Obrázek z původní Laplaceovy transformace. Laplaceova transformace Základní definice vlastností jsou Duhamelův vzorec. Přímá Laplaceova transformace

Řešit lineární diferenciální rovnice použijeme Laplaceovu transformaci.

Laplaceova transformace zavolejte poměr

přiřazování funkcí x (t) skutečná proměnná t funkce shody X (s) komplexní proměnná s (s = σ+ jω). Kde x (t) se nazývají originál, X (s)- obraz nebo Laplaceův obrázek a s- Laplaceova transformační proměnná. Originál je označen malými písmeny a jeho obrázek je psán velkými písmeny stejného jména.

Předpokládá se, že funkce X(t) podléhající Laplaceově transformaci má následující vlastnosti:

1) funkce x (t) je definován a po částech diferencovatelný v intervalu kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Přednáška 7 FUNKCE PROVOZOVATELŮ OBVODŮ Vstupní a přenosové funkce operátora Póly a nuly obvodových funkcí 3 Závěry Vstupní a přenosové funkce operátora Operátorská funkce řetězce je vztah

68 Přednáška 7 PŘECHODNÉ PROCESY V OBVODECH PRVNÍHO OBJEDNÁVKY Plán 1 Přechodové děje v RC obvodech prvního řádu 2 Přechodové děje v R-obvodech prvního řádu 3 Příklady výpočtu přechodových dějů v obvodech

4 LINEÁRNÍ ELEKTRICKÉ OKRUHY AC SINUSOIDÁLNÍHO PROUDU A METODY ICH VÝPOČTU 4.1 ELEKTRICKÉ STROJE. PRINCIP SINUSOIDÁLNÍ SOUČASNÉ GENERACE 4.1.012. Sinusový proud se nazývá okamžitý

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "KUBANSKÁ STÁTNÍ UNIVERZITA" Fyzikálně -technologická fakulta Katedra optoelektroniky

~ ~ FKP Derivát funkce komplexní proměnné FKP Cauchyho - Riemannova podmínka konceptu pravidelnosti FKP Obraz a forma komplexního čísla Forma FKP: kde skutečná funkce dvou proměnných je reálná

Oddíl II. Matematická analýza

E. Yu. Anokhina

HISTORIE ROZVOJE A FORMA TEORIE FUNKCE KOMPLEXNÍ VARIABILY (TFVP) VZDĚLÁVACÍM PŘEDMĚTEM

Jedním z obtížných kurzů matematiky je kurz TFKP. Složitost tohoto kurzu je dána především rozmanitostí jeho vzájemných vztahů s jinými matematickými obory, historicky vyjádřenými v širokém aplikovaném směru vědy TFKP.

Ve vědecké literatuře k dějinám matematiky jsou roztroušeny informace o historii vývoje TFKP, vyžadují systematizaci a zobecnění.

V tomto ohledu je hlavním úkolem tohoto článku stručně popsat vývoj TFKP a formování této teorie jako akademického předmětu.

V důsledku studie byly identifikovány následující tři fáze vývoje TFKP jako vědeckého a akademického předmětu:

Fáze vzniku a rozpoznávání komplexních čísel;

Fáze akumulace věcného materiálu podle funkcí imaginárních hodnot;

Fáze formování teorie funkcí komplexní proměnné.

První etapa vývoje TFKP (polovina XVI. Století - XVIII. Století) začíná dílem G. Cardana (1545), který vydal dílo „Artis magnae sive de regulis algebraitis“ (Velké umění neboli o algebraických pravidlech ). Hlavním úkolem práce J. Cardana bylo zdůvodnit obecné algebraické metody pro řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně, nedlouho předtím, než je objevili Ferro (1465-1526), ​​Tartaglia (1506-1559) a Ferrari (1522 -1565). Pokud je kubická rovnice redukována na formu

x3 + px + q = 0,

a mělo by tam být

Když (μ ^ Ap V (| - 70 má rovnice tři skutečné kořeny, dva z nich

jsou si navzájem rovni. Pokud pak rovnice má jednu skutečnou a dvě ko-

zkroucený komplexní kořen. V konečném výsledku se objevují složitá čísla, takže G. Cardano mohl udělat to, co udělal před ním: prohlásit rovnici za

jeden kořen. Když (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

nazývaný neredukovatelný případ se vyznačuje jednou zvláštností, se kterou se setkal až v 16. století. Rovnice x3 - 21x + 20 = 0 má tři skutečné kořeny 1, 4, - 5, což je snadné

ujistěte se jednoduchým nahrazením. Ale ^ du + y _ ^ 20y + ^ -21y _ ^ ^ ^; proto podle obecného vzorce x = ^ -10 + ^ -243 - ^ -10-4 ^ 243. Komplexní, tj. „Falešné“, číslo zde není výsledkem, ale přechodným termínem ve výpočtech, které vedou ke skutečným kořenům dotyčné rovnice. J. Cardano čelil potížím a uvědomil si, že aby byla zachována obecnost této formule, je nutné upustit od úplné ignorace komplexních čísel. J. D'Alembert (1717-1783) věřil, že to byla právě tato okolnost, kvůli které se J. Cardano a matematici, kteří tuto myšlenku řídili, začali vážně zajímat o komplexní čísla.

