถิ่นโดย พีตำแหน่งไปทางด้านที่ล้าหลัง ที่นี่เลย

ข้อสรุปนี้สามารถเข้าถึงได้โดยตรงโดยพิจารณาจากแผนภาพบล็อกของตัวกรอง (ดูรูปที่ 2.17) และสมมติว่า "แรงกระตุ้นเดี่ยว" (1, 0, 0, 0, 0, ...) ถูกป้อนเข้า

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของตัวกรองตามขวางมีจำนวนพจน์ที่จำกัด

การตอบสนองความถี่ถ้าในสูตร (2.139) เราเปลี่ยนตัวแปร จากนั้นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์การส่งความถี่

สำหรับขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างที่กำหนด อาเป็นไปได้ที่จะรับรู้รูปแบบการตอบสนองความถี่ที่หลากหลายโดยการเลือกน้ำหนักตัวกรองอย่างเหมาะสม

วิธีการสังเคราะห์ตัวกรองดิจิตอล. วิธีปฏิบัติที่แพร่หลายที่สุดในการสังเคราะห์ตัวกรองดิจิทัลคือสามวิธีที่อธิบายไว้ด้านล่าง

วิธีการตอบสนองแรงกระตุ้นคงที่

วิธีนี้ใช้สมมติฐานที่ว่าตัวกรองดิจิทัลที่สังเคราะห์แล้วควรมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น ซึ่งเป็นผลมาจากการสุ่มตัวอย่างการตอบสนองของอิมพัลส์ของต้นแบบตัวกรองแอนะล็อกที่สอดคล้องกัน ความหมายคือ การสังเคราะห์ระบบที่สามารถเกิดขึ้นได้จริงซึ่งการตอบสนองของแรงกระตุ้นหายไปที่ t<0 เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของ CF:

ที่ไหน ตู่ ขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างเวลา

ควรสังเกตว่าจำนวนคำศัพท์แต่ละคำในนิพจน์สำหรับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของ CF สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดและไม่สิ้นสุด สิ่งนี้กำหนดโครงสร้างของตัวกรองที่สังเคราะห์: ตัวกรองตามขวางสอดคล้องกับการตอบสนองของแรงกระตุ้นด้วยตัวอย่างจำนวนจำกัด ในขณะที่ DF แบบเรียกซ้ำจะต้องใช้การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่ยาวไม่สิ้นสุด

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นและโครงสร้างของ DF นั้นง่ายเป็นพิเศษสำหรับตัวกรองขวาง ในกรณีทั่วไป การสังเคราะห์โครงสร้างตัวกรองจะดำเนินการโดยใช้ z-แปลงเป็นลำดับของแบบฟอร์มที่ระบุข้างต้น โดยการค้นหาฟังก์ชันระบบ เอช (ซ)คุณควรเปรียบเทียบกับนิพจน์ทั่วไปและกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนตามขวางและส่วนแบบเรียกซ้ำ ระดับของการประมาณค่าคุณลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของตัวกรองดิจิทัลที่สังเคราะห์ขึ้นกับคุณลักษณะของต้นแบบแอนะล็อกขึ้นอยู่กับขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างที่เลือก หากจำเป็น คุณควรคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การส่งความถี่ของตัวกรองดิจิทัลโดยดำเนินการในฟังก์ชันระบบ เอช (ซ)เปลี่ยนตัวแปรตามสูตร
แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์กับอัตราขยายของวงจรแอนะล็อก

การสังเคราะห์ DF ตามการแยกสมการของสมการอนุพันธ์

วงจรแอนะล็อก

โครงสร้างของตัวกรองดิจิทัล ซึ่งใกล้เคียงกับวงจรแอนะล็อกที่รู้จักโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการแยกสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายต้นแบบแอนะล็อกออก ตัวอย่างของการใช้วิธีนี้ ให้พิจารณาการสังเคราะห์ CF ที่สอดคล้องกับระบบไดนามิกการแกว่งอันดับสอง ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างการแกว่งของเอาต์พุต y (ท)และอินพุตโยกเยก x (ท)ถูกกำหนดโดยสมการอนุพันธ์

(2.142)

