Proračun i konstrukcija vremenskih karakteristika analognog filtra. Impulsni odziv i prijenosna funkcija Impulsni odziv

A-priorat Funkcija prijenosa(PF) je operator jednak omjeru slika izlaznih i ulaznih koordinata pri nultim početnim uvjetima:

W (p) = R (p) / Q (p)

Svrha usluge... Upravljački objekt (OC) opisan je linearno diferencijalna jednadžba n red. Za oscilatornu kariku n-tog reda određuju se sljedeće:

1. Prijenosna funkcija;
2. frekvencijske karakteristike (amplitudne (AFC), fazne (PFC), logaritamske (LFC));
3. prijelazne i impulsne prijelazne (težinske) funkcije;
4. grafikone prijelaznih i frekvencijskih karakteristika.

Da biste pronašli funkciju prijenosa na mreži, morate odabrati vrstu veze i unijeti stupanj veze.

Primjer. Postrojenje za upravljanje (OC) opisano je linearnom diferencijalnom jednadžbom trećeg reda:
(2)
1) Funkcija prijenosa OA se u općem slučaju može predstaviti u obliku relacije
W (iω) = A (ω) e iφ (ω) = U (ω) + iV (ω),
gdje su R (p) i Q (p) Laplaceove slike izlaznih i ulaznih varijabli OU -a koje odgovaraju lijevoj i desnoj strani jednadžbe 1. Dakle, prijenosna funkcija imat će oblik:
(3)
ili
. (4)

2) Odredite frekvencijske karakteristike op-pojačala. Poznato je da se funkcija prijenosa frekvencije W (ω) može predstaviti kao:
, (5)
gdje je A (ω) - amplitudni frekvencijski odziv (AFC);
φ (ω) - fazni frekvencijski odziv (PFC);
U (ω) - realan frekvencijski odziv (HFC);
V (ω) - zamišljeni frekvencijski odziv;
Zamijenite iω u izraz (3) umjesto p. Dobivamo:
(6)
Na temelju izraza (5) i (6) odvajamo amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike i zamjenjujemo numeričke vrijednosti koeficijenata. Na temelju činjenice da:
A (ω) = | W (iω) |
φ (ω) = arg (W (iω))
(vidi složene brojeve). Konačno dobivamo: (7)

3) Odredite logaritamski amplitudni frekvencijski odziv (LFC).
Poznato je da se LFC određuje iz omjera:
L (ω) = 20 lg (A (ω)) (8)
Ova karakteristika ima dimenziju dB (decibela) i pokazuje promjenu omjera snage izlazne vrijednosti prema ulaznoj vrijednosti. Radi praktičnosti, LAFC je ucrtan na logaritamskoj ljestvici.
Fazni frekvencijski odziv iscrtan na logaritamskoj ljestvici nazivat će se logaritamski fazni frekvencijski odziv (LPFC).
Primjeri crtanja LAFC -a i LPFC -a za naše početne podatke prikazani su na slici 1.
Definirajmo impulsnu prolaznu (težinsku) funkciju. Funkcija ponderiranja w (t) je odgovor sustava na impulsnu funkciju jedinice primijenjenu na njegov ulaz. Funkcija ponderiranja povezana je s prijenosnom funkcijom pomoću Laplaceove transformacije.
. (9)
Stoga se funkcija ponderiranja može pronaći primjenom inverzne Laplaceove transformacije na prijenosnu funkciju.
w (t) = L -1 (10)

Impulsna prijelazna funkcija (funkcija težine, impulsni odziv) je izlazni signal dinamičkog sustava kao odgovor na ulazni signal u obliku Dirac -ove delta funkcije. U digitalnim sustavima ulazni signal je jednostavan impuls minimalne širine (jednak razdoblju uzorkovanja za diskretne sustave) i najveće amplitude. Primjenjuje se na filtriranje signala, naziva se i jezgra filtra... Široko se koristi u teoriji upravljanja, obradi signala i slike, teoriji komunikacije i drugim područjima inženjeringa.

Definicija [ | ]

Impulsni odziv sustav se naziva njegovim odzivom na jedinični impuls pri nultim početnim uvjetima.

Svojstva [ | ]

Primjena [ | ]

Analiza sustava [ | ]

Oporavak frekvencijskog odziva[ | ]

Važno svojstvo impulsnog odziva je činjenica da se na temelju njega može dobiti složeni frekvencijski odziv, definiran kao omjer složenog spektra signala na izlazu sustava i složenog spektra ulaznog signala.

