خوارزمية التصفية الرقمية. خوارزميات للترشيح الرقمي للإشارات على أساس نظرية المجموعات الضبابية dmitry anatolevich titov. أتمتة ذكية في الدورات الدراسية ومشاريع الدبلوم

جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية للفنون التطبيقية

كلية علم التحكم الآلي التقنية

قسم الأتمتة وهندسة الحاسبات

أبلغ عن

للعمل المخبري رقم 3

بحث عن خوارزميات التصفية الرقمية المتكررة

إشارات بطريقة المتوسط.

أنجز الطالب غرام. 4081/1 فوليخين أ.

راجعه: V.D. Yarmiychuk

سان بطرسبرج

1. أهداف العمل

الغرض من العمل هو التعرف على خوارزميات مختلفة للترشيح الرقمي للإشارات بواسطة طريقة المتوسط ​​ودراسة كفاءة عملهم في الظروف التي يتم فيها فرض تداخل من نوع "الضوضاء البيضاء" مع توقع رياضي صفري على الإشارة المفيدة و

تشتت متحكم فيه.

2. منهجية البحث

يتم فحص المرشحات بناءً على الخوارزميات التالية:

1). خوارزمية متوسط ​​متكرر مع ذاكرة لانهائية.

الغرض من المرشح هو عزل المكون الثابت للإشارة المفيدة مقابل خلفية التداخل.

التعبير عنها بشكل متكرر:

عندما يقدم .

2). خوارزمية المتوسط ​​المتكرر مع عامل تصحيح ثابت.

الغرض من المرشح هو عزل المكونات منخفضة التردد لإشارة الدخل المفيدة مقابل خلفية الضوضاء.

إذا قبلت ، يمكنك كتابة هذه المعادلة بالصيغة:

ومن هنا ، عند الانتقال إلى الوقت المستمر ، نحصل على وظيفة النقل للمرشح:

أي أن المرشح الذي تم إنشاؤه وفقًا لهذه الخوارزمية ، للقيم الصغيرة ، يعادل

مرشح تمرير منخفض تناظري من الدرجة الأولى.

3). خوارزمية حساب متوسط ​​الذاكرة المحدودة المتكررة.

الغرض من المرشح هو إبراز المكونات منخفضة التردد لإشارة الإدخال

باستخدام متوسط ​​عدد محدود فقط من أحدث قياساته.

سيتم تقدير كفاءة الترشيح الرقمي ، أي مقياس تقليل مستوى الضوضاء عند خرج المرشح مقارنة بمستوى الضوضاء عند الإدخال ، على النحو التالي:

حيث: - إشارة ضوضاء عند مدخل الفلتر

إشارة مفيدة عند إدخال المرشح

مرشح إشارة الإخراج

إشارة مفيدة عند إخراج المرشح

3. مخطط التجربة (انظر الملحق 1)

4. النتائج التجريبية

4.1 خوارزمية متوسط ​​متكرر مع ذاكرة لانهائية

أجريت الدراسات مع فترة أخذ عينات ثابتة تبلغ 100 مللي ثانية.

ضع في اعتبارك كيف تتغير كفاءة المرشح من حجم إشارة الدخل الثابت (X).

العمل المخبري

خوارزميات تصفية الإشاراتفي نظام التحكم في العمليات

استهداف.التعرف على خوارزميات تصفية الإشارات العشوائية المقاسة ، والأكثر شيوعًا في نظام التحكم في العملية ، وإجراء تحليل مقارن لدقتها وميزات تنفيذها في الكمبيوتر.

يمارس

1) للخصائص المعينة للإشارات العشوائية ، احسب معلمات المرشح المثلى ،

2) محاكاة نظام الترشيح على جهاز الكمبيوتر وحساب خطأ الترشيح لكل طريقة من الطرق المدروسة ،

3) لإجراء تحليل مقارن لفعالية الخوارزميات المدروسة.

أحكام أساسية. 1 بيان بمشكلة الترشيح الأمثل.غالبًا ما تحتوي الإشارات الصادرة عن أجهزة القياس على خطأ عشوائي - التداخل. تتمثل مهمة الترشيح في فصل مكون الإشارة المفيد عن التداخل بدرجة أو بأخرى. كقاعدة عامة ، يُفترض أن تكون كل من الإشارة المفيدة والتداخل عمليات عشوائية ثابتة تُعرف خصائصها الإحصائية من أجلها: التوقع الرياضي ، والتباين ، ووظيفة الارتباط ، والكثافة الطيفية. بمعرفة هذه الخصائص ، من الضروري العثور على مرشح في فئة الأنظمة الديناميكية الخطية أو في فئة أضيق من الأنظمة الخطية ذات بنية معينة بحيث تختلف الإشارة عند خرج المرشح بأقل قدر ممكن عن الإشارة المفيدة.

