ตัวกรองคาลมานสำหรับหลายเป้าหมายค การกรองคาลมาน ตัวแปรสุ่มอิสระ

มันเกิดขึ้นจนฉันชอบอัลกอริธึมทุกประเภทที่มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนและสมเหตุสมผล) แต่บ่อยครั้งที่คำอธิบายของพวกเขาบนอินเทอร์เน็ตเต็มไปด้วยสูตรและการคำนวณมากเกินไปจนเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจความหมายทั่วไปของอัลกอริทึม แต่การทำความเข้าใจสาระสำคัญและหลักการของอุปกรณ์ / กลไก / อัลกอริธึมนั้นสำคัญกว่าการจำสูตรขนาดใหญ่มาก ถึงแม้จะดูซ้ำซากแค่ไหน แต่การจำสูตรได้หลายร้อยสูตรก็ไม่ช่วยอะไรถ้าคุณไม่รู้ว่าจะนำไปใช้อย่างไรและที่ไหน 😉 จริงๆ แล้วทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร .. ฉันตัดสินใจกระตุ้นคำอธิบายของอัลกอริธึมบางตัวที่ ฉันต้องจัดการกับในทางปฏิบัติ ฉันจะพยายามไม่คำนวณทางคณิตศาสตร์มากเกินไปเพื่อให้เนื้อหาเข้าใจและอ่านง่าย

และวันนี้เราจะมาพูดถึง ตัวกรองคาลมานลองหาคำตอบว่ามันคืออะไร เพราะเหตุใด และใช้งานอย่างไร

เริ่มจากตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ กันก่อน สมมติว่าเรากำลังเผชิญกับภารกิจในการกำหนดพิกัดของเครื่องบินบิน และแน่นอนว่าพิกัด (เราแสดงว่า ) ควรถูกกำหนดให้แม่นยำที่สุดเท่าที่จะทำได้

บนเครื่องบิน เราได้ติดตั้งเซ็นเซอร์ไว้ล่วงหน้าซึ่งจะให้ข้อมูลตำแหน่งที่เรากำลังมองหา แต่เซ็นเซอร์ของเราจะไม่สมบูรณ์แบบเช่นเดียวกับทุกสิ่งในโลกนี้ ดังนั้นแทนที่จะเป็นค่า เราจะได้รับ:

ข้อผิดพลาดของเซ็นเซอร์อยู่ที่ไหนนั่นคือตัวแปรสุ่ม ดังนั้นจากการอ่านค่าอุปกรณ์วัดที่ไม่ถูกต้องเราต้องได้ค่าของพิกัด () ให้ใกล้เคียงกับตำแหน่งจริงของเครื่องบินมากที่สุด

ภารกิจได้รับการตั้งค่าแล้ว มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า

แจ้งให้เราทราบการดำเนินการควบคุม () เนื่องจากเครื่องบินบิน (นักบินบอกเราว่าเขาดึงคันโยกตัวไหน 😉) จากนั้น เมื่อทราบพิกัดที่ขั้นตอนที่ k เราจะได้ค่าที่ขั้นตอน (k+1):

ดูเหมือนว่านี่คือสิ่งที่คุณต้องการ! และไม่จำเป็นต้องใช้ตัวกรองคาลมานที่นี่ แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก. ในความเป็นจริง เราไม่สามารถคำนึงถึงปัจจัยภายนอกทั้งหมดที่ส่งผลต่อการบินได้ ดังนั้นสูตรจึงอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่เป็นข้อผิดพลาดที่เกิดจากอิทธิพลภายนอก ความไม่สมบูรณ์ของเครื่องยนต์ เป็นต้น

แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? ที่ขั้นตอน (k+1) ประการแรก เรามีการอ่านเซ็นเซอร์ที่ไม่ถูกต้อง และประการที่สอง ค่าที่คำนวณไม่ถูกต้อง ซึ่งได้มาจากค่าในขั้นตอนก่อนหน้า

แนวคิดของตัวกรองคาลมานคือการประมาณค่าพิกัดที่ต้องการ (สำหรับกรณีของเรา) ได้อย่างแม่นยำจากค่าที่ไม่ถูกต้องสองค่า (โดยคำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักที่แตกต่างกัน) ในกรณีทั่วไป ค่าที่วัดได้อาจเป็นค่าใดก็ได้ (อุณหภูมิ ความเร็ว ..) นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์เราสามารถรับสูตรในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์คาลมานในแต่ละขั้นตอน แต่ตามที่ตกลงกันไว้ตอนต้นของบทความ เราจะไม่เจาะลึกการคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการกำหนดในทางปฏิบัติแล้วว่าค่าสัมประสิทธิ์คาลมานมีแนวโน้มเสมอ ถึงค่าหนึ่งโดยการเพิ่ม k เราได้รับการทำให้สูตรของเราง่ายขึ้นเป็นครั้งแรก:

ตอนนี้ สมมติว่าไม่มีการสื่อสารกับนักบิน และเราไม่ทราบการดำเนินการควบคุม ดูเหมือนว่าในกรณีนี้เราจะใช้ตัวกรองคาลมานไม่ได้ แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น 😉 เราแค่ "โยน" สิ่งที่เราไม่รู้ออกจากสูตรออกไปแล้ว

เราได้รับสูตรคาลมานที่เรียบง่ายที่สุด ซึ่งถึงแม้จะมีการลดความซับซ้อนที่ "ยาก" เช่นนี้ แต่ก็สามารถรับมือกับงานได้อย่างสมบูรณ์แบบ หากคุณแสดงผลลัพธ์แบบกราฟิก คุณจะได้รับสิ่งนี้:

หากเซ็นเซอร์ของเราแม่นยำมาก ปัจจัยการถ่วงน้ำหนัก K ก็น่าจะใกล้เคียงกับความสามัคคีโดยธรรมชาติ หากสถานการณ์กลับกัน นั่นคือเซ็นเซอร์ของเราไม่ดีนัก K ก็ควรจะเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้น

บางทีนี่อาจเป็นทั้งหมดเหมือนกับที่เราเพิ่งค้นพบอัลกอริธึมการกรองคาลมาน! ฉันหวังว่าบทความนี้จะมีประโยชน์และเข้าใจได้ =)

ตัวกรองคาลมาน

ตัวกรองคาลมานถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในงานวิศวกรรมและเศรษฐมิติ ตั้งแต่ระบบเรดาร์และการมองเห็นไปจนถึงการประมาณค่าพารามิเตอร์แบบจำลองเศรษฐศาสตร์มหภาค การกรองคาลมานเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีการควบคุมและมีบทบาทสำคัญในการสร้างระบบควบคุม เมื่อใช้ร่วมกับตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง ตัวกรองคาลมานจะช่วยให้แก้ปัญหาการควบคุมแบบเกาส์เซียนเชิงเส้น-กำลังสองได้ ตัวกรองคาลมานและตัวควบคุมกำลังสองเชิงเส้น - วิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาพื้นฐานส่วนใหญ่ในทฤษฎีการควบคุม

ในการใช้งานส่วนใหญ่ จำนวนพารามิเตอร์ที่กำหนดสถานะของวัตถุจะมากกว่าจำนวนพารามิเตอร์ที่สังเกตได้สำหรับการวัด ด้วยความช่วยเหลือของแบบจำลองวัตถุสำหรับการวัดที่มีอยู่ ตัวกรองคาลมานช่วยให้คุณได้รับค่าประมาณของสถานะภายใน

ตัวกรองคาลมานมีไว้สำหรับการประเมินค่าเวกเตอร์สถานะของระบบไดนามิกที่รู้จักในนิรนัยต่ำเกินไปแบบเรียกซ้ำ นั่นคือในการคำนวณสถานะปัจจุบันของระบบ จำเป็นต้องทราบการวัดปัจจุบัน รวมถึงสถานะก่อนหน้าของตัวกรอง ตัวมันเอง ดังนั้นตัวกรองคาลมานก็เหมือนกับตัวกรองแบบเรียกซ้ำอื่นๆ ที่ถูกนำไปใช้ในเวลามากกว่าการแสดงความถี่

ตัวอย่างที่ชัดเจนของความสามารถของตัวกรองคือการได้รับค่าประมาณตำแหน่งและความเร็วของวัตถุที่แม่นยำและอัปเดตอย่างต่อเนื่อง โดยอิงตามผลลัพธ์ของอนุกรมเวลาของการวัดตำแหน่งของวัตถุที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ในเรดาร์ ภารกิจคือการติดตามเป้าหมาย กำหนดตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง ในขณะที่ผลการวัดจะค่อยๆ มีเสียงดังมาก ตัวกรองคาลมานใช้แบบจำลองความน่าจะเป็นของไดนามิกของเป้าหมาย ซึ่งระบุประเภทของวัตถุที่มีแนวโน้มจะเคลื่อนที่ ซึ่งช่วยลดผลกระทบจากสัญญาณรบกวน และให้การประมาณตำแหน่งของวัตถุในปัจจุบัน อนาคต หรือจุดเวลาที่ผ่านมาได้ดี

การแนะนำ

ตัวกรองคาลมานทำงานโดยใช้แนวคิดของเวกเตอร์สถานะระบบ (ชุดพารามิเตอร์ที่อธิบายสถานะของระบบ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง) และคำอธิบายทางสถิติ ในกรณีทั่วไป พลศาสตร์ของเวกเตอร์สถานะบางตัวอธิบายได้จากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการกระจายตัวของส่วนประกอบในแต่ละช่วงเวลา หากมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนของการสังเกตของระบบ เช่นเดียวกับแบบจำลองของการเปลี่ยนแปลงนิรนัยในพารามิเตอร์ของเวกเตอร์สถานะ (กล่าวคือ เป็นกระบวนการขึ้นรูปมาร์คอฟ) ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการสำหรับ a ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นด้านหลังของเวกเตอร์สถานะ ณ เวลาใดๆ สมการเชิงอนุพันธ์นี้เรียกว่าสมการสตราโตโนวิช สมการของสตราโตโนวิชในรูปแบบทั่วไปยังไม่ได้รับการแก้ไข โซลูชันเชิงวิเคราะห์สามารถรับได้เฉพาะในกรณีที่มีข้อจำกัดหลายประการ (สมมติฐาน):

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเกาส์เซียนนิรนัยและหลังอริออริของเวกเตอร์สถานะ ณ เวลาใดก็ได้ (รวมถึงเวกเตอร์เริ่มต้นด้วย)
เสียงที่สร้างแบบเกาส์เซียน
เกาส์เซียนิตีของสัญญาณรบกวนจากการสังเกต
ความขาวของเสียงสังเกต
ความเป็นเส้นตรงของแบบจำลองการสังเกต
ความเป็นเส้นตรงของแบบจำลองของกระบวนการขึ้นรูป (ซึ่งเราจำได้ว่าต้องเป็นกระบวนการมาร์คอฟ)

