Primer mešanega številskega sistema je binarni decimalni sistem . V številskem sistemu BCD so vsaki decimalni številki dodeljene 4 binarne števke, saj je največja decimalna števka 9 kodirana kot 1001 2. na primer

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

Tukaj zaporedni četverčki (tetradi) binarnih števk predstavljajo števke 9, 2 in 5 decimalnega zapisa.

Čeprav zapis BCD uporablja samo števki 0 in 1, se zapis BCD razlikuje od dvojiške predstavitve danega števila. Na primer, binarna koda 1001 0010 0101 ustreza decimalnemu številu 2341 in ne 925.

Če je P=Q l (l je pozitivno celo število), predstavitev katerega koli števila v mešanem številskem sistemu identično sovpada s podobo tega števila v številskem sistemu z osnovo Q. Primeri takšnega mešanega številskega sistema so dvojiški- osmiško in binarno-šestnajstiško.

na primer

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

PREDSTAVITEV NEGATIVNIH ŠTEVIL V OBLIKU FIKSNE VEKICE (PIKE)

Da bi poenostavili aritmetične operacije, računalniki uporabljajo posebne binarne kode za predstavitev negativnih števil: recipročnih in komplementnih. Z uporabo teh kod je poenostavljeno določiti predznak rezultata operacije med algebrskim seštevanjem. Operacija odštevanja (ali algebraičnega seštevanja) je zmanjšana na aritmetično seštevanje operandov, zaradi česar je lažje razviti znake prelivanja bitne mreže. Posledično so računalniške naprave, ki izvajajo aritmetične operacije, poenostavljene.

Znano je, da je eden od načinov za izvedbo operacije odštevanja zamenjava predznaka odštevanca z nasprotnim znakom in dodajanje minuendu:

A - B = A + (- B)

To nadomešča operacijo aritmetičnega odštevanja z operacijo algebraičnega seštevanja, ki se lahko izvede z uporabo binarnih seštevalnikov.

Za strojno predstavitev negativnih števil se uporabljajo kode neposredno, dodatno, vzvratno. Poenostavljeno definicijo teh kod je mogoče podati na naslednji način. Če je število A v navadni binarni kodi neposredno binarna koda, prikazana kot

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0,

potem je število -A v isti kodi predstavljeno kot

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

in v vzvratno(inverzna) koda bo ta številka videti takole:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

ai = 1, če je ai = 0,

ai = 0, če je ai = 1,

a i - številka jaz- ta številka binarnega števila. Posledično se pri prehodu iz neposredne kode v obratno kodo vse števke Matissevih bitov obrnejo.

Potem številka -A in dodatno koda je predstavljena kot

[-A]add = [-A]rev + 1

Če želite torej dobiti komplementarno kodo negativnih števil, morate najprej obrniti digitalni del prvotnega števila, kar ima za posledico njegovo obratno kodo, nato pa dodati eno najmanj pomembni številki digitalnega dela števila.

Komplementarno kodo določene številke dobimo tako, da jo nadomestimo z novo številko, komplementarno na število, ki je enako teži števke, ki sledi najpomembnejši števki bitne mreže, ki se uporablja za predstavitev mantise števila v formatu s fiksno vejico. Zato se taka številčna koda imenuje dodatna.

Predstavljajmo si, da imamo samo dve števki za predstavitev števil v decimalnem številskem sistemu. Potem bo največje število, ki ga lahko upodobimo, 99, teža tretje neobstoječe najvišje števke pa 10 2, tj. 100. V tem primeru bo za število 20 komplementarno število 80, ki dopolnjuje 20 s 100 (100 - 20 = 80). Zato po definiciji odštevanje

se lahko nadomesti z dodatkom:

Tukaj najvišja enota presega dodeljeno bitno mrežo, v kateri ostane le številka 30, tj. Rezultat odštevanja števila 20 od 50.

Zdaj pa si poglejmo podoben primer za števila, predstavljena v 4-bitni binarni kodi. Poiščimo dodatno število za 0010 2 = 210. Od 0000 moramo odšteti 0010, dobimo 1110, kar je dodatna koda 2. Številka, prikazana v oglatih oklepajih, dejansko ne obstaja. Ker pa imamo 4-bitno mrežo, je takšno odštevanje v bistvu nemogoče izvesti, še bolj pa se poskušamo znebiti odštevanja. Zato dodatno številčno kodo pridobimo na prej opisan način, tj. najprej dobijo obratno kodo števila, nato pa ji dodajo 1. Ko smo vse to naredili z našim številom (2), ni težko videti, da bomo dobili podoben odgovor.

Naj to poudarimo Komplement dvojke in kode komplementa dvojke se uporabljajo samo za predstavitev negativnih binarnih števil v obliki s fiksno vejico. Pozitivna števila v teh kodah ne spremenijo svoje podobe in so predstavljena kot v neposredni kodi.