رسم بياني 1. على بيان مشكلة الترشيح

دعونا نقدم الترميز وصياغة مشكلة الترشيح بشكل أكثر دقة. دع إدخال المرشح مع استجابة دافعة إلى(ر) وما يقابله (بسبب تحويل فورييه) 0

AFKh دبليو(أنا) يتم تلقي إشارات مفيدة x(ر) والتدخل الذي لا يرتبط به ض(ر) (رسم بياني 1). يتم الإشارة إلى وظائف الارتباط والكثافة الطيفية للإشارة المفيدة والتداخل ص x (ر), س x (ر), ص ض (ر) و س ض (ر) ... مطلوب إيجاد خصائص المرشح k (t) أو W (t) بحيث تكون قيمة جذر متوسط ​​التربيع للفرق ε بين الإشارة عند خرج المرشح والإشارة المفيدة x كان ضئيلاً. إذا كانت خاصية المرشح معروفة بدقة واحدة أو عدة معلمات ، فيجب اختيار القيم المثلى لهذه المعلمات.

خطأ ε يحتوي على عنصرين. الأول ( ε 1 ) يرجع إلى حقيقة أن جزءًا من الضوضاء سيظل يمر عبر الفلتر ، والثاني ( ε 2 ) - بحيث يتغير شكل الإشارة المفيدة عند المرور عبر الفلتر. وبالتالي ، فإن تحديد خاصية التصفية المثلى هو البحث عن حل وسط يقلل من الخطأ الكلي.

دعنا نمثل استجابة التردد للمرشح بالشكل:

W (iω) = A (ω) exp.

باستخدام الصيغ التي تربط الكثافات الطيفية للعمليات العشوائية عند مدخلات ومخرجات نظام خطي باستجابة التردد الخاصة به ، نحسب الكثافة الطيفية لكل مكون من مكونات الخطأ.

بالنسبة للخطأ المرتبط بتخطي الضوضاء ، نحصل عليه

س ε1 (ω) = س ض (ω ) أ 2 (ω )

الكثافة الطيفية للخطأ المرتبط بتشويه الإشارة المفيدة هي

س ε2 (ω) = س x (ω )|1 – دبليو(أنا)| 2

مجموع هذه المكونات S ε له الكثافة الطيفية

س ε (ω ) = س ε1 (ω ) + س ε2 (ω )

معتبرا أن

|1 – دبليو(أنا)| 2 = 2 + أ 2 (ω ) الخطيئة 2 F(ω ),

س ε (ω ) = س ض (ω) أ 2 (ω) + س x (ω) أ 2 (ω ) + س x (ω) - 2س x (ω) أ(ω) كوسف(ω) . (1)

يرتبط جذر متوسط ​​الخطأ التربيعي بالكثافة الطيفية بالتعبير

عن طريق التقليل س ε (ω ) تشغيل F(ω) و أ (ω)، نصل إلى المعادلات

كوسF * (ω ) = 1
F *(ω ) = 0

2S ض (ω ) أ (ω) - 2S x (ω) = 0

(2)

تتوافق الخصائص التي تم العثور عليها للمرشح الأمثل مع كثافة الخطأ الطيفي

أدنى جذر يعني خطأ تربيعي

(3)

لسوء الحظ ، لا يمكن تحقيق المرشح الذي تم العثور عليه ، نظرًا لأن حالة المساواة مع الصفر في جميع ترددات استجابة تردد الطور تعني أن الاستجابة النبضية للمرشح هي وظيفة متساوية ، فهي ليست صفرية ليس فقط من أجل ر>0 ، ولكن أيضًا في ر(الشكل 2 ، أ).

بالنسبة لأي مرشح يمكن تحقيقه ماديًا ، فإن المتطلبات التالية صحيحة: إلى(ر) = 0 في ر (الشكل 2 ، ب). يجب إدخال هذا الشرط في بيان المشكلة. بطبيعة الحال ، الخطأ الذي يمكن تحقيقه σ في نفس الوقت ستزيد. تم حل مشكلة التصفية المثلى مع مراعاة الجدوى المادية.

