Na povrchu.

Lokální vlastnosti zakřivených souřadnic

Při zvažování křivočarých souřadnic v této části budeme předpokládat, že uvažujeme trojrozměrný prostor (n = 3) vybavený kartézskými souřadnicemi x, y, z. Případ ostatních rozměrů se liší pouze počtem souřadnic.

V případě euklidovského prostoru bude mít metrický tenzor, nazývaný také druhá mocnina diferenciálu oblouku, v těchto souřadnicích tvar odpovídající jednotkové matici:

$dS\; ^\; 2\; =\; \backslash \; mathbf\; (dx)\; ^\; 2\; +\; \backslash \; mathbf\; (dy)\; ^\; 2\; +\; \backslash \; mathbf\; (dz)\; ^\; 2.$

Obecný případ

Nech být $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- nějaké křivočaré souřadnice, které budeme považovat za dané hladké funkce x, y, z. Chcete-li provést tři funkce $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ sloužily jako souřadnice v určité oblasti prostoru, je nutná existence inverzního mapování:

$\backslash \; vlevo\; \backslash \; (\backslash \; begin\; (matice)\; x\; =\; \backslash \; varphi\_1\; \backslash \; vlevo\; (q\_1,\; \backslash ;\; q\_2,\; \backslash ;\; q\_3\; \backslash \; vpravo);\; \backslash \backslash \; y\; =\; \backslash \; varphi\_2\; \backslash \; vlevo\; (q\_1,\; \backslash ;\; q\_2,\; \backslash ;\; q\_3\; \backslash \; vpravo)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash \; varphi\_3\; \backslash \; vlevo\; (q\_1,\; \backslash ;\; q\_2,\; \backslash ;\; q\_3\; \backslash \; vpravo),\; \backslash \; konec\; (matice)\; \backslash \; vpravo.$

kde $\backslash \; varphi\_1,\; \backslash ;\; \backslash \; varphi\_2,\; \backslash ;\; \backslash \; varphi\_3$- funkce definované v určité oblasti množin $\backslash \; vlevo\; (q\_1,\; \backslash ;\; q\_2,\; \backslash ;\; q\_3\; \backslash \; vpravo)$ souřadnice.

Lokální báze a tenzorová analýza

V tenzorovém počtu lze zavést místní základní vektory: $\backslash \; mathbf\; (R\_j)\; =\; \backslash \; frac\; (d\; \backslash \; mathbf\; r)\; (dy\; ^\; j)\; =\; \backslash \; frac\; (dx\; ^\; i)\; (dy\; ^\; j)\; \backslash \; mathbf\; e\_i\; =\; Q\; ^\; i\_j\; \backslash \; mathbf\; e\_i$, kde $\backslash \; mathbf\; e\_i$- jednotkové vektory kartézského souřadnicového systému, $Q\; ^\; i\_j$- Jacobiho matrice, $x\; ^\; i$ souřadnice v kartézském systému, $y\; ^\; i$- zavedeny křivočaré souřadnice.
Není těžké vidět, že křivočaré souřadnice se obecně mění z bodu do bodu.
Uveďme vzorce pro vztah mezi křivočarými a kartézskými souřadnicemi:
$\backslash \; mathbf\; R\_i\; =\; Q\; ^\; j\_i\; \backslash \; mathbf\; e\_j$
$\backslash \; mathbf\; e\_i\; =\; P\; ^\; j\_i\; \backslash \; mathbf\; R\_j$ kde $P\; ^\; j\_i\; Q\; ^\; i\_j\; =\; E$, kde E je matice identity.
Součin dvou vektorů lokální báze tvoří metrickou matici:
$\backslash \; mathbf\; R\_i\; \backslash \; mathbf\; R\_j\; =\; Q\; ^\; n\_i\; Q\; ^\; m\_j\; d\_\; (nm)\; =\; g\_\; (ij)$
$\backslash \; mathbf\; R\; ^\; i\; \backslash \; mathbf\; R\; ^\; j\; =\; P\; ^\; i\_n\; P\; ^\; j\_m\; d\; ^\; (nm)\; =\; g\; ^\; (ij)$
$g\_\; (ij)\; g\; ^\; (jk)\; =\; g\; ^\; (jk)\; g\_\; (ij)\; =\; d\_i\; ^\; k$, kde $d\_\; (ij),\; d\; ^\; (ij),\; d\; ^\; i\_j$ kontravariantní, kovariantní a smíšené Kroneckerovy symboly
Tedy libovolné tenzorové pole $\backslash \; mathbf\; T$ hodnost n lze rozšířit na místním polyadickém základě:
$\backslash \; mathbf\; T\; =\; T\; ^\; (i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash \; mathbf\; e\_i\; \backslash \; otimes\; ...\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; e\_n\; =\; T\; ^\; (i\_1\; ...\; i\_n)\; P\; ^\; (j\_1)\; \_\; (i\_1)\; ...\; P\; ^\; (j\_n)\; \_\; (i\_n)\; \backslash \; mathbf\; R\_\; (j\_1)\; \backslash \; otimes\; ...\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; R\_\; (j\_n)$
Například v případě pole tenzoru první řady (vektoru):
$\backslash \; mathbf\; v\; =\; v\; ^\; i\; \backslash \; mathbf\; e\_i\; =\; v\; ^\; i\; P\; ^\; j\_i\; \backslash \; mathbf\; R\_j$

Ortogonální křivočaré souřadnice

V euklidovském prostoru je použití ortogonálních křivočarých souřadnic zvláště důležité, protože vzorce týkající se délky a úhlů vypadají v ortogonálních souřadnicích jednodušeji než v obecném případě. To je způsobeno tím, že metrická matice v systémech s ortonormální bází bude diagonální, což značně zjednoduší výpočty.
Příkladem takových systémů je kulový systém v $\backslash \; mathbb\; (R)\; ^\; 2$

Lamé šance

Zapišme diferenciál oblouku v křivočarých souřadnicích ve tvaru (pomocí Einsteinova sčítacího pravidla):

$dS\; ^\; 2\; =\; \backslash \; vlevo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; částečný\; \backslash \; varphi\_1)\; (\backslash \; částečný\; q\_i)\; \backslash \; mathbf\; (dq)\; \_i\; \backslash \; vpravo)\; ^\; 2\; +$

\ vlevo (\ frac (\ částečný \ varphi_2) (\ částečný q_i) \ mathbf (dq) _i \ pravý) ^ 2 + \ vlevo (\ frac (\ částečný \ varphi_3) (\ částečný q_i) \ mathbf (dq) _i \ vpravo) ^ 2, ~ i = 1,2,3