Tako so digitalne števke negativnega števila v neposredna koda ostanejo nespremenjeni, ena pa je zapisana v delu znaka.

Poglejmo preproste primere.

Sedem v neposredni kodi je predstavljeno na naslednji način:

pr = 0,0001112

Število -7 v neposredni kodi:

[-7]pr = 1,0001112,

in v obratni kodi bo videti tako

[-7]rev = 1,1110002,

tiste. enice zamenjamo z ničlami, ničle pa z enicami. Enako število v komplementu dveh bi bilo:

[-7]dodaj = 1,1110012.

Razmislimo še enkrat, kako se postopek odštevanja z uporabo predstavitve odštevanca v kodi komplementa dveh reducira na postopek seštevanja. Odštejte število 7 od 10: 10 - 7 = 3. Če sta oba operanda predstavljena v neposredni kodi, se postopek odštevanja izvede na naslednji način:

-1.000111

In če je subtrahendable, tj. -7, predstavljeno v kodi komplementa dveh, se postopek odštevanja zmanjša na postopek dodajanja:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

Dandanes računalniki običajno uporabljajo kodo komplementa dveh za predstavitev negativnih števil v obliki s fiksno vejico.

Oblika predstavitve števil v digitalnih strojih je niz pravil, ki omogočajo vzpostavitev medsebojne korespondence med zapisom števila in njegovim kvantitativnim ekvivalentom.

Strojna (avtomatska) slika števila tam je predstavitev števila v bitni mreži digitalnega stroja. Simbol za strojno sliko števila, na primer A, bo predstavljen kot [A].

Zaradi omejene dolžine strojnih besed je nabor števil, ki jih je mogoče predstaviti v stroju, končen. Primerjave med različnimi oblikami predstavitve števil v računalnikih običajno potekajo na podlagi ocene obseg in natančnost predstavitve števila.

V vsakdanji praksi je najpogostejša oblika predstavljanja števil kot zaporedje števk, ločenih z vejico na cela in ulomka. Števila, predstavljena v tej obliki, se imenujejo števila z naravno vejico ali števili v naravni obliki. V naravni obliki je število zapisano v naravni obliki, na primer 12560 je celo število, 0,003572 je pravi ulomek, 4,89760 je nepravi ulomek.

Pri predstavljanju števil v tej obliki je potrebno, da vsako število navede položaj svoje vejice v bitni mreži, dodeljeni za predstavitev števila v stroju, kar zahteva dodatne strojne stroške v razmeroma velikem znesku. Zato sta se v računalnikih razširili dve drugi obliki predstavitve: s fiksno in plavajočo vejico (pika).

Položaja vejice ni treba navesti, če je mesto vejice v bitni mreži stroja enkrat za vselej vnaprej določeno. Ta oblika predstavljanja števil se imenuje predstavitev s fiksna vejica (pika).

Ker so števila lahko pozitivna in negativna, je format (bitna mreža) strojne slike razdeljen na ikonični del in številsko polje. Številsko polje vsebuje sliko same številke, ki jo bomo običajno imenovali mantisaštevilke. Za kodiranje predznaka števila se uporabi najpomembnejša cifra bitne mreže, ki je rezervirana za sliko binarnega števila, preostale števke pa se dodelijo za mantiso števila. Položaj vejice v bitni mreži je strogo fiksen, običajno desno od najnižje številke mantise ali levo od najvišje. V prvem primeru je število predstavljeno kot celo število, v drugem - kot pravi ulomek. Dandanes velika večina računalnikov predstavlja cela števila v obliki s fiksno vejico.

Predznakovni del vsebuje podatke o predznaku števila. Sprejeto je, da znak pozitivno število "+" ki ga predstavlja simbol 0, in predznak je negativno število "-" ki ga predstavlja simbol 1.

Na primer, v binarni kodi z uporabo 6-bitne mreže lahko številko 7 v obliki s fiksno vejico predstavimo kot:

kjer je števka levo od pike znak števila, pet števk desno od pike pa je mantisa števila v neposredni kodi. Tukaj je mišljeno to vejica je določena desno od najmanj pomembne števke, točka na sliki števila pa v tem primeru preprosto loči bit predznaka od mantise števila.

V prihodnosti se bo ta vrsta predstavitve števila v strojni obliki pogosto uporabljala v primerih. Uporabite lahko drugo obliko predstavitve števila v strojni obliki:

kjer je bit predznaka ločen z oglatimi oklepaji.

