元のラプラス変換による画像。 ラプラス変換は、Duhamel式のプロパティの主な定義です。 直接ラプラス変換
線形を解くには 微分方程式ラプラス変換を使用します。
ラプラス変換比率と呼ばれる
設定機能 x（t）実変数 tインライン関数 X（s）複素変数 s（s =σ+ jω）。ここで x（t）と呼ばれる オリジナル、X（s）- 画像また ラプラスによる画像と s- ラプラス変換変数。オリジナルは小文字で示され、その画像は同じ名前の大文字で示されます。
関数は バツ(t）ラプラス変換の対象には、次のプロパティがあります。
1）機能 x（t）は、区間で定義され、区分的に微分可能です。ここで、< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8講義7回路の演算子関数演算子の入力と伝達関数回路の関数の極と零点3結論演算子の入力と伝達関数回路の演算子の関数は関係です。
68講義71次回路の過渡プロセス計画11次のRC回路の過渡プロセス21次のR回路の過渡プロセス3回路の過渡プロセスの計算例
4交流正弦波電流の線形電気回路とその計算方法4.1電気機械。 正弦波電流の生成の原理4.1.012。 正弦波電流は瞬時と呼ばれます
連邦教育庁高等専門教育機関「クバン州立大学」物理技術学部オプトエレクトロニクス学科
〜〜FCFコーシーリーマン条件の複素変数FCFの導関数FCFの規則性の概念複素数の形式FCFの形式：2つの変数の実関数が実数である場合
セクションII。 数学的分析
E.Yu。Anokhina
主題としての複素変数（TFV）の機能の理論の開発と形成の歴史
複雑な数学コースの1つは、TFKTコースです。 このコースの複雑さは、まず第一に、TFKTの科学の幅広い応用方向で歴史的に表現されてきた、他の数学分野との相互関係の多様性によるものです。
数学の歴史に関する科学文献には、TFCTの開発の歴史に関する情報が散在しており、体系化と一般化が必要です。
この点で、この記事の主なタスクは、TFCTの開発と教育科目としてのこの理論の形成の簡単な説明です。
研究の結果、科学および学術分野としてのTFCTの開発における次の3つの段階が特定されました。
複素数の出現と認識の段階。
虚数の関数に関する事実資料の蓄積の段階。
複素変数の関数理論の形成段階。
TFKPの開発の最初の段階（16世紀半ばから18世紀）は、Artis magnae sive de regulis代数（Great Art、または代数規則）を出版したG. Cardano（1545）の作品から始まります。 G.カルダーノの仕事は、最近フェロ（1465-1526）、タルタグリア（1506-1559）、フェラーリ（1522-1565）によって発見された、3度と4度の方程式を解くための一般的な代数的方法を実証するという主な仕事を持っていました）。 三次方程式が次の形式に還元される場合
x3 + px + q = 0、
とする必要があります
（p ^ Ap V（| -70）の場合、方程式には3つの実根があり、そのうちの2つは
互いに等しい。 その場合、方程式には1つの実数と2つの共があります。
複雑な根を紡ぎました。 複素数が最終結果に表示されるため、G。カルダーノは彼の前と同じように行うことができます。
1つのルート。 いつ （<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так
いわゆる還元不可能なケースは、16世紀まで遭遇しなかった1つの特徴によって特徴付けられます。 方程式x3-21x + 20 = 0には、3つの実根1、4、-5があります。これは簡単です。
単純な置換で確認してください。 しかし、^ du + y _ ^ 20y + ^ -21y _ ^ ^ ^; したがって、一般式によれば、x = ^ -10 + ^ -243-^-10-4 ^ 243です。 複雑、つまり 「false」、数値はここでの結果ではありませんが、問題の方程式の実根につながる計算の中間項です。 G.カルダーノは困難に直面し、この公式の一般性を維持するために、複素数を完全に無視することを放棄する必要があることに気づきました。 J. d'Alembert（1717-1783）は、G。カルダーノとこの考えに従った数学者が複素数に真剣に興味を持つようになったのは、まさにこの状況であると信じていました。
この段階（17世紀）では、2つの見方が一般的に受け入れられていました。 最初の見解は、複素数の無制限の使用の必要性を認識する問題を提起したジラールによって表明されました。 2番目-複素数を解釈する可能性を否定したデカルト。 デカルトの意見とは反対に、J。ウォリスの見解がありました。複素数の実際の解釈の存在については、デカルトは無視していました。 実数を使用すると複雑な結果が得られる場合や、理論的には結果が得られないが実際に実装された場合に、適用される問題を解決するために複素数が「強制」されるようになりました。
