信号フィルタリングを分析するためのアルゴリズムの開発。 線形デジタルフィルタリングアルゴリズム。 再帰的デジタルフィルターの構造図

リアルタイムで動作する物理的に実現可能なデジタルフィルターは、次のデータを使用して、離散的な瞬間に出力信号を生成できます。a）サンプリング時の入力信号の値、および特定の数の「過去」入力は、出力信号の特定の数の前のサンプルをサンプリングします。整数タイプは、CFの順序を決定します。 CFの分類は、システムの過去の状態に関する情報がどのように使用されるかに応じて、さまざまな方法で実行されます。

トランスバーサルCF。

これは、アルゴリズムに従って機能するフィルターに付けられた名前です。

ここで、は係数のシーケンスです。

番号は、トランスバーサルデジタルフィルターの次数です。 式（15.58）からわかるように、横フィルターは、入力信号の前のサンプルの加重和を実行し、出力信号の過去のサンプルを使用しません。 式（15.58）の両側にz変換を適用すると、次のようになります。

したがって、システム機能は次のようになります

は、ゼロで複数の極を持つ分数有理関数zであり、その座標はフィルター係数によって決定されます。

トランスバーサルDFが機能するためのアルゴリズムは、図1に示すブロック図で示されています。 15.7。

米。 15.7。 トランスバーサルデジタルフィルターを構築するためのスキーム

フィルタの主な要素は、1つのサンプリング間隔でのサンプル値の遅延のブロック（記号付きの長方形）と、対応する係数によるデジタル乗算を実行するスケールブロックです。 スケールブロックの出力から、信号は加算器に送られ、そこで加算すると、出力信号のサンプルが形成されます。

ここに示されている図の形式は、「横フィルター」という用語の意味を説明しています（英語の横-横から）。

トランスバーサルデジタル機能のソフトウェア実装。

図1に示すブロック図に注意してください。 15.7はそうではありません 回路図 電子回路、ただし グラフィック画像信号処理アルゴリズム。 FORTRAN言語の手段を使用して、横方向のデジタルフィルタリングを実装するプログラムの断片を考えてみましょう。

中に入れます ランダム・アクセス・メモリコンピューターは、それぞれMセルの2つの1次元配列で構成されています。入力信号の値を格納するXという名前の配列と、フィルター係数の値を含むAという名前の配列です。

配列Xのセルの内容は、入力信号の新しいサンプルが受信されるたびに変更されます。

この配列が入力シーケンスの前のサンプルで満たされていると仮定し、プログラムでSという名前が付けられた次のサンプルの到着時に発生する状況を考慮します。このサンプルはセル番号に配置する必要があります。 1ですが、前のレコードが1つ右に、つまり遅れている側にシフトされた後でのみです。

このようにして形成された配列Xの要素は、項ごとに配列Aの要素で乗算され、その結果がYという名前のセルに入力され、出力信号のサンプル値が累積されます。 以下は、トランスバーサルデジタルフィルタリングプログラムのテキストです。

インパルス応答。 式（15.59）に戻り、逆z変換を実行して横方向CFのインパルス応答を計算します。 関数の各項が、遅延に向かって位置によってシフトされた、対応する係数に等しい寄与をすることは容易に理解できます。 だからここに

この結論は、フィルターのブロック図（図15.7を参照）を考慮し、「単一パルス」がその入力に供給されると仮定すると、直接到達できます。

横フィルターのインパルス応答には有限数の項が含まれていることに注意することが重要です。

周波数応答。

式（15.59）の変数を変更すると、周波数透過係数が得られます。

与えられたサンプリングステップAに対して、フィルターの重みを適切に選択することにより、さまざまな周波数応答形式を実現できます。

例15.4。 次の式に従って、入力信号と2つの前のサンプルの現在の値を平均化する2次横方向デジタルフィルターの周波数特性を調査します。

このフィルターのシステム機能

米。 15.8。 例15.4のトランスバーサルDFの周波数特性：a-周波数応答。 b-PFC

ここで、周波数透過係数を見つけます

基本変換により、このシステムの位相応答の周波数応答は次のようになります。

対応するグラフを図に示します。 15.8、a、b、ここで値は横軸に沿ってプロットされます-現在の周波数値でのサンプリング間隔の位相角。

たとえば、高調波入力振動の1周期あたり6つのサンプルがあるとします。 この場合、入力シーケンスは次の形式になります。

（フィルターは線形であるため、サンプルの絶対値は重要ではありません）。 アルゴリズム（15.62）を使用して、出力シーケンスを見つけます。

入力と同じ周波数の高調波出力信号がそれに対応し、振幅は入力発振の振幅に等しく、初期位相は遅延に向かって60°シフトしていることがわかります。

再帰的DF。

この種 デジタルフィルター出力カウントの形成のために、入力信号と出力信号だけでなく以前の値が使用されるという事実によって特徴付けられます：

(15.63)