أرز. 2. خصائص النبضة لمرشحات (أ) غير قابلة للتحقيق (ب)

أرز. 3. الكثافات الطيفية للإشارة المفيدةس x (ω) والضوضاءس ض (ω) وخاصية تردد الاتساع للمرشح الأمثل A * (ω) مع عدم تداخل (أ) وتداخل (ب)س x (ω) وس ض (ω)

ن. وينر. حلها أكثر تعقيدًا بكثير من الحل المذكور أعلاه ، لذلك ، في هذا العمل ، سنبحث عن المرشحات التي يمكن تحقيقها ماديًا فقط في فئة المرشحات ، والتي يتم تحديد خصائصها بدقة لقيم المعلمات. الكمية المحسوبة بالصيغة (3) يمكن أن تكون بمثابة تقدير أقل لخطأ التصفية الممكن تحقيقه.

المعنى المادي للعلاقة (2 ، ب) موضح في الشكل. 3. إذا كان أطياف الإشارة المفيدة والتداخل لا يتداخلان ، إذن أ (ω)يجب أن تكون مساوية للصفر حيث تختلف الكثافة الطيفية للتداخل عن الصفر ، وتساوي واحدًا لجميع الترددات التي س x (ω)>0 ... في التين. 3 ، ب يظهر الحرف أ * (ω)في حالة تداخل الكثافات الطيفية للإشارة والتداخل مع بعضها البعض.

من بين المرشحات ذات الهيكل المحدد ، فإن أكثر المرشحات انتشارًا هي المرشحات التي تستند إلى عملية المتوسط ​​المتحرك ، بالإضافة إلى المرشح الأسي وما يسمى بالفلتر الإحصائي ذي الترتيب الصفري. المرشح الأسي هو مرشح غير دوري من الدرجة الأولى ، والمرشح الإحصائي الصفري هو ارتباط تضخيم. دعنا نفكر في كل من المرشحات المذكورة بمزيد من التفصيل.

مرشح المتوسط ​​المتحرك.إخراج المرشح مرتبط بإدخاله بالنسبة

يوضح الشكل 4 أ وظيفة النبضة العابرة للمرشح. خصائص التردد متساوية

يمكن التعبير عن الاستجابة النبضية من حيث وظيفة Heaviside 1(ر)

ك(ر) = ك.

معلمات التصفية القابلة للتعديل هي مكسب كوالذاكرة تي.

مرشح أسي(الشكل 4 ، ب). يتم تحديد إشارة الخرج بواسطة المعادلة التفاضلية

ذ/ γ + ذ = كلغ

الاستجابة الاندفاعية هي:

خصائص التردد

معلمات المرشح هي الكسب كوعكس ثابت الوقت ل γ .

أرز. 4. دفعة وظائف عابرةك(ر) وخصائص السعة والتردد - (ω) للمرشحات النموذجية: - المتوسط ​​الحالي ؛ ب - أسي ؛ ج) ثابت من أجل الصفر

مرشح إحصائي من الدرجة الصفرية. هذا المرشح ، كما ذكر أعلاه ، هو ارتباط تضخيم. خصائصه

ذ(ر) = كلغ(ر) ; أ(ω) = ك; F(ω) = 0

لا يسمح وزن المرشحات المدرجة بتحقيق ترشيح مثالي حتى مع الإشارة المنفصلة وأطياف التداخل. تقليل الخطأ σ ε يمكنك تحديد المعلمات ك ، تي ، γ... هذا يتطلب خصائص المرشح أ (ω)و F(ω) كدالة للتردد والمعلمات ، استبدلها بالصيغة (1) ، خذ تكامل التعبير الناتج ، والذي سيكون دالة لمعلمات المرشح ، واعثر على الحد الأدنى من هذا التكامل على المعلمات.

على سبيل المثال ، بالنسبة لمرشح إحصائي بترتيب كولوم ، سيكون للكثافة الطيفية للخطأ الشكل:

س ε (ω ) = س ض (ω ) ك 2 + س x ω (1 – ك 2 )

أساسي س ε يساوي تباين التداخل مضروبًا في π ... نحن نحصل

دعونا نأخذ في الاعتبار أن التكاملات على الجانب الأيمن من هذه المساواة تساوي تباينات الإشارة المفيدة والضوضاء ، بحيث

شرط الحد الأدنى من هذا التعبير فيما يتعلق كيؤدي إلى المساواة

بعد استبدال القيمة التي تم العثور عليها كفي التعبير عن تباين الخطأ ، نحصل على:

تحتوي مرشحات المتوسط ​​الحالي والأسي على معلمتين قابلتين للتعديل لكل منهما ، ولا يمكن التعبير عن قيمهما المثلى بسهولة من خلال خصائص الإشارة والضوضاء المفيدة ، ولكن يمكن العثور على هذه القيم بالطرق العددية للعثور على الحد الأدنى من وظيفة في متغيرين.

