Теоретические основы синтеза фильтров. «Синтез линейных фильтров Передаточная функция четырехполюсника

Наука изощряет ум;

Ученье вострит память.

Козьма Прутков

глава 15

ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

15.1. Изучаемые вопросы

С интез аналоговых двухполюсников . Синтез стационарных четырехполюсников по заданной АЧХ. Фильтры Баттерворта и Чебышева .

Указания. При изучении вопросов необходимо четко уяснить неоднозначность решения задачи синтеза двухполюсников и конкретные пути решения задачи по Фостеру и Кауэру, а также приобрести умение определить возможность реализации той или иной функции входного сопротивления двухполюсника. При синтезе электрических фильтров на основе фильтров-прототипов важно понимать преимущества и недостатки аппроксимации характеристик затухания по Чебышеву и Баттерворту. Необходимо уметь быстро с помощью формул частотных преобразований рассчитывать параметры элементов любых типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ППФ).

15.2. Краткие теоретические сведения

В теории цепей принято говорить о структурном и параметрическом синтезе. Главной задачей структурного синтеза является выбор структуры (топологии) цепи, удовлетворяющей наперед заданным свойствам. При параметрическом синтезе определяются лишь параметры и тип элементов цепи, структура которой известна. Далее речь пойдет только о параметрическом синтезе.

В качестве исходного при синтезе двухполюсников обычно используют входное сопротивление

Если задана функция , то она может быть реализована пассивной цепью при выполнении следующих условий: 1) все коэффициенты многочленов числителя и знаменателя вещественны и положительны; 2) все нули и полюсы находятся либо в левой полуплоскости, либо на мнимой оси, причем полюсы и нули на мнимой оси простые; данные точки всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары; 3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу. Следует отметить также, что процедура синтеза не является однозначной, т. е. одну и ту же входную функцию можно реализовать несколькими способами.

В качестве исходных структур синтезируемых двухполюсников обычно используют цепи Фостера, представляющие собой последовательное либо параллельное соединение относительно входных зажимов соответственно нескольких комплексных сопротивлений и проводимостей, а также лестничных цепей Кауэра .

Метод синтеза двухполюсников основан на том, что заданная входная функция или подвергается ряду последовательных упрощений. При этом на каждом этапе выделяется выражение, которому ставят в соответствие физический элемент синтезируемой цепи. Если все компоненты выбранной структуры идентифицированы с физическими элементами, то задача синтеза решена.

Синтез четырехполюсников базируется на теории фильтров-прототипов нижних частот . Возможные варианты прототипа ФНЧ показаны на рис. 15.1.

При расчете может быть использована любая из схем, так как их характеристики идентичны. Обозначения на рис. 15.1 имеют следующий смысл: – индуктивность последовательной катушки или емкость параллельного конденсатора; – сопротивление генератора , если , или проводимость генератора , если ; – сопротивление нагрузки , если или проводимость нагрузки , если .

Величины элементов прототипов нормируют так, чтобы и частота среза . Переход от нормированных фильтров-прототипов к другому уровню сопротивлений и частот осуществляется с помощью следующих преобразований элементов цепи:

;

.

Величины со штрихами относятся к нормированному прототипу, а без штриха – к преобразованной цепи. Исходной величиной при синтезе является рабочее затухание мощности, выраженное в децибелах:

, дБ,

– максимальная мощность генератора с внутренним сопротивлением и эдс , – выходная мощность в нагрузке.

Обычно частотную зависимость аппроксимируют максимально плоской (баттервортовской) характеристикой (рис. 15.2, а )

где .

Величину рабочего затухания , соответствующую частоте среза , обычно выбирают равной 3 дБ. При этом . Параметр n равен числу активных элементов цепи и определяет порядок фильтра.

Подобные документы

Предназначение полосовых резонансных частотных фильтров. Элементы последовательного и параллельного колебательного контура. Анализ частотных свойств различных цепей с помощью амплитудно-частотных характеристик. Пример расчета полосового LC-фильтра.

курсовая работа, добавлен 21.11.2013


Расчет и обоснование частоты заданного генератора. Построение графиков исследуемых характеристик. Определение аналитических выражений для коэффициента передачи. Вычисление ослабления сигнала при изменении частоты в два раза в заданной полосе задержания.

лабораторная работа, добавлен 20.12.2015


Характеристика этапов разработки рекурсивных фильтров. Специфика режекторного фильтра произвольной частоты, деформация частотной шкалы. Типы рекурсивных частотных фильтров, особенности метода размещения нулей и полюсов. Описание селекторных фильтров.

статья, добавлен 15.11.2018


Определение предназначения линейных четырехполюсников, обладающих избирательными свойствами. Расчет полосового LC-фильтра. Определение амплитудного спектра радиоимпульсов. Формирование требований к полосовому фильтру. Расчет полюсов ARC-фильтра.

курсовая работа, добавлен 01.10.2017


Синтез адаптивного фильтра-наблюдателя главных гармоник выходных сигналов (напряжений и токов) преобразователя частоты (ПЧ) с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), в котором отсутствует дифференцирование сигналов. Улучшение фильтрующих свойств фильтра.

