Obdobje vrtenja satelita okoli zemlje. Orbitalna doba satelita. Izračun hitrosti satelita okoli Zemlje

Določiti dve značilni "kozmični" hitrosti, povezani z velikostjo in gravitacijskim poljem določenega planeta. Planet bomo imeli za eno žogo.

riž. 5.8. Različne trajektorije satelitov okoli Zemlje

Prva kozmična hitrost imenujejo tako vodoravno usmerjeno najmanjšo hitrost, s katero bi se telo lahko gibalo okoli Zemlje po krožni orbiti, torej se spremenilo v umetni satelit Zemlje.

To je seveda idealizacija; prvič, planet ni žoga, in drugič, če ima planet dovolj gosto atmosfero, potem bo tak satelit - tudi če ga je mogoče izstreliti - zelo hitro zgorel. Druga stvar je, da ima recimo zemeljski satelit, ki leti v ionosferi na povprečni višini nad površjem 200 km, orbitalni radij, ki se od povprečnega radija Zemlje razlikuje le za približno 3 %.

Na satelit, ki se giblje po krožni orbiti s polmerom (slika 5.9), deluje gravitacijska sila Zemlje, ki mu daje normalni pospešek

riž. 5.9. Gibanje umetnega zemeljskega satelita po krožni orbiti

Po drugem Newtonovem zakonu imamo

Če se satelit približa Zemljinemu površju, potem

Zato za na Zemlji dobimo

Vidi se, da ga resnično določajo parametri planeta: njegov polmer in masa.

Obdobje kroženja satelita okoli Zemlje je

kjer je polmer orbite satelita in je njegova orbitalna hitrost.

Najmanjša vrednost orbitalne dobe je dosežena pri gibanju po orbiti, katere polmer je enak polmeru planeta:

zato lahko prvo ubežno hitrost definiramo takole: hitrost satelita v krožni orbiti z minimalnim obdobjem kroženja okoli planeta.

Orbitalna doba se povečuje z večanjem orbitalnega radija.

Če je obdobje revolucije satelita enako obdobju revolucije Zemlje okoli svoje osi in njuni smeri vrtenja sovpadata, orbita pa se nahaja v ekvatorialni ravnini, potem se tak satelit imenuje geostacionarni.

Geostacionarni satelit nenehno visi nad isto točko na zemeljski površini (slika 5.10).

riž. 5.10. Gibanje geostacionarnega satelita

Da bi telo zapustilo gravitacijsko kroglo, to je, da se premakne na takšno razdaljo, kjer privlačnost do Zemlje preneha igrati pomembno vlogo, je potrebno druga ubežna hitrost(slika 5.11).

Druga ubežna hitrost imenujejo najmanjšo hitrost, ki jo je treba pripisati telesu, da postane njegova orbita v gravitacijskem polju Zemlje parabolična, torej da se telo lahko spremeni v satelit Sonca.

riž. 5.11. Druga ubežna hitrost

Da bi telo (brez upora okolja) premagalo gravitacijo in odšlo v vesolje, mora biti kinetična energija telesa na površini planeta enaka (ali večja) delu, opravljenemu proti gravitacijske sile. Zapišimo zakon o ohranitvi mehanske energije E tako telo. Na površini planeta, natančneje Zemlje

Hitrost bo minimalna, če telo miruje na neskončni razdalji od planeta

Če enačimo ta dva izraza, dobimo

od koder imamo za drugo ubežno hitrost

Da bi izstreljenemu objektu posredovali zahtevano hitrost (prva ali druga kozmična hitrost), je koristno uporabiti linearno hitrost vrtenja Zemlje, to je, da ga izstrelimo čim bližje ekvatorju, kjer je ta hitrost, kot jo imamo gledano, znaša 463 m/s (natančneje 465,10 m/s ). V tem primeru mora smer izstrelitve sovpadati s smerjo vrtenja Zemlje - od zahoda proti vzhodu. Preprosto je izračunati, da lahko na ta način pridobite več odstotkov pri stroških energije.

Odvisno od začetne hitrosti, ki jo prenaša telo na točki meta A na površini Zemlje so možne naslednje vrste gibanja (sl. 5.8 in 5.12):

riž. 5.12. Oblike poti delcev v odvisnosti od hitrosti metanja

Gibanje v gravitacijskem polju katerega koli drugega kozmičnega telesa, na primer Sonca, se izračuna na povsem enak način. Da bi premagali gravitacijsko silo svetila in zapustili sončni sistem, je treba predmetu, ki miruje glede na sonce in se nahaja od njega na razdalji, ki je enaka polmeru zemeljske orbite (glej zgoraj), dati minimalno hitrost , določeno iz enakosti

kjer je, spomnimo se, polmer Zemljine orbite in masa Sonca.

