Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра. Импульсная характеристика и передаточная функция Импульсная передаточная характеристика

По определению передаточная функция (ПФ) представляет собой оператор, равный отношению изображений выходной и входной координат при нулевых начальных условиях:

W(p) = R(p) / Q(p)

Назначение сервиса . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением n порядка. Для колебательного звена n -го порядка определяются:

1. передаточная функция;
2. частотные характеристики (амплитудная (АЧХ), фазовая (ФЧХ), логарифмическая (ЛЧХ));
3. переходная и импульсная переходная (весовая) функции;
4. графики переходных и частотных характеристик.

Для нахождения передаточной функции онлайн необходимо выбрать тип звена и ввести степень звена.

Пример . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(2)
1) Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения
W(iω) = A(ω)e iφ(ω) = U(ω) + iV(ω),
где R(p)и Q(p) – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
(3)
или
. (4)

2) Определим частотные характеристики ОУ. Известно, что частотная передаточная функция W(ω) может быть представлена в виде:
, (5)
где A(ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
U(ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
V(ω) – мнимая частотная характеристика;
Подставим iω в выражение (3) вместо p . Получим:
(6)
На основе выражений (5) и (6) выделим отдельно амплитудную и фазовую частотные характеристики и подставим численные значения коэффициентов. Исходя из того, что:
A(ω) = |W(iω)|
φ(ω) = arg(W(iω))
(см. комплексные числа). Окончательно получим: (7)

3) Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ).
Известно, что ЛАЧХ определяется из соотношения:
L(ω) = 20lg(A(ω)) (8)
Данная характеристика имеет размерность дБ (децибелы) и показывает изменение отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.
Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе, будет называться логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Примеры построения ЛАЧХ и ЛФЧХ для наших исходных данных приведены на рисунке 1.
Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция w(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.
. (9)
Следовательно, весовую функцию можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.
w(t) = L -1 (10)

Импульсная переходная функция (весовая функция , импульсная характеристика ) - выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака . В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра . Находит широкое применение в теории управления , обработке сигналов и изображений , теории связи и других областях инженерного дела.

Определение [ | ]

Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Свойства [ | ]

Применение [ | ]

Анализ систем [ | ]

Восстановление частотной характеристики [ | ]

Важным свойством импульсной характеристики является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная характеристика , определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе системы к комплексному спектру входного сигнала.

Комплексная частотная характеристика (КЧХ) является аналитическим выражением комплексной функции. КЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории конца вектора в рабочем диапазоне изменения частот, называемую годографом КЧХ. Для построения КЧХ обычно требуется 5-8 точек в рабочем диапазоне частот: от минимально реализуемой частоты до частоты среза (частоты окончания эксперимента). КЧХ, так же, как и временная характеристика будет давать полную информацию о свойствах линейных динамических систем.

Частотная характеристика фильтра определяется как преобразование Фурье (дискретное преобразование Фурье в случае цифрового сигнала) от импульсной характеристики.

H (j ω) = ∫ − ∞ + ∞ h (τ) e − j ω τ d τ {\displaystyle H(j\omega)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }h(\tau)e^{-j\omega \tau }\,d\tau }

Для определения импульсной характеристики g (t ,τ), где τ - время воздействия, t - время появления и действия отклика, непосредственно по заданным параметрам цепи необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Чтобы проанализировать методику нахождения g (t ,τ), рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка:

где f (t ) - воздействие, y (t ) - отклик.

По определению, импульсная характеристика является откликом цепи на одиночный дельта-импульс δ(t -τ), подаваемый на вход в момент t =τ. Из этого определения следует, что если в правой части уравнения положить f (t )=δ(t -τ), то в левой части можно принять y (t )=g (t ,).

Таким образом, приходим к уравнению

.

Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме точки t =τ, функцию g (t ) можно искать в виде решения однородного дифференциального уравнения:

при начальных условиях, вытекающих из предыдущего уравнения, а также из условия, что к моменту приложения импульса δ(t -τ) в цепи отсутствуют токи и напряжения.

В последнем уравнении переменные разделяются:

где
- значения импульсной характеристики в момент воздействия.