Složeni frekvencijski odziv (CFC) je analitički izraz složene funkcije. CFC je iscrtan na složenoj ravnini i predstavlja krivulju putanje kraja vektora u radnom rasponu frekvencija, tzv. hodograf KCHH. Za iscrtavanje CFC-a obično je potrebno 5-8 točaka u rasponu radnih frekvencija: od minimalne moguće ostvarive frekvencije do granične frekvencije (frekvencija kraja eksperimenta). CFC, kao i vremenska karakteristika će dati potpune informacije o svojstvima linearnih dinamičkih sustava.

Frekvencijski odziv filtera definiran je kao Fourierova transformacija (u ovom slučaju diskretna Fourierova transformacija digitalni signal) na impulsni odziv.

H (j ω) = ∫ - ∞ + ∞ h (τ) e - j ω τ d τ (\ displaystyle H (j \ omega) = \ int \ granice _ ( - \ infty) ^ ( + \ infty) h ( \ tau) e ^ (- j \ omega \ tau) \, d \ tau)

Za određivanje impulsnog odziva g(t, τ), gdje je τ vrijeme izlaganja, t- vrijeme pojavljivanja i djelovanja odziva, potrebno je koristiti diferencijalnu jednadžbu kruga izravno prema zadanim parametrima kruga.

Analizirati metodu pronalaženja g(t, τ), razmotrimo jednostavan lanac opisan jednadžbom prvog reda:

gdje f(t) - udarac, y(t) je odgovor.

Po definiciji, impulsni odziv je odgovor kruga na jedan delta impuls δ ( t-τ) koji se trenutno isporučuje na ulaz t= τ. Iz ove definicije proizlazi da ako na desnu stranu jednadžbe stavimo f(t)=δ( t-τ), zatim s lijeve strane možete prihvatiti y(t)=g(t,).

Tako dolazimo do jednadžbe

.

Jer desni dio ove jednadžbe svugdje je jednako nuli, osim točke t= τ, funkcija g(t) može se tražiti u obliku rješenja homogene diferencijalne jednadžbe:

pod početnim uvjetima koji slijede iz prethodne jednadžbe, kao i iz uvjeta da do trenutka primjene zamaha δ ( t-τ) u strujnom krugu nema struja ili napona.

Posljednja jednadžba odvaja varijable:

gdje
- vrijednosti impulsnog odziva u vrijeme izlaganja.

D Za određivanje početne vrijednosti
natrag na izvornu jednadžbu. Iz toga proizlazi da je u točki
funkcija g(t) mora skočiti za 1 / a 1 (τ), budući da je samo pod ovim uvjetom prvi član u izvornoj jednadžbi a 1 (t)[dg/dt] može tvoriti delta funkciju δ ( t-τ).

Budući da je u

, tada u ovom trenutku

.

Zamjenom neodređenog integrala određenim s promjenjivom gornjom granicom integracije dobivamo relacije za određivanje impulsnog odziva:

Poznavajući impulsni odziv, lako je odrediti prijenosnu funkciju linearnog parametarskog kruga, jer su obje osi povezane parom Fourierovih transformacija:

gdje a=t-τ - kašnjenje signala. Funkcija g 1 (t,a) dobiva se iz funkcije
zamjenom τ = t-a.

Uz posljednji izraz, može se dobiti još jedna definicija prijenosne funkcije, u kojoj impulsni odziv g 1 (t,a) ne pojavljuje se. Da bismo to učinili, za odgovor koristimo inverznu Fourierovu transformaciju S IZLAZ ( t):

.

U slučaju da je ulazni signal harmoničan, S(t) = cosω 0 t... Odgovara S(t) analitički signal je
.

Spektralna ravnina ovog signala

Zamjena
umjesto
u zadnju formulu, dobivamo

Odavde nalazimo:

Ovdje Z IZLAZ ( t) - analitički signal koji odgovara izlaznom signalu S IZLAZ ( t).

Dakle, izlazni signal s harmoničkim djelovanjem

definira se na isti način kao i za bilo koje druge linearne sklopove.

Ako je funkcija prijenosa K(jω 0 , t) mijenja se u vremenu prema periodičkom zakonu s osnovnom frekvencijom Ω, tada se može predstaviti kao Fourierov niz:

gdje
-vremenski neovisni koeficijenti, općenito, složeni, koji se mogu tumačiti kao prijenosne funkcije nekih dvoportanskih mreža s konstantnim parametrima.