複素数の直感的な使用により、複素数のセットで実数の算術の法則と規則を維持する必要が生じました。特に、直接転送の試みがありました。 これにより、誤った結果が生じることがありました。 この点で、複素数の正当化とそれらの算術のためのアルゴリズムの構築に関する質問が話題になっています。 これは、TFCTの開発における新しい段階の始まりでした。
TFKPの開発の第2段階（18世紀の初め-19世紀）。 18世紀に。 L.オイラーは、複素数のフィールドの代数的閉包のアイデアを表現しました。 複素数Cのフィールドの代数的閉包により、数学者は次の結論に至りました。
関数の研究と数学的分析は、一般に、複雑な領域での関数の振る舞いを考慮する場合にのみ、適切な完全性と完全性を獲得します。
複素数を変数として考慮する必要があります。
1748年、L。オイラー（1707-1783）は、彼の作品「極小の分析の概要」で、関数を線形因子に分解するときに複素数を使用して、変数の最も一般的な概念として複素変数を導入しました。 L.オイラーは当然TFCTの作成者の1人と見なされています。 L.オイラーの作品では、複素変数の初等関数が詳細に研究され（1740-1749）、微分可能性の条件（1755）と複素変数の関数の積分微積分の始まり（1777）が与えられました。 L.オイラーは実際に等角写像を導入しました（1777）。 彼はこれらのマッピングを「小さな点で類似している」と呼び、「等角」という用語は、明らかに、サンクトペテルブルクの学者F.シューベルト（1789）によって最初に使用されました。 L.オイラーはまた、さまざまな数学的問題に複素変数の関数を多数適用し、流体力学（17551757）および地図作成（1777）での適用の基礎を築きました。 K. Gaussは、複素平面の積分の定義を定式化します。これは、解析関数のべき級数への展開に関する積分定理です。 ラプラスは、複素変数を使用して難しい積分を計算し、ラプラス変換と呼ばれる線形、差分、微分方程式を解く方法を開発します。
1799年以降、複素数の多かれ少なかれ便利な解釈が与えられ、それらに対するアクションが定義された論文が登場します。 かなり一般的な理論的解釈と幾何学的解釈は、1831年にのみK.ガウスによって出版されました。
L.オイラーと彼の同時代人たちは、蓄積された、どこか体系化された、どこかではないが、それでもTFCTに散在する事実の形で後世に豊かな遺産を残しました。 虚数の関数に関する事実資料は、いわば理論の形で体系化する必要があったと言えます。 この理論は形になり始めています。
TFKPの形成の第3段階（XIX世紀-XX世紀）。 ここでの主な業績は、O。Cauchy（1789-1857）、B。Riemann（1826-1866）、およびK. Weierstrass（1815-1897）に属しています。 それらのそれぞれは、TFKPの開発の方向性の1つを表しています。
数学の歴史の中で「単一遺伝子または微分可能関数の理論」と呼ばれた最初の方向の代表は、O。コーシーでした。 彼は、複素変数の関数の微分積分学に関する異なる事実を形式化し、基本的な概念と虚数の操作の意味を説明しました。 O.コーシーの作品では、極限理論とそれに基づく級数および初等関数の理論が提示されており、べき級数の収束領域を完全に解明する定理が定式化されています。 1826年、O。Cauchyは、演繹（文字通り：剰余）という用語を導入しました。 1826年から1829年までの著作で、彼は控除の理論を作成しました。 O.コーシーは積分公式を推定しました。 複素変数の関数をべき級数に拡張するための存在定理を取得しました（1831）。 O.コーシーは、いくつかの変数の分析関数の理論の基礎を築きました。 複素変数の多値関数の主な分岐を決定しました。 最初に使用された平面カット（1831-1847）。 1850年に彼はモノドロミー機能の概念を導入し、モノドロミー機能のクラスを選び出しました。
O.コーシーの信奉者はB.リーマンであり、彼はまた、TFCTの開発の彼自身の「幾何学的」（第2の）方向を作成しました。 彼の作品では、複雑な変数の関数に関するアイデアの孤立を克服し、他の分野と密接に関連するこの理論の新しい部門を形成しました。 リーマンは、分析関数の理論の歴史に本質的に新しい一歩を踏み出しました。彼は、ある領域から別の領域へのマッピングのアイデアを複素数値の各関数に関連付けることを提案しました。 彼は、複素数の関数と実変数の関数を区別しました。 B.リーマンは、関数の幾何学的理論の基礎を築き、リーマン面を導入し、等角写像の理論を開発し、分析関数と調和関数の間の接続を確立し、ゼータ関数を考慮に入れました。