S přihlédnutím k ortogonalitě souřadnicových systémů ( $\backslash \; mathbf\; (dq)\; \_i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; (dq)\; \_j\; =\; 0$ na $i\; \backslash \; ne\; j$) tento výraz lze přepsat jako

$dS\; ^\; 2\; =\; H\_1\; ^\; 2dq\_1\; ^\; 2\; +\; H\_2\; ^\; 2dq\_2\; ^\; 2\; +\; H\_3\; ^\; 2dq\_3\; ^\; 2,$

$H\_i\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; vlevo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; částečný\; \backslash \; varphi\_1)\; (\backslash \; částečný\; q\_i)\; \backslash \; pravý)\; ^\; 2\; +\; \backslash \; vlevo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; částečný\; \backslash \; varphi\_2)\; (\backslash \; částečný\; q\_i)\; \backslash \; pravý)\; ^\; 2\; +\; \backslash \; vlevo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; částečný\; \backslash \; varphi\_3)\; (\backslash \; částečný\; q\_i)\; \backslash \; pravý)\; ^\; 2);\; \backslash \; i\; =\; 1,\; \backslash ;\; 2,\; \backslash ;\; 3$

Kladné hodnoty $H\_i\; \backslash$ které závisí na bodu v prostoru, se nazývají Lamého koeficienty nebo faktory měřítka. Lamého koeficienty ukazují, kolik jednotek délky je obsaženo v jednotce souřadnic daného bodu a používají se k transformaci vektorů při přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého.

Riemannův metrický tenzor zapsaný v souřadnicích $(Qi)$, je diagonální matice, na jejíž úhlopříčce jsou druhé mocniny Lamého koeficientů:

Příklady

Polární souřadnice ( n=2)

Polární souřadnice v rovině zahrnují vzdálenost r k pólu (počátek) a směr (úhel) φ.

Vztah polárních souřadnic s kartézskými:

$\backslash \; vlevo\; \backslash \; (\backslash \; začátek\; (matice)\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi);\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi).\; \backslash \; konec\; (matice)\; \backslash \; vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash \; begin\; (matice)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\; \backslash \; varphi\; =\; r.\; \backslash \; konec\; (matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS\; ^\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; dr\; ^\; 2\; \backslash \; +\; \backslash \; r\; ^\; 2d\; \backslash \; varphi\; ^\; 2.$

Na počátku je funkce φ nedefinovaná. Pokud φ souřadnice není považována za číslo, ale za úhel (bod na jednotkové kružnici), pak polární souřadnice tvoří souřadnicový systém v oblasti získané z celé roviny odstraněním počátečního bodu. Pokud je přesto φ považováno za číslo, pak v určené oblasti bude vícehodnotové a konstrukce souřadnicového systému přísně v matematickém smyslu je možná pouze v jednoduše spojené oblasti, která nezahrnuje počátek souřadnic, např. například v rovině bez paprsku.

Válcové souřadnice ( n=3)

Válcové souřadnice jsou triviálním zobecněním polárních souřadnic pro případ trojrozměrného prostoru přidáním třetí souřadnice z. Vztah cylindrických souřadnic s kartézskými:

$\backslash \; vlevo\; \backslash \; (\backslash \; začátek\; (matice)\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi);\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash \; konec\; (matice)\; \backslash \; vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash \; begin\; (matice)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\; \backslash \; varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash \; konec\; (matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS\; ^\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; dr\; ^\; 2\; \backslash \; +\; \backslash \; r\; ^\; 2d\; \backslash \; varphi\; ^\; 2\; +\; dz\; ^\; 2.$

Sférické souřadnice ( n=3)

Sférické souřadnice jsou spojeny se souřadnicemi zeměpisné šířky a délky na jednotkové kouli. Vztah sférických souřadnic s kartézskými:

$\backslash \; left\; \backslash \; (\backslash \; begin\; (matice)\; x\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi);\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta).\; \backslash \; konec\; (matice)\; \backslash \; vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash \; begin\; (matice)\; H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\; \backslash \; theta\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\; \backslash \; varphi\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta).\; \backslash \; konec\; (matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS\; ^\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; dr\; ^\; 2\; \backslash \; +\; \backslash \; r\; ^\; 2d\; \backslash \; theta\; ^\; 2\; +\; r\; ^\; 2\; \backslash \; sin\; ^\; 2\; (\backslash \; theta)\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; 2.$

Sférické souřadnice, stejně jako ty válcové, nefungují na ose z (x = 0, y = 0), protože tam není definována souřadnice φ.

Různé exotické souřadnice v letadle ( n= 2) a jejich zobecnění

Napište recenzi na Curvilinear Coordinate System

Literatura

• Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro vědce a inženýry). - M .: Nauka, 1974 .-- 832 s.

Název souřadnice Typy souřadnicových systémů 2D souřadnice 3D souřadnice $n$-rozměrné souřadnice Fyzické souřadnice Související definice

Výňatek charakterizující křivočarý souřadnicový systém

"Kdyby na nás mohl zaútočit, udělal by to dnes," řekl.
"Takže si myslíš, že je bezmocný," řekl Langeron.
"Hodně, když má 40 tisíc vojáků," odpověděl Weyrother s úsměvem lékaře, kterému chce lék naznačit lék.
"V tom případě jde na smrt a čeká na náš útok," řekl Langeron s tenkým ironickým úsměvem a ohlédl se na nejbližšího Miloradoviče pro potvrzení.
Ale Miloradovič v tu chvíli očividně ze všeho nejméně myslel na to, o čem se generálové hádali.
- Ma foi, [Bože,] - řekl, - zítra uvidíme všechno na bitevním poli.
Weyrother se znovu zazubil tím úsměvem, který říkal, že je pro něj legrační a zvláštní setkávat se s námitkami ruských generálů a dokazovat něco, čím si byl nejen on sám příliš jistý, ale čím si byli jistí i panovníci a císaři.
"Nepřítel zhasl světla a v jeho táboře je nepřetržitý hluk," řekl. - Co to znamená? - Buď odejde, což je jedna věc, které bychom se měli bát, nebo změní polohu (zachechtal se). Ale i kdyby zaujal pozici v Turasu, jen nám ušetří spoustu problémů a všechny příkazy do nejmenších detailů zůstávají stejné.
- Jakým způsobem? .. - řekl princ Andrey, který dlouho čekal na příležitost vyjádřit své pochybnosti.
Kutuzov se probudil, těžce si odkašlal a rozhlédl se po generálech.
"Pánové, dispozice pro zítřek, ani dnes (protože je již první hodina), nelze změnit," řekl. "Slyšel jsi ji a my všichni splníme svou povinnost." A před bitvou není nic důležitějšího... (odmlčel se), jak se dobře vyspat.
Předstíral, že vstal. Generálové se uklonili a odešli. Bylo po půlnoci. Princ Andrew vyšel ven.