Raditi

može se smatrati prijenosnom funkcijom kaskadne (serijske) veze dviju četvero-priključnih mreža: jedne s prijenosnom funkcijom
, neovisno o vremenu, a drugi s prijenosnom funkcijom
, koja se mijenja u vremenu, ali ne ovisi o frekvenciji ω 0 ulaznog signala.

Na temelju posljednjeg izraza, bilo koje parametarsko kolo s periodično promjenjivim parametrima može se predstaviti kao sljedeće ekvivalentno kolo:

Kako je jasan proces stvaranja novih frekvencija u spektru izlaznog signala?

Analitički signal na izlazu bit će jednak

gdje su φ 0, φ 1, φ 2 ... - fazne karakteristike četvero -portova.

Prelaskom na pravi signal na izlazu, dobivamo

Ovaj rezultat ukazuje na sljedeće svojstvo kruga s promjenjivim parametrima: kada se prijenosna funkcija promijeni prema bilo kojem složenom, ali periodičnom zakonu s osnovnom frekvencijom

Ω,  harmonički ulazni signal s frekvencijom ω 0 formira spektar na izlazu sklopa koji sadrži frekvencije ω 0, ω 0 ± Ω, ω 0 ± 2Ω itd.

Ako se složeni signal primijeni na ulaz kruga, tada se sve gore navedeno odnosi na svaku od frekvencija ω i na ulazni spektar. Naravno, u linearnom parametarskom krugu nema interakcije između pojedinih komponenti ulaznog spektra (princip superpozicije) i frekvencija oblika n ω 1 ± mω 2 gdje su ω 1 i ω 2 različite frekvencije ulaznog signala.

2.3 Opća svojstva prijenosne funkcije.

Kriterij stabilnosti za diskretno kolo podudara se sa kriterijem stabilnosti za analogni krug: polovi prijenosne funkcije moraju se nalaziti u lijevoj poluravnini složene varijable, što odgovara položaju polova unutar jedinične kružnice Zrakoplov

Funkcija prijenosa lanca opći pogled je zapisano, prema (2.3), kako slijedi:

gdje se znakovi pojmova uzimaju u obzir u koeficijentima a i, b j, dok je b 0 = 1.

Svojstva prijenosne funkcije lanca općeg oblika prikladno je formulirati u obliku zahtjeva za fizičku ostvarivost racionalne funkcije Z: bilo koja racionalna funkcija Z može se realizirati kao prijenosna funkcija stabilnog diskretnog lanca do faktora H 0 ČH Q ako ova funkcija zadovoljava zahtjeve:

1. koeficijenti a i, b j su stvarni brojevi,

2.korijeni jednadžbe V (Z) = 0, tj. polovi H (Z) nalaze se unutar jedinične kružnice Z ravnine.

Množitelj H 0 ČZ Q uzima u obzir stalno pojačanje signala H 0 i stalan pomak signala duž vremenske osi za vrijednost QT.

2.4 Karakteristike frekvencije.

Kompleks funkcija prijenosa diskretnog kruga

određuje frekvencijske karakteristike kruga

AFC, - PFC.

Na temelju (2.6) opći kompleks prijenosnih funkcija može se zapisati kao

Odatle formule za frekvencijski odziv i fazni frekvencijski odziv

Karakteristike frekvencije diskretnog kruga su periodične funkcije. Period ponavljanja jednak je stopi uzorkovanja w d.

Karakteristike frekvencije obično se normaliziraju duž osi frekvencije na frekvenciju uzorkovanja

gdje je W normalizirana frekvencija.

U izračunima uz korištenje računala normalizacija frekvencije postaje nužnost.

Primjer. Odredite frekvencijske karakteristike kruga čija je prijenosna funkcija

H (Z) = a 0 + a 1 ČZ -1.

Kompleks prijenosnih funkcija: H (jw) = a 0 + a 1 e -j w T.

uzimajući u obzir normalizaciju frekvencije: wT = 2p H W.

H (jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW.

Formule frekvencijskog odziva i faznog odziva

H (W) =, j (W) = - arktan .

grafikoni frekvencijskog odziva i faznog frekvencijskog odziva za pozitivne vrijednosti a 0 i a 1 pod uvjetom a 0> a 1 prikazani su na slici (2.5, a, b.)

