Eksponentne ulomke neenakosti. Eksponentne neenakosti. Primeri eksponentnih enačb
V tej lekciji si bomo ogledali različne eksponentne neenačbe in se jih naučili reševati na podlagi tehnike za reševanje najpreprostejših eksponentnih neenačb.
1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije
Spomnimo se definicije in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Na teh lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenačb.
Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y je odvisna spremenljivka, funkcija.
riž. 1. Graf eksponentne funkcije
Graf prikazuje naraščajoče in padajoče eksponente, ki ponazarjajo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od ena in manjšo od ena, vendar večjo od nič.
Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)
Lastnosti eksponentne funkcije:
Domena: ;
Razpon vrednosti: ;
Funkcija je monotona, narašča z, pada z.
Monotona funkcija sprejme vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.
Ko , ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od vključno nič do plus neskončnosti, tj. Za dane vrednosti argumenta imamo monotono naraščajočo funkcijo (). Nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša od neskončnosti do vključno nič, tj. Za dane vrednosti argumenta imamo monotono padajočo funkcijo ().
2. Najenostavnejše eksponentne neenačbe, metoda reševanja, primer
Na podlagi zgoraj navedenega predstavljamo metodo za reševanje preprostih eksponentnih neenačb:
Tehnika reševanja neenačb:
Izenači stopinjske osnove;
Primerjajte kazalnike tako, da ohranite ali spremenite znak neenakosti v nasprotnega.
Rešitev zapletenih eksponentnih neenakosti je običajno v redukciji na najpreprostejše eksponentne neenakosti.
Osnova stopnje je večja od ena, kar pomeni, da je znak neenakosti ohranjen:
Transformirajmo desno stran glede na lastnosti stopnje:
Osnova stopnje je manjša od ena, znak neenakosti mora biti obrnjen:
Za rešitev kvadratne neenačbe rešimo ustrezno kvadratno enačbo:
Z uporabo Vietovega izreka najdemo korenine:
Veje parabole so usmerjene navzgor.
Tako imamo rešitev neenakosti:
Zlahka je uganiti, da lahko desno stran predstavimo kot potenco z eksponentom nič:
Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti se ne spremeni, dobimo:
Spomnimo se tehnike reševanja takih neenakosti.
Razmislite o frakcijski racionalni funkciji:
Najdemo domeno definicije:
Iskanje korenin funkcije:
Funkcija ima en sam koren,
Izberemo intervale konstantnega predznaka in na vsakem intervalu določimo predznake funkcije:
riž. 2. Intervali nespremenljivosti predznaka
Tako smo prejeli odgovor.
odgovor:
3. Reševanje standardnih eksponentnih neenačb
Razmislimo o neenakosti z enakimi indikatorji, vendar z različnimi osnovami.
Ena od lastnosti eksponentne funkcije je, da ima za vsako vrednost argumenta strogo pozitivne vrednosti, kar pomeni, da jo je mogoče razdeliti na eksponentno funkcijo. Dano neenakost delimo z njeno desno stranjo:
Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti je ohranjen.
Ponazorimo rešitev:
Slika 6.3 prikazuje grafe funkcij in . Očitno je, da ko je argument večji od nič, je graf funkcije višji, ta funkcija je večja. Ko so vrednosti argumentov negativne, gre funkcija nižje, je manjša. Če je argument enak, sta funkciji enaki, kar pomeni, da je ta točka tudi rešitev dane neenačbe.
riž. 3. Ilustracija primera 4
Dano neenakost transformirajmo glede na lastnosti stopnje:
Tukaj je nekaj podobnih izrazov:
Oba dela razdelimo na:
Zdaj nadaljujemo z reševanjem podobno kot v primeru 4, oba dela delimo z:
Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti ostane:
4. Grafično reševanje eksponentnih neenačb
Primer 6 - Rešite neenačbo grafično:
Oglejmo si funkcije na levi in desni strani in zgradimo graf za vsako od njih.
Funkcija je eksponentna in narašča v svoji celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.
Funkcija je linearna in pada v svoji celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.
