Algoritam digitalnog filtriranja. Algoritmi za digitalno filtriranje signala temeljeni na teoriji neizrazitih skupova dmitrij anatolevič titov. Inteligentna automatizacija u predmetnim i diplomskim projektima

Državno politehničko sveučilište u Sankt Peterburgu

Fakultet tehničke kibernetike

Zavod za automatizaciju i računalno inženjerstvo

IZVJEŠĆE

za laboratorijski rad br.3

Istraživanje rekurentnih algoritama digitalnog filtriranja

signale metodom usrednjavanja.

Završio student gr. 4081/1 Volykhin A.N.

Provjerio: V.D. Yarmiychuk

St. Petersburg

1. Ciljevi rada

Svrha rada je upoznati se s različitim algoritmima za digitalno filtriranje signala metodom usrednjavanja i proučiti učinkovitost njihovog rada u uvjetima kada se korisnom signalu nameće interferencija tipa "bijeli šum" s nultim matematičkim očekivanjem i

kontrolirana disperzija.

2. Metodologija istraživanja

Istražuju se filtri temeljeni na sljedećim algoritmima:

1). Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja s beskonačnom memorijom.

Svrha filtera je izolirati konstantnu komponentu korisnog signala od pozadine smetnji.

Izraz za to u rekurentnom obliku:

Kad pruži .

2). Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja s konstantnim faktorom korekcije.

Svrha filtra je izolirati niskofrekventne komponente ulaznog korisnog signala od pozadine šuma.

Ako prihvatite, onda ovu jednadžbu možete napisati u obliku:

Odakle pri prelasku na kontinuirano vrijeme dobivamo prijenosnu funkciju filtra:

Odnosno, filtar konstruiran prema ovom algoritmu, za male vrijednosti, ekvivalentan je

analogni niskopropusni filtar prvog reda.

3). Rekurentni algoritam za prosječenje konačne memorije.

Svrha filtera je istaknuti niskofrekventne komponente ulaznog signala

koristeći usrednjavanje samo ograničenog broja svojih najnovijih mjerenja.

Učinkovitost digitalnog filtriranja, odnosno mjera smanjenja razine buke na izlazu filtra u usporedbi sa razinom buke na ulazu, procijenit će se na sljedeći način:

Gdje: - šumni signal na ulazu filtera

Korisni signal na ulazu filtra

Filtrirajte izlazni signal

Koristan signal na izlazu filtera

3. Shema eksperimenta (vidi Dodatak 1)

4. Eksperimentalni rezultati

4.1. Algoritam ponavljajućeg usrednjavanja s beskonačnom memorijom

Istraživanja su provedena uz konstantno razdoblje uzorkovanja od 100 ms.

Razmotrite kako se učinkovitost filtra mijenja od veličine konstantnog ulaznog signala (X).

LABORATORIJSKI RAD

ALGORITMI ZA FILTERIRANJE SIGNALAU sustavu upravljanja procesom

Cilj. Upoznavanje s algoritmima za filtriranje mjerenih slučajnih signala, najčešćih u sustavu upravljanja procesima, provođenje komparativne analize njihove točnosti i značajki implementacije na računalu.

Vježbajte

1) za zadane karakteristike slučajnih signala izračunati optimalne parametre filtera,

2) simulirati sustav filtriranja na računalu i izračunati pogrešku filtracije za svaku od razmatranih metoda,

3) provesti komparativnu analizu učinkovitosti razmatranih algoritama.

Temeljne odredbe. 1 Izjava o optimalnom problemu filtracije. Signali s mjernih uređaja često sadrže slučajnu pogrešku – smetnje. Zadatak filtriranja je odvojiti korisnu komponentu signala od smetnji u jednom ili drugom stupnju. U pravilu se pretpostavlja da su i korisni signal i smetnje stacionarni slučajni procesi za koje su poznate njihove statističke karakteristike: matematičko očekivanje, varijacija, korelacijska funkcija, spektralna gustoća. Poznavajući ove karakteristike, potrebno je pronaći filtar u klasi linearnih dinamičkih sustava ili u užoj klasi linearnih sustava zadane strukture kako bi se signal na izlazu filtra što manje razlikovao od korisnog signala.