ตัวกรองคาลมานแบบดั้งเดิมเป็นสมการสำหรับการคำนวณช่วงเวลาที่หนึ่งและที่สองของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นด้านหลัง (ในแง่ของเวกเตอร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และเมทริกซ์ของความแปรปรวน รวมถึงช่วงเวลาที่มีร่วมกัน) ภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนด เนื่องจากสำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นปกติ ค่าคาดหวังและเมทริกซ์ความแปรปรวนจะกำหนดความหนาแน่นของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์ เราจึงสามารถพูดได้ว่าตัวกรองคาลมานจะคำนวณความหนาแน่นของความน่าจะเป็นด้านหลังของเวกเตอร์สถานะในแต่ละจุดของเวลา ซึ่งหมายความว่ามันอธิบายเวกเตอร์สถานะได้อย่างสมบูรณ์ว่าเป็นปริมาณเวกเตอร์แบบสุ่ม

ค่าที่คำนวณได้ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในกรณีนี้เป็นการประมาณการที่เหมาะสมที่สุดตามเกณฑ์ของข้อผิดพลาดรูต - ค่าเฉลี่ย - กำลังสองซึ่งทำให้เกิดการใช้งานที่กว้างขวาง

ตัวกรองคาลมานมีหลายประเภท ซึ่งมีการประมาณและเทคนิคที่แตกต่างกันซึ่งต้องใช้เพื่อลดตัวกรองให้อยู่ในรูปแบบที่อธิบายไว้และลดขนาด:

ตัวกรองคาลมานแบบขยาย (EKF, ตัวกรองคาลมานแบบขยาย) การกระทบยอดแบบจำลองการสังเกตแบบไม่เชิงเส้นและกระบวนการสร้างโดยการทำให้เป็นเส้นตรงผ่านการขยายซีรี่ส์เทย์เลอร์
ตัวกรองคาลมานไร้กลิ่น (UKF) มันถูกใช้ในปัญหาที่การทำให้เป็นเส้นตรงอย่างง่ายนำไปสู่การทำลายการเชื่อมโยงที่เป็นประโยชน์ระหว่างส่วนประกอบของเวกเตอร์สถานะ ในกรณีนี้ "การทำให้เป็นเส้นตรง" จะขึ้นอยู่กับการแปลงแบบไม่มีกลิ่น
ตัวกรองคาลมานทั้งมวล (EnKF) ใช้เพื่อลดมิติของปัญหา
มีตัวเลือกที่มีตัวกรองเพิ่มเติมที่ไม่ใช่เชิงเส้นได้ ซึ่งทำให้สามารถลดการสังเกตที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนให้เป็นค่าปกติได้
มีตัวเลือกพร้อมตัวกรอง "ไวท์เทนนิ่ง" ที่ช่วยให้คุณทำงานกับสัญญาณรบกวน "สี" ได้
ฯลฯ

แบบจำลองระบบไดนามิกที่ใช้แล้ว

ตัวกรองคาลมานจะขึ้นอยู่กับระบบไดนามิกเชิงเส้นที่สุ่มตัวอย่างตามเวลา ระบบดังกล่าวจำลองโดยโซ่มาร์คอฟโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้นและเงื่อนไขที่มีการแจกแจงแบบปกติ สถานะของระบบอธิบายโดยเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด - เวกเตอร์สถานะ ในแต่ละช่วงเวลา ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะกระทำกับเวกเตอร์สถานะและถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์สถานะอื่น (การเปลี่ยนแปลงสถานะที่กำหนด) เวกเตอร์สัญญาณรบกวนปกติบางส่วน (ปัจจัยสุ่ม) และในกรณีทั่วไป เวกเตอร์ควบคุมที่จำลองผลกระทบของ เพิ่มระบบควบคุมแล้ว ตัวกรองคาลมานสามารถมองได้ว่าเป็นอะนาล็อกของแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ โดยความแตกต่างคือตัวแปรที่อธิบายสถานะของระบบเป็นองค์ประกอบของเซตจำนวนจริงที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ตรงกันข้ามกับเซตจำกัดของพื้นที่สถานะในแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ ). นอกจากนี้ โมเดลมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่สามารถใช้การแจกแจงตามอำเภอใจสำหรับค่าเวกเตอร์สถานะที่ตามมา ซึ่งตรงกันข้ามกับตัวกรองคาลมาน ซึ่งใช้แบบจำลองสัญญาณรบกวนแบบกระจายตามปกติ มีความสัมพันธ์ที่เข้มงวดระหว่างสมการของตัวกรองคาลมานและแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ บทวิจารณ์โมเดลเหล่านี้และรุ่นอื่นๆ จัดทำโดย Roweis และ Chahramani (1999)

เมื่อใช้ตัวกรองคาลมานเพื่อรับค่าประมาณของเวกเตอร์สถานะของกระบวนการจากชุดการวัดที่มีสัญญาณรบกวน จำเป็นต้องแสดงแบบจำลองของกระบวนการนี้ตามโครงสร้างตัวกรอง - ในรูปแบบของสมการเมทริกซ์บางประเภท สำหรับทุกจังหวะ เคการดำเนินการกรองจำเป็นต้องกำหนดเมทริกซ์ตามคำอธิบายด้านล่าง: วิวัฒนาการของกระบวนการ เอฟ เค; เมทริกซ์การสังเกต ชม เค; เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของกระบวนการ ถาม เค; การวัดเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมทางเสียง ร เค; เมื่อมีการดำเนินการควบคุม - เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์ บี เค .

ภาพประกอบการดำเนินการกรอง เมทริกซ์จะถูกทำเครื่องหมายด้วยสี่เหลี่ยม วงรีทำเครื่องหมายเมทริกซ์ของการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร (รวมถึงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วม) เวกเตอร์จะถูกปล่อยทิ้งไว้โดยไม่มีวงกลม ในกรณีที่ง่ายที่สุด เมทริกซ์บางตัวไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ไม่ขึ้นอยู่กับดัชนี เค) แต่ยังคงใช้ตัวกรองในแต่ละรอบการทำงาน

แบบจำลองระบบ/กระบวนการบอกเป็นนัยถึงสถานะที่แท้จริงในขณะนั้น เคที่ได้รับจากสภาวะที่แท้จริงในขณะนั้น เค−1 ตามสมการ:

เอฟ เค- เมทริกซ์วิวัฒนาการกระบวนการ/ระบบที่ส่งผลต่อเวกเตอร์ x เค−1 (เวกเตอร์สถานะในขณะนี้ เค−1 );
บี เค- เมทริกซ์ควบคุมซึ่งใช้กับเวกเตอร์ของการดำเนินการควบคุม ยู เค ;
ว เค- กระบวนการสุ่มปกติที่ไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ถาม เคซึ่งอธิบายลักษณะสุ่มของการวิวัฒนาการของระบบ/กระบวนการ:

ในขณะนั้น เคการสังเกต (การวัด) ซี เคเวกเตอร์สถานะที่แท้จริง x เคซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยสมการ:

ที่ไหน ชม เค- เมทริกซ์ของการวัดที่เชื่อมต่อเวกเตอร์สถานะจริงและเวกเตอร์ของการวัดที่ทำ โวลต์ เค- สัญญาณรบกวนการวัดแบบเกาส์เซียนสีขาวที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ร เค :

สถานะเริ่มต้นและเวกเตอร์ของกระบวนการสุ่มในแต่ละรอบ ( x 0 , ว 1 , …, ว เค , โวลต์ 1 , …, โวลต์ เค) ถือว่าเป็นอิสระ

โมเดลนี้ไม่สามารถอธิบายระบบไดนามิกที่แท้จริงจำนวนมากได้อย่างถูกต้อง ในทางปฏิบัติ ไดนามิกที่ไม่ได้คำนึงถึงในแบบจำลองอาจทำให้ประสิทธิภาพของตัวกรองลดลงอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับสัญญาณสุ่มที่ไม่รู้จักที่อินพุต นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงที่ไม่คำนึงถึงในแบบจำลองอาจทำให้ตัวกรองไม่เสถียรได้ ในทางกลับกัน สัญญาณรบกวนสีขาวที่เป็นอิสระเป็นสัญญาณจะไม่ทำให้อัลกอริทึมแตกต่างออกไป งานในการแยกสัญญาณรบกวนจากการวัดออกจากไดนามิกที่ไม่สามารถระบุได้ในแบบจำลองนั้นเป็นเรื่องยาก โดยแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีระบบควบคุมที่แข็งแกร่ง

ตัวกรองคาลมาน

ตัวกรองคาลมานเป็นตัวกรองแบบเรียกซ้ำประเภทหนึ่ง ในการคำนวณการประมาณสถานะของระบบสำหรับรอบการทำงานปัจจุบันนั้นจำเป็นต้องมีการประมาณสถานะ (ในรูปแบบของการประมาณสถานะของระบบและการประมาณค่าข้อผิดพลาดในการกำหนดสถานะนี้) ที่ รอบการทำงานก่อนหน้าและการวัดที่รอบปัจจุบัน คุณสมบัตินี้แยกความแตกต่างจากตัวกรองแพ็คเก็ต ซึ่งต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับประวัติการวัดและ/หรือการประเมินในรอบการทำงานปัจจุบัน นอกจากนี้ การเขียนหมายถึงการประมาณค่าเวกเตอร์ที่แท้จริงในขณะนี้ nโดยคำนึงถึงการวัดตั้งแต่วินาทีที่เริ่มงานจนถึงขณะนั้น มรวมอยู่ด้วย

สถานะตัวกรองถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัว:

การวนซ้ำของตัวกรองคาลมานแบ่งออกเป็นสองระยะ: การประมาณค่าและการแก้ไข ในระหว่างการประมาณค่าตัวกรองจะได้รับการประเมินเบื้องต้นเกี่ยวกับสถานะของระบบ (ในวรรณคดีภาษารัสเซียมักแสดงแทน ซึ่งหมายถึง "การประมาณค่า" และ เค- จำนวนรอบที่ได้รับ) สำหรับขั้นตอนปัจจุบันตามการประเมินขั้นสุดท้ายของรัฐจากขั้นตอนก่อนหน้า (หรือการประเมินเบื้องต้นสำหรับรอบถัดไปตามการประเมินขั้นสุดท้ายของขั้นตอนปัจจุบันขึ้นอยู่กับ การตีความ). การประมาณการเบื้องต้นนี้เรียกอีกอย่างว่าการประมาณการสถานะก่อนหน้า เนื่องจากไม่ได้ใช้การสังเกตขั้นตอนที่เกี่ยวข้องเพื่อให้ได้มา ในขั้นตอนการแก้ไข การประมาณค่าเบื้องต้นจะเสริมด้วยการวัดปัจจุบันที่เกี่ยวข้องเพื่อแก้ไขการประมาณค่า การประมาณการที่ปรับปรุงแล้วเรียกอีกอย่างว่าการประมาณค่าสถานะภายหลัง หรือเรียกง่ายๆ ว่าการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ โดยปกติแล้วทั้งสองระยะนี้จะสลับกัน: การประมาณค่าจะดำเนินการตามผลลัพธ์ของการแก้ไขจนกระทั่งการสังเกตครั้งถัดไป และการแก้ไขจะดำเนินการร่วมกับการสังเกตที่มีอยู่ในขั้นตอนถัดไป เป็นต้น อย่างไรก็ตาม การพัฒนาเหตุการณ์อื่นเป็นไปได้ หากสำหรับบางคน เหตุผลที่การสังเกตกลายเป็นไม่สามารถเข้าถึงได้ จากนั้นขั้นตอนการแก้ไขอาจถูกข้ามและคาดการณ์จากการประมาณค่าที่ยังไม่ได้ปรับปรุง (การประมาณค่าแบบนิรนัย) ในทำนองเดียวกัน หากการวัดอิสระทำได้เฉพาะในบางรอบของงาน การแก้ไขยังคงเป็นไปได้ (โดยปกติจะใช้เมทริกซ์ของการสังเกตที่แตกต่างกัน ชม เค ).