الشكل 5 مخطط كتلة لمحاكاة الكمبيوتر لنظام ترشيح إشارة عشوائي

2. وصف نظام المحاكاة.يتم تنفيذ العمل عن طريق نمذجة نظام يتكون من الكتل التالية على جهاز كمبيوتر (الشكل 5).

1. مولد إشارة الدخل I ، بما في ذلك مولد إشارة عشوائي (GSS) واثنين من مرشحات التشكيل ذات الخصائص المحددة دبليو x (أنا) و دبليو ض (أنا) ، عند الخرج الذي يتم تلقي إشارة مفيدة منه x(ر) وعرقلة ض(ر) ... بين مولد الإشارة العشوائية ومرشح التشكيل دبليو ضتضمنت وصلة تأخير Δ ، مما يوفر تحولًا من دورتين إلى ثلاث دورات على مدار الساعة. في هذه الحالة ، يكون إدخال المرشح الذي يشكل الضوضاء ومدخلات المرشح الذي يشكل الإشارة المفيدة غير مرتبطة ببعضها البعض.

2. كتلة لحساب وظائف الارتباط
.

3. وحدة الترشيح (II) متضمنة المرشح الفعلي
وكتلة لحساب خطأ التصفية
.

إشارة مفيدة تم إنشاؤها في النظام x(ر)وعرقلة ض(ر) هي عمليات عشوائية ثابتة ، يمكن تقريب وظائف الارتباط الخاصة بها تقريبًا بواسطة الأسس بالشكل (الشكل 6)

(6)

أين

تقديرات تباين الإشارة و محسوبة باستخدام كتلة (عند τ = 0) ؛ يتم تعيين المعلمات α و α z من قبل المعلم.

3. التنفيذ المستمر للفلاتر.نحن نستخدم تطبيقات منفصلة للفلاتر المستمرة الموصوفة أعلاه. خطوة التحفظ ر ايستغرق وقتًا أقل بكثير من وقت الاضمحلال لوظائف الارتباط للإشارة والضوضاء المفيدة. لذلك ، يمكن أيضًا استخدام التعبيرات أعلاه (1) لحساب σ ε من خلال الخصائص الطيفية لإشارة الدخل والضوضاء في الحالة المنفصلة.

دعونا أولاً نجد نظائر منفصلة للمرشحات التي تشكل عمليات عشوائية مع وظائف الارتباط من الإشارة المستلمة من GSS (6). الكثافة الطيفية المقابلة لوظائف الارتباط هذه لها الشكل

(7)

وظائف نقل مرشحات التشكيل للحالة عندما يكون تباين الإشارة عند خرج GSS يساوي واحدًا ،

ليس من الصعب رؤية ذلك

إذا تم الإشارة إلى الإشارة عند إدخال كل من مرشحات التشكيل بواسطة ξ ، ثم المعادلات التفاضلية المقابلة لوظائف التحويل المكتوبة أعلاه لها الشكل

سيتم كتابة نظائر الفرق المقابلة في النموذج ؛

وبالتالي ، فإن خوارزمية المرشح ، التي تشكل الإشارة المفيدة ، لها الشكل:

(8 أ)

وبالمثل بالنسبة لمرشح الضوضاء

(8 ب)

نظائر المرشحات المستمرة المصممة لعزل التداخل هي كما يلي:

لمرشح المتوسط ​​المتحرك

(9)

حيث القيمة لاختر من الشرط (ل + 1) ر ا = تي;

للتصفية الأسية

(10)

لعامل التصفية الإحصائي الصفري

في أنا = كلغ أنا (11)

أمر التنفيذ. 1. قم بإنشاء وتصحيح الإجراءات الفرعية للكتلة لتصفية المعلومات الحالية وحساب أخطاء التصفية.

2. الحصول على عمليات تحقيق للعمليات العشوائية عند إخراج مرشحات التشكيل واستخدامها للعثور على تقديرات الفروق في الإشارة والضوضاء المفيدة ، بالإضافة إلى وظائف الارتباط ص x (τ) و ص ض (τ) ... تعريف تقريبا α NSو α ضوقارن مع تلك المحسوبة.