V této fázi (v 17. století) byly obecně přijímány dva úhly pohledu. První úhel pohledu vyjádřil Girard, který nastolil otázku uznání potřeby neomezeného používání komplexních čísel čímkoli. Druhým byl Descartes, který popřel možnost interpretace komplexních čísel. Naproti Descartovu názoru byl úhel pohledu J. Wallise - o existenci skutečné interpretace komplexních čísel Descartes ignoroval. Složitá čísla začala být „nucena“ používat při řešení aplikovaných problémů v situacích, kdy použití reálných čísel vedlo ke složitému výsledku, nebo výsledek nebylo možné získat teoreticky, ale měl praktickou implementaci.

Intuitivní používání komplexních čísel vedlo k potřebě zachovat zákony a pravidla aritmetiky reálných čísel pro sadu komplexních čísel, zejména docházelo k pokusům o přímý přenos. To někdy vedlo k mylným výsledkům. V tomto ohledu se otázky týkající se ospravedlnění komplexních čísel a konstrukce algoritmů pro jejich aritmetiku staly aktuálními. To byl začátek nové etapy ve vývoji TFKP.

Druhá etapa vývoje TFKP (počátek 18. století - 19. století). V XVIII století. L. Euler vyjádřil myšlenku algebraické uzavřenosti pole komplexních čísel. Algebraická uzavřenost pole komplexních čísel C vedla matematiky k následujícím závěrům:

Že studium funkcí a matematická analýza obecně získají správnou úplnost a úplnost pouze při zvažování chování funkcí v komplexní oblasti;

Za proměnné je nutné považovat komplexní čísla.

V roce 1748 L. Euler (1707-1783) ve své práci „Úvod do analýzy nekonečně malých“ představil komplexní proměnnou jako nejobecnější koncept proměnné, využívající komplexní čísla při rozšiřování funkcí do lineárních faktorů. L. Euler je právem považován za jednoho z tvůrců TFKP. V pracích L. Eulera byly podrobně studovány elementární funkce komplexní proměnné (1740-1749), uvedeny podmínky pro diferencovatelnost (1755) a počátek integrálního počtu funkcí komplexní proměnné (1777). L. Euler prakticky zavedl konformní mapování (1777). Tyto mapování nazýval „podobnými v malém“ a výraz „konformní“ poprvé použil zřejmě petrohradský akademik F. Schubert (1789). L. Euler také vedl četné aplikace funkcí komplexní proměnné k různým matematickým problémům a položil základ pro jejich aplikaci v hydrodynamice (1755-1757) a kartografii (1777). K. Gauss formuluje definici integrálu v komplexní rovině, integrální větu o rozšíření analytické funkce v mocninných řadách. Laplace používá složité proměnné k výpočtu obtížných integrálů a vyvíjí metodu pro řešení lineárních, diferenčních a diferenciálních rovnic známou jako Laplaceova transformace.

Od roku 1799 se objevují díla, ve kterých jsou uvedeny více či méně pohodlné interpretace komplexního čísla a definovány akce s nimi. Poměrně obecný teoretický výklad a geometrický výklad vydal K. Gauss teprve v roce 1831.

L. Euler a jeho současníci zanechali potomkům bohaté dědictví v podobě nahromaděných, někde systematizovaných, někde ne, ale přesto roztroušených faktů o TFKP. Můžeme říci, že faktický materiál o funkcích imaginárních veličin jakoby vyžadoval jeho systematizaci ve formě teorie. Tato teorie začala svou formaci.

Třetí etapa formování TFKP (XIX. Století - XX. Století). Hlavní zásluhy zde mají O. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) a K. Weierstrass (1815-1897). Každý z nich představoval jeden ze směrů vývoje TFKP.