Válečná rada, na které princ Andrei nevyjádřil svůj názor, jak doufal, v něm zanechala nejasný a znepokojivý dojem. Kdo měl pravdu: Dolgorukov s Weyrotherem nebo Kutuzov s Lanžeronem a dalšími, kteří neschvalovali plán útoku, nevěděl. „Ale bylo opravdu nemožné, aby Kutuzov přímo vyjádřil své myšlenky panovníkovi? Nejde to udělat jinak? Je možné, aby soud a osobní úvahy riskovaly desetitisíce mého, mého života?" myslel.
"Ano, velmi pravděpodobně zítra zabijí," pomyslel si. A najednou při pomyšlení na smrt v jeho představivosti vyvstala celá řada vzpomínek, těch nejvzdálenějších a nejoduševnělejších; vzpomínal na poslední rozloučení s otcem a manželkou; vzpomínal na rané dny své lásky k ní! Vzpomněl si na její těhotenství, litoval ji i sebe a v nervózním, změkčilém a rozrušeném stavu opustil chýši, ve které stál s Nesvitským, a začal chodit před dům.
Noc byla mlhavá a měsíční světlo záhadně prosvítalo mlhou. „Ano, zítra, zítra! Myslel. - Zítra pro mě možná všechno skončí, všechny tyto vzpomínky už nebudou, všechny tyto vzpomínky už pro mě nebudou mít žádný význam. Zítra, možná, možná i zítra, to tuším, poprvé budu muset konečně ukázat všechno, co umím." A představoval si bitvu, její prohru, soustředění bitvy do jednoho bodu a zmatek všech velících osob. A teď se mu konečně zjevil ten šťastný okamžik, ten Toulon, na který tak dlouho čekal. Pevně ​​a jasně říká svůj názor Kutuzovovi, Weyrotherovi a císařům. Všichni žasnou nad věrností jeho úvah, ale nikdo se ji nezavazuje plnit, a tak si vezme pluk, divizi, dá si podmínku, aby mu nikdo nezasahoval do rozkazů a dovede svůj oddíl k rozhodujícímu bodu a jeden vyhraje. . A smrt a utrpení? říká jiný hlas. Ale princ Andrew na tento hlas neodpovídá a pokračuje ve svých úspěších. Uspořádání další bitvy dělá on sám. V armádě pod Kutuzovem nese titul služebního důstojníka, ale všechno dělá sám. Další bitvu vyhraje on sám. Kutuzov je nahrazen, je jmenován ... No, a pak? znovu promluví jiný hlas, a pak, pokud jste nebyli předtím desetkrát zraněni, zabiti nebo podvedeni; no a co potom? "Tak tedy," odpověděl si princ Andrey, "nevím, co bude dál, nechci a nemohu vědět: ale když chci tohle, chci slávu, chci být slavní lidé, Chci být jimi milován, pak to není moje chyba, že tohle chci, že tohle chci sám, pro tohle sám žiju. Ano, pro tento! Nikdy to nikomu neřeknu, ale můj bože! co mám dělat, když nemiluji nic jiného než slávu, lidskou lásku. Smrt, zranění, ztráta rodiny, nic mě neděsí. A bez ohledu na to, jak je mi mnoho lidí - otec, sestra, manželka - nejdražšími lidmi - ale bez ohledu na to, jak hrozné a nepřirozené to vypadá, dám je teď všechny za minutu slávy, triumf nad lidmi, z lásky k sobě lidí, které neznám a nebudu znát, z lásky k těmto lidem, “pomyslel si a poslouchal dialekt na nádvoří Kutuzova. Na nádvoří Kutuzova bylo slyšet hlasy zřízenců, kteří se balili; jeden hlas, pravděpodobně kočí, škádlící starého kuchaře Kutuzova, kterého znal princ Andrej a jmenoval se Titus, řekl: "Titus a Titus?"
"No," odpověděl starý muž.
"Titusi, jdi vymlátit," řekl vtipálek.
- Fuj, no, k čertu, - ozval se hlas pokrytý smíchem zřízenců a sluhů.
"A přesto miluji a cením si jen triumf nad nimi všemi, cením si tuto tajemnou sílu a slávu, která se nade mnou řítí v této mlze!"

Rostov byl té noci s četou v řetězu obránců před Bagrationovým oddílem. Jeho husaři byli rozptýleni v řetězech po párech; on sám jel na koni po této linii řetězu a snažil se překonat sen, který ho neodolatelně poháněl. Za ní bylo vidět rozlehlé ohniště naší armády, nezřetelně hořící v mlze; před ním byla mlhavá tma. Bez ohledu na to, jak moc se Rostov díval do této mlhavé dálky, nic neviděl: teď to zešedivělo, teď jako by něco zčernalo; pak blikala jako světla, kde by měl být nepřítel; pak si pomyslel, že se mu to jen třpytí v očích. Měl zavřené oči a ve svých představách si představoval panovníka, pak Denisova, pak vzpomínky na Moskvu a znovu spěšně otevřel oči a zavřel před sebou, někdy viděl hlavu a uši koně, na kterém seděl. vběhly do nich černé postavy husarů, když byl na šest kroků, a v dálce ta samá mlžná tma. "Z čeho? je velmi možné, “pomyslel si Rostov,” že panovník, když se se mnou setkal, by dal úkol, jako by to udělal každému důstojníkovi: řekl by: ,Jdi do toho a zjisti, co tam je.' Mnozí vyprávěli, jak úplnou náhodou poznal nějakého důstojníka a přivedl ho k sobě blíž. Co kdyby mě k němu přivedl blíž! Ach, jak bych ho chránil, jak bych mu řekl celou pravdu, jak bych odhalil jeho podvodníky, “a Rostov, aby si živě představil jeho lásku a oddanost k panovníkovi, si představil nepřítele nebo podvodníka Němce, kterého si užil nejen zabil, ale v očích panovníka udeřil do tváří. Náhle Rostov probudil vzdálený výkřik. Otřásl se a otevřel oči.
"Kde jsem? Ano, v řetězci: slogan a heslo jsou jazyk, Olmutzi. Jaká škoda, že naše eskadra bude zítra v zálohách... - pomyslel si. - Zeptám se na případ. Možná je to jediná chvíle, kdy suveréna uvidíte. Ano, teď už není dlouho do směny. Znovu pojedu kolem a jakmile se vrátím, půjdu za generálem a zeptám se ho." Narovnal se na sedle a pohnul koně, aby ještě jednou obešel své husary. Zdálo se mu, že je světlejší. Po levé straně byl mírný, osvětlený svah a protější černý kopec, který vypadal strmý jako zeď. Na tomto pahorku byla bílá skvrna, které Rostov nijak nerozuměl: byla to mýtina v lese, osvětlená měsícem, nebo zbývající sníh, nebo bílé domy? Dokonce se mu zdálo, že se nad tímto bílým místem něco hýbe. „Sníh musí být skvrna; to místo je neuvěřitelné, “myslel si Rostov. "Tady je pro tebe a ne šmejdit..."

