Začetek v Mapleu. Osnovni objekti in ukazi Maple Kvadratni koren matrike v Maple

Osnovni objekti (definicija, vnos, dejanja z njimi)

Številke

Maple V deluje z naslednjimi vrstami številk:

cela decimalna števila (O, 1, 123, -456 itd.),

racionalno v obliki razmerja celih števil (7/9, -123/127 itd.),

radikali,

pravi z mantiso in vrstnim redom (1.23E5, 123.456E-10)

kompleks (2+3*I)

Cela števila so določene kot zaporedje številk od 0 do 9.

Seznam vseh ukazov za delo s celimi števili dobite tako, da vtipkate ukaz: ?celo število. Tukaj je nekaj teh ukazov:

Navadni ulomki so podani z operacijo deljenja dveh celih števil.

Upoštevajte, da bo Maple samodejno zmanjšal ulomke. Na navadnih ulomkih lahko izvajate vse osnovne aritmetične operacije. Če se pri podajanju ulomka njegov imenovalec zmanjša, potem program Maple tak "ulomek" interpretira kot celo število. Za pretvorbo ulomka v decimalko uporabite ukaz evalf(). Drugi parameter tega ukaza podaja število pomembnih števk. Upoštevajte, da je decimalna predstavitev le približek točne vrednosti, ki jo predstavlja ulomek, tj. ulomek in njegova decimalna predstavitev nista identična objekta Maple.

Radikali so podani kot rezultat povišanja celih ali delnih števil na ulomljeno potenco ali izračuna njihovega kvadratnega korena s funkcijo sqrt(), ali root n-ta potenčna funkcija surd(število, n).

Številke s plavajočo vejico so določeni kot celi in ulomki, ločeni z decimalno vejico. Lahko jih predstavimo tudi s tako imenovanim eksponentnim zapisom (simbol se uporablja za označevanje vrstnega reda e oz E).

Konstante

Maple vsebuje številne vnaprej določene imenovane konstante- tiste, katerih vrednosti so dostopne po imenu. Nekaterih od teh konstant ni mogoče spremeniti. Tej vključujejo:

številka e je podan kot exp(1).

Vse konstante, definirane v programu Maple, si lahko ogledate tako, da zaženete ukaz: ?ininame

Poleg konstant, navedenih na strani Pomoč, vse spremenljivke, katerih imena se začnejo z _Env, so privzeto sistemske konstante Maple.

Strune

Strune- poljuben nabor znakov v DVOJNIH narekovajih. Dolžina vrstice v programu Maple je praktično neomejena in lahko na 32-bitnih računalnikih doseže dolžino 268.435.439 znakov.

Spremenljivke, neznanke in izrazi

Vsak spremenljivka Maple ima ime, ki predstavlja zaporedje latiničnih znakov, ki se začnejo s črko, pri čemer se male in velike črke štejejo za ločene. Poleg črk lahko imena spremenljivk uporabljajo številke in podčrtaje, vendar mora biti PRVI znak imena ČRKA.

Izraz je kombinacija imen spremenljivk, števil in morda drugih objektov Maple, povezanih z veljavnimi operacijskimi znaki.

neznana količina , in pokliče se izraz, ki vsebuje neznanke simbolni izraz. Ravno za delo s takimi izrazi je bil Maple primarno razvit.

Pomembna operacija v Mapleu, povezana z izrazi, je operacija naloge (:=). Ima naslednjo sintakso: spremenljivka:= izraz; Tukaj leva stran določa ime spremenljivke, desna stran pa poljuben izraz, ki je lahko številski, simbolni ali samo druga spremenljivka.

Spremenljivke vam omogočajo shranjevanje in obdelavo različnih vrst podatkov. Privzeto je spremenljivka Maple tipa simbol, ki predstavlja simbolno spremenljivko, njena vrednost pa je njeno lastno ime. Ko spremenljivki dodelite vrednost, se njen tip spremeni v tip vrednosti, ki ji je dodeljena.

Notranja zgradba objektov Maple

Vsak algebraični izraz sistem Maple shrani v obliki drevesne strukture, s čimer je omogočen dostop do katerega koli od njegovih članov ali podizrazov, prav tako pa omogoča izvajanje različnih simbolnih transformacij na njih. V predstavitvi te strukture je vsak objekt Maple razdeljen na podobjekte prve stopnje, ki so nadalje razdeljeni na podobjekte itd.

Ukazi, ki vam omogočajo izbiro delov predmetov:

rhs (eq)	Izbira desne strani enačbe (ali konca obsega)
lhs (enačba)	Izbira leve strani enačbe (ali začetka obsega)
število (ulomek)	Ločitev števca številskega ali algebraičnega ulomka
denum (ulomek)	Ločitev imenovalca številskega ali algebraičnega ulomka
nops(expr)	Določa število operandov v izrazu
op(exp) op(n,exp)	Vrne operande izraza kot seznam, Pridobi n-ti operand izraza
izberite (b f, exp)	prav
odstrani(b f, exp)	Identificira operande v izrazu, za katerega logična funkcija ustvari vrednost lažno
indeti (izraz, vrsta)	Izbere podizraze dane vrste v izrazu ("*", "+" ...)