さらに、フィルタリングアルゴリズムの再帰部分を決定する係数は、同時にゼロに等しくありません。 2種類のデジタルフィルターの構造の違いを強調するために、トランスバーサルフィルターは非再帰フィルターとも呼ばれます。

再帰的デジタル機能のシステム機能。

漸化式（15.63）の両側のz変換を実行すると、システムが機能することがわかります。

再帰的CFの周波数特性を表す、z平面上に極があります。 アルゴリズムの再帰部分の係数が実数である場合、これらの極は実軸上にあるか、複素共役ペアを形成します。

再帰的デジタルフィルターの構造図。

図では。 図15.9に、式（15.63）に従って実行される計算アルゴリズムの図を示します。 ブロック図の上部は、フィルタリングアルゴリズムの横方向（非再帰的）部分に対応しています。 その実装には、一般的に、入力サンプルを格納する大規模ブロック（乗算演算）とメモリーセルが必要です。

ブロック図の下部は、アルゴリズムの再帰部分に対応しています。 これは、フィルター操作中にセルからセルにシフトされる連続した出力値を使用します。

米。 15.9。 再帰的デジタルフィルターの構造図

米。 15.10。 2次の正規再帰デジタルフィルターの構造図

この実装原理の欠点は、再帰部分と非再帰部分に別々に、多数のメモリーセルが必要になることです。 再帰的デジタル関数の標準的なスキームはより完璧であり、メモリセルの可能な最小数が使用され、その数の最大数に等しくなります。 例として、図。 15.10は、システム関数に対応する2次正規再帰フィルターのブロック図を示しています。

このシステムが特定の機能を確実に実装するために、補助装置を検討してください 離散信号加算器1の出力で、2つの明らかな方程式を書き留めます。

(15.67)

式（15.66）の変換を実行すると、次のことがわかります。

一方、式（15.67）に従って

関係（15.68）と（15.69）を組み合わせると、与えられたシステム関数（15.65）に到達します。

再帰的なデジタル機能の安定性。

再帰的CFは、動的システムの離散アナログです。 フィードバック、以前の状態の値はメモリセルに保存されているためです。 いくつかの初期条件、つまり値のセットが与えられた場合、入力信号がない場合、フィルターは自由振動の役割を果たす無限シーケンスの要素を形成します。

デジタルフィルターは、その中で発生する自由プロセスが増加しないシーケンスである場合、つまり、初期条件の選択に関係なく、の値が特定の正の数Mを超えない場合に安定と呼ばれます。

アルゴリズム（15.63）に基づく再帰的デジタル関数の自由振動は、線形差分方程式の解です。

線形を解く原理との類推による 微分方程式指数関数の形で（15.70）の解を求めます

まだ不明な値です。 （15.70）に（15.71）を代入し、公約数でキャンセルすると、aが特性方程式の根であることがわかります。

（15.64）に基づいて、この方程式は、再帰CFのシステム関数の極によって満たされる方程式と正確に一致します。

式（15.72）の根系を見つけましょう。 次に、差分方程式（15.70）の一般解は次の形式になります。

初期条件が満たされるように係数を選択する必要があります。

システム機能のすべての極、つまり、数値が絶対値で1を超えず、点を中心とする単位円の内側にある場合、（15.73）に基づいて、CF内の任意の自由なプロセスは次のように記述されます。等比数列を減少させる条件とフィルターは安定します。 安定したデジタルフィルターしか実際に適用できないことは明らかです。

例15.5。 システム関数を使用して再帰的な2次デジタルフィルターの安定性を調査します

特性方程式

ルーツを持っています

係数平面上の方程式で記述される曲線は、それを超えるとシステム関数の極が実数になり、それを下回ると複素共役になる境界です。

したがって、複素共役極の場合、安定領域の境界の1つは直線1です。

米。 15.11。 2次再帰フィルターの安定領域（フィルターの極は色分けされた領域で複素共役です）

の実際の極を考慮すると、次の形式の安定条件があります。

実験室での作業

信号フィルタリングアルゴリズムプロセス制御システムで

目標。プロセス制御システムで最も一般的な測定ランダム信号をフィルタリングするためのアルゴリズムに精通し、それらの精度とコンピューターでの実装機能の比較分析を実行します。

エクササイズ

1）ランダム信号の特定の特性について、最適なフィルターパラメーターを計算します。

2）コンピューターでろ過システムをシミュレートし、検討した各方法のろ過誤差を計算します。

3）検討したアルゴリズムの有効性の比較分析を実行する。

基本的な規定。 1 最適なろ過問題の説明。測定デバイスからの信号には、多くの場合、ランダムエラー（干渉）が含まれています。 フィルタリングタスクは、有用な信号成分を干渉からある程度分離することです。 原則として、有用な信号と干渉の両方は、それらの統計的特性が知られている定常ランダムプロセスであると想定されます：数学的な期待値、分散、相関関数、スペクトル密度。 これらの特性を知っていると、線形動的システムのクラスまたは特定の構造を持つより狭いクラスの線形システムでフィルターを見つけて、フィルター出力の信号が有用な信号とできるだけ異なるようにする必要があります。

