Slika iz originalne Laplaceove transformacije. Osnovne definicije lastnosti Laplaceove transformacije so Duhamelova formula. Neposredna Laplaceova transformacija

Za linearno reševanje diferencialne enačbe uporabili bomo Laplaceovo transformacijo.

Laplaceova transformacija pokličite razmerje

dodeljevanje funkcij x (t) realna spremenljivka t funkcija ujemanja X (s) kompleksna spremenljivka s (s = σ+ jω). Pri čemer x (t) se imenujejo original, X (s)- slika ali Laplaceova slika in s- Spremenljivka Laplaceove transformacije. Izvirnik je označen z malimi črkami, njegova slika pa z veliko črko istega imena.

Predpostavlja se, da funkcija x(t), ki je predmet Laplaceove transformacije, ima naslednje lastnosti:

1) funkcija x (t) je definirano in delno diferencirano na intervalu, kjer< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Predavanje 7 OPERATORSKE FUNKCIJE VEZIJ Operatorske vhodne in prenosne funkcije Polovi in ​​ničle funkcij vezja 3 Sklepi Operatorske vhodne in prenosne funkcije Operatorska funkcija verige je relacija

68 Predavanje 7 PREHODNI PROCESI V TOKOGOJI PRVEGA REDOV Načrt 1 Prehodni procesi v RC-vezjih prvega reda 2 Prehodni procesi v R-vezjih prvega reda 3 Primeri izračuna prehodnih procesov v vezjih

4 LINEARNA ELEKTRIČNA VEZA AC SINUZOIDNEGA TOKA IN METODE NJIHOVEGA IZRAČUNA 4.1 ELEKTRIČNI STROJI. NAČELO GENERACIJE SINUSOIDNEGA TOKA 4.1.012. Sinusni tok se imenuje trenutni

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "KUBAN STATE UNIVERSITY" Fakulteta za fiziko in tehnologijo Oddelek za optoelektroniko

~ ~ FKP Izpeljanka funkcije kompleksne spremenljivke FKP Cauchy - Riemanna pogojuje koncept pravilnosti FKP Slika in oblika kompleksnega števila Oblika FKP: kjer je realna funkcija dveh spremenljivk realna

Oddelek II. Matematična analiza

E. Yu. Anokhina

ZGODOVINA RAZVOJA IN FORMIRANJE TEORIJE FUNKCIJE KOMPLEKSNE SPREMENLJIVKE (TFVP) PO IZOBRAŽEVNEM PREDMETU

Eden izmed težjih tečajev matematike je tečaj TFKP. Kompleksnost tega predmeta je predvsem posledica raznolikosti njegovih medsebojnih povezav z drugimi matematičnimi disciplinami, ki se zgodovinsko izražajo v široki uporabni smeri znanosti TFKP.

V znanstveni literaturi o zgodovini matematike so razpršene informacije o zgodovini razvoja TFKP, zahtevajo sistematizacijo in posplošitev.

V zvezi s tem je glavna naloga tega članka na kratko opisati razvoj TFKP in oblikovanje te teorije kot akademskega predmeta.

Kot rezultat študije so bile ugotovljene naslednje tri stopnje razvoja TFKP kot znanstvenega in akademskega predmeta:

Faza nastanka in prepoznavanja kompleksnih številk;

Faza kopičenja dejanskega gradiva glede na funkcije imaginarnih vrednosti;

Faza oblikovanja teorije funkcij kompleksne spremenljivke.

Prva faza v razvoju TFKP (sredina XVI. stoletja - XVIII. stoletje) se začne z delom G. Cardana (1545), ki je objavil delo "Artis magnae sive de regulis algebraitis" (Velika umetnost ali o algebrskih pravilih). ). Delo J. Cardana je imelo glavno nalogo utemeljiti splošne algebraične metode za reševanje enačb tretje in četrte stopnje, nedolgo pred tistimi, ki so jih odkrili Ferro (1465-1526), ​​Tartaglia (1506-1559) in Ferrari (1522). -1565). Če se kubična enačba zmanjša na obliko

x3 + px + q = 0,

in bi moralo biti

Ko ima (μ ^ Ap V (| - 70) enačba tri realne korene, od tega dve

so med seboj enake. Če ima enačba eno realno in dve ko-

zvita kompleksna korenina. V končnem rezultatu se pojavijo zapletene številke, zato bi G. Cardano lahko storil, kar je storil pred njim: razglasil enačbo za

en koren. Kdaj (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

za imenovani nereducibilni primer je značilna ena posebnost, ki se je srečala šele v 16. stoletju. Enačba x3 - 21x + 20 = 0 ima tri realne korene 1, 4, - 5, kar je enostavno