TFKPのさらなる開発は、別の（第3の）方向で行われました。 その基礎は、べき級数で関数を表す可能性でした。 この傾向は、歴史上「分析的」という名前が付けられています。 それは、K。ワイエルシュトラスの作品で形成され、そこで彼は一様収束の概念を前面に押し出しました。 K.ワイエルシュトラスは、一連の類似項を減らすことの合法性に関する定理を定式化し、証明しました。 K.ワイエルシュトラスは、基本的な結果を得ました。特定のドメイン内で均一に収束する一連の分析関数の限界は、分析関数です。 彼は、複素数値関数のべき級数展開に関するコーシーの定理を一般化することに成功し、べき級数の解析接続のプロセスと、微分方程式のシステムの解の表現へのその適用について説明しました。 K.ワイエルシュトラスは、級数の絶対収束だけでなく、一様収束の事実も確立しました。 ワイエルシュトラスの定理は、関数全体を製品に拡張する際に現れます。 彼は多くの変数の解析関数の理論の基礎を築き、べき級数の分割可能性の理論を構築します。
ロシアにおける分析関数の理論の発展を考えてみてください。 19世紀のロシアの数学者。 長い間、彼らは新しい数学の分野に専念することを望んでいませんでした。 それにもかかわらず、私たちは彼女が外国人ではなかったいくつかの名前を挙げ、これらのロシアの数学者の作品と業績のいくつかをリストすることができます。
ロシアの数学者の一人はM.V. オストログラードスキー（1801-1861）。 M.V.について 解析関数の理論の分野でオストログラードスキーについてはほとんど知られていませんが、O。コーシーは、積分を適用し、式の新しい証明を与え、他の式を一般化したこの若いロシアの科学者を称賛しました。 M.V. オストログラードスキーは、「定積分に関する注釈」という作品を書きました。この作品では、n次の極に関する関数を推定するためのコーシーの公式を導き出しました。 彼は、1858年から1859年にかけて行われた大規模な公開講座で、留数定理とコーシーの公式の定積分の計算への応用について概説しました。
N.I.による数々の作品 Lobachevskyは、複素変数の関数の理論にとって直接重要です。 複素変数の初等関数の理論は、彼の作品「代数または有限の計算」（Kazan、1834）に含まれています。 ここで、cosxとsinxは、最初に実数xに対して実数と
関数ex ^の架空の部分。 指数関数とパワー展開の以前に確立されたプロパティを使用して、三角関数のすべての主要なプロパティが導出されます。 沿って-
どうやら、ロバチェフスキーは、ユークリッド幾何学とは無関係に、三角法のそのような純粋に分析的な構造を特に重要視していました。
19世紀の最後の数十年でそれは主張することができます。 そして20世紀の最初の10年。 複素変数の関数の理論（F. Klein、A。Poincaré、P。Kebe）の基礎研究は、ロバチェフスキーの幾何学が同時に1つの複素数の解析関数の幾何学であるという事実の段階的な解明にありました。変数。
1850年、サンクトペテルブルク大学教授（後の学者）I.I。 ソモフ（1815-1876）は、ヤコビの新しい基礎に基づいた分析関数の理論の基礎を発表しました。
しかし、複素変数の解析関数の理論の分野で最初の真に「元の」ロシアの研究者はYu.Vでした。 ソカツキー（1842-1929）。 彼は修士論文「いくつかの応用を伴う積分残差の理論」（サンクトペテルブルク、1868年）を擁護しました。 1868年秋からYu.V. ソカツキーは、虚数変数の関数の理論と、分析への応用を伴う連分数に関するコースを教えました。 修士論文Yu.V. Sokhotskyは、べき級数（ラグランジュ級数）の反転、特に分析関数の連分数への拡張、およびルジャンドル多項式への留数理論の適用に専念しています。 この論文では、本質的な特異点の近傍における解析関数の振る舞いに関する有名な定理が定式化され、証明されています。 ソカツキーの博士論文で
（1873）初めて、コーシー型の積分の概念が拡張された形式で導入されました：* r / ^＆_ where
aとbは2つの任意の複素数です。 積分は、aとbを結ぶ曲線（「軌道」）に沿って行われることになっています。 この作業では、いくつかの定理が証明されています。
分析関数の歴史において大きな役割を果たしたのは、N.E。 ジュコフスキーとS.A. エアロメカニックスとハイドロメカニックスでのアプリケーションの無限の領域を開いたチャプルギン。