สมมุติว่าขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างคือ  tและพิจารณาการรวบรวมตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่อง  ที่ 1  และ  X 1  ... หากอนุพันธ์ในสูตรถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ส่วนต่างจำกัด สมการอนุพันธ์จะกลายเป็นสมการผลต่าง

การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราได้รับ:

(2.144)

สมการความแตกต่างกำหนดอัลกอริธึมตัวกรองแบบเรียกซ้ำลำดับที่ 2 ที่จำลองระบบออสซิลเลเตอร์แบบอะนาล็อกและเรียกว่าเรโซเนเตอร์ดิจิตอล ด้วยการเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม เครื่องสะท้อนเสียงดิจิตอลสามารถทำหน้าที่เป็นตัวกรองความถี่แบบเลือกความถี่ได้ คล้ายกับวงจรออสซิลเลเตอร์

วิธีการลักษณะความถี่คงที่ .

เป็นไปไม่ได้โดยพื้นฐานแล้วที่จะสร้างตัวกรองดิจิทัล ซึ่งการตอบสนองความถี่จะทำซ้ำการตอบสนองความถี่ของวงจรแอนะล็อกบางวงจรอย่างแน่นอน เหตุผลก็คือ ดังที่คุณทราบ ค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนความถี่ของ DF เป็นฟังก์ชันความถี่เป็นระยะโดยมีคาบที่กำหนดโดยขั้นตอนการสุ่มตัวอย่าง

เมื่อพูดถึงความคล้ายคลึงกัน (ค่าคงที่) ของลักษณะความถี่ของตัวกรองแอนะล็อกและดิจิทัล เราต้องการเพียงช่วงความถี่อนันต์ทั้งหมด ω a ซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบแอนะล็อก จะถูกแปลงเป็นส่วนความถี่ ω q ของตัวกรองดิจิทัล สนองความไม่เท่าเทียมกัน
ในขณะที่ยังคงมุมมองทั่วไปของการตอบสนองความถี่

อนุญาต K เอ (อาร์) ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของตัวกรองแอนะล็อกที่ระบุโดยนิพจน์ตรรกยะเศษส่วนในยกกำลัง พี... หากคุณใช้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร zและ p เราสามารถเขียนได้ว่า

. (2.145)

ด้วยกฎข้อนี้ ความสัมพันธ์ระหว่าง พีและ zเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับฟังก์ชันตัวกรองระบบที่ใช้งานได้จริง เนื่องจากการแทนที่เป็นนิพจน์ K เอ (อาร์)จะให้ฟังก์ชันระบบที่ไม่ได้แสดงเป็นผลหารของพหุนามสองพหุนาม ดังนั้น สำหรับการสังเคราะห์ตัวกรองความถี่ต่ำ การเชื่อมต่อของแบบฟอร์ม

, (2.146)

ซึ่งแมปจุดของวงกลมหนึ่งหน่วยในระนาบ z กับจุดของแกนจินตภาพบนระนาบ p แล้ว

, (2.147)

ดังนั้นตามความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรความถี่  ระบบแอนะล็อกและดิจิทัล:

. (2.148)

หากอัตราการสุ่มตัวอย่างสูงเพียงพอ ( ค ตู่<<1), ดังจะเห็นได้ง่ายจากสูตร (2.147)  เอ  ค... ดังนั้น ที่ความถี่ต่ำ ลักษณะของฟิลเตอร์แอนะล็อกและดิจิทัลจะเหมือนกันทุกประการ โดยทั่วไป จำเป็นต้องคำนึงถึงการแปลงมาตราส่วนตามแกนความถี่ของตัวกรองดิจิทัล

ในทางปฏิบัติ ขั้นตอนการสังเคราะห์ CF ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าในฟังก์ชัน K เอ (อาร์)วงจรแอนะล็อกถูกแทนที่ด้วยตัวแปรตามสูตร (2.145) ฟังก์ชันระบบที่เป็นผลลัพธ์ของ DF กลายเป็นเศษส่วน-ตรรกยะ ดังนั้นจึงทำให้สามารถจดอัลกอริทึมการกรองแบบดิจิทัลได้โดยตรง

คำถามทดสอบตัวเอง

ตัวกรองใดที่เรียกว่าตรงกัน

การตอบสนองของแรงกระตุ้นของตัวกรองคืออะไร

สัญญาณที่เอาต์พุตของตัวกรองที่ตรงกันคืออะไร

ตัวกรองใดที่เรียกว่าดิจิทัล

อะไรคือความแตกต่างระหว่างอัลกอริทึมสำหรับการทำงานของตัวกรองแบบเรียกซ้ำและตามขวาง

วิธีหลักในการสังเคราะห์ตัวกรองดิจิทัลมีอะไรบ้าง .

คุณสมบัติหลักของการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องคืออะไร

อัลกอริธึมสำหรับการสำเร็จการศึกษาเชิงวิเคราะห์ การกรองแบบดิจิทัลโดยใช้วิธีการปรับให้เรียบแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ตัวกรองที่ทนทาน ผ่านสูง ผ่านแบนด์ และบาก การแยกความแตกต่าง การบูรณาการ และการหาค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้

ตัวกรองคือระบบหรือเครือข่ายที่เลือกเปลี่ยนรูปร่างของสัญญาณ (การตอบสนองความถี่แอมพลิจูดหรือความถี่เฟส) เป้าหมายหลักของการกรองคือการปรับปรุงคุณภาพสัญญาณ (เช่น การกำจัดหรือลดการรบกวน) การดึงข้อมูลจากสัญญาณหรือการแยกสัญญาณหลายตัวที่รวมกันก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่น การใช้ช่องทางการสื่อสารที่มีอยู่อย่างมีประสิทธิภาพ

ตัวกรองดิจิทัล - ตัวกรองใดๆ ที่ประมวลผลสัญญาณดิจิทัลเพื่อแยกและ/หรือระงับความถี่บางอย่างของสัญญาณนี้

ต่างจากฟิลเตอร์ดิจิทัล ฟิลเตอร์แอนะล็อกเกี่ยวข้องกับสัญญาณแอนะล็อก คุณสมบัติของมันไม่ต่อเนื่อง (ต่อเนื่อง) ตามลำดับ ฟังก์ชันการถ่ายโอนขึ้นอยู่กับคุณสมบัติภายในขององค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบ

บล็อกไดอะแกรมแบบง่ายของตัวกรองดิจิทัลแบบเรียลไทม์พร้อมอินพุตและเอาต์พุตแบบอะนาล็อกจะแสดงในรูปที่ 8ก. สัญญาณแอนะล็อกแบบแนร์โรว์แบนด์จะถูกสุ่มตัวอย่างเป็นระยะและแปลงเป็นชุดของตัวอย่างดิจิทัล x (n), n = 0.1, ตัวกรองโปรเซสเซอร์ดิจิทัล, การแมปลำดับอินพุต x (n) กับเอาต์พุต y (n) ตามตัวกรองการคำนวณ อัลกอริทึม DAC จะแปลงเอาต์พุตที่กรองแบบดิจิทัลเป็นค่าแอนะล็อก จากนั้นจึงกรองแบบแอนะล็อกเพื่อทำให้เรียบและนำส่วนประกอบความถี่สูงที่ไม่ต้องการออก

ข้าว. 8ก. บล็อกไดอะแกรมแบบง่ายของตัวกรองดิจิทัล

การทำงานของฟิลเตอร์ดิจิทัลนั้นมาจากซอฟต์แวร์เป็นหลัก ดังนั้นจึงกลายเป็นว่ามีความยืดหยุ่นในการใช้งานมากกว่าเมื่อเทียบกับแอนะล็อก ด้วยความช่วยเหลือของตัวกรองดิจิทัล ทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่ยากมากที่จะได้รับด้วยวิธีการทั่วไป อย่างไรก็ตาม ฟิลเตอร์ดิจิทัลยังไม่สามารถแทนที่ฟิลเตอร์แอนะล็อกได้ในทุกสถานการณ์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีฟิลเตอร์แอนะล็อกที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของการกรองแบบดิจิทัล ก่อนอื่น จำเป็นต้องกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการกับสัญญาณในการกรองแบบดิจิทัล (DF) ด้วยเหตุนี้ การจำคำจำกัดความของตัวกรองแอนะล็อกจึงมีประโยชน์