Sl. 1. O iskazu problema filtracije

Uvedimo oznaku i preciznije formulirajmo problem filtracije. Neka ulaz filtera ima impulsni odziv Do(t) a odgovarajući (zbog Fourierove transformacije) 0

AFKh W(iω) primaju se korisni signali x(t) i smetnje koje nisu u korelaciji s tim z(t) (Sl. 1). Korelacijske funkcije i spektralne gustoće korisnog signala i interferencije označene su s R x (t), S x (t), R z (t) i S z (t) ... Potrebno je pronaći karakteristike filtera k (t) ili W (t) tako da efektivna vrijednost razlike ε između signala na izlazu filtera i korisnog signala x bio je minimalan. Ako je karakteristika filtera poznata s točnošću od jednog ili više parametara, tada se moraju odabrati optimalne vrijednosti ovih parametara.

Greška ε sadrži dvije komponente. Prvi ( ε 1 ) povezano je s činjenicom da će dio buke i dalje prolaziti kroz filter, a drugi ( ε 2 ) - tako da će se oblik korisnog signala promijeniti prilikom prolaska kroz filter. Dakle, određivanje optimalne karakteristike filtra je potraga za kompromisnim rješenjem koje minimizira ukupnu pogrešku.

Predstavimo frekvencijski odziv filtera u obliku:

W (iω) = A (ω) exp.

Koristeći formule koje povezuju spektralne gustoće slučajnih procesa na ulazu i izlazu linearnog sustava s njegovim frekvencijskim odzivom, izračunavamo spektralne gustoće svake od komponenti pogreške.

Za pogrešku povezanu s preskakanjem šuma dobivamo

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

Spektralna gustoća pogreške povezane s izobličenjem korisnog signala je

S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W(iω)| 2

Zbroj ovih komponenti S ε ima spektralnu gustoću

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

S obzirom na to

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) grijeh 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) - 2S x (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

Srednja kvadratna pogreška je izrazom povezana sa spektralnom gustoćom

Minimiziranjem S ε (ω ) na f(ω) i A (ω), dolazimo do jednadžbi

jerf * (ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ) A (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

Pronađene karakteristike optimalnog filtra odgovaraju gustoći spektralne pogreške

Minimalna srednja kvadratna greška

(3)

Nažalost, pronađeni filtar nije ostvariv, budući da uvjet jednakosti nuli na svim frekvencijama fazno-frekventnog odziva znači da je impulsni odziv filtra parna funkcija, on nije jednak nuli ne samo za t>0 , ali i na t(Slika 2, a).

Za svaki fizički izvediv filtar vrijedi sljedeći zahtjev: Do(t) = 0 na t (slika 2, b). Ovaj zahtjev treba unijeti u izjavu o problemu. Naravno, dostižna pogreška σ istovremeno bi se povećao. Riješen je problem optimalnog filtriranja uzimajući u obzir fizičku izvedivost.

Riža. 2. Impulsna svojstva neostvarivih (a) i ostvarivih (b) filtara

Riža. 3. Spektralne gustoće korisnog signalaS x (ω) i šumS z (ω) i amplitudno-frekvencijsku karakteristiku optimalnog filtra A * (ω) s nepreklapanjem (a) i preklapanjem (b)S x (ω) iS z (ω)

N. Wiener. Njegovo rješenje je puno kompliciranije od gore navedenog, stoga ćemo u ovom radu tražiti fizički ostvarive filtre samo u klasi filtara čije su karakteristike specificirane točno na vrijednosti parametara. Količina izračunata po formuli (3) može poslužiti kao niža procjena dostižne pogreške filtriranja.

Fizičko značenje relacije (2, b) ilustrirano je na Sl. 3. Ako se spektri korisnog signala i smetnji ne preklapaju, tada A (ω) treba biti jednaka nuli gdje je spektralna gustoća smetnji različita od nule i jednaka za sve frekvencije na kojima S x (ω)>0 ... Na sl. 3, b prikazuje lik A * (ω) u slučaju kada se spektralne gustoće signala i interferencije međusobno preklapaju.

Među filterima zadane strukture najrašireniji su filtri koji se temelje na operaciji pokretnog prosjeka, kao i eksponencijalni filtar i tzv. statistički filtar nultog reda. Eksponencijalni filtar je aperiodični filtar prvog reda, a statistički filtar nultog reda je poveznica za pojačavanje. Razmotrimo detaljnije svaki od spomenutih filtara.