解析関数の理論の発展について言えば、S.V。の研究に言及することは間違いありません。 コワレフスカヤ、しかしそれらの主な意味はこの理論の外にあります。 彼女の研究の成功は、分析関数の理論と複素変数としての時間tの考慮という観点から、問題のまったく新しい定式化によるものでした。
XX世紀の変わり目に。 複素変数の関数の理論の分野における科学研究の性質は変化しています。 以前、この分野の研究のほとんどが3つの方向（単一遺伝子または微分可能コーシー関数の理論、リーマンの幾何学的および物理的アイデア、ワイエルシュトラスの分析方向）のいずれかの開発に関して行われた場合、現在は違いとそれらに関連する論争は克服され、出現し、アイデアと方法の統合が行われる作品の数が急速に増加しています。 幾何学的表現とべき級数の装置との間の接続と対応が明確に明らかにされた基本的な概念の1つは、解析接続の概念でした。
19世紀の終わりに。 複素変数の関数の理論には、等角写像とリーマン面の理論に基づく関数の幾何学的理論という、広範囲にわたる複雑な分野が含まれます。 整数と有理型、楕円とモジュラー、自己同形、調和、代数など、さまざまなタイプの関数の理論の積分形式を受け取りました。 最後のクラスの関数と密接に関連して、アーベル積分の理論が開発されました。 微分方程式の解析的整数論と数論の解析的整数論は、この複合体に隣接していました。 分析関数の理論は、他の数学分野とのリンクを確立し、強化しました。
TFCTと代数、幾何学、その他の科学との豊富な相互関係、TFCT自体の科学の体系的な基盤の作成、およびその大きな実用的意義は、学術科目としてのTFCTの形成に貢献しました。 しかし、基礎の形成が完了すると同時に、分析関数の理論に新しいアイデアが導入され、その構成、性質、および目標が大幅に変更されました。 モノグラフは、公理に近いスタイルで分析関数の理論の体系的な説明を含み、教育目的も持っているように見えます。 明らかに、レビュー対象期間の科学者によって得られたTFCTの結果の重要性は、教育の観点からモノグラフィック研究を講義および公開するという形でTFCTを普及させるように促しました。 TFCTは学習として現れたと結論付けることができます
主題。 1856年、Ch。BriotとT. Bouquetは、本質的に最初の教科書である小さな回想録「架空の変数の関数の調査」を発表しました。 複素変数の関数の理論における一般的な概念は、講義で理解され始めました。 1856年以降、K。Weiersht-rassは、収束べき級数による関数の表現について講義し、1861年以降、関数の一般理論について講義しました。 1876年に、K。ワイエルシュトラスによる特別な作品が登場しました。「単一値の分析関数の理論について」、1880年に、彼の分析関数の理論が一定の完全性を獲得した「関数の教義について」です。
ワイエルシュトラスの講義は、それ以来かなり頻繁に登場し始めた複素変数の関数の理論に関する教科書のプロトタイプとして長年役立ってきました。 彼の講義の中で、数学的分析における現代の厳密さの基準が基本的に構築され、伝統的になった構造が選ばれました。
参考文献
1.アンドロノフI.K. 実数と複素数の数学。 M。：教育、1975年。
2.クラインF.19世紀の数学の発展に関する講義。 M。：ONTI、1937年。パート1。
3. Lavrentiev M.A.、Shabat B.V. 複素変数の関数の理論の方法。 モスクワ：ナウカ、1987年。
4. Markushevich A.I. 分析関数の理論。 M .:州。 技術および理論文学の出版社、1950年。
5.19世紀の数学。 ジオメトリ。 分析関数の理論/ ed。 A. N.KolmogorovaおよびA.P. Yushkevich モスクワ：ナウカ、1981年。
6.数学百科事典/チャップ。 ed。 I.M.ヴィノグラドフ。 M。：ソビエト百科事典、1977年。T。1。
7.数学百科事典/チャップ。 ed。 I.M.ヴィノグラドフ。 M。：ソビエト百科事典、1979年。第2巻。
8.ヤングV.N. 18世紀と19世紀初頭の数の教義の基礎。 モスクワ：Uchpedgiz、1963年。
9.リブニコフK.A. 数学の歴史。 M。：モスクワ州立大学出版社、1963年。パート2。
いいえ。 平面曲線のLyakhovaタッチ
共通点の横座標がРпx= 0の形式の方程式から求められる場合の平面曲線の接線の問題（Рxは多項式）は、問題に直接関係しています。
多項式Pnxの根の多重度について。 この記事では、対応するステートメントが、グラフが曲線である関数の明示的および暗黙的な割り当ての場合に定式化され、問題の解決におけるこれらのステートメントの適用も示されています。
関数y \ u003d f（x）とy \ u003d cpxのグラフである曲線に共通点がある場合