Število števk v bitni mreži, dodeljenih za predstavitev mantise števila, določa obseg in natančnost predstavitve števila s fiksno vejico. Največje binarno število v absolutni vrednosti predstavljajo enice v vseh cifrah, razen predznaka ena, tj. za celo število

|A|max = (2 (n -1) - 1),

Kje n- skupna dolžina bitne mreže. V primeru 16-bitne mreže

|A| največ = (2 (16-1) - 1) = 32767 10,

tiste. Razpon celih predstavitev bo v tem primeru od +3276710 do -3276710.

Za primer, ko je vejica fiksirana desno od nižje številke mantise, tj. za cela števila, števila, katerih modul je večji od

(2(n-1) - 1) in manj kot ena niso predstavljeni v obliki fiksne točke. Števila, katerih absolutna vrednost je manjša od ene od najmanj pomembnih števk bitne mreže, se v tem primeru imenujejo strojna ničla. Negativna ničla je prepovedana.

V nekaterih primerih, ko je mogoče delovati samo z moduli števil, je celotna bitna mreža, vključno z najpomembnejšim bitom, dodeljena predstavitvi števila, kar omogoča razširitev obsega predstavitve števil.

Koncept mešanega številskega sistema

Med številskimi sistemi obstaja razred ti mešani številski sistemi.

Definicija 1

Mešano temu se reče zapis, v katerem so števila, navedena v določenem številskem sistemu z osnovo $P$, predstavljena s števkami drugega številskega sistema z osnovo $Q$, kjer je $Q

Poleg tega je v takem številskem sistemu, da bi se izognili neskladjem v predstavitvi vsake števke sistema z osnovo $P$, dodeljeno enako število števk sistema z osnovo $Q$, ki zadostuje za predstavitev katerega koli števko sistema z osnovo $P$.

Primer mešanega številskega sistema je dvojiško-decimalni sistem.

Praktična utemeljitev za uporabo dvojiškega decimalnega številskega sistema

Ker oseba v svoji praksi pogosto uporablja decimalni številski sistem, računalnik pa običajno deluje z binarnimi številkami in binarno aritmetiko, je bila v praksi uvedena kompromisna možnost - binarni decimalni zapisni sistem, ki se običajno uporablja tam, kjer je treba pogosto uporabljati decimalni vhodno-izhodni postopek (na primer elektronske ure, kalkulatorji itd.). V takih napravah ni vedno priporočljivo uporabljati univerzalne mikrokode za pretvorbo binarnih števil v decimalna števila in obratno zaradi majhne količine programskega pomnilnika.

Opomba 1

V nekaterih vrstah računalnikov aritmetično logične enote (ALU) vsebujejo posebne decimalne aritmetične enote, ki izvajajo operacije s števili, predstavljenimi v dvojiški decimalni kodi. To v nekaterih primerih omogoča znatno povečanje zmogljivosti računalnika.

Na primer, avtomatiziran sistem za obdelavo podatkov uporablja veliko število številk, vendar ne izvaja veliko izračunov. V tem primeru bi operacije prenosa številk iz enega sistema v drugega bistveno presegle čas, potreben za izvedbo operacij obdelave informacij. Po drugi strani pa mikroprocesorji uporabljajo čista binarna števila, razumejo pa tudi ukaze za pretvorbo v binarni decimalni zapis. ALU mikrokrmilnika AVR (kot tudi drugih mikroprocesorjev) izvaja elementarne aritmetične in logične operacije nad števili, predstavljenimi v binarni kodi, in sicer:

bere rezultate pretvorbe ADC;

v celoštevilski ali plavajoči obliki obdeluje rezultate meritev.

Vendar pa je končni rezultat prikazan na indikatorju v decimalni obliki, ki je primerna za človeško zaznavanje.

Načela konstruiranja dvojiško-decimalnega številskega sistema

Pri sestavljanju dvojiško-decimalnega številskega sistema so $4$ binarne števke dodeljene za predstavitev vsake decimalne števke, saj je največja decimalna števka $9$ kodirana kot $10012$.

Na primer: $925_(10) = 1001 0010 0101_(2-10)$.

Slika 1.

V tem zapisu zaporedne četverice binarnih števk predstavljajo števke $9$, $2$ in $5$ decimalnega zapisa.

Če želite zapisati število v dvojiško-decimalnem številskem sistemu, ga morate najprej predstaviti v decimalnem sistemu, nato pa je treba vsako decimalno števko, vključeno v število, predstaviti v dvojiškem sistemu. Hkrati je za zapis različnih decimalnih mest v binarnem številskem sistemu potrebno različno število binarnih števk. Da bi se izognili uporabi kakršnih koli ločil, so pri predstavitvi decimalne števke v dvojiški obliki vedno zapisane 4 binarne števke. Skupina teh štirih števk se imenuje zvezek.