Logaritamska ljestvica frekvencijskog odziva - slabljenje A:

; . (2.10)

Nulte prijenosne funkcije mogu se nalaziti u bilo kojoj točki ravnine Z. Ako se nule nalaze unutar jediničnog kruga, tada su karakteristike frekvencijskog odziva i faznog odziva takvog kruga povezane Hilbertovom transformacijom i mogu se jednoznačno odrediti jedna kroz drugi. Takav se krug naziva krugom minimalnog faznog tipa. Ako se barem jedna nula pojavi izvan jediničnog kruga, tada lanac pripada lancu nelinearne faze za koji Hilbertova transformacija nije primjenjiva.

2.5 Impulsni odziv... Konvolucija.

Prijenosna funkcija karakterizira sklop u frekvencijskom području. U vremenskoj domeni krug ima impulsni odziv h (nT). Impulsni odziv diskretnog kruga odgovor je kruga na diskretnu d - funkciju. Impulsni odziv i prijenosna funkcija karakteristike su sustava i povezane su Z-konverzijskim formulama. Stoga se impulsni odziv može smatrati određenim signalom, a prijenosna funkcija H (Z) - Z je slika ovog signala.

Prijenosna funkcija glavna je karakteristika u projektiranju, ako su norme postavljene u odnosu na frekvencijske karakteristike sustava. U skladu s tim, glavna karakteristika je impulsni odziv, ako su norme postavljene na vrijeme.

Impulsni odziv može se odrediti izravno iz kruga kao odgovor kruga na d - funkciju, ili rješavanjem razlikane jednadžbe kruga, pretpostavljajući x (nT) = d (t).

Primjer. Odredite impulsni odziv kruga čiji je dijagram prikazan na slici 2.6, b.

Jednadžba razlike lanca y (nT) = 0,4 x (nT-T)-0,08 y (nT-T).

Rješenje razlika jednadžbe u numeričkom obliku pod uvjetom da je x (nT) = d (t)

n = 0; y (0T) = 0,4 x (-T)-0,08 y (-T) = 0;

n = 1; y (1T) = 0,4 x (0T) - 0,08 y (0T) = 0,4;

n = 2; y (2T) = 0,4 x (1T) - 0,08 y (1T) = -0,032;

n = 3; y (3T) = 0,4 x (2T) - 0,08 y (2T) = 0,00256; itd. ...

Stoga je h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Za stabilno kolo, brojevi impulsnog odziva s vremenom teže nuli.

Odziv impulsa može se odrediti primjenom poznate prijenosne funkcije

a. inverzna Z-transformacija,

b. teorema razlaganja,

v. teorem zaostajanja za rezultate dijeljenja polinoma brojnika polinomom nazivnika.

Posljednja od navedenih metoda odnosi se na numeričke metode za rješavanje problema.

Primjer. Odredite impulsni odziv kruga na slici (2.6, b) prijenosnom funkcijom.

Ovdje je H (Z) = .

Podijeli brojnik s nazivnikom

Primjenjujući teorem odgode na rezultat podjele, dobivamo

h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Uspoređujući rezultat s izračunima koristeći jednadžbu razlike u prethodnom primjeru, može se uvjeriti u pouzdanost računskih postupaka.

Predlaže se neovisno određivanje impulsnog odziva kruga na slici (2.6, a), primjenjujući sukcesivno obje razmatrane metode.

U skladu s definicijom prijenosne funkcije, Z - slika signala na izlazu kruga može se definirati kao umnožak Z - slika signala na ulazu u krug i prijenosna funkcija kruga :

Y (Z) = X (Z) ČH (Z). (2.11)

Dakle, prema teoremi o konvoluciji, konvolucija ulaznog signala s impulsnim odzivom daje signal na izlazu kruga

y (nT) = x (kT) Čh (nT - kT) = h (kT) Čx (nT - kT). (2.12)

Određivanje izlaznog signala formulom konvolucije nalazi primjenu ne samo u proračunskim postupcima, već i kao algoritam za funkcioniranje tehničkih sustava.

Odredite signal na izlazu kola, čiji je dijagram prikazan na slici (2.6, b), ako je x (nT) = (1,0; 0,5).

Ovdje je h (nT) = (0; 0,4; -0,032; 0,00256; ...)

Izračun prema (2.12)

n = 0: y (0T) = h (0T) x (0T) = 0;

n = 1: y (1T) = h (0T) x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n = 2: y (2T) = h (0T) x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Dakle, y (nT) = (0; 0,4; 0,168; ...).