Oglejmo si te ukaze podrobneje.

Enačba je predstavljena kot dva izraza, povezana z enakim znakom. Ne smemo ga zamenjevati z operatorjem dodelitve (:=). Equation je predmet Maple in se uporablja za definiranje realnih enačb. Lahko se uporablja na desni strani operacije dodelitve in s tem poimenuje enačbo.

V funkciji ima() Določite lahko več podizrazov kot seznam. Njegov rezultat bo TRUE, če in samo če je najden vsaj eden od podizrazov na seznamu.

Tipska zamenjava in pretvorba

Pri izvajanju matematičnih transformacij je pogosto treba zamenjati spremenljivke v izrazu, funkciji, enačbi ipd., torej namesto neke spremenljivke nadomestiti njeno predstavitev preko drugih spremenljivk. In včasih je treba pretvoriti izraz iz ene vrste v drugo. (Ta pretvorba vrste bo morda potrebna za izvajanje nekaterih ukazov, ki ne delujejo na izvirni vrsti izraza.) V Maple je za te namene na voljo več ukazov:

subs(zamenjava, IZRAZ)	Sintaktična zamenjava enega izraza z drugim v EXPRESSION
algsubs(zamenjava, IZRAZ)	Algebraična zamenjava enega izraza z drugim v IZRAZ
subsop(N=nova vrednost, IZRAZ)	Zamenjava nove vrednosti za N-ti operand IZRAZA
pretvori (IZRAZ, tip)	Pretvori IZRAZ v nov podatkovni tip
whattype(EXPRESSION)	Določa vrsto izraza.

Če želite namesto neke spremenljivke (izraza) zamenjati drug izraz, uporabite ukaz subs(), katerega sintaksa je naslednja: subs(stari izraz=nov izraz, IZRAZ) subs(s1, s2, .. sn, IZRAZ) subs(, EXPRESSION) kje je vsak s1,..sn je enačba, ki definira substitucijo.

Prva oblika ukaza analizira IZRAZ, definira vse njegove pojavitve stari izraz in nadomestki namesto njih nov izraz.

Druga oblika ukaza vam omogoča, da izvedete vrsto zamenjav v IZRAZ, zamenjave pa se izvedejo zaporedno, začenši z s1. To pomeni, da po izvedbi prve definirane zamenjave s1, Maple najde pojavitve leve strani enačbe s2 v novo dobljenem izrazu in vsako takšno pojavitev nadomesti z izrazom, podanim na desni strani enačbe s2.

To so pojavitve izrazov, navedenih na levi strani enačb s1, s2, so definirani v začetnem parametru IZRAZ. (glej primere)

Uporabite ukaz poenostavi(), ki kot parameter navede zahtevano zamenjavo (glejte naslednji razdelek).

Uporabite ukaz algsubs(), ki izvaja algebraično zamenjavo.

Upoštevajte, da je »stara« spremenljivka popolnoma izključena samo pri uporabi prve od teh metod. V drugih primerih "stara" spremenljivka še vedno ostane v transformiranem izrazu.

10. PROGRAMIRANJE V OKOLJUJAVOR

Matematični paket Maple uporabnikom omogoča pisanje lastnih programov, postopkov in knjižnic. Da bi to naredili, paket vsebuje precej širok nabor ukazov in konstrukcij, podobnih visokonivojskim algoritemskim programskim jezikom.

10.1. Pogojni operator

Pogojni stavek v Mapleu se začne z rezervirano besedo če in se mora nujno končati z besedo fi in ima naslednjo strukturo:

če stanje potem izraz 1 drugače izraz 2 fi ;

Ta konstrukcija omogoča, odvisno od vrednosti logičnega pogoja, izvedbo izraza 1 (če je pogoj resničen) ali izraza 2 (če je pogoj napačen). Izrazi 1 ali 2 so lahko poljubno zaporedje ukazov iz paketa Maple. Pogojni stavek lahko zapišemo v skrajšani obliki:

če stanje potem izraz 1 fi ;

[> ponovni zagon;

[> x:=4;

x:=4

[>if x>4 then print ('x>4'); sicer x:=x^2;

natisni (2*x); fi;

Za izvajanje zapletenih pogojev je potrebno uporabiti polno različico pogojnega operatorja, ki ima naslednjo strukturo.

če stanje 1 potem izraz 1 elif pogoj2 potem izraz2... elif stanje n potem izražanje n drugače izražanje n +1 fi ;

Kot izhaja iz strukture tega operaterja, je lahko gnezdenje pogojev praktično neomejeno in se izvaja s pomočjo storitvene besede elif . Kot izraze je mogoče uporabiti katero koli zaporedje ukazov Maple.

[> ponovni zagon;

[>x:=8:

[>če x

x:=c

10. 2 . Stavki zanke

V matematičnem paketu Maple se za izvajanje cikličnega računalniškega procesa uporabljajo štiri vrste operaterjev zanke. Telo vseh operaterjev zanke je zaporedje ukazov, zaprtih med storitvenimi besedami narediti in od . Operator zanke onumeriranega tipa, ki ga vsebujejo skoraj vsi algoritemski jeziki, ima naslednjo strukturo:

za ime spremenljivke zanke od začetna vrednost spremenljivke zanke avtor korak prirastka spremenljivke zanke do končna vrednost spremenljivke zanke

[>za i od 0 do 4 do 8 do i od;

Operator zanke while v Mapleu izgleda takole

medtem stanje narediti izražanje od ;

V tem primeru se telo zanke (izraz) izvaja, dokler je vrednost logičnega pogoja resnična, in se zaključi, če je pogoj napačen.