Na libovolném povrchu můžete nastavit souřadnicový systém, definující polohu bodu na něm, opět dvěma čísly. K tomu nějakým způsobem pokryjeme celou plochu dvěma rodinami čar tak, aby každým jejím bodem procházela jedna a pouze jedna přímka z každé rodiny (snad až na výjimky). Nyní stačí opatřit řádky každé rodiny číselnými značkami podle nějakého pevného pravidla, které umožňuje najít požadovanou rodinnou řadu podle číselné značky (obr. 22).

Souřadnice bodu M plochy jsou čísla u, proti, kde u- číselná značka procházející linie první rodiny M, a proti- označení linií druhé rodiny. Budeme i nadále psát: M (u; proti),čísla a, proti se nazývají křivočaré souřadnice bodu M. To, co bylo řečeno, bude zcela jasné, obrátíme-li se pro příklad do sféry. To vše může být pokryto meridiány (první rodina); každému z nich odpovídá číselná značka, a to hodnota zeměpisné délky u(nebo c). Všechny paralely tvoří druhou rodinu; každý z nich má číselnou značku - zeměpisnou šířku proti(nebo a). Každým bodem koule (kromě pólů) prochází pouze jeden poledník a jedna rovnoběžka.

Jako další příklad uvažujme boční povrch rovného kruhového válce výšky H, poloměr A(obr. 23). Pro první rodinu vezmeme soustavu jejích generátorů, jeden z nich vezmeme jako výchozí. Každému generátoru přiřadíme značku ty rovna délce oblouku na obvodu základny mezi počáteční tvořící čárou a danou (oblouk budeme počítat např. proti směru hodinových ručiček). Pro druhou rodinu vezmeme systém vodorovných řezů plochy; číselně označené proti budeme uvažovat výšku, ve které je řez nakreslen nad základnou. Se správným výběrem os x, y, z ve vesmíru budeme mít pro jakýkoli bod M (x; y; z) našeho povrchu:

(Argumenty pro kosinus a sinus nejsou ve stupních, ale v radiánech.) Tyto rovnice lze považovat za parametrické rovnice pro povrch válce.

Úloha 9. Jakou křivkou by se měl uříznout kus plechu pro vytvoření svodového kolena, aby po správném ohnutí byl získán válec o poloměru A, zkrácena o rovinu pod úhlem 45° k rovině základny?

Řešení. Použijme parametrické rovnice povrchu válce:

Nakreslete rovinu řezu skrz osu Ach, její rovnice z = y. Spojením s právě napsanými rovnicemi dostaneme rovnici

průsečíky v křivočarých souřadnicích. Po rozložení povrchu na rovinu, křivočaré souřadnice a a proti se změní na kartézské souřadnice.

Takže kus cínu by měl být nakreslen nahoře podél sinusoidy

Tady u a proti již kartézské souřadnice na rovině (obr. 24).

Stejně jako v případě koule a válcové plochy, i v obecném případě, specifikace plochy parametrickými rovnicemi znamená vytvoření křivočarého souřadnicového systému na ploše. Opravdu, výraz pro kartézské souřadnice x, y, z libovolný bod M (x; y; z) povrch ve dvou parametrech ty proti(obecně se to píše takto: NS= q ( u; v), y = C (u; v), z = u (u; v), q, w, u jsou funkce dvou argumentů) umožňuje znalost dvojice čísel ty proti, najít odpovídající souřadnice x, y, z, a odtud poloha bodu M na povrchu; čísla ty proti slouží jako jeho souřadnice. Například tím, že jednomu z nich dá konstantní hodnotu u=u 0, dostaneme výraz x, y, z přes jeden parametr proti, tj. parametrická rovnice křivky. Toto je souřadnicová linie jedné rodiny, její rovnice u = u 0 Stejně tak linka v = v 0 - souřadnicová čára jiné rodiny.

vektor souřadnic kartézského poloměru

Pravoúhlý prostor kartézský souřadnicový systém

Prostorové pravoúhlé transformace souřadnicového systému

Transformace lineárního zobrazení

Redukce obecné kvadratické formy na kanonickou

Křivočaré souřadnice

Pochopení křivočarých souřadnicových systémů

Křivočaré souřadnice na povrchu

Polární souřadnicové systémy a jejich zobecnění

Prostorový systém polárních souřadnic

Válcový souřadnicový systém

Sférický souřadnicový systém

Polární souřadnice na povrchu

Kapitola 3. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY POUŽÍVANÉ V GEODEZII

Obecná klasifikace souřadnicových systémů používaných v geodézii

Zemské geodetické souřadnicové systémy

Polární souřadnicové systémy v geodézii

Křivočaré elipsoidní systémy geodetických souřadnic

Stanovení elipsoidních geodetických souřadnic se samostatnou metodou pro určení vodorovné a svislé polohy bodů na zemském povrchu

Převeďte prostorové polární geodetické souřadnice na elipsoidní geodetické souřadnice

Převod referenčních systémů geodetických souřadnic na obecné zemské a naopak

Prostorové pravoúhlé souřadnicové systémy

Vztah prostorových pravoúhlých souřadnic s elipsoidními geodetickými souřadnicemi

Převod prostorových pravoúhlých referenčních souřadnic na obecné zemské souřadnice a naopak

Topocentrické souřadnicové systémy v geodézii

Vztah prostorové topocentrické horizontální geodetické SC s prostorovými polárními sférickými souřadnicemi

Převod topocentrických horizontálních geodetických souřadnic na prostorové pravoúhlé souřadnice X, Y, Z

Rovinné pravoúhlé souřadnicové systémy v geodézii

Vztah rovinných pravoúhlých Gaussových - Krugerových souřadnic s elipsoidními geodetickými souřadnicemi

Převod rovinných pravoúhlých Gauss-Krugerových souřadnic z jedné zóny do druhé

Převod rovinných pravoúhlých souřadnic bodů lokálních geodetických konstrukcí na jiné systémy rovinných pravoúhlých souřadnic

Kapitola 4. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY POUŽÍVANÉ V GEODEZICKÉ ASTRONOMII A VESMÍRNÉ GEODEZI

Sférické astronomické souřadnicové systémy

Referenční systémy v kosmické geodézii

Hvězdné (nebeské) inerciální geocentrické rovníkové souřadnice

Greenwichský terestrický geocentrický systém prostorových pravoúhlých souřadnic

Topocentrické souřadnicové systémy

Kapitola 5. KOORDINATIZACE PROSTORU ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ NA POČÁTKU XXI. STOLETÍ V RUSKU

Systémy státních geodetických souřadnic na počátku XXI. století.