Představitelem prvního směru, kterému se v dějinách matematiky říkalo „teorie monogenních nebo diferencovatelných funkcí“, byl O. Cauchy. Formalizoval rozptýlené skutečnosti o diferenciálním a integrálním počtu funkcí komplexní proměnné, objasnil význam základních pojmů a operací s imaginárními. O. Cauchy vysvětlil teorii limitů a na ní založenou teorii řad a elementárních funkcí, formuloval větu, která zcela vyjasňuje doménu konvergence mocenské řady. V roce 1826 O. Cauchy zavedl termín: dedukce (doslova: zbytek). Ve svých spisech v letech 1826 až 1829 vytvořil teorii dedukcí. O. Cauchy odvodil integrální vzorec; získal teorém existence pro rozšíření funkce komplexní proměnné v mocninných řadách (1831). O. Cauchy položil základy teorie analytických funkcí několika proměnných; určil hlavní větve vícehodnotových funkcí komplexní proměnné; první použité rovinné řezy (1831-1847). V roce 1850 představil koncept monodromních funkcí, rozlišoval třídu monogenních funkcí.

Následovníkem O. Cauchyho byl B. Riemann, který si také vytvořil vlastní „geometrický“ (druhý) směr vývoje TFKP. Ve svých pracích překonal izolovanost představ o funkcích složitých proměnných a vytvořil nová oddělení této teorie, úzce související s jinými obory. Riemann udělal významný nový krok v historii teorie analytických funkcí, navrhl spojit s každou funkcí komplexní proměnné reprezentaci mapování jedné oblasti do druhé. Stanovil rozdíl mezi funkcemi komplexu a skutečné proměnné. B. Riemann položil základ pro geometrickou teorii funkcí, představil Riemannův povrch, rozvinul teorii konformních map, vytvořil spojení mezi analytickými a harmonickými funkcemi a zavedl funkci zeta.

Další vývoj TFKP probíhal jiným (třetím) směrem. Základem byla možnost reprezentace funkcí mocninnými řadami. Název „analytický“ v tomto směru uvízl v historii. Formovalo se to v dílech K. Weierstrassa, v nichž dostal do popředí koncept jednotné konvergence. K. Weierstrass formuloval a dokázal větu o zákonnosti redukce podobných výrazů v sérii. K. Weierstrass získal zásadní výsledek: limit posloupnosti analytických funkcí rovnoměrně sbíhajících uvnitř určité domény je analytická funkce. Dokázal zobecnit Cauchyovu větu o rozšíření funkce komplexní proměnné v mocenské řadě a popsal proces analytického pokračování mocninných řad a její aplikaci na reprezentaci řešení soustavy diferenciálních rovnic. K. Weierstrass prokázal skutečnost nejen absolutní konvergence řady, ale také jednotné konvergence. Objeví se Weierstrassova věta o rozšíření celé funkce na produkt. Položí základy teorie analytických funkcí několika proměnných, konstruuje teorii dělitelnosti mocninných řad.

Zvažte vývoj teorie analytických funkcí v Rusku. Ruští matematici 19. století. dlouho se nechtěli věnovat novému oboru matematiky. Navzdory tomu lze pojmenovat několik jmen, pro která nebyla cizí, a uvést některá díla a úspěchy těchto ruských matematiků.

Jedním z ruských matematiků byl M.V. Ostrogradsky (1801-1861). O výzkumu M.V. O Ostrogradském v oblasti teorie analytických funkcí se toho ví jen málo, ale O. Cauchy ocenil tohoto mladého ruského vědce, který použil integrály a dal nové důkazy o vzorcích a zobecnil další vzorce. M.V. Ostrogradskiy napsal článek „Poznámky k určitým integrálům“, ve kterém odvodil Cauchyův vzorec pro odpočet funkce vzhledem k pólu n -tého řádu. V rozsáhlém veřejném přednáškovém kurzu v letech 1858-1859 nastínil aplikaci teorie zbytků a Cauchyho vzorce na výpočet určitých integrálů.

Řada děl N.I. Lobachevsky, které mají přímý význam pro teorii funkcí komplexní proměnné. Teorie elementárních funkcí komplexní proměnné je obsažena v jeho práci „Algebra aneb výpočet konečných“ (Kazan, 1834). Ve kterém jsou cos x a sin x původně určeny pro x real jako real a

imaginární část funkce ex ^. Pomocí dříve stanovených vlastností exponenciální funkce a rozšíření výkonu jsou odvozeny všechny základní vlastnosti goniometrických funkcí. Podle-

Lobačevskij zjevně přikládal zvláštní důležitost takové čistě analytické konstrukci trigonometrie, nezávislé na euklidovské geometrii.