[> ponovni zagon;

[>n:=0:

[> medtem ko n

Operator naslednje zanke je simbioza prejšnjih dveh in ima naslednjo strukturo:

za ime spremenljivke zanke od začetna vrednost spremenljivke zanke avtor vrednost prirastka koraka medtem stanje narediti izrazi od ;

V tem stavku zanke se izrazi izvajajo, dokler je logični izraz pogoja resničen in se spremenljivka zanke spremeni iz svoje začetne vrednosti v danem koraku.

[> ponovni zagon;

[> za y od 0 do 2, medtem ko y

Četrti operator zanke je zasnovan za delo z analitičnimi izrazi in je predstavljen z naslednjo strukturo:

za ime spremenljivke zanke v izraz 1 narediti izraz 2 od ;

Tu se telo zanke, izraz 2, izvede, če simbolna spremenljivka, določena z njenim imenom, zaporedno prevzame vrednost vsakega od operandov algebraičnega izraza 1. Upoštevajte, da je delovanje te konstrukcije odvisno od notranje predstavitve izraza 1. Torej, če je izraz 1 vsota, potem ime spremenljivke cikel prevzame vrednost vsakega člena po vrsti, in če je produkt produkt, potem vsak faktor.

[> ponovni zagon;

[> a:=5*x^2+x+6/x;

[> b:=poenostavi(%);

[> za m v a do m; od;

[> za m v b naredi m; od;

10.3. Funkcijski postopki

Funkcijske postopke v programu Maple lahko definiramo na dva načina. Za določitev postopkovnih funkcij prva metoda uporablja simbol (  ) in je podan z naslednjo strukturo:

ime funkcije:=(seznam formalnih parametrov)  izražanje;

kjer je ime funkcije podano z nizom latiničnih znakov, se seznam formalnih parametrov vnese ločeno z vejicami. Izraz je ukaz Maple, ki implementira telo funkcijske procedure.

[> f1:=(x1,x2)->poenostavi(x1^2+x2^2);

[> f 1 (cos(x),sin(x));

Drugi način za podajanje funkcijskih postopkov je uporaba ukaza prekliči uporabo in ima naslednjo strukturo:

ime funkcije:= prekliči uporabo (izraz ali operacija, seznam spremenljivk);

Ta metoda podajanja funkcijskih procedur je uporabna pri definiranju nove funkcije prek znane ali kadar je ovrednoteni izraz namenjen uporabi kot funkcija.

Primer .

[> f3:=unapply(diff(z(r)^2,r)-2,z);

[ > f3(sin);

[ > združi (%);

10.4. Postopki

Vsak postopek v Mapleu se začne z glavo, sestavljeno iz imena postopka, ki mu sledi dodelitveni znak in funkcijska beseda proc , potem so formalni parametri navedeni v oklepajih in ločeni z vejicami. Postopek se mora končati s servisno besedo konec . Vsi izrazi in ukazi so zaprti med funkcijskimi besedami proc in konec tvorijo telo postopka.

ime postopka:= proc (seznam formalnih parametrov); ukazi (ali izrazi); konec ;

Če je postopek naložen, se pokliče po imenu. Privzeta vrnjena vrednost je vrednost zadnjega izvedenega stavka (ukaza) iz telesa procedure, vrsta rezultata procedure pa je odvisna od vrste vrnjene vrednosti.

[> f:=proc(x,y);x^2+y^2;poenostavi(%);end:

[ > f(sin(x),cos(x));

Pri pisanju procedur v Mapleu lahko poleg zahtevanega minimalnega nabora, navedenega zgoraj, uporabite številne ukaze in storitvene besede, ki vam omogočajo opisovanje spremenljivk, nadzor izhoda iz procedure in poročanje o napakah.

Ko opisujete formalne parametre postopka, lahko eksplicitno določite njihov tip z dvopičjem. S tem opisom Maple samodejno preveri vrsto dejanskega parametra in izda sporočilo o napaki, če se ne ujema z vrsto formalnega parametra.

Naslovu postopka lahko sledi opisni del postopka, ki je od njega ločen s presledkom. Ko opisujete lokalne spremenljivke, ki se uporabljajo samo znotraj dane procedure, lahko uporabite deskriptor, ki je določen s servisno besedo lokalni , nato pa morate podati imena lokalnih spremenljivk, ločenih s presledkom. Uporabo globalnih spremenljivk v proceduri je mogoče podati s funkcijsko besedo globalno , ki naj bo umeščen v opisni del postopka.

Če želite zapustiti proceduro kjer koli v njenem telesu in dodeliti rezultat njenega dela za izvedbo želenega ukaza, lahko uporabite ukaz VRNITEV ( val ), Kje val – povratna vrednost, ki ima lahko različen tip pri izhodu iz različnih mest v proceduri.