ขั้นตอนการอนุมาน

ขั้นตอนการแก้ไข

ค่าเบี่ยงเบนที่ได้รับต่อขั้นตอน เคข้อสังเกตจากการสังเกตที่คาดหวังเมื่อคาดการณ์:
เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับเวกเตอร์ส่วนเบี่ยงเบน (เวกเตอร์ข้อผิดพลาด):
เมทริกซ์อัตราขยายที่เหมาะสมที่สุดของคาลมานเกิดขึ้นจากเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะที่มีอยู่และการวัดที่ได้รับ (ผ่านเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเวกเตอร์ส่วนเบี่ยงเบน):
การแก้ไขการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะที่ได้รับก่อนหน้านี้ - รับการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะของระบบ:
การคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะระบบ:

นิพจน์สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะระบบจะใช้ได้เฉพาะเมื่อใช้เวกเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดของค่าสัมประสิทธิ์ที่ลดลงเท่านั้น โดยทั่วไป สำนวนนี้มีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่า

ค่าคงที่

หากแบบจำลองมีความแม่นยำอย่างแน่นอนและมีเงื่อนไขเริ่มต้นและระบุไว้อย่างชัดเจน ค่าต่อไปนี้จะถูกเก็บรักษาไว้หลังจากการวนซ้ำของการดำเนินการตัวกรองจำนวนเท่าใดก็ได้ - ค่าเหล่านี้จะไม่แปรเปลี่ยน:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการประมาณและการประมาณค่าของเวกเตอร์สถานะระบบ เมทริกซ์ข้อผิดพลาดเป็นเวกเตอร์ว่าง:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อยู่ที่ไหน

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่คำนวณได้ของการประมาณค่า การประมาณสถานะของระบบ และเวกเตอร์ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นพร้อมกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่แท้จริง:

ตัวอย่างการสร้างตัวกรอง

ลองนึกภาพรถเข็นที่ยืนอยู่บนรางที่ยาวเป็นอนันต์โดยไม่มีการเสียดสี ในตอนแรกมันจะอยู่ในตำแหน่ง 0 แต่ภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่ม การเร่งความเร็วแบบสุ่มจะกระทำกับมัน เราวัดตำแหน่งของรถเข็นทุกๆ ∆ ทีวินาทีแต่การวัดไม่แม่นยำ เราต้องการทราบตำแหน่งของรถเข็นและความเร็วโดยประมาณ ให้เราใช้ตัวกรองคาลมานกับปัญหานี้และพิจารณาเมทริกซ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ในโจทย์ข้อนี้ เมทริกซ์ เอฟ , ชม , รและ ถามไม่ต้องขึ้นอยู่กับเวลา เราละเว้นดัชนีของพวกเขา นอกจากนี้ เราไม่ได้ควบคุมรถเข็น ดังนั้นเมทริกซ์ควบคุม บีไม่มา.

พิกัดและความเร็วของรถเข็นอธิบายด้วยเวกเตอร์ในพื้นที่สถานะเชิงเส้น

ความเร็วอยู่ที่ไหน (อนุพันธ์อันดับหนึ่งของพิกัดเทียบกับเวลา)

เราจะถือว่าระหว่าง เค−1 )ที่ และ เค- รอบที่รถเข็นเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ เคกระจายตามกฎปกติโดยไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ σก. ตามกลศาสตร์ของนิวตัน เราสามารถเขียนได้

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของอิทธิพลแบบสุ่ม

(σ ก- สเกลาร์)

ในแต่ละรอบการทำงาน จะมีการวัดตำแหน่งของรถเข็น ให้เราถือว่าการวัดมีข้อผิดพลาด วีเคมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซิซ. แล้ว

และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเชิงสังเกตมีรูปแบบ

ตำแหน่งเริ่มต้นของรถเข็นเป็นที่ทราบแน่ชัด

, .

หากทราบตำแหน่งและความเร็วของรถเข็นเพียงโดยประมาณเท่านั้น เมทริกซ์การกระจายตัวสามารถเริ่มต้นได้ด้วยตัวเลขที่มากเพียงพอ ลเพื่อให้ตัวเลขเกินการกระจายตัวของการวัดพิกัด

, .

ในกรณีนี้ ในรอบแรกของการทำงาน ตัวกรองจะใช้ผลการวัดที่มีน้ำหนักมากกว่าข้อมูลเบื้องต้นที่มีอยู่

ที่มาของสูตร

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ

ตามคำจำกัดความของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ป เค|เค

เราแทนที่นิพจน์เพื่อประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ

และเขียนนิพจน์สำหรับเวกเตอร์ข้อผิดพลาด

และเวกเตอร์การวัด

นำเวกเตอร์ข้อผิดพลาดการวัดออกมา โวลต์ เค

เนื่องจากเวกเตอร์ข้อผิดพลาดในการวัด โวลต์ เคไม่สัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์อื่น เราจะได้นิพจน์

ตามคุณสมบัติของความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์ นิพจน์นี้จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ

แทนที่นิพจน์สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะด้วย ป เค|เค−1 และการหาเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนจากการสังเกต ร เค, เราได้รับ

นิพจน์ผลลัพธ์ใช้ได้สำหรับเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ใดๆ ก็ตาม แต่ถ้าเป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ที่เป็นค่าที่เหมาะสมที่สุดของคาลมาน นิพจน์สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนี้สามารถถูกทำให้ง่ายขึ้นได้

เมทริกซ์อัตราขยายที่เหมาะสมที่สุด

ตัวกรองคาลมานจะลดผลรวมของกำลังสองของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะที่คาดหวังให้เหลือน้อยที่สุด

เวกเตอร์ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ

ภารกิจคือการลดผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนดให้เหลือน้อยที่สุด

ซึ่งเทียบเท่ากับการลดร่องรอยของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะให้เหลือน้อยที่สุด ป เค|เค. ให้เราแทนที่นิพจน์ที่มีอยู่เป็นนิพจน์สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะแล้วเติมให้เต็มกำลังสอง:

โปรดทราบว่าเทอมสุดท้ายคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มบางตัว ดังนั้นการติดตามของค่าจึงไม่เป็นค่าลบ ถึงการติดตามขั้นต่ำเมื่อเงื่อนไขสุดท้ายถูกตั้งค่าเป็นศูนย์:

มีการอ้างว่าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ที่ต้องการ และเมื่อใช้เป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ในตัวกรองคาลมาน จะลดผลรวมของกำลังสองเฉลี่ยของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะให้เหลือน้อยที่สุด

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ เมื่อใช้เมทริกซ์ที่เหมาะสมที่สุดของค่าสัมประสิทธิ์

นิพจน์สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ ป เค|เคเมื่อใช้เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่สุดจะอยู่ในรูปแบบ:

สูตรนี้ใช้การคำนวณง่ายกว่าและดังนั้นจึงมักใช้ในทางปฏิบัติเกือบทุกครั้ง แต่จะถูกต้องเมื่อใช้เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่สุดเท่านั้น เนื่องจากความแม่นยำในการคำนวณต่ำ หากมีปัญหาเกี่ยวกับความเสถียรในการคำนวณ หรือใช้เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่ไม่เหมาะสมโดยเฉพาะ ควรใช้สูตรทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าเวกเตอร์สถานะ

ตัวกรองนี้ใช้ในสาขาต่างๆ ตั้งแต่วิศวกรรมวิทยุไปจนถึงเศรษฐศาสตร์ ที่นี่เราจะพูดถึงแนวคิดหลัก ความหมาย สาระสำคัญของตัวกรองนี้ จะถูกนำเสนอในภาษาที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
สมมติว่าเราจำเป็นต้องวัดปริมาณของวัตถุบางอย่าง ในงานวิศวกรรมวิทยุ ส่วนใหญ่มักจะเกี่ยวข้องกับการวัดแรงดันไฟฟ้าที่เอาต์พุตของอุปกรณ์บางอย่าง (เซ็นเซอร์ เสาอากาศ ฯลฯ) ในตัวอย่างด้วยเครื่องตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ดู) เรากำลังจัดการกับการวัดศักยภาพทางชีวภาพในร่างกายมนุษย์ ตัวอย่างเช่นในทางเศรษฐศาสตร์ ค่าที่วัดได้อาจเป็นอัตราแลกเปลี่ยน ทุกวันอัตราแลกเปลี่ยนจะแตกต่างกันเช่น ทุกวัน "การวัดของเขา" ให้คุณค่าที่แตกต่างกับเรา และเพื่อเป็นการสรุป เราสามารถพูดได้ว่ากิจกรรมของมนุษย์ส่วนใหญ่ (หากไม่ใช่ทั้งหมด) ขึ้นอยู่กับการวัดอย่างต่อเนื่องของปริมาณที่แน่นอน (ดูหนังสือ)
สมมติว่าเราวัดบางสิ่งบางอย่างตลอดเวลา สมมติว่าการวัดของเรามักจะมีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ ซึ่งเป็นเรื่องที่เข้าใจได้ เนื่องจากไม่มีเครื่องมือวัดที่เหมาะสมที่สุด และทุกคนก็ให้ผลลัพธ์ที่มีข้อผิดพลาด ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถลดเป็นนิพจน์ต่อไปนี้: z=x+y โดยที่ x คือค่าจริงที่เราต้องการวัดและจะวัดหากเรามีอุปกรณ์การวัดในอุดมคติ y คือข้อผิดพลาดในการวัดที่แนะนำโดย อุปกรณ์วัด และ z คือค่าที่เราวัดได้ ดังนั้น หน้าที่ของตัวกรองคาลมานคือยังคงเดา (กำหนด) จากค่า z ที่เราวัด ค่าที่แท้จริงของ x เมื่อเราได้รับค่า z จะเป็นเท่าใด (ซึ่งค่าจริงและข้อผิดพลาดในการวัด "นั่ง") จำเป็นต้องกรอง (กรองออก) ค่าที่แท้จริงของ x จาก z - ลบสัญญาณรบกวนที่บิดเบือน y ออกจาก z นั่นคือเมื่อมีจำนวนเงินอยู่ในมือเท่านั้น เราต้องเดาว่าเงื่อนไขใดให้เงินจำนวนนี้
จากที่กล่าวมาข้างต้น ตอนนี้เราจึงกำหนดทุกอย่างดังนี้ ให้มีตัวเลขสุ่มเพียงสองตัวเท่านั้น เราได้รับเพียงผลรวมของพวกเขา และเราจำเป็นต้องพิจารณาจากผลรวมนี้ว่าข้อกำหนดคืออะไร ตัวอย่างเช่น เราได้รับเลข 12 และพวกเขาบอกว่า 12 คือผลรวมของตัวเลข x และ y คำถามคือว่า x และ y เท่ากับเท่าใด เพื่อตอบคำถามนี้ เราสร้างสมการ: x+y=12 เราได้สมการหนึ่งซึ่งมีไม่ทราบค่าสองตัว ดังนั้น พูดอย่างเคร่งครัด ไม่สามารถหาตัวเลขสองตัวที่ให้ผลรวมนี้ได้ แต่เรายังสามารถพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ได้ เราสามารถพูดได้ว่าเป็นตัวเลข 1 และ 11 หรือ 2 และ 10 หรือ 3 และ 9 หรือ 4 และ 8 เป็นต้น นอกจากนี้ยังเป็น 13 และ -1 หรือ 14 และ -2 หรือ 15 และ - 3 เป็นต้น นั่นคือด้วยผลรวม (ในตัวอย่างที่ 12 ของเรา) เราสามารถกำหนดชุดของตัวเลือกที่เป็นไปได้ซึ่งให้ผลรวมทั้งหมด 12 พอดี หนึ่งในตัวเลือกเหล่านี้คือคู่ที่เรากำลังมองหาซึ่งให้ 12 จริงๆ ในขณะนี้ มันก็คุ้มค่าเช่นกัน โดยสังเกตว่าคู่ตัวเลขทุกรูปแบบที่ให้ผลรวม 12 ก่อให้เกิดเส้นตรงที่แสดงในรูปที่ 1 ซึ่งได้จากสมการ x+y=12 (y=-x+12)