zagotovite s preprosto zamenjavo. Toda ^ du + y _ ^ 20y + ^ -21y _ ^ ^ ^; torej v skladu s splošno formulo je x = ^ -10 + ^ -243 - ^ - 10-4 ^ 243. Kompleksno, tj. "Napačno", številka tukaj ni rezultat, ampak vmesni izraz v izračunih, ki vodijo do resničnih korenov zadevne enačbe. J. Cardano se je soočil s težavo in spoznal, da je za ohranitev splošnosti te formule treba opustiti popolno nepoznavanje kompleksnih števil. J. D'Alembert (1717-1783) je verjel, da je prav ta okoliščina povzročila, da so J. Cardano in matematiki, ki so sledili tej ideji, resno začeli zanimati kompleksna števila.

Na tej stopnji (v 17. stoletju) sta bili splošno sprejeti dve stališči. Prvo stališče je izrazil Girard, ki je postavil vprašanje prepoznavanja potrebe po neomejeni uporabi kompleksnih števil za karkoli. Drugi je bil Descartes, ki je zanikal možnost interpretacije kompleksnih števil. Nasprotno Descartesovemu mnenju je bilo stališče J. Wallisa - o obstoju resnične interpretacije kompleksnih števil je Descartes prezrl. Kompleksna števila so se začela "prisiliti" uporabljati pri reševanju aplikativnih problemov v situacijah, ko je uporaba realnih števil pripeljala do kompleksnega rezultata ali pa rezultata ni bilo mogoče dobiti teoretično, ampak je imel praktično izvedbo.

Intuitivna uporaba kompleksnih števil je privedla do potrebe po ohranitvi zakonov in pravil aritmetike realnih števil za niz kompleksnih števil, zlasti so bili poskusi neposrednega prenosa. To je včasih vodilo do napačnih rezultatov. V zvezi s tem so postala aktualna vprašanja o upravičenosti kompleksnih števil in izdelavi algoritmov za njihovo aritmetiko. To je bil začetek nove stopnje v razvoju TFKP.

Druga stopnja razvoja TFKP (začetek 18. stoletja - 19. stoletje). V XVIII stoletju. L. Euler je izrazil idejo o algebraični zaprtosti polja kompleksnih števil. Algebraična zaprtost polja kompleksnih števil C je pripeljala matematike do naslednjih zaključkov:

Da študij funkcij in matematična analiza nasploh dobi ustrezno popolnost in popolnost le ob upoštevanju obnašanja funkcij v kompleksnem področju;

Kompleksna števila je treba obravnavati kot spremenljivke.

Leta 1748 je L. Euler (1707-1783) v svojem delu "Uvod v analizo infinitezimal" predstavil kompleksno spremenljivko kot najbolj splošen koncept spremenljivke, pri čemer je uporabil kompleksna števila pri razširitvi funkcij v linearne faktorje. L. Euler upravičeno velja za enega od ustvarjalcev TFKP. V delih L. Eulerja so bile podrobno proučene elementarne funkcije kompleksne spremenljivke (1740-1749), podani so bili pogoji za diferenciabilnost (1755) in začetek integralnega računa funkcij kompleksne spremenljivke (1777). L. Euler je praktično uvedel konformno preslikavo (1777). Te preslikave je poimenoval "podobne v malem", izraz "konformno" pa je očitno prvi uporabil peterburški akademik F. Schubert (1789). L. Euler je tudi vodil številne aplikacije funkcij kompleksne spremenljivke do različnih matematičnih problemov in postavil temelje za njihovo uporabo v hidrodinamiki (17551757) in kartografiji (1777). K. Gauss oblikuje definicijo integrala v kompleksni ravnini, integralni izrek o razširjanju analitične funkcije v potenčnem nizu. Laplace uporablja kompleksne spremenljivke za izračun težkih integralov in razvija metodo za reševanje linearnih, diferencialnih in diferencialnih enačb, znano kot Laplaceova transformacija.

Od leta 1799 se pojavljajo dela, v katerih so podane bolj ali manj priročne interpretacije kompleksnega števila in opredeljena dejanja na njih. Dokaj splošno teoretično razlago in geometrijsko razlago je K. Gauss objavil šele leta 1831.

L. Euler in njegovi sodobniki so potomcem pustili bogato zapuščino v obliki nabranih, nekje sistematiziranih, nekje ne, a še vedno raztresenih dejstev na TFKP. Lahko rečemo, da je dejansko gradivo o funkcijah imaginarnih veličin tako rekoč zahtevalo svojo sistematizacijo v obliki teorije. Ta teorija se je začela oblikovati.

Tretja stopnja pri oblikovanju TFKP (XIX stoletje - XX stoletje). Glavne zasluge tukaj pripadajo O. Cauchyju (1789-1857), B. Riemannu (1826-1866) in K. Weierstrassu (1815-1897). Vsak od njih je predstavljal eno od smeri razvoja TFKP.