図1。 ろ過問題の声明について

表記法を導入し、ろ過問題をより正確に定式化しましょう。 インパルス応答を使用してフィルターの入力を許可します に（t) および対応する（フーリエ変換による）0

AFH W(iω) 有用な信号が受信されます バツ(t) それに相関しない干渉 z(t) （図1）。 有用な信号と干渉の相関関数とスペクトル密度は、次のように表されます。 R バツ (t), S バツ (t), R z (t) と S z (t) ..。 差のrms値が得られるように、フィルターk（t）またはW（t）の特性を見つける必要があります。 ε フィルタ出力の信号と有用な信号xの間は最小でした。 フィルタ特性が1つまたは複数のパラメータの精度でわかっている場合は、これらのパラメータの最適値を選択する必要があります。

エラー ε 2つのコンポーネントが含まれています。 最初 （ ε 1 ）は、ノイズの一部がまだフィルターを通過するという事実に関連しており、2番目の（ ε 2 ）-フィルターを通過するときに有用な信号の形状が変化するようにします。 したがって、最適なフィルタ特性の決定は、全体の誤差を最小化する妥協案の探索です。

フィルタの周波数応答を次の形式で表します。

W（iω）= A（ω）exp。

線形システムの入力と出力でのランダムプロセスのスペクトル密度をその周波数応答と結び付ける式を使用して、各エラー成分のスペクトル密度を計算します。

ノイズのスキップに関連するエラーについては、次のようになります。

S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )

有用な信号の歪みに関連する誤差のスペクトル密度は次のとおりです。

S ε2 (ω) = S バツ (ω )|1 – W(iω)| 2

これらの成分の合計Sεはスペクトル密度を持ちます

S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )

それを考慮して

|1 – W(iω)| 2 = 2 + A 2 (ω ) 罪 2 f(ω ),

S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S バツ (ω) A 2 (ω ) + S バツ （ω）-2S バツ (ω) A(ω) cosf(ω) . (1)

二乗平均平方根誤差は、次の式によってスペクトル密度に関連しています。

最小化することによって S ε (ω ) の上 f(ω) と A（ω）、方程式に到達します

cosf *（ω ) = 1
f *(ω ) = 0

2S z (ω ）A（ω）-2S バツ (ω) = 0

(2)

最適なフィルターの検出された特性は、スペクトル誤差密度に対応します

最小二乗平均平方根誤差

(3)

残念ながら、位相周波数応答のすべての周波数でゼロに等しいという条件は、フィルターのインパルス応答が偶関数であることを意味するため、見つかったフィルターは実現できません。 t>0 、だけでなく t（図2、a）。

物理的に実現可能なフィルターの場合、次の要件が当てはまります。 に（t) = 0 で t（図2、b）。 この要件は、問題ステートメントに導入する必要があります。 当然、達成可能なエラー σ 同時に増加します。 物理的な実現可能性を考慮した最適なフィルタリングの問題が解決されました。

米。 2.実現不可能（a）および実現可能（b）フィルターのインパルス特性

米。 3.有用な信号のスペクトル密度S バツ （ω）とノイズS z （ω）と最適フィルタAの振幅-周波数特性 * （ω）重複しない（a）および重複する（b）S バツ （ω）とS z (ω)

N.ウィーナー。 その解決策は上記のものよりもはるかに複雑であるため、この作業では、パラメーターの値に正確に特性が指定されているフィルターのクラスでのみ、物理的に実現可能なフィルターを探します。 数量 式（3）で計算すると、達成可能なフィルタリングエラーの推定値が低くなります。

関係（2、b）の物理的意味を図1に示します。 3.有用な信号と干渉のスペクトルが重ならない場合は、 A（ω）干渉のスペクトル密度がゼロと異なる場合はゼロに等しく、すべての周波数で1に等しい必要があります。 S バツ (ω)>0 ..。 図では。 3、bは文字を示しています A *（ω）信号のスペクトル密度と干渉が重なっている場合。

与えられた構造を持つフィルターの中で、最も普及しているのは、移動平均演算に基づくフィルター、および指数フィルターと、いわゆるゼロ次の統計フィルターです。 指数フィルターは1次の非周期フィルターであり、0次の統計フィルターは増幅リンクです。 上記の各フィルターについて詳しく見ていきましょう。

移動平均フィルター。フィルタの出力は、比率によって入力に関連付けられます

フィルタのインパルス過渡関数を図4、aに示します。 周波数特性は等しい

インパルス応答は、ヘヴィサイド関数で表すことができます 1(t)

k(t) = k.