M（）x0; v0、つまり y0 \ u003d f x0 \ u003d cp x0および点M（）x0で描かれた示された曲線の接線。 v0が一致しない場合、曲線y = fix）とy --cpxが点Moxoで交差すると言います。
図1は、関数グラフの共通部分の例を示しています。
これは別のタイプの積分変換の名前であり、フーリエ変換とともに、信号の研究に関連するさまざまな問題を解決するために無線工学で広く使用されています。
複素周波数の概念。
スペクトル法は、すでに知られているように、調査中の信号が無制限の数の基本項の合計として表され、それぞれが法に従って時間とともに周期的に変化するという事実に基づいています。
この原理の自然な一般化は、純粋に虚数の指数を持つ複素指数信号の代わりに、複素数と呼ばれる形式の指数信号が考慮されるという事実にあります。これは複素周波数と呼ばれます。
このような2つの複雑な信号を使用して、たとえば次のルールに従って実際の信号を構成できます。
ここで、は複素共役値です。
確かに、
複素周波数の実数部と虚数部の選択に応じて、さまざまな実数信号を取得できます。 したがって、の場合、ただしIfの形式の通常の調和振動が得られると、符号に応じて、時間の指数関数的振動が増加または減少します。 このような信号は、次の場合に、より複雑な形式を取得します。 ここで、乗数は時間とともに指数関数的に変化するエンベロープを表します。 いくつかの典型的な信号を図に示します。 2.10。
複素周波数の概念は、主に、一般化された関数に頼ることなく、数学モデルが統合できない信号のスペクトル表現を取得できるため、非常に有用であることがわかります。
米。 2.10。 複素周波数のさまざまな値に対応する実際の信号
別の考慮事項も不可欠です。形式（2.53）の指数信号は、さまざまな線形システムの振動を研究するための「自然な」手段として機能します。 これらの質問はChapで検討されます。 8。
真の物理周波数は、複素周波数の虚数部であることに注意してください。 複素周波数の実数部oに特別な用語はありません。
基本的な比率。
t> 0で定義され、時間の負の値ではゼロに等しい、実数または複素数の信号を考えてみましょう。 この信号のラプラス変換は、積分によって与えられる複素変数の関数です。
信号はオリジナルと呼ばれ、関数はそのラプラス画像（略して単なる画像）と呼ばれます。
積分（2.54）の存在を保証する条件は、次のとおりです。信号は、最大で指数関数的成長率を持っている必要があります。つまり、正の数である不等式を満たす必要があります。
この不等式が満たされると、積分（2.54）が絶対収束の横座標と呼ばれるすべての複素数に対して絶対収束するという意味で関数が存在します。
主な式（2.54）の変数は、複素周波数で識別できます。実際、純粋に虚数の複素周波数の場合、式（2.54）が式（2.16）に変わると、信号のフーリエ変換が決定されます。したがって、ラプラス変換は次のように考えることができます。
フーリエ変換の理論で行われているように、画像を知っていれば、元の画像を復元することができます。 これを行うには、逆フーリエ変換の式で
解析接続は、虚数変数から複素数の偏角に渡すことによって実行する必要があります。a複素数の平面上で、積分は、絶対収束の横座標の右側にある無制限に拡張された垂直軸に沿って実行されます。 微分の場合、逆ラプラス変換の式は次の形式になります。
複素変数の関数の理論では、ラプラス画像は滑らかさの観点から「良好な」特性を持っていることが証明されています。いわゆる複素平面の可算集合を除いて、複素平面のすべての点でそのような画像があります。特異点は、分析関数です。 特異点は通常、単一または複数の極です。 したがって、形式（2.55）の積分を計算するには、留数定理の柔軟な方法を使用できます。
実際には、ラプラス変換テーブルが広く使用されており、オリジナル間の対応に関する情報を収集します。 と画像。 テーブルの存在により、ラプラス変換法は、理論研究と無線工学デバイスおよびシステムの工学計算の両方で人気がありました。 付録にはそのような表があり、かなり広範囲の問題を解決することができます。
ラプラス変換の計算例。
画像の計算方法には、フーリエ変換に関連してすでに研究されている方法と多くの類似点があります。 最も典型的なケースを考えてみましょう。
例2.4、一般化された指数運動量の画像。
、ここで、は固定複素数です。 -関数の存在は、式（2.54）を使用して等式を決定します。
その場合、上限が置き換えられると分子が消えます。 その結果、対応が得られます
式（2.56）の特殊なケースとして、実際の指数ビデオパルスの画像を見つけることができます。