Lze tvrdit, že v posledních desetiletích 19. století. a první dekáda XX století. zásadní výzkum v teorii funkcí komplexní proměnné (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) spočíval v postupném vyjasňování skutečnosti, že geometrie Lobachevského je současně geometrií analytických funkcí jednoho komplexu proměnná.

V roce 1850 profesor Petrohradské univerzity (pozdější akademik) I.I. Somov (1815-1876) publikoval Základy teorie analytických funkcí, které vycházely z Jacobiho Nových základů.

Prvním skutečně „originálním“ ruským badatelem v oblasti teorie analytických funkcí komplexní proměnné byl Yu.V. Sokhotsky (1842-1929). Obhájil diplomovou práci „Teorie integrálních zbytků s některými aplikacemi“ (Petrohrad, 1868). Od podzimu 1868 Yu.V. Sokhotsky absolvoval kurzy teorie funkcí imaginární proměnné a pokračujících zlomků s aplikacemi pro analýzu. Diplomová práce Yu.V. Sokhotskii se věnuje aplikacím teorie zbytků na inverzi mocninných řad (Lagrangeova řada) a zejména rozšiřování analytických funkcí v pokračujících frakcích a také Legendrovým polynomům. V tomto příspěvku je formulována a prokázána slavná věta o chování analytické funkce v sousedství v podstatě singulárního bodu. Doktorská disertační práce Sokhotského

(1873) poprvé představil v rozšířené podobě koncept integrálu typu Cauchy: * y ^ & _ kde

a a b jsou dvě libovolná komplexní čísla. Předpokládá se, že integrál je veden podél nějaké křivky („trajektorie“) spojující a a b. V tomto článku je prokázána řada vět.

Velkou roli v historii analytických funkcí hrály práce N.E. Žukovskij a S.A. Chaplygin, který objevil neomezenou oblast svých aplikací v aerodynamice a hydromechanice.

Když mluvíme o vývoji teorie analytických funkcí, nelze nezmínit studie S.V. Kovalevskaya, ačkoli jejich hlavní význam leží mimo rozsah této teorie. Úspěch její práce byl způsoben zcela novou formulací problému z hlediska teorie analytických funkcí a uvažováním času t jako komplexní proměnné.

Na přelomu XX. povaha vědeckého výzkumu v oblasti teorie funkcí komplexní proměnné se mění. Pokud dříve byla většina výzkumu v této oblasti prováděna z hlediska vývoje jednoho ze tří směrů (teorie monogenních nebo diferencovatelných funkcí Cauchy, geometrické a fyzikální představy Riemanna, analytický směr Weierstrass), nyní rozdíly a související spory jsou překonávány, rychle existuje a roste počet děl, ve kterých se provádí syntéza myšlenek a metod. Jedním ze základních konceptů, na nichž bylo jasně odhaleno spojení a korespondence geometrických reprezentací a aparátu mocninných řad, byl koncept analytického pokračování.

Na konci 19. století. teorie funkcí komplexní proměnné zahrnuje širokou škálu oborů: geometrickou teorii funkcí založenou na teorii konformních mapování a Riemannových plochách. Získali jsme integrální formu teorie různých typů funkcí: celých a meromorfních, eliptických a modulárních, automorfních, harmonických, algebraických. V těsné souvislosti s druhou třídou funkcí byla vyvinuta teorie abelianských integrálů. S tímto komplexem sousedila analytická teorie diferenciálních rovnic a analytická teorie čísel. Teorie analytických funkcí vytvořila a posílila vazby na další matematické obory.

Bohatství vzájemných vztahů TFKP s algebrou, geometrií a dalšími vědami, vytváření systematických základů vědy samotné TFKP, její velký praktický význam přispěly k formování TFKP jako akademického předmětu. Současně s dokončením formování základů byly do teorie analytických funkcí zavedeny nové myšlenky, které výrazně změnily její složení, povahu a cíle. Objevují se monografie, které obsahují systematickou prezentaci teorie analytických funkcí stylem blízkým axiomatice a mají také vzdělávací cíle. Význam výsledků na TFKP, které získali vědci sledovaného období, je zřejmě přiměl k popularizaci TFKP formou přednášení a publikování monografických studií z pohledu výuky. Můžeme učinit závěr o vzniku TFKP jako vzdělávacího

předmět. V roce 1856 vydali C. Briot a T. Bouquet krátkou monografii „Vyšetřování funkcí imaginární proměnné“, která je v podstatě první učebnicí. Na přednáškách se začaly rozvíjet obecné pojmy v teorii funkcí komplexní proměnné. Od roku 1856 K. Weierht -rass přednášel o reprezentaci funkcí pomocí konvergentních mocninných řad a od roku 1861 - o obecné teorii funkcí. V roce 1876 se objevilo zvláštní dílo K. Weierstrassa: „O teorii analytických funkcí s jednou hodnotou“ a v roce 1880 „O doktríně funkcí“, ve kterém jeho teorie analytických funkcí získala určitou úplnost.