Výstavba Státní geodetické sítě

BIBLIOGRAFIE

PŘÍLOHA 1. ŘEŠENÍ PŘÍMÉHO GEODETICKÉHO PROBLÉMU VE VESMÍRU

PŘÍLOHA 2. ŘEŠENÍ INVERZNÍHO GEODETICKÉHO PROBLÉMU VE VESMÍRU

PŘÍLOHA 3. TRANSFORMACE GEODEZICKÝCH SOUŘADNIC B, L, H DO PROSTOROVÉHO PRAVOUHLÍKU X, Y, Z

PŘÍLOHA 4. PŘEVOD PROSTOROVÝCH PRAVOUHLÍKÝCH SOUŘADNIC X, Y, Z DO GEODEZICKÉ B, L, H

PŘÍLOHA 5. PŘEVOD PROSTOROVÝCH PRAVOUHLÍKÝCH SOUŘADNIC X, Y, Z CK-42 NA SOUŘADNICE SYSTÉMU PZ-90

PŘÍLOHA 6. PŘEVOD REFERENČNÍHO SYSTÉMU GEODICKÝCH SOUŘADNIC B, L, H DO SYSTÉMU GEODICKÝCH SOUŘADNIC PZ-90 B0, L0, H0

PŘÍLOHA 7. PŘEVOD PROSTOROVÝCH POLÁRNÍCH SOUŘADNIC SYSTÉMU S, ZG, A NA TOPOCENTRICKÉ HORIZONTÁLNÍ GEODETICKÉ SOUŘADNICE XT, YT, ZT

PŘÍLOHA 8. PŘEVOD TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNÍCH GEODETICKÝCH SOUŘADNIC ХТ, УТ, ZТ NA POLÁRNÍ PROSTOROVÉ SOUŘADNICE - S, ZГ, A

PŘÍLOHA 9. PŘEVOD TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNÍCH GEODEZICKÝCH SOUŘADNIC XT, YT, ZT NA PROSTOROVÉ PRAVOUHLÍKOVÉ SOUŘADNICE X, Y, Z

PŘÍLOHA 10. TRANSFORMACE ELIPSOIDÁLNÍCH GEODEZICKÝCH SOUŘADNIC B, L NA ROVINNÝ PRAVOÚHLÝ PLYN - KRUGEROVÉ SOUŘADNICE X, Y

PŘÍLOHA 11. KONVERZE ROVINNÝCH PRAVOÚHLÝCH GAUSSOVÝCH - KRUGEROVÝCH SOUŘADNIC X, Y NA ELIPSOIDÁLNÍ GEODETICKÉ SOUŘADNICE B, L

(a 11 - λ1) (a 22 - λ1) - a 12 a 21 = 0;

λ 12 - (a 11 + a 22) λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21) = 0.

Diskriminant těchto kvadratických rovnic je ³ 0, tj.

D = (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) = (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Volají se rovnice (2.56), (2.57). charakteristické rovnice

maticemi a kořeny těchto rovnic jsou vlastní čísla matice A. Dosazením vlastních čísel nalezených z (2.57) do (2.39) získáme

kanonická rovnice.

Kvadratický tvar je uveden ve tvaru: F (x x) = 5x 2				2x 2.

Najděte kanonický tvar této rovnice.

Protože zde a 11 = 5; a21 = 2; a 22 = 2, pak bude mít charakteristická rovnice (2.56) pro daný kvadratický tvar tvar

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Přirovnání determinantu této maticové rovnice k nule

(5 - λ) (2 - λ) - 4 = λ2 - 7λ + 6 = 0

a řešením této kvadratické rovnice dostaneme λ1 = 6; λ2 = 1.

A pak kanonická forma této kvadratické formy bude mít formu

F (x 1, x 2) = 6 x 1 2 + x 2 2.

2.3. Křivočaré souřadnice

2.3.1. Pochopení křivočarých souřadnicových systémů

Třída křivočarých souřadnic je ve srovnání s třídou přímočarých souřadnic rozsáhlá a mnohem rozmanitější az analytického hlediska je nejuniverzálnější, protože rozšiřuje možnosti metody přímočarých souřadnic. Použití křivočarých souřadnic může někdy značně zjednodušit řešení mnoha problémů, zejména problémů řešených přímo na rotační ploše. Například při řešení úlohy na rotační ploše spojené s nalezením určité funkce je možné v oblasti této funkce na dané ploše zvolit systém křivočarých souřadnic, který umožní tuto funkci nová vlastnost má být konstantní v daném souřadnicovém systému, což nelze vždy provést pomocí přímočarých souřadnicových systémů.

Systém křivočarých souřadnic, daný v určité oblasti trojrozměrného euklidovského prostoru, dává do korespondence každému bodu tohoto prostoru uspořádanou trojici reálných čísel - φ, λ, r (křivočaré souřadnice bodu).

Pokud se křivočarý souřadnicový systém nachází přímo na nějaké ploše (rotační ploše), pak jsou v tomto případě v souladu s každým bodem plochy již dána dvě reálná čísla - φ, λ, která jednoznačně určují polohu bodu. na tomto povrchu.

Mezi systémem křivočarých souřadnic φ, λ, r a přímočarým kartézským CS (X, Y, Z) musí existovat matematické spojení... Opravdu, nechť je křivočarý souřadnicový systém uveden v nějaké oblasti prostoru. Každý bod tohoto prostoru odpovídá jedinečné trojici křivočarých souřadnic - φ, λ, r. Na druhou stranu, stejnému bodu odpovídá jediná trojice přímočarých kartézských souřadnic - X, Y, Z. Pak lze tvrdit, že v obecný pohled

ϕ = ϕ (X, Y, Z);

A = A (,); (2,58)

X Y Z

r = r (X, Y, Z).