статья, добавлен 29.09.2018


Определение среднего номинального выпрямленного тока, сопротивления нагрузки, коэффициента сглаживания фильтра. Расчет токов короткого замыкания. Разработка электрической принципиальной схемы преобразователя. Расчет и выбор элементов фильтра и диодов.

курсовая работа, добавлен 24.01.2013


Характеристика основных видов аналоговых фильтров. Изучение задач синтеза частотно-избирательных цепей. Выбор минимального порядка фильтра. Моделирование с использованием программного комплекса Micro-Cap. Анализ основ выбора операционного усилителя.

курсовая работа, добавлен 21.01.2015


Построение графика временной зависимости выходного напряжения как реакции на входной скачок напряжения. Проведение компенсации ослабления высоких частот с помощью фильтра верхних частот. Выбор схемы и расчет элементов резистивных цепей усилителя.

курсовая работа, добавлен 26.01.2015


Расчёт выпрямителя, элементов фильтра и трансформатора. Выбор типа магнитопровода и проверка его на соответствие величин холостого хода. Определение значений сечений проводов обмотки, сопротивление каждой обмотки в нагретом состоянии, потерь напряжения.

контрольная работа, добавлен 26.03.2014


Теоретические основы процесса фильтрования. Современная классификация фильтров периодического действия. Принцип работы барабанного вакуума. Расчет требуемой поверхности зоны фильтрования, подбор по каталогам стандартного фильтра и определение их числа.

Лекция № 15.

Проектирование (синтез) линейных цифровых фильтров.

Под проектированием (синтезом) цифрового фильтра понимают выбор таких коэффициентов системной (передаточной) функции, при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требованиям. Строго говоря, в задачу проектирования входит и выбор подходящей структуры фильтра (см. лекцию № 14) с учетом конечной точности вычислений. Это особенно актуально при реализации фильтров в аппаратурном виде (в виде специализированных БИС или цифровых сигнальных процессоров). Поэтому в целом проектирование цифрового фильтра состоит из следующих этапов:

1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов фильтра и системной функции, удовлетворяющей конкретным требованиям.
2. Выбор схемы построения фильтра, то есть преобразование системной функции в конкретную структурную схему фильтра.
3. Оценка эффектов квантования, то есть эффектов, связанных с конечной точностью представления чисел в цифровых системах, обладающих конечной разрядностью.
4. Проверка методами моделирования удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.

Методы синтеза цифровых фильтров можно классифицировать по различным признакам:

1. по типу получаемого фильтра:
   • методы синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой;
   • методы синтеза фильтров с бесконечной импульсной характеристикой;
2. по наличию аналогового прототипа:
   • методы синтеза с использованием аналогового прототипа;
   • прямые методы синтеза (без использования аналогового прототипа).

На практике КИХ-фильтрам часто отдают предпочтение, для этого имеются следующие причины. Во-первых, КИХ-фильтры обеспечивают возможность точного вычисления выходного сигнала при ограниченном входном по свертке, не требующей усечения импульсной характеристики. Во-вторых, фильтры с конечной импульсной характеристикой могут иметь строго линейную ФЧХ в полосе пропускания, что позволяет проектировать фильтры с амплитудной характеристикой, не искажающей входные сигналы. В-третьих, КИХ-фильтры всегда устойчивы и, при введении соответствующей конечной задержки, физически реализуемы. Кроме того, КИХ-фильтры могут быть реализованы не только по нерекурсивным схемам, но и с использованием рекурсивных форм.

Отметим недостатки КИХ-фильтров:

1. Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов. Поэтому при использовании обычной свертки необходимо выполнять большой объем вычислений. Только разработка на основе высокоэффективного алгоритма БПФ методов быстрой свертки позволила КИХ-фильтрам успешно конкурировать с БИХ-фильтрами, имеющими острые срезы в частотной характеристике.
2. Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации. В некоторых приложениях такая некратная задержка может вызвать определенные трудности.

Один из вариантов проектирования цифровых фильтров связан с заданной последовательностью отсчетов импульсной характеристики, которые используют для получения и анализа его частотной характеристики (частотного коэффициента передачи).

Получим условие, при котором нерекурсивный фильтр имеет строго линейную ФЧХ. Системная функция такого фильтра имеет вид:

, (15.1)

где коэффициенты фильтра являются отсчетами импульсной характеристики. Преобразование Фурье от является частотной характеристикой фильтра, периодической по частоте с периодом. Представим ее для действительной последовательности в виде: Получим условия, при которых импульсная характеристика фильтра будет обеспечивать строгую линейность его фазовой характеристики. Последнее означает, что фазовая характеристика должна иметь вид:

(15.2)

где – постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации. Запишем частотную характеристику в виде:

(15.3)

Приравнивая действительные и мнимые части, получим:

, (15.4)

. (15.5)

Откуда:

. (15.6)

Существует два возможных решения уравнения (15.6). Одно (при) не представляет интереса, другое соответствует случаю. Перекрестно умножая члены уравнения (15.6), получим:

(15.7)

Поскольку уравнение (15.7) имеет вид ряда Фурье, то решение уравнения должно удовлетворять следующим условиям:

, (15.8)

и (15.9)

Из условия (15.8) следует, что для каждого существует только одна фазовая задержка, при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из (15.9) следует, что при заданном, удовлетворяющем условию (15.8), импульсная характеристика должна обладать вполне определенной симметрией.