調整可能なフィルターパラメーターはゲインです kとメモリ T.

指数フィルター（図4、b）。 出力信号は微分方程式によって決定されます

y/ γ + y = kg

インパルス応答は次のとおりです。

周波数特性

フィルタパラメータはゲインです k時定数は γ .

米。 4.インパルス過渡機能k(t）および典型的なフィルターの振幅周波数特性А（ω）：а-電流平均; b-指数関数; c）静的ゼロ次

ゼロ次統計フィルター。 このフィルターは、前述のように、増幅リンクです。 その特徴

y(t) = kg(t) ; A(ω) = k; f(ω) = 0

リストされたフィルターの重みは、信号と干渉スペクトルがばらばらであっても、理想的なフィルタリングを実現することはできません。 エラーを最小限に抑える σ ε パラメータを選択できます k、T、γ..。 これにはフィルター特性が必要です A（ω）と f(ω) 周波数とパラメーターの関数として、式（1）に代入し、フィルターパラメーターの関数となる結果の式の積分を取り、パラメーター全体でこの積分の最小値を見つけます。

たとえば、クーロン次数の統計フィルターの場合、エラーのスペクトル密度は次の形式になります。

S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S バツ ω (1 – k 2 )

積分 S ε 干渉の分散にを掛けたものに等しい π ..。 我々が得る

この等式の右辺の積分が有用な信号とノイズの分散に等しいことを考慮に入れましょう。

に関するこの式の最小値の条件 k平等につながる

見つかった値の置換後 kエラーの分散の式に、次のようになります。

現在の平均と指数のフィルターにはそれぞれ2つの調整可能なパラメーターがあり、それらの最適値は有用な信号とノイズの特性から簡単に表現することはできませんが、これらの値は数値的な方法で見つけることができます2つの変数の関数の最小値。

図5ランダム信号フィルタリングシステムのコンピュータシミュレーションのブロック図

2. シミュレートされたシステムの説明。この作業は、次のブロックで構成されるシステムをコンピューターでモデル化することによって実行されます（図5）。

1.入力信号発生器I。ランダム信号発生器（GSS）と、指定された特性を持つ2つのシェーピングフィルターが含まれます。 W バツ (iω) と W z (iω) 、その出力で有用な信号が受信されます バツ(t) と障害 z(t) ..。 ランダム信号発生器とシェーピングフィルタの間 W z 2〜3クロックサイクルのシフトを提供する遅延リンクΔが含まれています。 この場合、干渉を形成するフィルターの入力と有用な信号を形成するフィルターの入力は、互いに無相関です。

2.相関関数を計算するためのブロック
.

3.実際のフィルターを含むろ過ユニット（II）
フィルタリングエラーを計算するためのブロック
.

システムで生成された有用な信号 バツ（t）と障害 z(t) は定常ランダムプロセスであり、その相関関数は次の形式の指数で近似できます（図6）。

(6)

どこ

信号分散の推定 と ブロックを使用して計算（τ= 0）。 パラメータαとαzは教師が設定します。

3. 連続フィルターの離散実装。上記の連続フィルターの離散実装を使用します。 離散ステップ t o有用な信号とノイズの相関関数の減衰時間よりも大幅に短くなります。 したがって、入力信号とノイズのスペクトル特性からσεを計算するための上記の式（1）は、離散的な場合に使用できます。

まず、GSSから受信した信号から相関関数を使用してランダムプロセスを形成するフィルターの離散アナログを見つけましょう（6）。 これらの相関関数に対応するスペクトル密度は、次の形式になります。

(7)

GSSの出力での信号の分散が1に等しい場合の、シェーピングフィルターの伝達関数は次のとおりです。

それを見るのは難しいことではありません

各シェーピングフィルターの入力での信号がで示されている場合 ξ の場合、上記の伝達関数に対応する微分方程式は次の形式になります。

対応する差分アナログは、次の形式で記述されます。

したがって、有用な信号を形成するフィルターの操作のアルゴリズムは、次の形式になります。

（8a）

ノイズシェーピングフィルターについても同様です

（8b）

干渉を分離するように設計された連続フィルターの類似体は次のとおりです。

移動平均フィルター用

(9)

ここで、値 l条件から選択 (l + 1) t O = T;

指数フィルター用

(10)

ゼロ次の統計フィルターの場合

で 私 = kg 私 (11)

実行順序。 1.現在の情報をフィルタリングし、フィルタリングエラーを計算するために、ブロックのサブルーチンを作成してデバッグします。

2.シェーピングフィルターの出力でランダムプロセスの実現を取得し、それらを使用して、有用な信号とノイズの分散の推定値、および相関関数を見つけます。 R バツ (τ) と R z (τ) ..。 おおよそ定義する α バツと α z計算されたものと比較します。