Mezi těmito CS existuje přímý (2,58) i nepřímý matematický vztah.

Z rozboru vzorců (2.58) vyplývá, že pro konstantní hodnotu jedné z prostorových křivočarých souřadnic φ, λ, r např.

ϕ = ϕ (X, Y, Z) = konst,

a proměnné hodnoty dalších dvou (λ, r), dostaneme obecně plochu, která se nazývá souřadnice. Souřadnicové plochy odpovídající stejné souřadnici se navzájem neprotínají. Dvě souřadnicové plochy odpovídající různým souřadnicím se však protínají a dávají souřadnicovou čáru odpovídající třetí souřadnici.

2.3.2. Křivočaré souřadnice na povrchu

Pro geodézii jsou největší zájem o povrchové křivočaré souřadnice.

Nechť je rovnice povrchu ve tvaru funkce kartézských souřadnic

má implicitně podobu
F(X, Y, Z) = 0.

Směrování jednotkových vektorů i, j, l podél souřadnicových os (obr. 2.11), rovnici povrchu lze zapsat ve vektorovém tvaru

r = Xi + Yj + Zl. (2,60)

Zavedeme dvě nové nezávislé proměnné φ a λ takové, že funkce

splnit rovnici (2,59). Rovnice (2.61) jsou parametrické rovnice plochy.

λ1 = konst

					λ2 = konst
					λ3 = konst
					φ3 = konst
					φ2 = konst
					φ1 = konst

Rýže. 2.11. Souřadnicový systém zakřiveného povrchu

Každá dvojice čísel φ a λ odpovídá určitému (jedinému) bodu na povrchu a tyto proměnné lze brát jako souřadnice bodů na povrchu.

Pokud φ dáme různé hodnoty konstant φ = φ1, φ = φ2,…, dostaneme rodinu křivek na povrchu odpovídající těmto konstantám. Podobně, když dáme konstantní hodnoty pro λ, budeme mít

druhá rodina křivek. Na povrchu tak vzniká síť souřadnic φ = const a λ = const. Souřadnicové čáry obecně

jsou zakřivené čáry. Proto se volají čísla φ, λ

křivočaré souřadnice body na povrchu.

Křivočaré souřadnice mohou být lineární i úhlové hodnoty. Nejjednodušším příkladem křivočarého souřadnicového systému, ve kterém jedna souřadnice je lineární veličina a druhá je úhlová veličina, mohou být polární souřadnice v rovině.

Volba zakřivených souřadnic nemusí předcházet vytvoření souřadnicových čar. V některých případech je účelnější stanovit mřížku souřadnicových čar, která je nejvhodnější pro řešení určitých problémů na ploše, a následně pro tyto čáry vybrat takové parametry (souřadnice), které by měly pro každou souřadnicovou čáru konstantní hodnotu.

Dobře definovaná mřížka souřadnicových čar odpovídá určitému systému parametrů, ale pro každou danou rodinu souřadnicových čar lze zvolit mnoho dalších parametrů, které jsou spojitými a jednohodnotovými funkcemi tohoto parametru. V obecném případě mohou mít úhly mezi souřadnicovými čarami rodiny φ = const a přímkami rodiny λ = const různé hodnoty.

Budeme uvažovat pouze ortogonální křivočaré souřadnicové systémy, ve kterých každá souřadnicová přímka φ = const protíná jakoukoli jinou souřadnicovou přímku λ = const v pravém úhlu.

Při řešení mnoha úloh na ploše, zejména úloh spojených s výpočtem křivočarých souřadnic bodů na ploše, je nutné umístit diferenciální rovnice změny křivočarých souřadnic φ a λ v závislosti na změnách délky S povrchové křivky.

Spojení mezi diferenciály dS, dφ, dλ lze vytvořit zavedením nové proměnné α, tj.

α dS

φ = konst

λ = konst

λ + d λ = konst

kladný směr přímky λ = konst do klad

směry této křivky (obr. 2.12). Tento úhel jakoby určuje směr (orientaci) čáry dovnitř

daný bod na povrchu. Poté (bez výstupu):

Rýže. 2.12. Geometrie spojení diferenciálu oblouku křivky na ploše se změnami (diferenciály) křivky.

souřadnice

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ Y 2
						∂λ		∂λ

+ ∂Z2;

∂ϕ

+ ∂ Z 2. ∂λ

		cosα
		sinα

PROTI geodetický úhel α odpovídá geodetickému azimutu: α = A.

2.3.3. Polární souřadnicové systémy a jejich zobecnění

2.3.4. Prostorový systém polárních souřadnic

Pro určení prostorového systému polárních souřadnic je nutné nejprve vybrat rovinu (dále ji budeme nazývat hlavní). V této rovině je vybrán nějaký bod O

Měření

segmenty

prostor pak

pozice

bude jakýkoli bod ve vesmíru

jednoznačně

být definován

množství: r, φ, λ, kde r -

polární

vzdálenost v přímce od tyče

O do bodu Q (obr. 2.13); λ -

polární úhel - úhel mezi

polární

Rýže. 2.13. Prostorový systém

ortogonální

projekce

polární poloměr k hlavní

polární souřadnice a jejich modifikace

letadlo

Změny

(polární poloměr) a jeho

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

projekce

OQ0 zapnuto

hlavní

rovina, považovaná za kladnou (0 ≤ φ ≤ π / 2) pro body v kladném poloprostoru a zápornou (-π / 2 ≤ φ ≤ 0) pro body v záporném poloprostoru.

Jakýkoli prostorový polární CS může být snadno spojen (transformován) s prostorovým kartézským obdélníkovým CS.

Vezmeme-li měřítko a počátek souřadnic v prostorovém pravoúhlém systému jako měřítko a počátek polárního systému, polární osa OR je poloosa úsečky OX, přímka OZ vedená od pólu O kolmo k hlavní rovině v kladný směr polárního systému je poloosa OZ pravoúhlého kartézského systému a pro poloosu - OU vezměte osu, do které jde osa úsečky, když je otočena o úhel π / 2 v kladném směru v hlavní rovině polárního systému, pak z Obr. 2.13

Vzorce (2.64) umožňují vyjádřit X, Y, Z pomocí r, φ, λ a naopak

Až dosud, když jsme chtěli znát polohu bodu v rovině nebo v prostoru, používali jsme kartézský souřadnicový systém. Takže jsme například určili polohu bodu v prostoru pomocí tří souřadnic. Tyto souřadnice byly úsečka, pořadnice a aplikace proměnného bodu v prostoru. Je však jasné, že určení úsečky, pořadnice a aplikace bodu není jediným způsobem, jak určit polohu bodu v prostoru. To lze provést jiným způsobem, například pomocí křivočarých souřadnic.