Za izhod iz postopka v nujnih primerih, če pride do napake, in poročanje o incidentu lahko uporabite ukaz NAPAKA (‘ vrvica ’) , Tukaj vrvica – sporočilo, ki se v nujnih primerih prikaže na zaslonu monitorja. Tako lahko splošen pogled na strukturo postopka prikažemo na naslednji način:

ime postopka:= proc (seznam parametrov postopka)  lokalni  seznam lokalnih spremenljivk, ločenih z vejicami; globalno  seznam globalne spremenljivke, ločene z vejicami; VRNITEV ( val ); NAPAKA (‘ napaka v telo od postopek ’);… konec ;

[ > primer(-1);

[> primer(0);

[ >primer(2);

11. METODE VHODNIH IN IZHODNIH INFORMACIJ

V OKOLJUJAVOR

Za shranjevanje imen (identifikatorjev) spremenljivk in njihovih vrednosti v zunanji pomnilnik v obliki datoteke z imenom ime . txt morate vnesti ukaz:

shraniti seznam imen spremenljivk, ločenih z vejicami, »ime datoteke s pripono txt ”;

Če je razširitev znak m , potem bo datoteka zapisana v notranjem formatu Maple, z vsemi drugimi končnicami v besedilnem formatu. Za prikaz informacij, shranjenih v datoteki, uporabite ukaz

prebrati “ Ime datoteke ”;

[> ponovni zagon;

[> primer:=proc(x) lokalni y,w; globalni z; če x

[ > primer(-1);

[> primer(0);

Napaka, (v primeru) Variablex = 0

[ >primer(2);

[ > preberite "nnn.txt";

Za snemanje celotne vsebine zaslona v datoteko lahko uporabite naslednja dva ukaza.

Prva ekipa

pisati ("Ime datoteke")

Kot rezultat izvedbe tega ukaza bodo vse informacije na zaslonu shranjene v datoteko z določenim imenom. Poleg tega, če je navedena datoteka obstajala v zunanjem pomnilniku, bodo shranjene informacije zamenjane z novimi.

Druga ekipa

dodati ("Ime datoteke")

omogoča dodajanje informacij na zaslonu po danem ukazu na konec obstoječe datoteke.

[ > f:=12;

[> f1:=faktor (y^2-3*y); shrani f,f1, "n1.txt";

[> appendto("n1.txt");

[> reši (x^2-3*x+2=0,x);

Kot rezultat izvajanja ukaza shraniti f , f 1, " n 1. txt "; ustvarjena bo besedilna datoteka n 1. txt , ki bo vseboval naslednje podatke:

f:= 12;

f1:= y*(y-3);

in kot rezultat izvajanja ukaza dodati (" n 1. txt "); vsebina datoteke bo videti takole:

f:= 12;

f1:= y*(y-3);

[ > rešiti ( x ^2-3* x +2=0, x );

2, 1

Paket Maple ponuja številne ukaze za prikaz informacij na zaslonu. Najenostavnejši med njimi so ukazi

tiskanje (seznam Javor

lprint (seznam Javor -izrazi ločeni z vejicami);

Poleg tega, če spremenljivki ni nič dodeljeno, se natisne njeno ime, sicer pa se natisne njena vrednost.

[> x:=y^2: izpis (x, "primer 1", y, faktor(x-5*y));

[> x:=y^2: lprint (x, "primer 2", y, faktor(x-5*y));

y^2, primer 2, y, y*(y-5)

Iz zgornjih primerov sledi, da ukaz tiskanje prikaže z vejicami ločene izraze v naravno matematični obliki in ukaz lprint izpiše informacije v slogu izhodne vrstice, izrazi pa so ločeni z vejicami in presledki.

Paket Maple se lahko uporablja za analizo in grafično interpretacijo numeričnih informacij v besedilni datoteki, pridobljenih s samim paketom in drugimi programskimi aplikacijami. Številke so v besedilni datoteki praviloma zapisane po vrsticah. Za branje številskih informacij iz besedilne datoteke lahko uporabite ukaz:

readdata (»ime datoteke«, vrsta spremenljivke( celo število / lebdi – zadnja vrsta je privzeto nastavljena), števec številk);

Pred uporabo tega ukaza ga morate aktivirati z ukazom:

readlib(readdata):

[> ponovni zagon;

[> readlib(readdata):

[> ff:=readdata("aa.txt",integer,8);

[ > x:=ff;

[ > y:=x;

[ > y1:=ff;

[ > f:=readline("aa.txt");

Dvojno indeksiranje v spremenljivki ff je posledica dejstva, da so števila predstavljena kot dvodimenzionalni niz, pri čemer število vrstic v nizu ustreza številu prebranih vrstic, število stolpcev pa je določeno z zadnjim parametrom ukaza readdata . Kot izhaja iz podanega primera, ukaz readline izpiše številske podatke kot spremenljivko tipa vrvica .