3.によって計算します S バツ (ω) と S z (ω) 分析的またはコンピューターの下限 rmsフィルタリングエラーの場合。

4.式（4）を使用して、ゼロ次統計フィルターの最適なゲインと対応する値を見つけます。 と比較する。

5. 2つの変数の関数の最小値を見つけるよく知られた方法の1つと、事前にコンパイルされたプログラムを使用して、移動平均および指数フィルターの最適パラメーターとフィルターの二乗平均平方根誤差を見つけます。 この場合、フィルターパラメータの特定の組み合わせは、スペクトルエラー密度に対応します。 S ε (ω) 式（1）で定義され、そこから値を求めます 数値積分後。

6.フィルタープログラムをコンピューターに入力し、最適および非最適のフィルターパラメーターの二乗平均平方根誤差を実験的に決定し、結果を計算されたものと比較します。

7.次の指標について、さまざまなフィルタリングアルゴリズムの有効性の比較分析を行います。a）達成可能な最小の二乗平均平方根誤差。 b）必要なRAMの量。 c）コンピューターのカウント時間。

レポートには次のものが含まれている必要があります。 1）システムのブロック図（図5を参照）。

2）シェーピングおよび合成フィルターのサブルーチン。

3）フィルターの最適パラメーターと二乗平均平方根誤差の対応する値の計算;

4）検討されたアルゴリズムと結論の分析結果。

ブース6.2。 プロジェクトの作成6.3。 勉強 APCSトレーニングで ラボ... 特定 目標彼らの活動。 目標活動..。

I.O.名前 "" 20 g

書類

モード 仕事）;。 …[…）[モード名 仕事] ... によると ラボ分析; 5）...の要件 APCS..。 技術的プロセス...情報の処理と分析（ 信号、メッセージ、ドキュメントなど..。 アルゴリズム 濾過と アルゴリズムからのノイズを排除します 標的 ...

学期および卒業証書プロジェクトにおけるインテリジェントな自動化

概要

ワイヤー。 目標..。 製品 ... 信号システムに統合するためのHART APCS ... 濾過ダストセンサーにはさまざまな種類があります。 DT400G 働く ... アルゴリズム...化学産業。 技術的手段と ラボ 仕事/ G.I. ラプシェンコフ、L.M。 ..。

「技術プロセスの自動化」という分野の作業プログラム

ワーキングプログラム

... 目標と規律を学ぶ目的 目的...主要コンポーネント APCS-コントローラー...ビュー 信号 c ...バグ修正、 濾過メッセージ、..。 アルゴリズムおよびプログラム、ディスカッション、制御のパフォーマンス 作品. ラボクラス。 ラボ ...

リアルタイムで動作する物理的に実行可能なデジタルフィルターは、次のデータを使用して、i番目の離散的な瞬間に出力信号を生成できます。a）i番目のサンプルの瞬間の入力信号の値。また、特定の数の「過去の」入力サンプル。b）出力信号の特定の数の先行サンプル整数mおよびnは、CFの順序を定義します。 CFの分類は、システムの過去の状態に関する情報がどのように使用されるかに応じて、さまざまな方法で実行されます。

トレイスバースCF。これは、アルゴリズムに従って機能するフィルターに付けられた名前です。

どこ -係数のシーケンス。

番号 Tトランスバーサルデジタルフィルターの次数です。 式（2.138）からわかるように、横フィルターは、入力信号の前のサンプルの加重和を実行し、出力信号の過去のサンプルを使用しません。 式（2.138）の両側にz変換を適用すると、次のようになります。

したがって、システム機能は次のようになります

分数有理関数zです , z = 0にm倍の極を持ち T座標がフィルター係数によって決定されるゼロ。

トランスバーサルDFが機能するためのアルゴリズムは、図1に示すブロック図で示されています。 2.17。

米。 2.17。 トランスバーサルデジタルフィルターを構築するためのスキーム

フィルタの主な要素は、1つのサンプリング間隔でのサンプル値の遅延のブロック（記号z -1の長方形）と、対応する係数によるデジタル乗算を実行するスケールブロックです。 スケールブロックの出力から、信号は加算器に送られ、そこで加算すると、出力信号のサンプルが形成されます。

ここに示されている図の形式は、「横断面」という用語の意味を説明しています（英語の横断面から）。

インパルス応答。式（2.139）に戻り、逆z変換を実行して横方向CFのインパルス応答を計算します。 関数H（z）の各項が、対応する係数に等しい寄与をすることは容易に理解できます。 , によって置き換えられました P遅れ側に向かって配置します。 だからここに