Целесообразно рассмотреть использование условий (15.8) и (15.9) отдельно для случаев четного и нечетного. Если нечетное число, то целое число, то есть задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. В этом случае центр симметрии приходится на отсчет. Если же четное число, то дробное число, и задержка в фильтре равна нецелому числу интервалов дискретизации. Например, для получаем, и центр симметрии импульсной характеристики лежит посредине между двумя отсчетами.

Значения коэффициентов импульсной характеристики используют для вычисления частотной характеристики КИХ-фильтров. Можно показать, что для симметричной импульсной характеристики с нечетным числом отсчетов выражение для действительной функции, принимающей положительные и отрицательные значения, имеет вид:

, (15.10)

где

Чаще всего при проектировании КИХ-фильтра исходят из требуемой (или желаемой) частотной характеристики с последующим вычислением коэффициентов фильтра. Существуют несколько методов расчета таких фильтров: метод проектирования с помощью окон, метод частотной выборки, метод расчета оптимального (по Чебышеву) фильтра. Рассмотрим идею проектирования методом окон на примере КИХ-фильтра нижних частот.

Прежде всего, задается желаемая частотная характеристика проектируемого фильтра. Например, возьмем идеальную непрерывную частотную характеристику ФНЧ с коэффициентом передачи, равным единице на низких частотах и равным нулю на частотах, превышающих некоторую частоту среза . Дискретным представлением идеального ФНЧ является периодическая характеристика, которая может быть задана отсчетами на интервале периодичности, равном частоте дискретизации. Определение коэффициентов фильтра низких частот методами обратного ДПФ (либо аналитическим способом, либо с помощью программы, реализующей обратное ДПФ) дает бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики, которая имеет форму классической функции.

Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается – из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины. Простое усечение отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна , задаваемого специальной функцией Из-за усечения отсчетов первоначально заданная частотная характеристика искажается, так как она представляет собой свертку в частотной области дискретной частотной характеристики и ДПФ функции окна:

, (15.11)

где ДПФ В результате в полосе пропускания частотной характеристики возникают пульсации, обусловленные боковыми лепестками.

Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосе задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям. Таким образом, метод проектирования КИХ-фильтров с помощью окон представляет собой метод уменьшения разрывов окна путем использования окон, отличных от прямоугольного. При этом весовая функция (окно) должна обладать следующими свойствами:

• ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть общей энергии, должна быть малой;
• энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должна быстро уменьшаться при приближении к.

В качестве весовых функций используют окна Хэмминга, Кайзера, Блэкмена, Чебышева и др.

Краткий курс лекций по электротехнике (заочное отделение) (Документ)

Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ (Документ)

Гершунский Б.С. Основы электроники (Документ)

Афанасьев В.А. Прикладная теория цифровых автоматов (Документ)

Волков Е.А., Санковский Э.И., Сидорович Д.Ю. Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и связи (Документ)

Хэпп Х. Диакоптика и электрические сети (Документ)

n1.docx

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СХЕМЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Методические указания
к курсовому проектированию и СРС

Издательство ОмГТУ

2010
Составитель И. В. Никонов

В методических указаниях представлен синтез и анализ электрической цепи с важными аналоговыми функциональными узлами радиотехники: электрическим фильтром и усилителем. Проводится анализ спектра входного сложного периодического сигнала, а также анализ сигнала на выходе электрической цепи (для линейного режима работы).

Предназначены для студентов специальностей 210401, 210402, 090104 и направления 21030062 дневной и заочной форм обучения, изучающих дисциплины «Основы теории цепей», «Электротехника и электроника».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета

© ГОУ ВПО «Омский государственный

Технический университет», 2010

1. Анализ технического задания. Основные этапы проектирования 5

2. Основные принципы и методы проектирования электрических
фильтров 6

2.1. Основные принципы проектирования фильтров 6

2.2. Методика синтеза фильтров по характеристическим параметрам 11

2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам 18

2.4. Пример синтеза эквивалентной схемы электрического фильтра 25

3. Основные принципы и этапы расчета электрической схемы усилителя
напряжения 26

3.1.Основные принципы расчета электрических схем усилителей 26

3.2. Пример расчета схемы электрической принципиальной усилителя
на биполярном транзисторе 28

4. Основные принципы и этапы анализа спектра сложного
периодического сигнала 30

4.1. Принципы спектрального анализа 30

4.2. Расчетные формулы спектрального анализа 31

4.3. Пример анализа спектра входного сигнала 32

5. Анализ сигнала на выходе электрической цепи. Рекомендации
по разработке схемы электрической принципиальной 33