To vodi do formule, podobne izrazu za drugo ubežno hitrost, kjer je treba maso Zemlje nadomestiti z maso Sonca in polmer Zemlje s polmerom Zemljine orbite:

Naj poudarimo, da je to minimalna hitrost, ki jo mora dati mirujočemu telesu, ki se nahaja v Zemljini orbiti, da lahko premaga gravitacijo Sonca.

Upoštevajte tudi povezavo

z orbitalno hitrostjo Zemlje. Ta povezava, kot bi morala biti - Zemlja je satelit Sonca, je enaka kot med prvo in drugo kozmično hitrostjo in .

V praksi raketo izstrelimo z Zemlje, torej očitno sodeluje pri orbitalnem gibanju okoli Sonca. Kot je prikazano zgoraj, se Zemlja giblje okoli Sonca z linearno hitrostjo

Raketo je priporočljivo izstreliti v smeri gibanja Zemlje okoli Sonca.

Hitrost, ki jo je treba posredovati telesu na Zemlji, da lahko za vedno zapusti osončje, se imenuje tretja ubežna hitrost .

Hitrost je odvisna od smeri, v kateri vesoljsko plovilo zapusti gravitacijsko območje. Pri optimalnem startu je ta hitrost približno = 6,6 km/s.

Izvor tega števila je mogoče razumeti tudi iz energetskih premislekov. Zdi se, da je dovolj, če raketi povemo njeno hitrost glede na Zemljo

v smeri gibanja Zemlje okoli Sonca in bo zapustila sončni sistem. A to bi bilo pravilno, če Zemlja ne bi imela lastnega gravitacijskega polja. Telo mora imeti takšno hitrost, ko se je že oddaljilo od gravitacijske krogle. Zato je izračun tretje ubežne hitrosti zelo podoben izračunu druge ubežne hitrosti, vendar z dodatnim pogojem - telo na veliki razdalji od Zemlje mora imeti še vedno hitrost:

V tej enačbi lahko izrazimo potencialno energijo telesa na površju Zemlje (drugi člen na levi strani enačbe) z drugo ubežno hitrostjo v skladu s prej pridobljeno formulo za drugo ubežno hitrost

Od tu najdemo

Dodatne informacije

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Splošni tečaj fizike, zvezek 1, Mehanika Ed. Science 1979 - str. 325–332 (§61, 62): izpeljane so bile formule za vse kozmične hitrosti (vključno s tretjo), rešeni so bili problemi gibanja vesoljskih plovil, Keplerjevi zakoni so bili izpeljani iz zakona univerzalne gravitacije.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Revija "Kvant" - let vesoljskega plovila proti Soncu (A. Byalko).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - Revija Kvant - zvezdna dinamika (A. Chernin).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Strelkov S.P. Mehanika Ed. Science 1971 - str. 138–143 (§§ 40, 41): viskozno trenje, Newtonov zakon.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - Revija "Kvant" - gravitacijski stroj (A. Sambelashvili).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - A.V. Bialko "Naš planet - Zemlja". Znanost 1983, pogl. 1, odstavek 3, str. 23–26 - podaja diagram položaja sončnega sistema v naši galaksiji, smer in hitrost gibanja sonca in galaksije glede na kozmično mikrovalovno sevanje ozadja.

Kolikokrat je rotacijska doba umetnega satelita, ki se giblje po krožni orbiti na višini, ki je enaka polmeru Zemlje, daljša od rotacijske dobe satelita v nizki zemeljski orbiti?

Problem št. 2.5.14 iz »Zbirke nalog za pripravo na sprejemne izpite iz fizike na USPTU«

podano:

\(h=R\), \(\frac(T_2)(T_1)-?\)

Rešitev problema:

Poiščimo obhodno dobo \(T_2\) satelita, ki se giblje po krožni orbiti na višini \(h=R\). Jasno je, da sila univerzalne gravitacije daje satelitu centripetalni pospešek \(a_t\), zato bo Newtonov drugi zakon zapisan v naslednji obliki:

\[(F_(t2)) = m(a_(t2))\;\;\;\;(1)\]

Silo gravitacije določa zakon univerzalne gravitacije:

\[(F_(t2)) = G\frac((Mm))((((\levo((R + h) \desno))^2)))\;\;\;\;(2)\ ]

Da bi se orbitalna doba pojavila v naši formuli, moramo skozi njo izraziti centripetalni pospešek \(a_(c2)\). Za to napišemo formulo za določanje pospeška \(a_(q2)\) preko kotne hitrosti in formulo za povezavo slednje s periodo.