Filter s pomičnim prosjekom. Izlaz filtra povezan je s njegovim ulazom omjerom

Impulsna prijelazna funkcija filtra prikazana je na slici 4, a. Frekventne karakteristike su jednake

Impulsni odgovor može se izraziti u terminima Heavisideove funkcije 1(t)

k(t) = k.

Podesivi parametri filtera su pojačanje k i pamćenje T.

Eksponencijalni filter(slika 4, b). Izlazni signal je određen diferencijalnom jednadžbom

y/ γ + y = kg

Impulsni odgovor je:

Frekventne karakteristike

Parametri filtera su pojačanje k a vremenska konstanta inverzna prema γ .

Riža. 4. Prijelazne funkcije impulsak(t) i amplitudno -frekvencijske karakteristike A (ω) tipičnih filtera: a - trenutni prosjek; b - eksponencijalni; c) statički nulti red

Statistički filter nultog reda. Ovaj filtar, kao što je gore spomenuto, je poveznica za pojačavanje. Njegove karakteristike

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

Težina navedenih filtara ne dopušta postizanje idealnog filtriranja čak i kod disjunktnih spektra signala i interferencije. Minimizirajte pogrešku σ ε možete odabrati parametre k, T, γ... To zahtijeva karakteristike filtera A (ω) i f(ω) kao funkciju frekvencije i parametara, zamijenite formulom (1), uzmite integral rezultirajućeg izraza, koji će biti funkcija parametara filtra, i pronađite minimum tog integrala nad parametrima.

Na primjer, za statistički filtar Coulombovog reda, spektralna gustoća pogreške imat će oblik:

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )

Sastavni S ε jednaka je varijanci smetnje pomnoženoj s π ... dobivamo

Uzmimo u obzir da su integrali na desnoj strani ove jednakosti jednaki varijacijama korisnog signala i šuma, tako da

Uvjet za minimum ovog izraza s obzirom na k vodi jednakosti

Nakon zamjene pronađene vrijednosti k u izraz za varijancu pogreške, dobivamo:

Filtri trenutnog prosjeka i eksponencijala imaju po dva podesiva parametra, a njihove optimalne vrijednosti ne mogu se tako lako izraziti kroz karakteristike korisnog signala i šuma, već se te vrijednosti mogu pronaći numeričkim metodama za pronalaženje minimum funkcije u dvije varijable.

Slika 5 Blok dijagram računalne simulacije sustava za filtriranje slučajnih signala

2. Opis simuliranog sustava. Rad se obavlja modeliranjem na računalu sustava koji se sastoji od sljedećih blokova (slika 5).

1. Generator ulaznog signala I, uključujući generator slučajnog signala (GSS) i dva filtra za oblikovanje sa specificiranim karakteristikama W x (iω) i W z (iω) , na čijem se izlazu prima koristan signal x(t) i smetnja z(t) ... Između generatora slučajnih signala i filtera za oblikovanje W z uključivao vezu odgode Δ, osiguravajući pomak od dva do tri ciklusa takta. U tom slučaju ulaz filtera koji stvara šum i ulaz filtra koji tvori korisni signal nisu međusobno korelirani.

2. Blok za izračun korelacijskih funkcija
.

3. Jedinica za filtriranje (II), uključujući stvarni filter
i blok za izračunavanje pogreške filtriranja
.

Korisni signal generiran u sustavu x(t) i smetnja z(t) su stacionarni slučajni procesi čije se korelacijske funkcije mogu približno aproksimirati eksponentima oblika (slika 6)

(6)

gdje

Procjene varijance signala i izračunato pomoću bloka (pri τ = 0); parametre α i α z postavlja nastavnik.

3. Diskretna implementacija kontinuiranih filtara. Koristimo diskretne implementacije gore opisanih kontinuiranih filtara. Korak diskretnosti t o uzeti znatno manje od vremena opadanja korelacijskih funkcija korisnog signala i šuma. Stoga se gornji izrazi (1) za izračunavanje σ ε kroz spektralne karakteristike ulaznog signala i šuma mogu koristiti iu diskretnom slučaju.