ตัวกรองอนาล็อกเชิงเส้นเป็นเครือข่ายสี่พอร์ตซึ่งจะทำการแปลงเชิงเส้นของสัญญาณอินพุตเป็นสัญญาณเอาต์พุต ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงนี้อธิบายโดยเส้นตรงธรรมดา สมการเชิงอนุพันธ์ N-คำสั่งที่

โดยที่ และ คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นค่าคงที่หรือฟังก์ชันของเวลา t; - ลำดับตัวกรอง

ตัวกรองเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องเป็นเวอร์ชันที่ไม่ต่อเนื่องของตัวกรองเชิงเส้นแบบแอนะล็อก ซึ่ง quantized (สุ่มตัวอย่าง) เป็นตัวแปรอิสระ - เวลา (คือขั้นตอนการสุ่มตัวอย่าง) ในกรณีนี้ ตัวแปรจำนวนเต็มถือได้ว่าเป็น "เวลาที่ไม่ต่อเนื่อง" และส่งสัญญาณเป็นฟังก์ชันของ "เวลาที่ไม่ต่อเนื่อง" (ที่เรียกว่าฟังก์ชันแลตทิซ)

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันของตัวกรองเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องอธิบายโดยเส้นตรง สมการความแตกต่างของชนิด

โดยที่ และ คือค่าที่อ่านได้จากสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตตามลำดับ และ - ค่าสัมประสิทธิ์ของอัลกอริธึมการกรองซึ่งเป็นค่าคงที่หรือฟังก์ชันของ "เวลาไม่ต่อเนื่อง" น.

อัลกอริธึมการกรอง (2.2) สามารถใช้งานได้โดยใช้เทคโนโลยีแอนะล็อกหรือดิจิทัล ในกรณีแรก การอ่านสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตตามระดับจะไม่ถูกวัดค่าและสามารถรับค่าใดๆ ในช่วงของการเปลี่ยนแปลงได้ (กล่าวคือ มีพลังของคอนตินิวอัม) ในกรณีที่สอง ตัวอย่างของสัญญาณและถูกหาปริมาณตามระดับ ดังนั้นจึงสามารถรับได้เฉพาะค่าที่ "อนุญาต" ซึ่งกำหนดโดยความลึกบิตของอุปกรณ์ดิจิทัลเท่านั้น นอกจากนี้ ตัวอย่างสัญญาณเชิงปริมาณจะถูกเข้ารหัส ดังนั้นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการในนิพจน์ (2.2) จะไม่ถูกดำเนินการบนสัญญาณเอง แต่ใช้กับรหัสไบนารีของพวกมัน เนื่องจากการหาปริมาณในแง่ของระดับสัญญาณและตลอดจนสัมประสิทธิ์และความเท่าเทียมกันในอัลกอริธึม (2.2) ไม่สามารถเป็นค่าที่แน่นอนและเป็นจริงได้โดยประมาณเท่านั้น

ดังนั้นตัวกรองดิจิตอลเชิงเส้นจึงเป็นอุปกรณ์ดิจิทัลที่ใช้อัลกอริธึมการกรอง (2.2) โดยประมาณ

ข้อเสียเปรียบหลักของตัวกรองแบบแอนะล็อกและแบบแยกคือเมื่อสภาวะการทำงานเปลี่ยนแปลง (อุณหภูมิ ความดัน ความชื้น แรงดันไฟฟ้า อายุขององค์ประกอบ ฯลฯ) พารามิเตอร์จะเปลี่ยนไป มันนำไปสู่ ควบคุมไม่ได้ข้อผิดพลาดของสัญญาณเอาต์พุตเช่น ความแม่นยำในการประมวลผลต่ำ

ข้อผิดพลาดของสัญญาณเอาท์พุตในตัวกรองดิจิทัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับสภาวะการทำงาน (อุณหภูมิ ความดัน ความชื้น แรงดันไฟฟ้า ฯลฯ) แต่จะถูกกำหนดโดยขั้นตอนการหาปริมาณสัญญาณและอัลกอริธึมของตัวกรองเท่านั้น กล่าวคือ เหตุผลภายใน ข้อผิดพลาดนี้คือ ควบคุมสามารถลดได้โดยการเพิ่มจำนวนบิตเพื่อแสดงตัวอย่างสัญญาณดิจิทัล สถานการณ์นี้กำหนดข้อดีหลักของตัวกรองดิจิทัลเหนือตัวกรองแบบแอนะล็อกและแบบแยกส่วน (ความแม่นยำสูงในการประมวลผลสัญญาณและความเสถียรของคุณลักษณะ DF)

DF ตามประเภทของอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณแบ่งออกเป็น เครื่องเขียนและ ไม่อยู่กับที่, เรียกซ้ำและ ไม่เรียกซ้ำ, เชิงเส้นและ ไม่เชิงเส้น.