この結論は、フィルターのブロック図（図2.17を参照）を考慮し、「単一インパルス」（1、0、0、0、...）がその入力に供給されると仮定すると直接到達できます。

横フィルターのインパルス応答には有限数の項が含まれていることに注意することが重要です。

周波数応答。式（2.139）の場合、変数を変更します 、次に周波数透過係数を取得します

特定のサンプリングステップに対して Aフィルタの重みを適切に選択することで、さまざまな周波数応答形式を実現できます。

デジタルフィルター合成法. デジタルフィルター合成の実践で最も普及しているのは、以下に説明する3つの方法です。

不変のインパルス応答の方法。

この方法は、合成されたデジタルフィルターがインパルス応答を持つ必要があるという仮定に基づいています。これは、対応するアナログフィルタープロトタイプのインパルス応答をサンプリングした結果です。 インパルス応答が消滅する物理的に実現可能なシステムの統合を意味します。 t<0 、CFのインパルス応答について次の式が得られます。

どこ T時間サンプリングステップ。

CFのインパルス応答の式の個々の項の数は、有限または無限のいずれかである可能性があることに注意してください。 これにより、合成されたフィルターの構造が決まります。横フィルターは、有限数のサンプルを持つインパルス応答に対応しますが、無限に長いインパルス応答を実装するには、再帰的なDFが必要です。

インパルス応答係数とDFの構造の関係は、横フィルターの場合は特に単純です。 一般的な場合、フィルター構造の合成は、以下を適用することによって実行されます。 z-上記の形式のシーケンスへの変換。 システム機能を見つけることによって H（z）フィルタを作成するには、それを一般式と比較して、横方向部分と再帰部分の係数を決定する必要があります。 合成されたデジタルフィルターの振幅-周波数特性のアナログプロトタイプの特性への近似の程度は、選択されたサンプリングステップに依存します。 必要に応じて、システム機能で実行してデジタルフィルターの周波数透過係数を計算する必要があります H（z）式で変数を変更する
、次に結果をアナログ回路の周波数利得と比較します。

微分方程式の離散化に基づくDF合成

アナログ回路。

既知のアナログ回路にほぼ対応するデジタルフィルターの構造は、アナログプロトタイプを記述する微分方程式を離散化することで得られます。 この方法を使用する例として、2次振動動的システムに対応するCFの合成を考えてみましょう。この場合、出力振動との関係は次のようになります。 y（t）と入力のぐらつき x（t）微分方程式で設定されます

(2.142)

サンプリングステップが  t個別のサンプルの収集を検討します  で 1  と  バツ 1  ..。 式の導関数を有限差分式に置き換えると、微分方程式は差分方程式になります。

用語を並べ替えると、次のようになります。

(2.144)

差分方程式は、アナログ振動システムをシミュレートする2次再帰フィルターアルゴリズムを定義し、デジタル共振器と呼ばれます。 係数を適切に選択することで、デジタル共振器は、発振回路と同様に、周波数選択フィルターとして機能できます。

不変周波数特性の方法 .

周波数応答がアナログ回路の周波数応答を正確に繰り返すデジタルフィルターを作成することは基本的に不可能です。 その理由は、ご存知のように、DFの周波数伝達係数は、サンプリングステップによって決定される周期を持つ周波数の周期関数であるためです。

アナログフィルターとデジタルフィルターの周波数特性の類似性（不変性）について言えば、アナログシステムに関連する周波数ωaの無限区間全体をデジタルフィルターの周波数セグメントωqに変換することだけが要求できます。不平等を満たす
周波数応答の全体像を維持しながら。

させて K a （R）累乗の分数有理式で指定されたアナログフィルターの伝達関数 p..。 変数間の関係を使用する場合 zそしてp、それから私達は書くことができます：

. (2.145)

この法則により、 pと z式への代入のため、物理的に実現可能なシステムフィルター関数を取得することは不可能です。 K a （R） 2つの多項式の商として表されないシステム関数を提供します。 したがって、ローパスフィルターの合成では、フォームの接続

, (2.146)

これは、z平面の単位円の点をp平面の虚軸の点にもマッピングします。 それで

, (2.147)

whenceは周波数変数間の関係に従いますアナログシステムとデジタルシステム：

. (2.148)

サンプリングレートが十分に高い場合 ( c T<<1), 次に、式（2.147）から簡単にわかるように、  a  c..。 したがって、低周波数では、アナログフィルターとデジタルフィルターの特性は実質的に同じです。 一般に、デジタルフィルタの周波数軸に沿ったスケール変換を考慮する必要があります。

実際には、CFを合成するための手順は、関数内の手順です。 K a （R）アナログ回路は式（2.145）に従って変数に置き換えられます。 結果として得られるDFのシステム関数は、分数有理であることが判明したため、デジタルフィルタリングアルゴリズムを直接書き留めることができます。

セルフテストの質問

どのフィルターが一致と呼ばれます。

フィルタのインパルス応答は何ですか。

整合フィルターの出力での信号は何ですか。

フィルターと呼ばれるもの。

再帰フィルターと横断フィルターの操作のアルゴリズムの違いは何ですか。

デジタルフィルターを合成するための主な方法は何ですか？ .