รูปที่ 1

ดังนั้นคู่ที่เรากำลังมองหาจึงอยู่ที่ไหนสักแห่งบนเส้นตรงนี้ ขอย้ำอีกครั้งว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกตัวเลือกคู่ที่มีอยู่จริงจากตัวเลือกเหล่านี้ ซึ่งให้หมายเลข 12 โดยไม่มีเบาะแสเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม, ในสถานการณ์ที่มีการประดิษฐ์ตัวกรองคาลมานมีคำแนะนำดังกล่าว. มีบางอย่างที่รู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับตัวเลขสุ่ม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เรียกว่าฮิสโตแกรมการแจกแจงสำหรับตัวเลขแต่ละคู่นั้นเป็นที่รู้จัก โดยปกติจะได้รับหลังจากการสังเกตผลกระทบของตัวเลขสุ่มเหล่านี้เป็นเวลานานพอสมควร ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบจากประสบการณ์ว่าในกรณี 5% คู่ x=1, y=8 มักจะหลุดออก (เราแสดงว่าคู่นี้ดังนี้: (1,8)) ใน 2% ของกรณี คู่ x=2, y=3 ( 2.3) ใน 1% ของกรณีคู่ (3.1) ใน 0.024% ของกรณีคู่ (11.1) เป็นต้น ฮิสโตแกรมนี้ถูกตั้งค่าอีกครั้ง สำหรับคู่รักทุกคู่ตัวเลขรวมทั้งจำนวนที่รวมกันได้ 12 ด้วย ดังนั้น สำหรับแต่ละคู่ที่รวมกันได้ 12 เราสามารถพูดได้ว่า เช่น คู่ (1, 11) ตกลงไปใน 0.8% ของกรณี คู่ ( 2, 10) - ใน 1% ของกรณี คู่ (3, 9) - ใน 1.5% ของกรณี เป็นต้น ดังนั้น เราสามารถกำหนดได้จากฮิสโตแกรมว่าผลรวมของเงื่อนไขของคู่นี้คือ 12 เป็นเปอร์เซ็นต์ของกรณีใด ตัวอย่างเช่น ใน 30% ของกรณี ผลรวมให้ 12 และใน 70% ที่เหลือ คู่ที่เหลือจะตก ออก - เหล่านี้คือ (1.8), (2, 3), (3,1) เป็นต้น - คู่ที่รวมกันเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 12 ยิ่งไปกว่านั้น ตัวอย่างเช่น คู่เงิน (7.5) ตกลงไป 27% ของกรณี ในขณะที่คู่อื่นๆ ทั้งหมดที่ให้ผลรวม 12 ออกมาเป็น 0.024% + 0.8% + 1%+1.5%+…=3% ของกรณี จากฮิสโตแกรม เราพบว่าตัวเลขที่ให้ผลรวม 12 อยู่ใน 30% ของกรณี ในขณะเดียวกัน เรารู้ว่าหาก 12 หลุดออกไป ส่วนใหญ่แล้ว (27% ของ 30%) สาเหตุคือเป็นคู่ (7.5) นั่นคือถ้า เรียบร้อยแล้ว 12 ทอย เราสามารถพูดได้ว่าใน 90% (27% จาก 30% - หรือเทียบเท่า 27 จากทุกๆ 30) สาเหตุของ 12 คือคู่ (7.5) เมื่อรู้ว่าคู่นี้ (7.5) มักเป็นสาเหตุที่ทำให้ได้ผลรวมเท่ากับ 12 จึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าน่าจะหลุดออกไปในตอนนี้ แน่นอนว่า ยังไม่ใช่ความจริงที่ว่าเลข 12 นั้นถูกสร้างขึ้นโดยคู่นี้จริงๆ อย่างไรก็ตาม ครั้งต่อไป ถ้าเราเจอ 12 และเราถือว่าคู่นั้นอีกครั้ง (7.5) แล้วที่ไหนสักแห่งใน 90% ของกรณีที่เราเป็น ถูกต้อง 100% แต่ถ้าเราสมมติเป็นคู่ (2, 10) เราจะถูกเพียง 1% ของ 30% ของเวลา ซึ่งเท่ากับ 3.33% ของการทายถูก เทียบกับ 90% เมื่อเดาคู่ (7,5) นั่นคือทั้งหมด - นี่คือประเด็นของอัลกอริธึมตัวกรองคาลมาน นั่นคือตัวกรองคาลมานไม่รับประกันว่าจะไม่ทำผิดพลาดในการพิจารณาผลรวม แต่รับประกันว่าจะทำผิดพลาดตามจำนวนขั้นต่ำ (ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดจะน้อยที่สุด) เนื่องจากใช้สถิติ - ฮิสโตแกรมของการหลุดออกจากคู่ตัวเลข ควรเน้นด้วยว่ามักใช้สิ่งที่เรียกว่าความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น (PDD) ในอัลกอริทึมการกรองคาลมาน อย่างไรก็ตามต้องเข้าใจว่าความหมายนั้นเหมือนกับฮิสโตแกรม นอกจากนี้ ฮิสโตแกรมยังเป็นฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจาก PDF และเป็นการประมาณค่า (ดูตัวอย่าง )
โดยหลักการแล้ว เราสามารถพรรณนาฮิสโตแกรมนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้ กล่าวคือ เป็นพื้นผิวชนิดหนึ่งเหนือระนาบ xy เมื่อพื้นผิวสูงกว่า ความน่าจะเป็นที่คู่ที่สอดคล้องกันจะหลุดออกไปก็จะสูงขึ้นเช่นกัน รูปที่ 2 แสดงพื้นผิวดังกล่าว

รูปที่ 2

อย่างที่คุณเห็น เหนือเส้น x + y = 12 (ซึ่งเป็นตัวแปรของคู่ที่ให้ผลรวมเป็น 12) มีจุดพื้นผิวที่ความสูงต่างกัน และความสูงสูงสุดอยู่ในตัวแปรที่มีพิกัด (7,5) และเมื่อเราพบผลรวมเท่ากับ 12 ใน 90% ของกรณี สาเหตุของผลรวมนี้ก็คือคู่ (7.5) นั่นเอง เหล่านั้น. เป็นคู่นี้ซึ่งรวมกันได้ 12 ที่มีความน่าจะเป็นสูงสุดที่จะเกิดขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมคือ 12
ดังนั้น แนวคิดเบื้องหลังตัวกรองคาลมานจึงอธิบายไว้ที่นี่ มันอยู่ที่ว่าการดัดแปลงทุกประเภทได้ถูกสร้างขึ้น - การเกิดซ้ำในขั้นตอนเดียว, หลายขั้นตอน ฯลฯ หากต้องการศึกษาตัวกรองคาลมานอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น ฉันขอแนะนำหนังสือ: Van Tries G. ทฤษฎีการตรวจจับ การประมาณค่า และการปรับ

ปล.สำหรับผู้ที่สนใจอธิบายแนวความคิดของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "บนนิ้ว" เราขอแนะนำหนังสือเล่มนี้และโดยเฉพาะบทจากหมวด "คณิตศาสตร์" (คุณสามารถซื้อหนังสือเองหรือแต่ละบทได้จาก มัน).

ตัวกรองคาลมานน่าจะเป็นอัลกอริธึมการกรองที่ได้รับความนิยมมากที่สุดที่ใช้ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายสาขา เนื่องจากความเรียบง่ายและมีประสิทธิภาพจึงสามารถพบได้ในเครื่องรับ GPS โปรเซสเซอร์การอ่านเซ็นเซอร์ในการใช้งานระบบควบคุม ฯลฯ

มีบทความและหนังสือมากมายเกี่ยวกับตัวกรองคาลมานบนอินเทอร์เน็ต (ส่วนใหญ่เป็นภาษาอังกฤษ) แต่บทความเหล่านี้มีเกณฑ์การเข้าสู่ที่ค่อนข้างใหญ่ มีสถานที่หมอกหลายแห่งแม้ว่าในความเป็นจริงแล้วมันเป็นอัลกอริธึมที่ชัดเจนและโปร่งใสมาก ฉันจะพยายามเล่าเรื่องนี้เป็นภาษาง่ายๆ โดยมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นทีละน้อย

มีไว้เพื่ออะไร?