Čeprav zapis BCD uporablja le števki $0$ in $1$, se razlikuje od binarne predstavitve danega števila, ker je decimalni ekvivalent binarnega števila nekajkrat večji od decimalnega ekvivalenta števila BCD.

Na primer:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

Ta zapis se pogosto uporablja kot vmesni korak pri pretvorbi števila iz decimalnega sistema v dvojiški in obratno. Ker število $10$ ni natančna potenca števila $2$, se ne uporabljajo vse tetrade $16$ (tetrade, ki predstavljajo števila od $A$ do $F$, se zavržejo, ker se ta števila štejejo za prepovedana), ampak algoritmi za aritmetiko operacije na večmestnih številih v tem primeru bolj zapletene kot v osnovnih številskih sistemih. Pa vendar se binarni decimalni številski sistem uporablja celo na tej ravni v številnih mikrokalkulatorjih in nekaterih računalnikih.

Za popravljanje rezultatov aritmetičnih operacij nad števili, predstavljenimi v dvojiški decimalni kodi, mikroprocesorska tehnologija uporablja ukaze, ki pretvorijo rezultate operacij v dvojiški decimalni številski sistem. Uporablja se naslednje pravilo: ko se kot rezultat operacije (seštevanja ali odštevanja) v tetradi dobi število, večje od $9$, se tej tetradi doda število $6$.

Na primer: $75+18=$93.

$10001101\(8D)$

V nizkem zvezku se je pojavila prepovedana številka $D$. Dodajte $6$ nizki tetradi in dobite:

$10010011 \ (93)$

Kot lahko vidite, kljub dejstvu, da je bilo seštevanje izvedeno v binarnem številskem sistemu, je bil rezultat operacije dobljen v dvojiško-decimalnem številskem sistemu.

Opomba 2

Bitno uravnoteženje se pogosto izvaja na podlagi binarni decimalni številski sistem. Najprimernejša je uporaba binarnih in binarno-decimalnih številskih sistemov, saj je v tem primeru število izravnalnih ciklov najmanjše med drugimi številskimi sistemi. Upoštevajte, da nam uporaba binarne kode omogoča zmanjšanje časa obdelave kompenzacijske napetosti za približno $20\%$ v primerjavi z binarno-decimalno kodo.

Prednosti uporabe dvojiškega decimalnega številskega sistema

Pretvorba števil iz decimalnega sistema v dvojiško-decimalni številski sistem ne vključuje izračunov in je enostavna za izvedbo z uporabo preprostih elektronskih vezij, saj se pretvori majhno število (4) binarnih števk. Povratna pretvorba se samodejno izvede v računalniku s posebnim programom za prevajanje.

Uporaba binarno-decimalnega številskega sistema v povezavi z enim od glavnih številskih sistemov (binarni) omogoča razvoj in ustvarjanje visoko zmogljivih računalnikov, saj uporaba decimalnega aritmetičnega bloka v ALU odpravlja potrebo po programirani pretvorbi števil iz enega številskega sistema v drugega pri reševanju nalog.

Ker dve binarni decimalni števki sestavljata $1$ bajt, ki se lahko uporablja za predstavitev vrednosti števil od $0$ do $99$ in ne od $0$ do $255$, kot pri $8$-bitnem binarnem številu, potem z uporabo $1$ bajta za S pretvorbo vsaki dve decimalni števki lahko sestavite BCD števila s poljubnim številom decimalnih mest.

V tečajih računalništva, ne glede na šolo ali univerzo, je posebno mesto namenjeno konceptu, kot so številski sistemi. Praviloma je za to dodeljenih več lekcij ali praktičnih vaj. Glavni cilj ni le obvladati osnovne pojme teme, preučiti vrste številskih sistemov, temveč tudi seznaniti se z binarno, oktalno in šestnajstiško aritmetiko.

Kaj to pomeni?

Začnimo z opredelitvijo osnovnega pojma. Kot piše v učbeniku "Informatika", je številski sistem zapis števil, ki uporablja posebno abecedo ali določen niz številk.

Glede na to, ali se vrednost števke spreminja glede na njen položaj v številu, obstajata dva: pozicijski in nepozicijski številski sistem.

V pozicijskih sistemih se pomen števke spreminja z njenim položajem v številu. Torej, če vzamemo številko 234, potem številka 4 v njej pomeni enote, če pa upoštevamo številko 243, potem bo to že pomenilo desetice, ne enote.

V nepozicijskih sistemih je pomen števke statičen, ne glede na njen položaj v številu. Najbolj presenetljiv primer je sistem palice, kjer je vsaka enota označena s pomišljajem. Ni pomembno, kam postavite palico, vrednost števila se bo spremenila le za eno.