Для определения начального значения
вернемся к исходному уравнению. Из него следует, что в точке
функцияg (t ) должна совершить скачок на величину 1/а 1 (τ), поскольку только при этом условии первое слагаемое в исходном уравнении a 1 (t )[dg /dt ] может образовывать дельта-функцию δ(t -τ).

Так как при

, то в момент

.

Заменяя неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом интегрирования, получаем соотношения для определения импульсной характеристики:

Зная импульсную характеристику, нетрудно определить передаточную функцию линейной параметрической цепи, поскольку обе оси связаны парой преобразования Фурье:

где a =t -τ - задержка сигнала. Функция g 1 (t ,a ) получается из функции
заменой τ=t-a .

Наряду с последним выражением, можно получить еще одно определение передаточной функции, в котором импульсная характеристика g 1 (t ,a ) не фигурирует. Для этого используем обратное преобразование Фурье для отклика S ВЫХ (t ):

.

Для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием, S (t )=cosω 0 t . Соответствующий S (t ) аналитический сигнал есть
.

Спектральная плоскость этого сигнала

Подставляя
вместо
в последнюю формулу, получаем

Отсюда находим:

Здесь Z ВЫХ (t ) - аналитический сигнал, соответствующий выходному сигналу S ВЫХ (t ).

Таким образом, выходной сигнал при гармоническом воздействии

определяется так же, как и для любых других линейных цепей.

Если передаточная функция K (j ω 0 ,t ) изменяется во времени по периодическому закону с основной частотой Ω, то ее можно представить в виде ряда Фурье:

где
- не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно трактовать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с постоянными параметрами.

Произведение

можно рассматривать как передаточную функцию каскадного (последовательного) соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией
, не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией
, изменяющейся во времени, но не зависящей от частоты ω 0 входного сигнала.

Основываясь на последнем выражении, любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде следующей эквивалентной схемы:

Откуда понятен процесс образования новых частот в спектре выходного сигнала.

Аналитический сигнал на выходе будет равен

где φ 0 , φ 1 , φ 2 … - фазовые характеристики четырехполюсников .

Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем

Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, но периодическому закону с основной частотой

Ω, гармонический входной сигнал с частотой ω 0 образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты ω 0 , ω 0 ±Ω, ω 0 ±2Ω и т. д.

Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой из частот ω и к входному спектру. Разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцип суперпозиции) и на выходе цепи не возникает частот вида n  ω 1 ± m ω 2 где ω 1 и ω 2 - различные частоты входного сигнала.

2.3 Общие свойства передаточной функции.

Критерий устойчивости дискретной цепи совпадает с критерием устойчивости аналоговой цепи: полюсы передаточной функции должны располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного , что оответствует положению полюсов в пределах единичного круга плоскости

Передаточная функция цепи общего вида записывается, согласно (2.3), следующим образом:

где знаки слагаемых учитываются в коэффицентах a i , b j , при этом b 0 =1.

Свойства передаточной функции цепи общего вида удобно сформулировать в виде требований физической реализуемости рациональной функции от Z: любая рациональная функция от Z может быть реализована в виде передаточной функции устойчивой дискретной цепи с точностью до множителя H 0 ЧH Q ­, если эта функция удовлетворяет требованиям:

1. коэффициенты a i , b j - вещественные числа,

2. корни уравнения V(Z)=0, т.е. полюсы H(Z), расположены в пределах единичного круга плоскости Z.

Множитель H 0 ЧZ Q учитывает постоянное усиление сигнала H 0 и постоянный сдвиг сигнала по оси времени на величину QT.

2.4 Частотные характеристики.

Комплекс передаточной функции дискретной цепи

определяет частотные характиристики цепи

АЧХ, - ФЧХ.

На основании (2.6) комплекс передаточной функции общего вида запишется так

Отсюда формулы АЧХ и ФЧХ

Частотные характеристики дискретной цепи являются периодическими функциями. Период повторения равен частоте дискретезации w д.

Частотные характеристики принято нормировать по оси частот к частоте дискретезации

где W - нормированная частота.

В расчетах с приенением ЭВМ нормирование по частоте становится необходимостью.

Пример. Определить частотные характеристики цепи, передаточная функция которой

H(Z) = a 0 + a 1 ЧZ -1 .

Комплекс передаточной функции: H(jw) = a 0 + a 1 e -j w T .