複雑な指数信号：
最後に、（2.57）を入力すると、ヘヴィサイド関数のイメージが見つかります。
例2.5。 デルタ関数の画像。
ラプラス変換-関数に関連する積分変換 F（s）（\ displaystyle \ F（s））複素変数（ 画像）関数付き f（x）（\ displaystyle \ f（x））実変数（ 元の）。 その助けを借りて、力学系の特性が研究され、微分方程式と積分方程式が解かれます。
科学および工学計算での広範な使用を事前に決定したラプラス変換の特徴の1つは、オリジナルの多くの比率と操作が、画像のより単純な比率に対応することです。 したがって、画像の空間での2つの関数の畳み込みは、乗算の演算に還元され、線形微分方程式は代数になります。
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✪ラプラス変換-bezbotvy
✪講義10：ラプラス変換
✪高等数学-4。ラプラス変換。 パート1
✪DEソリューションのラプラス法
✪講義11：微分方程式を解くためのラプラス変換の適用
字幕
意味
直接ラプラス変換
limb→∞∫0b| f（x）| e −σ0 x d x =∫0∞| f（x）| e −σ0 xdx、（\ displaystyle \ lim _（b \ to \ infty）\ int \ Limits _（0）^（b）| f（x）| e ^（-\ sigma _（0）x）\ 、dx = \ int \ Limits _（0）^（\ infty）| f（x）| e ^（-\ sigma _（0）x）\、dx、）次に、それは絶対的かつ均一に収束し、の分析関数です。 σ⩾σ0（\ displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _（0）） (σ= R e s（\ displaystyle \ sigma = \ mathrm（Re）\、s）-複素変数の実数 s（\ displaystyle s））。 正確な下限 σa（\ displaystyle \ sigma _（a））数字のセット σ（\ displaystyle \ sigma）この条件が満たされる、と呼ばれる 絶対収束の横座標関数のラプラス変換。
- 直接ラプラス変換が存在するための条件
ラプラス変換 L（f（x））（\ displaystyle（\ mathcal（L））\（f（x）\））次の場合、絶対収束の意味で存在します。
- σ⩾0（\ displaystyle \ sigma \ geqslant 0）：積分が存在する場合、ラプラス変換が存在します ∫0∞| f（x）| d x（\ displaystyle \ int \ Limits _（0）^（\ infty）| f（x）| \、dx）;
- σ>σa（\ displaystyle \ sigma> \ sigma _（a））：積分の場合、ラプラス変換が存在します ∫0x1| f（x）| d x（\ displaystyle \ int \ Limits _（0）^（x_（1））| f（x）| \、dx）すべての有限に存在します x 1> 0（\ displaystyle x_（1）> 0）と | f（x）| ⩽Keσax（\ displaystyle | f（x）| \ leqslant Ke ^（\ sigma _（a）x））にとって x>x2≥0（\ displaystyle x> x_（2）\ geqslant 0）;
- σ> 0（\ displaystyle \ sigma> 0）また σ>σa（\ displaystyle \ sigma> \ sigma _（a））（どちらの境界が大きいか）：関数にラプラス変換が存在する場合、ラプラス変換が存在します f ′（x）（\ displaystyle f "（x））（の派生物 f（x）（\ displaystyle f（x））） にとって σ>σa（\ displaystyle \ sigma> \ sigma _（a））.
ノート
- 逆ラプラス変換が存在するための条件
逆ラプラス変換が存在するためには、次の条件が満たされていれば十分です。
- 画像の場合 F（s）（\ displaystyle F（s））-分析関数 σ≥σa（\ displaystyle \ sigma \ geqslant \ sigma _（a））-1未満の次数を持つ場合、その逆変換が存在し、引数のすべての値に対して連続的であり、 L − 1（F（s））= 0（\ displaystyle（\ mathcal（L））^（-1）\（F（s）\）= 0）にとって t⩽0（\ displaystyle t \ leqslant 0）.