5.1. Анализ прохождения сигнала через электрическую цепь 33

6. Основные требования к содержанию, выполнению, защите
курсовой работы 35

6.1. Порядок и сроки выдачи задания на курсовое проектирование 35

6.3. Оформление графической части курсовой работы (проекта) 36

6.4. Защита курсовых проектов (работ) 38

Библиографический список 39

Приложения 40

Приложение А. Список сокращений и условных обозначений 40

Приложение Б. Варианты исходных данных для синтеза фильтра 41

Приложение В. Варианты исходных данных для расчета усилителя 42

Приложение Г. Варианты исходных данных для анализа спектра
сигнала 43

Приложение Д. Параметры транзисторов для схемы включения
ОЭ(ОИ) 45

Приложение Е. Бланк задания 46

ВВЕДЕНИЕ
Основными задачами электротехнических и радиотехнических дисциплин являются анализ и синтез электрических цепей и сигналов. В первом случае анализируются токи, напряжения, коэффициенты передачи, спектры при известных моделях, схемах, устройствах, сигналах. При синтезе решается обратная задача – разработка аналитических и графических моделей (схем) электрических цепей и сигналов. Если проводимые расчеты, разработка завершаются изготовлением конструкторской и технологической документации, изготовлением макетов или опытных образцов, то применяется термин проектирование .

Первыми дисциплинами радиотехнических специальностей высших учебных заведений, в которых рассматриваются различные задачи анализа и синтеза, являются дисциплины «Основы теории электрических цепей» и «Электротехника и электроника». Основные разделы этих дисциплин:

– анализ в установившемся режиме линейных резистивных электрических цепей, линейных реактивных электрических цепей, в том числе резонансных и с негальваническими связями;

– анализ комплексных частотных характеристик электрических цепей;

– анализ линейных электрических цепей при сложных периодических воздействиях;

– анализ линейных электрических цепей при импульсных воздействиях;

– теория линейных четырехполюсников;

– анализ нелинейных электрических цепей;

– линейные электрические фильтры, синтез электрических фильтров.

Перечисленные разделы изучаются во время аудиторных занятий , однако важной частью учебного процесса является также курсовое проектирование. Тема курсовой работы (проекта) может соответствовать одному из изучаемых разделов, может быть комплексной, то есть включать в себя несколько разделов дисциплины, может быть предложена студентом.

В данных методических указаниях рассмотрены рекомендации по выполнению комплексной курсовой работы (проекта), в которой необходимо решить взаимосвязанные задачи синтеза и анализа для аналоговой электрической цепи.

1. АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ.
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В качестве комплексной курсовой работы (проекта) в данных методических указаниях предложена разработка электрических эквивалентных и принципиальных схем электрической цепи, содержащей электрический фильтр и усилитель, а также анализ спектра входного сигнала генератора импульсов и анализ «прохождения» входного сигнала к выходу устройства. Эти задачи являются важными, практически полезными, так как разрабатываются и анализируются широко применяемые в радиотехнике функциональные узлы.

Схема электрическая структурная всего устройства, для которого необходимо провести расчеты, приведена на рисунке 1. Варианты заданий для отдельных разделов расчетов приведены в приложениях Б, В, Г. Номера вариантов заданий соответствуют номерам студентов в списке группы, либо номер варианта формируется более сложным образом. При необходимости студенты могут самостоятельно задать дополнительные требования к проектированию, например, массогабаритные требования, требования к фазочастотным характеристикам и другие.

Генератор

импульсов

Аналоговый электрический фильтр

Аналоговый усилитель напряжения

Рис. 1
На рисунке 1 обозначены комплексные действующие значения входных и выходных электрических напряжений гармонической формы.

При курсовом проектировании необходимо решить следующие задачи:

А) синтезировать (разработать) любым методом схему электрическую эквивалентную, а затем – схему электрическую принципиальную на любых радиоэлементах. Провести расчеты ослабления и коэффициента передачи по напряжению, проиллюстрировать расчеты графиками;

Б) разработать схему электрическую принципиальную усилителя напряжения на любых радиоэлементах. Провести расчеты усилителя по постоянному току, проанализировать параметры усилителя в режиме малых переменных сигналов;

Г) проанализировать прохождение электрического напряжения от генератора импульсов через электрический фильтр и усилитель, проиллюстрировать анализ графиками амплитудного и фазового спектра выходного сигнала.

В этой последовательности рекомендуется проводить необходимые расчеты, а затем оформить их в виде разделов пояснительной записки. Расчеты необходимо выполнять с точностью не менее 5 %. Это следует учитывать при различных округлениях, приближенном анализе спектра сигнала, при выборе стандартных радиоэлементов, близких по номиналу к расчетным значениям.

2.1. Основные принципы проектирования фильтров

2.1.1. Основные требования к проектированию

Электрические фильтры – это линейные или квазилинейные электрические цепи, имеющие частотно-зависимые комплексные коэффициенты передачи полной мощности . При этом частотно-зависимым является также хотя бы один из двух коэффициентов передачи: по напряжению или по току . Вместо безразмерных коэффициентов передачи при анализе и синтезе фильтров широко применяется ослабление (), измеряемое в децибелах:

, (1)

где , , – модули коэффициентов передачи (в формуле (1) применяется десятичный логарифм).