Pronađimo najprije diskretne analoge filtara koji tvore slučajne procese s korelacijskim funkcijama iz signala primljenog iz GSS-a (6). Spektralne gustoće koje odgovaraju ovim korelacijskim funkcijama imaju oblik

(7)

Prijenosne funkcije filtara za oblikovanje za slučaj kada je varijanca signala na izlazu GSS jednaka jedan,

Nije teško to vidjeti

Ako se signal na ulazu svakog od filtera za oblikovanje označi sa ξ , tada diferencijalne jednadžbe koje odgovaraju gore napisanim prijenosnim funkcijama imaju oblik

Odgovarajući analozi razlike bit će napisani u obliku;

Dakle, algoritam filtera, koji formira korisni signal, ima oblik:

(8a)

Isto tako i za filtar za oblikovanje buke

(8b)

Analogi kontinuiranih filtara dizajniranih za izolaciju smetnji su sljedeći:

za filtar s pomičnim prosjekom

(9)

gdje je vrijednost l birati iz uvjeta (l + 1) t O = T;

za eksponencijalni filtar

(10)

za statistički filter nultog reda

na i = kg i (11)

Nalog za izvršenje. 1. Kreirajte i debugirajte potprograme bloka za filtriranje trenutnih informacija i izračunavanje pogrešaka filtriranja.

2. Dobiti realizacije slučajnih procesa na izlazu filtara za oblikovanje i koristiti ih za pronalaženje procjena varijansi korisnog signala i šuma, kao i korelacijskih funkcija R x (τ) i R z (τ) ... Približno definirati α NS i α z i usporediti s izračunatim.

3. Izračunajte po S x (ω) i S z (ω) analitički ili na računalu donja granica za grešku rms filtriranja.

4. Koristeći formulu (4) pronađite optimalni dobitak statističkog filtra nultog reda i odgovarajuću vrijednost koji se uspoređuje sa.

5. Koristim jednu od poznatih metoda za pronalaženje minimuma funkcije dviju varijabli i unaprijed sastavljen program za pronalaženje optimalnih parametara pomičnih prosjeka i eksponencijalnih filtara i korijenskih srednjih kvadratnih pogrešaka filtriranja. U tom slučaju specifična kombinacija parametara filtera odgovara gustoći spektralne pogreške S ε (ω) definirana formulom (1), i iz nje pronađite vrijednost nakon numeričke integracije.

6. Unesite program za filtriranje u računalo, eksperimentalno odredite korijensku srednju kvadratnu pogrešku za optimalne i neoptimalne parametre filtera, usporedite rezultate s izračunatim.

7. Provesti komparativnu analizu učinkovitosti različitih algoritama filtriranja za sljedeće pokazatelje: a) minimalnu ostvarivu korijensku srednju kvadratnu pogrešku; b) potreban volumen RAM memorija; c) računanje vremena računala.

Izvješće treba sadržavati: 1) blok dijagram sustava (vidi sliku 5);

2) potprogrami oblikovanja i sintetizirani filtri;

3) izračunavanje optimalnih parametara filtara i odgovarajućih vrijednosti srednje kvadratne pogreške;

4) rezultate analize razmatranih algoritama i zaključaka.

Štand 6.2. Izrada projekta 6.3. Studija APCS na treningu laboratorija... sigurno ciljeve njihove aktivnosti. Ciljevi aktivnosti...

Ime Prezime "" 20 g

Dokument

Način rada raditi) ;. … […) [Naziv načina raditi] ... prema laboratorija analize; 5) ... zahtjevi za APCS... Tehnološki procesi ... obrada i analiza informacija ( signale, poruke, dokumenti itd ... algoritmi filtracija i algoritmi eliminirati buku iz cilj ...

Inteligentna automatizacija u kursevima i diplomskim projektima

sažetak

Žica. cilj... proizvod ... signal HART za integraciju u sustave APCS ... filtracija postoje različite vrste senzora prašine. DT400G djela ... algoritam... kemijska industrija. Tehnička sredstva i laboratorija raditi/ G.I. Lapšenkov, L.M. ...