с учетом нормирования по частоте: wT = 2p Ч W.

H(jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW .

Формулы АЧХ и ФЧХ

H(W) =, j(W) = - arctg.

графики АЧХ и ФЧХ для положительных значений a 0 и a 1 при условии a 0 > a 1 приведены на рис.(2.5,а,б.)

Логарифмический масштаб АЧХ - ослабление А:

; . (2.10)

Нули передаточной функции могут распологаться в любой точке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, то характеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта и однозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепью минимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичного круга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которого преобразование Гильберта неприменимо.

2.5 Импульсная характеристика. Свертка.

Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную d - функцию. Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системными характеристиками и связаны между собой формулами Z - преобразования. Поэтому импульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточную функцию H(Z) - Z - изображение этого сигнала.

Передаточная функция является основной характеристикой при проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритик системы. Соответственно, основной характеристикой является импульсная характеристика, если нормы заданы во временной обрасти.

Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на d - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).

Пример. Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6,б.

Разностное уравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).

Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=d(t)

n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;

n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;

n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;

n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; и т.д. ...

Отсюда h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}

Для устойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся к нулю.

Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя

а. обратное Z-преобразование,

б. теорему разложения,

в. теорему запаздывания к результатам деления полинома числителя на полином знаменателя.

Последний из перечисленных способов относится к численным методам решения поставленной задачи.

Пример. Определить импульсную характеристику цепи на рис.(2.6,б) по передаточной функции.

Здесь H(Z) =.

Разделим числитель на знаменатель

Применяя к результату деления теорему запаздывания, получаем

h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}

Сравнивая результат с расчетами по разностному уравнению в предидущем примере, можно убедиться в достоверности расчетных процедур.

Предлагается определить самостоятельно импульсную реакцию цепи на рис.(2.6,а), применяя последовательно оба рассмотренных метода.

В соответствии с определением передаточной функции, Z - изображение сигнала на выходе цепи можно определите как произведение Z - изображения сигнала на входе цепи и передаточной функции цепи:

Y(Z) = X(Z)ЧH(Z). (2.11)

Отсюда, по теореме о свертке, свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на выходе цепи

y(nT) =x(kT)Чh(nT - kT) =h(kT)Чx(nT - kT). (2.12)

Определение выходного сигнала по формуле свертки находит применение не только в расчетных процедурах, но и в качестве алгоритма функционирования технических систем.

Определить сигнал на выходе цепи, схема которой приведена на рис.(2.6,б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.

Здесь h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0,00256 ; ...}

Расчёт по (2.12)

n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;

n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;

n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0,168;

Таким образом y(nT) = { 0; 0,4; 0,168; ... }.

В технических системах вместо линейной свертки (2.12) чаще применяется круговая или циклическая свертка.

Студент группы 220352 Чернышёв Д. А. Справка- отчет о патентном и научно- техническом исследовании Тема выпускной квалификационной работы: телевизионный приёмник с цифровой обработкой сигналов. Начало поиска 2. 02. 99. Окончание поиска 25.03.99 Предмет поиска Страна, Индекс (МКИ, НКИ) № ...

Несущими и амплитудно-фазовая модуляция с одной боковой полосой (АФМ-ОБП). 3. Выбор длительности и количества элементарных сигналов, используемых для формирования выходного сигнала В реальных каналах связи для передачи сигналов по частотно ограниченному каналу используется сигнал вида, но он бесконечен во времени, поэтому его сглаживают по косинусоидальному закону. , где - ...

Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.

Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.

Импульсная характеристика цепи - это отклик цепи на воздействие дельта-функции . - бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.

Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.

Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.

.

Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:

Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.

Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.

Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:

Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .

; , ;

Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :

Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:

Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.

.

Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.

Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку

По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.

фурье сигнал аналоговый линейный

Рисунок 2.5 - Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Рисунок 2.6 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.

Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал - не прошедшие низкие частоты.

Статья в тему

Внедрение и использование GPS-трекеров в среде предприятия
Трекер - устройство приёма-передачи-записи данных для спутникового мониторинга автомобилей, людей или других объектов, к которым оно прикрепляется, использующее Global Positioning System для точного определения местонахождения обьекта. Сферы применения GPS-мониторинга транспорта: скорая...