Weierstrassovy přednášky sloužily mnoho let jako prototyp učebnic teorie teorie funkcí komplexní proměnné, které se od té doby začaly objevovat poměrně často. Právě na jeho přednáškách byl v podstatě vybudován moderní standard přísnosti v matematické analýze a byla zdůrazněna struktura, která se stala tradiční.

BIBLIOGRAFICKÝ SEZNAM

1. Andronov I.K. Matematika reálných a komplexních čísel. Moskva: Vzdělávání, 1975.

2. Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století. Moskva: ONTI, 1937. Část 1.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. Moskva: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Teorie analytických funkcí. M.: Stát. nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.

5. Matematika 19. století. Geometrie. Teorie analytických funkcí / ed. A. N. Kolmogorov a A. P. Juškevič. Moskva: Nauka, 1981.

6. Matematická encyklopedie / kap. vyd. I. M. Vinogradov. Moskva: Sovětská encyklopedie, 1977. vol.

7. Encyklopedie matematiky / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. Moskva: Sovětská encyklopedie, 1979. vol.

8. Young V.N. Základy nauky o čísle v 18. a na počátku 19. století. M.: Uchpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Dějiny matematiky. Moskva: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1963. Část 2.

NE. Lyakhova DOTYKOVÉ PLÁNOVÉ KŘIVKY

Otázka tangenty rovinných křivek v případě, že jsou abscisy společných bodů nalezeny z rovnice tvaru Pn x = 0, kde P x ​​je nějaký polynom, přímo souvisí s otázkou

na multiplicitu kořenů polynomu Pn x. V tomto článku jsou formulovány odpovídající příkazy pro případy explicitního a implicitního přiřazení funkcí, jejichž grafy jsou křivky, a je ukázána aplikace těchto příkazů při řešení problémů.

Pokud mají křivky, které jsou grafy funkcí y = f (x) a y = cp x, společný bod

M () x0; v0, tj. y0 = f x0 = cp x0 a tečny k naznačeným křivkám nakresleným v bodě M () x0; v0 se neshodují, pak říkají, že křivky y = fix) a y - cp x se protínají v bodě Mo xo; Yo

Obrázek 1 ukazuje příklad průniku funkčních grafů.

Toto je název jiného typu integrálních transformací, který je společně s Fourierovou transformací široce používán v rádiovém inženýrství k řešení široké škály problémů souvisejících se studiem signálů.

Komplexní koncept frekvence.

Spektrální metody, jak je již známo, jsou založeny na skutečnosti, že zkoumaný signál je reprezentován jako součet nekonečně velkého počtu elementárních členů, z nichž každý se periodicky mění v čase podle zákona.

Přirozená generalizace tohoto principu spočívá ve skutečnosti, že místo komplexních exponenciálních signálů s čistě imaginárními indikátory jsou v úvahu brány exponenciální signály formy, kde je komplexní číslo: nazývá se komplexní frekvence.

Dva takové složité signály lze použít ke složení skutečného signálu, například podle následujícího pravidla:

kde je hodnota komplexního konjugátu.

Skutečně, v tomto případě

V závislosti na volbě reálných a imaginárních částí komplexní frekvence lze získat různé skutečné signály. Takže, pokud, ale dostanete obvyklé harmonické kmity tvaru If, pak, v závislosti na znaménku, získáte buď rostoucí nebo klesající exponenciální oscilace v čase. Takové signály získávají složitější formu, když. Zde multiplikátor popisuje obálku, která se v průběhu času exponenciálně mění. Některé typické signály jsou znázorněny na obr. 2.10.

Koncept komplexní frekvence se ukazuje být velmi užitečný především proto, že umožňuje bez použití generalizovaných funkcí získat spektrální reprezentace signálů, jejichž matematické modely nejsou integrovatelné.

Rýže. 2.10. Skutečné signály odpovídající různým hodnotám komplexní frekvence

Další úvaha je také zásadní: exponenciální signály formy (2.53) slouží jako „přirozený“ prostředek ke studiu oscilací v různých lineárních systémech. Tyto otázky budou prozkoumány v Ch. osm.

Je třeba poznamenat, že skutečná fyzická frekvence je imaginární součástí komplexní frekvence. Pro skutečnou část komplexní frekvence neexistuje žádný speciální výraz.