離散フーリエ変換の主な特性は何ですか。

分析的卒業、指数平滑法および移動平均法を使用したデジタルフィルタリングのアルゴリズム。 堅牢なハイパス、バンドパスおよびノッチフィルター。 測定値の個別の微分、積分、平均化。

フィルタは、信号の形状（振幅周波数または位相周波数応答）を選択的に変更するシステムまたはネットワークです。 フィルタリングの主な目標は、信号品質の向上（たとえば、干渉の排除または削減）、信号からの情報の抽出、または以前に結合された複数の信号の分離、たとえば、利用可能な通信チャネルを効率的に使用することです。

デジタルフィルター-この信号の特定の周波数を分離および/または抑制するためにデジタル信号を処理するフィルター。

デジタルフィルターとは異なり、アナログフィルターはアナログ信号を処理します。その特性はそれぞれ非離散（連続）であり、伝達関数はその構成要素の内部特性に依存します。

アナログ入力と出力を備えたリアルタイムデジタルフィルタの簡略化したブロック図を図に示します。 8a。 狭帯域アナログ信号は定期的にサンプリングされ、一連のデジタルサンプルに変換されます。x（n）、n = 0.1、デジタルプロセッサはフィルタリングし、計算フィルタに従って入力シーケンスx（n）を出力y（n）にマッピングします。アルゴリズム。 DACは、デジタルフィルタリングされた出力をアナログ値に変換します。アナログ値は、アナログフィルタリングされて、不要な高周波成分を滑らかにして除去します。

米。 8a。 デジタルフィルターの簡略化されたブロック図

デジタルフィルターの操作は主にソフトウェア手段によって提供されるため、アナログフィルターと比較してアプリケーションではるかに柔軟であることがわかります。 デジタルフィルターの助けを借りて、従来の方法では得るのが非常に難しいそのような伝達関数を実装することが可能です。 ただし、デジタルフィルターはまだすべての状況でアナログフィルターを置き換えることはできないため、最も一般的なアナログフィルターの必要性が残っています。

デジタルフィルタリングの本質を理解するためには、まず、デジタルフィルタリング（DF）の信号に対して実行される数学演算を決定する必要があります。 このため、アナログフィルターの定義を覚えておくと便利です。

リニアアナログフィルターは、入力信号から出力信号への線形変換が実現される4ポートネットワークです。 数学的には、この変換は通常の線形によって記述されます 微分方程式N-次数

ここで、およびは時間の定数または関数のいずれかである係数です。 t; -フィルターの順序。

線形離散フィルターはアナログ線形フィルターの離散バージョンであり、量子化（サンプリング）は独立変数-時間（サンプリングステップ）です。 この場合、整数変数は「離散時間」と見なすことができ、信号は「離散時間」の関数（いわゆる格子関数）と見なすことができます。

数学的には、線形離散フィルターの関数は線形によって記述されます 差分方程式種類の

ここで、およびはそれぞれ入力信号と出力信号の読み取り値です。 および-「離散時間」の定数または関数であるフィルタリングアルゴリズムの係数 n.

フィルタリングアルゴリズム（2.2）は、アナログまたはデジタル技術を使用して実装できます。 最初のケースでは、レベルごとの入力信号と出力信号の読み取り値は量子化されておらず、それらの変動の範囲内の任意の値を取ることができます（つまり、連続体の力を持っています）。 2番目のケースでは、信号のサンプルはレベルによって量子化されているため、デジタルデバイスのビット深度によって決定される「許可された」値のみを取得できます。 さらに、量子化された信号サンプルはエンコードされるため、式（2.2）で実行される算術演算は、信号自体ではなく、バイナリコードに対して実行されます。 信号レベルとの量子化のため、アルゴリズム（2.2）の係数と等式は正確ではなく、おおよそしか満たされません。

したがって、線形デジタルフィルタは、フィルタリングアルゴリズム（2.2）をほぼ実装するデジタルデバイスです。

アナログおよびディスクリートフィルターの主な欠点は、動作条件（温度、圧力、湿度、供給電圧、エレメントの経年劣化など）が変化すると、それらのパラメーターが変化することです。 それはにつながります 制御されていない出力信号エラー、すなわち 処理精度が低くなります。

デジタルフィルタの出力信号の誤差は、動作条件（温度、圧力、湿度、供給電圧など）に依存せず、信号の量子化ステップとフィルタ自体のアルゴリズムによってのみ決定されます。 内部的な理由。 このエラーは 制御、デジタル信号のサンプルを表すビット数を増やすことで減らすことができます。 アナログおよびディスクリートフィルターに対するデジタルフィルターの主な利点（信号処理の高精度とDF特性の安定性）を決定するのはこの状況です。

信号処理アルゴリズムの種類ごとのDFは、次のように分類されます。 定常と 非定常, 再帰的と 非再帰的, 線形と 非線形.