3. احسب حسب س x (ω) و س ض (ω) تحليليًا أو على جهاز كمبيوتر أدنى حد لخطأ تصفية جذر متوسط ​​التربيع.

4. باستخدام الصيغة (4) ، ابحث عن المكسب الأمثل لعامل التصفية الإحصائي الصفري والقيمة المقابلة الذي يتم مقارنته بـ.

5. أستخدم إحدى الطرق المعروفة للعثور على الحد الأدنى لوظيفة متغيرين وبرنامج تم تجميعه مسبقًا للعثور على المعلمات المثلى للمتوسط ​​المتحرك والمرشحات الأسية وأخطاء تصفية الجذر والمتوسط ​​التربيعي. في هذه الحالة ، تتوافق مجموعة محددة من معلمات المرشح مع كثافة الخطأ الطيفي س ε (ω) معرفة بالصيغة (1) ، ومنه تجد القيمة بعد التكامل العددي.

6. أدخل برنامج التصفية في الكمبيوتر ، وحدد بشكل تجريبي خطأ الجذر التربيعي لمعلمات التصفية المثلى وغير المثلى ، قارن النتائج بالنتائج المحسوبة.

7. إجراء تحليل مقارن لفعالية خوارزميات التصفية المختلفة للمؤشرات التالية: أ) الحد الأدنى من جذر متوسط ​​الخطأ القابل للتحقيق. ب) الحجم المطلوب ذاكرة الوصول العشوائي؛ ج) وقت حساب الكمبيوتر.

يجب أن يحتوي التقرير على: 1) رسم تخطيطي للنظام (انظر الشكل 5) ؛

2) الإجراءات الفرعية لتشكيل المرشحات وتوليفها ؛

3) حساب المعلمات المثلى للمرشحات والقيم المقابلة لخطأ الجذر التربيعي ؛

4) نتائج تحليل الخوارزميات المدروسة والاستنتاجات.

كشك 6.2. إنشاء المشروع 6.3. يذاكر APCSفي التدريب مختبر... المؤكد الأهدافأنشطتهم. الأهدافأنشطة ...

الاسم واللقب "" 20 ز

وثيقة

الوضع الشغل) ؛. ... [...) [اسم الوضع الشغل] ... بالنسبة الى مختبرتحليلات 5) ... متطلبات APCS... العمليات التكنولوجية ... معالجة المعلومات وتحليلها ( إشاراتوالرسائل والمستندات وما إلى ذلك ... الخوارزميات الترشيحو الخوارزمياتالقضاء على الضوضاء من هدف، تصويب ...

أتمتة ذكية في الدورات الدراسية ومشاريع الدبلوم

نبذة مختصرة

السلك. استهداف... المنتج ... الإشارة HART للاندماج في الأنظمة APCS ... الترشيحهناك أنواع مختلفة من أجهزة استشعار الغبار. DT400G يعمل ... الخوارزمية... الصناعة الكيماوية. الوسائل التقنيةو مختبر الشغل/ جي. لابشينكوف ، إل. ...

برنامج عمل تخصص "أتمتة العمليات التكنولوجية"

برنامج العمل

... الأهدافوأهداف تعلم الانضباط الغرض... المكونات الرئيسية APCS- تحكم ... آراء إشاراتج ... إصلاحات الشوائب ، الترشيحرسائل، ... الخوارزمياتوالبرامج والمناقشات وأداء الرقابة يعمل. معملالطبقات. معمل ...

يمكن للمرشحات الرقمية ذات الجدوى المادية ، والتي تعمل في الوقت الفعلي ، استخدام البيانات التالية لتوليد إشارة الإخراج في لحظة منفصلة في الوقت المناسب: أ) قيمة إشارة الإدخال في لحظة أخذ العينات ، بالإضافة إلى عدد معين من " عينات الإدخال السابقة "عددًا معينًا من العينات السابقة لأعداد صحيحة لإشارة الخرج ، ويحدد النوع ترتيب CF. يتم تصنيف CFs بطرق مختلفة ، اعتمادًا على كيفية استخدام المعلومات حول الحالات السابقة للنظام.

المستعرضة CFs.

هذا هو الاسم الذي يطلق على المرشحات التي تعمل وفقًا للخوارزمية.

أين هو تسلسل المعاملات.