Частотный диапазон, в котором ослабление () приближается к нулю, а коэффициент передачи полной мощности () приближается к единице, называется полосой пропускания (ПП). И наоборот, в частотном диапазоне, где коэффициент передачи мощности близок к нулю, а ослабление составляет несколько десятков децибел, находится полоса задерживания (ПЗ). Полосу задерживания в специальной литературе по электрическим фильтрам также называют полосой ослабления или полосой затухания. Между ПП и ПЗ находится переходная полоса частот. По расположению полосы пропускания в частотном диапазоне электрические фильтры относят к следующим типам:

ФНЧ – фильтр нижних частот, полоса пропускания находится на нижних частотах;

ФВЧ – фильтр верхних частот, полоса пропускания находится на верхних частотах;

ПФ – полосовой фильтр, полоса пропускания находится в относительно узком частотном диапазоне;

РФ – режекторный фильтр, полоса задерживания находится в сравнительно узком частотном диапазоне.

Реальный электрический фильтр может быть выполнен на различных радиокомпонентах: катушках индуктивности и конденсаторах, избирательных усилительных устройствах, избирательных пьезоэлектрических и электромеханических устройствах, волноводах и многих других. Существуют справочники по расчету фильтров на вполне определенных радиокомпонентах. Однако более универсальным является следующий принцип: вначале разрабатывается эквивалентная схема на идеальных LC-элементах, а затем идеальные элементы пересчитываются в любые реальные радиокомпоненты. При таком пересчете и разрабатывается схема электрическая принципиальная, перечень элементов, выбираются стандартные или проектируются самостоятельно необходимые радиокомпоненты. Наиболее простым вариантом подобного расчета является разработка принципиальной схемы реактивного фильтра с конденсаторами и катушками индуктивности, так как принципиальная схема в этом случае подобна эквивалентной.

Но и при таком общем универсальном расчете существует несколько различающихся между собой методов синтеза эквивалентной схемы LC-фильтра:

– синтез в согласованном режиме из одинаковых Г-, Т-, П-образных звеньев . Этот метод также называют синтезом по характеристическим параметрам или синтезом фильтров типа “k”. Достоинства : простые расчетные формулы; рассчитанное ослабление (неравномерность ослабления) в полосе пропускания () принимается равным нулю. Недостаток : в этом методе синтеза используются различные приближения, на самом же деле согласование во всей полосе пропускания получить невозможно. Поэтому у фильтров, рассчитанных этим методом, ослабление в полосе пропускания может быть более трех децибел;

– полиномиальный синтез . В этом случае требуемый коэффициент передачи мощности аппроксимируется полиномом, то есть синтезируется вся схема, а не отдельные звенья. Этот метод также называют синтезом по рабочим параметрам или синтезом по справочникам нормированных ФНЧ. При использовании справочников, рассчитывается порядок фильтра, выбирается эквивалентная схема ФНЧ, удовлетворяющая требованиям задания. Достоинства : в расчетах учитываются возможные несогласования и отклонения параметров радиоэлементов, ФНЧ легко преобразуются в фильтры других типов. Недостаток : необходимо пользоваться справочниками или специальными программами;

– синтез по импульсным или переходным характеристикам. Основан на взаимосвязи временных и частотных характеристик электрических цепей через различные интегральные преобразования (Фурье, Лапласа, Карсона и т. д.). Например, импульсная характеристика () выражается через передаточную характеристику () с помощью прямого преобразования Фурье:

Этот метод нашел применение при синтезе различных трансверсальных фильтров (фильтров с задержками), например цифровых, акустоэлектронных, для которых разработать электрические схемы проще по импульсным, чем по частотным характеристикам. В курсовой работе при разработке схем фильтров рекомендуется применять метод синтеза по характеристическим или рабочим параметрам.

Итак, в работе, касающейся синтеза электрического фильтра, необходимо одним из методов разработать схему электрическую эквивалентную на идеальных реактивных элементах, а затем схему электрическую принципиальную на любых реальных радиоэлементах.

В задании к курсовому проектированию в части, касающейся синтеза электрического фильтра (приложение Б), могут быть приведены следующие данные:

– тип синтезируемого фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ);

– – активные сопротивления внешних цепей, с которыми полностью или частично должен быть согласован фильтр в полосе пропускания;

– – граничная частота полосы пропускания фильтра;

– – граничная частота полосы задерживания фильтра;

– – средняя частота фильтра (для ПФ и РФ);

– – ослабление фильтра в полосе пропускания (не более);

– – ослабление фильтра в полосе задерживания (не менее);

– – полоса пропускания ПФ или РФ;

– – полоса задерживания ПФ или РФ;

– – коэффициент прямоугольности ФНЧ, ФВЧ;

– – коэффициент прямоугольности ПФ, РФ.

При необходимости студенты могут самостоятельно выбрать дополнительные данные или требования к проектированию.

2.1.2. Нормирование и частотные преобразования

При синтезе эквивалентных и принципиальных схем фильтров целесообразно применять нормирование и частотные преобразования. Это позволяет уменьшить количество разнотипных расчетов и проводить синтез, взяв за основу фильтр нижних частот. Нормирование заключается в следующем. Вместо проектирования на заданные рабочие частоты и сопротивления нагрузки, проектируются фильтры на нормированное сопротивление нагрузки и нормированные частоты . Нормирование частот осуществляется, как правило, относительно частоты . . При таком нормировании частота , а частота . При нормировании вначале разрабатывается эквивалентная схема с нормированными элементами , а затем эти элементы пересчитываются к заданным требованиям с помощью денормирующих множителей:

Возможность применения нормирования при синтезе электрических цепей следует из того, что вид требуемых передаточных характеристик электрической цепи при этой операции не изменяется, они лишь переносятся на другие (нормированные) частоты.