U tehničkim sustavima umjesto linearne konvolucije (2.12) češće se koristi kružna ili ciklična konvolucija.

Student grupe 220352 Chernyshev D. A. Referenca - izvještaj o patentu i znanstvenim i tehničkim istraživanjima Tema završnog kvalifikacijskog rada: televizijski prijamnik s digitalnom obradom signala. Početak pretraživanja 2. 02. 99. Kraj pretraživanja 25.03.99 Predmet pretraživanja Država, Indeks (MKI, NKI) Ne ...

Nosači i amplitudna fazna modulacija s pojedinačnim bočnim pojasom (AFM-SSB). 3. Izbor trajanja i broja elementarnih signala koji se koriste za formiranje izlaznog signala U stvarnim komunikacijskim kanalima za prijenos signala preko frekvencije ograničeni kanal koristi se signal oblika, ali je beskonačan u vremenu, pa se zaglađuje prema zakonu kosinusa. , gdje - ...

Vremenske karakteristike kruga nazivaju se odzivi na tipične komponente izvornog signala.

Prolazni odziv kruga je odziv kruga s nula početnih uvjeta na djelovanje funkcija jedinice(Heaviside funkcije). Prijelazni odziv određuje se iz operatorske prijenosne funkcije dijeljenjem operatora i pronalaženjem izvornika iz dobivene slike pomoću inverzne Laplaceove transformacije kroz ostatke.

Impulsni odziv kruga je odgovor kruga na delta funkciju. - beskrajno kratkog trajanja i beskonačno velikog amplitudnog impulsa jedinične površine. Odziv impulsa određuje se pronalaženjem ostataka iz prijenosne funkcije kruga.

Također ćemo tražiti vremenske karakteristike lanca pomoću operatorske metode. Da biste to učinili, morate pronaći sliku operatora ulaznog signala, pomnožiti je s koeficijentom prijenosa u obliku operatora i pronaći izvornik iz dobivenog izraza, odnosno, poznavajući koeficijent prijenosa kruga, možemo pronaći odgovor na bilo koju radnju.

Pronalaženje impulsnog odziva svodi se na pronalaženje odziva kruga na delta funkciju. Poznato je da je slika za delta funkciju 1. Primjenom inverzne Laplaceove transformacije, nalazimo impulsni odziv.

.

Odaberemo cijeli dio za prijenosnu funkciju lanca, budući da su stupnjevi vodećih koeficijenata u brojniku i nazivniku jednaki:

Pronađite singularne točke prijenosne funkcije izjednačavanjem nazivnika s nulom.

Imamo samo jednu singularnu točku, sada uzimamo odbitak na ovoj singularnoj točki.

Izraz za impulsni odziv zapisan je na sljedeći način:

Slično, nalazimo prolazni odziv kruga, znajući da je za Heaviside funkciju slika funkcija.

; , ;

Prolazni i impulsni odzivi međusobno su povezani, kao i ulazne radnje:

Provjerimo ispunjenost graničnih odnosa između frekvencijskih i vremenskih karakteristika kola, t.j. ispunjenje sljedećih uvjeta:

Zamjenjujemo konkretne izraze za karakteristike krugova u sustav.

.

Kao što vidite, uvjeti su ispunjeni, što ukazuje na ispravnost pronađenih formula.

Zapišimo konačne formule za vremenske karakteristike, uzimajući u obzir normalizaciju

Koristeći gornje formule, konstruirat ćemo grafove ovih funkcija.

fourierov signal analogni linearni

Slika 2.5 - Impulsni odziv analognog prototipnog filtra

Slika 2.6 - Prolazni odziv analognog prototipnog filtra

Vremenske karakteristike postoje samo pri, budući da odgovori ne mogu nadmašiti utjecaj.

Naš se lanac, dakle, razlikuje prolazni odgovor ponaša ovako. Krug za razlikovanje izoštrava prolazni i prolazi prednji rub. Prošlost je odgovorna za "bacanje" visoke frekvencije, a iza blokade - nisu prošle niske frekvencije.

Tematski članak

Implementacija i uporaba GPS tragača u poslovnom okruženju
Tracker je uređaj za prijem-prijenos-snimanje podataka za satelitsko praćenje automobila, ljudi ili drugih objekata na koje je spojen, pomoću Globalnog sustava za pozicioniranje za točno određivanje lokacije objekta. Područja primjene GPS-monitoringa transporta: ambulanta ...