Predstavnik prve smeri, ki se je v zgodovini matematike imenovala "teorija monogenih ali diferenciabilnih funkcij", je bil O. Cauchy. Formaliziral je razpršena dejstva o diferencialnem in integralnem računanju funkcij kompleksne spremenljivke, razložil pomen osnovnih pojmov in operacij z namišljenimi. V delih O. Cauchyja je razložena teorija mej ter teorija vrst in elementarnih funkcij, ki temeljijo na njej, formuliran je izrek, ki v celoti razjasni področje konvergence potencnega niza. Leta 1826 je O. Cauchy uvedel izraz: odbitek (dobesedno: ostanek). V svojih spisih od 1826 do 1829 je ustvaril teorijo odbitkov. O. Cauchy je izpeljal integralno formulo; pridobil izrek obstoja za razširitev funkcije kompleksne spremenljivke v potencialne vrste (1831). O. Cauchy je postavil temelje za teorijo analitičnih funkcij več spremenljivk; določili glavne veje večvrednostnih funkcij kompleksne spremenljivke; prvič uporabljeni ravninski rezi (1831-1847). Leta 1850 je uvedel koncept monodromnih funkcij, razlikoval razred monogenih funkcij.

Privrženec O. Cauchyja je bil B. Riemann, ki je ustvaril tudi svojo "geometrijsko" (drugo) smer razvoja TFKP. V svojih delih je premagal izolacijo idej o funkcijah kompleksnih spremenljivk in oblikoval nove oddelke te teorije, tesno povezane z drugimi disciplinami. Riemann je naredil pomemben nov korak v zgodovini teorije analitičnih funkcij, predlagal je, da se vsaki funkciji kompleksne spremenljivke poveže predstavitev preslikave ene regije v drugo. Vzpostavil je razlikovanje med funkcijami kompleksne in realne spremenljivke. B. Riemann je postavil temelje geometrijske teorije funkcij, uvedel Riemannovo ploskev, razvil teorijo konformnih preslikav, vzpostavil povezavo med analitičnimi in harmoničnimi funkcijami ter uvedel zeta funkcijo.

Nadaljnji razvoj TFKP je potekal v drugi (tretji) smeri. Osnova tega je bila možnost predstavitve funkcij s potenčnimi vrstami. Za to smer se je v zgodovini vtisnilo ime »analitično«. Nastala je v delih K. Weierstrassa, v katerih je v ospredje postavil koncept enotne konvergence. K. Weierstrass je oblikoval in dokazal izrek o zakonitosti redukcije podobnih členov v nizu. K. Weierstrass je dobil temeljni rezultat: meja zaporedja analitičnih funkcij, ki se enakomerno konvergirajo znotraj določene domene, je analitična funkcija. Znal je posplošiti Cauchyjev izrek o razširjanju v potencialni vrsti funkcije kompleksne spremenljivke in opisal proces analitičnega nadaljevanja potencialnih vrst in njegovo uporabo pri predstavitvi rešitev sistema diferencialnih enačb. K. Weierstrass je ugotovil dejstvo ne le absolutne konvergence serije, ampak tudi enotne konvergence. Pojavi se Weierstrassov izrek o razširitvi celotne funkcije v produkt. Postavlja temelje za teorijo analitičnih funkcij številnih spremenljivk, gradi teorijo deljivosti potenčnih vrst.

Razmislite o razvoju teorije analitičnih funkcij v Rusiji. Ruski matematiki 19. stoletja. dolgo se niso želeli posvetiti novemu področju matematike. Kljub temu je mogoče našteti več imen, ki ji niso bila tujka, in našteti nekaj del in dosežkov teh ruskih matematikov.

Eden od ruskih matematikov je bil M.V. Ostrogradskega (1801-1861). O raziskavi M.V. O Ostrogradskem je malo znanega na področju teorije analitičnih funkcij, vendar je O. Cauchy pohvalil tega mladega ruskega znanstvenika, ki je uporabil integrale in podal nove dokaze formul ter posplošil druge formule. M.V. Ostrogradskiy je napisal prispevek "Opombe o določenih integralih", v katerem je izpeljal Cauchyjevo formulo za dedukcijo funkcije glede na pol n-ega reda. Orisal je uporabo teorije ostankov in Cauchyjeve formule za izračun določenih integralov v obsežnem javnem predavanju v letih 1858-1859.