Например, для схемы делителя напряжения, показанной на рисунке 2, коэффициент передачи по напряжению аналогичен как при заданных радиоэлементах и рабочей частоте, так и при нормированных величинах – при применении нормирующих множителей.

Рис. 2

Без нормирования:

, (5)

с нормированием:

. (6)
В выражении (6), в общем случае, нормирующие множители могут быть произвольными действительными числами.

Дополнительное применение частотных преобразований позволяет существенно упростить синтез ФВЧ, ПФ, РФ. Так, рекомендуемая последовательность синтеза ФВЧ, при применении частотных преобразований, следующая:

– графические требования к ФВЧ нормируются (вводится ось нормированных частот );

– производится частотное преобразование требований к ослаблению за счет преобразования частот:

– проектируется ФНЧ с нормированными элементами;

– ФНЧ преобразуется в ФВЧ с нормированными элементами;

– элементы денормируются в соответствии с формулами (3), (4).

– графические требования к ПФ заменяются на требования к ФНЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;

– синтезируется схема фильтра нижних частот;

– применяется обратное частотное преобразование для получения схемы полосового фильтра включением в ветви ФНЧ дополнительных реактивных элементов для образования резонансных контуров.

– графические требования к РФ заменяются на требования к ФВЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;

– синтезируется схема фильтра верхних частот, непосредственно или с использованием прототипа – фильтра нижних частот;

– схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра, включением в ветви ФВЧ дополнительных реактивных элементов.

2.2. Методика синтеза фильтров

2.2.1. Основные положения синтеза по характеристическим параметрам

Обоснование основных расчетных соотношений этого метода синтеза следующее.

Рассматривается линейный четырехполюсник, для его описания используется система -параметров:

где – напряжение и ток на входе четырехполюсника, – напряжение и ток на выходе четырехполюсника.

Определяются коэффициенты передачи для произвольного (согласованного или несогласованного) режима:

где – сопротивление нагрузки (в общем случае комплексное).

Для произвольного режима вводится постоянная передачи (), ослабление (), фаза ():

. (11)

Ослабление в неперах определяется выражением
, (12)

а в децибелах – выражением

В несогласованном режиме входные, выходные и передаточные характеристики четырехполюсника называются рабочими параметрами, а в согласованном режиме – характеристическими. Значения согласующих входного и выходного сопротивлений на заданной рабочей частоте определяются из уравнений четырехполюсника (8):

В согласованном режиме, с учетом выражений (14), (15), характеристическая постоянная передачи определяется:

С учетом соотношений для гиперболических функций

, (17)

(18)

определяется взаимосвязь между характеристическими параметрами согласованного режима и элементами электрической схемы (-параметрами). Выражения имеют вид

Выражения (19), (20) характеризуют согласованный режим произвольного линейного четырехполюсника. На рисунке 3 показана схема произвольного
Г-образного звена, -параметры которой, в соответствии с выражениями (8), определяются:

Рис. 3

При согласованном включении Г-образного звена выражения (19), (20) преобразуются к виду:

, (21)

. (22)

Если в продольной и поперечной ветвях Г-образной схемы находятся разнотипные реактивные элементы, то схема является электрическим фильтром.

Анализ формул (21), (22) для этого случая позволяет получить методику синтеза фильтров по характеристическим параметрам. Основные положения этой методики:

– фильтр проектируется из одинаковых, включенных каскадно, согласованных в полосе пропускания друг с другом и с внешними нагрузками звеньев (например, звеньев Г-типа);

– ослабление в полосе пропускания () принимается равным нулю, так как во всей полосе пропускания фильтр считается согласованным;

– требуемые величины внешних активных сопротивлений () для согласованного режима определяются через сопротивления «ветвей» Г-образного звена по приближенной формуле

– граничная частота полосы пропускания () определяется из условия

– ослабление звена () на граничной частоте полосы задерживания () определяется (в децибелах) по формуле

; (25)

– количество одинаковых Г-звеньев, включаемых каскадно, определяется выражением:

2.2.2. Последовательность синтеза ФНЧ (ФВЧ)
по характеристическим параметрам

Расчетные формулы получены из основных положений методики синтеза по характеристическим параметрам, приведенных в п. 2.2.1 данных методических указаний. В частности, формулы (27), (28) для определения значений элементов звена получены из выражений (23), (24). При синтезе по характеристическим параметрам последовательность расчетов для ФНЧ и ФВЧ следующая:

А) рассчитываются номиналы идеальных индуктивности и емкости Г-звена фильтра по заданным значениям сопротивлений нагрузки, генератора и значению граничной частоты полосы пропускания:

где – значения сопротивлений нагрузки и генератора, – значение граничной частоты полосы пропускания. График требований к ослаблению и схема Г-образного звена ФНЧ приведены на рисунках 4 а, б . На рисунках 5 а, б приведены требования к ослаблению и схема Г-образного звена ФВЧ.