ลักษณะสำคัญของ CF คือ อัลกอริทึมการกรองตามการดำเนินการของ CF อัลกอริธึมการกรองอธิบายการทำงานของ CF ของคลาสใดๆ โดยไม่มีข้อจำกัด ในขณะที่คุณลักษณะอื่นๆ มีข้อจำกัดในคลาสของ CFs ตัวอย่างเช่น บางส่วนเหมาะสำหรับการอธิบายเฉพาะ CF เชิงเส้นที่อยู่กับที่เท่านั้น

ข้าว. 11. การจำแนกประเภทของCF

ในรูป 11 แสดงการจำแนกประเภทของตัวกรองดิจิทัล (DF) การจัดประเภทเป็นไปตามหลักการทำงาน กล่าวคือ ตัวกรองดิจิทัลถูกแบ่งย่อยตามอัลกอริทึมที่ใช้ และไม่คำนึงถึงคุณลักษณะของวงจรใดๆ

DF ของการเลือกความถี่ นี่คือ CF ที่เป็นที่รู้จัก ได้รับการศึกษาและทดสอบมาอย่างดีที่สุด จากมุมมองของอัลกอริทึม DF การเลือกความถี่สามารถแก้ปัญหาต่อไปนี้:

· การจัดสรร (การปราบปราม) หนึ่งแถบความถี่ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ขึ้นอยู่กับความถี่ที่ถูกระงับและไม่ใช่ ตัวกรองความถี่ต่ำ (LPF) ตัวกรองความถี่สูง (HPF) ตัวกรองแบนด์พาส (PF) และตัวกรองรอยบาก (RF)

· การแยกส่วนประกอบสเปกตรัมของสัญญาณด้วยสเปกตรัมของเส้นบนช่องสัญญาณความถี่ที่แยกจากกัน กระจายอย่างเท่าเทียมกันและสม่ำเสมอตลอดช่วงความถี่ทั้งหมด แยกแยะความแตกต่างระหว่าง CFs ที่มีการลดลงตามเวลาและความถี่ในการสลาย และเนื่องจากวิธีการหลักในการลดต้นทุนฮาร์ดแวร์คือการเรียงซ้อนของตัวเลือกที่ต่ำกว่าชุด PF ดั้งเดิม โครงสร้างเสี้ยมแบบหลายขั้นตอนที่เกิดจากมันถูกเรียกว่า "ตัวเลือกล่วงหน้า-ตัวเลือก" DF;

· การแยกส่วนประกอบสเปกตรัมของสัญญาณออกเป็นช่องความถี่ที่แยกจากกัน ซึ่งสเปกตรัมประกอบด้วยแถบความถี่ย่อยที่มีความกว้างต่างกัน กระจายอย่างไม่สม่ำเสมอภายในช่วงการทำงานของตัวกรอง

มีความแตกต่างระหว่างตัวกรองการตอบสนองแรงกระตุ้นจำกัด (ตัวกรอง FIR) หรือตัวกรองการตอบสนองแรงกระตุ้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ตัวกรอง IIR)

CF ที่เหมาะสมที่สุด (กึ่งเหมาะสมที่สุด) ตัวกรองประเภทนี้ใช้เมื่อจำเป็นต้องประเมินปริมาณทางกายภาพบางอย่างที่บ่งบอกถึงสถานะของระบบที่มีการรบกวนแบบสุ่ม แนวโน้มปัจจุบันคือการใช้ความสำเร็จของทฤษฎีการกรองที่เหมาะสมที่สุดและการใช้งานอุปกรณ์ที่ลดค่าเฉลี่ยกำลังสองของข้อผิดพลาดในการประมาณค่า พวกมันถูกแบ่งออกเป็นเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับสมการที่อธิบายสถานะของระบบ

