Računalniki Windows Internet

Eksponentne ulomke neenakosti. Eksponentne neenakosti. Primeri eksponentnih enačb

Aplikacija

Reševanje neenačb na spletu na Math24.biz za študente in šolarje, da utrdijo prehojeno snov. In urjenje vaših praktičnih veščin. Neenakost v matematiki je izjava o relativni velikosti ali vrstnem redu dveh predmetov (eden od predmetov je manjši ali ne večji od drugega) ali da dva predmeta nista enaka (zanikanje enakosti). V osnovni matematiki preučujemo numerične neenakosti, v splošni algebri, analizi in geometriji pa tudi neenakosti med objekti nenumerične narave. Za rešitev neenačbe je treba oba njena dela določiti z enim od neenakosti med njima. Stroge neenakosti pomenijo neenakost med dvema objektoma. Za razliko od strogih neenakosti, nestroge neenakosti omogočajo enakost predmetov, ki so vanjo vključeni. Linearne neenakosti so najpreprostejši izrazi za začetek in za reševanje takih neenakosti se uporabljajo najpreprostejše tehnike. Glavna napaka, ki jo delajo učenci pri reševanju neenačb na spletu, je, da ne ločijo med značilnostmi strogih in nestrogih neenakosti, od katerih je odvisno, ali bodo mejne vrednosti vključene v končni odgovor ali ne. Več neenačb, ki jih med seboj povezuje več neznank, imenujemo sistem neenačb. Rešitev neenačb iz sistema je določeno območje na ravnini ali tridimenzionalni lik v tridimenzionalnem prostoru. Poleg tega jih abstrahirajo n-dimenzionalni prostori, vendar je pri reševanju takšnih neenakosti pogosto nemogoče brez posebnih računalnikov. Za vsako neenakost posebej morate najti vrednosti neznanke na mejah območja rešitve. Množica vseh rešitev neenačbe je njen odgovor. Zamenjavo ene neenakosti z drugo, njej enakovredno imenujemo enakovreden prehod iz ene neenakosti v drugo. Podoben pristop najdemo v drugih disciplinah, ker pomaga izraze spraviti v standardno obliko. Cenili boste vse prednosti spletnega reševanja neenačb na naši spletni strani. Neenakost je izraz, ki vsebuje enega od znakov =>. V bistvu je to logičen izraz. Lahko je resnična ali napačna – odvisno od tega, kaj je v tej neenakosti desno in levo. Razlago pomena neenačb in osnovne tehnike reševanja neenačb se učijo pri različnih predmetih, pa tudi v šoli. Reševanje poljubnih neenačb na spletu - neenačbe z modulom, algebraične, trigonometrične, transcendentalne neenačbe na spletu. Identične neenakosti, tako kot stroge in nestroge neenakosti, poenostavljajo proces doseganja končnega rezultata in so pomožno orodje pri reševanju problema. Rešitev morebitnih neenačb in sistemov neenačb, pa naj bodo logaritemske, eksponentne, trigonometrične ali kvadratne neenakosti, je zagotovljena z uporabo prvotno pravilnega pristopa k temu pomembnemu procesu. Reševanje neenačb na spletu na spletnem mestu je vedno na voljo vsem uporabnikom in popolnoma brezplačno. Rešitve neenačbe v eni spremenljivki so vrednosti spremenljivke, ki jo pretvorijo v pravilen numerični izraz. Enačbe in neenačbe z modulom: modul realnega števila je absolutna vrednost tega števila. Standardna metoda za reševanje teh neenakosti je dvig obeh strani neenakosti na želeno potenco. Neenačbe so izrazi, ki označujejo primerjavo števil, zato pravilno reševanje neenačb zagotavlja točnost takih primerjav. Lahko so strogi (večji od, manjši od) in nestrogi (večji ali enaki, manjši ali enaki). Reševanje neenakosti pomeni iskanje vseh tistih vrednosti spremenljivk, ki jih, ko jih nadomestimo v prvotni izraz, spremenimo v pravilno numerično predstavitev.Pojem neenakosti, njeno bistvo in značilnosti, klasifikacija in sorte - to je tisto, kar določa posebnosti ta matematični del. Osnovne lastnosti numeričnih neenakosti, ki veljajo za vse predmete tega razreda, morajo učenci preučiti na začetni stopnji seznanitve s to temo. Neenakosti in razponi številskih premic so zelo tesno povezani, ko gre za reševanje neenačb na spletu. Grafična oznaka rešitve neenakosti jasno prikazuje bistvo takšnega izraza, postane jasno, za kaj si je treba