Nepozicijski sistemi

Nepozicijski številski sistemi vključujejo:

1. Sistem enot, ki velja za enega prvih. Namesto številk je uporabljal palice. Več kot jih je bilo, večja je bila vrednost števila. Primer tako zapisanih števil najdete v filmih, kjer govorimo o ljudeh, izgubljenih na morju, ujetnikih, ki vsak dan zaznamujejo s pomočjo zarez na kamnu ali drevesu.
2. Roman, v katerem so bile namesto številk uporabljene latinske črke. Z njihovo pomočjo lahko napišete poljubno število. Poleg tega je bila njegova vrednost določena z uporabo vsote in razlike števk, ki so sestavljale število. Če je bilo levo od števke manjše število, je bila leva številka odšteta od desne, in če je bila številka na desni manjša ali enaka števki na levi, so bile njihove vrednosti seštete. Na primer, številka 11 je bila zapisana kot XI, 9 pa kot IX.
3. Abecedni, v katerem so bile številke označene z uporabo abecede določenega jezika. Eden od njih je slovanski sistem, v katerem so številne črke imele ne le fonetični, ampak tudi številčni pomen.
4. v katerem sta bila za pisanje uporabljena samo dva zapisa – klini in puščice.
5. Egipt je uporabljal tudi posebne simbole za predstavljanje števil. Pri pisanju številke se lahko vsak simbol uporabi največ devetkrat.

Pozicijski sistemi

V računalništvu se veliko pozornosti namenja pozicijskim številskim sistemom. Ti vključujejo naslednje:

• binarni;
• osmiško;
• decimalno;
• šestnajstiško;
• sexagesimal, ki se uporablja pri štetju časa (na primer, v minuti je 60 sekund, v eni uri pa 60 minut).

Vsak od njih ima svojo abecedo za pisanje, pravila za prevajanje in izvajanje aritmetičnih operacij.

Decimalni sistem

Ta sistem nam je najbolj znan. Za pisanje števil uporablja številke od 0 do 9. Imenujejo se tudi arabski. Glede na položaj števke v številu lahko predstavlja različne števke – enote, desetice, stotine, tisočice ali milijone. Uporabljamo ga povsod, poznamo osnovna pravila, po katerih se izvajajo aritmetične operacije s števili.

Dvojiški sistem

Eden glavnih številskih sistemov v računalništvu je binarni. Njegova preprostost omogoča, da računalnik izvaja okorne izračune nekajkrat hitreje kot v decimalnem sistemu.

Za pisanje številk se uporabljata samo dve števki - 0 in 1. Poleg tega se bo njegova vrednost spremenila glede na položaj 0 ali 1 v številki.

Sprva so vse potrebne informacije prejemali s pomočjo računalnikov. V tem primeru je ena pomenila prisotnost signala, ki se prenaša z napetostjo, nič pa njegovo odsotnost.

Osmiški sistem

Še en dobro znan računalniški številski sistem, ki uporablja številke od 0 do 7. Uporabljali so ga predvsem na tistih področjih znanja, ki so povezana z digitalnimi napravami. Toda v zadnjem času se uporablja veliko manj pogosto, saj ga je nadomestil šestnajstiški številski sistem.

Dvojiški decimalni sistem

Predstavljanje velikih števil v dvojiški obliki je za ljudi precej zapleten postopek. Za poenostavitev je bil razvit.Običajno se uporablja v elektronskih urah in kalkulatorjih. V tem sistemu ni celotno število pretvorjeno iz decimalnega sistema v binarni, ampak je vsaka številka pretvorjena v svoj ustrezen niz ničel in enic v binarnem sistemu. Pretvorba iz binarnega v decimalno se zgodi na podoben način. Vsaka številka, predstavljena kot štirimestni niz ničel in enic, se pretvori v številko decimalnega številskega sistema. Načeloma ni nič zapletenega.

Za delo s številkami v tem primeru bo koristna tabela številskih sistemov, ki bo pokazala ujemanje med številkami in njihovo binarno kodo.

Šestnajstiški sistem

V zadnjem času je šestnajstiški številski sistem vse bolj priljubljen v programiranju in računalništvu. Uporablja ne samo številke od 0 do 9, ampak tudi številne latinske črke - A, B, C, D, E, F.

Hkrati ima vsaka od črk svoj pomen, torej A=10, B=11, C=12 itd. Vsaka številka je predstavljena kot niz štirih znakov: 001F.

Pretvorba števil: iz decimalnih v binarne

Prevod v številskih sistemih poteka po določenih pravilih. Najpogostejša pretvorba je iz binarnega v decimalni sistem in obratno.

Da bi število pretvorili iz decimalnega sistema v binarni sistem, ga je treba zaporedno deliti z osnovo številskega sistema, to je število dve. V tem primeru je treba zapisati ostanek vsakega razdelka. To se bo dogajalo, dokler preostanek delitve ne bo manjši ali enak ena. Najbolje je, da izračunate v stolpcu. Dobljeni ostanki deljenja se nato zapišejo v vrstico v obratnem vrstnem redu.