الرقم هو ترتيب المرشح الرقمي المستعرض. كما يتضح من الصيغة (15.58) ، يقوم المرشح المستعرض بإجراء تجميع مرجح للعينات السابقة لإشارة الدخل ولا يستخدم العينات السابقة لإشارة الخرج. بتطبيق التحويل z على جانبي التعبير (15.58) ، نتأكد من ذلك

ومن ثم يتبع أن وظيفة النظام

هي دالة كسرية كسرية z ، لها أقطاب متعددة عند وأصفار ، إحداثياتها محددة بواسطة معاملات المرشح.

يتم توضيح خوارزمية تشغيل DF المستعرض بواسطة مخطط الكتلة الموضح في الشكل. 15.7.

أرز. 15.7. مخطط لبناء DF المستعرضة

العناصر الرئيسية للمرشح هي كتل تأخير قيم العينة لفترة أخذ عينات واحدة (مستطيلات برموز) ، بالإضافة إلى كتل مقياس تؤدي إلى الضرب الرقمي بواسطة المعاملات المقابلة. من مخرجات كتل الميزان ، تنتقل الإشارات إلى الأفعى ، حيث تضيف ما يصل لتشكيل عينة من إشارة الخرج.

يوضح شكل الرسم البياني المعروض هنا معنى مصطلح "مرشح عرضي" (من اللغة الإنجليزية المستعرضة - المستعرضة).

تنفيذ برنامج DF المستعرض.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن مخطط الكتلة الموضح في الشكل. 15.7 ليس رسمًا تخطيطيًا دائرة كهربائية، لكنه يخدم فقط صورة بيانيةخوارزمية معالجة الإشارات. باستخدام وسائل لغة FORTRAN ، دعونا نفكر في جزء من البرنامج الذي يقوم بتنفيذ التصفية الرقمية المستعرضة.

دع صفيفتين أحاديتي البعد من الخلايا M تتشكل كل منهما في ذاكرة الوصول العشوائي للكمبيوتر: مصفوفة تحمل الاسم X ، والتي تخزن قيم إشارة الإدخال ، ومصفوفة بالاسم A تحتوي على قيم معاملات التصفية.

يتم تغيير محتويات الخلايا في المصفوفة X في كل مرة يتم فيها تلقي عينة جديدة من إشارة الإدخال.

افترض أن هذه المصفوفة مليئة بالعينات السابقة من تسلسل الإدخال ، وفكر في الموقف الذي ينشأ في لحظة وصول العينة التالية ، والتي يُطلق عليها الاسم S في البرنامج. يجب وضع هذه العينة في رقم الخلية 1 ، ولكن فقط بعد السجل السابق يوجد موضع واحد على اليمين ، أي باتجاه الجانب المتأخر.

يتم ضرب عناصر المصفوفة X المتكونة بهذه الطريقة مصطلحًا تلو الآخر بواسطة عناصر المصفوفة A ويتم إدخال النتيجة في خلية تسمى Y ، حيث يتم تجميع قيمة العينة لإشارة الخرج. يوجد أدناه نص برنامج الترشيح الرقمي المستعرض:

استجابة نبضيه. دعنا نعود إلى الصيغة (15.59) ونحسب الاستجابة النبضية للمرشح الرقمي المستعرض عن طريق إجراء التحويل z العكسي. من السهل أن نرى أن كل مصطلح من وظائف الوظيفة يقدم مساهمة مساوية للمعامل المقابل ، يتم تحويله بواسطة المواضع نحو التأخير. حتى هنا

يمكن الوصول إلى هذا الاستنتاج مباشرة ، مع الأخذ في الاعتبار مخطط الكتلة للمرشح (انظر الشكل 15.7) وبافتراض تغذية "نبضة مفردة" لمدخلها.

من المهم ملاحظة أن الاستجابة النبضية لمرشح مستعرض تحتوي على عدد محدود من المصطلحات.

استجابة التردد.

إذا غيرنا المتغير في الصيغة (15.59) ، نحصل على معامل نقل التردد

بالنسبة لخطوة اعتيان معينة A ، يمكن تحقيق مجموعة متنوعة من أشكال استجابة التردد عن طريق الانتقاء المناسب لأوزان المرشاح.