prizadevati pri reševanju katerega koli problema. Koncept neenakosti vključuje primerjavo dveh ali več predmetov. Neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko, se rešujejo kot podobno sestavljene enačbe, nato pa se izberejo intervali, ki bodo vzeti kot odgovor. Z našo brezplačno storitvijo lahko enostavno in takoj rešite katero koli algebraično neenakost, trigonometrično neenakost ali neenakost, ki vsebuje transcendentalne funkcije. Število je rešitev neenačbe, če pri zamenjavi tega števila namesto spremenljivke dobimo pravilen izraz, to je, da znak neenakosti prikazuje pravi koncept.. Reševanje neenačb na spletu na spletnem mestu vsak dan za študente, da se v celoti učijo obravnavano snov in utrdijo svoje praktične spretnosti. Pogosto temo spletne neenakosti v matematiki preučujejo šolarji po zaključku razdelka enačb. Kot je pričakovano, se za določanje intervalov rešitev uporabijo vsa načela rešitve. Iskanje odgovora v analitični obliki je lahko težje kot narediti isto stvar v numerični obliki. Vendar pa ta pristop daje jasnejšo in popolnejšo sliko o celovitosti rešitve neenakosti. Težave se lahko pojavijo na stopnji konstruiranja črte abscise in risanja točk rešitve za podobno enačbo. Po tem se reševanje neenačb zmanjša na določitev predznaka funkcije na vsakem identificiranem intervalu, da se določi naraščanje ali padanje funkcije. Če želite to narediti, morate vrednosti, ki jih vsebuje vsak interval, izmenično nadomestiti z izvirno funkcijo in preveriti njeno vrednost za pozitivnost ali negativnost. To je bistvo iskanja vseh rešitev, vključno z intervali rešitev. Ko boste sami rešili neenačbo in videli vse intervale z rešitvami, boste razumeli, kako uporaben je ta pristop za nadaljnja dejanja. Spletno mesto vas vabi, da na tej strani še enkrat preverite svoje rezultate izračuna z zmogljivim sodobnim kalkulatorjem. Z edinstvenim reševalcem neenačb lahko preprosto prepoznate netočnosti in pomanjkljivosti v svojih izračunih. Študenti se pogosto sprašujejo, kje najti tako uporaben vir? Zahvaljujoč inovativnemu pristopu k zmožnosti določanja potreb inženirjev je kalkulator ustvarjen na podlagi zmogljivih računalniških strežnikov z uporabo samo novih tehnologij. V bistvu reševanje neenačb na spletu vključuje reševanje enačbe in izračun vseh možnih korenov. Dobljene rešitve so označene na črti, nato pa se izvede standardna operacija za določitev vrednosti funkcije na vsakem intervalu. Toda kaj storiti, če se korenine enačbe izkažejo za kompleksne, kako v tem primeru rešiti neenačbo v polni obliki, ki bi zadostila vsem pravilom za zapis rezultata? Odgovor na to in številna druga vprašanja lahko zlahka odgovori naša servisna spletna stran, za katero pri reševanju matematičnih nalog na spletu ni nič nemogoče. V prid zgoraj navedenemu dodajamo naslednje: vsakdo, ki se resno ukvarja s preučevanjem discipline, kot je matematika, je dolžan preučiti temo neenakosti. Obstajajo različne vrste neenačb in reševanje neenačb na spletu včasih ni enostavno, saj morate poznati principe pristopov k vsaki od njih. To je osnova uspeha in stabilnosti. Na primer, lahko upoštevamo vrste, kot so logaritemske neenakosti ali transcendentalne neenakosti. To je na splošno posebna vrsta takšnih, na prvi pogled zapletenih nalog za študente, zlasti za šolarje. Inštitutski učitelji posvečajo veliko časa usposabljanju pripravnikov za doseganje poklicnih veščin pri svojem delu. Trigonometrične neenakosti uvrščamo med iste vrste in označujemo splošen pristop k reševanju številnih praktičnih primerov iz zastavljenega problema. V nekaterih primerih je treba najprej vse zreducirati na enačbo, jo poenostaviti, razstaviti na različne faktorje, skratka spraviti v povsem jasno obliko. Človeštvo si je ves čas prizadevalo najti optimalen pristop v katerem koli prizadevanju. Zahvaljujoč sodobnim tehnologijam je človeštvo naredilo velik preboj v svoj prihodnji razvoj. Inovacije iz dneva v dan vse pogosteje prihajajo v naša življenja. Osnova