Na primer, pretvorimo število 9 v dvojiško:

Delimo 9, ker število ni deljivo s celoto, potem vzamemo število 8, ostanek bo 9 - 1 = 1.

Ko 8 delimo z 2, dobimo 4. Ponovno ga delimo, saj je število deljivo s celim številom - dobimo ostanek 4 - 4 = 0.

Enako operacijo izvedemo z 2. Ostanek je 0.

Kot rezultat delitve dobimo 1.

Ne glede na končni številski sistem se bo pretvorba števil iz decimalnega v katerega koli drugega zgodila po načelu deljenja števila z osnovo pozicijskega sistema.

Pretvarjanje števil: iz binarnih v decimalna

Pretvorba števil v decimalni številski sistem iz binarnega je precej preprosta. Če želite to narediti, je dovolj poznati pravila za dvig številk na potence. V tem primeru na potenco dvojke.

Algoritem prevajanja je naslednji: vsako števko iz kode binarnega števila je treba pomnožiti z dvema, pri čemer bosta prvi dve na potenco m-1, druga - m-2 in tako naprej, kjer je m število števk v kodi. Nato seštejte rezultate seštevanja, da dobite celo število.

Za šolarje je ta algoritem mogoče razložiti preprosteje:

Za začetek vzamemo in zapišemo vsako števko, pomnoženo z dve, nato postavimo potenco dvojke s konca, začenši z nič. Nato dobljeno število seštejemo.

Kot primer bomo analizirali prej pridobljeno številko 1001 in jo pretvorili v decimalni sistem ter hkrati preverili pravilnost naših izračunov.

Videti bo takole:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Pri preučevanju te teme je priročno uporabiti tabelo s potencami dveh. To bo znatno zmanjšalo čas, potreben za izvedbo izračunov.

Druge možnosti prevoda

V nekaterih primerih se prevod lahko izvaja med binarnimi in osmiškimi številskimi sistemi, binarnimi in šestnajstiškimi. V tem primeru lahko uporabite posebne tabele ali zaženete aplikacijo kalkulator na vašem računalniku tako, da v zavihku Pogled izberete možnost »Programer«.

Aritmetične operacije

Ne glede na obliko, v kateri je številka predstavljena, jo lahko uporabimo za izračune, ki so nam znani. To je lahko deljenje in množenje, odštevanje in seštevanje v številskem sistemu, ki ste ga izbrali. Seveda ima vsak od njih svoja pravila.

Za binarni sistem so bile za vsako operacijo razvite lastne tabele. Enake tabele se uporabljajo v drugih položajnih sistemih.

Ni si jih treba zapomniti - samo natisnite jih in imejte pri roki. Uporabite lahko tudi kalkulator v računalniku.

Ena najpomembnejših tem v računalništvu je številski sistem. Poznavanje te tematike, razumevanje algoritmov za pretvarjanje števil iz enega sistema v drugega je ključ do tega, da boste razumeli bolj kompleksne vsebine, kot sta algoritmizacija in programiranje, in boste znali sami napisati svoj prvi program.

Dvojiško kodiran decimalni številski sistem (D-kode)

Neposredna predstavitev decimalnih števil vodi do potrebe po binarnem kodiranju decimalnih števk. Naprave, ki izvajajo aritmetične pretvorbe z decimalnimi števili, dobijo poseben izraz "decimalna aritmetika". Takšne naprave morajo biti čim bolj podobne običajnim binarnim napravam.

Decimalna aritmetika je vključena v strojno opremo visoko zmogljivih sistemov za odpravo pretvorbe izvornih podatkov v binarno in rezultatov v decimalno.

Dvojiško kodirani decimalni sistem je kombiniran številski sistem, ki ima prednosti binarnega in priročnost decimalnega sistema.

D-code je binarno kodirana predstavitev decimalnega števila, v kateri je vsaka decimalna cifra predstavljena s tetrado binarnih znakov.

Število različnih binarnih tetrad n= 2 4 = 16. Le deset jih je uporabljenih za kodiranje binarnih števk. Prisotnost odvečnih kombinacij vam omogoča, da imate različne D-kode. V računalnikih so najbolj razširjeni sistemi kodiranja 8421 - D 1 , 2421 - D 2 , (8421+3) - D 4. Nastala redundanca vodi do večkratnega kodiranja decimalnih števk, med katerimi je treba izbrati optimalno.

Pokliče se koda 8421 (tabela 2.4). šifra z naravnimi utežmi, kjer so števila 8,4,2,1 uteži binarnih števk tetrad. Vsaka decimalna cifra v tej kodi je predstavljena z njenim ekvivalentom v binarnem številskem sistemu. Ta koda je našla največjo uporabo pri kodiranju decimalnih števil v vhodno/izhodnih napravah in pri izdelavi decimalnih aritmetičnih operacijskih naprav.