12. UPORABA MATEMATIČNEGA PAKETAJAVORZA ZNANSTVENO RAZISKOVANJE

V tem razdelku bomo obravnavali primer raziskave z uporabo programa Maple za reševanje uporabnih inženirskih problemov. Navedeni primeri prikazujejo zmožnosti paketa Maple pri reševanju inženirskih problemov, povezanih s preučevanjem načinov delovanja opreme, odvisno od konstrukcijskih in tehnoloških parametrov kompleksov ter ponazarjajo zmožnosti programske opreme in ukaznih načinov delovanja uporabnika v okolju Maple. . Sledijo izvlečki iz raziskave, ki jih spremljajo kratka pojasnila.

12.1. Študija vpliva spremenljivih parametrov ploščate mlevne komore protitočnega mlina na hitrost nosilca energije

12 .1.1. Oblikovanje problema

Jet mlini so vrsta udarnih mlinčkov in so sestavljeni iz pospeševalnega aparata (enega ali več), v katerem curek plina nosilca energije daje hitrost delcem materiala, ki se obdeluje, in komore, v kateri materialni tokovi medsebojno delujejo z vsakim druge in (ali) s posebnimi udarnimi površinami. Zrak se najpogosteje uporablja kot nosilec energije v reaktivnih mlinih, manj pogosto - inertni plin, vodna para in produkti zgorevanja.

Jet mletje omogoča kombiniranje mletja in separacije z mešanjem, sušenjem in drugimi tehnološkimi postopki. Delovanje v zaprtem ciklu zagotavlja minimalno sproščanje prahu v okolje.

Vsaka brizgalna naprava vključuje ejektor, ki je enota, v kateri pride do mešanja in izmenjave energije dveh tokov (glavnega in iztisnjenega), in komoro za mletje, v kateri mešani tokovi medsebojno delujejo. Delci, ki jih pospešuje nosilec energije v pospeševalnih ceveh ejektorjev, vstopijo v mlevno komoro in nato v območje srečanja curka (slika 12.1.).

Curek, ki izhaja iz pospeševalne cevi, ne zapolni takoj celotnega preseka mlevne komore, temveč se curek na mestu vstopa vanjo odtrga od sten in se nato premika v obliki prostega curka, ločenega od ostalih medija z vmesnikom. Vmesna površina je nestabilna, na njej se pojavljajo vrtinci, zaradi česar se curek meša z okoljem.

Ko curek izteče iz pospeševalne cevi, se hitrost toka v njenem izstopnem delu 1-1 na vseh točkah odseka so med seboj enake. Po dolžini – začetnem odseku je osna hitrost konstantna po velikosti in je enaka hitrosti na odseku pospeševalne cevi. V 0 . V območju trikotnika ABC (Sl. 12.1.) V vseh točkah curka sta hitrosti nosilca energije med seboj enake in tudi enake V 0 - to območje tvori tako imenovano jedro curka. Nadalje se osna hitrost postopoma zmanjšuje in v glavnem delu dolga l osnovni aksialna hitrost V OS V 0 .

riž. 12.1. Shema curka v mlinčni komori

Znano je, da se hitrost nosilca energije od konca pospeševalne cevi do trčne ravnine curka spreminja po zakonu

, (12.1)

Kje V z – hitrost nosilca energije iz mlevne komore na daljavo z od reza pospeševalne cevi, m/s;

V 0 – hitrost nosilca energije na izstopu iz pospeševalne cevi, m/s;

z 0 – razdalja od reza pospeševalne cevi do ravnine srečanja curka, m.

Pri določanju spremembe kinetične energije končne prostornine neprekinjenega medija je potrebno poznati delo sil medsebojne interakcije med delci zdrobljenega materiala in nosilcem energije. To delo je odvisno od vektorja sile dinamičnega vpliva nosilca energije na delec, ki se izračuna na naslednji način

, (12.2)

Kje R – vektor sile dinamičnega delovanja zraka na delec, N;

F m – površina prečnega prereza delca, m2;

, (12,3)

Označimo

, (12.8)

Kje m – masa delcev zdrobljenega materiala, kg.

, (12.9)

Kje - gostota delcev zdrobljenega materiala, kg/m.

Izraz (12.7) bo imel obliko

. (12.10)

Nastalo enačbo lahko uporabimo za določitev spremembe hitrosti delcev mletega materiala v mlevni komori od reza pospeševalnih cevi do območja interakcije nasprotnih tokov.

Sistem diferencialnih enačb, ki opisujejo proces spreminjanja hitrosti delcev in nosilcev energije v mlevni komori od reza pospeševalne cevi do območja trka prihajajočih tokov

. (12.11)

Razdalja l strani – med rezom pospeševalne cevi in srednjo ravnino v brusilni komori je izbran iz pogoja

, (12.12)

Kje d tr = 18 premer pospeševalne cevi, mm.

IN Javor Obstaja več načinov za predstavitev funkcije.

1. način: Definiranje funkcije z uporabo operatorja dodelitve ( := ): izrazu je dodeljeno ime, na primer:

> f:=sin(x)+cos(x);

Če nastavite določeno vrednost spremenljivke X, potem dobimo vrednost funkcije f za to X. Na primer, če nadaljujemo prejšnji primer in izračunamo vrednost f ko , potem bi morali napisati:

> x:=Pi/4;

Po izvedbi teh ukazov spremenljivka X ima dano vrednost.