อุปกรณ์ตรวจวัดใด ๆ มีข้อผิดพลาดบางอย่างอาจได้รับอิทธิพลจากอิทธิพลภายนอกและภายในจำนวนมากซึ่งนำไปสู่ความจริงที่ว่าข้อมูลจากอุปกรณ์นั้นมีเสียงดัง ยิ่งข้อมูลมีสัญญาณรบกวนมากเท่าใด การประมวลผลข้อมูลดังกล่าวก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น

ตัวกรองคืออัลกอริธึมการประมวลผลข้อมูลที่ขจัดสัญญาณรบกวนและข้อมูลที่ไม่จำเป็น ในตัวกรองคาลมาน คุณสามารถตั้งค่าข้อมูลนิรนัยเกี่ยวกับธรรมชาติของระบบ ความสัมพันธ์ของตัวแปร และจากข้อมูลนี้ สามารถสร้างการประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้ แต่แม้ในกรณีที่ง่ายที่สุด (โดยไม่ต้องป้อนข้อมูลนิรนัย) มันให้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - สมมติว่าเราจำเป็นต้องควบคุมระดับน้ำมันเชื้อเพลิงในถัง ในการทำเช่นนี้มีการติดตั้งเซ็นเซอร์ capacitive ในถังซึ่งบำรุงรักษาง่ายมาก แต่มีข้อเสียบางประการ - ตัวอย่างเช่นขึ้นอยู่กับการเติมน้ำมันเชื้อเพลิง (ค่าคงที่ไดอิเล็กทริกของเชื้อเพลิงขึ้นอยู่กับหลายปัจจัยเช่น อุณหภูมิ) อิทธิพลอย่างมากของ "การพูดคุย" ในถัง เป็นผลให้ข้อมูลจากมันเป็น "เลื่อย" ทั่วไปที่มีแอมพลิจูดที่เหมาะสม เซ็นเซอร์ดังกล่าวมักติดตั้งบนอุปกรณ์ขุดหนัก (อย่าอายกับปริมาตรของถัง):

ตัวกรองคาลมาน

มาพูดนอกเรื่องเล็กน้อยแล้วทำความคุ้นเคยกับอัลกอริทึมนั้นเอง ตัวกรองคาลมานใช้แบบจำลองไดนามิกของระบบ (เช่น กฎการเคลื่อนที่ทางกายภาพ) การดำเนินการควบคุมที่ทราบ และชุดการวัดต่อเนื่องเพื่อสร้างการประมาณสถานะที่เหมาะสมที่สุด อัลกอริธึมประกอบด้วยสองขั้นตอนซ้ำ: การทำนายและการแก้ไข ในระยะแรก การคำนวณการคาดการณ์สถานะในช่วงเวลาถัดไปจะถูกคำนวณ (โดยคำนึงถึงความไม่ถูกต้องของการวัด) ในวันที่สอง ข้อมูลใหม่จากเซ็นเซอร์จะแก้ไขค่าที่คาดการณ์ไว้ (โดยคำนึงถึงความไม่ถูกต้องและเสียงของข้อมูลนี้ด้วย):

สมการจะแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ หากคุณไม่ทราบพีชคณิตเชิงเส้น ไม่ต้องกังวล จะมีรูปแบบที่เรียบง่ายโดยไม่มีเมทริกซ์สำหรับกรณีที่มีตัวแปรตัวเดียว ในกรณีของตัวแปรตัวเดียว เมทริกซ์จะเสื่อมลงเป็นค่าสเกลาร์

ก่อนอื่นมาดูสัญกรณ์: ตัวห้อยระบุจุดในเวลา: k - ปัจจุบัน, (k-1) - ก่อนหน้า, เครื่องหมายลบในตัวยกบ่งชี้ว่าสิ่งนี้ ทำนายค่ากลาง

คำอธิบายของตัวแปรแสดงอยู่ในรูปภาพต่อไปนี้:

เป็นไปได้ที่จะอธิบายยาวและน่าเบื่อว่าเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงลึกลับเหล่านี้หมายถึงอะไร แต่ในความคิดของฉันจะดีกว่าที่จะพยายามใช้อัลกอริทึมกับตัวอย่างจริง - เพื่อให้ค่านามธรรมใช้ความหมายที่แท้จริง

เรามาลองใช้งานจริงกัน

กลับไปที่ตัวอย่างด้วยเซ็นเซอร์ระดับน้ำมันเชื้อเพลิงเนื่องจากสถานะของระบบแสดงด้วยตัวแปรเดียว (ปริมาตรเชื้อเพลิงในถัง) เมทริกซ์จึงเสื่อมลงในสมการปกติ:

คำจำกัดความของแบบจำลองกระบวนการ

ในการใช้ตัวกรอง จำเป็นต้องกำหนดเมทริกซ์/ค่าของตัวแปรที่กำหนดไดนามิกของระบบและการวัด F, B และ H:

เอฟ- ตัวแปรที่อธิบายไดนามิกของระบบ ในกรณีของเชื้อเพลิง - อาจเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดปริมาณการใช้เชื้อเพลิงที่ไม่ได้ใช้งานในช่วงเวลาสุ่มตัวอย่าง (เวลาระหว่างขั้นตอนอัลกอริทึม) อย่างไรก็ตาม นอกจากอัตราการสิ้นเปลืองเชื้อเพลิงแล้ว ยังมีปั๊มน้ำมันอีกด้วย ... ดังนั้นเพื่อความง่าย เราจะนำตัวแปรนี้เท่ากับ 1 (นั่นคือ เราระบุว่าค่าที่ทำนายจะเท่ากับสถานะก่อนหน้า)

บี- ตัวแปรที่กำหนดการประยุกต์ใช้การดำเนินการควบคุม หากเรามีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเร็วของเครื่องยนต์หรือระดับของการกดแป้นคันเร่ง พารามิเตอร์นี้จะกำหนดว่าการสิ้นเปลืองเชื้อเพลิงเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงเวลาสุ่มตัวอย่าง เนื่องจากไม่มีการดำเนินการควบคุมในแบบจำลองของเรา (ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับการดำเนินการเหล่านั้น) เราจึงได้ B = 0

ชม- เมทริกซ์ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างการวัดและสถานะของระบบ ในตอนนี้ หากไม่มีคำอธิบาย เราจะยอมรับตัวแปรนี้เท่ากับ 1 เช่นกัน

คำจำกัดความของคุณสมบัติการทำให้เรียบ

ร- ข้อผิดพลาดในการวัดสามารถกำหนดได้โดยการทดสอบเครื่องมือวัดและกำหนดข้อผิดพลาดในการวัด

ถาม- การระบุสัญญาณรบกวนในกระบวนการเป็นงานที่ยากกว่า เนื่องจากจำเป็นต้องระบุความแปรปรวนของกระบวนการ ซึ่งไม่สามารถทำได้เสมอไป ไม่ว่าในกรณีใด คุณสามารถปรับพารามิเตอร์นี้เพื่อให้มีระดับการกรองที่ต้องการได้

การนำไปปฏิบัติในโค้ด

เพื่อขจัดความไม่เข้าใจที่เหลืออยู่ เราใช้อัลกอริธึมแบบง่ายใน C # (โดยไม่มีเมทริกซ์และการดำเนินการควบคุม):

คลาส KalmanFilterSimple1D
{
public double X0 (get; private set;) // สถานะที่คาดการณ์ไว้
P0 สาธารณะคู่ ( get; ชุดส่วนตัว; ) // ความแปรปรวนร่วมที่คาดการณ์ไว้

Public double F ( get; private set; ) // ตัวประกอบของมูลค่าจริงต่อมูลค่าจริงก่อนหน้า
public double Q ( get; private set; ) // การวัดสัญญาณรบกวน
public double H ( get; private set; ) // ปัจจัยของค่าที่วัดได้เป็นมูลค่าจริง
สาธารณะ double R ( get; ชุดส่วนตัว; ) // เสียงรบกวนจากสิ่งแวดล้อม

สาธารณะ double state (get; private set; )
ความแปรปรวนร่วมคู่สาธารณะ (get; private set; )

KalmanFilterSimple1D สาธารณะ (double q, double r, double f = 1, double h = 1)
{
ถาม = คิว;
ร = ร;
ฉ = ฉ;
เอช = ชั่วโมง;
}

SetState โมฆะสาธารณะ (สถานะสองเท่า, ความแปรปรวนร่วมสองเท่า)
{
รัฐ = รัฐ;
ความแปรปรวนร่วม = ความแปรปรวนร่วม;
}

โมฆะสาธารณะถูกต้อง (ข้อมูลคู่)
{
//อัพเดตเวลา - การทำนาย
X0 = F*สถานะ;
P0 = F*ความแปรปรวนร่วม*F + Q;

//อัพเดตการวัด-แก้ไข
var K = H*P0/(H*P0*H + R);
สถานะ = X0 + K* (ข้อมูล - H*X0);
ความแปรปรวนร่วม = (1 - K*H)*F;
}
}

// แอปพลิเคชัน...

VarfuelData = GetData();
var กรอง = รายการใหม่ ();

คาลมาน = KalmanFilterSimple1D ใหม่ (f: 1, h: 1, q: 2, r: 15); // ตั้งค่า F, H, Q และ R
คาลมาน.SetState (ข้อมูลเชื้อเพลิง, 0.1); // ตั้งค่าเริ่มต้นของสถานะและความแปรปรวนร่วม
foreach (var d ใน FuelData)
{
คาลมาน.แก้ไข(d); // ใช้อัลกอริทึม

กรองแล้วเพิ่ม(kalman.State); // บันทึกสถานะปัจจุบัน
}

ผลลัพธ์ของการกรองด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้แสดงในรูป (เพื่อปรับระดับความเรียบคุณสามารถเปลี่ยนพารามิเตอร์ Q และ R):

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดยังคงอยู่นอกขอบเขตของบทความ - การใช้ตัวกรองคาลมานกับตัวแปรหลายตัว ตั้งค่าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านั้น และรับค่าโดยอัตโนมัติสำหรับตัวแปรที่ตรวจไม่พบ ฉันจะพยายามดำเนินการหัวข้อต่อไปทันทีที่มีเวลา

ฉันหวังว่าคำอธิบายจะไม่น่าเบื่อและซับซ้อนมากหากคุณมีคำถามและคำชี้แจง - ยินดีต้อนรับสู่ความคิดเห็น)