Program rada discipline "automatizacija tehnoloških procesa"

Program rada

... CILJEVI I CILJEVI UČENJA DISCIPLINE Svrha... glavne komponente APCS- kontroleri ... pogledi signale c ... ispravci grešaka, filtracija poruke,... algoritmi i programi, rasprave, obavljanje kontrole djela. Laboratorija klase. Laboratorija ...

Fizički izvedivi digitalni filtri, koji rade u stvarnom vremenu, mogu koristiti sljedeće podatke za generiranje izlaznog signala u diskretnom trenutku: a) vrijednost ulaznog signala u trenutku uzorkovanja, kao i određeni broj " past" ulazni uzorci određeni broj prethodnih uzoraka izlaznog signala Integers tip određuje redoslijed CF-a. Klasifikacija CF-a provodi se na različite načine, ovisno o tome kako se koriste informacije o prošlim stanjima sustava.

Transverzalni CF -ovi.

Ovo je naziv za filtere koji rade u skladu s algoritmom.

gdje je niz koeficijenata.

Broj je redoslijed poprečnog digitalnog filtra. Kao što se može vidjeti iz formule (15.58), poprečni filtar provodi ponderirano zbrajanje prethodnih uzoraka ulaznog signala i ne koristi prethodne uzorke izlaznog signala. Primjenom z-transformacije na obje strane izraza (15.58), uvjeravamo se u to

Iz toga slijedi da funkcija sustava

je razlomljena racionalna funkcija z, koja ima više pola na i nule, čije su koordinate određene koeficijentima filtra.

Algoritam za funkcioniranje transverzalnog DF-a ilustriran je blok dijagramom prikazanim na Sl. 15.7.

Riža. 15.7. Shema za konstruiranje transverzalnog DF-a

Glavni elementi filtera su blokovi kašnjenja vrijednosti uzorka za jedan interval uzorkovanja (pravokutnici sa simbolima), kao i blokovi skale koji obavljaju digitalno množenje s odgovarajućim koeficijentima. S izlaza blokova ljestvice, signali odlaze u zbrajalicu, gdje se zbrajaju i tvore uzorak izlaznog signala.

Oblik ovdje prikazanog dijagrama objašnjava značenje pojma "poprečni filtar" (od engleskog transverse - poprečno).

Programska implementacija transverzalnog DF-a.

Treba imati na umu da blok dijagram prikazan na Sl. 15.7 nije shematski dijagram strujni krug, ali samo služi grafička slika algoritam za obradu signala. Pomoću jezika FORTRAN razmotrimo fragment programa koji provodi poprečno digitalno filtriranje.

Neka se u RAM-u računala formiraju po dva jednodimenzionalna niza M ćelija: niz s imenom X, koji pohranjuje vrijednosti ulaznog signala, i niz s imenom A, koji sadrži vrijednosti koeficijenti filtera.

Sadržaj ćelija u X nizu mijenja se svaki put kada se primi novi uzorak ulaznog signala.

Pretpostavimo da je ovaj niz popunjen prethodnim uzorcima ulaznog niza i razmotrimo situaciju koja nastaje u trenutku dolaska sljedećeg uzorka, koji u programu ima ime S. Ovaj uzorak treba staviti u broj ćelije 1, ali tek nakon što je prethodni zapis jedan položaj udesno, odnosno prema zaostaloj strani.

Tako formirani elementi niza X množe se pojam po član s elementima niza A i rezultat se unosi u ćeliju pod nazivom Y, gdje se akumulira vrijednost uzorka izlaznog signala. Ispod je tekst programa transverzalnog digitalnog filtriranja:

Impulsni odgovor. Vratimo se na formulu (15.59) i izračunajmo impulsni odziv poprečne CF izvođenjem inverzne z-transformacije. Lako je vidjeti da svaki član funkcije daje doprinos jednak odgovarajućem koeficijentu, pomaknut za položaje prema kašnjenju. Dakle ovdje

Do ovog se zaključka može doći izravno, uzimajući u obzir blok dijagram filtera (vidi sliku 15.7) i uz pretpostavku da se na njegov ulaz dovodi "jedan impuls".

Važno je napomenuti da impulsni odziv transverzalnog filtra sadrži konačan broj članova.

Frekvencijski odziv.