Da spremenljivki sploh ne bi dodelili določene vrednosti, je bolj priročno uporabiti ukaz za zamenjavo subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), kjer so spremenljivke označene v zavitih oklepajih xi in njihove nove pomene ai(jaz=1,2,...), ki jih je treba nadomestiti v funkciji f . Na primer:

> f:=x*exp(-t);

> subs((x=2,t=1),f);

Vsi izračuni v Javor privzeto so proizvedeni simbolično, kar pomeni, da bo rezultat eksplicitno vseboval iracionalne konstante, kot so in druge. Če želite pridobiti približno vrednost kot število s plavajočo vejico, uporabite ukaz evalf(expr,t), Kje ekspr- izražanje, t– natančnost, izražena s številkami za decimalno vejico. Na primer, v nadaljevanju prejšnjega primera približno izračunajmo nastalo vrednost funkcije:

> evalf(%);

Tu uporabljen simbol je ( % ), da pokličete prejšnji ukaz.

2. način: Definiranje funkcije z uporabo funkcijskega operatorja, ki se preslika v niz spremenljivk (x1,x2,…) enega ali več izrazov (f1,f2,…). Na primer, definiranje funkcije dveh spremenljivk z uporabo funkcijskega operatorja izgleda takole:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Do te funkcije dostopamo na najbolj poznan način v matematiki, ko so določene vrednosti spremenljivk navedene v oklepajih namesto argumentov funkcije. Ob nadaljevanju prejšnjega primera se izračuna vrednost funkcije:

3. način: Uporaba ukaza razveljavi(izraz,x1,x2,…), Kje ekspr- izražanje, x1,x2,…– niz spremenljivk, od katerih je odvisen, lahko transformirate izraz ekspr v funkcionalnega operaterja. Na primer:

> f:=neuporabi(x^2+y^2,x,y);

IN Javor možno je definirati neelementarne funkcije obrazca

prek ukaza

> po kosih (cond_1,f1, cond_2, f2, …).

Na primer funkcija

je zapisano takole.

04. 01 Transformacija enačb. Ekipe lhs in rhs

* Vnos in obdelava enačb: Thelhs inrhs ukazi*

Spomnimo se, da lahko enačbi, tako kot izrazu, damo ime. V naslednji ukazni vrstici bomo vnesli enačbo in jo poimenovali " eq1 " :

> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;

Z ukazi lahko ločeno prikažemo levo in desno stran enačbe lhs in rhs :

> lhs (eq1);

> rhs (eq1);

Uporabimo ukaze lhs in rhs da bi enačbo spravili v standardno obliko, v kateri so vsi členi zbrani na levi, na desni pa ostane samo 0:

> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;

04. 02 Iskanje natančnih korenin. Ekipa rešiti

* Iskanje natančnih rešitev: Therešiti ukaz*

Najprej razmislimo o racionalnih enačbah. Znano je, da obstajajo algoritmi za določanje natančnih korenin racionalnih korenin do vključno 4. reda. Za ekipo Maple rešiti in ti algoritmi temeljijo.

Uporabimo ukaz rešiti najti natančne korenine kubične enačbe :

> reši (3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);

Upoštevajte, da v ukazu navedemo, za katero spremenljivko naj se enačba reši. Čeprav v našem konkretnem primeru to ni potrebno:

> reši (3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);

Maple je našel vse 3 veljavne korene in jih natisnil ( na neurejen način ).

Včasih je zelo pomembno izbrati določen koren, da ga uporabimo pri nadaljnjih transformacijah. Če želite to narediti, morate rezultatu izvajanja ukaza najprej dodeliti ime rešiti. Pokličimo ga X. Potem dizajn X bo ustrezal prvemu korenu s seznama (poudarjamo: ni nujno, da je manjši koren!), X- drugi koren itd. ( Oklepaji so kvadratni!):

> X:=reši(x^2-5*x+3=0,x);

Vendar si oglejte izhod podobnega ukaza:

> x=%;

Naj še enkrat poudarimo: praksa kaže, da je enačbi priporočljivo poimenovati. Tradicionalno se v Mapleu takšno ime začne s črkami en :

> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;

(Ne zamenjujte operatorja dodelitve " := "z znakom enačaja" = " !)

Zdaj pa rešimo enačbo z ukazom rešiti. Poimenujmo številne korenine X :

> X:=reši(eq1,x);

Da se prepričamo, preverimo, ali so med najdenimi koreninami tuje korenine. Preverimo z neposredno zamenjavo

> subs(x=X,eq1);

Seveda so "natančne" rešitve pogosto milo rečeno precej okorne. Na primer, to zadeva enačbo :

> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;

> X:=reši(eq1,x);

Zdaj razumete, o čem govorimo? Prosimo, upoštevajte, da imaginarna enota v Javorju je označena z veliko začetnico jaz . Seveda v takih primerih ni greh najti približne vrednosti korenin. Če imate pri roki natančno rešitev, lahko ugotovite, kako to storiti sami:

> evalf(X);

V takih situacijah dobra alternativa ekipi rešiti je fsolve, o katerih značilnostih bomo razpravljali v naslednjem odstavku.