- させて F（s）=φ[F 1（s）、F 2（s）、…、F n（s）]（\ displaystyle F（s）= \ varphi）、 それで φ（z 1、z 2、…、z n）（\ displaystyle \ varphi（z_（1）、\; z_（2）、\; \ ldots、\; z_（n）））それぞれに関して分析的です z k（\ displaystyle z_（k））とゼロに等しい z 1 = z 2 =…= z n = 0（\ displaystyle z_（1）= z_（2）= \ ldots = z_（n）= 0）、 と F k（s）= L（fk（x））（σ>σak：k = 1、2、…、n）（\ displaystyle F_（k）（s）=（\ mathcal（L））\（f_ （k）（x）\）\; \;（\ sigma> \ sigma _（ak）\ Colon k = 1、\; 2、\; \ ldots、\; n））の場合、逆変換が存在し、対応する直接変換には絶対収束の横座標があります。
ノート：これらは存在のための十分条件です。
- 畳み込み定理
主な記事： 畳み込み定理
- オリジナルの差別化と統合
ラプラスによれば、引数に関するオリジナルの一次導関数は、画像と後者の引数から右側のゼロのオリジナルを引いたものの積です。
L（f ′（x））= s・F（s）− f（0 +）。 （\ displaystyle（\ mathcal（L））\（f "（x）\）= s \ cdot F（s）-f（0 ^（+））。）初期値と最終値の定理（限界定理）：
f（∞）= lims→0s F（s）（\ displaystyle f（\ infty）= \ lim _（s \ to 0）sF（s））、関数のすべての極の場合 s F（s）（\ displaystyle sF（s））左半平面にあります。有限値の定理は、無限大での元の動作を単純な関係で記述するため、非常に便利です。 これは、たとえば、動的システムの軌道の安定性を分析するために使用されます。
- その他のプロパティ
直線性：
L（a f（x）+ b g（x））= a F（s）+ b G（s）。 （\ displaystyle（\ mathcal（L））\（af（x）+ bg（x）\）= aF（s）+ bG（s））数を掛ける：
L（f（a x））= 1 a F（s a）。 （\ displaystyle（\ mathcal（L））\（f（ax）\）=（\ frac（1）（a））F \ left（（\ frac（s）（a））\ right））一部の関数の直接および逆ラプラス変換
以下は、いくつかの関数のラプラス変換テーブルです。
| № | 関数 | 時間領域 x（t）= L − 1（X（s））（\ displaystyle x（t）=（\ mathcal（L））^（-1）\（X（s）\）） |
周波数領域 X（s）= L（x（t））（\ displaystyle X（s）=（\ mathcal（L））\（x（t）\）） |
コンバージェンスエリア にとって 因果システム |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 理想的なラグ | δ（t −τ）（\ displaystyle \ delta（t- \ tau）\） | e −τs（\ displaystyle e ^（-\ tau s）\） | |
| 1a | シングルパルス | δ（t）（\ displaystyle \ delta（t）\） | 1（\ displaystyle 1 \） | ∀s（\ displaystyle \ forall s \） |
| 2 | 遅れ n（\ displaystyle n） | （t −τ）n n！ e −α（t −τ）⋅H（t −τ）（\ displaystyle（\ frac（（t- \ tau）^（n））（n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} | e −τs（s +α）n + 1（\ displaystyle（\ frac（e ^（-\ tau s））（（s + \ alpha）^（n + 1）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2a | パワー n（\ displaystyle n）-次数 | t n n！ ⋅H（t）（\ displaystyle（\ frac（t ^（n））（n}\cdot H(t)} !} | 1 s n + 1（\ displaystyle（\ frac（1）（s ^（n + 1）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2a.1 | パワー q（\ displaystyle q）-次数 | tqΓ（q + 1）⋅H（t）（\ displaystyle（\ frac（t ^（q））（\ Gamma（q + 1）））\ cdot H（t）） | 1 s q + 1（\ displaystyle（\ frac（1）（s ^（q + 1）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2a.2 | 単一機能 | H（t）（\ displaystyle H（t）\） | 1秒（\ displaystyle（\ frac（1）（s））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2b | 遅延のある単一機能 | H（t −τ）（\ displaystyle H（t- \ tau）\） | e −τs s（\ displaystyle（\ frac（e ^（-\ tau s））（s））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2c | 「スピードステップ」 | t⋅H（t）（\ displaystyle t \ cdot H（t）\） | 1 s 2（\ displaystyle（\ frac（1）（s ^（2）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 2d | n（\ displaystyle n）-周波数シフトを伴う3次 | t n n！ e −αt⋅H（t）（\ displaystyle（\ frac（t ^（n））（n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} | 1（s +α）n + 1（\ displaystyle（\ frac（1）（（s + \ alpha）^（n + 1）））） | s> −α（\ displaystyle s>-\ alpha） |
| 2d.1 | 指数関数的減衰 | e −αt⋅H（t）（\ displaystyle e ^（-\ alpha t）\ cdot H（t）\） | 1秒+α（\ displaystyle（\ frac（1）（s + \ alpha））） | s> −α（\ displaystyle s>-\ alpha \） |