การถอดเสียง

1 # 09, กันยายน 2558 UDC การใช้ตัวกรองคาลมานสำหรับการประมวลผลลำดับของพิกัด GPS Listerenko R.R., ปริญญาตรี รัสเซีย, มอสโก, MSTU im. N.E. Bauman, ภาควิชา "ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ" หัวหน้างาน: Bekasov D.E., ผู้ช่วยรัสเซีย, มอสโก, มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโก N.E. บาวแมน ภาควิชาซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ หน้าที่กรองพิกัด GPS ในปัจจุบันบริการติดตาม GPS มีการใช้งานกันอย่างแพร่หลาย โดยมีหน้าที่ติดตามเส้นทางของวัตถุที่สังเกตเพื่อบันทึกและทำซ้ำและวิเคราะห์ต่อไป อย่างไรก็ตาม เนื่องจากข้อผิดพลาดของเซ็นเซอร์ GPS เนื่องจากสาเหตุหลายประการ เช่น การสูญเสียสัญญาณจากดาวเทียม การเปลี่ยนรูปทรงของตำแหน่งของดาวเทียม การสะท้อนสัญญาณ ข้อผิดพลาดในการคำนวณ และข้อผิดพลาดในการปัดเศษ ผลลัพธ์สุดท้ายไม่ได้ ตรงกับเส้นทางของวัตถุทุกประการ มีการเบี่ยงเบนเล็กน้อย (ภายใน 100 ม.) ซึ่งไม่เป็นอุปสรรคต่อการรับรู้ข้อมูลภาพเกี่ยวกับเส้นทางและการวิเคราะห์และสิ่งที่สำคัญมาก (สูงสุด 1 กม. ในกรณีที่สัญญาณดาวเทียมสูญหายและการใช้งานสถานีฐานขึ้นไป ไปหลายสิบกิโลเมตร) เพื่อสาธิตผลลัพธ์ของอัลกอริธึมที่นำเสนอในบทความ จะใช้เส้นทางที่มีความเบี่ยงเบนจากตำแหน่งจริงที่เกินหลายกิโลเมตร เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดดังกล่าว จึงได้มีการพัฒนาอัลกอริธึมที่ทำการเปลี่ยนแปลงลำดับพิกัด ข้อมูลอินพุตสำหรับอัลกอริทึมเป็นลำดับของพิกัด GPS แต่ละพิกัดประกอบด้วยข้อมูลที่ได้รับจากเซ็นเซอร์ดังต่อไปนี้: ละติจูด ลองจิจูด อะซิมุท เป็นองศา ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุ ณ จุดที่กำหนดในหน่วย m/s

2 ความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ของพิกัดของวัตถุจากค่าจริงเป็นเมตร เวลาที่เซนเซอร์รับพิกัด ผลลัพธ์ของอัลกอริทึมคือลำดับของพิกัดที่มีละติจูดและลองจิจูดที่ถูกต้อง เพื่อเป็นพื้นฐานในการสร้างอัลกอริธึมจึงตัดสินใจใช้ตัวกรองคาลมานเนื่องจากจะช่วยให้คุณสามารถแยกพิจารณาข้อผิดพลาดในการวัดและข้อผิดพลาดของกระบวนการสุ่มแยกกันรวมทั้งใช้ความเร็วของวัตถุที่ได้รับจากเซ็นเซอร์ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยใช้ตัวกรองคาลมาน การใช้ตัวกรองคาลมานจำเป็นต้องอธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษาดังนี้ = + + (1) = + (2) กระบวนการจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง เวกเตอร์อธิบายการดำเนินการควบคุมในกระบวนการ เมทริกซ์ B ที่มีขนาด n l แมปเวกเตอร์ของการดำเนินการควบคุม u เข้ากับการเปลี่ยนแปลงสถานะ s เป็นตัวแปรสุ่มที่อธิบายข้อผิดพลาดของกระบวนการที่กำลังศึกษา และ ~0 โดยที่ Q คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดของกระบวนการ สูตร (2) อธิบายการวัดของกระบวนการสุ่ม - เวกเตอร์ของสถานะที่วัดได้ของกระบวนการ เมทริกซ์ H ที่มีขนาด m n จะแมปสถานะของกระบวนการกับการวัดของกระบวนการ - ตัวแปรสุ่มที่แสดงลักษณะของข้อผิดพลาดในการวัด และ ~0 โดยที่ P คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดในการวัด เนื่องจากกำลังตรวจสอบกระบวนการเคลื่อนที่ของวัตถุ สมการสถานะจึงถูกรวบรวมบนพื้นฐานของสมการการเคลื่อนที่ของร่างกาย = + +!" #$ % & " นอกจากนี้ ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการเคลื่อนไหว ดังนั้นจึงถือว่าการดำเนินการควบคุมเป็น 0 เวกเตอร์ = + () *, - ถือเป็นสถานะของกระบวนการ + โดยที่ x, y - พิกัดของวัตถุ - การประมาณการความเร็วของวัตถุ ดังนั้น สำหรับกระบวนการที่กำลังพิจารณา สมการ (1) จึงมีรูปแบบดังนี้ = + /!, (3)

3 โดยที่ = ! = 3! + 7 " 0 ; 6 2: 6 " / = : 6 0: 6 2: 6 0: , (4)!,4, (5) (6) ในแบบจำลองนี้ ความเร่งของวัตถุถือเป็นการสุ่ม ข้อผิดพลาดของกระบวนการ มีการตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้: ก) ความเร่งตามแกนต่างๆ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ)* b)

4 = AB = C. C E. = C/!!. /. = /ค!!. /. เนื่องจากองค์ประกอบของเวกเตอร์ ak (5) เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ดังนั้น C!! = " 0 " G ดังนั้นสูตร (7) จึงมีรูปแบบดังนี้: = / " (8) เวกเตอร์การวัด zk สำหรับปัญหานี้แสดงดังนี้: H I = 0 + J, J (7) 2, (9) โดยที่ H, I - พิกัดของวัตถุที่ได้รับจากเซ็นเซอร์, J +,J, - ความเร็วของวัตถุที่ได้รับจากเซ็นเซอร์ เมทริกซ์ H ในสูตร (2) จะถูกนำมาเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาด 4 4 เนื่องจากภายใน กรอบงานของงานนี้ถือว่าการวัดเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์สถานะและข้อผิดพลาดแบบสุ่มบางอย่าง ถือว่าให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม R ของข้อผิดพลาดในการวัด หนึ่งในตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการคำนวณคือการใช้ข้อมูลบน ความแม่นยำในการวัดโดยประมาณที่ได้รับจากเซ็นเซอร์ การใช้ตัวกรองคาลมานกับแบบจำลองที่สร้างขึ้น หากต้องการใช้ตัวกรอง คุณต้องแนะนำแนวคิดต่อไปนี้: - การประมาณค่าภายหลังของสถานะของวัตถุ ณ เวลา k ซึ่งได้มาจากผลลัพธ์ของการสังเกตขึ้นไป ถึงและรวมถึงเวลา k L คือการประมาณค่า postiori ที่ยังไม่ได้แก้ไขของสถานะของวัตถุ ณ เวลา k คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาด posteriori ที่ระบุการประมาณความแม่นยำของการประมาณค่าที่ได้รับของเวกเตอร์สถานะ และรวมถึงการประมาณค่าของข้อผิดพลาด ความแปรปรวนของสถานะที่คำนวณและความแปรปรวนร่วม ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ที่เปิดเผยระหว่างพารามิเตอร์ของสถานะของระบบ L คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมข้อผิดพลาดหลังที่ยังไม่ได้ปรับปรุง เมทริกซ์ P0 ถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากจะถือว่าทราบตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุ กระดานข่าววิทยาศาสตร์และเทคนิคสำหรับเยาวชนของสมัชชากลาง ISSN

5 การวนซ้ำของตัวกรองคาลมานประกอบด้วยสองขั้นตอน: การประมาณค่าและการแก้ไข a) ที่ขั้นตอนการประมาณค่า L จะคำนวณจากการประมาณค่าของเวกเตอร์สถานะ L และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม L ตามสูตรต่อไปนี้: L =, (10) L = +, (11) โดยที่ทราบเมทริกซ์ Ak จากสูตร (4) เมทริกซ์ Qk คำนวณจากสูตร (8) b) ในขั้นตอนการแก้ไข เมทริกซ์เกน Kk คำนวณตามสูตรต่อไปนี้: M = L. L. + (12) โดยที่ R, H ถือว่าเป็นที่รู้จัก Kk ใช้เพื่อแก้ไขการประมาณสถานะของวัตถุ L และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม L ดังต่อไปนี้: = L + M L, (13) = N M L, (14) โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ควรสังเกตว่าในการใช้อัตราส่วนข้างต้น จำเป็นที่หน่วยการวัดสำหรับพารามิเตอร์วัตถุที่เกี่ยวข้องในการคำนวณจะต้องสอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ในข้อมูลต้นฉบับ ละติจูดและลองจิจูดจะแสดงเป็นพิกัดเชิงมุม และความเร็วเป็นหน่วยเมตริก นอกจากนี้ยังสะดวกกว่าในการระบุความเร่งในการคำนวณข้อผิดพลาดของกระบวนการในหน่วยเมตริก ในการแปลงความเร็วและความเร่งเป็นหน่วยเชิงมุม จะใช้สูตรของวินเซนติ ผลลัพธ์ของการกรองตามรูป 1 แสดงตัวอย่างเส้นทางก่อนการประมวลผล จะเห็นได้ว่าในตัวอย่างนี้มีหลายพิกัดที่มีข้อผิดพลาดในระดับสูงซึ่งแสดงเมื่อมี "จุดสูงสุด" ของพิกัดที่ถูกลบออกจากเส้นทางหลักอย่างมีนัยสำคัญ บนรูป 2 แสดงผลการทำงานของตัวกรองด้วยเส้นทางนี้

6 รูป 1. เส้นทางของวัตถุ มะเดื่อ 2 เส้นทางของวัตถุหลังจากใช้ตัวกรอง เป็นผลให้แทบไม่มี "จุดสูงสุด" เลย ยกเว้นจุดที่ใหญ่ที่สุดซึ่งลดลงอย่างเห็นได้ชัด และเส้นทางที่เหลือก็เรียบขึ้น ดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของอัลกอริธึมข้างต้น จึงเป็นไปได้ที่จะลดระดับการบิดเบือนเส้นทางและปรับปรุงคุณภาพของภาพได้ ในบทความนี้ เราได้พิจารณาแนวทางแก้ไขพิกัด GPS โดยใช้ตัวกรองคาลมาน การใช้อัลกอริธึมข้างต้นสามารถกำจัดการบิดเบือนเส้นทางที่เห็นได้ชัดเจนที่สุด ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้วิธีนี้กับปัญหาการปรับเส้นทางให้เรียบและการกำจัดจุดสูงสุด อย่างไรก็ตาม เพื่อปรับปรุงคุณภาพของอัลกอริธึมให้ดียิ่งขึ้น จำเป็นต้องมีการประมวลผลลำดับพิกัดเพิ่มเติมเพื่อปรับปรุงคุณภาพของอัลกอริธึม