Številna dela N.I. Lobačevskega, ki so neposrednega pomena za teorijo funkcij kompleksne spremenljivke. Teorija osnovnih funkcij kompleksne spremenljivke je vsebovana v njegovem delu "Algebra ali izračun končnih" (Kazan, 1834). V katerem sta cos x in sin x najprej določena za x realna kot realna in

namišljeni del funkcije ex ^. Z uporabo predhodno uveljavljenih lastnosti eksponentne funkcije in raztezkov moči so izpeljane vse osnovne lastnosti trigonometričnih funkcij. po-

Očitno je Lobačevski pripisoval poseben pomen takšni povsem analitični konstrukciji trigonometrije, neodvisni od evklidske geometrije.

Lahko trdimo, da je v zadnjih desetletjih XIX stoletja. in prvem desetletju XX stoletja. temeljne raziskave v teoriji funkcij kompleksne spremenljivke (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) so obsegale postopno razjasnitev dejstva, da je geometrija Lobačevskega hkrati geometrija analitičnih funkcij enega kompleksa spremenljivka.

Leta 1850 je profesor Univerze v Sankt Peterburgu (kasneje akademik) I.I. Somov (1815-1876) je objavil Osnove teorije analitičnih funkcij, ki so temeljile na Jacobijevih novih temeljih.

Vendar je bil prvi resnično "izvirni" ruski raziskovalec na področju teorije analitičnih funkcij kompleksne spremenljivke Yu.V. Sokhotsky (1842-1929). Zagovarjal je magistrsko nalogo »Teorija integralnih ostankov z nekaterimi aplikacijami« (Sankt Peterburg, 1868). Od jeseni 1868 je Yu.V. Sokhotsky je imel tečaje o teoriji funkcij namišljene spremenljivke in o neprekinjenih ulomkih z aplikacijami za analizo. Magistrsko delo Yu.V. Sokhotskii je namenjen uporabi teorije ostankov pri inverziji potencialnega niza (Lagrangeova vrsta) in zlasti razširitvi analitičnih funkcij v neprekinjenih ulomkih ter Legendrejevim polinomom. V tem prispevku je formuliran in dokazan znameniti izrek o obnašanju analitične funkcije v soseščini bistveno singularne točke. Doktorska disertacija Sohotskega

(1873) je prvič v razširjeni obliki predstavil koncept integrala Cauchyjevega tipa: * y ^ & _ kjer

a in b sta dve poljubni kompleksni števili. Predpostavlja se, da je integral vzet vzdolž neke krivulje ("trajektorije"), ki povezuje a in b. V tem prispevku so dokazani številni izreki.

Veliko vlogo v zgodovini analitičnih funkcij so igrala dela N.E. Žukovski in S.A. Chaplygin, ki je odkril brezmejno področje njegove uporabe v aerodinamiki in hidromehaniki.

Ko govorimo o razvoju teorije analitičnih funkcij, ne moremo omeniti raziskave S.V. Kovalevskaya, čeprav je njihov glavni pomen zunaj meja te teorije. Uspeh njenega dela je bil posledica povsem nove formulacije problema v smislu teorije analitičnih funkcij in obravnavanja časa t kot kompleksne spremenljivke.

Na prelomu XX stoletja. narava znanstvenih raziskav na področju teorije funkcij kompleksne spremenljivke se spreminja. Če se je prej večina raziskav na tem področju izvajala v smislu razvoja ene od treh smeri (teorija monogenih ali diferencibilnih Cauchyjevih funkcij, geometrijske in fizikalne ideje Riemanna, analitična smer Weierstrassa), so zdaj razlike in s tem povezani spori se rešujejo, obstaja in hitro narašča število del, v katerih se izvaja sinteza idej in metod. Eden od osnovnih konceptov, na katerem se je jasno razkrila povezava in korespondenca geometrijskih reprezentacij in aparata potenčnih vrst, je bil koncept analitičnega nadaljevanja.

Konec XIX stoletja. teorija funkcij kompleksne spremenljivke vključuje širok nabor disciplin: geometrijsko teorijo funkcij, ki temelji na teoriji konformnih preslikav in Riemannove ploskve. Dobili smo integralno obliko teorije različnih tipov funkcij: celih in meromorfnih, eliptičnih in modularnih, avtomorfnih, harmoničnih, algebraičnih. V tesni povezavi s slednjim razredom funkcij se je razvila teorija abelovih integralov. Temu kompleksu sta mejili analitična teorija diferencialnih enačb in analitična teorija števil. Teorija analitičnih funkcij je vzpostavila in utrdila povezave z drugimi matematičnimi disciplinami.