računalniške tehnologije je bila seveda matematika s svojimi principi in strogim pristopom k poslu. spletno mesto je splošni matematični vir, ki vključuje razvit kalkulator neenakosti in številne druge uporabne storitve. Uporabite naše spletno mesto in zaupali boste v pravilnost rešenih težav. Iz teorije je znano, da se objekti nenumerične narave preučujejo tudi z uporabo neenakosti na spletu, le da je ta pristop poseben način preučevanja tega razdelka v algebri, geometriji in drugih področjih matematike. Neenakosti se lahko rešujejo na različne načine, končno preverjanje rešitev pa ostane nespremenjeno, kar je najbolje storiti z neposredno zamenjavo vrednosti v sami neenačbi. V mnogih primerih je dani odgovor očiten in ga je enostavno mentalno preveriti. Recimo, da moramo rešiti ulomkovo neenačbo, v kateri so želene spremenljivke prisotne v imenovalcih ulomkov. Potem se bo reševanje neenačb zmanjšalo na spravljanje vseh členov na skupni imenovalec, pri čemer smo najprej vse premaknili na levo in desno stran neenačbe. Nato morate rešiti homogeno enačbo, dobljeno v imenovalcu ulomka. Te numerične korenine bodo točke, ki niso vključene v intervale splošne rešitve neenačbe, ali pa se imenujejo tudi preluknjane točke, v katerih gre funkcija v neskončnost, to pomeni, da funkcija ni definirana, ampak lahko dobite samo njeno mejna vrednost na določeni točki. Ko rešimo enačbo, dobljeno v števcu, narišemo vse točke na številsko os. Zasenčimo točke, na katerih se števec ulomka obrne na nič. V skladu s tem pustimo vse druge točke prazne ali preluknjane. Na vsakem intervalu poiščimo znak za ulomek in nato zapišimo končni odgovor. Če so na mejah intervala zasenčene točke, te vrednosti vključimo v rešitev. Če so na mejah intervala preluknjane točke, teh vrednosti ne vključimo v rešitev. Ko rešite neenačbo, boste morali preveriti svoj rezultat. To lahko storite ročno, zamenjate vsako vrednost iz intervalov odziva eno za drugo v začetni izraz in prepoznate napake. Spletna stran vam bo enostavno ponudila vse rešitve neenačbe, prejete odgovore pa boste takoj primerjali s kalkulatorjem. Če kljub temu pride do napake, vam bo reševanje neenakosti na spletu na našem viru zelo koristno. Vsem učencem priporočamo, da najprej ne začnejo reševati enačbe neposredno, ampak rezultat prej dobijo na spletni strani, saj bodo v prihodnje sami veliko lažje naredili pravilen izračun. Pri besednih nalogah se rešitev skoraj vedno zmanjša na sestavljanje sistema neenačb z več neznankami. Naš vir vam bo pomagal rešiti neenakost na spletu v nekaj sekundah. V tem primeru bo rešitev izdelal zmogljiv računalniški program z visoko natančnostjo in brez napak v končnem odgovoru. Tako lahko s tem kalkulatorjem prihranite ogromno časa pri reševanju primerov. V številnih primerih imajo šolarji težave, ko se v praksi ali laboratoriju srečujejo z logaritemskimi neenakostmi, še huje pa, ko vidijo trigonometrične neenakosti s kompleksnimi ulomki s sinusi, kosinusi ali celo inverznimi trigonometričnimi funkcijami. Karkoli lahko rečemo, brez pomoči kalkulatorja neenakosti bo zelo težko obvladati in napake so možne na kateri koli stopnji reševanja problema. Uporabite vir spletnega mesta popolnoma brezplačno, vsak dan je na voljo vsakemu uporabniku. Zelo dobra ideja je, da začnete uporabljati našo asistenčno storitev, saj obstaja veliko analogov, vendar je le nekaj resnično kakovostnih storitev. Zagotavljamo natančnost izračunov, ko iskanje odgovora traja nekaj sekund. Vse kar morate storiti je, da neenačbe zapišete na spletu, mi pa vam takoj posredujemo točen rezultat reševanja neenačbe. Iskanje takega vira je morda nesmiselna naloga, saj je malo verjetno, da boste našli enako kakovostno storitev kot je naša. Brez teorije o reševanju neenačb na spletu lahko gre, ne gre pa brez kakovostnega in hitrega kalkulatorja. Želimo vam uspeh pri študiju! Resnično izbiranje optimalne rešitve neenakosti na spletu pogosto vključuje logičen pristop k naključni