Ako promijenimo varijablu u formuli (15.59), dobivamo koeficijent prijenosa frekvencije

S danim korakom uzorkovanja A, širok raspon oblika frekvencijskog odziva može se realizirati odgovarajućim odabirom težine filtera.

Primjer 15.4. Istražite frekvencijske karakteristike poprečnog digitalnog filtra drugog reda koji prosječuje trenutnu vrijednost ulaznog signala i dva prethodna uzorka prema formuli

Funkcija sustava ovog filtera

Riža. 15.8. Frekventne karakteristike transverzalnog DF-a iz primjera 15.4: a - frekvencijski odziv; b - PFC

odakle nalazimo koeficijent prijenosa frekvencije

Elementarne transformacije dovode do sljedećih izraza za frekvencijski odziv u faznom odzivu ovog sustava:

Odgovarajući grafikoni prikazani su na Sl. 15.8, a, b, gdje je vrijednost ucrtana duž horizontalnih osi - fazni kut intervala uzorkovanja na trenutnoj vrijednosti frekvencije.

Pretpostavimo, na primjer, da, to jest, postoji šest uzoraka po jednom razdoblju harmonijske ulazne oscilacije. U ovom slučaju, ulazni niz će imati oblik

(apsolutne vrijednosti uzoraka nisu bitne, jer je filter linearan). Koristeći algoritam (15.62) nalazimo izlazni niz:

Vidi se da mu odgovara harmonijski izlazni signal iste frekvencije kao na ulazu, s amplitudom jednakom amplitudi ulazne oscilacije i s početnom fazom pomaknutom za 60° prema kašnjenju.

Rekurzivni DF-ovi.

Ova vrsta digitalni filtri karakterizira činjenica da se za formiranje izlaznog brojanja koriste prethodne vrijednosti ne samo ulaznih i izlaznih signala:

(15.63)

a koeficijenti koji određuju rekurzivni dio algoritma filtriranja nisu jednaki nuli u isto vrijeme. Kako bi se naglasila razlika između struktura dviju vrsta digitalnih filtera, poprečni filtri nazivaju se i nerekurzivni filtri.

Funkcija sustava rekurzivne digitalne funkcije.

Provodeći z-transformaciju obje strane rekurentne relacije (15.63), nalazimo da funkcija sustava

koji opisuje frekvencijska svojstva rekurzivnog DF-a, ima polove na z-ravnini. Ako su koeficijenti rekurzivnog dijela algoritma realni, tada ti polovi ili leže na realnoj osi ili tvore složene konjugirane parove.

Strukturni dijagram rekurzivnog digitalnog filtra.

Na sl. 15.9 prikazan je dijagram algoritma izračuna provedenih u skladu s formulom (15.63). Gornji dio strukturni dijagram odgovara poprečnom (nerekurzivnom) dijelu algoritma filtriranja. Za njegovu provedbu, u općem slučaju, potrebni su blokovi velikih razmjera (operacije množenja) i memorijske ćelije u koje se pohranjuju ulazni uzorci.

Donji dio blok dijagrama odgovara rekurzivnom dijelu algoritma. Koristi uzastopne izlazne vrijednosti, koje se pomiču od ćelije do ćelije tijekom rada filtra.

Riža. 15.9. Strukturni dijagram rekurzivnog digitalnog filtra

Riža. 15.10. Strukturni dijagram kanonskog rekurzivnog DF-a 2. reda

Nedostatak ovog principa implementacije je potreba za velikim brojem memorijskih ćelija, odvojeno za rekurzivni i nerekurzivni dio. Savršenije su kanonske sheme rekurzivnih digitalnih funkcija u kojima se koristi najmanji mogući broj memorijskih ćelija, jednak najvećem broju. Kao primjer, sl. 15.10 prikazuje blok dijagram kanonskog rekurzivnog filtra drugog reda, koji odgovara funkciji sustava

Kako biste bili sigurni da ovaj sustav implementira zadanu funkciju, razmislite o pomoćnoj diskretni signal na izlazu zbrojivača 1 i zapišite dvije očite jednadžbe:

(15.67)

Provodeći -transformaciju jednadžbe (15.66), nalazimo da

S druge strane, u skladu s izrazom (15.67)

Kombinirajući relacije (15.68) i (15.69), dolazimo do zadane funkcije sustava (15.65).