Ekipa rešiti uporablja pri iskanju natančnih rešitev ne le racionalnih enačb. Spodaj je nekaj ilustracij tega. Toda za mnoge vrste iracionalnih, eksponentnih, logaritmičnih, trigonometričnih in celo racionalnih enačb je neuporabno iskati natančno rešitev. Ekipa je poklicana na pomoč fsolve .

Rešimo enačbo :

> reši (5*exp(x/4)=43,x);

Včasih (in v trigonometriji - vedno ) Javor, privzeto, ne prikaže celotnega niza korenov:

> reši (sin(x)=1/2,x);

Toda brezizhodnih situacij ni! Na podlagi tega rezultata uporabite svoje znanje o trigonometričnih enačbah in zapišite celotno rešitev ( kako).

Vaja 4.1

Reši enačbo Ugotovite, koliko različnih korenov ima enačba. Kaj naredi Maple, ko so korenine enake?

nasvet: faktoriziraj levo stran enačbe.

> reši (x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);

> faktor(x^3-11*x^2+7*x+147);

Koren x = 7 je dvojni, zato ima kubična enačba le dva različna korena. Faktorizacija leve strani enačbe to potrjuje.

04. 03 Iskanje približnih korenin. Ekipa fsolve

* Iskanje približnih rešitev: The fsolve ukaz*

Za približno reševanje enačb uporabite ukaz Maple fsolve. V primeru racionalne enačbe je fsolve natisne celoten seznam veljavnih korenov (glejte primer 01). Za transcendentalne enačbe se ta ukaz privzeto izpiše samo en koren(Glej primera 02 in 03).

S pomočjo fsolve poiščimo približne vrednosti vseh štirih realnih korenin racionalne enačbe hkrati :

> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;

> fsolve(eq,x);

Ti štirje koreni predstavljajo izčrpno rešitev izvirne racionalne enačbe ( čeprav približno).

Uporaba ukaza fsolve, najti vsaj en pravi koren enačbe :

> eq:=x^3+1-exp(x)=0;

> fsolve(eq,x);

Javor in izhod samo en koren. Tokrat Maple ni slikal. Kako se lahko zdaj prepričamo, da ni drugih pravih korenin? Naslednji primer ponuja tak komplet orodij.

Dobiti Vse prave korenine enačbe in se o tem prepričajte.

Prvi korak ( glavna ideja ) : Poiščimo grafično rešitev enačbe. Če želite to narediti, zgradimo graf funkcije na levi strani enačbe. Abscise točk presečišča tega grafa z osjo Ox bodo zahtevane korenine.

> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);

Ker smo spretno izbrali obsege sprememb abscise in ordinate točk grafa, zlahka zaznamo 4 točka presečišča premice z osjo Ox. Eden od njih ustreza korenu, ki ga najdemo v primeru 02 ( kateri točno?).

Drugi koren je očiten: x = 0. Kako lahko natančneje poiščemo ostale?

Drugi korak ( Pojasnilo ) : uporabite ukaz fsolve bolj "viden". Maple omogoča določanje intervala, v katerem so najdene korenine. Zlasti za določitev negativnega korena naše enačbe navedemo, da je treba iskanje izvesti v »regiji« [-1;-0,2]. O tem zgovorno priča grafična rešitev.

> fsolve(eq,x=-1..-.2);

Preostale korenine očitno pripadajo intervaloma in . Povejmo ekipi o tem fsolve :

> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);

No, kaj se zgodi, če Mapleu damo "prazno območje"? Na primer segment za našo enačbo. Očitno ni grafične rešitve:

> fsolve(eq,x=2..4);

Maple prikaže ime ukaza, samo enačbo, ime argumenta in segment. Tisti. nič novega. Kot: "Sami poiščite korenine, vendar jih nisem našel."

Tretji korak ( Dodatna analiza ) : Kako se lahko zdaj prepričamo, da smo našli vse korenine, in ne samo v vidnem delu grafične rešitve? Če želite to narediti, razširite iskalni interval:

> graf(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);

Novih presečišč ni. Na koncu razumemo, da eksponentni člen na mejah intervala najbolj pomembno prispeva k vrednosti funkcije na levi strani enačbe. Vrednosti funkcije v tem območju težijo k , zato ne moremo najti dodatnih korenin.

Poskusimo na drugih mestih: desno in levo od območja najdenih korenin.

> fsolve(eq,x=5..50);

> fsolve(eq,x=-50..-1);

In tukaj ni niti enega dodatnega korena! Ko ugotovimo, da je z vplivom eksponentnega dela enačbe vse jasno, naredimo končne zaključke.

Izčrpna rešitev enačbe je sestavljen iz štirih korenov: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837.

Uporabimo ukaz fsolve za približno rešitev transcendentne enačbe .

Tako kot v prejšnjem primeru najprej najdemo kakovostno grafično rešitev. Če želite to narediti, morate še vedno ugibati, kako razpršiti njegove člene na obeh straneh enačbe. Toda Mapleove grafične zmogljivosti so tako velike, da lahko skoraj vedno postavite vse člene enačbe na eno stran.

Razmislite o enačbi, ki je enakovredna tej: . Abscise točk presečišča grafa funkcije na levi strani enačbe z osjo Ox bodo zahtevane korenine.

> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;

> plot(lhs(eq),x=-10..10);

Graf označuje območje iskanja korenin: interval. Na vrsti je ekipa fsolve :

> fsolve(eq,x=1..2);

Koren je bil najden. A očitno ni edini. Razširite območje iskanja in znova uporabite ukaz fsolve najti drugi koren.

Vaja 4.2

Poiščite vse prave korene enačbe , začenši z grafično rešitvijo.

Narišimo levo stran enačbe:

> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;

> plot(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);

Kot rezultat najdemo korenine enačbe v prvem približku: -2; -1,5 ; 0 . Zdaj pa uporabimo ukaz fsolve brez navedbe obsega iskanja ( Ocenimo zmogljivosti Maple):

> fsolve(eq,x);

Z veseljem ugotavljamo, da Maple izda vse tri korene (ne pozabimo, da smo reševali racionalno enačbo.)

Vaja 4.3

Poiščite vse korene enačbe . Uporabite grafično rešitev. Preverite vsak koren z neposredno zamenjavo.

Pripravimo enačbo v standardno (za ta razdelek) obliko:

> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;

Zdaj pa narišimo levo stran enačbe:

> plot(lhs(eq),x=-10..10);

Očitno sta dve korenini. Ena je približno -2, druga pa je videti kot 2.

Uporabimo ukaz fsolve, ki omejuje obseg iskanja:

> x:=fsolve(eq,x=-5..0);

> x:=fsolve(eq,x=1..3);

Preverimo korene z neposredno zamenjavo:

> evalf(pod(x=x,eq));

Upoštevajte, da v obeh primerih ni prave enakosti. Ob upoštevanju napak pri zaokroževanju je razumno odstopanje povsem sprejemljivo.

Prepričajte se, da ni drugih korenin. Svoj odgovor utemelji.

Vaja 4.4

Funkcijski grafi in dvakrat sekata na segmentu [-5;5].

A). Zgradite grafa obeh funkcij v enem koordinatnem sistemu in z miško poiščite koordinate presečišč.

b). Napišite enačbo, katere korenine so abscise presečišč grafov.

c). Uporabite ukaz fsolve rešiti to enačbo.

d). Uporabite rezultate iz dela c), da ocenite ordinate presečišč grafov.

e). Ali nimate vtisa, da se premice lahko sekajo v tretji točki s koordinatami (1;9)? Uporaba fsolve in Maple-ove grafične zmogljivosti, ki dokazujejo nasprotno.

> y1:=10-x^2;

> y2:=4*sin(2*x)+5;

Zdaj pa narišimo funkcije:

> plot(,x=-5..5);

Približne koordinate presečišč: (-1,8, 6,6) in (2,75, 2) .

b) Sestavimo enačbo:

> eq:= y1=y2;

c) Ekipa fsolve vam bo pomagal najti ustrezne korenine:

> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);

> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);

d) Uporabite ukaz subs za določitev ustreznih ordinat presečišč:

> y:=pod(x=x1,y1);

> y:=pod(x=x2,y1);

Skupne točke grafikona: (-1.800,6.763) in (2.773,2.311).

e) Grafično preglej okolico točke x = 1:

> plot(,x=.5..1.5);

Ekipa fsolve tokrat nam bo omogočilo dokazati odsotnost korenin blizu točke x = 1:

> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);

04. 04 Reševanje enačb v splošni obliki

* Reševanje dobesednih enačb*

V mnogih primerih Maple najde rešitev enačbe v splošni (simbolični) obliki. Govorimo o enačbi (ne o sistemu!), ki vsebuje več spremenljivk. Rešitev je izraziti eno od spremenljivk z drugimi.

Naj bo treba rešiti enačbo glede na spremenljivko g. Iz navade uporabljamo ukaz rešiti. In upravičuje naše upe:

> reši (4-v=2*T-k*g,g);

In tako lahko rešitev zapišemo v običajni obliki:

> g=reši(4-v=2*T-k*g,g);

Vaja 4.4

Rešite zadnjo enačbo za druge spremenljivke: T,k in v.

> T=reši(4-v=2*T-k*g,T);

> k=reši(4-v=2*T-k*g,k);

> v=reši(4-v=2*T-k*g,v);

Vaja 4.5

Reši enačbo glede na y. Zaporedju korenov daj ime S. Kako sta korena S in S povezana?

> S:=reši(x^2+y^2=25,y);

Koreni se razlikujejo le po predznaku.

IN Javor Obstaja več načinov za predstavitev funkcije.

1. način: Definiranje funkcije z uporabo operatorja dodelitve ( := ): izrazu je dodeljeno ime, na primer:

> f:=sin(x)+cos(x);

Če nastavite določeno vrednost spremenljivke X, potem dobimo vrednost funkcije f za to X. Na primer, če nadaljujemo prejšnji primer in izračunamo vrednost f ko , potem bi morali napisati:

> x:=Pi/4;

Po izvedbi teh ukazov spremenljivka X ima dano vrednost.

> f:=x*exp(-t);

> subs((x=2,t=1),f);

> evalf(%);

Tu uporabljen simbol je ( % ), da pokličete prejšnji ukaz.

> f:=(x,y)->sin(x+y);

> f:=neuporabi(x^2+y^2,x,y);