Bogastvo medsebojnih odnosov TFKP z algebro, geometrijo in drugimi znanostmi, oblikovanje sistematičnih temeljev znanosti o samem TFKP, njegov velik praktični pomen so prispevali k oblikovanju TFKP kot akademskega predmeta. Vendar pa so se hkrati z zaključkom oblikovanja temeljev v teorijo analitičnih funkcij uvedle nove ideje, ki so bistveno spremenile njeno sestavo, naravo in cilje. Pojavljajo se monografije, ki vsebujejo sistematičen prikaz teorije analitičnih funkcij v slogu, ki je blizu aksiomatičnemu in imajo tudi izobraževalne cilje. Očitno jih je pomen rezultatov o TFKP, do katerih so prišli znanstveniki v obravnavanem obdobju, spodbudil k popularizaciji TFKP v obliki predavanj in objavljanja monografskih raziskav z vidika poučevanja. Sklepamo lahko, da je TFKP nastal kot izobraževalni

predmet. Leta 1856 sta C. Briot in T. Bouquet objavila kratke spomine "Raziskave funkcij imaginarne spremenljivke", ki so v bistvu prvi učbenik. Na predavanjih so se začeli razvijati splošni pojmi v teoriji funkcij kompleksne spremenljivke. K. Weierht -rass je od leta 1856 predaval o predstavitvi funkcij z konvergentnimi močnostnimi vrstami, od leta 1861 pa o splošni teoriji funkcij. Leta 1876 se je pojavilo posebno delo K. Weierstrassa: "O teoriji enoznačnih analitičnih funkcij", leta 1880 pa "O nauku o funkcijah", v katerem je njegova teorija analitičnih funkcij pridobila določeno popolnost.

Weierstrassova predavanja so dolga leta služila kot prototip za učbenike o teoriji funkcij kompleksne spremenljivke, ki so se od takrat začeli pojavljati precej pogosto. V njegovih predavanjih je bil v osnovi zgrajen sodoben standard strogosti matematične analize in poudarjena je postala tradicionalna struktura.

BIBLIOGRAFSKI SEZNAM

1. Andronov I.K. Matematika realnih in kompleksnih števil. Moskva: Izobraževanje, 1975.

2. Klein F. Predavanja o razvoju matematike v 19. stoletju. Moskva: ONTI, 1937. 1. del.

3. Lavrentjev M.A., Shabat B.V. Metode teorije funkcij kompleksne spremenljivke. Moskva: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Teorija analitičnih funkcij. M .: Država. založba tehnične in teoretične literature, 1950.

5. Matematika XIX stoletja. Geometrija. Teorija analitičnih funkcij / ur. A.N. Kolmogorov in A.P. Juškevič. Moskva: Nauka, 1981.

6. Matematična enciklopedija / pogl. izd. I. M. Vinogradov. Moskva: Sovjetska enciklopedija, 1977. Zvezek 1.

7. Enciklopedija matematike / Pogl. izd. I. M. Vinogradov. Moskva: Sovjetska enciklopedija, 1979. Zv. 2.

8. Mladi V.N. Osnove nauka o številu v 18. in zgodnjem 19. stoletju. M .: Učpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Zgodovina matematike. Moskva: Založba Moskovske državne univerze, 1963. 2. del.

NE. Lyakhova DOTIK RAVNINSKE KRIVLJE

Vprašanje tangentnosti ravninskih krivulj, v primeru, ko se abscise skupnih točk najdejo iz enačbe oblike Pn x = 0, kjer je P x ​​neki polinom, je neposredno povezano z vprašanjem

na mnogoterju korenin polinoma Pn x. V tem članku so formulirane ustrezne trditve za primere eksplicitne in implicitne dodelitve funkcij, katerih grafi so krivulje, in prikazana uporaba teh stavkov pri reševanju problemov.

Če imata krivulji, ki sta grafi funkcij y = f (x) in y = cp x, skupno točko

M () x0; v0, tj. y0 = f x0 = cp x0 in tangente na označene krivulje, narisane v točki M () x0; v0 ne sovpadata, potem pravijo, da se krivulji y = fix) in y - cp x sekata v točki Mo xo; Yo

Slika 1 prikazuje primer presečišča funkcijskih grafov.

To je ime druge vrste integralnih transformacij, ki se skupaj s Fourierjevo transformacijo pogosto uporablja v radijskem inženirstvu za reševanje najrazličnejših problemov, povezanih s preučevanjem signalov.

Koncept kompleksne frekvence.

Spektralne metode, kot je že znano, temeljijo na dejstvu, da je preiskovani signal predstavljen kot vsota neskončno velikega števila elementarnih členov, od katerih se vsak občasno spreminja v skladu z zakonom.

Naravna posplošitev tega načela je v tem, da se namesto kompleksnih eksponentnih signalov s čisto namišljenimi kazalniki upoštevajo eksponentni signali oblike, kjer je kompleksno število: imenovano kompleksna frekvenca.

Dva taka kompleksna signala se lahko uporabita za sestavljanje resničnega signala, na primer po naslednjem pravilu:

kjer je kompleksna konjugirana vrednost.