CFの主な特徴は フィルタリングアルゴリズム、それに応じてCFの実装が実行されます。 フィルタリングアルゴリズムは、制限なしで任意のクラスのCFの動作を記述しますが、他の特性にはCFのクラスに制限があります。たとえば、静止線形CFのみを記述するのに適しているものもあります。

米。 11.CFの分類

図では。 図１１は、デジタルフィルタ（ＤＦ）の分類を示している。 分類は、機能原理に基づいています。 デジタルフィルターは、実装するアルゴリズムに基づいて細分化され、回路機能は考慮されていません。

周波数選択のDF。 これは、最もよく知られており、よく研究され、実際にテストされているタイプのCFです。 アルゴリズムの観点から、周波数選択DFは次の問題を解決します。

・事前に指定された1つの周波数帯域の割り当て（抑制）。 抑制される周波数と抑制されない周波数に応じて、ローパスフィルター（LPF）、ハイパスフィルター（HPF）、バンドパスフィルター（PF）、およびノッチフィルター（RF）が区別されます。

・信号のスペクトル成分を、周波数範囲全体に均等に均等に分散された、別々の周波数チャネルのラインスペクトルで分離します。 時間のデシメーションと頻度のデシメーションを持つCFを区別します。 ハードウェアコストを削減する主な方法は、元のPFのセットよりも低い選択性をカスケードすることであるため、結果として得られる多段ピラミッド構造は「プレセレクターセレクター」DFと呼ばれていました。

・信号のスペクトル成分を別々の周波数チャネルに分離します。この周波数チャネルのスペクトルは、フィルターの動作範囲内で不均一に分布している、さまざまな幅のサブバンドで構成されています。

有限インパルス応答フィルター（FIRフィルター）と無限インパルス応答フィルター（IIRフィルター）は区別されます。

最適な（準最適な）CF。 このタイプのフィルターは、ランダムな外乱を受けるシステムの状態を特徴付ける特定の物理量を評価する必要がある場合に使用されます。 現在の傾向は、最適なフィルタリングの理論の成果の使用と、推定誤差の平均二乗を最小化するデバイスの実装です。 それらは、システムの状態を表す方程式に応じて、線形と非線形に細分されます。

状態方程式が線形の場合は、最適なカルマンCFが適用されます。システムの状態方程式が非線形の場合は、さまざまなマルチチャネルCFが使用され、チャネル数が増えると品質が向上します。

最適な（準最適な）CFによって実装されるアルゴリズムを、精度を大幅に損なうことなく単純化できる場合は、さまざまな特殊なケースがあります。これは、まず、よく知られているWienerのCFにつながる線形定常システムの場合です。 第二に、ある固定された瞬間にのみ観測され、最大信号対雑音比（SNR）の基準に従って最適なDFにつながる場合。 第三に、線形に近いシステムの状態方程式の場合、1次および2次の非線形フィルターなどにつながります。

重要な問題は、システムの統計的特性が所定の特性から逸脱することに対して、上記のすべてのアルゴリズムの感度を低くすることでもあります。 ロバストと呼ばれるそのようなDFの合成。

アダプティブCF。 アダプティブデジタルフィルタリングの本質は次のとおりです。入力信号を処理するために（通常、アダプティブDFは1チャネルで構築されます）、従来のFIRフィルターが使用されます。 ただし、このフィルターのIRは、周波数選択DFを検討したときのように、一度だけ設定されたままになるわけではありません。 また、カルマンCFを検討したときのように、先験的に与えられた法則に従って変化することはありません。 これらは、特定のステップでのフィルタリングの二乗平均平方根誤差を最小化するように、新しい各サンプルの到着とともに修正されます。 適応アルゴリズムは、前のステップでのIHサンプルのベクトルを、次のステップのための「新しい」IHサンプルのベクトルに再計算するための反復手順として理解されます。

ヒューリスティックCF。数学的に正しい処理手順の使用が非現実的である場合、それは不当に大きなハードウェアコストにつながるため、状況が発生する可能性があります。 ヒューリスティックなアプローチは（ギリシャ語と緯度から）です。 Evrica-知識の使用における「探している」、「発見している」）、人の創造的で無意識の思考を研究します。 ヒューリスティックは、心理学、高次神経活動の生理学、サイバネティックス、その他の科学に関連しています。 ヒューリスティックなアプローチは、ハードウェアコストを削減したいという開発者の要望によって「生成」され、厳密な数学的正当性がないにもかかわらず広く普及しています。 これらは、著者の回路ソリューションを備えたいわゆるCFであり、最も有名な例の1つはいわゆるCFです。 メディアンフィルター。