Če se te funkcije sekajo, to pomeni, da ima sistem rešitev, potem je taka rešitev edinstvena in jo je mogoče zlahka uganiti. Da bi to naredili, ponovimo cela števila ()
Preprosto je videti, da je koren tega sistema:
Tako se grafi funkcij sekajo v točki z argumentom, ki je enak ena.
Zdaj moramo dobiti odgovor. Pomen podane neenakosti je, da mora biti eksponent večji ali enak linearni funkciji, torej biti višji ali sovpadati z njo. Odgovor je očiten: (Slika 6.4)
riž. 4. Ilustracija primera 6
Torej smo si ogledali reševanje različnih standardnih eksponentnih neenakosti. Nato preidemo na bolj zapletene eksponentne neenakosti.
Bibliografija
Mordkovich A. G. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu P. et al. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Razsvetljenje.
matematika md. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.
Domača naloga
1. Algebra in začetki analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, št. 472, 473;
2. Reši neenačbo:
3. Reši neenačbo.
Reševanje neenačb. Obstajajo različne vrste neenakosti in zahtevajo različne pristope k njihovemu reševanju. Če ne želite porabiti časa in truda za reševanje neenačb ali pa ste neenačbo rešili sami in želite preveriti, ali ste dobili pravilen odgovor, vam predlagamo, da neenačbe rešite na spletu in za to uporabite našo storitev Math24.su. Rešuje tako linearne kot kvadratne neenačbe, vključno z iracionalnimi in delnimi neenačbami. Prepričajte se, da ste v ustrezna polja vnesli obe strani neenakosti in med njima izberite znak neenakosti, nato kliknite gumb "Rešitev". Za prikaz, kako storitev implementira rešitev neenačb, si lahko ogledate različne vrste primerov in njihovih rešitev (izbrano desno od gumba »Reši«). Storitev ponuja intervale rešitev in celoštevilske vrednosti. Uporabniki, ki prvič pridejo na Math24.su, občudujejo visoko hitrost storitve, saj lahko neenačbe rešite na spletu v nekaj sekundah, storitev pa lahko uporabljate popolnoma brezplačno neomejeno število krat. Delo storitve je avtomatizirano, izračune opravi program in ne oseba. Na vaš računalnik vam ni treba namestiti programske opreme, se registrirati, vnesti osebnih podatkov ali e-pošte. Prav tako so izključene tipkarske napake in napake v izračunih, dobljenemu rezultatu lahko zaupate 100%. Prednosti reševanja neenačb na spletu. Zahvaljujoč visoki hitrosti in enostavnosti uporabe je storitev Math24.su postala zanesljiv pomočnik za številne šolarje in študente. Neenakosti pogosto najdemo v šolskih učnih načrtih in inštitutskih tečajih višje matematike, tisti, ki uporabljajo našo spletno storitev, pa imajo velike prednosti pred drugimi. Math24.su je na voljo 24 ur na dan, ne zahteva registracije ali pristojbin za uporabo in je tudi večjezičen. Spletne storitve ne smejo zanemariti tisti, ki rešitve neenakosti iščejo sami. Navsezadnje je Math24.su odlična priložnost, da preverite pravilnost svojih izračunov, ugotovite, kje je bila storjena napaka, in vidite, kako se rešujejo različne vrste neenakosti. Drugi razlog, zakaj bo neenačbe učinkoviteje reševati na spletu, je, da reševanje neenačb ni glavna naloga, ampak le del nje. V tem primeru preprosto nima smisla porabiti veliko časa in truda za izračune, zato je bolje, da to zaupate spletni storitvi, medtem ko se osredotočite na rešitev glavne težave. Kot lahko vidite, bo spletna storitev za reševanje neenačb uporabna tako za tiste, ki samostojno rešujejo tovrstne matematične probleme, kot za tiste, ki ne želijo izgubljati časa in truda z dolgotrajnimi izračuni, ampak morajo hitro dobiti odgovor. Zato, ko naletite na neenakosti, ne pozabite uporabiti naše storitve za spletno reševanje neenakosti: linearne, kvadratne, iracionalne, trigonometrične, logaritemske. Kaj so neenakosti in kako so označene. Neenakost je hrbtna stran enakosti in je kot koncept povezana s primerjavo dveh predmetov. Glede na značilnosti predmetov, ki jih primerjamo, pravimo višji, nižji, nižji, daljši, debelejši, tanjši itd. V matematiki se pomen neenakosti ne izgubi, vendar tukaj govorimo o neenakosti matematičnih predmetov: števil, izrazov, vrednosti količin, številk itd. Običajno se uporablja več znakov neenakosti: , ≤, ≥. Matematični izrazi s takimi predznaki se imenujejo neenačbe. Med večjim in manjšim predmetom je postavljen znak > (večje kot), ki označuje stroge neenakosti. Nestroge neenakosti opisujejo situacijo, ko je en izraz »nič več« (»nič manj«) od drugega. »Ne več« pomeni manj ali enako in »ne manj« pomeni več ali enako.