Značilnosti kod D 2 in D 4 (8421+3) ali koda s presežkom 3 je, da se kodiranje katere koli decimalne števke in njene komplementarne števke do 9 izvaja z medsebojno komplementarnimi tetradami. Ta funkcija omogoča preprost način pridobivanja komplementa 9 z obračanjem binarnih števk tetrade. Takšne kode je priročno uporabiti za organizacijo operacije odštevanja pri konstruiranju decimalnih seštevalnikov.

Tabela 2.4

Primeri kodiranja decimalnih števk v tetradah

Decimalna številka	Ekvivalenti v D-kode
D 1 (8421)	D 2 (2421)	D 4 (8421+3)

Tukaj je primer kodiranja decimalnega števila A = 8371 v dvojiško kodiranem decimalnem številskem sistemu:

D 1: A = 1000 0011 0111 0001 (2/10) ;

D 2: A = 1110 0011 1101 0001 (2/10) ;

D 4: A = 1011 0110 1010 0100 (2/10).

Optimalno kodiranje določa šest zahtev, ki jih mora izpolnjevati decimalna koda.

1. Nedvoumnost. Vsaka decimalna številka mora ustrezati določeni, drugačni binarni kodi.

Neupoštevanje te zahteve vodi do dvoumnih rezultatov.

2. Urejenost. Velike decimalne števke morajo ustrezati velikim decimalnim kodnim tetradam in obratno, manjše decimalne števke morajo ustrezati manjšim tetradam.

Izpolnitev te zahteve je potrebna za organizacijo kvantitativne primerjave števil v decimalnih mestih.

3. Pariteta. Sode števke morajo ustrezati sodim tetradam, lihe števke pa lihim tetradam. Skladnost lahko označite na kakršen koli način.

Izpolnjevanje te zahteve je potrebno za zaokrožitev rezultata.

4. Komplementarnost. Če sta x1 in x2 dve števki, za kateri je x1 + x2 = 9 in je števka x1 povezana s tetrado, mora biti števka x2, če je zahteva po komplementarnosti izpolnjena, povezana s tetrado, dobljeno z obračanjem binarnih števk koda števke x1.

Zahteva po komplementarnosti je potrebna za poenostavitev izvajanja komplementarnih in recipročnih kod za decimalna števila.

5. Pomen. Obstajati morajo štiri pozitivna cela števila: p3, p2, p1, p0, imenovane uteži, s katerimi lahko določite decimalno števko x iz vrednosti binarne tetrade, povezane z x, z uporabo formule

Izpolnjevanje te zahteve olajša dekodiranje.

6. Kontinuiteta. Neprekinjeno zaporedje sprememb pomena števk mora ustrezati neprekinjenemu zaporedju sprememb pomena tetrad.

Nobena decimalna koda ne izpolnjuje vseh teh šestih zahtev hkrati.

Najbolj razširjena v VT je neposredna substitucijska koda s številčno utežjo 8421. Ta koda je najbolj nazorna in priročna, saj je v skladu z imenom kode decimalna številka v njej ustrezna vrednost binarne kode . Vendar koda 8421 ne izpolnjuje zahteve po komplementarnosti, zato dejanja v tej kodi, ki spremenijo predznak decimalnega števila, vključujejo obračanje števk ali prevzem komplementa, kar pomeni, da zahtevajo dodatne popravke in/ali čas.

Prednosti dvojiško kodiranega decimalnega številskega sistema v primerjavi z dvojiškim številskim sistemom so:

• · ni potrebe po pretvorbi izvornih podatkov in rezultatov iz enega številskega sistema v drugega;
• · priročnost spremljanja vmesnih rezultatov s prikazom za interni nadzor;
• · širše možnosti avtomatskega krmiljenja zaradi razpoložljivosti D-kode redundantnih kombinacij.

D- kode se uporabljajo za reševanje ekonomskih problemov, za katere je značilen velik obseg začetnih podatkov, primerjalna preprostost in majhen obseg transformacij, izvedenih na njih, ter veliko število računskih rezultatov. Ta sistem se pogosto uporablja v kalkulatorjih in osebnih mikroračunalnikih.

Ta sistem ima osnovo S = 10, vendar je vsaka cifra predstavljena s štiribitnim binarnim številom, imenovanim tetrad. Običajno se ta sistem številk uporablja v računalnikih pri vnosu in izpisu informacij. Vendar pa v nekaterih vrstah računalnikov ALU vsebuje posebne decimalne aritmetične bloke, ki izvajajo operacije s števili v binarni decimalni kodi. To v nekaterih primerih omogoča znatno povečanje zmogljivosti računalnika.