Stabilnost rekurzivnih digitalnih funkcija.

Rekurzivna digitalna funkcija je diskretni analog sustava dinamičke povratne sprege, budući da su vrijednosti njegovih prethodnih stanja pohranjene u memorijskim ćelijama. Ako su dati neki početni uvjeti, odnosno skup vrijednosti, tada će u nedostatku ulaznog signala filtar formirati elemente beskonačnog niza koji igra ulogu slobodnih oscilacija.

Digitalni filtar se naziva stabilnim ako je slobodni proces koji nastaje u njemu nerastući niz, tj. vrijednosti na ne prelaze neki pozitivan broj M, bez obzira na izbor početnih uvjeta.

Slobodne oscilacije u rekurzivnoj digitalnoj funkciji temeljenoj na algoritmu (15.63) rješenje su jednadžbe linearne razlike

Po analogiji s principom rješavanja linearnog diferencijalne jednadžbe tražit ćemo rješenje za (15.70) u obliku eksponencijalne funkcije

s još uvijek nepoznatom vrijednošću. Zamjenom (15.71) u (15.70) i ​​poništavanjem zajedničkim faktorom vidimo da je a korijen karakteristične jednadžbe

Na temelju (15.64), ova se jednadžba točno podudara s jednadžbom koju zadovoljavaju polovi funkcije sustava rekurzivne CF.

Neka se pronađe korijenski sustav jednadžbe (15.72). Tada će opće rješenje jednadžbe razlike (15.70) imati oblik

Koeficijente treba odabrati tako da su zadovoljeni početni uvjeti.

Ako svi polovi sustava funkcioniraju, tj. brojevi ne prelaze jedan u apsolutnoj vrijednosti, budući da se nalaze unutar jedinične kružnice sa središtem u točki, tada će se na temelju (15.73) svaki slobodni proces u CF opisati pojmovima opadajuće geometrijske progresije i filtar će biti stabilan. Jasno je da se samo stabilni digitalni filtri mogu praktično primijeniti.

Primjer 15.5. Istražiti stabilnost rekurzivnog digitalnog filtra 2. reda s funkcijom sustava

Karakteristična jednadžba

ima korijene

Krivulja opisana jednadžbom na koeficijentnoj ravnini je granica iznad koje su polovi funkcije sustava realni, a ispod koje su kompleksno konjugirani.

Stoga je za slučaj složenih konjugiranih polova jedna od granica područja stabilnosti ravna linija 1.

Riža. 15.11. Područje stabilnosti rekurzivnog filtra 2. reda (polovi filtra su kompleksno konjugirani u području označenom bojom)

Uzimajući u obzir stvarne polove na, imamo uvjet stabilnosti u obliku

Ovu vrstu digitalnih filtara karakterizira činjenica da za formaciju i th izlazni broj koriste se prethodne vrijednosti ne samo ulaznih, već i izlaznih signala (algoritam filtriranja):

i koeficijenti (b (, b 2, ..., b n _ Ts, koji definiraju rekurzivni dio algoritma filtriranja, nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Zapišimo funkcija sustava rekurzivni CF. Nakon završetka z- transformacijom obje strane relacijske relacije (7.28), nalazimo da funkcija sustava koja opisuje frekvencijska svojstva rekurzivne CF ima oblik

Iz ovog izraza slijedi da sistemska funkcija rekurzivnog CF ima na z-ravni (t-1) nule i (NS- 1) stupovi. Ako su koeficijenti rekurzivnog dijela algoritma realni, tada polovi ili leže na realnoj osi ili tvore složene konjugirane parove.

Izračunajmo impulsni odgovor rekurzivni CF. Karakteristična značajka koja razlikuje rekurzivni DF od nerekurzivnog DF je da zbog prisutnosti Povratne informacije njegov impulsni odziv ima oblik beskonačno proširenog niza. Stoga, često rekurzivni filtri nazivaju se IIR filtri (Infinite Impulse Response Filters). Pokažimo to na primjeru najjednostavnijeg filtera 1. reda opisanog funkcijom sustava

Kao što znate, impulsni odziv se može pronaći pomoću inverzne ^ -transformacije funkcije sustava. Koristeći formulu za inverznu ^ -transformaciju, nalazimo m-ti član u nizu }