Рис. 4

Рис. 5

б) рассчитывается ослабление звена () в децибелах на граничной частоте полосы задерживания () по заданному значению коэффициента прямоугольности (). Для ФНЧ:

Для фильтра верхних частот:

. (30)

В расчетах по формулам (29), (30) применяется натуральный логарифм;

В) рассчитывается количество звеньев () по заданному значению гарантированного ослабления на границе полосы задерживания, в соответствии с формулой (26):

Значение округляется до ближайшего большего целого значения;

Г) рассчитывается ослабление фильтра в децибелах для нескольких значений частот в полосе задерживания (расчетное ослабление в полосе пропускания, без учета тепловых потерь, в этом методе считается равным нулю). Для фильтра нижних частот:

. (31)

Для фильтра верхних частот:

; (32)
д) анализируются тепловые потери (). Для приближенного расчета тепловых потерь по низкочастотному прототипу вначале определяются на частоте резистивные сопротивления реальных катушек индуктивности () при самостоятельно выбранных значениях добротности (). Катушки индуктивности, в дальнейшем, в схеме электрической принципиальной, будут введены вместо идеальных индуктивностей (конденсаторы считаются более высокодобротными и их резистивные потери не учитываются). Расчетные формулы:

. (34)

Ослабление фильтра в децибелах, с учетом тепловых потерь, определяется:

а модуль коэффициента передачи по напряжению () определяется из соотношения, связывающего его с ослаблением фильтра:

Е) по результатам расчетов по формулам (35), (36) строятся графики ослабления и модуля коэффициента передачи по напряжению для ФНЧ или ФВЧ;

Ж) по справочникам радиоэлементов выбираются ближайшие по номиналу к идеальным элементам стандартные конденсаторы и катушки индуктивности для последующей разработки схемы электрической принципиальной и перечня элементов всей электрической цепи. В случае отсутствия стандартных катушек индуктивностей нужного номинала необходимо их разработать самостоятельно. На рисунке 6 показаны основные размеры простой цилиндрической катушки с однослойной намоткой, необходимые для ее расчета.
Рис. 6

Число витков такой катушки с ферромагнитным сердечником (феррит, карбонильное железо) определяется из выражения

где – число витков, – абсолютная магнитная проницаемость, – относительная магнитная проницаемость материала сердечника,
– длина катушки, , где – радиус основания катушки.
2.2.3. Последовательность синтеза ПФ (РФ)
по характеристическим параметрам

На рисунках 7 а, б и 8 а, б приведены графики требований к ослаблению и простейшие Г-образные звенья, соответственно, для полосового и режекторного фильтров.
Рис. 7

Рис. 8

Синтез ПФ и РФ рекомендуется проводить, используя расчеты фильтров-прототипов с такой же полосой пропускания и задерживания. Для ПФ прототипом является фильтр нижних частот, а для РФ – фильтр верхних частот. Методика синтеза следующая:

А) на первом этапе синтеза применяется частотное преобразование, при котором графические требования к ослаблению ПФ пересчитываются в требования к ослаблению ФНЧ, а графические требования к ослаблению РФ пересчитываются в требования к ослаблению ФВЧ:

Б) по рассмотренной ранее методике синтеза ФНЧ и ФВЧ (пункты а–е
п. 2.2.2) разрабатывается схема электрическая, эквивалентная ФНЧ, для синтеза ПФ, или ФВЧ – для синтеза РФ. Для ФНЧ или ФВЧ строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;

В) схема ФНЧ преобразуется в схему полосового фильтра преобразованием продольных ветвей в последовательные колебательные контуры и поперечных ветвей в параллельные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра преобразованием продольных ветвей в параллельные колебательные контуры и поперечных ветвей в последовательные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Добавочные реактивные элементы для каждой ветви ФНЧ (ФВЧ) определяют по значению заданной средней частоты полосового или режекторного фильтра () и рассчитанным значениям реактивных элементов ветвей ФНЧ (ФВЧ), используя известное выражение для резонансных контуров:

Г) для схем ПФ или РФ разрабатываются или выбираются по справочникам радиоэлементов конденсаторы и катушки индуктивности по той же методике, которая рассматривалась ранее в п. 2.2.2 (пункт ж) данных методических указаний;

Д) графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению ФНЧ (ФВЧ) пересчитываются в графики ПФ (РФ) в соответствии с соотношениями между частотами этих фильтров. Например, для преобразования графиков ФНЧ к ПФ:

, (41)

где – частоты, соответственно, выше и ниже средней частоты полосового фильтра. По этим же формулам пересчитываются графики фильтра верхних частот в графики режекторного фильтра.

2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам

2.3.1. Основные принципы синтеза по рабочим параметрам
(полиномиального синтеза)

В данном методе синтеза так же, как и при синтезе по характеристическим параметрам, задаются требования к типу проектируемого фильтра, активному сопротивлению нагрузки, ослаблению или коэффициенту передачи мощности в полосе пропускания и задерживания. Однако учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания. В этой связи, фильтр синтезируется в несогласованном режиме, то есть по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием . Метод основан на обязательном расчете для любых типов фильтров низкочастотного фильтра – прототипа (фильтра нижних частот). В расчетах используется нормирование () и частотные преобразования.