| 3 | 指数近似 | （1 − e −αt）⋅H（t）（\ displaystyle（1-e ^（-\ alpha t））\ cdot H（t）\） | αs（s +α）（\ displaystyle（\ frac（\ alpha）（s（s + \ alpha）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0 \） |
| 4 | 副鼻腔 | sin（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle \ sin（\ omega t）\ cdot H（t）\） | ωs2+ω2（\ displaystyle（\ frac（\ omega）（s ^（2）+ \ omega ^（2）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0 \） |
| 5 | 余弦 | cos（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle \ cos（\ omega t）\ cdot H（t）\） | s s 2 +ω2（\ displaystyle（\ frac（s）（s ^（2）+ \ omega ^（2）））） | s> 0（\ displaystyle s> 0 \） |
| 6 | 双曲線サイン | s h（αt）⋅H（t）（\ displaystyle \ mathrm（sh）\、（\ alpha t）\ cdot H（t）\） | αs2−α2（\ displaystyle（\ frac（\ alpha）（s ^（2）-\ alpha ^（2）））） | s> | α| （\ displaystyle s> | \ alpha | \） |
| 7 | 双曲線コサイン | c h（αt）⋅H（t）（\ displaystyle \ mathrm（ch）\、（\ alpha t）\ cdot H（t）\） | s s 2 −α2（\ displaystyle（\ frac（s）（s ^（2）-\ alpha ^（2）））） | s> | α| （\ displaystyle s> | \ alpha | \） |
| 8 | 指数関数的に減衰する 副鼻腔 |
e −αtsin（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle e ^（-\ alpha t）\ sin（\ omega t）\ cdot H（t）\） | ω（s +α）2 +ω2（\ displaystyle（\ frac（\ omega）（（s + \ alpha）^（2）+ \ omega ^（2）））） | s> −α（\ displaystyle s>-\ alpha \） |
| 9 | 指数関数的に減衰する 余弦 |
e −αtcos（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle e ^（-\ alpha t）\ cos（\ omega t）\ cdot H（t）\） | s +α（s +α）2 +ω2（\ displaystyle（\ frac（s + \ alpha）（（s + \ alpha）^（2）+ \ omega ^（2）））） | s> −α（\ displaystyle s>-\ alpha \） |
| 10 | 根 n（\ displaystyle n）-次数 | tn⋅H（t）（\ displaystyle（\ sqrt [（n）]（t））\ cdot H（t）） | s −（n + 1）/n⋅Γ（1 + 1 n）（\ displaystyle s ^（-（n + 1）/ n）\ cdot \ Gamma \ left（1 +（\ frac（1）（n） ）\正しい）） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 11 | 自然対数 | ln（t t 0）⋅H（t）（\ displaystyle \ ln \ left（（\ frac（t）（t_（0）））\ right）\ cdot H（t）） | − t 0 s [ln（t 0 s）+γ]（\ displaystyle-（\ frac（t_（0））（s））[\ ln（t_（0）s）+ \ gamma]） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
| 12 | ベッセル関数 第一種 注文 n（\ displaystyle n） |
J n（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle J_（n）（\ omega t）\ cdot H（t）） | ωn（s + s 2 +ω2）− ns 2 +ω2（\ displaystyle（\ frac（\ omega ^（n）\ left（s +（\ sqrt（s ^（2）+ \ omega ^（2） ））\ right）^（-n））（\ sqrt（s ^（2）+ \ omega ^（2））））） | s> 0（\ displaystyle s> 0 \） （n> − 1）（\ displaystyle（n> -1）\） |
| 13 | 第一種 注文 n（\ displaystyle n） |
I n（ωt）⋅H（t）（\ displaystyle I_（n）（\ omega t）\ cdot H（t）） | ωn（s + s 2 −ω2）− ns 2 −ω2（\ displaystyle（\ frac（\ omega ^（n）\ left（s +（\ sqrt（s ^（2）-\ omega ^（2） ））\ right）^（-n））（\ sqrt（s ^（2）-\ omega ^（2））））） | s> | ω| （\ displaystyle s> | \ omega | \） |
| 14 | ベッセル関数 第二種 ゼロ次 |
Y 0（αt）⋅H（t）（\ displaystyle Y_（0）（\ alpha t）\ cdot H（t）\） | − 2 arsh（s /α）πs2+α2（\ displaystyle-（\ frac（2 \ mathrm（arsh）（s / \ alpha））（\ pi（\ sqrt（s ^（2）+ \ alpha ^（2））））））） | s> 0（\ displaystyle s> 0 \） |
| 15 | 修正ベッセル関数 第二種、 ゼロ次 |
K 0（αt）⋅H（t）（\ displaystyle K_（0）（\ alpha t）\ cdot H（t）） | ||
| 16 | エラー関数 | e r f（t）⋅H（t）（\ displaystyle \ mathrm（erf）（t）\ cdot H（t）） | e s 2/4 e r f c（s / 2）s（\ displaystyle（\ frac（e ^（s ^（2）/ 4）\ mathrm（erfc）（s / 2））（s））） | s> 0（\ displaystyle s> 0） |
表の注記：
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ArduPilotMegaのOSD-フライトビデオにテレメトリデータをオーバーレイするためのシステム
Windows PCがWi-Fiホットスポットモードで電話に接続しないのはなぜですか？
ノートパソコンの明るさを調整する際の問題の解決