7 การกำจัดจุดที่ซ้ำซ้อนซึ่งเกิดขึ้นในกรณีที่ไม่มีการเคลื่อนไหวของวัตถุที่สังเกต ข้อมูลอ้างอิง 1. Yadav J., Giri R., Meena L. การจัดการข้อผิดพลาดในการประมวลผลข้อมูล GPS // Mausam Vol. 62. ไม่ใช่. 1. P Kalman R. E. แนวทางใหม่สำหรับปัญหาการกรองและการทำนายเชิงเส้น // ธุรกรรมของ ASME Journal of Basic Engineering Vol. 82. ไม่ใช่. ซีรีส์ D. P.P. Welch G., Bishop G. บทนำเกี่ยวกับตัวกรองคาลมาน: เทคโนโลยี ตัวแทน TR มีจำหน่ายที่: เข้าถึง Vincenty T. Direct และ Inverse Solutions of Geodesics บน Ellipsoid พร้อมการประยุกต์ใช้สมการที่ซ้อนกัน // Survey Review เมษายน ฉบับ 23.ไม่มี PP

UDC 519.711.2 อัลกอริทึมสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ทัศนคติของยานอวกาศโดยใช้ตัวกรองคาลมาน DI Galkin 1 1 MSTU im N.E. บาวมาน, มอสโก, 155, รัสเซีย ให้คำอธิบายเกี่ยวกับการสร้างตัวกรองคาลมานไว้

หน่วยงานสหพันธรัฐเพื่อกฎระเบียบทางเทคนิคและมาตรวิทยามาตรฐานแห่งชาติของสหพันธรัฐรัสเซีย GOST R 53608-2009 ระบบดาวเทียมนำทางทั่วโลกวิธีการและเทคโนโลยีของการดำเนินการ

อนุกรมเวลาแบบเบย์ การพยากรณ์ตามแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ V I Lobach Belarusian State University Minsk Belarus E-mail: lobach@bsub พิจารณาวิธีการพยากรณ์

UDC 681.5(07) การระบุวัตถุไดนามิกแบบไม่เชิงเส้นในโดเมนเวลา Vyatchennikov, V.V. Kosobutsky, A.A. Nosenko, N.V. Plotnikova ข้อมูลไม่เพียงพอเกี่ยวกับวัตถุเมื่อพัฒนา

เซอร์ 0.200. ประเด็น. 4 ประกาศของกระบวนการควบคุมมหาวิทยาลัยเซนต์ปีเตอร์เบิร์ก UDC 539.3 ฟังก์ชั่นการลงโทษ VV Karelin ในปัญหาการควบคุมกระบวนการสังเกตการณ์ การแนะนำ. บทความนี้อุทิศให้กับปัญหา

UDC 63.1/.7 อัลกอริทึมของการประมวลผลข้อมูลขั้นที่สองในสถานีเรดาร์ด้วยประเภทที่แตกต่างกันของเมทริกซ์การคำนวณแบบไดนามิกในการกำหนดพิกัดของมุมระดับความสูง Yanitsky А.А. ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์

UDC 5979 + 5933 G A Omarova Ran pr Akad Lavrentyeva, 6, Novosibirsk, 630090, Russia อีเมล: gulzira@ravccru แบบจำลองการเข้าชมทางสถิติ

วิทยาการหุ่นยนต์เบื้องต้น การบรรยายที่ 12 ส่วนที่ 2 การนำทางและการทำแผนที่ SLAM SLAM Simultaneous Localization And Mapping (การโลคัลไลซ์และแมปพร้อมกัน) หน้าที่ของ SLAM คือหนึ่งใน

บทคัดย่อการบรรยายเรื่อง “ระบบไดนามิกเชิงเส้น ตัวกรองคาลมาน ในหลักสูตรพิเศษ "วิธีโครงสร้างของการวิเคราะห์ภาพและสัญญาณ" 211 Likbez: คุณสมบัติบางประการของการแจกแจงแบบปกติ ให้ x R d ถูกกระจาย

ระบบระบุตำแหน่งหุ่นยนต์โดยใช้กล้องครึ่งทรงกลม Alexander Ovchinnikov, Hoa Phan แผนกวิทยุอิเล็กทรอนิกส์ มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Tula, Tula, รัสเซีย [ป้องกันอีเมล], [ป้องกันอีเมล]

Proceedings of MAI Issue 84 UDC 57:5198 wwwmairu/science/trudy/ การพิจารณาข้อผิดพลาดของระบบนำทางเฉื่อยไร้กิมบอลในโหมดแท็กซี่และเร่งความเร็ว Vavilova NB* Golovan AA Kalchenko AO** Moskovsky

# 08, สิงหาคม 2559 UDC 004.93"1 การทำให้ข้อมูลกล้อง 3 มิติเป็นมาตรฐานโดยใช้วิธีส่วนประกอบหลักสำหรับการแก้ปัญหาการรับรู้ท่าทางและพฤติกรรมของผู้ใช้สมาร์ทโฮม Malykh D.A. นักเรียนรัสเซีย

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งชาติของประเทศยูเครน "Kyiv Polytechnic Institute" ภาควิชาเครื่องมือและระบบการวางแนวและการนำทางแนวทางสำหรับงานห้องปฏิบัติการในสาขาวิชา "การเดินเรือ

UDC 629.78.018:621.397.13 วิธีการวัดระยะทางคู่ในปัญหาการปรับการบินของเซ็นเซอร์ ASTRO ของระบบปฐมนิเทศของยานพาหนะอวกาศ B.M. Sukhovilov เป็นความแม่นยำและความน่าเชื่อถือของดาราศาสตร์

UDC 629.05 การแก้ปัญหาการนำทางโดยใช้ระบบนำทางเฉื่อยแบบ strapdown และระบบสัญญาณอากาศ Mkrtchyan V.I. นักศึกษาแผนก "เครื่องมือและระบบการวางแนวเสถียรภาพและการนำทาง"

รูปแบบของระบบการมองเห็นของผู้ปฏิบัติงานมนุษย์ในการจดจำภาพวัตถุ Gulina, V.Ya. Kolyuchkin Lomonosov มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโก N.E. บาวแมน นักคณิตศาสตร์

เครื่องมือจรวดและอวกาศและระบบสารสนเทศปี 2558 เล่มที่ 2 ฉบับที่ 3 หน้า 79 83 UDC 681.3.06 การวิเคราะห์ระบบ การควบคุมยานอวกาศ การประมวลผลข้อมูล และระบบโทรคมนาคม

ระบบไดนามิกเชิงเส้น ตัวกรองคาลมาน ลักษณะ: คุณสมบัติบางประการของการแจกแจงแบบปกติ ความหนาแน่นของการกระจาย4.3.. -4 x b.5 x b =.7 5 p(x a x b =.7) - x p(x a,x b) p(x a) 4 3 - - -3 x .5

UDC 621.396.671 O. S. Litvinov, A. A. Gilyazov การประเมินอิทธิพลของกลุ่มสัญญาณรบกวนต่อการรับสัญญาณที่เป็นประโยชน์โดยเสาอากาศแบบปรับตัวเชิงเส้นเทียบเท่าโดยใช้วิธีการของแผนภาพของตัวเอง

UDC 681.5.15.44 การคาดการณ์กระบวนการแบบ PIECE-STATIONARY E.Yu. Alekseev จะพิจารณากระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันตามเวลาสุ่ม สำหรับ

UDC 63966 การกรองเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเสียงที่ไม่ใช่สีขาว GF Savinov ในบทความนี้จะได้รับอัลกอริธึมตัวกรองที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกรณีที่การกระทำอินพุตและเสียงเป็นแบบเกาส์เซียนแบบสุ่ม

การกำหนดการเคลื่อนที่แบบสั่นขององค์ประกอบดาวเทียมที่ไม่แข็งตัวโดยใช้การประมวลผลภาพวิดีโอ D.O. ผู้ดูแลสถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยี Lazarev Moscow ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์: D.S. อีวานอฟสถาบัน

UDC 004 เกี่ยวกับวิธีการติดตามและติดตามวัตถุบนสตรีมวิดีโอที่ใช้กับระบบวิเคราะห์วิดีโอสำหรับการรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลการตลาด Chezganov D.A., Serikov O.N. รัฐรัสเซียตอนใต้

วารสารอิเล็กทรอนิกส์ "การดำเนินการของ MAI" ฉบับที่ 66 www.ma.u/scence/tud/ UDC 69.78 อัลกอริธึมการนำทางดัดแปลงเพื่อกำหนดตำแหน่งของดาวเทียมโดยใช้สัญญาณ GS/GLONASS Kurshin A.V.

UDC 621.396.96 การตรวจสอบอัลกอริทึมสำหรับการเชื่อมโยงและยืนยันวิถีตามเกณฑ์ M จาก N Chernova TS นักศึกษาภาควิชา "ระบบและอุปกรณ์วิทยุอิเล็กทรอนิกส์", รัสเซีย, 105005, มอสโก N.E.

ทฤษฎีและการปฏิบัติของอุปกรณ์และระบบนำทาง

การบรรยายครั้งที่ 6 ลักษณะของแฟ้มผลงาน ในการบรรยายครั้งก่อนๆ มีการใช้คำว่า ผลงาน ซ้ำหลายครั้ง

การระบุอนุกรมเวลา GAP ตามแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ R. I. Merkulov V. I. Lobach Belarusian State University Minsk Belarus อีเมล: [ป้องกันอีเมล] [ป้องกันอีเมล]

อุปกรณ์และระบบควบคุมอัตโนมัติ

การดำเนินการของ เอ็ม เอ ไอ. ปัญหา 89 UDC 629.051 www.mai.ru/science/trudy/ การสอบเทียบระบบนำทางเฉื่อยแบบ strapdown เมื่อหมุนรอบแกนแนวตั้ง Matasov A.I.*, Tikhomirov V.V.** Moskovsky

เรขาคณิตวิเคราะห์ โมดูล 1 พีชคณิตเมทริกซ์ พีชคณิตเวกเตอร์ ข้อความ 4 (ศึกษาด้วยตนเอง) บทคัดย่อ การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์สอง สาม และสี่ตัว

UDC 62.396.26 แอล.เอ. Podkolzina, K. Drugov อัลกอริธึมการประมวลผลข้อมูลในระบบนำทางของวัตถุเคลื่อนที่ภาคพื้นดินสำหรับช่องทางการกำหนดพิกัดตำแหน่งเพื่อกำหนดพิกัดและพารามิเตอร์

การวิเคราะห์ทางสถิติของอนุกรมเวลาพาราเมตริก GAP ตามแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ SV Lobach Belarusian State University Minsk, Belarus อีเมล: [ป้องกันอีเมล]

วิธีทางคณิตศาสตร์ของการประมวลผลข้อมูล UDC 6.39 S. Ya. Zhuk.. Kozheshkurt.. Yuzefovich National Technical University ofยูเครน "KP" ave. Pobedy 37 356 Kyiv สถาบันข้อมูลการลงทะเบียนปัญหายูเครน NAS

การสร้างสถิตยศาสตร์ MM ของวัตถุทางเทคโนโลยี เมื่อศึกษาสถิตยศาสตร์ของวัตถุทางเทคโนโลยีมักพบวัตถุที่มีไดอะแกรมบล็อกประเภทต่อไปนี้ (รูปที่: O พร้อมหนึ่งอินพุต x และหนึ่ง