مثال 15.4. تحقق من خصائص التردد لمرشح رقمي مستعرض من الدرجة الثانية والذي يقيس متوسط ​​القيمة الحالية لإشارة الإدخال وعينتين سابقتين وفقًا للصيغة

وظيفة النظام لهذا المرشح

أرز. 15.8 خصائص تردد تحديد الاتجاه المستعرض من المثال 4.15: أ - استجابة التردد ؛ ب - PFC

من أين نجد معامل إرسال التردد

تؤدي التحولات الأولية إلى التعبيرات التالية لاستجابة التردد في استجابة الطور لهذا النظام:

تظهر الرسوم البيانية المقابلة في الشكل. 15.8 ، أ ، ب ، حيث يتم رسم القيمة على طول المحاور الأفقية - زاوية الطور لفاصل أخذ العينات عند قيمة التردد الحالي.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن هناك ست عينات لكل فترة واحدة من تذبذب الإدخال التوافقي. في هذه الحالة ، سيكون لتسلسل الإدخال الشكل

(لا تهم القيم المطلقة للعينات ، لأن المرشح خطي). باستخدام الخوارزمية (15.62) ، نجد تسلسل الإخراج:

يمكن ملاحظة أن إشارة خرج توافقية من نفس التردد كما في الإدخال تتوافق معها ، بسعة مساوية لاتساع تذبذب الإدخال ومع مرحلة أولية مزاحة بمقدار 60 درجة باتجاه التأخير.

DFs العودية.

هذا النوع مرشحات رقميةيتميز بحقيقة أنه من أجل تكوين عدد المخرجات ، يتم استخدام القيم السابقة ليس فقط لإشارات الإدخال والإخراج:

(15.63)

والمعاملات التي تحدد الجزء التكراري من خوارزمية التصفية لا تساوي الصفر في نفس الوقت. للتأكيد على الاختلاف بين هياكل نوعي المرشحات الرقمية ، تسمى المرشحات المستعرضة أيضًا المرشحات غير التكرارية.

وظيفة النظام للوظيفة الرقمية العودية.

من خلال إجراء التحويل z لكلا جانبي علاقة التكرار (15.63) ، نجد أن دالة النظام

وصف خصائص التردد لمحدد الاتجاه العودي ، له أقطاب على المستوى z. إذا كانت معاملات الجزء التكراري من الخوارزمية حقيقية ، فإن هذه الأقطاب تقع إما على المحور الحقيقي أو تشكل أزواج مترافقة معقدة.

رسم تخطيطي هيكلي لمرشح رقمي تعاودي.

في التين. يوضح الشكل 15.9 مخططًا لخوارزمية الحسابات التي تم إجراؤها وفقًا للصيغة (15.63). الجزء العلوي مخطط هيكلييتوافق مع الجزء العرضي (غير العودي) من خوارزمية التصفية. لتنفيذه ، في الحالة العامة ، يلزم وجود كتل كبيرة الحجم (عمليات الضرب) وخلايا الذاكرة التي يتم فيها تخزين عينات الإدخال.

يتوافق الجزء السفلي من مخطط الكتلة مع الجزء التكراري من الخوارزمية. يستخدم قيم الإخراج المتتالية ، والتي يتم إزاحتها من خلية إلى أخرى أثناء عملية التصفية.

أرز. 15.9. رسم تخطيطي هيكلي لمرشح رقمي تعاودي

أرز. 15.10. رسم تخطيطي هيكلي لمخطط الاتجاه العودي المتعارف عليه من الدرجة الثانية

عيب مبدأ التنفيذ هذا هو الحاجة إلى عدد كبير من خلايا الذاكرة ، بشكل منفصل للأجزاء العودية وغير العودية. تعد المخططات المتعارف عليها للوظائف الرقمية العودية أكثر كمالًا ، حيث يتم استخدام أقل عدد ممكن من خلايا الذاكرة ، مساوٍ لأكبر الأرقام. كمثال ، التين. يوضح الشكل 15.10 مخطط كتلة للمرشح التكراري المتعارف عليه من الدرجة الثانية ، والذي يتوافق مع وظيفة النظام

للتأكد من أن هذا النظام ينفذ وظيفة معينة ، ضع في اعتبارك وظيفة إضافية إشارة منفصلةعند إخراج الأفعى 1 واكتب معادلتين واضحتين:

(15.67)

بأداء - تحويل المعادلة (15.66) نجد ذلك

بالمقابل وبحسب تعبير (15.67).

بدمج العلاقات (15.68) و (15.69) ، نصل إلى وظيفة النظام المحددة (15.65).

استقرار الوظائف الرقمية العودية.

الوظيفة الرقمية العودية هي نظير منفصل لنظام التغذية الراجعة الديناميكي ، حيث يتم تخزين قيم حالاتها السابقة في خلايا الذاكرة. إذا تم توفير بعض الشروط الأولية ، أي مجموعة من القيم ، ففي حالة عدم وجود إشارة دخل ، سيشكل المرشح عناصر من تسلسل لا نهائي يلعب دور التذبذبات الحرة.