Lekcija in predstavitev na temo: "Eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti"
Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.
Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"
Definicija eksponentnih enačb
Fantje, preučevali smo eksponentne funkcije, se učili njihovih lastnosti in gradili grafe, analizirali primere enačb, v katerih so bile najdene eksponentne funkcije. Danes bomo preučevali eksponentne enačbe in neenačbe.Opredelitev. Enačbe oblike: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer je $a>0$, $a≠1$, imenujemo eksponentne enačbe.
Če se spomnimo izrekov, ki smo jih preučevali v temi "Eksponentna funkcija", lahko predstavimo nov izrek:
Izrek. Eksponentna enačba $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer je $a>0$, $a≠1$, je enakovredna enačbi $f(x)=g(x) $.
Primeri eksponentnih enačb
Primer.Reši enačbe:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
rešitev.
a) Dobro vemo, da je $27=3^3$.
Prepišimo našo enačbo: $3^(3x-3)=3^3$.
Z uporabo zgornjega izreka ugotovimo, da se naša enačba zmanjša na enačbo $3x-3=3$; z rešitvijo te enačbe dobimo $x=2$.
Odgovor: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Nato lahko našo enačbo prepišemo: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=0,2$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.
C) Prvotna enačba je enakovredna enačbi: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ in $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ in $x_2=-3$.
Primer.
Rešite enačbo: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
rešitev:
Izvedimo vrsto dejanj zaporedoma in pripeljemo obe strani naše enačbe na isto bazo.
Izvedimo več operacij na levi strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pojdimo na desno stran:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Prvotna enačba je enakovredna enačbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.
Primer.
Rešite enačbo: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
rešitev:
Prepišimo našo enačbo: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Zamenjajmo spremenljivke, naj bo $a=3^x$.
V novih spremenljivkah bo enačba v obliki: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ in $a_2=3$.
Izvedimo obratno spremembo spremenljivk: $3^x=-12$ in $3^x=3$.
V zadnji lekciji smo se naučili, da imajo lahko eksponentni izrazi samo pozitivne vrednosti, spomnite se grafa. To pomeni, da prva enačba nima rešitev, druga enačba pa ima eno rešitev: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.
Spomnimo se, kako rešiti eksponentne enačbe:
1. Grafična metoda. Obe strani enačbe predstavimo v obliki funkcij in zgradimo njihove grafe, poiščemo presečišča grafov. (To metodo smo uporabili v zadnji lekciji).
2. Načelo enakosti kazalnikov. Načelo temelji na dejstvu, da sta dva izraza z enakimi osnovami enaka, če in samo če sta stopnji (eksponenti) teh osnov enaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda variabilne zamenjave. To metodo je treba uporabiti, če enačba pri zamenjavi spremenljivk poenostavi svojo obliko in jo je veliko lažje rešiti.
Primer.
Rešite sistem enačb: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \konec (primeri)$.
rešitev.
Razmislimo o obeh enačbah sistema ločeno:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmislite o drugi enačbi:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Uporabimo metodo spreminjanja spremenljivk, naj bo $y=2^(x+y)$.
Potem bo enačba dobila obliko:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ in $y_2=-3$.
Preidimo k začetnim spremenljivkam, iz prve enačbe dobimo $x+y=2$. Druga enačba nima rešitev. Potem je naš začetni sistem enačb enakovreden sistemu: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \konec (primeri)$.