Pravzaprav v tem primeru

Glede na izbiro realnega in imaginarnega dela kompleksne frekvence lahko dobimo različne realne signale. Torej, če, vendar dobite običajna harmonična nihanja oblike Če, potem, odvisno od predznaka, s časom dobite naraščajoča ali padajoča eksponentna nihanja. Takšni signali dobijo bolj zapleteno obliko, ko. Tukaj množitelj opisuje ovojnico, ki se sčasoma eksponentno spreminja. Nekateri tipični signali so prikazani na sl. 2.10.

Koncept kompleksne frekvence se izkaže za zelo uporaben predvsem zato, ker omogoča, da brez poseganja po posplošenih funkcijah dobimo spektralne predstavitve signalov, katerih matematični modeli niso integrativni.

riž. 2.10. Resnični signali, ki ustrezajo različnim vrednostim kompleksne frekvence

Bistvena je tudi druga ugotovitev: eksponentni signali oblike (2.53) služijo kot "naravno" sredstvo za preučevanje nihanj v različnih linearnih sistemih. Ta vprašanja bodo raziskana v Ch. osem.

Treba je opozoriti, da je resnična fizična frekvenca namišljeni del kompleksne frekvence. Za pravi del kompleksne frekvence ni posebnega izraza.

Osnovni odnosi.

Naj bo nek signal, realen ali kompleksen, definiran pri t> 0 in enak nič pri negativnih časovnih vrednostih. Laplaceova transformacija tega signala je funkcija kompleksne spremenljivke, podane z integralom:

Signal se imenuje izvirnik, funkcija pa njena Laplaceova slika (na kratko samo slika).

Pogoj, ki zagotavlja obstoj integrala (2.54), je naslednji: signal ne sme imeti več kot eksponentno stopnjo rasti, torej mora izpolnjevati neenakost, kjer so pozitivna števila.

Ko je ta neenakost izpolnjena, funkcija obstaja v smislu, da se integral (2.54) absolutno konvergira za vsa kompleksna števila, za katera število a imenujemo abscisa abscisne konvergence.

Spremenljivko v glavni formuli (2.54) je mogoče identificirati s kompleksno frekvenco Dejansko pri čisto namišljeni kompleksni frekvenci, ko se formula (2.54) spremeni v formulo (2.16), ki določa Fourierjevo transformacijo signala, ki je pri Tako lahko razmislimo o Laplaceovi transformaciji

Tako kot je to storjeno v teoriji Fourierjeve transformacije, je možno, če poznamo sliko, obnoviti izvirnik. Če želite to narediti, v formuli inverzne Fourierjeve transformacije

opraviti je treba analitično nadaljevanje, ki prehaja od imaginarne spremenljivke do kompleksnega argumenta a. Na ravnini kompleksne frekvence se izvede integracija vzdolž neomejene navpične osi, ki se nahaja desno od abscise absolutne konvergence. Ker je at diferencial, ima formula za inverzno Laplaceovo transformacijo obliko

V teoriji funkcij kompleksne spremenljivke je dokazano, da imajo Laplaceove slike "dobre" lastnosti z vidika gladkosti: takšne slike na vseh točkah kompleksne ravnine, z izjemo števnega niza tzv. singularne točke, so analitične funkcije. Posamezne točke so praviloma poli, enojne ali večkratne. Zato lahko za izračun integralov oblike (2.55) uporabimo fleksibilne metode teorije ostankov.

V praksi se široko uporabljajo Laplaceove transformacijske tabele, ki zbirajo podatke o korespondenci med izvirniki. in slike. Zaradi prisotnosti tabel je Laplasova transformacijska metoda postala priljubljena tako v teoretičnih študijah kot pri inženirskih izračunih naprav in sistemov radijskega inženiringa. V dodatkih je takšna tabela, ki vam omogoča reševanje precej širokega spektra težav.

Primeri izračuna Laplaceovih transformacij.

Metode računanja slik imajo veliko skupnega s tem, kar je bilo že preučeno v zvezi s Fourierjevo transformacijo. Poglejmo najbolj tipične primere.

Primer 2.4, Slika posplošenega eksponentnega zagona.

Naj bo, kje je fiksno kompleksno število. Prisotnost -funkcije določa enakost pri Z uporabo formule (2.54), imamo

Če potem števec izgine, ko se zgornja meja nadomesti. Kot rezultat dobimo korespondenco

Kot poseben primer formule (2.56) lahko najdete sliko pravega eksponentnega video impulza:

in kompleksen eksponentni signal:

Končno, če vnesemo (2.57), najdemo podobo funkcije Heaviside:

Primer 2.5. Slika delta funkcije.