หากสมการสถานะเป็นเชิงเส้น จะใช้ Kalman CF ที่เหมาะสมที่สุด หากสมการสถานะของระบบไม่เป็นเชิงเส้น ระบบจะใช้ CF หลายช่องสัญญาณหลายช่อง ซึ่งคุณภาพจะดีขึ้นเมื่อเพิ่มจำนวนช่องสัญญาณ

มีหลายกรณีพิเศษที่อัลกอริทึมที่นำมาใช้โดย CF ที่เหมาะสมที่สุด (กึ่งเหมาะสมที่สุด) สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยไม่สูญเสียความแม่นยำอย่างมีนัยสำคัญ: ประการแรกคือกรณีของระบบนิ่งเชิงเส้นที่นำไปสู่ ​​CF ของ Wiener ที่รู้จักกันดี ประการที่สอง กรณีของการสังเกตในช่วงเวลาหนึ่งที่กำหนด นำไปสู่ ​​DF ที่เหมาะสมที่สุดตามเกณฑ์ของอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนสูงสุด (SNR) ประการที่สาม กรณีของสมการสถานะของระบบใกล้เคียงกับเส้นตรงที่นำไปสู่ตัวกรองไม่เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งและที่สอง เป็นต้น

ปัญหาที่สำคัญก็คือการสร้างความมั่นใจว่าอัลกอริธึมข้างต้นทั้งหมดไม่อ่อนไหวต่อการเบี่ยงเบนของลักษณะทางสถิติของระบบจากค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้า การสังเคราะห์ DF ดังกล่าว เรียกว่า แข็งแกร่ง

CF ที่ปรับเปลี่ยนได้ สาระสำคัญของการกรองแบบดิจิทัลแบบปรับได้มีดังนี้: สำหรับการประมวลผลสัญญาณอินพุต อย่างไรก็ตาม IR ของตัวกรองนี้ไม่ได้ถูกตั้งค่าทันทีและสำหรับทั้งหมด เช่นเดียวกับเมื่อพิจารณาการเลือกความถี่ DF นอกจากนี้ยังไม่เปลี่ยนแปลงตามกฎหมายที่กำหนดให้ก่อน เช่นเดียวกับการพิจารณาคาลมาน CF; พวกมันจะได้รับการแก้ไขด้วยการมาถึงของตัวอย่างใหม่แต่ละตัวอย่างในลักษณะที่จะลดค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองของค่าเฉลี่ยรูตของการกรองในขั้นตอนที่กำหนด อัลกอริทึมแบบปรับได้เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นขั้นตอนที่เกิดซ้ำสำหรับการคำนวณเวกเตอร์ของตัวอย่าง IH ใหม่ในขั้นตอนก่อนหน้าเป็นเวกเตอร์ของตัวอย่าง IH "ใหม่" สำหรับขั้นตอนต่อไป

Heuristic CFs.สถานการณ์ต่างๆ เป็นไปได้เมื่อการใช้ขั้นตอนการประมวลผลที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์นั้นไม่สามารถทำได้ เนื่องจากจะนำไปสู่ต้นทุนฮาร์ดแวร์ที่สูงอย่างไม่สมเหตุสมผล วิธีการฮิวริสติกคือ (จากภาษากรีกและ lat. Evrica- “การแสวงหา” “การค้นพบ”) ในการใช้ความรู้ศึกษาความคิดสร้างสรรค์โดยไม่รู้ตัวของบุคคล ฮิวริสติกสัมพันธ์กับจิตวิทยา สรีรวิทยาของกิจกรรมประสาทระดับสูง ไซเบอร์เนติกส์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ แนวทางฮิวริสติก "เกิดขึ้น" โดยความปรารถนาของนักพัฒนาในการลดต้นทุนด้านฮาร์ดแวร์และแพร่หลายมากขึ้น แม้จะไม่มีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด สิ่งเหล่านี้เรียกว่า CFs กับโซลูชันวงจรของผู้เขียน หนึ่งในตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดคือแบบที่เรียกกันว่า ตัวกรองค่ากลาง