\[(a_(t2)) = (\omega ^2)\levo((R + h) \desno)\]

\[\omega = \frac((2\pi ))(T_2)\]

\[(a_(t2)) = \frac((4(\pi ^2)))(T_2^2)\levo((R + h) \desno)\;\;\;\;(3)\ ]

Zamenjajmo izraza (2) in (3) v enačbo (1):

Naredimo analogijo za satelit, ki se giblje v nizki zemeljski orbiti. Jasno je, da bo njegovo revolucijsko obdobje enako:

\[(T_1) = 2\pi \sqrt (\frac(((R^3)))((GM)))\]

Sedaj pa nadomestimo pogoj \(h=R\) v formulo za določanje periode \(T_2\) (v formuli (4)):

\[(T_2) = 2\pi \sqrt (\frac((((\levo((R + R) \desno))^3)))((GM))) = 2\pi \sqrt (\frac ((8(R^3)))((GM))) \]

Zahtevano razmerje je:

\[\frac(((T_2)))(((T_1))) = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 = 2,83\]

Odgovor: 2,83-krat.

Če ne razumete rešitve in imate kakršna koli vprašanja ali ste našli napako, spodaj pustite komentar.

V vesolju gravitacija zagotavlja silo, ki povzroči, da sateliti (kot je Luna) krožijo okoli večjih teles (kot je Zemlja). Te orbite imajo običajno obliko elipse, vendar se najpogosteje ta elipsa ne razlikuje zelo od kroga. Zato lahko orbite satelitov v prvem približku štejemo za krožne. Če poznamo maso planeta in višino orbite satelita nad Zemljo, lahko izračunamo, kakšna bi morala biti hitrost satelita okoli Zemlje.

Izračun hitrosti satelita okoli Zemlje

Satelit, ki se vrti v krožni orbiti okoli Zemlje, se lahko na kateri koli točki svoje poti giblje samo s konstantno absolutno hitrostjo, čeprav se bo smer te hitrosti nenehno spreminjala. Kakšna je velikost te hitrosti? Lahko se izračuna z uporabo drugega Newtonovega zakona in zakona gravitacije.

Za vzdrževanje krožne orbite masnega satelita v skladu z drugim Newtonovim zakonom bo potrebna centripetalna sila: , kjer je centripetalni pospešek.

Kot je znano, je centripetalni pospešek določen s formulo:

kjer je hitrost satelita, je polmer krožne orbite, po kateri se satelit giblje.

Centripetalno silo zagotavlja gravitacija, torej v skladu z zakonom gravitacije:

kjer je kg masa Zemlje, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 je gravitacijska konstanta.

Če vse nadomestimo v prvotno formulo, dobimo:

Če izrazimo zahtevano hitrost, ugotovimo, da je hitrost satelita okoli Zemlje enaka:

To je formula za hitrost, ki jo mora imeti zemeljski satelit pri danem radiju (tj. oddaljenost od središča planeta), da ohrani krožno orbito. Hitrost se ne more spremeniti v velikosti, dokler satelit ohranja konstanten orbitalni radij, to je, dokler še naprej kroži okoli planeta po krožni poti.

Pri uporabi dobljene formule je treba upoštevati več podrobnosti:

Umetni sateliti Zemlje praviloma krožijo okoli planeta na nadmorski višini od 500 do 2000 km od površine planeta. Izračunajmo, kako hitro naj bi se takšen satelit gibal na višini 1000 km nad zemeljsko površino. V tem primeru km. Če zamenjamo številke, dobimo:

Gradivo je pripravil Sergej Valerievič

2.2.2. Gibanje pod vplivom gravitacija (sateliti)

Ko se sateliti gibljejo (z ugasnjenim motorjem) po krožni orbiti, nanje deluje samo ena sila - sila privlačnosti satelita k planetu.

Na satelit z maso m, ki se giblje po krožni orbiti na višini h nad površjem planeta (slika 2.2), deluje le sila gravitacije.

riž. 2.2

Ta sila je usmerjena proti središču planeta in daje satelitu centripetalni pospešek. V tem primeru je razmerje veljavno

G m M r 2 = m v 2 r,

kar nam omogoča, da dobimo formulo za izračun ubežna hitrost satelit:

kjer je G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 / kg 2 - univerzalna gravitacijska konstanta; m - telesna teža; r = R + h - orbitalni polmer; R je polmer planeta; h je višina satelita nad površino planeta.