Nechť, podle nějakého dobře definovaného pravidla, každý bod M prostor jednoznačně odpovídá nějaké trojici čísel ( q 1 , q 2 , q 3) a různé trojice čísel odpovídají různým bodům. Potom říkají, že v prostoru je dán souřadnicový systém; čísla q 1 , q 2 , q 3, které odpovídají bodu M se nazývají souřadnice (neboli křivočaré souřadnice) tohoto bodu.

V závislosti na pravidle, podle kterého trojice čísel ( q 1 , q 2 , q 3) odpovídá bodu v prostoru, hovoří o určitém souřadnicovém systému.

Pokud chcete poznamenat, že v daném souřadnicovém systému je poloha bodu M určena čísly q 1 , q 2 , q 3, pak se píše následovně M(q 1 , q 2 , q 3).

Příklad 1. Nechť je v prostoru vyznačen nějaký pevný bod Ó(počátek) a skrz něj jsou prokresleny tři vzájemně kolmé osy s navoleným měřítkem. (Osa Vůl, Oj, Оz). Trojka čísel X, y, z dát do souladu s tečkou M, takže projekce jeho poloměrového vektoru OM na ose Vůl, Oj, Оz se bude rovnat resp X, y, z... Tento způsob vytvoření vztahu mezi trojicemi čísel ( X, y, z) a body M nás vede ke známé kartézské soustavě souřadnic.

Je snadné vidět, že v případě kartézského souřadnicového systému nejen určitému bodu v prostoru odpovídá každé trojici čísel, ale i naopak, každému bodu v prostoru odpovídá určitá trojice souřadnic.

Příklad 2. Nechte souřadné osy nakreslit opět v prostoru Vůl, Oj, Оz procházející pevným bodem Ó(původ).

Zvažte trojici čísel r, j, z, kde r³0; 0 £ j 2 £ p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, tak, aby jeho aplikace byla z a jeho promítání do roviny Oxy má polární souřadnice r a j(viz obr. 4.1). Je jasné, že zde pro každou trojici čísel r, j, z odpovídá určitému bodu M a zpět, každý bod M odpovídá určitá trojice čísel r, j, z... Jedinou výjimkou jsou body ležící na ose. Оz: v tomto případě r a z jsou jednoznačně určeny a úhel j lze přiřadit jakýkoli význam. Čísla r, j, z se nazývají válcové souřadnice bodu M.

Je snadné vytvořit vztah mezi cylindrickými a kartézskými souřadnicemi:

X = r× cos j; y = r× hřích j; z = z.

A zpět ; ; z = z.

Příklad 3. Zaveďme sférický souřadnicový systém. Nastavíme tři čísla r, q, j charakterizující polohu bodu M ve vesmíru takto: r- vzdálenost od počátku k bodu M(délka vektoru poloměru), q Оz a poloměrový vektor OM(zeměpisná šířka bodu M) j- úhel mezi kladným směrem osy Vůl a promítání vektoru poloměru do roviny Oxy(délka bodu M). (Viz obrázek 4.2).

Je jasné, že v tomto případě nejen každý bod M odpovídá určité trojici čísel r, q, j, kde r³ 0, 0 £ q £ p, 0£ j 2 £ p, ale naopak, každá taková trojice čísel odpovídá určitému bodu v prostoru (opět s výjimkou bodů na ose Оz kde je tato jednoznačnost porušena).

Je snadné najít vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi:

X = r hřích q cos j; y = r hřích q hřích j; z = r cos q.

Vraťme se k libovolnému souřadnicovému systému ( Оq 1 , Оq 2 , Оq 3). Budeme předpokládat, že nejen každému bodu v prostoru odpovídá určitá trojice čísel ( q 1 , q 2 , q 3), ale naopak, každá trojice čísel odpovídá určitému bodu v prostoru. Pojďme si představit pojem souřadnicové plochy a souřadnicové čáry.

Definice... Množina bodů, pro které je souřadnice q 1 je konstantní, nazývá se souřadnicová plocha q 1. Souřadnicové plochy jsou definovány podobně q 2 a q 3 (viz obr. 4.3).

Je zřejmé, že pokud má bod M souřadnice S 1 , S 2 , S 3 pak v tomto bodě se souřadnicové plochy protínají q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Definice... Množina bodů, podél kterých se mění pouze souřadnice q 1 (a další dvě souřadnice q 2 a q 3 zůstávají konstantní) se nazývá souřadnicová přímka q 1 .

Samozřejmě jakákoliv souřadnicová čára q 1 je přímka průsečíku souřadnicových rovin q 2 a q 3 .

Souřadnicové čáry jsou definovány podobně q 2 a q 3 .

Příklad 1. Souřadnicové plochy (podle souřadnic X) v kartézském souřadnicovém systému jsou všechny roviny X= konst. (Jsou rovnoběžné s rovinou Oyz). Souřadnicové plochy jsou definovány obdobně pomocí souřadnic y a z.

Koordinovat X-čára je přímka rovnoběžná s osou Vůl... Koordinovat y-řádek ( z-line) - rovná, rovnoběžná s osou OU(sekery Оz).

Příklad 2. Souřadnicové plochy ve válcové soustavě jsou: jakákoli rovina rovnoběžná s rovinou Oxy(souřadnicový povrch z= konst), povrch kruhového válce, jehož osa směřuje podél osy Оz(souřadnicový povrch r= konst) a polorovina ohraničená osou Оz(souřadnicový povrch j= konst) (viz obr.4.4).

Název válcový souřadný systém se vysvětluje tím, že mezi jeho souřadnými plochami jsou válcové plochy.

Souřadnicové čáry v tomto systému jsou z-line - rovná, rovnoběžná s osou Оz; j-line - kružnice ležící ve vodorovné rovině se středem na ose Оz; a r-line - paprsek vycházející z libovolného bodu na ose Оz rovnoběžně s rovinou Oxy.

Rýže. 4.5

Protože mezi souřadnicovými plochami jsou koule, nazývá se tento souřadnicový systém sférický.

Souřadnicové čáry jsou zde: r-line - paprsek vycházející z počátku, q-line - půlkruh se středem v počátku, spojující dva body na ose Оz; j-line - kružnice ležící ve vodorovné rovině se středem na ose Оz.