spremenljivki. Če zanemarimo majhno odstopanje sklenjenega polja, potem je vektor naraščajoče vrednosti sorazmeren z najmanjšo vrednostjo v intervalu padajoče ordinate. Invariant je sorazmeren dvakratniku preslikanih funkcij skupaj z izhodnim neničelnim vektorjem. Najboljši odgovor vedno vsebuje natančnost izračuna. Naša rešitev neenačb bo imela obliko homogene funkcije zaporedoma konjugiranih numeričnih podmnožic glavne smeri. Za prvi interval bomo vzeli natančno najslabšo vrednost naše predstavitve spremenljivke. Izračunajmo prejšnji izraz za največji odklon. Po potrebi bomo storitev uporabili po presoji predlaganih možnosti. Ali bo rešitev neenakosti na spletu našla z dobrim kalkulatorjem v svojem razredu, je retorično vprašanje, seveda bo učencem takšno orodje le koristilo in prineslo velik uspeh pri matematiki. Omejimo območje z nizom, ki ga bomo zmanjšali na elemente z zaznavo napetostnih impulzov. Fizikalne vrednosti takšnih ekstremov matematično opisujejo naraščanje in padanje delno zveznih funkcij. Na tej poti so znanstveniki našli dokaze o obstoju elementov na različnih stopnjah študija. Razporedimo vse zaporedne podmnožice enega kompleksnega prostora v eno vrsto s predmeti, kot so krogla, kocka ali valj. Iz našega rezultata lahko potegnemo nedvoumen zaključek in ko rešite neenačbo, bo rezultat zagotovo osvetlil navedeno matematično predpostavko o integraciji metode v praksi. V trenutnem stanju bo nujen pogoj tudi zadosten pogoj. Merila negotovosti pogosto povzročajo nesoglasja med študenti zaradi nezanesljivih podatkov. Za to opustitev bi morali prevzeti odgovornost univerzitetni učitelji, pa tudi šolski učitelji, saj je to treba upoštevati tudi na začetni stopnji izobraževanja. Iz zgornjega zaključka lahko po mnenju izkušenih sklepamo, da je reševanje neenačbe na spletu zelo težka naloga, ko vstopamo v neenakost neznank različnih vrst podatkov. To je bilo navedeno na znanstveni konferenci v zahodnem okrožju, na kateri so bile podane različne utemeljitve glede znanstvenih odkritij na področju matematike in fizike ter molekularne analize biološko zgrajenih sistemov. Pri iskanju optimalne rešitve so absolutno vse logaritemske neenakosti znanstvene vrednosti za vse človeštvo. Preučimo ta pristop za logične sklepe glede številnih neskladij na najvišji ravni konceptov o obstoječem predmetu. Logika narekuje nekaj drugega, kot se neizkušenemu učencu zdi na prvi pogled. Zaradi pojava obsežnih analogij bo smiselno najprej izenačiti razmerja do razlike med predmeti preučevanega območja in nato v praksi pokazati prisotnost skupnega analitičnega rezultata. Reševanje neenačb je popolnoma odvisno od uporabe teorije in za vsakogar bo pomembno, da študira to vejo matematike, ki je nujna za nadaljnje raziskovanje. Vendar pa morate pri reševanju neenačb poiskati vse korenine sestavljene enačbe in šele nato narisati vse točke na ordinatni osi. Nekatere točke bodo preluknjane, ostale pa bodo vključene v intervalih s splošno rešitvijo. Začnimo preučevati del matematike z osnovami najpomembnejše discipline šolskega kurikuluma. Če so trigonometrične neenakosti sestavni del besedilne naloge, potem je uporaba vira za izračun odgovora preprosto nujna. Pravilno vnesite levo in desno stran neenakosti, pritisnite gumb in dobite rezultat v nekaj sekundah. Za hitre in natančne matematične izračune s številčnimi ali simboličnimi koeficienti pred neznankami boste, kot vedno, potrebovali univerzalni kalkulator neenačb in enačb, ki lahko v nekaj sekundah ponudi odgovor na vaš problem. Če nimate časa za pisanje cele serije pisnih vaj, potem je veljavnost storitve nesporna tudi s prostim očesom. Za študente je ta pristop bolj optimalen in upravičen z vidika prihranka materialnih sredstev in časa. Nasproti kraka leži kot, za merjenje katerega potrebujete šestilo, lahko pa kadar koli uporabite namige in neenačbo rešite brez uporabe redukcijskih formul. Ali to pomeni uspešno dokončanje začete akcije? Odgovor bo vsekakor pozitiven.