Na primer, v avtomatiziranem sistemu za obdelavo podatkov je veliko številk, a malo izračunov. V tem primeru bi operacije, povezane s prenosom številk iz enega sistema v drugega, znatno presegle čas, potreben za izvajanje operacij obdelave informacij.

Pretvarjanje števil iz decimalnega sistema v BCD je zelo preprosto in vključuje zamenjavo vsake števke z binarno tetrado.

Primer.

Zapiši decimalno število 572,38 (10) v dvojiškem decimalnem številskem sistemu.

Tudi obratni prevod je preprost: binarno-decimalno število morate razdeliti na tetrade od točke na levo (za celo število) in na desno (za delni del), dodati zahtevano število nepomembnih ničel in nato zapišite vsako tetrado kot decimalno števko.

Primer.

Zapišite dvojiško decimalno število 10010,010101 (2-10) v decimalnem številskem sistemu.

Pretvorba števil iz BCD v dvojiški sistem poteka po zgoraj opisanih splošnih pravilih.

2.3. Osmiški številski sistem

V osmiškem številskem sistemu se uporablja le osem števk, tj. ta številski sistem ima osnovo S = 8. Na splošno je oktalno število videti takole:

Kje
.

Osmiškega številskega sistema računalnik ne potrebuje, za razliko od binarnega sistema. Priročna je kot kompaktna oblika zapisovanja števil in jo uporabljajo programerji (na primer v programskih besedilih za bolj jedrnat in priročen način zapisovanja binarnih kod ukazov, naslovov in operandov). V oktalnem številskem sistemu je teža vsake števke večkratnik osmih ali ene osmine, zato osembitno binarno število omogoča izražanje decimalnih vrednosti v območju 0-255, osmiško število pa pokriva območje 0 -99999999 (za binarno je to 27 števk).

Ker je 8=2 3, lahko vsak osmiški znak predstavimo kot tribitno binarno število. Če želite pretvoriti število iz binarnega številskega sistema v osmiški številski sistem, morate to število razdeliti levo (za celo število) in desno (za ulomek) od točke (vejice) v skupine po tri števke (triade) in predstavljajo vsako skupino s številko v osmiškem številskem sistemu. Skrajne nepopolne triade so dopolnjene z zahtevanim številom nepomembnih ničel.

Primer.

Dvojiško število 10101011111101 (2) zapišite v osmiškem številskem sistemu.

Primer.

Dvojiško število 1011,0101 (2) zapišite v osmiškem številskem sistemu.

Pretvorba iz osmiškega v binarno se izvede tako, da se vsako števko osmiškega števila predstavi kot trimestno binarno število (triada).

2.4. Šestnajstiški številski sistem

Ta številski sistem ima osnovo S = 16. Na splošno je šestnajstiško število videti takole:

Kje
.

Šestnajstiški številski sistem omogoča še krajši zapis večbitnih binarnih števil in poleg tega skrajšanje zapisa 4-bitnega binarnega števila, t.j. grizljanje, saj je 16=2 4 . Šestnajstiški sistem se uporablja tudi v programskih besedilih za bolj strnjeno in priročno zapisovanje binarnih števil.

Če želite število iz binarnega številskega sistema pretvoriti v šestnajstiško, morate to število levo in desno od točke razdeliti na tetrade in vsako tetrado predstaviti s števko v šestnajstiškem številskem sistemu.

Primer.

Dvojiško število 10101011111101 (2) zapišite v šestnajstiški obliki.

Primer.

Dvojiško število 11101,01111 (2) zapišite v šestnajstiški obliki.

Za pretvorbo števila iz šestnajstiškega številskega sistema v binarni številski sistem je treba, nasprotno, vsako števko tega števila zamenjati s tetrado.

Na koncu je treba opozoriti, da se lahko prenos poljubnih števil iz enega številskega sistema v drugega izvede v skladu s splošnimi pravili, opisanimi v razdelku »Binarni številski sistem«. Vendar pa se v praksi pretvorbe števil iz decimalnega sistema v obravnavane številske sisteme in obratno izvajajo prek binarnega številskega sistema.

Ne pozabite tudi, da so šestnajstiška in osmiška števila le način za predstavitev velikih binarnih števil, s katerimi procesor dejansko deluje. V tem primeru je zaželen šestnajstiški sistem, saj v sodobnih računalnikih procesorji manipulirajo z besedami dolžine 4, 8, 16, 32 ali 64 bitov, tj. dolžina besed je večkratnik 4. V oktalnem številskem sistemu imajo prednost besede, ki so večkratniki 3 bitov, na primer besede z dolžino 12 bitov (kot v PDP-8 iz DEC).