Základní vztahy.

Nechť je nějaký signál, skutečný nebo komplexní, definovaný v t> 0 a rovný nule v záporných časových hodnotách. Laplaceova transformace tohoto signálu je funkcí komplexní proměnné dané integrálem:

Signál se nazývá původní a funkce se nazývá jeho Laplaceův obraz (zkráceně jen obraz).

Podmínka, která zajišťuje existenci integrálu (2.54), je následující: signál nesmí mít více než exponenciální rychlost růstu, tj. Musí splňovat nerovnost, kde jsou kladná čísla.

Když je tato nerovnost splněna, funkce existuje v tom smyslu, že integrál (2.54) absolutně konverguje pro všechna komplexní čísla, pro která je číslo a nazývána přímka absolutní konvergence.

Proměnnou v hlavním vzorci (2.54) lze ztotožnit s komplexní frekvencí Skutečně na čistě imaginární komplexní frekvenci, když se vzorec (2.54) změní na vzorec (2.16), který určuje Fourierovu transformaci signálu, který je nulový při Lze tedy uvažovat o Laplaceově transformaci

Stejně jako se to děje v teorii Fourierovy transformace, je možné, při znalosti obrazu, obnovit originál. Za tímto účelem ve vzorci inverzní Fourierovy transformace

mělo by být provedeno analytické pokračování, přecházející z imaginární proměnné na komplexní argument a. V rovině komplexní frekvence je integrace prováděna podél nekonečně rozšířené svislé osy umístěné vpravo od úsečky absolutní konvergence. Protože at je diferenciál, má vzorec pro inverzní Laplaceovu transformaci formu

V teorii funkcí komplexní proměnné je dokázáno, že Laplaceovy obrazy mají „dobré“ vlastnosti z hlediska hladkosti: takové obrazy ve všech bodech komplexní roviny, s výjimkou spočítatelné sady tzv. singulární body, jsou analytické funkce. Singulární body jsou zpravidla póly, jednoduché nebo vícenásobné. Proto pro výpočet integrálů formy (2.55) lze použít flexibilní metody teorie zbytků.

V praxi jsou široce používány transformační tabulky Laplace, které shromažďují informace o korespondenci mezi originály. a obrázky. Díky přítomnosti tabulek byla metoda Laplaceovy transformace populární jak v teoretických studiích, tak v technických výpočtech radiotechnických zařízení a systémů. V dodatcích k je taková tabulka, která vám umožňuje vyřešit poměrně širokou škálu problémů.

Příklady výpočtu Laplaceových transformací.

Metody výpočtu obrazu mají mnoho společného s tím, co již bylo studováno ve vztahu k Fourierově transformaci. Zvažme nejtypičtější případy.

Příklad 2.4, obrázek zobecněné exponenciální hybnosti.

Nechť je, kde je pevné komplexní číslo. Přítomnost -funkce určuje rovnost při použití vzorce (2.54), který máme

Pokud pak čitatel zmizí, když je nahrazen horní limit. V důsledku toho získáváme korespondenci

Jako zvláštní případ vzorce (2.56) můžete najít obrázek skutečného exponenciálního video pulsu:

a komplexní exponenciální signál:

Nakonec vložením (2.57) najdeme obraz funkce Heaviside:

Příklad 2.5. Obrázek funkce Delta.

Laplaceova transformace- integrální transformace spojující funkci F (s) (\ Displaystyle \ F (s)) komplexní proměnná ( obraz) s funkcí F (X) (\ Displaystyle \ f (x)) skutečná proměnná ( originál). S jeho pomocí jsou zkoumány vlastnosti dynamických systémů a řešeny diferenciální a integrální rovnice.

Jedním z rysů Laplaceovy transformace, který předurčil její široké použití ve vědeckých a technických výpočtech, je, že mnoho poměrů a operací na originálech odpovídá jednodušším poměrům nad jejich obrazy. Konvoluce dvou funkcí je tedy v prostoru obrazu redukována na operaci násobení a lineární diferenciální rovnice se stávají algebraickými.