V tej lekciji si bomo ogledali različne eksponentne neenačbe in se jih naučili reševati na podlagi tehnike za reševanje najpreprostejših eksponentnih neenačb.

1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije

Spomnimo se definicije in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Na teh lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenačb.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y je odvisna spremenljivka, funkcija.

riž. 1. Graf eksponentne funkcije

Graf prikazuje naraščajoče in padajoče eksponente, ki ponazarjajo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od ena in manjšo od ena, vendar večjo od nič.

Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)

Lastnosti eksponentne funkcije:

Domena: ;

Razpon vrednosti: ;

Funkcija je monotona, narašča z, pada z.

Monotona funkcija sprejme vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.

Ko , ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od vključno nič do plus neskončnosti, tj. Za dane vrednosti argumenta imamo monotono naraščajočo funkcijo (). Nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša od neskončnosti do vključno nič, tj. Za dane vrednosti argumenta imamo monotono padajočo funkcijo ().

2. Najenostavnejše eksponentne neenačbe, metoda reševanja, primer

Na podlagi zgoraj navedenega predstavljamo metodo za reševanje preprostih eksponentnih neenačb:

Tehnika reševanja neenačb:

Izenači stopinjske osnove;

Primerjajte kazalnike tako, da ohranite ali spremenite znak neenakosti v nasprotnega.

Rešitev zapletenih eksponentnih neenakosti je običajno v redukciji na najpreprostejše eksponentne neenakosti.

Osnova stopnje je večja od ena, kar pomeni, da je znak neenakosti ohranjen:

Transformirajmo desno stran glede na lastnosti stopnje:

Osnova stopnje je manjša od ena, znak neenakosti mora biti obrnjen:

Za rešitev kvadratne neenačbe rešimo ustrezno kvadratno enačbo:

Z uporabo Vietovega izreka najdemo korenine:

Veje parabole so usmerjene navzgor.

Tako imamo rešitev neenakosti:

Zlahka je uganiti, da lahko desno stran predstavimo kot potenco z eksponentom nič:

Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti se ne spremeni, dobimo:

Spomnimo se tehnike reševanja takih neenakosti.

Razmislite o frakcijski racionalni funkciji:

Najdemo domeno definicije:

Iskanje korenin funkcije:

Funkcija ima en sam koren,

Izberemo intervale konstantnega predznaka in na vsakem intervalu določimo predznake funkcije:

riž. 2. Intervali nespremenljivosti predznaka

Tako smo prejeli odgovor.

odgovor:

3. Reševanje standardnih eksponentnih neenačb

Razmislimo o neenakosti z enakimi indikatorji, vendar z različnimi osnovami.

Ena od lastnosti eksponentne funkcije je, da ima za vsako vrednost argumenta strogo pozitivne vrednosti, kar pomeni, da jo je mogoče razdeliti na eksponentno funkcijo. Dano neenakost delimo z njeno desno stranjo:

Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti je ohranjen.