การประมาณค่าพารามิเตอร์ทัศนคติของยานอวกาศโดยใช้ตัวกรองคาลมาน นักศึกษาภาควิชาระบบควบคุมอัตโนมัติ: D.I. ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์ของ Galkin: A.A. ดร.คาร์ปุนิน รองศาสตราจารย์

5. เมเลชโก้ วี.วี. ระบบนำทางเฉื่อยแบบ Strapdown: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยง / วี.วี. Meleshko, O.I. เนสเตเรนโก. Kirovograd: POLYMED-บริการ, 211. 172 หน้า กำหนดเส้นตายสำหรับกองบรรณาธิการ 17 เมษายน 212 Kostyuk

UDC 004.896 การใช้การแปลงทางเรขาคณิตสำหรับการสร้างภาพอะนามอร์ฟิเซชัน Kanev AI ผู้เชี่ยวชาญรัสเซีย 105005 มอสโก MSTU im N.E. บาวแมน กรมประมวลผลข้อมูลและระบบควบคุม

4. วิธีมอนติคาร์โล 1 4. วิธีมอนติคาร์โล เพื่อจำลองผลกระทบทางกายภาพ เศรษฐกิจ และอื่นๆ วิธีที่เรียกกันว่าวิธีมอนติคาร์โลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย พวกเขาเป็นหนี้ชื่อของพวกเขา

การกรองแบนด์พาส 1 การกรองแบนด์พาส ในส่วนก่อนหน้านี้ ได้มีการพิจารณาการกรองความแปรผันของสัญญาณที่รวดเร็ว (การปรับให้เรียบ) และการแปรผันของสัญญาณที่ช้า (การลดแนวโน้ม) บางครั้งคุณต้องเน้น

[หมายเหตุ] บทความนี้จะอธิบายพื้นฐานของตัวกรองคาลมานโดยใช้การได้มาอย่างง่ายและใช้งานง่ายของ Ramsey Faraher โดยจะให้ที่มาของตัวกรองคาลมานที่เรียบง่ายและใช้งานง่าย เพื่อวัตถุประสงค์ในการสอน

UDC 004.932 อัลกอริทึมการจำแนกลายนิ้วมือ D.S. Lomov, นักเรียนรัสเซีย, 105005, มอสโก, MSTU im. N.E. บาวแมน หัวหน้าแผนก "ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ":

ลักษณะเชิงตัวเลขของการบรรยายของระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว - เวกเตอร์สุ่มเชิงมิติ วัตถุประสงค์ของการบรรยาย: เพื่อกำหนดคุณสมบัติเชิงตัวเลขของระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว: โมเมนต์เริ่มต้นและศูนย์กลาง, ความแปรปรวนร่วม

พลวัตของอัตราการเกิดในสาธารณรัฐชูวัช

พ.ศ. 2533-5548 อิเล็กทรอนิกส์และระบบควบคุม 2554 4(30) 73 UDC656.7.052.002.5:681.32(045) V. M. Sineglazov ปริญญาเอก สาขาวิศวกรรมศาสตร์ วิทยาศาสตร์, ศาสตราจารย์, Sh. I. Askerov การประมวลผลข้อมูลที่ซับซ้อนอย่างเหมาะสมในการนำทาง

UDC 004.896 คุณสมบัติของการนำอัลกอริธึมไปใช้เพื่อแสดงผลลัพธ์ของ anamorphization Kanev AI, ผู้เชี่ยวชาญรัสเซีย, 105005, มอสโก, MSTU im. N.E. บาวแมน แผนก “ระบบประมวลผลข้อมูลและ

177 UDC 658.310.8: 519.876.2 การใช้ความแม่นยำในการประมาณค่าเมื่อจองเซ็นเซอร์ L.I. Luzina บทความนี้พิจารณาถึงแนวทางที่เป็นไปได้ในการขอรับรูปแบบความซ้ำซ้อนของเซ็นเซอร์ใหม่ แบบดั้งเดิม

รวบรวมผลงานทางวิทยาศาสตร์ของ สวทช. 28.4(54) 37 44 UDC 59.24 เกี่ยวกับความซับซ้อนของโปรแกรมสำหรับการแก้ปัญหาการระบุวัตถุคงที่เชิงเส้นไดนามิก G.V. TROSHINA มีการพิจารณาชุดโปรแกรม

UDC 625.1:519.222:528.4 S.I. ดอลกายัค S.I. Dolganyuk, 2010 การเพิ่มความแม่นยำของโซลูชันการนำทางในการวางตำแหน่งหัวรถจักรที่หลบเลี่ยงผ่านการใช้โมเดลการพัฒนารางรถไฟดิจิทัล

UDC 531.1 การปรับตัวกรองคาลมานเพื่อใช้กับระบบนำทางท้องถิ่นและระดับโลก A.N. Zabegaev ( [ป้องกันอีเมล]) วี.อี. พาฟลอฟสกี้ ( [ป้องกันอีเมล]) สถาบันคณิตศาสตร์ประยุกต์.

ระบบอัตโนมัติและการควบคุม UDC 68.58.3 AG Shpektorov, VT Fam V. I. Ulyanova (Lenina) การวิเคราะห์การประยุกต์ใช้ระบบเครื่องกลขนาดเล็ก

พื้นฐานของการวิเคราะห์การถดถอย แนวคิดของการวิเคราะห์ความสัมพันธ์และการถดถอย เพื่อแก้ปัญหาการวิเคราะห์และการพยากรณ์ทางเศรษฐศาสตร์ มักใช้ทางสถิติ การรายงาน หรือสิ่งที่สังเกตได้

การบรรยายครั้งที่ 4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการวนซ้ำอย่างง่าย หากระบบมีขนาดใหญ่ (6 สมการ) หรือเมทริกซ์ของระบบกระจัดกระจาย วิธีการวนซ้ำโดยอ้อมจะมีประสิทธิภาพมากกว่าในการแก้ปัญหา

การประชุมทางวิทยาศาสตร์ MIPT ครั้งที่ 58 ส่วนพลศาสตร์และการควบคุมระบบการเคลื่อนที่ของยานอวกาศเพื่อกำหนดการเคลื่อนที่ของแบบจำลองระบบควบคุมบนโต๊ะแอโรไดนามิกโดยใช้กล้องวิดีโอ

การบรรยายครั้งที่ 3 5. วิธีการประมาณฟังก์ชัน การกำหนดปัญหา ฟังก์ชันตารางกริด [ a b] y 5 ที่กำหนดที่โหนดของกริด Ω จะถูกนำมาพิจารณา แต่ละตาข่ายมีลักษณะเป็นขั้นตอน h ของไม่สม่ำเสมอหรือ h

1. วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการ 1. ระบบสมการเชิงเส้น 1.1. วิธีการโดยตรง 1.2. วิธีการวนซ้ำ 2. สมการไม่เชิงเส้น 2.1. สมการกับอันหนึ่งที่ไม่รู้จัก 2.2. ระบบสมการ 1.

UDC 621.396 การสอบสวนอัลกอริทึมของการประมวลผลข้อมูลรองของระบบเรดาร์หลายตัวสำหรับช่องมุมสูง Borisov AN, Glinchenko VA, Nazarov AA, Islamov RV, Suchkov PV วิทยาศาสตร์

หัวข้อ วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น - - หัวข้อ วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น การจำแนกประเภท พีชคณิตเชิงเส้นมีสี่ส่วนหลัก: การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE)

UDC 004.352.242 การสร้างภาพที่เปื้อนขึ้นมาใหม่โดยการแก้สมการอินทิกรัลของประเภทการบิดแบบ Ivannikova IA, นักเรียนรัสเซีย, 105005, มอสโก, MSTU im N.E. บาวแมน แผนก “ระบบอัตโนมัติ

การสำรวจทางอากาศภายใต้โหมดการทำงาน GPS มาตรฐาน Mogilevsky V.Ye. JSC “GNPP “แอโรจีโอฟิซิกา”

การวิเคราะห์สัญญาณเสียงตามวิธีการกรองคาลมาน กูรอฟ, พี.จี. Zhiganov, A.M. Ozersky คุณสมบัติของการประมวลผลสัญญาณสุ่มแบบไดนามิกโดยใช้แบบไม่ต่อเนื่อง

UDK AA Minko การระบุวัตถุเชิงเส้นโดยการตอบสนองต่อสัญญาณฮาร์โมนิก

การบรรยาย. การประมาณค่าแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสัญญาณ การประมาณเวลาล่าช้าของสัญญาณ การประมาณความถี่ของสัญญาณด้วยเฟสสุ่ม การประมาณค่าเวลาหน่วงและความถี่ร่วมของสัญญาณด้วยเฟสสุ่ม

เทคโนโลยีการคำนวณ เล่มที่ 18, 1, 2013 การระบุพารามิเตอร์กระบวนการแพร่กระจายที่ผิดปกติตามสมการที่ต่างกัน AS Ovsienko Samara State Technical University, Russia อีเมล:

1 การคาดการณ์สภาพตลาดของวิสาหกิจปิโตรเคมี Kordunov D.Yu., Bityutsky S.Ya. การแนะนำ. ในภาวะเศรษฐกิจสมัยใหม่ซึ่งมีการพัฒนาอย่างรวดเร็วของการบูรณาการระดับโลก

ปัญหาการแปลและการทำแผนที่พร้อมกัน (SLAM) Robot School-2014 Andrey Antonov robotosha.ru 10 ตุลาคม 2014 แผน 1 ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ SLAM 2 RGB-D SLAM 3 หุ่นยนต์ Andrey Antonov (robotosha.ru) ปัญหา SLAM

UDC 004.021 T. N. Romanova, A. V. Sidorin, V. N. Solyakov และ K. V. Kozl o v SINTEZ ของภาพโมโนโครมจากการก่อสร้าง PALETTE แบบหลายช่วงโดยใช้สารละลายของสมการปัวซอง

การประมวลผลสัญญาณดิจิตอล /9 UDC 69.78 วิธีการวิเคราะห์ของการคำนวณข้อผิดพลาดของการกำหนดทิศทางเชิงมุมจากสัญญาณของระบบนำทางด้วยดาวเทียม Aleshechkin А.М. บทนำ โหมดคำจำกัดความ

ลักษณะเฉพาะของการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของระบบออปโตอิเล็กทรอนิกส์แบบไดนามิก Pozdnyakova N.S. , Torshina I.P. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกแห่งมาตรวิทยาและการทำแผนที่ คณะข้อมูลเชิงแสง

การดำเนินการตาม ISA RAS 009. T. 46 III. ปัญหาที่ใช้ของคอมพิวเตอร์แบบกระจาย สถานะคงที่ในแบบจำลองการถ่ายโอนประจุแบบไม่เชิงเส้นใน DNA * สถานะคงที่ในแบบจำลองการถ่ายโอนประจุแบบไม่เชิงเส้นใน DNA