يُطلق على المرشح الرقمي اسم مستقر إذا كانت العملية الحرة الناشئة فيه عبارة عن تسلسل غير متزايد ، أي أن القيم الموجودة في لا تتجاوز بعض الأرقام الموجبة M ، بغض النظر عن اختيار الشروط الأولية.

التذبذبات الحرة في دالة رقمية عودية تعتمد على الخوارزمية (15.63) هي حل لمعادلة الفروق الخطية

قياسا على مبدأ الحل الخطي المعادلات التفاضليةسنبحث عن حل لـ (15.70) في شكل دالة أسية

بقيمة لا تزال غير معروفة. بالتعويض (15.71) في (15.70) والإلغاء بعامل مشترك ، نرى أن a هو جذر المعادلة المميزة

استنادًا إلى (15.64) ، تتطابق هذه المعادلة تمامًا مع المعادلة التي يتم استيفائها بواسطة أقطاب وظيفة نظام CF العودية.

دع نظام جذر المعادلة (15.72) يمكن إيجاده. ثم سيكون الحل العام لمعادلة الفرق (15.70) بالشكل

يجب اختيار المعاملات بحيث يتم استيفاء الشروط الأولية.

إذا كانت جميع أقطاب وظيفة النظام ، أي أن الأرقام لا تتجاوز واحدًا في القيمة المطلقة ، كونها تقع داخل دائرة الوحدة المتمركزة عند نقطة ، فعندئذٍ على أساس (15.73) سيتم وصف أي عملية حرة في CF بالمصطلحات لتقليل التعاقب الهندسي وسيكون المرشح مستقرًا. من الواضح أنه لا يمكن تطبيق سوى المرشحات الرقمية الثابتة.

مثال 15.5. تحقق من ثبات مرشح رقمي متكرر من الدرجة الثانية مع وظيفة النظام

معادلة مميزة

له جذور

المنحنى الموصوف بواسطة المعادلة على مستوى المعامل هو الحدود التي فوقها تكون أقطاب وظيفة النظام حقيقية والتي تحتها مترافقة معقدة.

بالنسبة لحالة الأعمدة المترافقة المعقدة ، فإن أحد حدود منطقة الاستقرار هو الخط المستقيم 1.

أرز. 15.11. منطقة الاستقرار للمرشح التكراري من الدرجة الثانية (أقطاب المرشح عبارة عن اتحاد معقد في المنطقة المميزة باللون)

بالنظر إلى القطبين الحقيقيين ، لدينا حالة الاستقرار في الشكل

يتميز هذا النوع من المرشحات الرقمية بحقيقة أنه من أجل التكوين أناذ عدد الإخراجيتم استخدام القيم السابقة ليس فقط للإدخال ، ولكن أيضًا لإشارات الخرج (خوارزمية التصفية):

والمعاملات (ب (، ب 2 ، ... ، ب ن _ Ts ، التي تحدد الجزء التكراري من خوارزمية التصفية ، لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

دعنا نكتب وظيفة النظام CF العودية.بعد الانتهاء ض-تحول كلا جانبي علاقة التكرار (7.28) ، نجد أن وظيفة النظام التي تصف خصائص التردد لـ CF العودية لها الشكل

ويترتب على هذا التعبير أن وظيفة نظام CF العودية لها على المستوى z (t-1) الأصفارو (NS- 1) أعمدة.إذا كانت معاملات الجزء التكراري من الخوارزمية حقيقية ، فإن الأقطاب إما تقع على المحور الحقيقي أو تشكل أزواجًا مترافقة معقدة.

دعونا نحسب استجابة نبضيه CF العودية.السمة المميزة التي تميز DF العودية عن DF غير العودية هي ذلك بسبب الوجود استجابةاستجابتها النبضية لها شكل تسلسل ممتد بشكل لا نهائي. لذلك ، في كثير من الأحيان تسمى المرشحات العودية مرشحات IIR (مرشحات الاستجابة الدافعة اللانهائية).دعنا نظهر ذلك باستخدام مثال أبسط مرشح من الدرجة الأولى وصفته وظيفة النظام

كما تعلم ، يمكن إيجاد الاستجابة النبضية باستخدام معكوس ^ -التحول لدالة النظام. باستخدام صيغة معكوس ^ -التحول ، نجد الحد mth في المتتالية }