Collegiate YouTube

1 / 5

✪ Laplaceova transformace - bezbotvy

✪ Přednáška 10: Laplaceova transformace

✪ Vyšší matematika - 4. Laplaceovy transformace. Část 1

✪ Laplaceova metoda řešení diferenciálních rovnic

✪ Přednáška 11: Aplikace Laplaceovy transformace na řešení diferenciálních rovnic

Titulky

Definice

Přímá Laplaceova transformace

lim b → ∞ ∫ 0 b | f (x) | e - σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f (x) | e - σ 0 xdx, (\ Displaystyle \ lim _ (b \ až \ infty) \ int \ limity _ (0) ^ (b) | f (x) | e ^ ( - \ sigma _ (0) x) \ , dx = \ int \ limity _ (0) ^ (\ infty) | f (x) | e ^ (- \ sigma _ (0) x) \, dx,)

pak absolutně a jednotně konverguje pro a je analytickou funkcí pro σ ⩾ σ 0 (\ Displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _ (0)) (σ = R e s (\ Displaystyle \ sigma = \ mathrm (Re) \, s)- skutečná část komplexní proměnné s (\ Displaystyle s)). Přesný spodní okraj σ A (\ Displaystyle \ sigma _ (a)) sady čísel σ (\ Displaystyle \ sigma), za kterých je tato podmínka splněna, se nazývá úsečka absolutní konvergence Laplaceova transformace pro tuto funkci.

• Podmínky pro existenci přímé Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace L (f (x)) (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (x) \)) existuje ve smyslu absolutní konvergence v následujících případech:

1. σ ⩾ 0 (\ Displaystyle \ sigma \ geqslant 0): Laplaceova transformace existuje, pokud existuje integrál ∫ 0 ∞ | f (x) | d X (\ Displaystyle \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) | f (x) | \, dx);
2. σ> σ a (\ Displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a)): Laplaceova transformace existuje, pokud je integrál ∫ 0 x 1 | f (x) | d X (\ Displaystyle \ int \ limity _ (0) ^ (x_ (1)) | f (x) | \, dx) existuje na každém konci x 1> 0 (\ Displaystyle x_ (1)> 0) a | f (x) | ⩽ K E σ A X (\ Displaystyle | F (X) | \ leqslant Ke ^ (\ sigma _ (a) x)) pro x> x 2 ⩾ 0 (\ Displaystyle x> x_ (2) \ geqslant 0);
3. σ> 0 (\ Displaystyle \ sigma> 0) nebo σ> σ a (\ Displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a))(která z hranic je větší): Laplaceova transformace existuje, pokud pro tuto funkci existuje Laplaceova transformace F ′ (X) (\ Displaystyle f "(x))(odvozený od F (X) (\ Displaystyle f (x))) pro σ> σ a (\ Displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a)).

Poznámka

• Podmínky pro existenci inverzní Laplaceovy transformace

K existenci inverzní Laplaceovy transformace stačí následující podmínky:

1. Pokud obrázek F (s) (\ Displaystyle F (s))- analytická funkce pro σ ⩾ σ A (\ Displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _ (a)) a má řád menší než −1, pak pro něj existuje inverzní transformace a je spojitá pro všechny hodnoty argumentu a L - 1 (F (s)) = 0 (\ Displaystyle (\ mathcal (L)) ^ ( - 1) \ (F (s) \) = 0) pro t ⩽ 0 (\ Displaystyle t \ leqslant 0).
2. Nech být F (s) = φ [F 1 (s), F 2 (s),…, F n (s)] (\ Displaystyle F (s) = \ varphi), tak φ (z 1, z 2,…, z n) (\ Displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analytický o každém z k (\ Displaystyle z_ (k)) a rovná se nule pro z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ Displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), a F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ Displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dvojtečka k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), pak existuje inverzní transformace a odpovídající dopředná transformace má absolutní konvergenční úsečku.

Poznámka: to jsou dostatečné podmínky pro existenci.

• Konvoluční věta

Hlavní článek: Konvoluční věta

• Rozlišování a integrace originálu

Laplaceův obraz první derivace originálu s ohledem na argument je součinem obrazu druhého argumentu mínus originál na nule vpravo:

L (f '(x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ Displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Věty o počáteční a konečné hodnotě (věty o limitu):

F (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ Displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) pokud všechny póly funkce s F (s) (\ Displaystyle sF (s)) jsou v levé polorovině.

Věta o konečných hodnotách je velmi užitečná, protože popisuje chování originálu v nekonečnu pomocí jednoduchého vztahu. To se například používá k analýze stability trajektorie dynamického systému.

• Další vlastnosti

Linearita:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ Displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Násobení číslem:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ Displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ left ((\ frac (s) (a)) \ right).)

Přímá a inverzní Laplaceova transformace některých funkcí

Níže je tabulka Laplaceovy transformace pro některé funkce.