Ve všech výše diskutovaných příkladech jsou souřadnicové čáry procházející libovolným bodem M, jsou navzájem ortogonální. To se nestane v každém souřadnicovém systému. Omezíme se však na studium pouze těch souřadnicových systémů, pro které tomu tak je; takové souřadnicové systémy se nazývají ortogonální.

Definice... Souřadnicový systém ( Оq 1 , Оq 2 , Оq 3) se nazývá ortogonální, pokud v každém bodě M souřadnicové čáry procházející tímto bodem se protínají v pravém úhlu.

Zvažte nyní nějaký bod M a nakreslete jednotkové vektory tečné v tomto bodě k odpovídajícím souřadnicovým čarám a směřující k rostoucímu směru odpovídající souřadnice. Pokud tyto vektory tvoří v každém bodě pravou trojici, pak dostáváme pravý souřadnicový systém. Tedy například kartézský souřadnicový systém X, y, z(při obvyklém uspořádání os) má pravdu. Také pravotočivé cylindrické souřadnice r, j, z(ale právě s tímto pořadím souřadnic; pokud změníme pořadí souřadnic, vezmeme-li např. r, z, j, již nedostáváme správný systém).

Kulový souřadnicový systém je také pravotočivý (pokud zavedeme takové pořadí r, q, j).

Všimněte si, že v kartézském souřadnicovém systému nezávisí směr jednotkového vektoru na tom, v jakém bodě M nakreslíme tento vektor; totéž platí pro vektory. V křivočarých souřadnicových systémech pozorujeme něco jiného: například ve válcovém souřadnicovém systému vektory v bodě M a v nějakém jiném bodě M 1 již nemusí být vzájemně rovnoběžné. Totéž platí pro vektor (obecně řečeno, má v různých bodech různé směry).

Trojité ortogonální jednotkové vektory v křivočarém souřadnicovém systému tedy závisí na poloze bodu M ve kterých jsou tyto vektory uvažovány. Trojice jednotkových ortogonálních vektorů se nazývá pohyblivý rámec a samotné vektory se nazývají jednotkové vektory (nebo jednoduše orts).

Odpovídající takovému vektorovému prostoru. V tomto článku bude první definice brána jako výchozí bod.

N (\ styl zobrazení n) označuje se -rozměrný euklidovský prostor E n, (\ displaystyle \ mathbb (E) ^ (n),)často se také používá zápis (pokud je z kontextu zřejmé, že prostor má euklidovskou strukturu).

Kolegiální YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineární algebra. Euklidovský prostor

✪ Neeuklidovská geometrie. První část.

✪ Neeuklidovská geometrie. Část dvě

✪ 01 - Lineární algebra. Lineární (vektorový) prostor

✪ 8. Eukleidovské prostory

titulky

Formální definice

Pro definování euklidovského prostoru je nejjednodušší vzít koncept skalárního součinu jako hlavní. Euklidovský vektorový prostor je definován jako konečnorozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel, na jehož vektorech je dána funkce reálné hodnoty. (⋅, ⋅), (\ styl zobrazení (\ cdot, \ cdot),) mající následující tři vlastnosti:

Příklad euklidovského prostoru - souřadnicový prostor R n, (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) skládající se ze všech možných n-tic reálných čísel (x 1, x 2,…, x n), (\ styl zobrazení (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (n)),) bodový součin, ve kterém je definován vzorcem (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\ styl zobrazení (x, y) = \ součet _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) y_ (i) = x_ (1) y_ (1) + x_ (2) y_ (2) + \ cdots + x_ (n) y_ (n).)

Délky a úhly

Skalární součin daný euklidovským prostorem je dostatečný pro zavedení geometrických pojmů délky a úhlu. Délka vektoru u (\ styl zobrazení u) definováno jako (u, u) (\ styl zobrazení (\ sqrt ((u, u)))) a označeny | u | ... (\ displaystyle | u |.) Pozitivní určitost tečkového součinu zaručuje, že délka nenulového vektoru je nenulová, a bilinearita znamená, že | a u | = | a | | u | , (\ displaystyle | au | = | a || u |,) to znamená, že délky proporcionálních vektorů jsou úměrné.

Úhel mezi vektory u (\ styl zobrazení u) a v (\ styl zobrazení v) je určeno vzorcem φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |). (\ displaystyle \ varphi = \ arccos \ vlevo ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ vpravo).) Z kosinové věty vyplývá, že pro dvourozměrný euklidovský prostor ( euklidovská rovina) tato definice úhlu se shoduje s obvyklou. Ortogonální vektory, stejně jako v trojrozměrném prostoru, mohou být definovány jako vektory, jejichž úhel je roven π 2. (\ styl zobrazení (\ frac (\ pi) (2)).)

Nerovnice Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz a trojúhelníková nerovnost

Ve výše uvedené definici úhlu zbývá jedno místo: aby arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\ styl zobrazení \ arccos \ vlevo ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ vpravo)) byla určena, je nutné, aby nerovnost | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\ styl zobrazení \ vlevo | (\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ vpravo | \ leqslant 1.) Tato nerovnost skutečně platí v libovolném euklidovském prostoru, nazývá se nerovnost Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Tato nerovnost zase implikuje trojúhelníkovou nerovnost: | u + v | ⩽ | u | + | v | ... (\ displaystyle | u + v | \ leqslant | u | + | v |.) Trojúhelníková nerovnost spolu s délkovými vlastnostmi uvedenými výše znamená, že délka vektoru je normou v euklidovském vektorovém prostoru a funkce d (x, y) = | x - y | (\ displaystyle d (x, y) = | x-y |) definuje strukturu metrického prostoru na euklidovském prostoru (tato funkce se nazývá euklidovská metrika). Zejména vzdálenost mezi prvky (body) x (\ styl zobrazení x) a y (\ styl zobrazení y) souřadnicový prostor R n (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n)) je dáno vzorcem d (x, y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2. (\ displaystyle d (\ mathbf (x), \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \ | = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (n) (x_ (i) -y_ (i)) ^ (2))).)

Algebraické vlastnosti

Ortonormální báze

Konjugovat prostory a operátory

Jakýkoli vektor x (\ styl zobrazení x) Euklidovský prostor definuje lineární funkcionál x ∗ (\ styl zobrazení x ^ (*)) na tomto prostoru, definovaném jako x ∗ (y) = (x, y). (\ displaystyle x ^ (*) (y) = (x, y).) Toto zobrazení je izomorfismus mezi euklidovským prostorem a