Obstajajo prva, druga in tretja kozmična hitrost. Za planet Zemlja:

prva ubežna hitrost- najmanjša hitrost, dodeljena satelitu blizu zemeljske površine, pri kateri lahko vstopi v krožno orbito in se začne vrteti okoli Zemlje v nizki zemeljski orbiti (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7,9 km/s;

druga ubežna hitrost- najmanjša hitrost, ki je dodeljena satelitu blizu površine Zemlje, s katero se lahko oddalji od Zemlje na veliko razdaljo in postane satelit Sonca,

v 2 ≈ 11,2 km/s;

tretja ubežna hitrost- najmanjša hitrost, sporočena satelitu blizu zemeljske površine, pri kateri lahko zapusti Osončje; njegova vrednost je približno 16,6 km/s.

Ko govorijo o prvi ubežni hitrosti planeta, mislijo, da se satelit giblje na višini h ≈ 0, tj. Polmer orbite satelita r sovpada s polmerom planeta R:

r = R.

Obhodna doba satelita okoli planeta (čas ene revolucije) lahko definiramo kot razmerje med orbitalno dolžino in prvo ubežno hitrostjo:

kjer je L = 2πr dolžina orbite s polmerom r (obseg); v je prva ubežna hitrost satelita v tej orbiti.

Primer 5. Kolikokrat obhodna doba umetnega satelita, ki se giblje po krožni tirnici na višini, ki je enaka dvakratnemu polmeru Zemlje, presega obhodno dobo satelita, ki se vrti po orbiti okoli Zemlje?

rešitev. Obhodna doba satelita, ki se giblje po krožni orbiti na višini h 1 = 2R, je določena s formulo

T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,

kjer je R polmer Zemlje; v 1 je prva ubežna hitrost satelita na višini h 1 .

Orbitalno obdobje satelita, ki se giblje v nizki zemeljski orbiti (h 2 ≈ 0), je določeno s formulo

T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,

kjer je v 2 prva ubežna hitrost satelita v nizki zemeljski orbiti.

Zamenjava vrednosti h 1 = 2R in h 2 = 0 v formulo za izračun ustreznih obdobij daje:

T 1 = 6 π R v 1 in T 2 = 2 π R v 2 .

Periodično razmerje

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

je izražena z razmerjem prvih kozmičnih hitrosti satelita v ustreznih orbitah.

Prve kozmične hitrosti so določene z naslednjimi formulami:

za višino h 1 = 2R

v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;

za višino h 2 ≈ 0 (zemeljska orbita)

v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R,

kjer je G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 / kg 2 - univerzalna gravitacijska konstanta; M je masa Zemlje.

Če nadomestimo v 1 in v 2 v formulo za razmerje obdobij, dobimo

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5,2.

tiste. Orbitalna doba satelita, ki se giblje na višini, ki je enaka dvema polmeroma, presega orbitalno dobo satelita v nizki zemeljski orbiti za približno 5,2-krat.

Primer 6. Polmer določenega planeta je 3-krat večji od polmera Zemlje, njegova gostota pa je 9-krat manjša od gostote Zemlje. Določite razmerje prvih kozmičnih hitrosti satelitov za Zemljo in za planet.

rešitev. Primerjajo se naslednje prve ubežne hitrosti:

za zemeljsko površje

v 1 = G M Z R Z,

za površino planeta

kjer je G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 / kg 2 - univerzalna gravitacijska konstanta; MZ - masa Zemlje; RZ - polmer Zemlje; M je masa planeta; R je polmer planeta.

Hitrostno razmerje je

v 1 v 2 = M Z R Z R M .

Ob predpostavki, da imata Zemlja in planet sferično obliko, dobimo formule za izračun ustreznih mas:

za Zemljo

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,

za planet

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

kjer je ρ Z gostota Zemlje; ρ je gostota planeta.

Izraze za mase nadomestimo v formulo za razmerje hitrosti:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .

Glede na pogoje problema je R = 3R З in ρ З = 9ρ; zato je zahtevano razmerje hitrosti enako

v 1 v 2 = R 3 R 9 ρ ρ = 1,

tiste. hitrosti satelitov so enake za površino Zemlje in za površino planeta.

Primer 7. Satelit se vrti okoli določenega planeta po krožni orbiti s polmerom 20.000 km s hitrostjo 12 km/s. Določite velikost gravitacijskega pospeška na površini planeta, če je njegov polmer 12.000 km.

rešitev. Pospešek prostega pada na površini planeta najdemo s formulo

kjer je G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 / kg 2 - univerzalna gravitacijska konstanta; M je masa planeta; R je polmer planeta.

Polmer planeta je naveden v nalogi problema; produkt (GM) lahko izrazimo s formulo za prvo ubežno hitrost:

v = G M R + h = G M r,

kjer je r polmer orbite satelita; torej potrebno delo

GM = v 2 r.

Vstavimo (GM) v izraz za izračun g 0:

g 0 = v 2 r R 2 .

Izračun nam omogoča, da dobimo vrednost gravitacijskega pospeška na površini planeta:

g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.