Odštejemo drugo od prve enačbe, dobimo: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \konec (primeri)$.
$\begin (primeri) y=-1, \\ x=3. \konec (primeri)$.
Odgovor: $(3;-1)$.
Eksponentne neenakosti
Pojdimo k neenakostim. Pri reševanju neenačb je potrebno paziti na osnovo stopnje. Pri reševanju neenačb sta možna dva scenarija razvoja dogodkov.Izrek. Če je $a>1$, potem je eksponentna neenakost $a^(f(x))>a^(g(x))$ enakovredna neenakosti $f(x)>g(x)$.
Če $0 a^(g(x))$ je enakovredna neenakosti $f(x)
Primer.
Reši neenačbe:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
rešitev.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša neenakost je enakovredna neenakosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V naši enačbi je osnova takrat, ko je stopnja manjša od 1, potem je pri zamenjavi neenačbe z enakovredno potrebno spremeniti predznak.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Naša neenakost je enakovredna neenakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Uporabimo metodo intervalne rešitve:
Odgovor: $(-∞;-5]U.
Ponovno poglejmo isto neenakost in f (x) > b, Če a>0 in b<0 .
Torej, diagram na sliki 3:
Primer reševanja neenačbe (1/3) x + 2 > –9. Kot smo opazili, je ne glede na to, katero število zamenjamo za x, (1/3) x + 2 vedno večje od nič.
odgovor: (–∞; +∞) .
Kako se rešujejo neenakosti oblike? in f(x)< b , Kje a>1 in b>0?
Diagram na sliki 4:
In še naslednji primer: 3 3 – x ≥ 8.
Ker je 3 > 1 in 8 > 0, torej
3 – x > log 3 8, to je
–x > log 3 8 – 3,
X< 3 – log
3 8.
odgovor: (0; 3–log 3 8) .
Kako se lahko spremeni rešitev neenačbe? in f(x)< b , pri 0 in b>0?
Diagram na sliki 5:
In še naslednji primer: Rešite neenačbo 0,6 2x – 3< 0,36 .
Po diagramu na sliki 5 dobimo
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2x – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5
odgovor: (2,5; +∞) .
Oglejmo si zadnjo shemo za reševanje neenakosti oblike in f(x)< b , pri a>0 in b<0 , prikazano na sliki 6:
Na primer, rešimo neenačbo:
Upoštevamo, da je ne glede na to, katero število zamenjamo za x, leva stran neenakosti vedno večja od nič, v našem primeru pa je ta izraz manjši od -8, tj. in nič, kar pomeni, da ni rešitev.
odgovor: brez rešitev.
Če veste, kako rešiti najpreprostejše eksponentne neenakosti, lahko nadaljujete reševanje eksponentnih neenačb.
Primer 1.
Poiščite največjo celoštevilsko vrednost x, ki ustreza neenakosti
Ker je 6 x večje od nič (pri nobenem x se imenovalec ne premakne na nič), če pomnožimo obe strani neenakosti s 6 x, dobimo:
440 – 2 6 2x > 8, torej
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,
x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.
Odgovor: 1.
Primer 2.
Reši neenačbo 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0
Označimo 2 x z y, dobimo neenačbo y 2 – 3y + 2 ≤ 0 in rešimo to kvadratno neenačbo.
y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 in y 2 = 2.
Veje parabole so usmerjene navzgor, narišimo graf:
Potem bo rešitev neenačbe neenačba 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.
odgovor: (0; 1) .
Primer 3. Reši neenačbo 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zberimo izraze z enakimi osnovami v enem delu neenačbe
5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1
Vzemimo 5 x iz oklepaja na levi strani neenakosti in 3 x na desni strani neenakosti in dobimo neenakost
5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3,5 x< (25/3)·3 х
Obe strani neenačbe delimo z izrazom 3 3 x, predznak neenakosti se ne spremeni, ker je 3 3 x pozitivno število, dobimo neenakost:
X< 2 (так как 5/3 > 1).
odgovor: (–∞; 2) .
Če imate vprašanja o reševanju eksponentnih neenakosti ali bi radi vadili reševanje podobnih primerov, se prijavite na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.