Эквивалентная схема фильтра разрабатывается не из отдельных одинаковых звеньев, а сразу полностью, обычно в виде схемы цепочной структуры. На рисунке 9 показан вид П-образной цепочной схемы фильтра нижних частот, а на рисунке 10 – вид Т-образной схемы такого же фильтра с ненормированными элементами.

Рис. 9

Рис. 10

Основные этапы расчетов, на которых основан данный синтез, следующие:

А) аппроксимация – замена графических требований к коэффициенту передачи мощности аналитическим выражением, например отношением полиномов по степеням , что соответствует формулам частотных характеристик реальных реактивных фильтров;

Б) переход к операторной форме записи частотных характеристик (замена переменной на переменную в аналитическом выражении, аппроксимирующем коэффициент передачи мощности);

В) переход к выражению для входного сопротивления фильтра, используя взаимосвязь коэффициента передачи мощности, коэффициента отражения и входного сопротивления фильтра:

В выражении (44) применяется лишь один коэффициент отражения , который соответствует устойчивой электрической цепи (полюса этого коэффициента не имеют положительной действительной части);

Г) разложение аналитического выражения для входного сопротивления, полученного из (44), на сумму дробей или в цепную дробь для получения эквивалентной схемы и значений элементов.

Полиномиальный синтез в практических разработках обычно проводится с использованием справочников по фильтрам, в которых выполнены расчеты для данного метода синтеза. В справочниках приведены аппроксимирующие функции, эквивалентные схемы и нормированные элементы фильтров нижних частот. В большинстве случаев в качестве аппроксимирующих функций применяются полиномы Баттерворта и Чебышева.

Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Баттерворта описывается выражением:

где – порядок фильтра (положительное целое число, численно равное количеству реактивных элементов в эквивалентной схеме фильтра).

Порядок фильтра определяется выражением

В таблицах 1, 2 приведены значения нормированных реактивных элементов при аппроксимации Баттерворта, рассчитанные для разных порядков фильтра нижних частот (для схем, аналогичных схемам на рисунках 9, 10).

Таблица 1

Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта П-образной схемы

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932

Цель: Освоение методики синтеза линейных фильтров (нижних частот, верхних частот и полосовых) на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций.

Краткие теоретические сведения: Для выполнения данной работы необходимо умение анализировать различные типы линейных цепей и находить их основные характеристики(частотный коэффициент передачи, передаточную функцию и ее полюса); знание принципов синтеза линейных фильтров нижних частот на основе максимально-плоской и чебышевской аппроксимаций и принципов перехода от известных схем ФНЧ к схемам ФВЧ и полосовых фильтров.

ФНЧ предназначены для передачи с минимальным ослаблением колебаний, частоты которых не превосходят некоторой граничной частоты, которая называется частотой среза , при этом колебания с частотами, большими частоты среза, должны существенно ослабляться.

Свойства передаточной функции четырехполюсника :

Полюса передаточной функции четырехполюсника должны располагаться в левой полуплоскости комплексной частоты р. Они могут быть вещественными либо образовывать комплексно-сопряженные пары.

Количество полюсов передаточной функции всегда должно превышать количество нулей.

В отличие от полюсов нули передаточной функции могут располагаться в любой полуплоскости, т.е по всей плоскости комплексной частоты р.

Этапы синтеза фильтров :

Формулировка технических требований к характеристикам фильтров в зависимости от заданной полосы пропускания. При этом никаких ограничений на структуру фильтра не налагается. Такой подход называется синтезом по заданной АЧХ . Как правило, идеальная характеристика на практике не реализуема.

Аппроксимация идеальной характеристики с помощью такой функции, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.

Реализация выбранной аппроксимированной функции и получение принципиальной схемы фильтра с номиналами входящих в нее элементов.

Наибольшее распространение получили два вида аппроксимации: максимально-плоская и чебышевская.

Максимально-плоская аппроксимация основана на использовании функции частотного коэффициента передачи мощности, заданного в виде:

где
– безразмерная нормированная частота.

Фильтр, частотная характеристика которого удовлетворяет такой функции, называется фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта.

Процедура синтеза начинается с определения полюсов передаточной функции фильтра, для чего необходимо перейти к нормированной комплексной частоте р н и определить полюса функции частотного коэффициента передачи мощности фильтра:

;

Определять корни данного уравнения в общем случае можно по формуле Муавра (вычисление корней n -ой степени из комплексного числа). При этом необходимо учитывать значение фазы комплексного числаz = – 1 (=).

При нахождении корней данного уравнения для любого порядка фильтра n должна выполняться следующаяобщая закономерность: все полюса располагаются на одинаковом угловом расстоянии друг от друга и это расстояние всегда равно; еслиn – нечетное, то первый полюс всегда равен 1, еслиn – четное, то первый полюс
.

Используя свойство квадрантной симметрии расположения полюсов функции частотного коэффициента передачи мощности и условия устойчивости и физической реализуемости четырехполюсников, для передаточной функции фильтра необходимо отобрать лишь те полюса, которые расположены в левой полуплоскости комплексной частоты и для них записать нуль-полюсное представление передаточной функции.