№	Funkce	Časová doména X (t) = L - 1 (X (s)) (\ Displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ ( - 1) \ (X (s) \))	Frekvenční doména X (s) = L (x (t)) (\ Displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Konvergenční region pro kauzální systémy
1	perfektní zpoždění	δ (t - τ) (\ Displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ Displaystyle e ^ ( - \ tau s) \)
1a	jediný impuls	δ (t) (\ Displaystyle \ delta (t) \)	1 (\ Displaystyle 1 \)	∀ s (\ Displaystyle \ forall s \)
2	zpoždění n (\ Displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ Displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ Displaystyle (\ frac (e ^ ( - \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2a	usedlý n (\ Displaystyle n)-pořadí	t n n! ⋅ H (t) (\ Displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ Displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2a.1	usedlý q (\ Displaystyle q)-pořadí	T q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ Displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ Displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2a.2	funkce jednotky	H (t) (\ Displaystyle H (t) \)	1 s (\ Displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2b	funkce zpožďovací jednotky	H (t - τ) (\ Displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ Displaystyle (\ frac (e ^ ( - \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2c	Rychlostní krok	t ⋅ H (t) (\ Displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ Displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
2d	n (\ Displaystyle n)-th pořadí s frekvenčním posunem	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ Displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ Displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ Displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	exponenciální rozpad	e - α t ⋅ H (t) (\ Displaystyle e ^ ( - \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ Displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ Displaystyle s> - \ alpha \)
3	exponenciální aproximace	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle (1 -e ^ ( - \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ Displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0 \)
4	sinus	hřích ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0 \)
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0 \)
6	hyperbolický sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ Displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ Displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hyperbolický kosinus	C h (α t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ Displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ Displaystyle s> | \ alpha | \)
8	exponenciálně chátrající sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle e ^ ( - \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ Displaystyle s> - \ alpha \)
9	exponenciálně chátrající kosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle e ^ ( - \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ Displaystyle s> - \ alpha \)
10	vykořenit n (\ Displaystyle n)-pořadí	t n ⋅ H (t) (\ Displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ Displaystyle s ^ ( - (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ left (1 + (\ frac (1) (n) ) \ že jo))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
11	přirozený logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ ln \ left ((\ frac (t) (t_ (0))) \ right) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ Displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
12	Besselova funkce první druh objednat n (\ Displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2) ))) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ Displaystyle (n> -1) \)
13	první druh objednat n (\ Displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ Displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2) ))) \ right) ^ ( - n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ Displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besselova funkce druhý druh nulové pořadí	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ Displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2))))))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0 \)
15	upravená Besselova funkce druhý druh, nulové pořadí	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	chybová funkce	E r F (t) ⋅ H (t) (\ Displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ Displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ Displaystyle s> 0)
Poznámky k tabulce: H (t) (\ Displaystyle H (t) \); α (\ Displaystyle \ alpha \), β (\ Displaystyle \ beta \), τ (\ Displaystyle \ tau \) a ω (\ Displaystyle \ omega \) - Vztah s jinými transformacemi Zásadní souvislosti Mellinova transformace Mellinova transformace a inverzní Mellinova transformace souvisí s oboustrannou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných. Pokud v Mellinově transformaci G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ Displaystyle G (s) = (\ mathcal (M)) \ left \ (g (\ theta) \ right \) = \ int \ limity _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) dát θ = e - x (\ Displaystyle \ theta = e ^ ( - x)), pak dostaneme oboustrannou Laplaceovu transformaci. Z-transformace Z (\ Displaystyle Z)-transform je Laplaceova transformace mřížkové funkce vytvořená změnou proměnných: z ≡ e s T, (\ Displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Borelská transformace Integrální forma Borelovy transformace je identická s Laplaceovou transformací, existuje také zobecněná Borelova transformace, pomocí níž je použití Laplaceovy transformace rozšířeno na širší třídu funkcí. Bibliografie Van der Pol B., Bremer H. Operační počet založený na oboustranné Laplaceově transformaci. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integrální transformace a operační počet. - M .: Hlavní vydání fyzické a matematické literatury nakladatelství „Nauka“, 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuzněcov P.I. Provozní příručka kalkulu: Základy tabulek teorie a vzorce. - M .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Operační metody v aplikované matematice. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourierova řada a integrály. Teorie pole. Analytické a speciální funkce... Laplace transformuje. - M .: Nauka, 1964.- 184 s. Krasnov M.L., Makarenko G.I. Operační počet. Stabilita pohybu. - M .: Nauka, 1964.- 103 s. Mikusinský Y. Operátorský kalkul. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - 367 s. Romanovský P.I. Fourierova řada. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplace transformuje. - M .: Nauka, 1980.- 336 s.