Ponazorimo rešitev:

Slika 6.3 prikazuje grafe funkcij in . Očitno je, da ko je argument večji od nič, je graf funkcije višji, ta funkcija je večja. Ko so vrednosti argumentov negativne, gre funkcija nižje, je manjša. Če je argument enak, sta funkciji enaki, kar pomeni, da je ta točka tudi rešitev dane neenačbe.

riž. 3. Ilustracija primera 4

Dano neenakost transformirajmo glede na lastnosti stopnje:

Tukaj je nekaj podobnih izrazov:

Oba dela razdelimo na:

Zdaj nadaljujemo z reševanjem podobno kot v primeru 4, oba dela delimo z:

Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti ostane:

4. Grafično reševanje eksponentnih neenačb

Primer 6 - Rešite neenačbo grafično:

Oglejmo si funkcije na levi in ​​desni strani in zgradimo graf za vsako od njih.

Funkcija je eksponentna in narašča v svoji celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.

Funkcija je linearna in pada v svoji celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.

Če se te funkcije sekajo, to pomeni, da ima sistem rešitev, potem je taka rešitev edinstvena in jo je mogoče zlahka uganiti. Da bi to naredili, ponovimo cela števila ()

Preprosto je videti, da je koren tega sistema:

Tako se grafi funkcij sekajo v točki z argumentom, ki je enak ena.

Zdaj moramo dobiti odgovor. Pomen podane neenakosti je, da mora biti eksponent večji ali enak linearni funkciji, torej biti višji ali sovpadati z njo. Odgovor je očiten: (Slika 6.4)

riž. 4. Ilustracija primera 6

Torej smo si ogledali reševanje različnih standardnih eksponentnih neenakosti. Nato preidemo na bolj zapletene eksponentne neenakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu P. et al. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Razsvetljenje.

matematika md. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Domača naloga

1. Algebra in začetki analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, št. 472, 473;

2. Reši neenačbo:

3. Reši neenačbo.

Reševanje neenačb. Obstajajo različne vrste neenakosti in zahtevajo različne pristope k njihovemu reševanju. Če ne želite porabiti časa in truda za reševanje neenačb ali pa ste neenačbo rešili sami in želite preveriti, ali ste dobili pravilen odgovor, vam predlagamo, da neenačbe rešite na spletu in za to uporabite našo storitev Math24.su. Rešuje tako linearne kot kvadratne neenačbe, vključno z iracionalnimi in delnimi neenačbami. Prepričajte se, da ste v ustrezna polja vnesli obe strani neenakosti in med njima izberite znak neenakosti, nato kliknite gumb "Rešitev". Za prikaz, kako storitev implementira rešitev neenačb, si lahko ogledate različne vrste primerov in njihovih rešitev (izbrano desno od gumba »Reši«). Storitev ponuja intervale rešitev in celoštevilske vrednosti. Uporabniki, ki prvič pridejo na Math24.su, občudujejo visoko hitrost storitve, saj lahko neenačbe rešite na spletu v nekaj sekundah, storitev pa lahko uporabljate popolnoma brezplačno neomejeno število krat. Delo storitve je avtomatizirano, izračune opravi program in ne oseba. Na vaš računalnik vam ni treba namestiti programske opreme, se registrirati, vnesti osebnih podatkov ali e-pošte. Prav tako so izključene tipkarske napake in napake v izračunih, dobljenemu rezultatu lahko zaupate 100%. Prednosti reševanja neenačb na spletu. Zahvaljujoč visoki hitrosti in enostavnosti uporabe je storitev Math24.su postala zanesljiv pomočnik za številne šolarje in študente. Neenakosti pogosto najdemo v šolskih učnih načrtih in inštitutskih tečajih višje matematike, tisti, ki uporabljajo našo spletno storitev, pa imajo velike prednosti pred drugimi. Math24.su je na voljo 24 ur na dan, ne zahteva registracije ali pristojbin za uporabo in je tudi večjezičen. Spletne storitve ne smejo zanemariti tisti, ki rešitve neenakosti iščejo sami. Navsezadnje je Math24.su odlična priložnost, da preverite pravilnost svojih izračunov, ugotovite, kje je bila storjena napaka, in vidite, kako se rešujejo različne vrste neenakosti. Drugi razlog, zakaj bo neenačbe učinkoviteje reševati na spletu, je, da reševanje neenačb ni glavna naloga, ampak le del nje. V tem primeru preprosto nima smisla porabiti veliko časa in truda za izračune, zato je bolje, da to zaupate spletni storitvi, medtem ko se osredotočite na rešitev glavne težave. Kot lahko vidite, bo spletna storitev za reševanje neenačb uporabna tako za tiste, ki samostojno rešujejo tovrstne matematične probleme, kot za tiste, ki ne želijo izgubljati časa in truda z dolgotrajnimi izračuni, ampak morajo hitro dobiti odgovor. Zato, ko naletite na neenakosti, ne pozabite uporabiti naše storitve za spletno reševanje neenakosti: linearne, kvadratne, iracionalne, trigonometrične, logaritemske. Kaj so neenakosti in kako so označene. Neenakost je hrbtna stran enakosti in je kot koncept povezana s primerjavo dveh predmetov. Glede na značilnosti predmetov, ki jih primerjamo, pravimo višji, nižji, nižji, daljši, debelejši, tanjši itd. V matematiki se pomen neenakosti ne izgubi, vendar tukaj govorimo o neenakosti matematičnih predmetov: števil, izrazov, vrednosti količin, številk itd. Običajno se uporablja več znakov neenakosti: , ≤, ≥. Matematični izrazi s takimi predznaki se imenujejo neenačbe. Med večjim in manjšim predmetom je postavljen znak > (večje kot), ki označuje stroge neenakosti. Nestroge neenakosti opisujejo situacijo, ko je en izraz »nič več« (»nič manj«) od drugega. »Ne več« pomeni manj ali enako in »ne manj« pomeni več ali enako.