Laplaceova transformacija- integralna transformacija, ki povezuje funkcijo F (s) (\ displaystyle \ F (s)) kompleksna spremenljivka ( slika) s funkcijo f (x) (\ displaystyle \ f (x)) realna spremenljivka ( izvirno). Z njeno pomočjo se raziskujejo lastnosti dinamičnih sistemov ter rešujejo diferencialne in integralne enačbe.

Ena od značilnosti Laplaceove transformacije, ki je vnaprej določila njeno široko uporabo v znanstvenih in inženirskih izračunih, je, da številna razmerja in operacije na izvirnikih ustrezajo enostavnejšim razmerjem nad njihovimi slikami. Tako se konvolucija dveh funkcij v prostoru slike zmanjša na operacijo množenja, linearne diferencialne enačbe pa postanejo algebraične.

Kolegij YouTube

1 / 5

✪ Laplaceova transformacija - brezbotvy

✪ 10. predavanje: Laplaceova transformacija

✪ Višja matematika - 4. Laplaceove transformacije. 1. del

✪ Laplaceova metoda za reševanje diferencialnih enačb

✪ 11. predavanje: Uporaba Laplaceove transformacije pri reševanju diferencialnih enačb

Podnapisi

Opredelitev

Neposredna Laplaceova transformacija

lim b → ∞ ∫ 0 b | f (x) | e - σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f (x) | e - σ 0 xdx, (\ displaystyle \ lim _ (b \ to \ infty) \ int \ limits _ (0) ^ (b) | f (x) | e ^ (- \ sigma _ (0) x) \ , dx = \ int \ meji _ (0) ^ (\ infty) | f (x) | e ^ (- \ sigma _ (0) x) \, dx,)

potem konvergira absolutno in enakomerno za in je analitična funkcija za σ ⩾ σ 0 (\ displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _ (0)) (σ = R e s (\ displaystyle \ sigma = \ mathrm (Re) \, s)- realni del kompleksne spremenljivke s (\ displaystyle s)). Natančen spodnji rob σ a (\ displaystyle \ sigma _ (a)) nizi številk σ (\ displaystyle \ sigma), pod katerim je ta pogoj izpolnjen, se imenuje abscisa absolutne konvergence Laplaceova transformacija za funkcijo.

• Pogoji za obstoj neposredne Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija L (f (x)) (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (x) \)) obstaja v smislu absolutne konvergence v naslednjih primerih:

1. σ ⩾ 0 (\ displaystyle \ sigma \ geqslant 0): Laplaceova transformacija obstaja, če obstaja integral ∫ 0 ∞ | f (x) | d x (\ displaystyle \ int \ omejitve _ (0) ^ (\ infty) | f (x) | \, dx);
2. σ> σ a (\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a)): Laplaceova transformacija obstaja, če je integral ∫ 0 x 1 | f (x) | d x (\ displaystyle \ int \ omejitve _ (0) ^ (x_ (1)) | f (x) | \, dx) obstaja za vse konce x 1> 0 (\ displaystyle x_ (1)> 0) in | f (x) | ⩽ K e σ a x (\ displaystyle | f (x) | \ leqslant Ke ^ (\ sigma _ (a) x)) za x> x 2 ⩾ 0 (\ displaystyle x> x_ (2) \ geqslant 0);
3. σ> 0 (\ displaystyle \ sigma> 0) ali σ> σ a (\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a))(katera od meja je večja): Laplaceova transformacija obstaja, če za funkcijo obstaja Laplaceova transformacija f ′ (x) (\ displaystyle f "(x))(izpeljano iz f (x) (\ displaystyle f (x))) za σ> σ a (\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ (a)).

Opomba

• Pogoji za obstoj inverzne Laplaceove transformacije

Za obstoj inverzne Laplaceove transformacije zadostujejo naslednji pogoji:

1. Če je slika F (s) (\ displaystyle F (s))- analitična funkcija za σ ⩾ σ a (\ displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _ (a)) in ima red manjši od −1, potem inverzna transformacija zanj obstaja in je neprekinjena za vse vrednosti argumenta, in L - 1 (F (s)) = 0 (\ displaystyle (\ mathcal (L)) ^ ( - 1) \ (F (s) \) = 0) za t ⩽ 0 (\ displaystyle t \ leqslant 0).
2. Naj bo F (s) = φ [F 1 (s), F 2 (s),…, F n (s)] (\ displaystyle F (s) = \ varphi), torej φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analitičen o vsakem z k (\ displaystyle z_ (k)) in je enak nič za z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), in F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ dvopičje k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), potem obstaja inverzna transformacija in ima ustrezna prednja transformacija absciso absolutne konvergence.

Opomba: to so zadostni pogoji za obstoj.