Lekcija in predstavitev na temo: "Eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"

Definicija eksponentnih enačb

Fantje, preučevali smo eksponentne funkcije, se učili njihovih lastnosti in gradili grafe, analizirali primere enačb, v katerih so bile najdene eksponentne funkcije. Danes bomo preučevali eksponentne enačbe in neenačbe.

Opredelitev. Enačbe oblike: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer je $a>0$, $a≠1$, imenujemo eksponentne enačbe.

Če se spomnimo izrekov, ki smo jih preučevali v temi "Eksponentna funkcija", lahko predstavimo nov izrek:
Izrek. Eksponentna enačba $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer je $a>0$, $a≠1$, je enakovredna enačbi $f(x)=g(x) $.

Primeri eksponentnih enačb

Primer.
Reši enačbe:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
rešitev.
a) Dobro vemo, da je $27=3^3$.
Prepišimo našo enačbo: $3^(3x-3)=3^3$.
Z uporabo zgornjega izreka ugotovimo, da se naša enačba zmanjša na enačbo $3x-3=3$; z rešitvijo te enačbe dobimo $x=2$.
Odgovor: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Nato lahko našo enačbo prepišemo: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=0,2$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

C) Prvotna enačba je enakovredna enačbi: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ in $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ in $x_2=-3$.

Primer.
Rešite enačbo: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
rešitev:
Izvedimo vrsto dejanj zaporedoma in pripeljemo obe strani naše enačbe na isto bazo.
Izvedimo več operacij na levi strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pojdimo na desno stran:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Prvotna enačba je enakovredna enačbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

Primer.
Rešite enačbo: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
rešitev:
Prepišimo našo enačbo: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Zamenjajmo spremenljivke, naj bo $a=3^x$.
V novih spremenljivkah bo enačba v obliki: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ in $a_2=3$.
Izvedimo obratno spremembo spremenljivk: $3^x=-12$ in $3^x=3$.
V zadnji lekciji smo se naučili, da imajo lahko eksponentni izrazi samo pozitivne vrednosti, spomnite se grafa. To pomeni, da prva enačba nima rešitev, druga enačba pa ima eno rešitev: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.

Spomnimo se, kako rešiti eksponentne enačbe:
1. Grafična metoda. Obe strani enačbe predstavimo v obliki funkcij in zgradimo njihove grafe, poiščemo presečišča grafov. (To metodo smo uporabili v zadnji lekciji).
2. Načelo enakosti kazalnikov. Načelo temelji na dejstvu, da sta dva izraza z enakimi osnovami enaka, če in samo če sta stopnji (eksponenti) teh osnov enaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda variabilne zamenjave. To metodo je treba uporabiti, če enačba pri zamenjavi spremenljivk poenostavi svojo obliko in jo je veliko lažje rešiti.

Primer.
Rešite sistem enačb: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \konec (primeri)$.
rešitev.
Razmislimo o obeh enačbah sistema ločeno:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmislite o drugi enačbi:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Uporabimo metodo spreminjanja spremenljivk, naj bo $y=2^(x+y)$.
Potem bo enačba dobila obliko:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ in $y_2=-3$.
Preidimo k začetnim spremenljivkam, iz prve enačbe dobimo $x+y=2$. Druga enačba nima rešitev. Potem je naš začetni sistem enačb enakovreden sistemu: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \konec (primeri)$.
Odštejemo drugo od prve enačbe, dobimo: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \konec (primeri)$.
$\begin (primeri) y=-1, \\ x=3. \konec (primeri)$.
Odgovor: $(3;-1)$.

Eksponentne neenakosti

Pojdimo k neenakostim. Pri reševanju neenačb je potrebno paziti na osnovo stopnje. Pri reševanju neenačb sta možna dva scenarija razvoja dogodkov.

Izrek. Če je $a>1$, potem je eksponentna neenakost $a^(f(x))>a^(g(x))$ enakovredna neenakosti $f(x)>g(x)$.
Če $0 a^(g(x))$ je enakovredna neenakosti $f(x)

Primer.
Reši neenačbe:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
rešitev.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša neenakost je enakovredna neenakosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V naši enačbi je osnova takrat, ko je stopnja manjša od 1, potem je pri zamenjavi neenačbe z enakovredno potrebno spremeniti predznak.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Naša neenakost je enakovredna neenakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Uporabimo metodo intervalne rešitve:
Odgovor: $(-∞;-5]U
.

Ponovno poglejmo isto neenakost in f (x) > b, Če a>0 in b<0 .

Torej, diagram na sliki 3:


Primer reševanja neenačbe (1/3) x + 2 > –9. Kot smo opazili, je ne glede na to, katero število zamenjamo za x, (1/3) x + 2 vedno večje od nič.

odgovor: (–∞; +∞) .

Kako se rešujejo neenakosti oblike? in f(x)< b , Kje a>1 in b>0?

Diagram na sliki 4:

In še naslednji primer: 3 3 – x ≥ 8.
Ker je 3 > 1 in 8 > 0, torej
3 – x > log 3 8, to je
–x > log 3 8 – 3,
X< 3 – log 3 8.

odgovor: (0; 3–log 3 8) .

Kako se lahko spremeni rešitev neenačbe? in f(x)< b , pri 0 in b>0?

Diagram na sliki 5:

In še naslednji primer: Rešite neenačbo 0,6 2x – 3< 0,36 .

Po diagramu na sliki 5 dobimo
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2x – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

odgovor: (2,5; +∞) .

Oglejmo si zadnjo shemo za reševanje neenakosti oblike in f(x)< b , pri a>0 in b<0 , prikazano na sliki 6:

Na primer, rešimo neenačbo:

Upoštevamo, da je ne glede na to, katero število zamenjamo za x, leva stran neenakosti vedno večja od nič, v našem primeru pa je ta izraz manjši od -8, tj. in nič, kar pomeni, da ni rešitev.

odgovor: brez rešitev.

Če veste, kako rešiti najpreprostejše eksponentne neenakosti, lahko nadaljujete reševanje eksponentnih neenačb.

Primer 1.

Poiščite največjo celoštevilsko vrednost x, ki ustreza neenakosti

Ker je 6 x večje od nič (pri nobenem x se imenovalec ne premakne na nič), če pomnožimo obe strani neenakosti s 6 x, dobimo:

440 – 2 6 2x > 8, torej
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primer 2.

Reši neenačbo 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x z y, dobimo neenačbo y 2 – 3y + 2 ≤ 0 in rešimo to kvadratno neenačbo.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 in y 2 = 2.

Veje parabole so usmerjene navzgor, narišimo graf:

Potem bo rešitev neenačbe neenačba 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

odgovor: (0; 1) .

Primer 3. Reši neenačbo 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zberimo izraze z enakimi osnovami v enem delu neenačbe

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vzemimo 5 x iz oklepaja na levi strani neenakosti in 3 x na desni strani neenakosti in dobimo neenakost

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3,5 x< (25/3)·3 х

Obe strani neenačbe delimo z izrazom 3 3 x, predznak neenakosti se ne spremeni, ker je 3 3 x pozitivno število, dobimo neenakost:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

odgovor: (–∞; 2) .

Če imate vprašanja o reševanju eksponentnih neenakosti ali bi radi vadili reševanje podobnih primerov, se prijavite na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.