• Konvolucijski izrek

Glavni članek: Konvolucijski izrek

• Razlikovanje in povezovanje izvirnika

Laplaceova slika prve izpeljanke izvirnika glede na argument je produkt slike z argumentom slednjega minus izvirnik na nič na desni:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Izrek o začetni in končni vrednosti (mejni izrek):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ do 0) sF (s))če so vsi poli funkcije s F (s) (\ displaystyle sF (s)) so v levi polravnini.

Izrek o končni vrednosti je zelo uporaben, ker opisuje obnašanje izvirnika v neskončnosti z uporabo preproste relacije. To se na primer uporablja za analizo stabilnosti poti dinamičnega sistema.

• Druge lastnosti

Linearnost:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Množenje s številom:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ levo ((\ frac (s) (a)) \ desno).)

Neposredna in inverzna Laplaceova transformacija nekaterih funkcij

Spodaj je tabela Laplaceove transformacije za nekatere funkcije.

№	Funkcija	Časovna domena x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ mathcal (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvenčna domena X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Konvergenčna regija za vzročni sistemi
1	popoln zaostanek	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	en sam impulz	δ (t) (\ slog prikaza \ delta (t) \)	1 (\ slog prikaza 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ forall s \)
2	zaostajanje n (\ displaystyle n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	pomirjujoč n (\ displaystyle n)-naročilo	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	pomirjujoč q (\ slog prikaza q)-naročilo	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ gama (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	funkcija enote	H (t) (\ displaystyle H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	funkcija enote zamika	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Hitrost korak	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displaystyle n)-. vrstni red s frekvenčnim zamikom	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	eksponentni razpad	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
3	eksponentni približek	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle (1 -e ^ ( - \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hiperbolični sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hiperbolični kosinus	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	eksponentno propada sinus	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
9	eksponentno propada kosinus	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ ( - \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
10	koren n (\ displaystyle n)-naročilo	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ ( - (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ levo (1 + (\ frac (1) (n) ) \ prav))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	naravni logaritem	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ levo ((\ frac (t) (t_ (0))) \ desno) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Besselova funkcija prve vrste naročilo n (\ displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2)) + \ omega ^ (2) ))) \ desno) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ slog prikaza (n> -1) \)
13	prve vrste naročilo n (\ displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ levo (s + (\ sqrt (s ^ (2)) - \ omega ^ (2 ) )) \ desno) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besselova funkcija druga vrsta ničelni red	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arš (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arš)) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	spremenjena Besselova funkcija druga vrsta, ničelni red	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	funkcija napak	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Opombe k tabeli: H (t) (\ slog prikaza H (t) \); α (\ displaystyle \ alpha \), β (\ displaystyle \ beta \), τ (\ displaystyle \ tau \) in ω (\ displaystyle \ omega \) - Odnos z drugimi transformacijami Temeljne povezave Mellinova transformacija Mellinova transformacija in inverzna Mellinova transformacija sta povezani z dvostransko Laplaceovo transformacijo s preprosto spremembo spremenljivk. Če v Mellinovi transformaciji G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displaystyle G (s) = (\ mathcal (M)) \ levo \ (g (\ theta) \ desno \) = \ int \ meji _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) dal θ = e - x (\ displaystyle \ theta = e ^ (- x)), potem dobimo dvostransko Laplaceovo transformacijo. Z-transformacija Z (\ slog prikaza Z)-transform je Laplaceova transformacija rešetkaste funkcije, ki nastane s spreminjanjem spremenljivk: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ ekvivalent ^ (sT),) Borelova transformacija Integralna oblika Borelove transformacije je identična Laplaceovi transformaciji, obstaja tudi posplošena Borelova transformacija, s pomočjo katere se uporaba Laplaceove transformacije razširi na širši razred funkcij. Bibliografija Van der Pol B., Bremer H. Operativni račun, ki temelji na dvostranski Laplaceovi transformaciji. - M.: Založba tuje literature, 1952. - 507 str. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integralne transformacije in operativni račun. - M.: Glavna izdaja fizikalne in matematične literature založbe "Nauka", 1974. - 544 str. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Priročnik za operativni račun: Osnove teorije in tabele s formulo. - M.: Državna založba tehnične in teoretične literature, 1951. - 256 str. Carslow H., Jaeger D. Operativne metode v uporabni matematiki. - M.: Založba tuje literature, 1948. - 294 str. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourierjeve vrste in integrali. Teorija polja. Analitično in posebne funkcije... Laplaceova transformacija. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 str. Krasnov M.L., Makarenko G.I. Operativni račun. Stabilnost gibanja. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 str. Mikusinski Y. Operaterski račun. - M.: Založba tuje literature, 1956. - 367 str. Romanovski P.I. Fourierjeva serija. Teorija polja. Analitične in posebne funkcije. Laplaceova transformacija. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 str.